Logica Difusa en La Vida Diaria

LOGICA DIFUSA EN LA VIDA DIARIA. Empecemos por plantearnos las siguientes preguntas: ¿qué significa la teoría difusa?, ¿Porqué utilizar el término difuso? : El término fuzziness que en español entenderemos como difusificar, se encuentra en nuestras decisiones, en nuestro pensamiento, esto es, en la forma de cómo procesamos la información, pero particularmente particularmente en nuestro lenguaje, ya que en muchas ocasiones no expresamos con claridad lo que queremos comunicar. Frases como: "Nos " Nos vemos luego", luego", "un "un poco más", más ", "no "no me siento muy bien", bien ", son expresiones difusas, decimos decimos que son difusas porque la difusificación surge de las diferentes interpretaciones interpretaciones que damos a " luego luego", ", "un "un poco más", más", "muy "muy bien". bien". Por ejemplo "luego "luego", ", para el análisis de fenómenos rápidos en ingeniería puede ser del orden de nanosegundos, pero para paleontólogos del orden de miles de años. Como se puede observar la magnitud del orden es relativa, por lo tanto si se emplea una unidad difusa (fuzzy), hay que tener bien claro el contexto donde se esta utilizando para así encontrar un punto de referencia referencia y una unidad de medida. En ocasiones, enunciados difusos indican unidades relativas y subunidades más no unidades absolutas. Consideremos el siguiente ejemplo:

"El corredor A es rápido." rápido. " "El corredor B es más rápido que el corredor A. " y "El corredor C es más lento comparado con B. " Con base a lo anterior podemos hacer dos observaciones: observaciones: la oración difusa puede establecer: B es más rápido que A y C es lento comparado con B. de la misma manera podemos caer en una ambigüedad de modo que no nos quede claro si A es más rápido que C o si C es más rápido que A; por tanto t anto no se tiene una medida de la velocidad de A, B ó C.

Figura 1. Ejemplo de enunciados difusos.

Otro ejemplo donde no se hace referencia a medida alguna sería el enunciado "Francisco es muy alto".

LOGICA CLASICA VS. LOGICA DIFUSA. Probablemente estés familiarizado con algún tipo de lógica clásica (binaria, trivalente, etc.), las cuales tienen bien definidos sus valores de umbral. Por ejemplo en la lógica binaria o booleana, booleana, existen dos valores de verdad (o de umbral): verdadero ó falso, 1 ó 0, sí ó no.

Figura 2. Valores de la Lógica binaria

La lógica trivalente es una lógica de tres respuestas definitivas:

Figura 3. Valores de la Lógica Trivalente A diferencia de la lógica clásica, la lógica difusa no tiene bien definidos sus umbrales de decisión. Por ejemplo, si tomamos la lógica trivalente y la difusificamos (cambiamos los niveles de decisión), entonces podemos expresar los

valores de umbral como un rango de valores, esto es, 0, .5, 1 serán reemplazados por intervalos de: "0 a .4", "0.2 a 0.8", "0.6 a 1", respectivamente. Recordemos que "lógica " lógica es la ciencia que estudia las leyes, los modos y las formas del razonamiento razonamiento". ". De esta forma la "lógica " lógica difusa estudia las leyes, los modos y las formas del razonamiento aproximado". aproximado". Lógica difusa proporciona un medio para enfrentar situaciones del mundo real, situaciones complejas y dinámicas, que son más fácilmente caracterizadas por palabras que por matemáticas. Por ejemplo, la estatura:

SISTEMAS DIFUSOS.

La vida real está llena de situaciones que requieren del razonamiento aproximado para manipular información cualitativa más que cuantitativa. Un sistema difuso puede resolver problemas tal como lo haría un experto humano, problemas tales como controlar la presión y temperatura de una caldera en la industria, procesar y reconocer imágenes o controlar una lavadora de ropa son situaciones que tienen en común el ser complejas y dinámicas y también que son más fácilmente caracterizadas por palabras que por expresiones matemáticas. Mientras que los sistemas de lógica clásica no pueden actuar en problemas de este tipo: •

•

No hay ningún sistema para representar proposiciones en lenguaje natural cuando el significado es impreciso. Sí el significado puede representarse, no hay un mecanismo para poder evaluarlo y obtener una respuesta.

Hasta este momento ya tenemos una idea de lo que es la lógica difusa, pero ¿ de donde surge el término fuzzy?, fuzzy ?, ¿Quién ¿Quién lo introdujo?, introdujo?, veamos: En la década de los años veinte del siglo pasado, J. Lukasiewicz desarrolló los principios de la lógica multivaluada, cuyos enunciados pueden tener valores de verdad comprendidos comprendidos entre el 0 (falso) y el 1 (cierto) de la lógica binaria clásica. En 1965 Lofti A. Zadeh, Zadeh, aplicó la lógica multivaluada a la teoría de conjuntos, estableciendo la posibilidad de que los elementos pudieran tener diferentes grados de pertenencia a un conjunto. Zadeh introdujo el término fuzzy (difuso) y desarrollo un álgebra completa para los conjuntos difusos. Desde sus inicios la teoría de conjuntos difusos causó controversisas y debates, por lo que sus primeras aplicaciones prácticas surgieron surgieron hasta mediados de los años setenta.

APLICACIONES DE LA LOGICA DIFUSA. Gracias a que la lógica difusa se enfrenta con éxito a situaciones del mundo real, ha encontrado aplicaciones en una gran variedad de campos, de las cuales las más trascendentales se han dado en el área de control con el diseño e implementación de controladores difusos (Fuzzy Logic Control), iniciado por los trabajos de Mamdami y Assilian en los años setenta. Ejemplos de sistemas de control y productos comerciales cuyo funcionamiento se basa en un razonamiento aproximado (difuso), son: • • • • •

Control de un horno de cemento. Estabilización de imágenes en cámaras de video. Lavatrastes y lavadoras de ropa. Conducción automática de trenes metropolitanos. Control de aire acondicionado.

Pero ¿Cuándo utilizar lógica difusa?. Lógica difusa tiene la habilidad de proporcionar un control inteligente en aplicaciones difíciles, especialmente aquellas que requieren de la optimización de muchas variables o el control de sistemas no lineales difíciles de modelar.

CONCEPTOS BASICOS. Comenzaremos a hablar de conjuntos tratando de ponernos de acuerdo acerca de lo que vamos a entender por conjunto. Esto no es nada simple ya que conjunto es un concepto bastante primitivo, análogo al concepto de punto o de recta. De ahora en adelante, para nosotros un conjunto será algo que puede o no tener elementos, pero con la propiedad de que se puede decir si un objeto dado cualquiera es o no elemento del conjunto en cuestión. A los objetos (si los hay) que forman un conjunto, les llamamos "elementos" de dicho conjunto. En la teoría de conjuntos que estamos recordando, trabajaremos a veces con varios conjuntos cuyos elementos son todos del mismo tipo, es decir, pertenecen todos a un mismo conglomerado de cosas al que podremos llamar conjunto universal. Ahora bien, Sí A es un conjunto la proposición " x es un elemento de A" se denotará por x A. La negación de esta proposición es decir "x no es un elemento de A" se denotará por x A. Por ejemplo, sí A es el conjunto de los primeros tres números naturales pares, entonces 2 A, 4 A, 6 A, 24 A, 9 A, son proposiciones verdaderas. Note que " pertenencia" es una relación que vincula cada elemento con un conjunto, no es una relación entre elementos de un conjunto.

Sí enumeramos todos los elementos de un conjunto, decimos que los hemos representado por extensión mientras que si enunciamos una propiedad definitoria de los elementos del conjunto, se dice que está representado por comprensión. Por ejemplo sí B es el conjunto cuyos elementos son: Oaxaca, Tlaxcala, Morelos, Hidalgo, Estado de México, Guerrero y Veracruz, se puede escribir: B={Oaxaca, Tlaxcala, Morelos, Hidalgo, Estado de México, Guerrero, Veracruz} ó B={x | x es un estado que colinda con el estado de Puebla}

Función de membresía. Como ya se mencionó la pertenencia o membresía es una relación que vincula a cada elemento con un conjunto. En otra palabras, en un conjunto bien definido (lógica clásica), la pertenencia o no pertenencia de un elemento x a un conjunto A se describe mediante la función característica A (x) donde:

Dicha función es llamada función de membresía ó función característica de A y esta definida para todos los elementos del universo. La función de membresía hace un mapeo de todo el universo U a su conjunto de evaluación de dos elementos {0,1}, esto se escribe: 0, 1 A (x) : U Con una identificación de {0,1} y {verdadero, falso}, esta función característica puede jugar un papel importante en la asignación de valores de verdad a proposiciones referentes al conjunto A.

Operaciones con conjuntos. Podemos construir conjuntos apartir de dos ó más conjuntos dados, aplicando para ello las operaciones básicas que ya conocemos: complemento, unión e intersección de conjuntos. Es común usar diagramas de Venn para representar al conjunto universal U y a los conjuntos formados con elementos de U. Las siguiente figura ilustra las operaciones mencionadas anteriormente utilizando diagramas de Venn.

Figura 5. Operaciones con conjuntos.

CONJUNTOS DIFUSOS. La lógica difusa trabaja con conjuntos a los cuales llamamos conjuntos difusos, estos conjuntos están definidos por sus funciones de pertenencia, la cual expresa la distribución de verdad de una variable. Teóricamente un conjunto difuso A de un universo de discurso X={ x } se define como un mapeo [0, ] donde cada x es asignada a un número en el A ( x ) : X rango comprendido entre [0, ] el cual indica que tanto del atributo A tiene x . Cuando se normaliza la función de membresía ( =1), se tiene [0, A ( x ) : X 1]. De aquí en adelante consideraremos valores normalizados. Para los casos extremos, donde la distribución de verdad es "cero", la función de membresía se reduce a singularidades, en otras palabras, la lógica difusa pasa a ser lógica clásica. Por ejemplo, si las singularidades tienen dos posibilidades, entonces hablamos de lógica binaria. La normalización del conjunto difuso A se expresa:

Por ejemplo, obtengamos los valores normalizados de un conjunto de números, para ello lo que hay que hacer es dividir cada número entre el número de mayor valor, así la división del número más grande entre el mismo nos dará un valor de 1, que es lo que se expresa en la relación anterior. Sea el conjunto (30, 50, 80, 100, 70, 40), del cual normalizando obtenemos (.3, .5, .8, 1, .7, .4). Para un conjunto difuso el conjunto de evaluación es un intervalo real:

A

( x ) : U

[0, 1]

La función característica de un conjunto difuso permite una continuidad de opciones posibles. El grado de membresía no es probabilidad. Básicamente es una medida de la compatibilidad de un objeto con el concepto representado por un conjunto difuso.

Un conjunto difuso D en un universo U puede ser definido como un conjunto de pares ordenados; cada par formado por un elemento y su grado de membresía al conjunto D:

D = {( x 

D

( x ) ) | x 

U}

Para el caso de universos discretos U = { x 1, x 2, …, x n}, una notación más conveniente es:

La sumatoria anterior se transforma en una integral para un universo U continuo:

Operaciones con conjuntos difusos. En lógica booleana la función de los operadores booleanos (o compuertas) es bien conocida, por ejemplo si aplicamos una operación AND: 1 and 1

1

1 and 0

0

0 and 1

0

0 and 0

0

En lógica difusa los valores no están definidos y su difusificación exhibe una distribución descrita por su función de membresía. Si tratamos de aplicar las

reglas de la lógica binaria a dos variables difusas ¿ cuál crees que sería el resultado?. Para poder contestar esta pregunta, consideraremos una lógica de valores máximos y mínimos, en otras palabras emplearemos operaciones definidas en lógica difusa. Como ya se dijo, en lógica difusa se emplean conjuntos así que aquí también contamos con operaciones de complemento, unión e intersección. Cuando a dos variables difusas se les aplica una operación de " unión" (que en lógica binaria es equivalente a una operación OR), el resultado se obtiene tomando el valor más grande de entre las variables de entrada, max( x 1, x 2, …, x n). Por ejemplo, sí A=0.5, B=0.7 y C=A OR B, entonces C = max(0.5, 0.7) = 0.7.

Para el caso de la "intersección" (que equivale a la operación AND) el valor resultante de la operación corresponde al mínimo valor de alguna de las entradas: min( x 1, x 2, …, x n). En este caso, sí C=A AND B, entonces C= min(0.5, 0.7) = 0.5.

En la operación "complemento" (equivale a una operación NOT), se toma el valor que complemente a 1, de esta forma:  x ’= 1- x  para nuestro ejemplo: sí C= B’, entonces C=1-0.7 =0.3.

Ejemplo: Sean las expresiones difusas

( x 1) AND 2 y x 2= 2 con funciones de pertenencia: A ( x 1= 2)=.72 y A ( x 1) AND B ( x 2) = min(.72,.45) =.45 A

( x 1) OR 

B

A

B

( x 2), evaluadas en x 1= B ( x 2= 4)=.45. Así:

( x 2) = max(.72,.45) =.72

para el complemento: A ( x 1=2) = 1-.72 = .72 Ahora, asumamos que A y B son dos conjuntos difusos cuyas funciones de membresía son A y B respectivamente, así, definimos las siguientes operaciones:

Complemento de un conjunto difuso. Sea A un conjunto difuso en el universo U con una función de membresía definido por: A( x ), el complemento del conjunto A es el conjunto A

A = {(1 -

A

( x )) / x | x esta en U}

La función de membresía del conjunto A

es:

A

( x ) = 1 -

A

( x )

La figura 6 muestra las gráficas de la función de membresía de dos conjuntos difusos y sus conjuntos complementos.

Figura 6. Función de membresía y complemento de los conjuntos difusos A y B.

Intersección de dos conjuntos difusos. Sean A y B dos conjuntos difusos en el universo U con funciones de membresía A( x ) y B( x ) respectivamente, la intersección de los conjuntos A y B se define por: A

B = {min (

( x ),

A

( x )) / x | x esta en U}

B

La función de membresía del conjunto intersección de A y B es: A B( x ) = min { A( x ), B( x )} donde la función min{} selecciona el valor mínimo de los grados de membresía que tiene el mismo elemento x en los conjuntos A y B. En la figura 8 se muestra la gráfica de la función de membresía de la intersección de dos conjuntos difusos.

Figura 8. Función de membresía y operación de intersección de los conjuntos difusos A y B.

Variables lingüísticas. Una variable lingüística, como su nombre lo sugiere, es una variable cuyos valores son palabras o sentencias en un lenguaje natural o sintético. Por ejemplo, la velocidad de un coche, "Velocidad" es una variable lingüística si sus valores son "alta", "no alta", "baja", "no baja", "muy baja", y así sucesivamente.

Figura 9. Valores lingüísticos de la variable difusa "Velocidad". Cada valor de una variable lingüística representa un conjunto difuso en un universo determinado como lo muestra la figura 10.

Figura 10. Conjuntos difusos de la variable lingüística "Velocidad". Estrictamente, una variable lingüística esto formada por cinco partes (x, T(x), U, G, M) donde: x: nombre de la variable. T(x): conjunto de valores lingüísticos de x. U: universo de discurso donde se define T(x). G: regla sintáctica para generar los nombres de los valores de x. M: regla semántica para asociar cada valor a su significado.

Por ejemplo, de la figura 10, "Velocidad" se puede considerar una variable lingüística x. El conjunto de valores lingüísticos (partición difusa de su universo) es:

T(Velocidad) = {muy veloz, veloz, no veloz, lento, muy lento}

Cada termino en T(Velocidad) está caracterizado por un conjunto difuso en el universo de discurso U=[0,200] km/hr. La regla sintáctica G determina el orden de las palabras de los valores lingüísticos de Velocidad: como en alta, no alta y muyalta, donde no y muy son modificadores que preceden al término primario alta. La regla semántico M asocia cada valor lingüístico con su significado: {alta es mayor alrededor de 180}, y {baja es menor alrededor de 30}, etc.

CONCEPTOS BASICOS. A la fecha se han desarrollado diferentes métodos para el diseño de controladores que emplean lógica difusa, para tal fin, es muy importante que se identifiquen bien los parámetros de control así como determinar con mucho cuidado el conjunto de términos (variables lingüísticas) que describirán el comportamiento correcto del sistema. En el control lógico difuso se emplean funciones de membresía para el diseño, los cuatro tipos más comunes son:

Figura 11. Funciones de membresía más utilizadas. (a).Monotonica, (b).Triangular,(c).Trapezoidal, (d).Forma de Campana

La arquitectura básica de un control difuso se muestra a continuación:

Figura 12. Arquitectura básica de un controlador difuso

CODIFICANDO LAS ENTRADAS: DIFUSIFICACION. Los valores de entrada provenientes de los sensores se codifican de tal forma que quedan en términos de las etiquetas lingüísticas utilizadas en la generación de las reglas. Si desde el sensor se lee una señal sin ruido, entonces la etapa de difusificación determina su correspondiente grado de pertenencia a una o varias de las entradas lingüísticas, como se muestra en la figura 13(a). Pero si la señal de entrada contiene ruido, esta debe modelarse utilizando una función de membresía triangular, en donde el vértice del triángulo es la media obtenida del sensor, y la base su desviación estándar. Así para estos casos, la difusificación consiste en encontrar la intersección entre el grado de pertenencia y la distribución del dato sensado.

Figura 13. Función de membresía proveniente del sensor.

(a).Función de membresía de una señal sin ruido. (b). Función de membresía de una señal con ruido

El método más utilizado es aquel donde se analiza a una señal sin ruido.

CONSULTANDO LA BASE DE CONOCIMIENTOS. Para el diseño de la base de conocimientos donde se encuentran las reglas de control, hay que tomar en cuenta: primero,que el conjunto de variables lingüísticas seleccionadas debe escogerse de forma tal que describan muy bien a los parámetros de control del proceso. Tanto los parámetros de entrada como los de salida deben definirse en esta etapa empleando terminología apropiada. La selección del rango de valores para cada termino de las variables de entrada/salida es muy importante para lograr la " suavidad " del control. En segundo lugar la base de conocimientos se elabora tomando en cuenta la descripción lingüística de los parámetros, para ello se sugieren cuatro métodos: • • • •

Experiencia y conocimiento de un operador humano. Modelado de las acciones de control del operador. Modelado del proceso. Auto-sintonización

De los métodos anteriores, el primero es el más utilizado, cuando modelamos el conocimiento del operador las reglas de control toman la forma:

IF [el error es pequeño y su cambio es pequeño] THEN [el esfuerzo es pequeño] lo que es lo mismo:

SI [el error es pequeño y su cambio es pequeño] ENTONCES [el esfuerzo es pequeño]

Donde la primera parte de la regla se conoce como antecedente y la segunda consecuente. Por ejemplo en la regla anterior, el antecedente es: [el error es pequeño y su cambio es pequeño], mientras que el consecuente esta formado por: [el esfuerzo es pequeño]. La efectividad del método se basa en que el operador puede expresar los conocimientos que utiliza en el control del procesos en términos de reglas que tienen la forma descrita anteriormente. El segundo método modela directamente la acción de control del operador.

El tercer método trata con el modelo difuso del proceso, aquí se configura el modelo de una planta como una aproximación utilizando implicaciones que describen los posibles estados del sistema. En este método se desarrolla un modelo y se construye un controlador difuso para controlar el modelo difuso, lo descrito anteriormente es similar a lo que se hace en teoría de control clásica. Aquí, por ende, se necesita identificar la estructura y los parámetros del proceso. Por ejemplo:

SI x 1 es

, x2 es

, …, ENTONCES y =

Para i=1,…, n donde n es el número correspondiente a la implicación y la consecuencia es una función lineal de m variables de entrada. La idea principal del cuarto método es el desarrollo de reglas que pueden ajustarse aun y cuando el controlador este en uso para lograr mejorar su desempeño.

RESOLVIENDO EL CONFLICTO Y TOMANDO DECISIONES. Como ya se mencionó, debido a que las reglas diseñadas para los controladores difusos tienen correspondencia parcial y por consecuencia los antecedentes pueden traslaparse, usualmente más de una regla de control puede llevarse a cabo. La metodología empleada para decidir cual regla de control va a aplicarse recibe el nombre de proceso de solución del conflicto . En el siguiente ejemplo asumimos que se tienen dos reglas para ilustrar el proceso:

REGLA #1: si x es A1 y y es B1 ENTONCES Z es C1 REGLA #2: si x es A2 y y es B2 ENTONCES Z es C2 Ahora consideraremos que x 0 y y0 son los sensores de las variables difusas  x e y, y que sus valores de verdad se representan por respectivamente, donde

(x 0) y

(y0) para la regla 1,

B1

(x 0) representa la función de membresía para A 1. De

igual forma para la regla 2, tenemos

(x 0) y

(y0).

El valor para la regla 1 puede calcularse:

1

=

(x0)

(y0)

donde es el operador de conjunción, que como ya se dijo es igual al valor del operando mínimo. De igual forma para la regla 2:

2

=

(x0)

(y0)

El valor de control para la regla 1 se calcula utilizando el valor obtenido en el paso anterior y el valor del consecuente de la regla:

para la regla 2:

donde w corresponde al cambio de valores que puede tener el consecuente de la regla. Lo anterior significa que como resultado del valor obtenido en los sensores  x 0 y  y0, la regla 1 recomienda una acción de control que corresponde al valor de la función de membresía

, del mismo modo para la regla 2.

El proceso de solución del conflicto produce:

c

(w) =

(w)

(w) = [

]

[

]

donde c (w) es el mejor punto de la función de membresía para las dos conclusiones. El resultado de esta operación es una función de membresía la cual va a tener que desdifusificarse.

DECODIFICANDO LA SALIDA: DESDIFUSIFICACION. En esta etapa se produce la acción de control no difusa, que es representada por la función de membresía de la acción de control. Existen varios métodos para llevar a cabo estrategias de desdifusificación, pero los más utilizados son:

•

Método de desdifusificación de TSUKAMOTO.

Sí empleamos una función de membresía monotónica , entonces la acción de control puede calcularse mediante:

donde n es el número de reglas cuyo valor de la función de membresía es mayor que cero(W i ), y X i  es la suma de la acción de control recomendada por la regla i . •

Método del centro de área (COA).

Este método es sensible al resultado de todas las reglas al momento de hacer la desdifusificación, lo que produce una salida de control más suave. Asumimos que se produce una acción de control con una función de membresía dada por C . El método de centro del área calcula el centro de gravedad de la distribución para la acción de control. Asumiendo un universo de discurso discreto:

donde q es el número de niveles de cuantización de salida, Z j es la suma de las salidas de control en el nivel de cuantización j y c(Z j) representa los valores de la función de membresía en c. En otras palabras, este método asigna el centro del área de la salida difusa final al valor desdifusificado. El centro de área también es llamado centro de gravedad o centroide.

Figura 14. Método de desdifusificación de Centro de Area(COA).

Método de la media del máximo (MOM). Aquí el valor para llevar a cabo la acción de control se obtiene tomando el promedio de los valores de membresía máximos, es decir, este método genera como valor desdifusificado la media de todos los valores que alcanzan el mismo máximo en la salida difusa final.

Figura 15. Método de desdifusificación de Media del Máximo (MOM).

Para un universo discreto, se calcula:

donde l  es el número de valores cuantizados z cuya función de membresía es máximo.

Método del criterio del máximo. Este método considera únicamente la acción de control sugerida por la regla cuya conclusión fue evaluada con el valor de verdad más alto. El punto de desdifusificación encontrado por este método es el que se encuentra donde la salida difusa final alcanza su valor máximo por primera vez, en el sentido de los valores crecientes del eje horizontal.

Figura 16. Método de desdifusificación de Criterio del Máximo.

Desdifusificación para cuando las salidas están en función de las entradas.

Como ya se mencionó, las reglas de control difuso pueden escribirse en función de sus entradas. Por ejemplo:

Regla 1: SI x es Ai  y y es Bi ENTONCES z es f ( x,y)

asumiendo que

i 

es el valor de la regla i :

donde n es el número de reglas empleadas.

EJEMPLO: Se tienen las siguientes dos reglas. Regla 1: SI X es A1 y Y es B1 ENTONCES Z es C1 Regla 2: SI X es A2 y Y es B2 ENTONCES Z es C2 Supongamos que x 0 y y0 son las lecturas obtenidas de los sensores para las variables difusas X y Y, y las siguientes son sus funciones de membresía:

Además supóngase que se los valores obtenidos de las mediciones son  x 0 = 4 y y0 = 8. En el presente ejemplo ilustraremos como calcular:

•

•

La función de membresía para la acción de control recomendada por la combinación de las dos reglas.

El valor de la acción de control utilizando dos métodos: COA y MOM.

El primer paso es relacionar las lecturas de los sensores  x 0 y y0 con los correspondientes valores de los antecedentes A 1 y B1, lo cual produce:

y de forma similar para la regla 2:

y

El valor para la regla 1 se obtiene de:

1

= Min (

(x0),

(y0) = Min (2/3,1) = 2/3

2

= Min (

(x0),

(y0) = Min (1/3,2/3) = 1/3

Aplicando 1 a la conclusión de la regla 1 se obtiene el área trapezoidal sombreada de la figura 17 para C 1, de forma similar para C 2.

Figura 17. Desdifusificación de la combinación de las conclusiones de las reglas.

Aplicando el método de desdifusificación del Centro del Area (COA), se obtiene:

mientras que si se utiliza la estrategia de desdifusificación MOM (Método del máximo de la media), tenemos 3 valores cuantizados cuyas funciones de membresía corresponden con el máximo valor (ejemplo: 3,4,5 con 2/3). Así:

INTRODUCCION. Los modelos difusos empleados en el control de procesos tienden a seguir la misma metodología empleada en el diseño de sistemas de control clásico, esto es: en primer lugar el diseño conceptual es hecho en papel una vez que se ha entendido tanto la mecánica del comportamiento del sistema como su dinámica en términos de entrada/salida; acto seguido se procede a un ciclo de modelado y simulación, y así sucesivamente hasta obtener el resultado deseado. Cabe aclarar que el proceso descrito anteriormente puede apoyarse en herramientas de cómputo especializadas. Para los sistemas difusos, el método de diseño se efectúa de acuerdo con el siguiente ciclo:

Figura 18. Ciclo de la metodología de diseño.

Ahora procederemos a explicar cada una de las etapas consideradas en el diagrama anterior.

DEFINICION DE CARACTERISTICAS DEL MODELO. En esta etapa se definen las características funcionales y operacionales del modelo, aquí la tarea del diseñador consiste en definir (aunque se carezca de un modelo matemático del sistema):

• • •

Los datos de entrada al sistema. Las transformaciones básicas que se aplicarán a los datos. Los datos de salida del sistema.

También deben se debe definir donde exactamente embona el sistema difuso en la arquitectura total del sistema, lo anterior con la finalidad de proporcionar una clara visión de la forma en que los datos estarán fluyendo hacia y desde el sistema difuso, además de que se proporciona una gran ayuda al diseñador para la estimación de los números y rangos de las entradas y salidas difusas requeridas.

DEFINICION DE CONJUNTOS DIFUSOS. Para el proceso de definición de los conjuntos difusos en sistemas de control, primero se identifican y nombran las variables de entrada y de salida y se establecen sus rangos, por ejemplo:

Entrada: Temperatura [110, 330]ºC, Presión [100,2300] Pa Salida: Acción de válvula [-600, +600] mm/s

Como segundo punto, cada variable es descompuesta en un grupo de términos difusos. Cada término representa un conjunto difuso en el universo de discurso de la variable.

Figura 19. Descomposición de una variable en sus términos difusos. Citemos algunas recomendaciones para la definición de los conjuntos difusos: * El número de términos difusos (conjuntos) asociados a cada variable debe ser, generalmente un número impar entre 5 y 9. * Para producir una acción de control suave, cada conjunto debe traslaparse un poco sobre los conjuntos vecinos. El traslapamiento debe ser entre 10% y 50% del espacio ocupado por el conjunto vecino. La suma de las membresías de los puntos verticales del traslapamiento siempre debe ser igual o menor a 1:

Figura 20. Traslape de las particiones de los conjuntos difusos.(a). Partición difusa traslapada correctamente. (b). Partición difusa traslapada incorrectamente.

*La densidad de los conjuntos difusos debe ser mayor alrededor del punto óptimo de control del sistema y menor conforme aumenta la distancia a ese punto.

De acuerdo con las recomendaciones anteriores un ejemplo de conjuntos de entrada y salida es:

Figura 21. Ejemplo de conjuntos para entrada y salida

DEFINICION DE LAS REGLAS. Las reglas de control engloban el conocimiento del sistema y los objetivos de control. Cada regla tiene un estado del sistema en su premisa y una acción de control sugerida en su conclusión. Las reglas de control difusas conectan los valores de entrada con las propiedades de la salida del modelo. Están expresadas como proposiciones condicionales:

SI [ESTADO DEL PROCESO] ENTONCES [ACCION DE CONTROL]

Donde "Estado del proceso" y "Acción de control" es una proposición (o un grupo de proposiciones ligadas por un conectivo Y), de la forma: v es T con v una variable y T un término difuso. Como ejemplo de regla de control tenemos:

SI Temperatura Es Fría Y Presión Es Alta ENTONCES Acción de válvula Es Positiva Media.

Orden de las reglas. Las reglas de control difusas son declarativas y no secuenciales, lo que significa que el orden en que se expresan no es importante. Como una medida preventiva para el mantenimiento del controlador es recomendable agrupar las reglas de acuerdo a las variables de sus premisas:

SI Temperatura Es Fría Y Presión Es Alta ENTONCES Acción de válvula Es Positiva pequeña. SI Temperatura Es Fría Y Presión Es Media ENTONCES Acción de válvula Es Positiva normal. SI Temperatura Es Fría Y Presión Es Baja ENTONCES Acción de válvula Es Positiva grande. SI Temperatura Es Media Y Presión Es Alta ENTONCES Acción de válvula Es No operar. SI Temperatura Es Media Y Presión Es Media ENTONCES Acción de válvula Es No operar. SI Temperatura Es Media Y Presión Es Baja ENTONCES Acción de válvula Es Positiva.

Número de reglas. El número de reglas que requiere un controlador difuso se halla multiplicando el número de términos difusos de las variables de entrada. De esta manera las reglas cubrirán todas las posibles combinaciones provenientes de las distintas entrada.

Como ejemplo, para un sistema con dos variables de entrada cada una con 5 términos difusos existen 5 * 5 = 25 combinaciones de entrada y por lo tanto 25 reglas de control.

Diseño de una base de reglas. Para diseñar una base de reglas se utiliza una matriz que cubre todas las posibles combinaciones de las entradas. Para un sistema con dos entradas se asigna una entrada a cada eje de la matriz y existirán tantas divisiones en caja eje como términos difusos tenga la variable que le corresponde: En cada celda de la matriz se escribe la acción de control que sugeriría la regla que tendría esa combinación de entradas como premisa. De la matriz se pueden derivar todas las reglas que formarían una base completa. Sí el sistema cuenta con tres entradas se utiliza una matriz por cada término lingüístico de la tercera variable.

Figura 22. Ejemplo de diseño de una base de reglas.

En algunos casos es posible utilizar menos reglas pero no es recomendable hacerlo, puesto que las reglas representan conocimiento, si alguna es eliminada, se remueve conocimiento del sistema, conocimiento que puede volverse importante si el sistema es modificado después.

ELECCION DEL METODO DE DESDIFUSIFICACION.

Aquí se selecciona uno de los varios métodos para convertir un conjunto difuso de salida en una variable solución no difusa.

SIMULACION Y AJUSTE DEL SISTEMA. Cuando el modelo difuso ha sido construido, el proceso de simulación y desarrollo del prototipo comienza. En lo que se refiere a la simulación, está puede realizarse en varios paquetes computacionales disponibles en el mercado. Generalmente estos paquetes incluyen herramientas para evaluar el modelo difuso y aislar problemas en los conjuntos difusos o en la base de reglas. Cuando los resultados de la simulación o las pruebas no son satisfactorios se realizan ajustes en las descripciones de los conjuntos difusos o en las acciones de control sugeridas por las reglas, hasta afinar el desempeño del control. El modelo es comparado con casos similares conocidos para validar los resultados y terminar el desarrollo del control.

INTRODUCCION En este parte se presenta una aplicación de diseño de un controlador difuso, aplicado al problema del péndulo invertido, el cual se tomo de una tesis de licenciatura realizada en la Universidad de las Américas Puebla, por el alumno Ignacio Alfonso Quijano Arellano siendo dirigida por el Dr. Rubén Alejos Palomares en 1995. Nos limitaremos a presentar sólo la parte del trabajo desarrollado que nos interesa y que es el diseño del controlador difuso

El PROBLEMA DEL PENDULO INVERTIDO. Modelos del operador humano han sido investigados por muchos años. Existen muchas razones del porque encontrar estos modelos ya que pueden ser la base para entrenar a otros sistemas o bien montar el conocimiento en una máquina que pueda reemplazar al operador humano ya que existen operaciones dentro de la industria que pueden ser muy peligrosas tales como exploraciones bajo el mar, aplicaciones en el espacio, o dentro de una planta nuclear. Estamos interesados en el desarrollo de modelos que capturen una respuesta muy parecida al operador humano a la hora de balancear manualmente un sistema robótico es el caso del péndulo invertido. Dentro del estudio de los robots de piernas o extremidades, lo más importante ha sido el balanceo de estos, pues es la parte esencial para que no caiga el cuerpo del robot.

Las primeras máquinas que se balanceaban activamente fueron automáticamente controladas por péndulos invertidos. Es sabido por cada uno de nosotros que un humano puede balancear una escoba en su mano o en un dedo con relativa facilidad. ¿Por qué no utilizar control automático para construir una escoba (péndulo invertido) que se balanceé por si misma? Claude Shannon fue probablemente el primero en hacerlo. En 1951 usó las partes de un juego erector para construir una máquina que balanceara un péndulo invertido que estaba arriba de un pequeño carrito de poder. El manejador del carro iba en direcciones atrás y adelante, en respuesta a los tipos de movimiento del péndulo, éste era sensado por un par de interruptores en su base. Para lograr moverlo de un lugar a otro, el carro primero tenía que manejarse fuera del destino para poder desbalancear al péndulo, para proceder en dirección del destino. Para balancear nuevamente hacia el destino, el carro se movía pasando el destino hasta que el péndulo se encontrará otra vez completamente perpendicular a la horizontal sin velocidad hacia delante, entonces se movía en sentido inverso del destino y así lo lograba balancear. La importancia del balance activo en extremidades para la locomoción no es un problema nuevo, pero el progreso en la construcción de sistemas con extremidades físicas que ocuparan estos principios fue retardado por la evidente dificultad del trabajo. No fue sino a finales de los años setenta que los experimentos en balance comenzaron a salir adelante. Otra de las principales aplicaciones que podemos encontrar para el péndulo invertido además de los robots, es el posicionamiento de un satélite con respecto a la tierra, en este caso el satélite esta en movimiento y las antenas que se encuentran en la tierra no pueden dejar que se mueva demasiado, ya que sino se saldría del rango de comunicación entre ellos. Es así como podríamos decir que están sujetos estos dos cuerpos (satélite y antena) por un vector virtual el cuál en la parte de la tierra se encuentra fijo y la parte en movimiento en el espacio, haciendo así la función del péndulo invertido. Existen más aplicaciones para el péndulo invertido como lo es la estabilidad en grúas, edificios, aplicaciones didácticas, etc.

LOGICA DIFUSA COMO ALTERNATIVA AL PROBLEMA DEL PENDULO INVERTIDO. COMPARACION CLASICA DIFUSA. El control clásico proporcional integral derivativo (PID) es ampliamente empleado para controlar sistemas dinámicos. La idea básica es que la señal de control es calculada en base a la diferencia entre un valor deseado de salida y un valor actual de salida como una función del tiempo. El controlador PID tiene atributos de una respuesta muy rápida reduciendo oscilaciones etc. Sin embargo controladores proporcionales y derivativos son muy sensibles a señales con ruido y es necesario un ajuste muy preciso para hacerlos funcionar adecuadamente. También, la acción proporcional tiene una posibilidad de introducir oscilaciones

cuando existe un compromiso con el tiempo y esto hace que se retrase la respuesta en tiempo de la misma. El PID es un controlador lineal, esto es, las ecuaciones del PID asumen valores lineales. Sin embargo cuando la dinámica del proceso no es lineal, hay que tener especial cuidado para compensar la no linealidad del sistema, y el controlador PID por si mismo no es suficiente para logar esta compensación. Este "cuidado especial" no puede ser siempre explícito ni describirse en forma de ecuaciones, pero es frecuente tener un operador humano que lo controle de modo empírico, como se dice "la regla del dedazo". La escencia del control difuso es explotada en este tipo de hechos conocidos. Los sistemas de control difuso usan las mismas entradas que un PID (ej. error y su derivada), pero procesan la no linealidad del sistema. De aquí que el controlador difuso puede ser usado como un controlador PID no lineal. En un ejemplo se tiene un controlador de temperatura y aquí se presenta la respuesta que tienen los sistemas tanto un controlador difuso como un PID y se puede apreciar perfectamente que el controlador difuso es más rápido y se estabiliza también más rápido que un PID.

Figura 23. Comparación entre un control clásico PID y un control difuso.

CONOCIENDO EL SISTEMA. En la figura 24 podemos ver el sistema balanceando el péndulo el cuál es libre en movimiento en una dimensión de dirección y podemos notar también sus diferentes variables físicas.

Figura 24. Sistema del péndulo invertido.

Las ecuaciones del movimiento del carro junto con el péndulo no son conocidas para el controlador, el cual hace que el sistema se vea como una caja negra. Lo que es conocido es un vector que describe el sistema paso a paso. Sí el péndulo cae este recibe una señal de fracaso. Después de que una señal de fracaso ha sido recibida, el sistema se inicializa a su estado inicial y un nuevo evento es realizado. En la masa se evalúa la retroalimentación, el controlador puede realizar su propio control y trata de poder balancear el péndulo lo mejor posible. Esto no es pocible y no se logra balancear ya que el carro tiene únicamente dos acciones de control y siempre se mueve a la misma velocidad así es que posiblemente sólo le cambie de dirección al péndulo pero con suficiente fuerza para que este vuelva a caer hacia el lado contrario haciendo así moverse al carro con una misma velocidad pero en sentido contrario para dar por finalizado el evento.

GENERACION DEL MODELO DIFUSO. Para la creación del modelo difuso es necesario primeramente conocer el funcionamiento de la planta y es recomendable para un entendimiento mucho más fácil "jugar" por unos cinco minutos con una escoba y tratar de balancearla y al mismo tiempo tratar de formular y describir con palabras lo que esta pasando, es decir, si se va despacio hacia la izquierda decir que se movió un poco la mano a la izquierda; si cae fuertemente a la derecha decir que se movió la mano fuertemente hacia la derecha; hay que tratar de hacer el sistema en 180º de libertad y procurando que el movimiento sea únicamente con un grado de libertad. Esta práctica ayudará bastante al entendimiento de la generación del modelo difuso de la planta. Aunque la tarea anterior pareciera un poco "tonta" es importante tratar de realizarla ya que se está interesado en desarrollar un modelo el cual capture decisiones de respuesta del operador humano por medio de un control manual a la hora de balancear el sistema, es así como trabaja la lógica difusa basada en hechos reales y semejándose mucho al pensamiento del ser humano. El primer estímulo para el operador humano es la información visual que este pueda captar en una simulación en tiempo real.

VARIABLES INVOLUCRADAS,ESPACIOS DE CADA VARIBLE Y RELACION ENTRE ELLAS. El primer paso a seguir, es escoger una forma de representación de la relación entrada-salida a ser modelada, para ello necesitamos tres elementos: variables, relación entre las variables y parámetros que las relacionan. Debemos procurar seleccionar a las variables de forma que los valores relacionados con el fenómeno puedan ser medidos. Definamos la variable de entrada, la cual lógicamente es la entregada por la posición del péndulo con respecto a la horizontal y la llamaremos error, debido a que cuando el péndulo esta totalmente perpendicular el error es cero y así cuando se ha desplazado con algún ángulo ya exite un error ya que nuestra finalidad es que exista siempre un error igual a cero. Cabe aclarar que el nombre puede cambiar no es obligatorio ya que únicamente es una variable lingüística y el diseñador la puede definir como mejor le parezca. La variable de salida se ha definido con el nombre de acción de control , o fuerza (que se le aplicará al carro). Una vez definidas las variables de entrada y salida se define para cada variable su "universo difuso", es decir, se crea para cada variable los conjuntos difusos que esta representa y a continuación se relacionan entre ellos por medio de reglas.

VARIABLE DE ENTRADA. * Variable de entrada llamada error . Describe el margen de error que hay en el péndulo con respecto a la horizontal. Es importante saber cuales son los rangos donde opera el péndulo ya que existen rangos en los cuales será imposible levantar el péndulo tal y como sucedió a la hora de jugar con la escoba. Estos rangos fueron caracterizados con un margen de error (en términos de la variable) de 30 [18]. Es necesario expresar esta variable con palabras (grande, pequeño, medio) en nuestro universo difuso, se crearon 7 conjuntos difusos para esta variable, las cuales van desde error grande negativo (EGN) pasando por error cero ( EC), hasta error grande positivo (EGP).

Figura 25. Partición del universo de la varible lingüística error .

El universo de discurso será entronces un conjunto convencional que abarca la gama completa de valores que en dado caso puede asumir el error, así tenemos: U=[-90º error, +90º error] interpretando como error grande negativo (EGN) por debajo de -25º de error y por error grande positivo (EGP) por arriba de +25º de error. En este punto conviene aclarar que el procesado de los datos se hizo mediante un microcontrolador. La partición del universo de la variable error está dado en ángulos pero como realmente lo que ve el microcontrolador son valores de voltaje entonces se muestra la partición con valores de voltaje (digitales). En este caso se cuenta con un convertidor analógico digital de 8 bits entonces codificamos con una gama de valores de 0 a 255, lo cual para el error del ángulo se tiene: (0) 2 -90º de error, en (128) 2 0º de error y en (255) 2 +90º de error. Así la partición para el espacio de la variable, en términos del voltaje analogo se muestra en la figura 26.

Figura 26. Variable lingüística error descrita en valores de voltaje.

El universo de discurso entonces: U= [0 volts, 5 volts] en términos de voltaje analógico, para los valores de voltaje digital: U= [0, 255] interpretando como error grande negativo (EGP) por debajo de 100 y por error grande positivo (EGP) por arriba de 145. Este conjunto forma la base de conocimientos del controlador lógico difuso, también dentro de la base de conocimientos tenemos la partición para la variable de salida.

VARIABLE DE SALIDA. * Variable de salida llamada acción de control . Esta variable es la acción de control que se le entregará al carro para ver que tan fuerte se moverá este y por lo tanto hará que logre levantar o equilibrar al péndulo, el rango de la señal es de 0 a 5 volts. De forma que podemos decir que la variable acción de control tiene un universo U = [0, 5] y sus particiones en términos de valores de voltajes digitales se muestran en la figura 27.

Figura 27. Partición del universo de la variable lingüística acción de control .

Se define para rangos menores de 0.7 volts acción de control grande negativa (GN) y para acciones de control por arriba de 4.3 volts como acción de control grande positiva (GP) junto con sus valores intermedios acción de control mediana (MN o MP), pequeña y cero (CR).

DEFINICION DE LAS REGLAS. A continuación se describen la relación entre las variables y las reglas de inferencia para los conjuntos difusos creados. Las variables tanto de entrada como de salida tienen que estar íntimamente relacionadas ya que para un error (variable de entrada) tiene que existir una acción de control (variable de salida), dicho en otras palabras, si el péndulo cae un poco entonces el carro se moverá poco y si cae mucho entonces el carro se moverá más fuerte. Partiendo de estas propiedades se crea la relación entre las variables y por lo tanto la manera de relacionarlas es por medio de las reglas de inferencia las cuales son 7:

REGLA #1: Si error ES grande negativo ENTONCES fuerza ES grande negativa

REGLA #2: Si error ES mediano negativo ENTONCES fuerza ES mediana negativa REGLA #3: Si error ES pequeño negativo ENTONCES fuerza ES pequeña negativa REGLA #4: Si error ES cero ENTONCES fuerza ES cero REGLA #5: Si error ES pequeño positivo ENTONCES fuerza ES pequeña positiva REGLA #6: Si error ES mediano positivo ENTONCES fuerza ES mediana positiva REGLA #7: Si error ES grande positivo ENTONCES fuerza ES grande positiva

De esta manera ya tenemos relacionadas las dos variables, y así para una entrada tendremos una salida, a bloques tenemos:

Figura 28.Diagrama a bloques del lazo de control difuso.

El proceso de desdifusificación se lleva a cabo mediante el método de centro de área (COA). Para llevar a la práctica el diseño se empleo un microprocesador el cual puede manipular información para sistemas difusos, de la marca Togai Infralogic FC110. Para guardar la información de la base de conocimientos se utilizan memorias EEPROM.

PRUEBAS Y RESULTADOS.

Las pruebas realizadas primeramente fueron a lazo abierto para apreciar con que fuerza se movería el carro, para que fuera posible levanta el péndulo cuando este callera, de esta manera se empezaron a involucrar las variables tanto de entrada como de salida.

Todas las pruebas que se realizaron constan de una variable de entrada (error) y de una variable de salida (acción de control) cada una descrita por siete conjuntos. De alguna manera se modificaron para dar un ajuste de sintonía cada vez más preciso para un mejor funcionamiento del controlador. Una vez realizadas varias pruebas se llegó a un ajuste de conjuntos "preciso", los cuales son los que se muestran en las figuras 29 y 30. Las reglas de inferencia no se modificaron en ningún momento para el ajuste ya que es lógico que a cada conjunto de la variable de entrada le corresponda un conjunto de la variable de salida. Algunas herramientas importantes en el análisis de control difuso son las gráficas en tercera dimensión donde se pueden apreciar las variables en cuestión. La siguiente gráfica muestra claramente que para la variable de entrada error, cuyo valor va de –90º a +90º su correspondiente acción de control esta descrita en valores digitales de voltaje de 0 a 255.

Figura 29. Gráfica en tercera dimensión de las variables en estudio.

Otro análisis importante es la gráfica de profile o mejor conocido como perfil. Esta gráfica (Figura 6.8) muestra el perfil de la gráfica en tercera dimensión de la figura 6.7. Nótese que para errores cercanos a cero la acción de control es aproximadamente en valor digital a 128, es decir, 2.5 volts que es cuando el motor (que mueve al carro) estará parado ya que se ha cumplido el objetivo del proyecto. Se tiene una linea de "subida" que es nuestro "rango controlable" y en la parte que va de –30º a –90º que forma el miembro de error grande negativo la acción de control es de 0v (grande negativo) y la parte que va de +30º a +90º es la parte que conforma el error grande positivo que esta en el orden de 5v.

Figura 30. Gráfica del profile con las variables involucradas.

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