Logica Proposicional

Lógica Matemática Capítulo 2: Lógica Proposicional Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería Licenciatura en Sistemas Computacionales

M. en C. Fabiola Martínez Juárez Pachuca, Hgo, 2010

Lógica Matemática

2010

Índice 1.

INTRODUCCIÓN........................................................................................... 1 1.1 CONECTORES LÓGICOS ....................................................................... 1

1.2

1.1.1

Y .................................................................................................. 2

1.1.2

O .................................................................................................. 2

1.1.3

NO ............................................................................................... 2

1.1.4

SI... ENTONCES.......................................................................... 3

1.1.5

… SI Y SOLO SI …................................................................... 3

REGLAS DE FORMACIÓN (fórmulas bien formadas – fbf) ................. 3 Actividad 1.1 ............................................................................................. 4

1.3

REGLAS DE PRIORIDAD .................................................................... 4 Actividad 1.2 ............................................................................................. 5

1.4

INTERPRETACIÓN SEMÁNTICA (valores de verdad) ........................ 5 Actividad 1.3 ............................................................................................. 5 1.4.1

Conjunción ................................................................................... 6

1.4.2

Disyunción ................................................................................... 6

1.4.3

Negación ...................................................................................... 7

1.4.4

Condicional .................................................................................. 7

1.4.5

Bicondicional ................................................................................ 7

Actividad 1.4 ............................................................................................. 7 Actividad 1.5 ............................................................................................. 8

i Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1. INTRODUCCIÓN El cálculo de proposiciones o lógica proposicional es una lógica simbólica para la manipulación de proposiciones. En particular se ocupa de las variables lógicas que representan proposiciones. Una proposición es cualquier oración que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. La proposición es el elemento fundamental de la lógica proposicional. Recordemos que las oraciones del lenguaje ordinario se clasifican en cuatro tipos: TIPO Imperativo Interrogativo Exclamativo Declarativo

EJEMPLO Cierra la ventana ¿Qué es eso? ¡Eso es grandioso! Un cuadro tiene cuatro lados.

Como se puede observar, solo las oraciones declarativas pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto son proposiciones válidas. Sin embargo, las oraciones imperativas, interrogativas y exclamativas no pueden tomar un valor de verdad, ya que son órdenes, preguntas o exclamaciones de emociones. Por tanto, este tipo de oraciones no son proposiciones válidas. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, generalmente las letras p, q, r, s,… y la proposición propiamente dicha. Ejemplo: p: La tierra es plana. q: La puerta está cerrada. A las proposiciones que no pueden dividirse se llaman proposiciones simples o atómicas. También se llaman proposiciones atómicas a las constantes V y F que representan Verdadero y Falso. Si se juntan una o varias proposiciones atómicas con un término de enlace, se tiene una proposición compuesta.

1.1 CONECTORES LÓGICOS Considere las siguientes proposiciones: p: Hoy es sábado q: No hay clase Mediante un término de enlace se pueden unir y se tendrá una proposición compuesta. Por ejemplo, se puede decir: Hoy es sábado y no hay clase. Esta proposición compuesta se ha construido con dos proposiciones y el término de enlace «y», ya que este término no forma parte de ninguna de las proposiciones atómicas. En lógica proposicional se utilizan los términos de enlace «no», «y», «o», «si… entonces», «… si y solo si… », y se denominan CONECTORES LÓGICOS. Nótese que el primer término actúa sobre una sola proposición y que los otros actúan sobre dos proposiciones a la vez.

1 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1.1.1

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Y La unión de dos proposiciones con la palabra «y» se denomina CONJUNCIÓN de las dos proposiciones. Su símbolo es  y su forma es ( ) y ( ). Ejemplo: p: El terreno es muy rico q: Hay suficiente agua p  q: El terreno es muy rico y hay suficiente agua. Palabras como “pero”, “además”, “mas aun”, “a la vez”, también denotan conjunción. Ejemplo: p  q: El gana más de $5000 pero menos de $8000. p: El gana más de $5000. q: El gana menos de $8,000. Hay veces que «y» no denota conjunción. Ejemplo: María y Pedro son primos (no es conjunción).

1.1.2

O La unión de dos proposiciones por medio de la palabra «o» se denomina DISYUNCIÓN de las dos proposiciones. Su símbolo es  y sus formas son: ( )o( ) O ( ) o ( ). Ejemplos: p  q: El bote cruzó o se lo tragaron las olas. p: El bote cruzó q: Se lo tragaron las olas r  s: O es un animal o es una planta.* r: Es un animal s: Es una planta * No cometer el error de escribir la disyunción como:  r  s

1.1.3

NO Cuando se le añade a una proposición el término «no» se le denomina NEGACIÓN de la proposición. Su símbolo es  y su forma: no ( ). En el lenguaje cotidiano se acostumbra encontrar la palabra “no” dentro de la proposición, sin embargo, en lógica lo consideraremos separado de la proposición sobre la que actúa. Ejemplo: p: Las elecciones presidenciales siempre terminan en armonía. ¬ p: Las elecciones presidenciales no siempre terminan en armonía.

2 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1.1.4

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SI... ENTONCES La unión de dos proposiciones mediante las palabras «si… entonces» se denomina una CONDICIONAL. Su símbolo es  y sus formas son: Si ( ), entonces ( ) Si ( ), ( ) ( ), si ( ) Ejemplo: p: Suena el timbre q: Es hora de empezar la clase p  q: Si suena el timbre, es hora de empezar la clase La proposición situada entre las palabras «si» y la palabra «entonces», se denomina antecedente, y a la proposición que sigue a la palabra «entonces» se le denomina consecuente.

1.1.5

… SI Y SOLO SI … La unión de dos proposiciones mediante las palabras «si y solo si» se denominan BICONDICIONAL. Su símbolo es  y su forma es: ( ) si y solo si ( ). p: x es par q: x es divisible por 2 p  q: x es par si y solo si es divisible por 2. p  q  (p  q)  (q  p)

Los conectores se pueden utilizar con una o más proposiciones compuestas, de la misma manera que con las atómicas, por ejemplo: 

Si un número es mayor que cero, entonces no es un número negativo. p: un número es mayor que cero q: es un número negativo p ¬ q: Si un número es mayor que cero, entonces no es un número negativo.



Si x > 10, entonces x + z > 10 y y + z > 10. p: x > 10 q: x + z > 10 r: y + z > 10 p  (q  r): Si x > 10, entonces x + z > 10 y y + z > 10.

1.2 REGLAS DE FORMACIÓN (fórmulas bien formadas – fbf) Una vez que conocemos nuestro vocabulario básico, proposiciones y conectores, el siguiente elemento que tenemos que definir son las reglas de formación que nos permitan determinar si una formula cualquiera pertenece o no a nuestro calculo, es decir si es una formula bien formada (fbf). Definición recursiva de una fbf 1) Cualquier proposición atómica es una fbf. 2) Si w1 y w2 son formulas bien formadas, también lo serán:  w1  w2

3 Capítulo 2: Lógica Proposicional

Lógica Matemática   

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w1  w2 w1  w2 w1

Ejemplos de fbf ó expresiones correctas  s  t,  (p  q)  r  r  (p  q)  (q  r)   s

Actividad 1.1 Formaliza en el lenguaje del cálculo de proposiciones las siguientes oraciones del lenguaje natural.

1) No llovió ayer. 2) Llueve, nieva y graniza. 3) Llueve, nieva ó graniza. 4) Si llueve habrá buena cosecha. 5) Habrá buena cosecha si llueve. 6) No llueve, pero nieva. 7) Si nieva y hace sol podremos esquiar. 8) No es cierto que llueve y me moje. 9) Si no llueve y no nieva entonces o hace sol o hay niebla. 10) No es cierto que si llueve y me mojo, entonces me resfriare.

1.3 REGLAS DE PRIORIDAD a) El conector  tiene la prioridad más alta. b) Para los demás conectores,  tiene la prioridad más alta, seguido de ,  y . pqr p qr p  q r

Debe entenderse como

(p  q)  r p  (q  r) p  (q  r)

Utilizamos los paréntesis si es necesario cambiar la prioridad de los conectores. Estos igual nos indican cual es el conector dominante de cada proposición.

4 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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Actividad 1.2 Traduce las siguientes oraciones al cálculo proposicional. Indica cual es el conector dominante y si se requiere de paréntesis

1. Jorge es el capitán o José es el capitán, y Carlos es el Teniente. 2. Pedro es el Presidente, y o Juan es tesorero o José es tesorero. 3. Sí x < 2, entonces x = 1 ó x = 0. 4. Si x < 3 y x > 1 entonces x = 2. 5. y = 4 y sí x < y entonces x < 5. 6. Él está equivocado y yo tengo la razón, o quedaré sorprendido. 7. No ocurre que, ó Pedro es el más alto ó Juan es el más alto.

1.4 INTERPRETACIÓN SEMÁNTICA (valores de verdad) Una proposición formalizada por la variable p podrá tener el valor verdadero o falso. Expresando esto en forma de tabla obtendremos lo siguiente: p V F Si p y q son 2 variables proposicionales, las posibles combinaciones de sus valores de verdad serán: p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

En general, dado un número n de proposiciones, el número de combinaciones posibles de sus n valores de verdad será 2 . Así para n = 3, sus combinaciones serán 8; para n = 4, 16; etc.

Actividad 1.3 Desarrollar las tablas para 3 y 4 proposiciones.

5 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1.4.1 Conjunción La conjunción es verdadera cuando sus 2 proposiciones componentes son verdaderas. Es 1 2 una conexión binaria y simétrica : pqqp p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

1.4.2 Disyunción La disyunción es verdadera cuando al menos una de sus 2 proposiciones componentes es verdadera. Es una conexión binaria y simétrica: pqqp p

q

pq

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

La disyunción puede interpretarse de dos maneras distintas a) b)

Disyunción exclusiva. Si se da una de las alternativas no se da la otra. Disyunción inclusiva. Se puede dar una u otra de las alternativas o las 2 a la vez.

Desde el punto de vista lógico, es mayor la importancia de la disyunción inclusiva. Disyunción Exclusiva p

q

pq

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

1

Binaria: requiere de 2 proposiciones que estén unidas mediante la conexión. Simétrica: el orden de las 2 proposiciones unidas mediante la conexión no afecta el valor de verdad de la expresión resultante. 2

6 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1.4.3 Negación La negación invierte el valor de la proposición. Si p es verdadera,  p es falsa y viceversa. Es una conexión unitaria, solo niega a una única proposición. p

p

V

F

F

V

1.4.4 Condicional Expresa la condición suficiente pero no la necesaria, será falso, cuando el antecedente sea verdadero y su consecuente sea falsa. Es una conexión binaria pero no simétrica: pq≠qp p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

En la lógica, todo condicional cuya antecedente sea falso, se considera trivialmente verdadero. Ejemplo: Si llueve me mojo.

1.4.5 Bicondicional Expresa la condición suficiente y necesaria, será verdadera siempre que las 2 proposiciones tengan los mismos valores de verdad. Es una conexión binaria y simétrica p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Ejemplo: X es par si y solo si X es divisible por 2

Actividad 1.4 Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas

7 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1) (p  r)  (p  s) 2)  ( p   q) 3) (q  (p  q))  p

Actividad 1.5 Calcula el valor de verdad de las siguientes expresiones e indica alguna conclusión

a) b) c) d)

pp p p pV pF

p

pp

8 Capítulo 2: Lógica Proposicional

p p

pV

pF

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1.5 TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Dada una formula bien formada A:  A es una tautología si es verdadera para todos las combinaciones de valores de las variables que ocurren en A. Se simboliza ├ A.  A es una contradicción, si es falsa para todas las combinaciones de valores de las variables que ocurren en A.  Una expresión lógica que no sea ni tautología, ni contradicción se denomina Contingencia (casualidad / eventualidad).

1.6 EQUIVALENCIA Si A y B son 2 expresiones lógicas y si A y B tienen siempre el mismo valor de verdad para todas sus combinaciones de valores de las variables que ocurren en ellas, decimos que “A y B son lógicamente equivalentes”. Se simboliza A  B

Actividad 1.6 Realiza las siguientes demostraciones, utilizando tablas de verdad.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Demostrar que: ├ A si A =  (p  q)  q Demostrar que: ├ p   p Demostrar que: p   p es una contradicción Demostrar que: (p  q)   (p  q) es una contradicción Demostrar que: ( p   q)   (p  q) Demostrar que: (p  q)  (q   p)

9 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1.7 ELIMINACIÓN DE CONDICIONALES Y BICONDICIONALES 1. p  q   p  q 2. p q  (p  q)  (p  q) 3. p  q  (p  q)  (q  p)

1.8 LEYES ESENCIALES PARA LA LÓGICA PROPOSICIONAL NOMBRE

LEY

Ley del medio excluido

P  P  V

Ley de contradicción

P  P  F

Leyes de identidad Leyes de dominación Leyes de idempotencia

PFP PVP PVV PFF PPP PPP

Ley de la doble negación ( P )  P Leyes conmutativas Leyes asociativas Leyes distributivas Leyes de DeMorgan Leyes de absorción

PQQP PQQP (PQ)RP(QR) (PQ)RP(QR) (PQ)(PR)P(QR) (PQ)(PR)P(QR)  ( P  Q )  P  Q  ( P  Q )  P  Q P(PQ)P P(PQ)P

Actividad 1.7 Demuestra las leyes de la absorción. A  (A  B)  A

10 Capítulo 2: Lógica Proposicional

A  (A  B)  A

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Actividad 1.8 Simplifique las siguientes expresiones. 1) (p  q) 2) (p  q) 3) p  (p  q) 4) (p  r)  (p  r  s) 5) p  (q  p) 6) (p  V)  (q  V) 7) (r  (q  (p  r)) 8)  ( p   (q   r ) ) 9) p  ( p  (q  r) ) 10) (q  V)  ( p  q) 11) (q  r  s)  (q  r  s) 12) ( p  (q  s) ) v (q  s) 13) (p  (q  r) )  (q  r)  (p  r) 14) (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q) 15)  ( (p  q)  p) 16) (p  q)  (p  r)  [ p  (q   r) ] 17) p  (p  (q  r) ) 18) ( (p  q)  r )  q 19)  (p  q)  p 20)  p  (p  q) 21) (p  q)  q 22) [ p  (q  r) ]  (pq)

11 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1.9 TEORÍA DE LAS FORMAS NORMALES En la lógica proposicional existen 2 tipos de formas especiales a los que puede ser llevada toda fórmula bien formada. Estas formas especiales se denominan formas normales y pueden ser de dos tipos: formas normales disyuntivas (FND) y formas normales conjuntivas (FNC). Antes de dar una definición de las formas normales, revisemos 2 conceptos fundamentales: el concepto de disyunción elemental y el de conjunción elemental. 1) Disyunción elemental: Es una disyunción de un conjunto finito de variables proposicionales todas diferentes entre sí, que pueden estar afectadas por el signo de la negación. También una variable aislada, con negación o sin ella, y la constante “F” constituyen una disyunción elemental. Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

F (disyunción elemental de 0 miembros) p (disyunción elemental de un solo miembro) pq pqr pq pqrs

Ejemplos de expresiones que no son disyunciones elementales: 1. 2.

ppq p  q  q

2) Conjunción elemental: Es una conjunción de cualquier conjunto finito de variables proposicionales diferentes entre sí, que pueden estar afectadas o no por el signo de la negación. También una variable aislada, con negación o sin ella, y la constante “V” constituyen una conjunción elemental. Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

V p pq pq pqr pqrs

Ejemplos de expresiones que no son disyunciones elementales: 1. 2. 3.

(p  q) qpq r  r

1.9.1 Formal Normal Disyuntiva. Es una disyunción de un conjunto finito cualquiera de conjunciones elementales diferentes entre sí. Ejemplos: pq (p  q)  (p  q) (p  q   r)  (p  q  r)

12 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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(p  q   r)  (p   q)  (p  q  r) En la definición anterior no se excluyen los casos de disyunciones de un conjunto vació de miembros y disyunción de un solo miembro como es el caso de la primera expresión del ejemplo.

1.9.2 Forma Normal Conjuntiva. Es una conjunción de un conjunto finito cualquiera de disyunciones elementales diferentes entre sí. Ejemplos: pq (p  q  r)  (p  r) (p  q   r)  (p  q  r)  (  p  q) Al igual que las FND, las formas normales conjuntivas pueden ser de una sola disyunción elemental y de un conjunto vacío de ellas.

1.9.3 ¿Cómo obtener las formas normales?   

Eliminar  y  (convertir por su equivalente) Reducir el alcance de la negación Aplicar leyes conmutativas, asociativas y distributivas para obtener la estructura de la forma normal que se trate.

Actividad 1.9 Encontrar la FND y la FNC de las siguientes expresiones. 

p  (q  r)



 ( (p  q)  r



(p  q)  (q  r)



(p  q)  (p  r  q)

13 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1.10 SISTEMAS DE DEDUCCIÓN NATURAL Hasta ahora hemos visto los elementos que constituyen el lenguaje de la lógica, pero todavía no sabemos que podemos hacer con ellos. Si la lógica estudia los principios de inferencia valida, entonces un cálculo lógico nos podrá decir que esquemas de inferencia son validos y cuáles no. En general hay dos manera de constituir los cálculos; como un sistema de reglas o como un sistema de leyes. Un sistema de reglas nos propone un razonamiento y mediante la aplicación de reglas hay que determinar si ese razonamiento propuesto es válido o no lo es. Este tipo de sistemas parecen convenir mejor al modo en que razonamos normalmente, por eso se denominan SISTEMAS DE DEDUCCIÓN NATURAL. Un sistema de leyes, por el contrario, consiste en encontrar todas las leyes lógicas que pueden derivarse de un conjunto reducido de leyes a los que denominamos axiomas, y que aceptamos como verdaderos por su auto-evidencia. Estos tipos de sistemas se denominan SISTEMAS AXIOMÁTICOS y en ellos todo lo que se deriva es válido, porque el sistema asegura la validez de la deducción. Argumento correcto, conclusión verdadera

Argumento incorrecto, conclusión verdadera

Todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3 12 es múltiplo de 6 . 12 es múltiplo de 3

Todo número con exactamente dos divisores es primo 4 no tiene exactamente dos divisores (tiene tres: 1, 2 y 4).  4 no es primo

Todo hombre es mortal Sócrates es un hombre. Sócrates es mortal

Todo pingüino es ave Mi perro no es pingüino.  Mi perro no es ave

Argumento correcto, conclusión falsa

Argumento incorrecto, conclusión falsa

Todo múltiplo de 4 es par 5 es múltiplo de 4 . 5 es par

Todo múltiplo de 6 es par 8 no es múltiplo de 6 .  8 no es par

Todo ave es voladora El avestruz es ave .  El avestruz es voladora

Todo pez es nadador El delfín no es pez (es mamífero) . El delfín no es nadador

1.10.1 La lógica proposicional como sistema de deducción natural Empecemos con un conjunto de formulas que se denominan PREMISAS. El objetivo del juego de la lógica es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan a otros formulas que se de denominan CONCLUSIONES. El paso lógico de las premisas a la conclusión se denomina DEDUCCIÓN ó DERIVACIÓN. La conclusión que se obtiene se dice que es una CONSECUENCIA LÓGICA de las premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusión está permitido por una regla. Ejemplo: Si yo tengo como premisas las formulas P  Q y Veámoslo de la siguiente manera.

P ¿Qué conclusión podemos sacar?

Si llueve, entonces el cielo ha de estar nublado y llueve, ¿Qué podemos concluir? El cielo ha de estar nublado. PQ P Q

14 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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1.10.2 Reglas de inferencia Ahora ¿cuáles son las reglas que podemos utilizar? REGLAS DE INFERENCIA Ley de simplificación Ley de Conjunción Ley de adición disyuntiva Ley de Modus Ponens

Ley de Modus Tollens Ley de la contrapositiva Ley del silogismo hipotético

Ley del silogismo disyuntivo

Ley de casos

ESQUEMA pq p p q . p  q p . p  q pq p . q pq q . p pq . q  p pq qr . p  r pq p . q pq p  q . q

Ley de la inconsistencia (cualquier cosa, reducción al absurdo)

p p q

Regla de demostración condicional

pq p(q r) r

Regla de demostración por casos

p  r q  r . (p  q)  r

Regla del dilema constructivo

Regla del dilema destructivo

Introducción de la equivalencia

Eliminación de la equivalencia

15 Capítulo 2: Lógica Proposicional

pq q

.

pq q p

.

.

.

p  q r  s p r . qs p  q r  s q  s .  p  r pq qp . pq pq . p  q

pq . qp

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1.10.3 Forma típica de derivar Un argumento lo representamos de las siguientes maneras: (p1  p2  p3  ...  pn)  q p1 p2 p3 : pn q

p1, p2, p3 ... pn ├ q donde: p1, p2 ... pn :son las premisas q: es la conclusión

y será válido si es una tautología. La forma típica de derivar es: 1) Toda premisa se da como esquema a la izquierda de ├. Se enlista todas las premisas y se separan por el resto de la derivación mediante una línea horizontal. 2) Para justificar una nueva línea, la regla se da a la derecha junto con las líneas que se usan, como premisas de la regla.

Actividad 1.10 Use las variables proposicionales P y Q para formalizar los siguientes argumentos lógicos

a)

Si 10 es primo, 10 no puede ser igual a 2 por 5; 10 es igual a 2 por 5. Por tanto, 10 no puede ser primo.

b)

Si llueve con frecuencia, los campesinos se quejan. Si no llueve con frecuencia, los campesinos se quejan. Por consiguiente, los campesinos se quejan.

Actividad 1.11 Use las variables proposicionales P y Q para formalizar los siguientes argumentos lógicos

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

A, A  B, B  C ├ C A, A  B ├ A  B A  B, B  C ├ C A  (B  C), B, A ├ C A  B, B  C, A  C ├ C A, A ├ B A  B, B ├ A A  B, B  C├ A  C A  B ├ B  A A, A  B ├ B

16 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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Actividad 1.12 Demostrar la conclusión de los siguientes razonamientos.

a)

Si la ballena es un mamífero entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por tanto no necesita branquias.

b)

“Fue X o Y quien cometió el crimen. X estaba fuera del pueblo cuando el crimen fue cometido. Si X estaba fuera del pueblo, no pudo haber estado en la escena del crimen. Si X no estaba en la escena del crimen, no pudo haber cometido el crimen“. Formule esto como una demostración formal y derive la conclusión. Use P1 para “X cometió el crimen”, P2 para “Y cometió el crimen”, Q para “X estaba fuera del pueblo” y R para “X estuvo en la escena del crimen”.

Actividad 1.13 De los siguientes argumentos, indicar cuales conclusiones son válidas y cuales son no válidas

1.

p  p  q

2.

p  p  q

3.

r  p  r

4.

p, q  p  q

5.

s, (s  t)  q  q

6.

(q  r)  s, r  s

7.

 r,  s   r   p   p

8.

 r,  s   r   p   p

9.

 p  q   p

10.  p  q   p 11. (r  s)  t, r  t 12. (r  s)  t, t  r  s 13. (r  s)  t, r  s  t

17 Capítulo 2: Lógica Proposicional

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Actividad 1.14 De una derivación para los siguientes argumentos lógicos, y establezca que leyes se utilizan en cada paso.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

P, P  (Q  R), (Q  R)  S ├ S P  Q, Q  R, R ├ P P  Q, Q  R, R  P ├ P  Q P  Q, P  R, P ├ Q  R S  (P  Q), S, P ├ Q S  T, T , S  R ├ R P  S, P  Q, (S  R)  T, Q  R ├ T Q  T, Q  R, T  R ├ R P  (Q  R), P, T  Q, T  S ├ S R  S, S  P  Q, R  T,  T ├ Q P  Q, Q  R, P  T, T ├ R  (P  Q) S  R, R  T, S  P, P ├ T  P

Actividad 1.15 Formaliza y prueba la validez de los siguientes argumentos

1.

2.

3.

O no estudio lógica o el examen era conocido de antemano. Si el examen era conocido de antemano, entonces aprobaré lógica. Si apruebo lógica, apruebo filosofía. Luego si estudio lógica, apruebo filosofía. Si la enmienda no fue aprobada entonces la Constitución queda como estaba. Si la Constitución queda como estaba entonces no podemos añadir nuevos miembros al comité. O podemos añadir nuevos miembros al comité o el informe se retrasará un mes. Pero el informe no se retrasará un mes. Por tanto la enmienda fue aprobada. Si el ejército marcha contra el enemigo, tiene posibilidades de éxito; y arrasará la capital enemiga, si tiene posibilidades de éxito. O el ejército marcha contra el enemigo, o se repliega rápidamente. Si se repliega rápidamente, el enemigo atacará su retaguardia; y perderá la guerra, si el enemigo ataca su retaguardia. El ejército no arrasa la capital enemiga. Demostrar que el ejército perderá la guerra.

18 Capítulo 2: Lógica Proposicional