Lógica proposicional o lógica de enunciados

LÓGICA PROPOSICIONAL O LÓGICA DE ENUNCIADOS 1. Razonamientos proposicionales: son aquellos razonamientos en donde se pueden identificar al menos dos premisas y una conclusión que se inferiere de ellas, a partir de ciertos términos, por ejemplo: eje mplo: “como”, “si … entonces”, “... y ...”, etcétera, que vinculan entre sí varias proposiciones. El estudio de estos razonamientos corresponde a la lógica simbólica, la cual proporciona técnicas que permiten determinar la válidez o invalidez de dichos razonamientos. 2. Proposiciones atómicas y moleculares: las proposiciones se pueden dividir en dos grandes grupos: a) Atómicas: son las mínimas unidades de las que tiene sentido predicar su verdad o falsedad. Por ejemplo: “hoy llueve”, “hoy es martes”, “mañana es sábado”, etcétera. Cada una de estas proposiciones se simbolizan mediante una letra minúscula comenzando con la letra “p” y siguiendo el abecedario: q, r, s, t …, estas se denominan variables  proposicionales  proposicionales . La lógica no puede determinar “si hoy es martes” o “si hoy llueve”, esto solo puede ser determinado por la experiencia. b) Moleculares: estas proposiciones están compuestas por una o más proposiciones atómicas. Su valor de verdad, o sea si son o no verdaderas, dependerá del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. Por ejemplo: “hoy es martes y llueve” dependerá de que sea verdadero que: “hoy es martes” y “hoy llueve”, si una de ellas es falsa entonces la proposición molecular es falsa. La mayor parte de estas proposiciones están compuesta por dos o más atómicas, pero existe una proposición molecular llamada  proposición negativa, que está compuesta por una única proposición molecular. Por ejemplo: “hoy no llueve” o, es una proposición atómica “hoy llueve” pero negada. El valor de verdad de esta proposición molecular dependerá del valor de verdad de la proposición atómica: la molecular será verdadera si la atómica es falsa y será falsa si la atómica es verdadera. 3. Formalización: las proposiciones moleculares o compuestas están formadas por la unión de proposiciones atómicas o simples mediante ciertas partículas o nexos. Estos nexos se denominan conectores lógicos, ellos son: Nombre del conector lógico Formalización Negador Conjuntor Disyuntor Implicador Coimplicador

• v, w → ↔

Los enunciados atómicos, como ya se explicara, están formalizados por las letras minúsculas del abecedario: abecedar io: p, q, r, s, t …. z. Ejemplos: 1. “hoy no es martes”

2. “hoy es martes y llueve” 3. “vamos a comer o al cine” 4. “si estudiamos lógica entonces aprobamos la materia” 5. “vamos al mundial de África si y solo si la selección se clasifica”

DIVERSAS CLASES DE PROPOSICIONES MOLECULARES En el punto anterior se explicó cómo se formaliza ahora veremos cuáles son las clases de proposiciones moleculares que existen. El nombre de las mismas están en relación con los nexos o conjuntores lógicos que las proposiciones moleculares tienen. 1. NEGACIONES: la negación lo que hace es invertir el valor de verdad de una proposición. Si tenemos, por ejemplo, “la clase de lógíca está aburrida” su correspondiente negación será “la clase de lógíca no está aburrida” o “no está aburrida la clase de lógíca”. Su símbolo es: La negación de una proposición verdadera es falsa y la negación de una proposición es verdadera.

Su tabla de verdad es la siguiente: p

-p

V F

F V

2. CONJUNCIONES: cuando en una única proposición tenemos la unión de dos proposiciones atómicas, por ejemplo: “el gato es mimoso y el perro tiene rabia” se la denomina conjunción. Su símbolo es: Una proposición conjuntiva es verdadera si y solo si ambos componentes son verdaderos, en cualquier otro caso es falsa.

Su tabla de verdad es la siguiente:

p

q

V F V F

V V F F

p.q

2. DISYUNCIONES: aquí el nexo conectivo de las proposiciones es “o”, por ejemplo: “estudio ciencias económicas o ciencias naturales”. La “o” es ambigua, puesto que puede significar “o lo uno o lo otro, o ambos” o “lo uno o lo otro, pero no ambos”, lo que nos lleva a establecer dos tipos de disyunciones: a la primera se la denomina disyunción incluyente y, a la segunda, disyunción excluyente. ¿Cómo las diferenciamos? Distinguir una de otra no siempre es fácil, porque depende del contexto en el cual la proposición sea formulada, por ejemplo: a. “Me serviré postre o café” b. “El precio del menú incluye postre o café”. En el primer ejemplo podemos considerar ambas opciones pero en el segundo no. Su símbolo es: Incluyente Excluyente

Una proposición disyuntiva incluyente es falsa si y solo sí ambos componentes son falsos.

Su tabla de verdad es la siguiente: p

q

V F V F

V V F F

pvq

Una proposición disyuntiva incluyente es falsa si y solo sí ambos componentes tienen el mismo valor de verdad.

Su tabla de verdad es la siguiente: p

q

V F V F

V V F F

pwq

Nexos de las disyunciones: “o”, “y/o”, “o bien”, “o bien …. o bien”, “a menos que”,

“salvo que”, etc. 3. CONDICIONALES: en estas proposiciones se dintinguen un antecedente y un consecuente. El antecedente es condición suficiente para el consecuente. Por ejemplo: “Si juego bien al tenis entonces podré llegar a Wimbledon”, “Si juego bien al tenis” es condición suficiente para que se de el consecuente “podré llegar a Wimbledón”. Se simboliza: Una proposición condicional es falsa si y solo sí su antecedente es verdadero y su consecuente es falso. En cualquier otro caso es verdadera.

Su tabla de verdad es la siguiente: p

q

V F V F

V V F F

p → q

Nexos de las condicionales: “Si … entonces”, “Si …”, “...es condición suficiente para ...”, “Cuando …., ...”, “..., si ...”, etc. 4. BICONDICIONES: son proposiciones que expresan la equivalencia o mutua implicación entre sus componentes. Por ejemplo, “Ingresa a la Facultad si y solo sí aprueba el examen de ingreso”, lo que esto implica es: Si ingresa a la Facultad entonces  aprueba el examen de ingreso y si aprueba el examen de ingreso entonces ingresa a la Facultad. Se simboliza:

Una proposición bicondicional es verdadera si y solo sí ambos componentes tienen el mismo valor de verdad.

Su tabla de verdad es la siguiente: p

q

p ↔ q

V V F V V F F F Nexos de las bicondicionales: “...si y solo si...”, “cuando y solo cuando...”, “...es equivalente a ...”, “... es condición necesaria y suficiente para ...”, etc.