Lógica Proposicional - Seminario PDF
December 31, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Academia Aduni
Anual San Marcos
SEMINARIO DE LÓGICA PROPOSICIONAL ANUAL SAN MARCOS 2017 2017
ENUNCIADO.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje.
CLASE DE PROPOSICIONES. A) Pr Pro oposición Si Sim mple o atómica.Son aquellas proposiciones que nos expresan una sola idea, carecen de un conectivo y son afirmativas. Ejemplo: p: El número 3 es impar.
PROPOSICIÓN.-
Es todo enunciado que puede asumir un valor veritativo, es decir, verdadero (V) o falso (F) sin ninguna ambigüedad. Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc.
B) Proposición Compuesta o molecular.Son aquellas proposiciones que nos expresan más de una idea y se obtiene de combinar dos o más proposiciones simples o de la negación de una proposición simple. Ejemplo:
Observación: Las exclamaciones, órdenes o preguntas no son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas o falsas. a) ¡Estudia esta lección!
r: Pitágoras era griego y era geómetra
p q encontramos dos proposiciones; el primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra.
b) ¿Cuál es tu nombre? c) Prohibido llega tarde.
Ejemplos: Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones: a) 5 + 7 = 16 - 4 ………… …………..…...( ) b) ¡Estudie lógica!................... ( ) c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno …………… ……………..…... …...(( ) d) Ponga atención……….. atención……….....… .…(( ) e) Breña es un distrito de Lima( ) f) 15 < 13………. 13……….………… …………....( ....( )
CONECTIVOS LÓGICOS.- Son símbolos que niegan una proposición simple o enlazan proposiciones simples sin formar parte de ellas. Los conectivos lógicos más frecuentes son: -1-
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CONECTIVOS LÓGICOS
Conjunción ( )
Negación (~) Disyunción débil ( V ) Disyunción fuerte ( Δ ( Δ ) )
Condicional p q
Bicondicional pq
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1.- NEGACIÓN:
SIN NIMOS
Dada una proposición p , se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "n o p ") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p .
y También Aún A la vez No obstante Además Pero Sin embargo Aunque No es cierto que Es falso que No es el caso que O A menos que O….o… ….o… O
Por ejemplo: p : Diego estudia matemática ~p : Diego no estudia matemática
Tabl Ta bla a de ve verd rdad ad p
~p
V F
F V
2.- CONJUNCIÓN Dadas dos proposiciones p y estas q , se denomina conjunción de proposiciones a la proposición p q (se lee "p y q") Ejemplo. 5 es un n° impar y 6 es un n° par p q
p es condición suficiente para q Si p entonces q q si p Que p siempre que q es condición q necesaria para p En caso de que p entonces q p solo si q Si y sólo si Cuando y sólo cuando Es necesario y suficiente para En el caso , y sólo en el caso , de que
Tabl Ta bla a de ve verd rdad ad p
q
V V F F
V F V F
p
q V F F F
Ejemplo : Si: p : 3 es mayor que 7 q : Todo número par es múltiplo de dos. Entonces: p q : 3 es mayor que 7 y todo
Estudiaremos a continuación el uso y significado los diferentes conectivos lógicosde mencionados:
número par es múltiplo de dos. Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera. -2-
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3.-DISYUNCIÓ 3.-DISY UNCIÓN N INCLUSIVA
4.- CONDICIONAL CONDICIONAL
La disyunción proposiciones proposición p ” p o q “
La condicional de las p y q es la proposiciones proposición pq (si p entonces q ). La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se
débil de las p y q es la q y se lee
Ejemplo.
llama consecuente condicional.
Tiro las cosas viejas o que no me sirven
p
q
V V F F
V F V F
Ejemplo: SI apruebo, ENTONCES te presto el libro
p
p
q V V V F
4.-DISYUNCIÓN EXCLUSIVA fuerte
de
O Tiro las cosas viejas o que no me sirven
q
Tabl Ta bla a de ve verd rdad ad p
q
p Δ q
V V F F
V F V F
F V V F
V
V
V F F
F V F
F V V
La bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q")
p : Karina ingresa a la universidad universidad q : Karina estudia mucho Entonces: p q : Karina ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho.
Ejemplo. Δ Δ
V
Ejemplo:
las
proposiciones y es la proposición pΔq yp se leeq“o p o q” q”
p
q
5.- BICONDICIONAL
Entonces: p q : Hace frío en Invierno o Napoleón invadió Lima.
disyunción
Tabl Ta bla a de ve verd rdad ad p q p q
Ejemplo: Si p : Hace frío en Invierno , q : Napoleón invadió Lima
La
la
q
Tabl Ta bla a de ve verd rdad ad p
de
Tabl Ta bla a de ve verd rdad ad p p q
-3-
V
V
V
V F F
F V F
F F V
q
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PROPOSICIONES EQUIVALENTES.-
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LÓGICAMENTE
LEYES DEL PROPOSICIONAL.-
Dos proposiciones r y s se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: r s
1. Idempotencia:
q
p q
V V F F
V F V F
V F V V
q
V V F F
V F V F
~p
p
p
p
p
p
p
q q
p
p
q q
p
3. Asociativa:
p
q
r p
q
r
p
q
r p
q
r
4. Distributiva: p
p
q q
p r p
r
p q p q
r r
5. Involutiva: ( p ) ≡ p
Ahora bien, si analizamos la proposición s: ~p q, su tabla de verdad resulta:
p
p
2. Conmutativ Conmutativa: a:
Ejemplo. Sea r: p q, recordamos su tabla de verdad
p
ÁLGEBRA
6. Del complemento: p p ≡ F ; p p ≡ V
q V F V V
7. Identidad: V
p ; p
F
V
V ; p
F p
p
p
Como vemos, luego de realizar las
8. De D´Morgan:
tablas de valores encontramos que veritativos ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: p q ~p q
( p q ) ≡ p q ( p q ) ≡ p q 9. De absorción: p p q p p
p
q
F
p
p ( p p q ) ≡ p p ( p p q ) ≡ p
q q
10. De la condicional: p q ≡ p q 11. De la bicondicional:
También son lógicamente equivalentes: p q ≡ q p
p
-4-
q
p q
q p
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A) VFF VFF D) FVV
PROBLEMAS 1. Confeccionar la tabla verdad de la proposición:
de
B) VFV
C) FFF E) VVV
5. Si la proposición: r s p p q}
p q) p q
B) VFVF C) FFFF FFFF VVVV E) VVVV
es verdadera y además (pq es falsa, halle los valores de verdad de “p”, “q”, “r”, y “s”, “s”, respectivamente.
2. Sabiendo que: (p q) es verdadera y que q también es verdadera, determinar el valor de verdad de:
A) VFFV B) VFVF C) FFFF FFFF FVVF D) FVVF E) VVVV
A) VFFV D) FVVF
6. Se define la proposición: proposición: p q) q q
A) V
B) F
p # q p q Hallar cuantas V y F matriz principal de:
C) Indeterminado
3. Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: I. (p q) r ; si r es V II. (p q p q ; si q es V
tiene la
(p # q p # q). A) 2V y 2F B) 1V y 3F D) 3V y 1F 1F
C) 4V E) 4F 4F
7. Sabiendo que la proposición (pp) es verdadera, ¿en cual de las siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las proposiciones?
F A) Si, V ; Si, F B) Si, F ; Si, F C) Si, V ; Si, V D) Si, F ; Si, V E) Si, V ; No
I. p q s r II. p q p r III. q q p
4. Si la proposición: pq) r s)r es falsa, halle los valores de verdad de “p”, “q” y “r”, respectivamente.
A) I, II D) II, III -5-
B) III
C) I, III III E) I
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8. Los valores valores de verdad de las proposiciones p, q, r y “s” son respectivamente V, F, F y V. Obtener los valores de verdad de: I. r (s p)
A) Julio pinta el cuarto de María o María no está contenta o María compra la ropa de Julio. B) Julio pinta el cuarto de
II. (p r) r s A) VF D) FF
María, pero María no está contenta y no compra la ropa de Julio.
B) VV C) FV E) Indeterminado Indeterm inado
C) Julio no pinta el cuarto de María y María no está contenta, por eso, no compra la ropa de Julio.
9. Dadas las proposiciones: p : Manuel aprueba sus cursos q : Manuel va a la fiesta r : Manuel estudia para su examen Simbolizar: “Si Manuel va a la fiesta entonces no estudiará para su examen, pero no es el caso que vaya a la fiesta y aprueba sus cursos. De ahí que Manuel estudie para su examen”. examen”.
D) Julio no pinta el cuarto de María y María está contenta y no compra la ropa de Julio. E) María está contenta y compra la ropa de Julio, pero Julio no pinta el cuarto de María. Examen de admisión UNMSM 2017 II
qp) r A) q r qp) r B) q r qp)r C) q r qp)r D) q r qp)r E) q r
10. Determine cuál de las siguientes proposiciones es la negación de la proposición «Si Julio no pinta el cuarto de María, María no está contenta o María compra la ropa de Julio».
-6-
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PROBLEMAS PROBL EMAS PROPUEST PROPUESTOS OS
C) (p→q)⋀(r→q)→(p⋁r)⋀q D) [(p⋀q)⋀ (r → q)]→[(p⋁r)→ p] p] E) [(p→q) ⋀ (r→q)]→[(p ⋁ r)→q] r)→q]
1. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son siempre falsas? I. pq) pp
5. Si r = V ; p = V y s = V, determine el valor de verdad de
II. pq)q)(pq) III. pqpqpq) A) I, II II D) II, III
B) III
las siguientes proposiciones: a) [(p↔ [(p↔~s ~s))→r] b) (p→~s) (p→~s) v (r ∨s) c) [~r ∧~(s ~(s↔ ↔~p)]
C) I, III E) I
A) VVV VVV D) VFV
2. Se define: p q p q. Además la proposición: proposición: p p q r q es falsa; halle los valores de p, q,
B) VFV
es hallar de verdadera, verdad de “p”, “s”,los “q”valores y “r”. “r”. FFF C) FFF E) VVV
A) VFFV D) FVVF
3. Si: “s” es verdadera y la proposición: s p (p q p r es falsa, halle los valores de verdad de “p”, “q”, y “r”. “r”. VFF A) VFF D) FVV
B) VFV
C) FFF E) FFV
6. Si: “t” es falsa y la proposición: proposición: r s)ps)pq)tq)
y r, respectivamente. respectivamente. A) VFF D) FVV
B) VVF VVF
C) FFF E) VVV
4. Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis:
VFVV C) FFFF B) VFVV E) VVVV
7. Si p : Juan compra pan q: Juan ingresa a la academia r : Juan se levanta temprano Simbolizar: “Si Juan se levanta temprano y no compra pan implica que no podrá ingresar a la academia, pero que haya comprado el pan es condición necesaria y suficiente para que se haya levantado temprano” temprano” A) (r p) qp↔r p) qp↔r B) (r p) qp↔r C) (r p) qpr D) (r p) qr p E) (r
A) [p⋀(r→q)]→[(p⋁r)→q] r)→q] B)[(p→q)→(r→q)] B) [(p→q)→(r→q)] → (p⋁r→q) r→q) -7-
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