Descripción: Proposiciones, inferencia lógica, demostraciones matemáticas y circuitos lógicos...
q
∼r
r
p
∼q
LÓGICA AUTOR:
JUAN ALFREDO HUAMANCHAQUI QUISPE
Índi e General 1. lógi a proposi ional
Tipos de proposi iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opera iones on proposi iones . . . . . . . . . . . . . . . Ejer i ios de proposi iones . . . . . . . . . . . . . . Tabla mole ular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejer i ios de Tabla, Tautología, Contradi
ión . . . . Leyes lógi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejer i ios de leyes lógi as . . . . . . . . . . . . . . . Inferen ias lógi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis de inferen ia mediante las tablas de verdad . Análisis de inferen ia por el método abreviado . . . Análisis de inferen ia por el método analíti o: . . . . Ejer i ios de Inferen ia y demostra iones . . . . . . Cir uitos Lógi os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejer i ios de Cir uitos lógi os . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía
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Cap´ıtulo
1
lógi a proposi ional De ni ión 1.0.1 (Enun iado). Es ualquier frase u ora ión que expresa una idea.
De ni ión 1.0.2 (Proposi ión). Es todo enun iado que puede ser verdadero o falsa pero no ambos simultáneamente.
Nota ión: Las proposi iones los representaremos on las letras minús-
ulas p, q , r, . . ..
De ni ión 1.0.3
(Enun iado abiertos). Son enun iados que pueden
tomar ualquiera de los 2 valores de verdad.
Observa ión 1.0.1.
Notemos que todo proposi ión son enun iados, pero no todo enun iado son proposi iones.
Las ora iones ex lamativas, exhortativas o imperativas, las desiderativas y las ex lamativas o admirativas no son proposi iones porque ninguna de ellas a rma o niega algo, por lo tanto no son verdaderas ni falsas. Así mismo las ora iones dubitativas, los jui ios de valor (a pesar de que a rman algo), no onstituyen proposi iones, pues su vera idad o falsedad no puede ser estable ida Ejemplo Enun iado
Porque no es una proposi ión
½Viva el Perú! ¾Está lloviendo? Lávate la ara
Admira ión Pregunta Imperativa u orden 3
CAPÍTULO 1.
Pedro es muy malo Debemos honrar a nuestros padres Que tengas muy buen día Quizá llueva mañana
LÓGICA PROPOSICIONAL
Jui io de valor Exhortativa Desiberativa Dubitativa
Re ordemos que: 1. Las Ora iones Exhortativas (o Imperativas) son aquellas uya fun ión es expresar alguno de los siguientes mensajes: un onsejo, un ruego o peti ión, un mandato o una orden, una prohibi ión o negativa. 2. La Ora ión Desiderativa (u Optativa) es aquella que expresa deseo, soli itud o súpli a de manera indire ta: Ejemplos: 1) Ojalá gane la lotería: expresa deseo indire tamente ⇒ Desiderativa. 2) Quiero ganar la lotería: expresa deseo dire tamente ⇒ no Desiderativa 3. Las Ora iones Dubitativas expresan probabilidad, duda o suposi ión. Estas ora iones utilizan lo u iones adverbiales de Duda: omo
Adverbios
a aso quizás tal vez probablemente posiblemente seguramente sin duda puede puede ser a lo mejor
Ejemplos
A aso resuelva el problema Quizás resuelva el problema Tal vez onoz as la solu ión a este problema. Probablemente se ponga a llover Posiblemente aprobaré el examen Seguramente nos vayamos de va a iones a Brasil Lo lograremos sin duda Mañana puede llover Puede ser ierto lo que di es A lo mejor mi madre me ompra un regalo
Ejemplo 1.0.1. De ir uales de los siguientes enun iados son proposi iones y sino lo es de ir que tipo de enun iado es: 1. Estamos en verano, pero ha e frío 2. Estamos en verano, mas ha e frío 3. Tal vez sea demasiado tarde para en ontrar un restaurante abierto P
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
4. A aso en uentre las llaves y n del problema 5. Estamos en verano, sin embargo ha e frío 6. Quizá tu novio te esté esperando en el bar de la otra uadra 7. Ojalá puedan venir on nosotros 8. O lo tomas o lo dejas 9. ¾Te quedas en asa o te unes a nosotros? 10. Serán, más o menos, las uatro y media de la tarde 11. Tal vez puedas arreglar la ventana on una varilla de madera 12. ¾A aso te omiste todo el pastel? 13. Haz primero tu tarea 14. No vuelvas por aquí 15. ½Ojalá me to ara la lotería! 16. ½Que te salga bien el examen! 17. ½Venid a ver esto! 18. Ojalá puedan venir on nosotros 19. ½Que te salga bien el examen! 20. ½Que no llueva durante el partido! 21. ½Por Dios, que no sea nada! 22. Que tengas una feliz Navidad 23. Ojalá no me toque ese profesor 24. Ojalá se re upere pronto 25. ½Que te vaya bien! 26. Que tengas un lindo día 27. Ojalá tu problema se solu ione lo más rápido posible 28. Que sea on salud P
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
29. Ojalá onsiga entradas para el re ital de Britney Spears 30. ½Lava los platos! 31. 6+4=15 32. Por favor, siéntate 33. Javier, dame ese libro 34. Es u ha esta noti ia 35. ½No hagas ningún ruido! 36. Mami, regálame para un helado 37. Haga primero las tareas 38. Mami, omprame un perrito 39. Haz primero tu tarea 40. No vuelvas por aquí 41. ½Venid a ver esto! 42. Prohibido fumar 43. Prohibido esta ionar 44. La palabra SOL tiene 3 letras. 45. Apague su motor 46. ½Vete antes de que él venga! 47. ½Saluda a tu primo! 48. Levántate, que llegas tarde 49. El mes de agosto tiene 31 días. 50. La sandía es ri a. 51. El amión es un medio de transporte. 52. La playa es bonita. 53. los periodistas omuni an la verdad P
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TIPOS DE PROPOSICIONES
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
54. El periódi o EL PERUANO es de ir ula ión na ional. 55. Solo se que nada se. 56. ¾La palabra SOL tiene 3 letras? 57. ½Cierra la ventana! 58. Quiero que ierres la ventana 59. ... que me diga esto. 60. ... sólo si insistes.
De ni ión 1.0.4 (Sujeto de una ora ión). Es el elemento de la ora ión del ual se di e algo.
Tipos de sujetos Sujeto tá ito: Cuando el sujeto no está es rito, pero se puede
pensar en él, se llama sujeto tá ito.
Sujeto expreso: Es la parte ontraria al sujeto tá ito, es uando
en la ora ión se en uentra es rita el sujeto mismo.
De ni ión 1.0.5
(Predi ado de una ora ión). Es lo que se predi a, lo
que se di e; es en sí la expresión on sentido ompleto.
Tipos de predi ado Predi ado verbal: Es uando el verbo expresa el omportamiento
del sujeto.
Predi ado nominal: Es uando el sustantivo, adjetivo o parti i-
pio que sigue al verbo opulativo (ser o estar) ali a, lasi a o identi a al sujeto. Por ejemplo 1. Las alles de la iudad son estre has y tortuosas. 2. Las olas están muy altas. 3. La Internet es una gran red.
Tipos de proposi iones Existen dos tipos de proposi iones. P
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TIPOS DE PROPOSICIONES
1.
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Proposi ión Simple o Atómi a: Son aquellos que tienen un solo sujeto y un sólo predi ado.
2.
Proposi iones Compuesta o Mole ular: Son aquellos que tienen
dos o mas proposi iones simples, o de manera análogo, una proposi ión ompuesta son aquellos que tiene dos o mas sujetos y/o dos o mas predi ados.
Ojo: El valor de verdad de las proposi iones ompuestas depende mu ho del valor de verdad de las proposi iones simples.
Ejemplo 1.0.2. De ir ual de las siguientes proposi iones son simple o ompuestas
1. Juan ome mu ho. 2. La llama es Peruana. 3. 45 > 3 sí y sólo sí 12 + 6 = 18 4. El o he en iende uando tiene gasolina en el tanque y tiene orriente la batería 5. El gato es un animal y respira 6. Mai ol ome mu ho y la llama es peruana enton es la llama vive
on Mai ol. 7. 45 > 3 y 12 + 6 = 18 8. La manzana es una fruta y es saludable, 9. La tierra es plana. 10. Lava el o he por favor. 11. Siete es un número natural. 12. 45 > 3 sí y sólo sí 12 + 6 = 18 13. Si 12 + 6 = 18, enton es 25 + 3 = 23 14. Santiago es la apital de Repúbli a Domini ana. P
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OPERACIONES CON PROPOSICIONES CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Observa ión 1.0.2. Sea di ho que las proposi iones serán representado
por las letra minús ulas p, q , r, ..., enton es ada uno de las letras minús ulas representa un texto que tiene un valor de verdad ya puede ser verdadero o falso. Es de ir que: p : La luna es un satélite de la tierra (es proposi ión) q : 2 (mal representado) r : 45 > 3 y 12 + 6 = 18 (es proposi ión) s : nada (mal representado)
Opera iones on proposi iones Llamaremos one tivos lógi os unos símbolos que sirve para unir dos o mas proposi iones y son ∧, ∨, △, →, ↔, ∼. Sean dos proposi iones p y q 1.
CONJUNCIÓN (∧): La onjun ión es el resultado de omponer
estas proposi iones on el one tivo lógi o ∧ y se lee y , y se es ribe on las proposi iones p ∧ q y se lee p y q y tiene omo tabla de verdad.
pq VV VF FV FF
p∧q V F F F
Sinónimos del one tivo ∧:
p y q ≡ p e q ≡ p pero q ≡ p aunque q ≡ p aun uando q ≡ tanto p omo q ≡ p sino q ≡ p sin embargo q ≡ p además q ≡ p , q ≡ p aunque q ≡ p a la vez q et 2. P
DISYUNCIÓN: Se llama disyun ión o suma lógi a de las proposi-
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OPERACIONES CON PROPOSICIONES CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
iones p, q , dadas en ese orden, a las, proposi iones que se obtienen enun iando q a ontinua ión de p unidas ambos por el one tivo o.
DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DÉBIL (∨):
La disyuntiva in lusiva o débil es una proposi ión oligativa que resulta de unir las proposi iones p y q on el one tivo ∨, esto es p ∨ q y se lee p o q . Y tiene la tabla de verdad.
pq VV VF FV FF
p∨q V V V F
Sinónimos del one tivo∨:
p o q ≡ p u q ≡ p ya q ≡ p bien q ≡ p ora q ≡ p sea q ≡ p o en todo aso q
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O FUERTE (△): También la palabra o suele usarse en el sentido de ex luyente en este
aso se simboliza por △, y se es ribe por "p △ q y se lee "p o q pero no ambos. Y su tabla de verdad es:
pq VV VF FV FF
p△q F V V F
Sinónimos del one tivo △:
p △ q ≡ o p o q ≡ o bien p o bien q ≡ p o q pero no ambos ≡ p no equivale a q ≡ O solo p o solo q ≡ no es ierto que p equivale a q 3. P
NEGACIÓN (∼): La proposi ión negativa de la proposi ión a r-
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OPERACIONES CON PROPOSICIONES CAPÍTULO 1.
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mativa p a otra que se denota por "∼ p y se lee "no p, y su tabla de valor:
p V F
∼p F V
Sinónimos del one tivo ∼:
no p ≡ nun a p ≡ jamas p ≡ tampo o p ≡ no es verdad que p ≡ no es ierto que p ≡ es falso que p ≡ le falta p ≡ are e de p ≡ sin p ≡ no es el aso que ( p ....), et 4.
CONDICIONAL O IMPLICANCIA (→):
Una proposi ión
ondi ional o impli an ia es el resultado de unir las proposi iones p y q on el one tivo lógi o "si PROPOSICIÓN, enton es PROPOSICIÓN y se denota on el símbolo "→ se es ribe "p → q y se lee "si p enton es q , on tabla de valor
pq VV VF FV FF
p→q V F V V
Sinónimos del one tivo →:
si p enton es q ≡ q si p ≡ p sólo si q ≡ p su iente para q ≡ q ne esario para p ≡ p solamente si q ≡ q a menos que ∼ p≡ q porque p≡ p salvo que q ≡ q , puesto que p ≡ q también p ≡ q ya que p ≡ q siempre que p ≡ q dado que p ≡ q ada vez que p ≡ q sólo uando p ≡ q dado que p et .
Nota 1: Tenemos que tener mu ho uidado on las proposi iones ( q , p ), los artí ulos y preposi iones de la ora ión, pues estas
ambian el sentido del one tivo lógi o →. Por ejemplo: y si p enton es q ≡ si q enton es p . P
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Nota 2: Cada sinónimo del one tivo lógi o → involu rado on los
sinónimos del one tivo lógi o ∧ invierten el orden de la ondi ional →. 5.
BICONDICIONAL (↔): las
proposi ión "(p → q) ∧ (q → p) es simbolizado omo "p ↔ q y se lee "p si y sólo si q , on tabla de verdad
pq VV VF FV FF
p↔q V F F V
Sinónimos del one tivo ↔:
p si y sólo si q ≡ p uando y sólo uando q ≡si p , enton es y sólo enton es q ≡, p ne esaria y su iente para q et
La jerarquía de las proposi iones son: nega ión, onjun ión, disyun-
ión, impli a ión, bi ondi ional y son aso iadas por la izquierda. Hasta ahora, hemos enun iado de las proposi iones, y de nir las opera iones on proposi iones. Que su ede si las proposi iones simples o algunas de ellas tienes un valor sea verdadero o falso, enton es nuestra proposi ión ompuestas ( on los
one tivos lógi os) tendrán un valor de verdad sea verdadero o puede ser falso. Estos valores de denotaran omo V (p) = F o V (p) = V Para poder visualizar, hagamos un ejemplo sen illo.
Ejemplo 1.0.3. sean las proposi iones:
p : El presidente del Perú es Oyanta Humala. q : Lima es apital de Perú.
Es fá il ver que los valores de verdad de las proposi iones son: V (p) = F y V (q) = V enton es ual es el valor de verdad de la proposi ión: s : El presidente del Perú es Alan Gar ia o lima es apital del Perú. Solu ión: simbolizando se puede ver que s ≡ p ∨ q , enton es apli ando P
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la tabla de verdad de la disyun ión in lusiva seria V (s) ≡ F ∨ V ≡ V La vera idad de la proposi ión s es verdadero. De esta manera se trabaja uando ono emos algunos de los valores de verdad de las proposi iones simples y/o proposi iones ompuestas para hallar el valor de verdad de algunas proposi iones ompuestas muy
ompli adas.
Ejemplo 1.0.4. Simbolizar ada una de las proposi iones: 1. El 20 % de 150 es 30 ó 50. 2. La huelga ontinua, pues no hay solu ión. 3. La luna no está he ha de queso verde 4. María está aquí o Elena está en asa 5. Si Pedro está en asa o Juan está en el patio, enton es José es ino ente. 6. Ne esito ponerme las gafas o esta luz es débil. 7. Los patitos no se transforman en isnes 8. O Antonio irá al teatro o irá al ine. 9. Las rosas son rojas y las violetas son azules 10. Es ne esario pagar 100 soles y ser mas joven para ingresar al baile Solu ión: Sean los proposi iones: p : pagaré 100 soles. q soy mas
joven. s : Ingresaré al baile: enton es Es ne esario p y q para s enton es Si s enton es ( p y q ) simbolizando es s → (p ∧ q)
11. Si no es el aso que mar os sea un omer iante y un prospero industrial, enton es es ingeniero o no es omer iante. Solu ión: Sean las proposi iones:
p : Mar os es omer iante, q : mar os es un prospero industrial, s : Mar os es un Ingeniero. simbolizando se tiene ∼ (p ∧ q) → (s∨ ∼ p). P
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12. Si p : Carlos vendrá, q : Carlos ha re ibido la arta, s : Carlos está interesado todavía en el asunto Simbolizar: a) Carlos vendrá, si ha re ibido la arta, siempre que esta interesado todavía en el asunto. Solu ión:
p , si q , siempre s ≡ Si s enton es (si q enton es p ) simbolizando es s → (q→ p) b) O arlos vendrá porque ha re ibido la arta o no esta interesado todavía en el asunto Solu ión: o( p porque q ) o (no s )
simbolizando es (q → p) △∼ r
) Carlos vendrá si y sólo si ha re ibido la arta o vendrá porque esta interesado todavía en el asunto. Solu ión: ( p si y sólo si q )o ( p porque s ) ≡ ≡ ( p si y sólo si q )o (si s enton es p )
≡ (p ↔ q) ∨ (s → p)
13. De la falsedad de (p →∼ q) ∨ (∼ r → s), dedu ir el valor de verdad de: a) (∼ p∧ ∼ q)∨ ∼ q b) [(∼ r ∨ q) ∧ q] ↔ [(∼ q ∨ r) ∧ s
) (p → s) → [(p ∨ q)∧ ∼ q] Solu ión:Hallando los valores de verdad de ada una de las proposi iones: (p →∼ q) ∨ (∼ r → s) ≡ F
enton es
p →∼ q ≡ F y ∼ r → s ≡ F
por lo tanto p ≡ F , q ≡ V , r ≡ F y s ≡ F .
on estos valores es muy fá il hallar los que nos piden.
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Ejer i ios de proposi iones En ada uno de los textos en uentre 15 proposi iones 1.
Una espe ie de rino eronte lanudo da nuevas pistas sobre la Edad del Hielo
Un equipo de geólogos y paleontólogos des ubrió en 2007 un ráneo
ompleto y la mandíbula inferior de una espe ie de estos rino erontes (Coelodonta thibetana), en las estriba iones de la ordillera del Himalaya en la meseta tibetana. El equipo estuvo dirigido por el profesor Wang Xiaoming del Museo de Historia Natural de Los Ángeles (NHM) y Li Qiang, del Instituto de Paleontología Vertebrada y Paleoantropología de la A ademia China de Cien ias. La extin ión de los ono idos omo "gigantes"de la Edad de Hielo,
omo el mamut y los rino erontes lanudos, los osos perezosos gigantes y los gatos dientes de sable, ha sido estudiada exhaustivamente, pero los
ientí os no han logrado averiguar la pro eden ia de estos gigantes o
ómo lograron adaptarse al frío. La lave la podría tener este nuevo fósil de rino eronte, que on 3,6 millones de años (Plio eno medio), es mu ho más antiguo y primitivo que sus des endientes de la Edad del Hielo (Pleisto eno). Generalmente se ha reído que los "mega herbívoros"del Pleisto eno evolu ionaron de an estros menos resistentes al frío en Norteaméri a y Eurasia. El estudio on luye que la meseta tibetana podría haber sido la una evolutiva de los rino erontes lanudos y otras riaturas peludas resistentes al frío que deambularon por Norteaméri a y Eurasia durante la última Edad del Hielo. Este rino eronte des ubierto en la Cuen a de Zanda a los pies de las olinas de los Himalayas en el Tibet suro
idental, muestra laras adapta iones a un lima más frío y nevado. Mediante el análisis de la edad del fósil y sus ara terísti as físi as, los autores on luyen que este rino eronte, Coelodonta thibetana, fue un an estro relativamente primitivo en el árbol genealógi o del rino eronte lanudo, omparado on sus ontrapartes en el Pleisto eno. Este hallazgo sugiere que los rino erontes se adaptaron a la fría Meseta Tibetana mu ho antes de que el ambio limáti o se diera en otras P
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áreas, y que el Coelodonta thibetana estaba preparado para su expansión al resto de Asia a medida que el lima se enfrió. Así, uando llegó la Edad del Hielo tardía ha e unos 2,6 millones de años, según el nuevo estudio, el rino eronte y las otras espe ies no tuvieron más que des ender de las altas montañas y empezaron a expandirse por el norte de Asia y Europa. Los autores des riben similitudes en otros grandes fósiles animales en ontrados en la Cuen a de Zanda, in luidos un leopardo de las nieves y un antílope tibetano que se adaptaron al frío. Esta región puede, de esta manera, haber sido el trampolín para una amplia variedad de espe ies resistentes al frío que se expandieron posteriormente durante la última Edad del Hielo. El do tor Wang expli a que .en los lugares fríos, omo el Tíbet, el Árti o y la Antártida, se realizarán los des ubrimientos más inesperados en el futuro, ya que ontinúan siendo las fronteras que siguen aún inexploradas en gran parte". 2.
Juramaia sinensis, el ante esor más antiguo de los mamíferos a tuales
Un fósil hallado en el nordeste de China es el ante esor más antiguo de los mamíferos pla entarios a tuales y sitúa el momento en que se separaron de los marsupiales al menos 35 millones de años antes de lo que se pensaba. Así lo a rman en un estudio publi ado en la revista Nature paleontólogos del Museo de Historia Natural Carnegie de Pittsburgh (EE.UU), dirigidos por el hino Zhe-Xi Luo, que des riben los restos fósiles de un mamífero pare ido a una musaraña que vivió en China ha e 160 millones de años durante el período Jurási o. El fósil de "Juramaia sinensis"(que en latín signi a madre jurási a de China) es .o bien una 'tataratía abuela' o una 'tatarabuela' de todos los mamíferos pla entarios (euterios) existentes hoy", a rma Zhe-Xi. En la a tualidad, el 90 % de los mamíferos in luidos los humanos son pla entarios (la ría se desarrolla en el interior de la madre), mientras quedan mamíferos marsupiales (la ría se desarrolla en una bolsa) en Australia y Suraméri a y algunas espe ies ovíparas en Australia y Nueva Guinea. El mamífero pla entario más antiguo ono ido hasta la fe ha databa de ha e 125 millones de años, según el estudio. P
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El des ubrimiento del fósil, en la provin ia nororiental hina de Liaoning, viene a orroborar los resultados de estudios genéti os que situaban la diferen ia ión de los mamíferos ha e 160 millones de años, y a llenar un va ío en el registro fósil de su evolu ión. Según los ientí os, los "Juramaia sinensis.eran riaturas de pequeño tamaño, adaptados para trepar y vivir en los árboles a diferen ia de otros mamíferos de su épo a, una apa idad que pudo permitirles sobrevivir a las difí iles ondi iones de vida del Jurási o. Entre los restos fósiles hallados guran el ráneo in ompleto del animal, parte del esqueleto y huellas de tejidos residuales blandos omo pelo. Pero lo que permitió a los paleontólogos rela ionar al "Juramaiaçon los mamíferos pla entarios a tuales y diferen iarlo de los marsupiales
omo el anguro fueron sobre todo su dentadura ompleta y los huesos de la pata, señala el estudio. "La separa ión de los mamíferos euterios de los marsupiales nalmente ondujo al na imiento pla entario y a la reprodu
ión que son tan ru iales"para su éxito evolutivo, a rmó Xhe-Xi. Pero, según el ientí o, la lave de este éxito fue su rápida adapta ión a la vida en los árboles. 3.
Los fósiles de ba terias más antiguos de la Tierra "lunes 22
de agosto de 2011
Un equipo de ientí os australianos han des ubierto los fósiles de ba terias "más antiguos de la Tierra"que se ono en, pues los investigadores fe han su apari ión ha e 3.400 millones de años, según han expli ado expertos de la Universidad de Oxford. Investiga iones anteriores datan la edad de la Tierra de 4.500 millones de años, mientras que fe han el ini io de la vida en el planeta ha e 3.800 millones de años, de modo que este hallazgo prueba que años antes de lo que los ientí os pensaban "había ba terias apa es de vivir sin oxígeno". En este sentido, los ientí os han señalado que están "muy seguros de la edad de los fósiles", ya que las ro as sedimentarias donde los han en ontrado se formaron entre dos episodios vol áni os. Con retamente, el hallazgo, publi ado en 'Nature Geos ien e', se ha produ ido en una zona ro osa ono ida omo Strelley Poll, al oeste del país, y los fósiles se estaban adosados a mi ros ópi os ristales de pirita. P
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Según apunta el estudio, los fósiles fueron sometidos a pruebas que demuestran que las formas dete tadas en la ro a son de naturaleza biológi a, pues se pueden observar estru turas similares a las élulas, por tanto, no es el resultado de un pro eso de mineraliza ión. "Por primera vez en ro as arqueanas, se halla una aso ia ión dire ta entre una morfología elular y subprodu tos del metabolismo", expli an los ientí os. Cuando apare ieron estas ba terias, ha e 3.400 millones de años, la Tierra era un lugar álido, on una fuerte a tividad vol áni a, y la temperatura de los o éanos al anzaba los 50 grados. En la a tualidad sigue habiendo ba terias que utilizan más azufre que oxígeno para argarse de energía y proliferar y se en uentran sobre todo en lugares álidos omo las himeneas hidrotermales, al fondo de los o éanos.
Diga si los siguientes enun iados son proposi iones o no
1. No engañes nun a a nadie. 2. Quizá exista miles y millones de universos. 3. a es la apital de Perú 4. x es un numero par. 5. Los ele trones son partí ulas que se en uentran alrededor del nú leo del átomo. 6. La semana tiene 7 días. 7. La on ep ión que denomino "pragmatismo es asi misma que la que Hilary Putnam denomina "la on ep ión internalista de la losofía.
Simbolizar ada una de las proposi iones 1. El 20 % de 150 es 30 ó 50. 2. Dos ángulos son suplementarios siempre que formen un par lineal. 3. La huelga ontinua, pues no hay solu ión. 4. Si onsigo una be a, enton es y solo enton es vejaré al extranjero. 5. Cuando apruebe el examen de admisión ingresaré a la Universidad. 6. David no es Limeño ni Loretano. P
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OPERACIONES CON PROPOSICIONES CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
7. El área del triángulo ABC es igual al área del triángulo DEF, o el área del triángulo ABC es menor que el área del triángulo DEF 8. Se puede dar el ve tor por medio de dos omponentes, o estamos en tres dimensiones. 9. O Juan será reelegido o destinado para un puesto nuevo 10. O la aguja está gastada o la graba ión es mala. 11. Hemos de llegar allí antes, u otro re ibirá el empleo. 12. Luisa no es una persona alta 13. Jaime no es puntual y Tom llega tarde 14. Si la distan ia entre el Sol y la Tierra hubiera deferido en apenas un 5 por iento, ninguna forma de vida habría podido surgir y nuestro planeta habría sido un desierto. 15. Sin la apari ión de la galaxia, sino la forma ión de estrellas masivas, sin el paso por el estadio de supernova, jamas habría podido existir el hombre ni la vida. 16. las estrellas na en o viven, pero también mueren. 17. Los ongresistas representan a la Na ión, pero no estás sujetos a mandato imperativo. Luego, los ongresistas representan a la Na ión. 18. Felipe no será expulsado del lub a menos que él ometa a tos de trai ión e inmoralidad. No ha sido expulsado. En onse uen ia no ha ometido a tos de trai ión ni de inmoralidad. 19. Si el niño, el adoles ente y el an iano son abandonados, enton es son protegidos por el estado. Pero el niño es abandonado, también el an iano. Luego, tanto el niño oo el an iano son protegidos. 20. Sin mandato judi ial ni autoriza ión de la persona que lo habita, no se puede ingresar en el domi ilio, tampo o efe tuar investiga ión. Pero se ingreso al domi ilio y efe tuó la investiga ión. En onse uen ia, hubo mandato judi ial y autoriza ión de la persona que lo habita. P
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OPERACIONES CON PROPOSICIONES CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
21. Un número es divisible por 2 si la ultima ifra de di ho número es múltiplo de 2. Un número es por 3 si la suma de las ifras de di ho número es múltiplo de 3. Pero di ho número no es divisible por 2 o no lo es por 3. Por tanto, la suma de las ifras de un número no es múltiplo de 3 si la última ifra de un número es múltiplo de 2.
Hallar el valor de verdad de algunas proposi iones 1. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposi iones. a) (3 + 54 = 8) ∧ (5 − 3 = 2) b) (1 < 2) ∨ (5 + 9 = 14)
) (4 + 6 = 9) ↔ (5 − 2 = 4) 2. Se sabe que p ∧ q y q → t son falsas, y se tiene las esquemas mole ulares: A) ∼ (q ∨ r) ∨ (p ∨ q) B) (p∨ ∼ q) → (∼ r ∧ q) C) [(p ∧ q) ∨ (q∧ ∼ r)] ↔ (p∨ ∼ r) Cuantas de ellas son falsas. 3. Si la proposi ión A = (p →∼ q) → (r →∼ s) es falsa, hallar el valor de verdad de las proposi iones q, p, r, s 4. (p ∨ q) ↔ (r ∧ s) es una proposi ión verdadera, teniendo r y s de verdad opuestos. Se a rma que: A) [(∼ p∧ ∼ q) ∨ (r ∧ s)] ∧ p Verdadero B) [∼ (p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ∨ (∼ p ∧ q) Falso C) [(∼ r∧ ∼ s) → (p ∨ r)]∧ ∼ (r ∧ s) Verdadero ¾Cuantas de las a rma iones son verdaderas? 5. Si p, q, r, s, t, w son proposi iones ualesquiera tales que: V (∼ w →∼ s) = F y V [(p∧ ∼ r) ↔ (s → t)] = V ; hallar el valor de verdad de las siguientes esquemas mole ulares. A) [(p ∧ q) ∨ r] → s B) (s ↔∼ w) → (r∨ ∼ p) C) [t → (w∨ ∼ p)]∨ ∼ (p → r)
P
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TABLA MOLECULAR
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Tabla mole ular Como hemos visto, en la de ni ión de opera iones on proposi iones,
ada one tivo lógi o tiene una tabla de valores, esto es:
pq VV VF FV FF
p∧q V F F F
∼p F V
p∨q V V V F
p△q F V V F
p→q V F V V
p↔q V F F V
Esta tabla nos ayudara a onstruir algunas tablas de verdad o Evalua ión de esquemas mole ulares por tabla de verdad para proposi iones ompuestas muy omplejas o en su defe to lo llamaremos esquema mole ular omplejas. Para poder saber uantas permuta iones de valores de verdad tiene un esquema mole ular se utiliza la fórmula. n =número de proposi iones, enton es 2n =número de permuta iones posibles de valores de verdad. Para poder entender esta aso hagamos un ejemplo
Ejemplo 1.0.5. 1. Sea el esquema mole ular [∼ (p ∧ q)] ↔ [∼ p∨ ∼ q].
Hallar su tabla mole ular. Solu ión omo n = 2 enton es 22 = 4, tiene 4 permuta iones posibles de valores de verdad el esquema mole ular pq
[∼
(p ∧ q)] ↔
[∼ p ∨
∼p
VV VF FV FF Pasos
F V V V 2
V F F F 1
F F V V 3
F V F V 4
V V V V 6=2,5
F V V V 5=3,4
2. Sea el esquema mole ular: [(p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ r)] ∧ (∼ r → p). Hallar la tabla mole ular. P
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TABLA MOLECULAR
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Solu ión omo n = 3 enton es 23 = 8, tiene 8 permuta iones
posibles de valores de verdad el esquema mole ular.
3. Sea el esquema mole ular: [(∼ p ∨ q) → r] ↔ [(p∧ ∼ q) ∨ r]. Hallar la tabla mole ular. Solu ión omo n = 3 enton es 23 = 8, tiene 8 ombina iones posibles de valores de verdad el esquema mole ular. 4. Sea el esquema mole ular: [(p ∧ q) → p] → [(q ∨ r) ∧ (∼ q∧ ∼ r)]. Hallar la tabla mole ular. Solu ión omo n = 3 enton es 23 = 8, tiene 8 permuta iones posibles de valores de verdad el esquema mole ular. 5. Si a epto el mundo que me ofre en y soy feliz así, enton es empiezo a avar mi propia sepultura; o bien, si no soy feliz así y veo po as posibilidades de ambiar este mundo, emprendo así mismo mi autoenterramiento. Solu ión: De nimos las proposi iones: p : A epto el mundo omo me a re en. q : Soy feliz así. r : empiezo a avar mi propia tumba. s : veo po as posibilidades de ambiar al mundo. Simbolizando sería: [(p ∧ q) → r] ∨ [(∼ q ∧ s) → r]
y en la tabla de verdad sale toda verdad. En el ejemplo anterior podemos notar de que la tabla mole ular nos ta puro valor de verdad verdadero, también existen esquemas mole ulares que nos dan valores de verdad todos falsos, estos asos tiene un nombre y son: Tautología (T ): Se llama tautología al resultado del esquema mole ular donde los valores son todos verdaderos. Contra
ión (C ): Se llama ontradi
ión al resultado del esquema mole ular donde los valores son todos falsos. Contingen ia: Se llama ontingen ia al resultado del esquema mole ular donde los valores son verdaderos y falsos a la vez. De esta ultima de ni ión veamos un ejemplo:
Ejemplo 1.0.6. Sea el esquema mole ular [∼ (p∨q)∧ ∼ p] ↔ (p → q).
Hallar la tabla mole ular. P
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TABLA MOLECULAR
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Solu ión omo n = 2 enton es 22 = 4, tiene 4 ombina iones posibles
de valores de verdad el esquema mole ular pq
[∼
(p ∨ q) ∧
∼p
↔
p→q
VV VF FV FF Pasos
F F F V 3
V V V F 2
F F V V 1
F V F V 6=4,5
V F V V 5
F F F V 4
Claramente podemos ver que el esquema mole ular nos da una ontingen ia.
Ejer i ios de Tabla, Tautología, Contradi
ión En ada uno de los ejer i ios hallar la tabla de verdad y diga si es tautología, ontradi
ión y ontingen ia 1. [(p → q) ∨ (r → q)] → (p → r) 2. ∼ [∼ p →∼ (∼ q∧ ∼ p)]∨ ∼ (∼ p∨ ∼ q) 3. [(p∨ ∼ q)∧ ∼ p] △∼ (∼ q → p) 4. [p → (q → r)] ↔ [(p∧ ∼ r) →∼ q] 5. [(p△∼ q)∧ ∼ (r ∧ q)] ↔∼ [(p △∼ q) → (q ∧ r)] 6. {[(∼ p ∧ r) → q] ↔ [∼ q ↔ p ∨ r]} △ {(p ↔ q) △ (q∨ ∼ r)} 7. Si el ejér ito mar ha ontra el enemigo, tiene posibilidades de éxito, y arrasar la apital enemiga, si tiene posibilidades de éxito. Ahora bien, o el ejér ito mar ha ontra el enemigo, o se repliega rápidamente. Si se repliega rápidamente, el enemigo ata ará la retaguardia; y perderá la guerra, si el enemigo ata a la retaguardia. Por onsiguiente, si no arrasa la apital enemiga, perderá la guerra. 8. Si por su ara bonita lograra al anzar nota su iente, enton es no habría que aumentar le la nota y llegaría a ingresar en la fa ultad deseada. Ahora bien, si no logra al anzar nota su iente, enton es le P
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TABLA MOLECULAR
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
aumentamos la nota, y, on ello, por su ara bonita logra ingresar en la fa ultad deseada; pero su ede también que pela gatos sin padrino se queda en la alle (porque por su ara bonita le ha usurpado su plaza de un modo realmente analles o). Por onsiguiente, no es
ierto que se aumente la nota a por su ara bonita y pela gatos sin padrino no se quede en la alle. 9. Si eres s al, eres abogado. Si eres profesional, eres abogado. Luego, si eres s al, eres profesional. 10. Sin la apari ión de la galaxia, sin la forma ión de estrellas masivas, sin el paso por el estadio de supernova, jamas habría podido existir el hombre ni la vida. 11. las estrellas na en o viven, pero también mueren. 12. Los ongresistas representan a la Na ión, pero no estás sujetos a mandato imperativo. Luego, los ongresistas representan a la Na ión. 13. Felipe no será expulsado del lub a menos que él ometa a tos de trai ión e inmoralidad. No ha sido expulsado. En onse uen ia no ha ometido a tos de trai ión ni de inmoralidad. 14. Si el niño, el adoles ente y el an iano son abandonados, enton es son protegidos por el estado. Pero el niño es abandonado, también el an iano. Luego, tanto el niño omo el an iano son protegidos. 15. Sin mandato judi ial ni autoriza ión de la persona que lo habita, no se puede ingresar en el domi ilio, tampo o efe tuar investiga ión. Pero se ingreso al domi ilio y efe tuó la investiga ión. En onse uen ia, hubo mandato judi ial y autoriza ión de la persona que lo habita. 16. Un número es divisible por 2 si la ultima ifra de di ho número es múltiplo de 2. Un número es por 3 si la suma de las ifras de di ho número es múltiplo de 3. Pero di ho número no es divisible por 2 o no lo es por 3. Por tanto, la suma de las ifras de un número no es múltiplo de 3 si la última ifra de un número es múltiplo de 2. 17. Sin de ano ni onsejo de fa ultad no hay gobierno de la fa ultad ni demo ra ia. Pero es falso que haya gobierno de la fa ultad o haya P
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LEYES LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
demo ra ia. Por lo tanto, es falso que haya de ano o haya onsejo de fa ultad. 18. los profesores ordinarios son prin ipales, aso iados y auxiliares. Los profesores extraordinarios son eméritos, honorarios, investigadores, y visitantes. Luego, los profesores ordinarios son prin ipales, aso iados y auxiliares. 19. O no ingresaste a la universidad o no onseguiste el empleo, pues es
ierto que no vendes tu asa si ingresas a la universidad y onsigues un empleo; y tu vendiste tu asa. 20. Usted regresó del lub la no he pasada on restos de tiza entre el índi e y el pulgar. Y lo ierto es que uando usted juega al billar, se da tiza en ese sitio. Además, uando usted juega al billar, he de ser on Thurston. Por otro lado, ha e uatro semanas que usted dijo que Thurston tenía una op ión sobre determinados valores sudafri anos y que deseaba que entrase on él en el nego io. Pero si entrase on él en el nego io, tendría que utilizar su talonario de
heques que tenía guardado en mi despa ho, y, además, si utilizara su talonario de heques, debería de haberme pedido la llave, pero no me la ha pedido. Por onsiguiente, no se propone entrar en nego ios
on Thurston. 21. Ni ontigo ni sin tí tiene mis males remedio; ontigo porque me matas; y sin tí, porque me muero
Leyes lógi as Notemos que existen esquemas mole ulares (distintos) pero en la tabla del esquema mole ular nos dan los valores de verdad iguales, a estos tipos de proposi iones los llamamos proposi iones equivalentes, y serán de notados por ≡, y son llamados omo ley. LEYES LÓGICAS: las leyes lógi as son: 1.
Ley de Identidad: Una proposi ión sólo es idénti a a si mismo. p → p o p ↔ p.
2. P
Ley de no ontradi
ión:
Una proposi ión no puede ser verdadero y falsa a la vez. ∼ (p∧ ∼ p).
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LEYES LÓGICAS
3.
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ley del ter io ex luido: Una proposi ión es verdadero o es falso,
no existe otra posibilidad.
Observa ión 1.0.3. Las tres leyes son las prin ipales que da la exis-
ten ia de la Lógi a proposi ional, pero existen mu has mas y son: 4.
Involu ión: ∼ (∼ p) ≡ p
5.
Idempotente: a) p ∧ p ≡ p b) p ∨ p ≡ p
6.
Ley de la Conmutatividad a) p ∧ q ≡ q ∧ p b) p ∨ q ≡ q ∨ p
) p ↔ q ≡ q ↔ p
7.
Ley de la Aso iatividad a ) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) b ) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)
8.
Ley de la distributividad a) b)
) d)
9.
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)
Ley de Morgan: a ) ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q b ) ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
10.
Ley de la ondi ional: a ) p → q ≡∼ p ∨ q b ) ∼ (p → q) ≡∼ q ∧ p
P
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LEYES LÓGICAS
11.
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
ley de la Bi ondi ional: a ) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) b ) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ q∧ ∼ p)
12.
Ley de la Absor ión: a) b)
) d)
13.
p ∧ (p ∨ r) ≡ p p ∧ (∼ p ∨ r) ≡ p ∧ r p ∨ (p ∧ r) ≡ p p ∨ (∼ p ∧ r) ≡ p ∨ r
ley de transposi ión: a ) p → q ≡∼ q →∼ p b ) p ↔ q ≡∼ q ↔∼ p
14.
Leyes Tautología y Contradi
ión: a) b)
) d) e) f) g) h) i) j)
T ∧T ≡T T ∧p≡p T ∧C ≡C T ∨p≡T C∨C ≡C C∨p≡p C∧p≡C T ∨C ≡T p∧ ∼ p ≡ C p∨ ∼ p ≡ T
Para poder ver omo se trabaja on estas leyes lógi as hagamos algunos ejemplos, re ordando que ada enumera ión de las leyes lógi as tendrán que ser aprendidas por los le tores del texto.
Ejemplo 1.0.7. Simpli ar ada uno de los siguientes proposi iones
ompuestas
1. (p ∨ r) ∨ (p∨ ∼ r) ∨ (p ∨ s) Solu ión: P
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LEYES LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
p ∨ r ∨ p∨ ∼ r ∨ p ∨ s p ∨ p ∨ p ∨ r∨ ∼ r ∨ s p ∨ r∨ ∼ r ∨ s p∨T ∨s T
por por por por por
7, b) 6, b) 5, b) 14, j) 14, d)
por por por por
8, a) 14, i) 14, f) 12, d)
por por por por por por por
9, a) 8, b) 14, i) 14, f) 10, a) 4 12, d)
Por lo que tenemos: T 2. (p∧ ∼ q) ∨ [(∼ p ∨ q) ∧ (∼ p∨ ∼ q)] Solu ión:
(p∧ ∼ q) ∨ [(∼ p ∨ q) ∧ (∼ p∨ ∼ q)] (p∧ ∼ q) ∨ [(∼ p ∨ (q∧ ∼ q)] (p∧ ∼ q) ∨ [∼ p ∨ C] (p∧ ∼ q)∨ ∼ p ∼ q∨ ∼ p
Por lo que tenemos: ∼ q∨ ∼ p 3. [∼ (p ∧ q) ∧ (∼ p ∨ q)] → (∼ p ∧ q) Solu ión:
[(∼ p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ q)] → (∼ p ∧ q) [(∼ p ∨ (∼ q ∧ q)] → (∼ p ∧ q) [(∼ p ∨ C] → (∼ p ∧ q) ∼ p → (∼ p ∧ q) ∼ (∼ p) ∨ (∼ p ∧ q) p ∨ (∼ p ∧ q) p∨q
Por lo que tenemos: p ∨ q 4. Hallar la forma equivalente de la proposi ión: Es ne esario entrenar debidamente y no ometer infra
ión para umplir buen papel deportivo.
La proposi ión se puede es ribir omo:
Si entreno debidamente y no ometo infra
ión, enton es daré un buen papel deportivo Solu ión Primero re onoz amos las proposi iones P
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LEYES LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
p : Entrenar debidamente. q : Cometer infra
iones. s : Cumplir buen papel deportivo.
Enton es la proposi ión se representa en forma lógi a: (p∧ ∼ q) → s
Hallando la forma equivalente (p∧ ∼ q) → s ∼ (p∧ ∼ q) ∨ s [∼ p∨ ∼ (∼ q)] ∨ s [∼ p ∨ q] ∨ s ∼ p ∨ (q ∨ s)
Por Por Por Por
10 a 9a 4 7b
Por lo que tenemos: ∼ p ∨ (q ∨ s) Finalmente la forma equivalente sería. no entrenar debidamente, o ometer infra
iones o umplir buen papel deportivo.
5. Utilizando las leyes lógi as demostrar las siguientes tautologías. a) p → (q∧ ∼ q) ⇔∼ p b) (p → q) ↔ p ⇔ p ∧ q
) ∼ (p ↔ q) ⇔∼ p ↔ q Solu ión:
∼ (p ↔ q)
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
∼ [(p → q) ∧ (q → p)] ∼ (p → q)∨ ∼ (q → p)] (p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] [(p∧ ∼ q)∨q]∧[(p∧ ∼ q)∨ ∼ p] [p ∨ q] ∧ [∼ q∨ ∼ p] [∼ p → q] ∧ [q →∼ p] ∼p↔q
por por por por por por por
11, a) 9, a) 10, b) 8, a) 12, d) 10, a) 11, a)
Por lo tanto umple. d) (p → r) ∨ (q → r) ⇔ (p ∧ q) → r
6. Simpli ar ada una de las proposi iones a) [(p∨ ∼ p) ∨ q] ∧ [(∼ q ∨ r) ∧ (q∨ ∼ q) ∧ {p → [∼ q ∨ (p∨ ∼ q)]}] b) [(∼ p ∨ q) ∧ (∼ q∨ ∼ p)] ↔ p P
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LEYES LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ejer i ios de leyes lógi as 1. Demuestre que las bi ondi ionales siguientes son equivalen ias lógi as: A) (p → q) ⇔ (∼ p) ∨ q B) (p↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p) C) ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q 2. Simpli ar utilizando las leyes lógi as: A) (q →∼ p) ∨ (∼ r →∼ p) B) ∼ (q →∼ p) ↔ (q ∨ p) C) {(∼ p∧ ∼ q)∨ ∼ q} ↔∼ [(p∨q) ∧ q] D) ∼ (p → q) ↔ [(p ∨ q)∧ ∼ q] 3. Si p ↓ q ≡ (∼ p) ∧ (∼ q), enton es ¾a uáles es equivalente ∼ (p ↔ q)?: A) [(∼ p) ↓ q] ∨ [q ↓ p] B) [(∼ p) ↓ q] ∨ [(∼ q) ↓ p] C) [(∼ p) ↓ (∼ q)] ∨ [q ↓ p] 4. Si p ↓ q ≡ (∼ p) ∧ (∼ q), ¾Cuáles de las siguientes proposi iones son tautologías? A) [(p ↓ q) ↓ (q ↓ p)] ↔ (p ∨ q) B) ∼ (p ∧ q) ↔ [p ↓ q] C) (p ↓ q) ↔∼ (p ∨ q) D) ∼ (p ↓ q) ↔ p △ q 5. ¾Cuántas F y uántas V tiene el resultado de la tabla de verdad de: ∼ [(p ∧ q) →∼ r] ∧ (s∧ ∼ s) después de simpli arla?. 6. Determinar los siguientes esquemas más simples equivalentes a las proposi iones: A) ∼ [∼ (p ∧ q) →∼ q] ∨ p B) [(p → q)∨ ∼ p] ∧ (∼ q → p) C) ∼ {∼ [∼ (∼ p ∧ q)∧ ∼ q] → [∼ (p∨ ∼ q)]} D) {[(∼ p∧ ∼ q) ∨ p ∨ q] ∧ [(p∧q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) ∨ p]} ∧ (∼ q) E) [∼ (∼ p →∼ q) ↔∼ (p ∨ q)] ∨ [p → (∼ p ∧ q ∧ r)]
P
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INFERENCIAS LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Inferen ias lógi as Una inferen ia es una opera ión que onsiste en derivar a partir de la verdad de iertos proposi iones ono idas omo premisas a la verdad de otra proposi ión on lusión, esto es, Sean p1 , p2 , p3 , . . ., pn , proposi iones llamadas premisas y q una proposi ión llamada on lusión. A partir de las eviden ias de p1 , p2 , p3 , . . ., pn dan la verdad de la on lusión q . Si p1 , p2 , p3 , . . ., pn son verdaderas, enton es q también es verdadera.
Análisis de inferen ia mediante las tablas de verdad Una inferen ia es valida mediante la tabla de la verdad si y sólo si al ser formalizada y evaluada su fórmula ondi ional es una tautología, o en otros asos la inferen ia no es válida.
Pasos a seguir
1. Se ordena la inferen ia, pero en el aso se su forma lógi a haya sido alterado en el lenguaje natural observando el esquema premisa on lusión. 2. Se explí ita en forma lógi a. 3. Se halla su fórmula, expresando simbóli amente sus premisas y on lusión. 4. Se onstruye una formula ondi ional que tenga omo ante edente a las premisas unidas por el operador onjuntivo "∧ y omo onse uente la on lusión. 5. Se evalúa la fórmula mediante la tabla de verdad.
Ejemplo 1.0.8. De ir si la inferen ia El triángulo se llama isos eles si tiene dos lados iguales. No se llama isós eles. En onse uen ia no tiene dos lados iguales. es valida o no. Solu ión: Ha iendo los pasos a seguir:
1. La forma lógi a: P
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INFERENCIAS LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
a) Si el triángulo tiene dos lados iguales, enton es el triángulo se
llama isós eles. b) el triángulo no se llama isós eles.
en onse uen ia: El triángulo no tiene dos lados iguales.
) Expresando simbóli amente: p : El triángulo tiene dos lados iguales. q : El triángulo se llama isós eles.
P →q ∼q ∴∼ p
2. Construyendo en forma ondi ional. [(p → q)∧ ∼ q] →∼ p
3. evaluando en la tabla de verdad: pq
[(p → q)
∧
∼ q]
→
∼p
VV VF FV FF Pasos
V F V V 1
F F F V 3
F V F V 2
V V V V 5=3,4
F F V V 4
Por lo tanto la inferen ia es valida, pues el resultado de la tabla es Tautología.
Ejemplo 1.0.9.
El pueblo es una masa pasiva que sigue bien las ideas de un gran hombre, o bien los pre eptos de la idea absoluta. Sigue los pre eptos de la idea absoluta. Por lo tanto no sigue las ideas de un gran hombre.
La inferen ia es válida. Solu ión: En la on lusión de la inferen ia podemos ver que hay doble nega ión.
P
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INFERENCIAS LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
1. Forma lógi a. a) El pueblo es una masa pasiva que sigue bien la ideas de un
gran hombre o el pueblo es una masa pasiva que sigue bien los pre eptos de la idea absoluta. b) El pueblo es una masa pasiva que sigue los pre eptos de la idea absoluta. Luego: El pueblo es una masa pasiva que no sigue las ideas de un gran hombre. 2. Expresar en forma lógi a p : El pueblo es una masa pasiva que sigue bien las ideas de una gran hombre. q : El pueblo es una gran masa pasiva que sigue bien los pre eptos de la idea absoluta. p∨q q ∴∼ p
3. Construyendo a forma ondi ional. [(p ∨ q) ∧ q] →∼ p
4. Analizando en la tabla de verdad. pq
[(p ∨ q) ∧
q]
→
∼p
VV VF FV FF Pasos
V V V F 1
V F V F 2
F V V V 5=3,4
F F V V 4
V F V F 3
La inferen ia es invalida pues la tabla de verdad no da una Tautología.
Ejemplo 1.0.10. Determinar si p ∨ q es una onse uen ia valida de ∼ p →∼ q , ∼ q → r,∼ r. P
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INFERENCIAS LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Solu ión: Las premisas son p1 ≡∼ p →∼ q , p2 ≡∼ q → r ,p3 ≡∼ r y
la on lusión es Q ≡ p ∨ q , debemos mostrar que: [(∼ p →∼ q) ∧ (∼ q → r) ∧ (∼ r)] → p ∨ q es una tautología. Veamos en la tabla de verdad: n = 3 enton es 23 = 8, tiene o ho permuta iones posibles la inferen ia. pqr
[(∼ p →∼ q) ∧
(∼ q → r) ∧
(∼ r)]
→
p∨q
VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF Pasos
V V V V F F V V 1
V V V F V V V F 2
F V F V F V F V 3
V V V V V V V V 7=6,5
V V V V V V V V 6
V V V F F F V F 5=1,4
F V F F F F F F 4=2,3
por lo tanto, la inferen ia es valida.
Análisis de inferen ia por el método abreviado Cuando el número de las proposi iones pasa de tres se forma muy engorroso el método de la tabla, por eso se ha e el siguiente método . El pro edimiento es inverso, empieza de mayor jerarquía "→ para pasar al los de menor jerarquía terminando en las variables (valores de verdad) de ada proposi ión. Pasos a seguir: 1. Se supone verdadero el ante edente (Hipótesis) y falsa el onse uente ( on lusión). 2. Se determina los valores de la variable del onse uente de manera que exprese la falsedad de esta inferen ia 3. Se traslada los valores al ante edente y se designa loa valores de los demás variables (proposi iones), tratándose de ha er verdadero al ante edente. P
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INFERENCIAS LÓGICAS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
4. Se se veri a la hipótesis, la inferen ia es no Tautología (No es valida), y si no se veri a la hipótesis la formula sera Tautología (será una inferen ia valida)
Ejemplo 1.0.11. Mediante el método abreviado diga si la inferen ia es válida o no.
p ↔∼ q r∨q ∼r ∴∼ q Solu ión: Sigamos los pasos de la inferen ia
1. [(p ↔∼ q) ∧ (q ∨ r)∧ ∼ r] →∼ q suponemos que: [(p ↔∼ q) ∧ (q ∨ r)∧ ∼ r] →∼ q ≡ F
enton es
[(p ↔∼ q) ∧ (q ∨ r)∧ ∼ r] ≡ V y ∼ q ≡ F
2. q ≡ V 3. p ↔∼ q ≡ V , q ∨ r ≡ V , ∼ r ≡ V 4. Vemos que: p ≡ V , q ≡ V , r ≡ F Notamos que, en la inferen ia que no hay ninguna ontradi
ión, enton es la inferen ia no es válida.
Ejemplo 1.0.12. Si
Raúl parti ipa en el omité ele toral de la Universidad, enton es los estudiantes se enojarán on él, y si no parti ipa en un omité ele toral de la Universidad, las autoridades universitarios se enojaran on él, Pero Raúl parti ipará en un omité ele toral de la universidad. Por lo tanto, los estudiantes universitarios o las autoridades se enojarán on él.
Diga se la inferen ia es válida o no. Solu ión: Seas las proposi iones ompuestas: p : Raul parti ipa en el omité ele toral de la Universidad. q : Los estudiantes Universitarios se enojarán on él. P
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
s : Las autoridades universitarias se enojarán on él.
Enton es la inferen ia es:
p→q ∼p→s p∨ ∼ p ∴q∨s
luego el esquema mole ular es: [(p → q) ∧ (∼ p → s) ∧ (p∨ ∼ p)] → (q ∨ s)
1. Supongamos de la inferen ia es Falsa. [(p → q) ∧ (∼ p → s) ∧ (p∨ ∼ p)] → (q ∨ s) ≡ F
2. Como q ∨ s ≡ F , enton es q ≡ F y s ≡ F 3. Vemos que: q ≡ F y p → q ≡ V enton es p ≡ F s ≡ F , ∼ p ≡ V y ∼ p → s ≡ V enton es s ≡ V p∨ ∼ p ≡ V enton es p ≡ V o F Por lo tanto, La inferen ia es válida.
Análisis de inferen ia por el método analíti o: Para este método es ne esario ha er una lista de impli a iones tables: 1.
no-
Ley del Modus Ponens: Su esquema mole ular es: p → q p ∴q
2.
Ley del Modus Tollens: Su esquema mole ular es: p → q ∼q ∴∼ p
P
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3.
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ley del Silogismo disyuntivo: Su esquema mole ular es: p ∨ q ∼p ∴q
4.
Ley de la inferen ia equivalente: Su esquema mole ular es: p ↔ q p ∴q
5.
Ley del Silogismo Hipotéti o: Su esquema mole ular es: p → q q → r ∴p → r
6.
Ley de la transitividad simétri a: Su esquema mole ular es: p ↔ q q ↔ r ∴p ↔ r
7.
Ley de la simpli a ión:Su esquema mole ular es: p ∧ q ∴p
8.
Ley de Adi ión: Su esquema mole ular es: p ∴p∨q
9.
Ley del Absurdo: Su esquema mole ular es: p → (q∧ ∼ q) ∴∼ p
P
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ejemplo 1.0.13. Demuestre que la inferen ia es válida, mediante el método analíti o.
{[(p ∧ q) ∧ r] → s} ∧ [p ∧ (q ∧ r)] → s.
Solu ión: Su esquema lási o es:
(p ∧ q ∧ r) → s (p ∧ q ∧ r) ∴s
por Modus Ponens (1), la inferen ia es válida
Ejemplo 1.0.14. Diga si la inferen ia es válida: Tanto
la dinámi a
omo la inemáti a estudian el movimiento. Por tanto la inemáti a estudia el movimiento. Solu ión:Llevando en forma lógi a:
La dinámi a estudia el movimiento y la inemáti a estudia el movimiento. Por lo tanto la inemáti a estudia el movimiento. Expresando simbóli amente: p : La dinámi a estudia el movimiento. q : La inemáti a estudia en movimiento. p ∧ q ∴q
La inferen ia es válida por simpli a ión (7)
Ejemplo 1.0.15. Demostrar que la inferen ia es válida. 1) 2) 3) 4)
p→q q→r ∼r p ∨ s/ ∴ s
Trabajaremos por la sugeren ia. De 1) y 2) on la ley del Silogismo hipotéti o (5), se tiene 5) p → r
De 3) y 5) on la ley del Moduns Tollens (2), se tiene 6) ∼ p
De 4) y 6) on la ley del Silogismo disyuntivo (3), se tiene 7) s P
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Por lo tanto, siguiente nuestras hipótesis llegamos a la on lusión, enton es la inferen ia es válida. Un trabajo para los estudiantes se puede ha er por a observa ión.
Ejemplo 1.0.16. Demostrar que la inferen ia es válida. 1) 2) 3) 4) 5)
p→q ∼ r →∼ q ∼ (∼ p∧ ∼ t) t→s ∼ r/ ∴ s
Solu ión: La inferen ia es equivalente a:
1) 2) 3) 4) 5)
p→q q→r ∼ p → t) t→s ∼ r/ ∴ s
6) 3) 4) 5)
p→r ∼ p → t) t→s ∼r
De 1) y 2), tenemos
De 3) y 4), tenemos 6) 7) 5)
p→r ∼ p → s ≡∼ s → p ∼r
De 7 y 6), tenemos 8) 5)
∼s→r ∼r
nalmente, de 8) y 5), tenemos s
Por lo tanto la inferen ia es válida P
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ejer i ios de Inferen ia y demostra iones Diga si las siguientes inferen ias son validas o no, los números impares por medio de Método Analíti o, los números pares por el Método abreviado y ompruebe su resultado on el Método de la tabla de verdad. 1. Veri que la validez de los siguiente argumentos: A)
p ∧ q p → ∼ q/ ∴∼ q B)
(p ∧ q) → (r ∧ s) ∼ q ∨ ∼ s/ ∴ (∼ p)∨ ∼ q C)
p ∧ (p ∨ q) (p ∨ q) → r r → r/ ∴ s C)
r → ∼q p → q ∼ r → s/ ∴ p → s 2. Si el niño, el adoles ente y el an iano son abandonados, enton es son protegidos por el estado. Pero el niño es abandonado, también el an iano. Luego, tanto el niño oo el an iano son protegidos. 3. Sin mandato judi ial ni autoriza ión de la persona que lo habita, no se puede ingresar en el domi ilio, tampo o efe tuar investiga ión. Pero se ingreso al domi ilio y efe tuó la investiga ión. En onse uen ia, hubo mandato judi ial y autoriza ión de la persona que lo habita. 4. Un número es divisible por 2 si la ultima ifra de di ho número es múltiplo de 2. Un número es por 3 si la suma de las ifras de di ho P
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
número es múltiplo de 3. Pero di ho número no es divisible por 2 o no lo es por 3. Por tanto, la suma de las ifras de un número no es múltiplo de 3 si la última ifra de un número es múltiplo de 2. 5. Sin de ano ni onsejo de fa ultad no hay gobierno de la fa ultad ni demo ra ia. Pero es falso que haya gobierno de la fa ultad o haya demo ra ia. Por lo tanto, es falso que haya de ano o haya onsejo de fa ultad. 6. los profesores ordinarios son prin ipales, aso iados y auxiliares. Los profesores extraordinarios son eméritos, honorarios, investigadores, y visitantes. Luego, los profesores ordinarios son prin ipales, aso iados y auxiliares. 7. O no ingresaste a la universidad o no onseguiste el empleo, pues es
ierto que no vendes tu asa si ingresas a la universidad y onsigues un empleo; y tu vendiste tu asa. 8. Diga si las siguientes inferen ias son verdades. A)
p ∧ q ∼ p → q/ ∴∼ q B)
(p ∧ q) → (r ∧ s) ∼ q ∨ ∼ s/ ∴ (∼ p)∨ ∼ q C)
p ∧ (p ∨ q) (p ∨ q) → r r → r/ ∴ s C)
r → ∼q p → q ∼ r → s/ ∴ p → s 9. Sea n un número entero, demuestre que ni n2 es múltiplo de 3, enton es es también múltiplo de 3. P
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
10. Demuestre que no existe ningún numero ra ional q tal que q 2 = 3. 11. Dados los argumentos siguientes determine en ada aso si es un argumento Válido o si es una fala ia tradu iendo previamente a símbolos. A) Si 6 es impar, enton es 4 no divide a 7 5 no es primo o 4 divide a 7 Pero 5 es primo
∴ 6 es par (no primo) B) Trabajo o apruebo lenguaje Si trabajo no puedo estudiar Aprobé lenguaje
∴ Por lo tanto, yo estudié C) si trabajo no puedo estudiar Estudio o apruebo Quími a Trabajé
∴ Por lo tanto, aprobé Quími a
Cir uitos Lógi os Un ir uito elé tri o es un ensamblaje de interruptores automáti os que permiten el paso de la orriente elé tri a, o la interrup ión. Se puede representar un interruptor mediante una proposi ión p , y vi eversa, de modo que se identi que el valor verdadero (V ) de la proposi ión p on el paso de la orriente en uyo aso de di e que p el ir uito esta errado y se representa omo , y falso (F ) on la interrup ión de la orriente y se representa omo p . Existen don tipos de ir uitos lógi os y son 1.
Cir uito en Serie: Son aquellos provistos de dos interruptores p y q , one tados en serie:
P
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CAPÍTULO 1.
p
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q
En este ir uito, no pasa orriente. y la representa ión de lógi a de este ir uito esta on el one tivo ∧, esto es, ∼ p∧ ∼ q p q En este ir uito, pasa orriente. enton es en ir uito on el one tivo lógi o ∧ es p ∧ q . 2.
Cir uito en Paralelo: Son aquellos provistos de dos interruptores p y q , one tados en Paralelo: q p En este ir uito, no pasa orriente. y la representa ión de lógi a de este ir uito esta on el one tivo ∨, esto es, ∼ p∨ ∼ q q
p En este ir uito, pasa orriente. enton es en ir uito on el one tivo lógi o ∨ es p ∨ q .
Observa ión: Algunas ve es tendremos la representa ión V ≡ 1 y F ≡ 0.
Ejemplo 1.0.17. En los siguientes ejer i ios, tenga en uenta la forma
omo esta los paréntesis para poder ha er lo que se le pide. 1. Diseña el ir uito lógi o de la siguiente proposi ión: (p∨ ∼ q)∨ ∼ r Solu ión: ∼r
∼r
∼q
1)
p∨ ∼ q
p
P
2)
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
2. Diseña el ir uito lógi o de la siguiente proposi ión: [p ∧ (r∨ ∼ q)] ∨ [q∧ ∼ r] Solu ión: q
q∧ ∼ r
∼r
r p
p ∧ (r∨ ∼ q)
1) q
∼r
p
r∨ ∼ q
2)
∼q
3)
3. Diseña el ir uito lógi o de la siguiente proposi ión: [(p ∧ q ∧ r) ∨ (∼ p ∧ q ∧ r)]∨ ∼ r
Ejemplo 1.0.18. Determinar el ir uito mas simple equivalente al ir uito
p
∼q
∼p
q
Ejemplo 1.0.19. Determinar el ir uito mas simple equivalente al ir uito
∼p
∼q p
p ∼r q
q
∼p
Solu ión El esquema mole ular que representa el ir uito es:
[(∼ p∧ ∼ q) ∨ (p ∨ q)] T T T
P
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∧ ∧ ∧ ∧ [p ∨ q] 44
{p ∨ [q ∧ (∼ p∨ ∼ r)]} (p ∨ q) ∨ (q∧ ∼ r) [p ∨ (q ∨ (q∧ ∼ r))] [p ∨ q]
R
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
p q
Por lo tanto, el ir uito es
Ejemplo 1.0.20. Sea A el ir uito lógi o mas simple orrespondiente
a la proposi ión [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ∧ [(p ∧ s) ∨ (p∧ ∼ s)], y B ir uito lógi o mas simple equivalente a: q
∼p
∼q
∼p
q
q
Hallar el ir uito mas simple de A → B Solu ión:Hallas los ir uitos A y B: A A A A
≡ ≡ ≡ ≡
[(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ∧ [(p ∧ s) ∨ (p∧ ∼ s)] [p ∧ (q ∨ r)] ∧ [(p ∧ (s∨ ∼ s)] p ∧ (q ∨ r) ∧ p ∧ T p ∧ (q ∨ r)
y Ahora para el ir uito B . B ≡ [(∼ p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ∧ (∼ q ∨ q) B ≡ (∼ p ∧ q) ∧ T B ≡ (∼ p ∧ q)
nalmente Hallemos que A → B A→B A→B A→B A→B
≡ ≡ ≡ ≡
p ∧ (q ∨ r) → (∼ p ∧ q) ∼ p ∨ (∼ q∧ ∼ r) ∨ (∼ p ∧ q) ∼ p ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (∼ q∧ ∼ r) ∼ p ∨ (∼ q∧ ∼ r) ∼q ∼p
Por lo tanto el ir uito es
P
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∼r
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ejemplo 1.0.21. Si se tiene el siguiente diagrama de un ir uito booleano: a
b
a
∼b
∼a
∼b
Hallar: 1. Simbolizar el ir uito lógi o, determinando las posibilidades de fun ionamiento del ir uito (Tabla de verdad) 2. Simpli ar a su mínima expresión; determinando en ésta las posibilidades de fun ionamiento del ir uito. 3. Comparar los resultado Solu ión:
1. La simboliza ión del ir uito es: (a ∧ b) ∨ (a∧ ∼ b) ∨ (∼ a∧ ∼ b)
Hallando las posibilidades de fun ionamiento ab
(a ∧ b) ∨
(a∧ b)
11 10 01 00 Pasos
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
1 1 0 0 3
∼ ∨
(∼ a∧ ∼ b)
1 1 0 1 5
0 0 0 1 4
2. Simpli ando: A A A A
≡ ≡ ≡ ≡
(a ∧ b) ∨ (a∧ ∼ b) ∨ (∼ a∧ ∼ b) [a ∧ (b∨ ∼ b)] ∨ (∼ a∧ ∼ b) a ∨ (∼ a∧ ∼ b) a∨ ∼ b)
Hallando las posibilidades de fun ionamiento P
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CAPÍTULO 1.
ab
a∨ ∼ b
1 1 0 0
1 1 0 1
1 0 1 0
LÓGICA PROPOSICIONAL
3. Ambas tablas de verdad son idénti os, esto quiere de ir que si del interruptor a no pasa orriente y del interruptor b para orriente enton es en todo el ir uito no pasará orriente elé tri a.
Ejemplo 1.0.22. Simpli ar el ir uito lógi o. ∼s
t
t
∼s
∼t ∼r r
Solu ión: simbolizando se tiene:
{(∼ s ∧ t) ∧ [(∼ s ∧ t)∨ ∼ r]∧ ∼ t} ∨ r {(∼ s ∧ t)∧ ∼ t} ∨ r {(∼ s ∧ C} ∨ r r
Ejemplo 1.0.23. Si D ≡ [(p ∧ r) ∨ (p∧q)] ∧ [(p∧ ∼ s) ∨ (p ∧ s)] ∼q
q
∼p
∼p
q
q
S≡
halle el ir uito simpli ado de ∼ S → D Solu ión: Simpli ando se tiene: D ≡ ≡ ≡ ≡ ≡
P
[(p ∧ r) ∨ (p ∧ q)] ∧ [(p∧ ∼ s) ∨ (p ∧ s)] [p ∧ (r ∨ q)] ∧ [p ∧ (∼ s ∨ s)] [p ∧ (r ∨ q)] ∧ [p ∧ T ] [p ∧ (r ∨ q)] ∧ p p
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CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Simbolizando y simpli ando. S ≡ ≡ ≡ ≡
[(∼ q ∧ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ∧ [∼ p ∨ q] [C ∨ (∼ p ∧ q)] ∧ [∼ p ∨ q] ∼ p ∧ q ∧ [∼ p ∨ q] ∼p∧q
por lo tanto: ∼ S → D ≡∼ (∼ p ∧ q) → p ≡ (∼ p ∧ q) ∨ p ≡ p ∨ q
Ejer i ios de Cir uitos lógi os 1. Determinar los ir uitos lógi os que representan a los siguientes esquemas mole ulares: A) ∼ [p →∼ (q ∨ r)] B) (p ∨ q) → [(∼ p ∨ q) → (p ∧ q)] C) {[(r ∨ q) ∧ p]∨ ∼ r} ∧ q 2. Determinar la menor expresión que representa al ir uito dado: A) p
q
∼p
∼q ∼p B)
∼p
∼p
∼p p q C)
P
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CAPÍTULO 1.
p
p
LÓGICA PROPOSICIONAL
q
p
r ∼q ∼q
D)
∼p ∼q
p
q
p
∼p
q
q
E)
q p
∼q
p
r ∼q
r p
r
s
∼s ∼r
∼p
q
∼r
∼q
∼r
∼s
3. Simbolizar las proposi iones, luego ha er el ir uito lógi o, luego simpli ar, además ha er el ir uito equivalente y es ribir en palabras.
a ) Si no se puede pes ar an hoveta ni atún, enton es las aguas del
mar peruano se han enfriado o alentado ex esivamente. Las aguas del mar peruano se han alentado a enfriado ex esivamente. Por lo tanto, no se puede pes ar an hoveta si atún.
b ) La tragedia de la Mesa Redonda dejo er a a tres ientos muertos, dos ientos desapare idos, más de dos ientos in uenta heridos y sete ientos lo ales devastados. En onse uen ia, dejo diez millones de dólares en perdidas materiales.
) Si el Presidente de Chile designa omo ministra de defensa a
una mujer, médi a y madre de tres hijos, enton es rompe la tradi ión ma hista de sus fuerzas armadas. El presidente de Chile designo oo ministra de defensa a una mujer, médi a y
P
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CIRCUITOS LÓGICOS
CAPÍTULO 1.
LÓGICA PROPOSICIONAL
madre de tres hijo. Luego rompió la tradi ión ma hista de sus fuerzas armadas.
P
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Bibliografía [1℄ ESPINOZA RAMOS, Eduardo, Matemáti a Bási a., Editorial Edukperú E.I.R.L.: Quinta edi ión, Lima-Perú, 2009 [2℄ FIGUERO GARCIA, Ri ardo, Matemáti a Bási a. Editorial Améri a. [3℄ HAASER, Norman B. LASALLE, Joseph P. SULLIVAN, Joseph A., Análisis Matemáti o I, Edi iones trillas. [4℄ K`ÁREINK. C. FRANCO PALLETE, A. RAMOS TAPIA, J. Matemáti a Bási a, Edirial Universit: de ima edi ión, LimaPerú, 2009. [5℄ VENERO B. Armando, Matemáti a Bási a, Edi iones Gemar: segunda edi ión, Lima-Perú, 2008. [6℄ ..., Lógi a de proposi iones, http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/filosofia/intro_logi a/1_parte.pdf.
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