LOGICA PROPOSICIONAL USAT 2019 - I Ing. Sistemas y Compxx

 

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSICIONAL David Gonzáles López

I. ¿QUE ES LA LÓGICA? - Etimológicamente Etimológicamente vien viene e de la p palabra alabra griega  λογοζ   (logos) ; que significa pensamien pensamiento to o razón. - Estudia el buen hablar, el buen decir, el razonar correctamente. - La lógi lógica ca es el estu estudi dio o de lo loss mé méto todo doss y pr prin inci cipi pios os que que se usan usan para para dist distin ingu guir ir el razonamiento razonamien to bueno (correcto) del malo (incorrecto). (Copy, 1998). - La lógica es la ciencia que estudia las leyes del pensamiento, su estructura, sus formas y relaciones ( Ibarra, 1998) - La Ló Lógi gica ca es un una a ci cien enci cia a qu que e estu estudi dia a lo loss méto método doss o proc proced edim imie ient ntos os que que apli aplica can n definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez o invalidez de las inferencias ( Rosales, 1994) - La Lógica es la disciplina que trata de los métodos de razonamiento (Veerarajan, 2008) - Otros en lugar de razonamiento usan inferencia (matemáti (matemáticas) cas) - Razonami Razonamiento ento correcto= Inferencia válida - En la filosofía contemporánea se usa argumento válido. II. OBJETO DE ESTUDIO DE LA LÓGICA La lógica estudia LA INFERENCIA La inferencia es un proceso mental( psicológico) que consiste en pasar de un conjunto de premisas a una conclusión. También, la inferencia es una estructura de proposiciones que consiste en pasar de un conjunto de premisas a una conclusión.  Así :

 P1  P2 . .

 Pn C 

( P , P , . . . , P )   ⇒   C  También :

1

2

n

Donde:  P1 , P 2 , . . . , Pn   son premisas y

C : la conclusión

1  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

Los mate matemáti máticos cos usan inferenc inferencia ia porque porque el razo razonami namiento ento es un fenó fenómeno meno psicoló psicológico gico relacionado con el pensamiento que puede ser subjetivo, una ciencia como la lógica y la matemática no deben ser subjetivos subjetivos.. Ejemplos de razonamientos o inferencias: inferencias: Lima está en el Perú El Perú está en América Luego, Lima está en América

Si hacemos publicidad por Tv, habrá muchas ventas No hubo muchas ventas Luego, No se hizo publicidad por Tv.

Jean Piaget aportó a la psicología o a la historia universal Jean Piaget no aportó a la historia universal Por lo tanto, Jean Piaget Piaget aportó a la psic psicología ología

La USAT está en Chiclayo o Trujillo La USAT no está en Truji Trujillo llo Luego, La USAT está en Chiclayo

III. IMPORTANCIA DE LA LÓGICA - Es el fundamento del conocimiento matemático y de la gran mayoría de las ciencias. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas, en ciencias de la computación para verificar la coherencia de los programas de computadora, en las ciencias físicas y naturales, para sacar conclusiones de los experimentos, y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver problemas. - Hace posible el avance de la ciencia y la Tecnología. - Gracias a la lógica podemos hacer predicciones. Predecir significa pasar de una verdad presente a una verdad futura. - Nos proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.

2  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

IV. LÓGICA PROPOSICIONAL La lógica proposicional es la rama del conocimiento que trata sobre la verdad o falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se transmite de una proposiciones(premisas) a otras (conclusión).

4.1. Enunciados y valor de verdad Enunciado. Es toda expresión linguística, que constituye una frase u oración. Es todo concepto, juicio u oración. Ejms: - Pizarra - ¿Qué edad tienes? - El Perú está en América. - Hola - (2)(5) – 3=8 - María es profesora. - Juana es hermosa. -  x + 3=7 - Prohibido fumar. - 5 es un número par  -

2 x

− y≤5

- La lógica es una ciencia. - La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. -El Perú y Ecuador limitan con el océano pacífico. Proposición. Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadero o falso, pero no Proposición. ambos a la vez. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama valor de verdad. Ejemplos: Son proposiciones lógicas: lógicas: a) Las fórmulas científicas ya demostradas.   1.

( a + b )2 =a2 + 2 ab + b2   ;   ∀ a , b ∈ R

2 2   2. Si a =b ⇒ a = b   ;

∀ a ,b ∈ R

3  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

b) Las leyes o hipótesis científicas aceptad aceptadas. as.   1. “Todo “Todo cu cuerpo erpo ejerce una fu fuerza erza de a atracción tracción sobre otro”   2. “El cambio de movim movimiento iento es proporci proporcional onal a la fuerza motriz iimpresa mpresa y ocurre ssegún egún lla a línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime” ( 2ª ley de Newton) c) Los enunciado enunciadoss cerrados o definidos definidos.. Aquellos enunciados que pueden ser calificados(de manera real o hipotética) como verdadero o falso.   1.

α + β + γ =180 ∘   , si   α , β

y   λ  son ángulos internos correspondientes a un mismo

triángulo.   2.

 x + y =50 ;   si  x =10 ,    y = 30

  3. La USAT tiene convenios internacion internacionales. ales.   4. Todos los hombre son mortales   5. 7 es número par.   6. El agua se congela a cero grados centígrado centígrados. s.   7. 2+1=3   8. Carlos, José y Nelly son hermanos.   9. Jaime es Psicólogo o Licenciado en Economía   10. La distancia mas corta entre dos puntos es la línea recta.   Conclusión: Toda proposición es un enunciado, pero no todo enunciado es proposición.

No son proposiciones lógicas ( expresiones no proposicionales) a) Las creencias, mitos o leyendas.   1. “Dios es un ser misericordios misericordioso” o”   2. Manco Capac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol” b) Las metáforas o refranes.   1. “El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro”   2. “Has el bien sin mirar a quien”   3. “Chiclayo ciudad de la amistad” c) Las supersticion supersticiones. es.   1. “Hoy día martes 13, no te cases ni te embarques ni de tu casa te apartes”

4  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

  2. pasé pasé po porr deb debajo ajo de u una na es escalera calera entonces tendré mala suerte” d) Las preg pregunta untas, s, órd órdenes enes,, excl exclamac amacione iones, s, comu comunica nicación ción de senti sentimien mientos tos y acti actitudes tudes,, deseos, emociones, etc. 1. ¿Qué edad tienes?   2. Cierra la puerta   3. Prohibido fumar    4. ¡Viva el Perú!   5. Quisiera Quisiera visitar los museos mas importantes del mundo.   6. El viento de la noche gira en el cielo y canta (Pablo Neruda)   7. Herm Hermosas osas azuc azucenas enas tiene tieness en los cabe cabellos, llos, yo no he visto de esas en el jardín (Jorge Isaacs) e) Las palabras que expresan conceptos.  

1. Pizarra

 

2. Mesa

 

3. Universida Universidad d

 

4. Hola

 

5. Cinco

Observación Pérez (2009) manifiesta que la proposición es una expresión declarativa que puede ser  calificable de verdadera o falsa. No sucede así con la simple oración oración que  que a pe pesar sar de tener  sentido completo no tiene valor de verdadera o falsa. Como ejemplos de oraciones se pueden dar los siguientes: ¿qué hora es, por favor? , ¡Ojalá haga buen día mañana! o los mandatos: “Publíquese y cúmplase”.

Enunciado abierto ( Proposicion abierta)  x,, y Son aquellos cuyo valor de verdad depende del valor que se le asigne a las variables  x , etc.

Llamado también función proposicional, es un enunciado en el que intervienen una o mas variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición lógica cuando la variable asume un valor determinado. Los enunciados abiertos usan palabras como. “el”,  x , y , z  etc. no son proposiciones pero cuando se reemplazan estas “ella” y los símbolos  x, palabras o símbolos por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones.

5  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

Ejemplos: 1. Ella es una actriz peruana 2

2.  x + 8 x =16 3. m + n≤ 3 4. Sea

n

 un número impar.

4.2 Simbolización de proposiciones  A las proposici proposiciones ones las podemos denotar o simboliza simbolizarr por las letras minúscula minúsculass del  Abecedario,, generalmente p  Abecedario por or : p,q,r,s,t,… etc. Como ocurre en otras ciencias, es necesario en lógica utilizar un lenguaje simbólico especial que elimine los rasgos que no nos interesan y pongan de manifiesto lo que si nos interesan. En lógica nos interesa saber cómo están combinadas las proposiciones, y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello necesitamos unos símbolos que prescindiendo del significado de las proposiciones nos indiquen la forma en que se combinan. Estos símbolos constituyen un lenguaje formal. Las proposiciones simples o atómicas pueden ser sustituidas por letras minúsculas p,q,r, s, t, etc. denominadas variables proposicionales. La operación consiste en sustituir las expresiones del lenguaje natural por símbolos lógicos, a la cual llamaremos formalización y la proposición debidamente formalizada la llamaremos fórmula. Ejemplos: 1. Mario Vargas llosa obtuvo el premio Nobel de Literatura 2010   Fórmula:  p=  Mario Vargas llosa obtuvo el premio Nobel de Literatura 2010 2. Siete es nú número mero par    Fórmula:  p= Siete es número par  3. Juan estudia derecho y psicología  

 p= Juan estudia derecho

 

q=

 Juan estudia psicología

  Fórmula o simboliza simbolización: ción:  p∧q 4. Si estudio todos los días, entonces aprobaré lógica  

 p= Estudio todos los días

 

q=

 Aprobaré lógica

  Fórmula o simboliza simbolización: ción:  p → q

6  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

4.3. Conectivos lógicos Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que ligan,  juntan, unen o enlazan a las proposici proposiciones ones simples formando proposicio proposiciones nes compuestas. Los operadores o conectivos básicos son: CONECTIVO

SIMBOLO

No

 



NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN Negación

Y

 

¿

Conjunción

o

 

¿

Disyuntiva inclusiva

Δ

Disyuntiva exclusiva

→

Condicional

↔

Bicondicional

o. . . o. . .

 

Si . . . entonces . . . si y sólo si . . .

   

4.4. Clases de Proposiciones a) Proposiciones simples, atómicas o no estructurales. Son aquellas que tienen un solo sujeto, un solo verbo y un solo predicado, y sin el término “no” en su estructura. Carecen de conector lógico, no se componen de otras proposiciones. Ejemplos: 1. Sócrates nació en Atenas. 2. El Perú Perú está en América. 3. (2)(5) – 3=8 4. Cinco es un número impar. 5. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. 6. María canta, baila y cocina en su casa. ( No es proposición simple) 7. La luna no es un satélite de la tierra. ( No es proposición simple) Observación La proposición “ La Luna no es un satélite de la tierra” no es una proposición simple porque podemos desintegrarla en: - La luna es un satélite de la tierra. - no Simbólicamente Simbólicam ente es :



  p= La Luna no es un satélite de la tierra.

7  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

El término “no” es considerado como molécula de una proposición simple. Luego, “La Luna no es un satélite de la tierra” es una proposición molecular. Las proposiciones simples o atómicas a su vez pueden ser:   i) Predicativas Predicativas:: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto ( utiliza el verbo SER en cualquiera de sus tiempos). Ejemplos: - Chiclayo es llamada ciudad de la amistad. - La Luna es un satélite de la tierra. t ierra. - Federico Villarreal fue un matemático lambayecano. Relacionales:: Cuando se compara un sujeto con otro mediante una relación que puede ii) Relacionales ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc. Ejemplos: - Vallejo con Mariátegui fueron literatos contemporáne contemporáneos. os. ( Relación de tiempo) - La selección peruana de vóley jugó un partido intenso con su similar de cuba. (Relación de acción) - Carlos es hermano de María (Relación de parentesco)

b) Proposiciones compuestas, moleculares o coligativas. Son aquellas que están constituidas por más de una proposición unidas por términos llamados conectivos conectivos lógico lógicos. s. Los conectivos lógi lógicos cos son: “y” , “o”, “si…entonc “si…entonces”, es”, “si y solo si”, “no” , etc. Ejemplos: 1. Mario Vargas Llosa no es escritor. 2. La pizarra es blanca y el plumón es azul. 3. Doce es número par o múltiplo de 3. 4. Si la atmósfera tiene carga radiactiva entonces la humedad es dañina para la salud. 5. El agua se congela si y sólo si la temperatura está bajo cero. 6. El avión tuvo t uvo dificultades pero logró aterrizar. 7. La piscina está temperada si hay calefacción.

4.5. Valores de verdad

8  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

 A la verdad (V) o a la falsedad (F) de una proposició proposición n se le llama valor de verdad y se denota por: V(p)=V ; V(p)=F  A toda proposición proposición podemos a atribuirle tribuirle un va valor lor de verdad verdad.. Es verdadero (V (V)) o es falso (F). Número de valores de verdad n

 NV =2

  , dond donde e

n=

número núme ro de prop proposic osicion iones es y

 NV =   número de valores de

verdad.  Así : p q p

r 

V V V

V

p q

V V F

F

V V

V F V

V F F V

V F F F V V

F F

F V F F V V F V F

4.6. Operaciones con proposiciones ( Tipos de proposiciones compuestas) Negación   Negación El conectivo la negación no une proposiciones, es un conectivo singular, a proposiciones proposicio nesde simples y compuestas. Se denomina proposici proposición ón negativa aquellaque queafecta cambia el valor de la proposición original. Cumple la función de negar una afirmación o de afirmar  una negación. Notación:   p 

Se lee: “ no  p ” La negación puede traducirse como: No es cierto que …

Nadie que sea …

Jamás …

Es falso que …

No es el caso que…

Es inconcebible que …

Nunca …

No es verdad que …

Es imposible que …

No ocurre que …

Es absurdo que …

Es erróneo que …

Es mentira que …

No acaece que …

De ningún modo …

No sucede que …

Es inadmisible que …

Es incierto que …

9  

   

Es refutable que …

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

Es falaz que …

En modo alguno …

Ejemplos:  p= IND INDECO ECOPI PI es el Ins Instit tituto uto Naci Nacion onal al de De Defen fensa sa de la Co Compe mpeten tencia cia y de la

1.

Protección de la Propiedad Intelectual. Intelectual.  

  p= Es falso que INDECOPI es el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y



de la Protección de la Propiedad Intelectual.

2. Lima no está al sur de Chile  p= Lima está al sur de Chile

   



  p= Lima no está al sur de Chile

3. Negar las siguientes proposiciones  p :  Napoleón nació en Italia.    

q :   3=2 +1

 

r:

 

4 x

− 1≤ 7

 

s:

 

3 x

+ 4 >10

 

t :  

 

5

=7

Solución

 



 



     

  p :  Es falso que Napoleón nació en Italia.

  q :   3≠2 +1



  r:

 

4 x

−1> 7



  s:

 

3 x

+ 4 ≤10



  t :  

5

≠7

Tabla de verdad p  



 p

V

F

10  

   

 F

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

V

Conjunción La conjunción es la unión de dos o más proposiciones mediante el conectivo “y” Notación:  p∧q Se lee: “   p  y q ” Hay otros términos como pero, sin embargo, además, no obstante, a la vez que, etc. que hacen el papel de conjunción lógica generalmente. En nuestro lenguaje podemos emplear:

Pero

Aún cuando

No obstante

Sin embargo

Al igual que

Aunque

 Además

Tanto …como …

Más aún

 Ala vez

Siempre ambos ambos … con …

También

Incluso

No sólo … sino también …

Es compatible con

 Así como

A pesar de

Así mismo

Del mismo modo

…con … los dos a la vez

De la misma forma que

Ejemplos: 1. Diez es número par y múltiplo de cinco.  

 p= Diez es número par 

 

q=

Diez es múltiplo de cinco

  Simbólicamente:  p∧q 2. Tanto el Perú como Bolivia producen cobre.  

 p= El Perú produce cobre

 

q=

Bolivia produce cobre

  Simbólicamente:  p∧q 3. Roxana estudia al mismo tiempo que escucha música. 4. María está enferma sin embargo asiste a clases. 5. Carlos es político pero honesto.

11  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

6. Cuando viajaba al norte perdí mis documentos. 7. Carlos tomó veneno y murió. (No es conjunción)

Observación La proposición (7) a pesar de que lleva la partícula “y” como término de enlace, no se puede simbolizar como una conjunción lógica, porque si aplicamos la propiedad conmutativa el enunciado cambia totalmente de sentido(Ros sentido(Rosales, ales, 1994)

Tabla de verdad p q  

p∧q

V V

V

V F F V

F F

F F

F

Disyunción Es la unión de dos o más proposiciones por medio del conectivo “ o “ Según el sentido del conectivo “ o “, se puede interpretar de dos maneras: Inclusiva o exclusiva. a) Disyunción inclusiva o débil En esta proposición se pueden dar las dos posibilidades. Notación:  p∨q Se lee: “   p  o q ” En el lenguaje ordinario, el uso del término “ o “ es ambiguo, pero esta ambigüedad se resuelve comúnmente añadiendo las palabras “ o ambos a la vez” o “pero no ambos a la vez”

Otras formas de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son:  A menos que

O en todo caso

Excepto que

O también

Salvo que

O incluso

 A no ser que

O bien

12  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

Y bien o también

Al menos uno de los dos … o …

O sino

Alternativamente

Ejemplos: 1. Doce es número par o múl múltiplo tiplo d de e cuatro.  

 p= Doce es número par 

 

q=

Doce es múltiplo de cuatro.

  Simbólicamente:  p∨q 2. Mañana estudiaremos Química o sino estudiaremos Física.  

 p= Mañana estudiaremos Química

 

q=

Mañana estudiaremos Física   Simbólicamente:  p∨q 3. Jaime estudia Psicología o Administración. 4. Mañana viajo a Trujillo o a Piura. 5. El Lago Titicaca está en Perú o Bolivia. 6. Los peces respiran por branquias o son acuáticos. 7. El actual cancille cancillerr peruano habla inglés o francés.

Tabla de verdad p q  

p∨q

V V V F

V V

F V

V

F F

F

13  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

a) Disyunción exclusiva o fuerte. En esta proposición se da una sola posibilidad. Notación:  pΔq Se lee: “   p  o q , pero no ambos” Otras formas de conexión que nos indican una disyunción exclusiva son: O…o…

… no equivale a …

O bien … o bien …

No es cierto que … equivale a …

No e ess e eq quivalente … cco on …

O sso olo … o sso olo …

… a men menos os q que ue ssol olam amen ente te … … excepto que sólo …

… ssal alvo vo q que ue ú úni nica came ment nte e… … o bien necesariamente …

… o exclusivamente …

… no es idéntico a …

… no es lo mismo que …

Salvo que … o …

Ejemplos: 1. O el actual canciller peruano habla inglés o habla francés, pero no ambos ala vez.  

 p= El actual canciller peruano habla inglés

 

q=

El actual canciller peruano habla francés.

  Simbólicamente:  pΔq

2. Catorce es número par o impar.  

 p= El actual canciller peruano habla inglés

 

q=

El actual canciller peruano habla francés.

  Simbólicamente:  pΔq 3. Mañana viajo a Trujillo o a Piura a las 7:00 am. 4. Este año viajaré al extranjero salvo que únicamente viaje a Lima. 5. El hombre es un ser racional o irracional.

14  

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

)∧¿¿ ¿   ( p∧q )   cumple con la regla de la ddisyunción isyunción e exclusiva. xclusiva. La fórmula :  pΔq =( p∨ q )∧ Se puede usar esta fórmula para interpretar todo conectivo “ o “ que tiene sentido de disyunción fuerte.  



Tabla de verdad p q   pΔq V V

F

V F

V

F V

V

F F

F

Condicional

p q   ( p ∨q )   ∧¿ ¿   ( p ∧q )



V V

V

F

F

V

V F

V

V

V

F

F V

V

V

V

F

F F

F

F V

F

Es la unión de dos proposiciones por medio del conectivo “ si … entonces”. La proposición que aparece entre “si” y “entonces” se llama antecedente, y la proposición que sigue a la palabra “entonces” se llama consecuente. Notación:  p → q   donde

 p : se llama antecedente o hipótesis y

q : consecuente o conclusión

Se lee: “ Si  p  entonces q  ”  

“   p  es necesario para q   ”

 

“   q  es implicado por  p  “

 

“   q   se deduce de  p ”

 

“   q   solo si  p ”

Los términos puesto que, porque, ya que, dado que, de modo que, en vista de que, cuando, cada vez que, etc. expresen formas condicionales (unen proposiciones condicionalmente), con la característica de que antes de cada una de estas conectivas aparece el consecuente, consecuente, y después de ellas el antecedente. antecedente. En nuestro lenguaje también podemos emplear : Si p, entonces q

p luego q

Siempre que p entonces q

p por tanto q

q siempre que p

p por consiguiente q

p es suficiente para q

p por ende q

p implica q

p por conclusión q

Ya que p bien se ve que q

Dado que p por eso q

15  

   

En cuanto p por tanto q

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

Porque p por eso q

  Ejemplos: 1. Si la producción es buena habrá mayor rentabilidad de la empresa.  

 p= La producción es buena.

 

q=

Habrá mayor rentabilidad de la empresa

  Simbólicamente:  p → q 2. Si la temperatura está bajo cero el agua se congela  

 p= La temperatura está bajo cero

 

q=

El agua se congela

  Simbólicamente:  p → q 3. El agua se cong congela ela ya que la temperatura está b bajo ajo cero.  

 p= El agua se congela

 

q=

La temperatura esta bajo cero

  Simbólicamente: q → p 4. El avión despegará a menos que la neblina cubra el aeropuerto.  

 p= El avión despegará despegará..

 

q=

La neblina cubre el aeropuerto.

  Simbólicamente:



  q → p   también :



  p→ q

5. Subirá el precio del pan porque subió el precio de la gasolina. 6. La producción agrícola bajo, dado que hubo escasez de abono. 7. Carlos viajará al extranjero si obtiene su visa. 8. El producto marginal crece cada vez que el producto total decrece. 9. Cuando la temperatura está por encima de 30º hace mucho calor. Tabla de verdad p q

 

p→ q

V V

V

V F

F

F V

V

F F

V

16

 

   

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

Bicondicional Es la unión de dos proposiciones por medio del conectivo “si y sólo si” Notación:  p↔ q   Se lee: “  p  si y sólo si q  ” “  p  es condición necesaria y suficiente para q  ”

 

La proposición bicondicional se puede interpretar como la conjunción de dos condicionales.  p ↔ q =( p → q )∧( q → p )  Así:  p↔

y se lee “  p  implica a q  y q  implica a  p  ”  Además se tiene: tiene:    p↔ q =

 



  ( p Δq Δq )

También se suele emplear expresiones como: … siempre y cuando …

Es suficiente para que suficiente sea

… es equivalente a …

Es condición necesaria y suficiente para

… es lo mismo que …

… por lo cual y según lo cual

… cuando y sólo cuando …

… cada vez que sólo si …

Si y sólo si p, q

… si de la forma …

… siempre siempre que y sólo cuan cuando do … … im impli plica ca y está está iimpli mplicado cado por … … es idéntico a …

Siempre que … y siempre que …

Ejemplos: 1. Un número es divisible por dos si y sólo si es un número par.  

 p= Un número es divisible por dos

 

q=

Es un número es par.

  Simbólicamente:  p↔ q 2. Si un número es divisible por dos entonces es un número par, y si es un número par  entonces es divisible por dos.  

 p= Un número es divisible por dos

17  

   

q=

 

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

Es un número es par.

)∧(( q → p )   Simbólicamente: ( p → q )∧ 3. El que yo te sonría es lo mismo que yo te enamore.  

 p= Yo te sonrío

 

q=

Yo te enamoro.

  Simbólicamente:  p↔ q 4. Estados Unidos es un país desarrollado equivale a decir Estados Unidos es una potencia mundial.  p=  Estados Unidos es un país desarrollado

 

q=

   Estados Unidos es una potencia mundial   Simbólicamente:  p↔ q 5. Aprobaré lógica si y sólo si estudio a conciencia. 6. La condición necesaria y suficiente para cocinar bien es tener buena sazón 6.

√ 2255=5

7.

a + c 0 ) ] → ( √ 2≥ √ 4 )∨ (   1 4

2

2

4

4

<

4

 1

√ 2 2

)]

)→(− 1 < 0 )

15. Simplificar la siguiente proposición:

[

( √ 

[( √ 8 > √ 2 )∧(−8 < 0 ) ] → ( √ 2≥√ 8 )∨ 3

3

(

 1 3

8

<

 1

√ 2

)]

) ↔( 8>0 )

28  

   

16. Se definen las operaciones: Simplificar :

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación

 p∗q= ~ p → ~ q   y

 p ⊕ q= ~ p ∧q

[ ( ~ p∗q )⊕ ~ q ] ⊕( ~ q∗ p )

Referencias bibliográcas:

1. Copy, I. y Cohen, C.(1998). Introducción a la Lógica. México: Limusa Noriega Editores. 2. Ibarra, C. (1998). Lógica. México: Pearson Educación. Educación. 3. Perez, G. (2009). Lógica para estudian estudiantes tes de derecho (2ª ed.). Bogota: Edicione Edicioness doctrina y ley. 4. Rosales; D. (1994). Introducció I ntroducción n a la Lógica (3ª ed.). Lima: Editorial Monterrico. 5. Suppes Suppes,, P. y Hi Hillll.. S. (20 (2004) 04).. Introd Introducc ucció ión n a la lóg lógica ica ma matem temáti ática. ca. Méx México ico:: Edi Editor torial ial Reverté. 6. Veerarajan, T. (2008). Matemáticas discreta. Editorial Mc Graw Hill: México.

.