Lógica Computacional: Contextualizando - Situação Problema

19/07/2021

 

Contextualizando – Situação Problema

Lógica Computacional

Você trabalha em uma empresa de tecnologia que ajudou a fundar, uma   startup   que desenvolve aplicativos para o setor industrial. Para ne Para nego goci ciar ar co com m se seu u cl clie ient nte, e, pa pape pell qu que e é de su suaa responsabilidade na empresa, você tem que usar o raciocínio

Princípios Fundamentais da Matemática e da Lógica Prof a. Ms. Adriane Ap. Loper

lógico par lógico paraa int interpr erpreta etarr as inte intençõe nçõess das pessoas pessoas que se relacionam comercialmente com você e conseguir demonstrar seu produto e fechar vendas. Seu desafio é interpretar se um negócio pode ou não ser fechado a partir de frases contidas contidas nos e-mails de seus clientes. clientes.

Contextualizando – Situação Problema Unidade de Ensino:1 Competência Competê ncia da Unidade Unidade:: Conhecer elementos indispensáveis indispensáveis para um profissional da área de exatas no que diz respeito ao raciocínio lógico, crítico e estruturado, por meio de técnicas de demonstração Resumo: Res umo: Nes Nessa sa aula abordarem abordaremos os uma intr introduç odução ão à lógi lógica ca matemática, matem ática, conhecendo e analisando as proposiçõe proposiçõess Palavras-cha Pala vras-chave ve :lógica, indutiva,dedutiva Título da Te Teleaula: leaula: Princípios Fundamentais Fundamentais da Matemá Matemática tica e da Lógica Teleaula Te leaula nº: 1

Você dev Você deverá erá util utiliza izarr as clas classifi sificaçõ cações es de   lógica lógica indu indutiva tiva e dedutiva para dedutiva  para esse exercício e pensar sobre possíveis diálogos de negociação. O pon ponto to pr princ incipa ipall a se serr en ente tendi ndido do é: a pa parti rtirr de um umaa determinada determ inada frase do cliente cliente,, como podemos inferir podemos  inferir algumas outras conclusões com grande probabilidade probabilidade de acerto, ou seja, visando à venda de um produto? produto ? Por exemplo, a partir de um e-mail do cliente, você extraiu as seguintes frases: “Realizamos dezenas de testes com o seu software e em todos ele foi capaz de chegar à melhor solução para nosso problema problema.” .”

Contextualização

Contextualizando – Situação Problema

Vamos falar de lógica? Em geral quando vemos essa palavra associamos: Coerência, Racionalidade Racionalida de ,”Correção ,”Correção do pensame pensamento” nto”,, arte de “bem” pensar; Como pens pensame amento nto env envolve olve raciocínio raciocínio,, a lógi lógica ca est estuda uda a “correção “corre ção do raciocínio”, raciocínio”, a ordem da razão.

“Nos últimos anos, os soft softwar wares es que res resolve olveram ram nos nossos sos problem pro blemas as for foram am adqu adquirid iridos os par paraa a melh melhoria oria de noss nossos os processos.” Você deverá concluir, com base com  base na lógica clássica, clássica, se o cliente está motivado a adquirir o produto compondo argumentos e esclarecendo esclare cendo se a lógica utilizada é a indutiva a indutiva ou a dedutiva. dedutiva. Depois   projetarem projetaremos os um circuito de circuito de modo que cada membro vote a favor apertando um botão e, ao final do processo, uma luz se acenderá caso o projeto seja aprovado. E para finalizar, finalizar, vere veremos mos as probab probabilidades ilidades de computa computadores dores estarem sobrecarregando a rede. Vamos aprender?

E a lógica de programação? programação? Faz uso da “ordem da razão”, usando técnicas e uma gramática própria, para para solução de problemas, com validade e coerência. coerência.

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Organização do pensamento pensamento:: Conceitos

Premissas

Fundamentos da lógica

Raciocínio

Quando mal construído pode levar a resultados equivocados

• •

Erros:   Formal   Material

Construção

Resultado

Definições

Proposições

A lógica  lógica é  é a arte a arte de pensar corretamente ou corretamente ou a lógica é um estudo um estudo dos modoscorretos do pensamento pensamento(SOARES (SOARES,, 2014, p. 1). Segundo Forbellone (2005, (2005, p. 1), 1), lógica  lógica é  é a  a “arte de bem pensar” pensar ”, que é a “ciência “ciência das formas do pensamento” pensamento”. O estudo da   lógica   nos permite, portanto, de forma prática, prática, entender como nosso raciocínio nosso  raciocínio lógico é formado formado,, fundamentar nossos argumentos, escrever e registrar de forma organizada, nos comunicar melhor, além de fazer conexões entre diversos assuntose entender melhor o mundo que que está a nossavolta. A lógica é a ciência que estuda os os argumentos  argumentos,, suas premissas suas premissas e  e conclusões , os métodos e princípios que possibilitam a distinção conclusões,  argumentos ntos válidos enão válidos. válidos. entre argume entre



Definições

Definições

  Denomina-se proposição  a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valoress lógicos possívei valore possíveis: s: verdadeiro  ou falso.    Proposição:consiste em Proposição:consiste em um enunciado, uma frase declarativa declarativa..   Exemplos: Marte é um planeta do Sistema Solar. São Paulo é a capital do Paraguai. O 11 é um número primo.. 

 Premissas Premissas:: consistem

A lógic lógica a form formal al  começa nos estudos de Aristóteles, na Grécia Antiga. A  lógica é dita formal quando  analisa e representa a forma de qualquer argumento para que possa ser considerado válido para alguma conclusão. A   lógica formal   lida com as rel relaçõe açõess entr entre e pre premiss missas as e as conc co nclu lusõ sões es qu que e se ch cheg egam am a pa part rtir ir da dass pr prem emis issa sas, s, independ inde pendent enteme emente nte se a pre premiss missaa é ver verdade dadeira ira ou fal falsa sa (MUNDIM,2002).

  



em proposições que são utilizadas como base para um raciocínio. Pode-se dizer que são as proposições do silogismo. Argumento::  conjunto de enunciados que se relacionam uns Argumento com os outros. outros. Silogismo: consiste em um raciocínio dedutivo (premissas) e possibilitaa dedução de uma conclusão a partir das premissas. premissas. Inferência   é o processo que permite chegar a conclusões a partir par tir de pre premiss missas, as, cons constitu tituindo indo a arg argume umenta ntação ção lógi lógica ca perfei per feita. ta. A inf inferê erência ncia,, pode ser de dois tipos:  tipos:   indutiva indutiva e dedutiva.. Uma inferênciainválida é chamada falácia. dedutiva Falácia : cons consist iste e em arg argumen umentos tos que logi logicam cament ente e est estão ão incorretos.

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Classificação da Lógica Indutiva Ex: O Sol nasceu todas as manhãs até hoje. Logo, é provável que nasça amanhã. Combinação, Probabilidades...

Dedutiva Ex: Todo homem é mortal. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal. Clássica e Não Clássica

Para a lógica indutiva, partiremos da experiência com as verdades e fatosparticulares na buscade uma conclusão geral. Para Pa ra a lógic lógicaa dedutiva, partire partiremos mos de premiss premissas as gerais para concluirmosverdades específicase particular particulares. es.

Resolução da SP

Startup de tecnologia

Você se lembra que na situação problema você trabalha em uma startup   que produz softwares softwares para uso industrial industrial e est estáá analisando a troca de e-mails com o cliente para concluir se a venda deverá ser fechada ou não? Para isso, você decidiu recorrer à lógica à  lógica clássica e aos raciocínios dedutivo e indutivo. Vamos retomar as frases extraídas do e-mail do cliente: “Realizamos dezenas de testes com seu software e em todos ele foi capaz de chegar à melhor solução para nossoproblema.” “Nos últimos anos anos,, os sof softwa twares res que res resolve olveram ram noss nossos os problem pro blemas as for foram am adqu adquirid iridos os par paraa a mel melhori horiaa de noss nossos os processos.” Por meio de um raciocínio indutivo, partindo de diversos casos particulares para chegarmos a uma conclusão geral, poderíamos

realizar a seguinte inferênciacom seguinte inferênciacom a primeira frase: frase: Realizamos dezenas de testes com seu software e em todos ele foi capaz de chegar à melhor solução solução para nossoproblema. Portanto, o software da sua empresa resolve o problema do cliente. As dezenas de testes individuais em diferentes contextos nos permitem concluir que o software atendeu às expectativas do clientee resolve o problema da indústria. indústria. Com relação relação à   segunda frase, frase,   podemos podemos realizar a seguinte inferência: “Nos últimos anos anos,, os sof softwa twares res que res resolve olveram ram noss nossos os problem pro blemas as for foram am adqu adquirid iridos os par paraa a melh melhoria oria de noss nossos os processos.” Portanto, o cliente sempre adquire os softwares que resolvem

seus problemas. Em todas as situações anteriores, a empresa acatou à solução trazida pelo fornecedor fornecedor para a solução dos seus problemas. As   duas conclusões   apresentada apresentadass poderiam, por sua vez, ser combinadas por meio de um raciocínio dedutivo para se chegar a uma conclusão: O clie cliente nte sempre adquire adquire os soft softwar wares es que res resolve olvem m seus problemas. O software da sua empresa resolve o problema do cliente. A conclusãonatural da dedução,seria: Portanto, o software software de sua empresa será adquirido. Isso mostra que as perspectivas são positivas para o fechamento do negócio, negócio, mas não se esq esqueç ueçaa de que as conclusões conclusões do raciocínioindutivo são válidas até até que ocorra um contraexemplo. contraexemplo.

Então, antes de comemorar, comemorar, é melhor esperar esperar que o cliente confirme conf irme formalmen formalmente te a aqui aquisiçã sição o do sof softwa tware re após as negociaçõesfinais.

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Lógicaa - Iníci Lógic Início o Conceitos

Evolução da Lógica

  Lógica

é o estudo da estrutura e dos princípios relativos ao raciocínio, à estruturação raciocínio, estruturação do pensamento, com ênfase na argumentação argume ntação,, que pode ser considerada como válida ou inválida.

   Com

base bas e em pre premiss missas, as, ela per permit mite e a cons construç trução ão do

raciocínio indutivo indutivo ou dedutivo dedutivo,, e també também m a realiz realização ação de operações operaçõ es lógicas simbólicase demons demonstrações trações matemáticas. matemáticas.    Pod Podemo emoss

classifi clas sificar car a est estudo udo da lógi lógica ca em trê trêss gra grandes ndes períodos:   o Pe Períod ríodo o Aris Aristoté totélico lico,, o Per Período íodo Booleano Booleano e o Período Atual.

Contextualizando

Silogismo

Você dev Você deverá erá elab elabora orarr uma   apresentação   destacando destacando como conceitos como aberto e fechado, ou ligado e desligado podem ser representados representados e trabalhados com uma álgebra booleana. booleana. Para tanto, foi proposto a você o seguinte problema: O comi comitê tê diretor diretor de uma multinacio multinacional nal é for formado mado por trê trêss membros:: o diretor executivo, membros vo, o vice-dir vice-diretor etor financeiro financeiro e o vicediretorde relações institucionais. institucionais. Um projeto de criação de uma filial dessa filial  dessa empresa em um país emergente será emergente  será votado pelo comitê, e o projeto só passará se o diretor executivo votar a favor e obtiver maioria. maioria. Você deverá projetar deverá  projetar um circuito   de modo que cada membro vote a favor apertando apertando um botão e, ao final do processo, uma luz

Silogismo nada mais é do que um argumento constituído de Silogismo nada proposições das quais se infere (extrai) uma conclusão. Assim, não se tra trata ta de conf conferi erirr val valor or de verdade verdade ou fal falsida sidade de às proposições (frases ou premissas dadas) nem à conclusão, mas apenas de observar observar a forma como foi constituíd constituído. o. É um raciocíni raciocínio o mediado que fornece o conhecimento de uma coisa a partir de outras coisas coisas (buscando (buscando,, pois, sua causa) (CABRAL, (CABRAL, 2020). Em um silogismo um  silogismo,, as premissas as  premissas e conclusões se conclusões  se encaixam de tal formaa que, uma vez que você aceita form aceita as pre premiss missas as com como o verdadeiras, fica obrigado a aceitar que a conclusão também o é, independenteme independe ntemente nte do teor do real argumento que está sendo construído(ZEGARELLI, 2013).

Contextualizando

Silogismo

se acenderá caso o projeto seja aprovado. Esse circuito circuito pode poderá rá ser utilizado utilizado em outr outras as vot votaçõe açõess pelo mesmo comitê. Como você projetará esse circuito? Que relação esse projeto guarda com aspectos da evolução da lógica?

Considere, por exemplo, exemplo, o seguinte argumento lógico dedutivo: Premissas: Todos os brasileiros torcem pelo Brasil. José é brasileiro. Conclusão:José Conclusão: José torcepelo Brasil. Assumindo as premissas como verdadeiras , concluímos que José torce pelo Brasil. Observe que ao analisarmos as premissas, não podemos fazer juízo de valor sobre elas. O argumento lógico é deduzido a partir daquilo que é colocado como verdade, e a nossa opinião sobre a validade das premissas não pode interferirna elabora elaboração ção da conclusão.

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Período Arist Aristotélico otélico - Lógica Clássica Clássica A Lógica Clássica, Clássica, é regida, basicamente, por basicamente,  por três princípios: princípios: o da identidade,, o da não contradiçãoe o do terceiro excluído. identidade excluído. O mais importante é que esses princípios funcionam como   leis que perm permitir itirão ão a   formulaçã formulação o de conc conclusõ lusões es lógi lógicas cas   sobre proposições,, mesmo que não estejamos familiarizado proposições familiarizadoss com a naturezaa daquilo que está sendo discutido (ZEGARELLI naturez (ZEGARELLI,, 2013).

Princípios Fundamentais da Lógica Clássica Ident Ide Identidade ntida idade de Uma proposição verdadeira é verdadeira. Uma proposição falsa é falsa.

Nâo-C Nâ Nâo-Contradição o-Con ontr trad adiçã ição o Terceiro Excluído Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Princípios fundamentais da lógica 1. O princípio princípio da identidade identidade:: garante que uma proposição é igual a si mesma. Isso parece estranho em um primeiro momento,, mas do ponto de vista formal é necessário momento garantir isto; 2. Princípio da da não-contra não-contradição dição:: uma proposição não pode ser verdad verdadeira eira e falsa falsa ao mesmo tempo; 3. Princípio Princípio do ter terceir ceiro o ex excluíd cluído o: um umaa pr prop oposi osiçã ção o ou é verdadeira ou é falsa; não existe existe uma terceira alternativa.

Resolução da SP

Lógica Clássica

Banca: PC-SP Órgão: PC-SP Prova: PC-SP PC-SP - Delegado de Polícia Em lógica, lógica, pelo pelo princípio  princípio do terceiro excluído excluído,, a) uma proposição proposição falsa pode ser verdadeira verdadeira e uma proposição falsa pode ser verdadeira. verdadeira. b) uma pro proposi posição ção ver verdade dadeira ira pode ser fal falsa, sa, mas uma proposição proposiçã o falsaé sempre falsa. falsa. c) uma proposição proposição ou será verdadeira, verdadeira, ou será falsa, falsa, não há outra possibilidad possibilidade. e. d) uma proposição verdadeira verdadeira é verdadeira verdadeira e uma proposiçã proposição o falsa éfalsa. e) nenh nenhuma uma pro proposi posição ção pode poderá rá ser verdadeir verdadeiraa e fal falsa sa ao mesmo tempo.

Banca: PC-SP Órgão: PC-SP Prova: PC-SP PC-SP - Delegado de Polícia Em lógica, lógica, pelo pelo princípio  princípio do terceiro excluído excluído,, a) uma proposição proposição falsa pode ser verdadeira verdadeira e uma proposição falsa pode ser verdadeira. verdadeira. b) uma pro proposi posição ção ver verdade dadeira ira pode ser fal falsa, sa, mas uma proposição proposiçã o falsaé sempre falsa. falsa. c) uma proposição proposição ou será verdadeira, verdadeira, ou será falsa, falsa, não há outra possibilidad possibilidade. e. d) uma proposição verdadeira verdadeira é verdadeira verdadeira e uma proposiçã proposição o falsa éfalsa. e) nenh nenhuma uma pro proposi posição ção pode poderá rá ser verdadeir verdadeiraa e fal falsa sa ao mesmo tempo.

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Álgebra Booleana Interação

Kahoot

George Boole foi Boole  foi o inventor da chamada  chamada   Álgebra Booleana, Booleana, que foi o primeiro sistema totalmente detalhado que lida com a lógica como cálculo. Podemos Podem os dizer que a Álgebra Booleana se caracteriza por utilizar apenas   dois dois nú núme mero ross (d (díg ígit itos os), ), 0 e 1,   que signi significa ficam, m, respectivamente,   falso falso e ver verdad dadeir eiro o, e qu que e po porr me meio io de propriedades essenciais dos operadores lógicos e de conjuntos oferece ofere ce uma estrutu estrutura ra para se lidar com proposições proposições.. Considere, por exemplo, as seguintes afirmações: (A) O Brasil é um país da América do Sul. Verdadeiro Sul. Verdadeiro (B) Pablo Picasso Picasso é um grandejogador de futebol. futebol. Falso  Falso Assumindo a primeira proposição como verdadeira e a segunda como falsa, podemos dizer dizer que:(A) que:(A) = 1 (B)) = 0 (B

Álgebra Booleana Na Álgebra Booleana a Booleana a adição é associada ao conectivo  ou. Assim, a proposição “O Brasil é um país da América do Sul   ou   Pablo Picasso é um grande jogador de futebol” pode ser representada como: (A) + (B) = 1 + 0 = 1. (Verdadeira). E na Álgebra Booleana a Booleana a multiplicação é associada ao conectivo e. Assim, a proposição “O Brasil é um país da América do Sul  e  Pablo Picasso é um grande jogador de futebol” pode ser representada como: (A) x (B) = 1 x 0 = 0 (Falsa). (Falsa). Embora Embo ra o cálcu cálculo lo dos valores valores seja parecido parecido ao da arit aritméti mética ca convencional, convencion al, o significado dessas operações operações é purame puramente nte lógico.

Álgebra dos Conjuntos Conceitos

Evolução da Lógica –  Álgebra Booleana Booleana

Georg Cantor foi o idealizador da Teoria de Conjuntos. A Álgebra dos Conjuntos, advinda da Teoria de Conjuntos, com operações particulares como União (U) e Intersecção (Ո) serviu não apenas como uma estrutura estrutura de lingu linguage agem m par paraa a lógi lógica ca formal, form al, mas tam também bém como alice alicerce rce de toda a Mat Matemá emática tica Moderna. Nega ção (n (não) Operadores lógicos: (1) ~ (2) Λ

Conj unçã o (e (e)

(3) V

Disjunção (o (ou)

(4) V

Disj unção ex exclusiva

(5) →

Condicional ( Se Se... en e ntã o)

( 6) 6) ↔

Bic on ondic io na l ( Se Se, e s om ome nt e se se .... .).)

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Utilização de Conectivos Lógicos p: Carlos é ciclista.

q: Bruno é escritor.

~p: Carlos não é ciclista ~q: Bruno não é escritor p  q: Carlos é ciclista e Bruno é escritor p v q: Carlos é ciclista ou Bruno é escritor p  q: Se Carlos é ciclista então Bruno é escritor p  q: Carlos é ciclista se, e somente se Bruno é escritor

Resolução da SP

Startup de tecnologia

Trabalhando como um colaborador de uma startup de tecnologia, seu segundo desafio consiste em projetar um circuito de votação de projetos para o comitê diretor de uma empresa multinacional. O comitê diretor dessa empresa multinacional é formado por três membros: o membros:  o diretor executivo, executivo, o vice-dir vice-diretor etor financeiro e o vicediretor de relações institucionais que votarão um projeto de criação de uma filial dessa empresa empresa em umpaís emergente. emergente. O projeto só passará se o diretor executivo votar a favor e obtiver maioria. Você deverá projetar projetar um circuito de modo que cada membro vote a favor apertando um botão e, ao final do processo, uma luz se acenderá caso o projeto seja aprovado. Lembre Lem bre-se -se de que você dev deverá erá elab elabora orarr uma apr aprese esenta ntação ção destacando como conceitos como aberto e fechado, ou ligado e desligado, podem ser representados e trabalhados com uma

álgebra booleana. Inicialmente vamos determinar como se dará o funcionamento do interruptor desse circuito. Um interruptor é um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode assumir um dos dois estados est ados,, “fech fechado” ado” ou “ab “aberto erto”. ”.   No est estado ado “fe “fechad chado” o” (que indicaremos por 1) o 1)  o interruptor permite que a corrente passe através do ponto, enquanto no estado “aberto” estado  “aberto” (que indicaremos por 0) nenhuma 0)  nenhuma corrente pode passar pelo ponto (ABAR, 2004). Quando tivermos a passagem de corrente (estado 1), uma luz ligada ao circuito se acenderá.   De modo análogo, quando não tivermos tive rmos a pass passage agem m de corrente corrente (estado (estado 0) a luz não se acenderá.

Em nossa apresentação, representaremos o diretor o  diretor executivo pela letra A, o vice-diretor financeiro pela letra B  e o vice-diretor de relações institucionais pela letra C. Podemos então, elaborar uma tabela com a combina combinação ção de todos os valores valores lógicos (1 ou 0) para os votos dos membros do comitê: comitê: Combinaç Comb inação ão de valo valoreslógicos: reslógicos:

A tabela nos mostra que  das oito combinações possíveis, possíveis, em apenas ape nas três situ situaçõe açõess a luz se ace acender nderáá e o pro projeto jeto será aprovado.  O valor lógico para o circuito  A (diret (diretor or execu executivo) tivo) obrigatoriamente deverá ser  igual a 1. 1. Além disso, para que o projeto seja aprovado, o aprovado, o circuito de um dos dois vice-presidentes (ou ambos) também deverá ser igual a 1. 1 . Logo, a luz ligada aos circuitos só se acenderá e o projeto só será aprovado, aprovado, quando o valor lógico na ultimacoluna da tabela tabela for igual a 1. Assim, Ass im, proj projeta etando ndo o cir circuit cuito o par paraa ace acendim ndimento ento da lâmp lâmpada ada conforme conform e a configur configuração ação apresentada apresentada na tabela, terem teremos os um protótipo que poderá ser utilizado não apenas nessa votação, mas também em outras votações desse comitê. comitê. Perceba que para elaboração elabora ção desse projeto utilizamos uma linguage linguagem m simbóli simbólica ca (lógica simbólica) basead baseadaa na álgebra álgebra booleana.

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Contextualizando Conceitos

Princípios matemáticos

Contextualizando •

  De quantas maneiras podemos escolher uma senha válida para um computador?

•

  Qual é a probabilidade de eu ganhar um prêmio de loteria?

•

  Qual é a rota mais curta entre duas cidades, considerando um determinado meio de transporte?

•

  Como podemos ordenar uma lista de inteiros de modo que os inteiros fiquem em ordem crescente?

•

  Em quantos passos podemos fazer essa ordenação?

Deseja-se saber qual é a  a   probabil probabilidade idade (chance) de (chance)  de que essa sobrecarga tenha sobrecarga  tenha partido do escritório do escritório C . Você deverá apresentar a   solução desse solução  desse problema de forma detalhada a seu superior imediato. Será que vocêconsegue?

Matemáticaa Discreta ou Matemátic Matemátic Matemáticaa Combinatória    Seg Segundo undo

Picado Pica do (2008 (2008), ), a   matemática discre discreta ta   (também conhecid conhe cidaa com como o ma mate temá mátic ticaa fin finita ita ou ma mate temá mátic ticaa combinatória) é um ramo da matemática voltado ao estudo de objetos e estruturas discretas ou finitas (estruturas discretas são estruturas formadas por element elementos os distint distintos os descone desconexos xos entre si).    Genericam Genericamente, ente, a   matemática matemática discre discreta ta   é usa usada da quan quando do contamos cont amos obje objetos, tos, qua quando ndo est estudam udamos os rel relaçõe açõess entr entre e conjuntos finitos e quando processos  processos   (algoritmos) envolvendo (algoritmos)  envolvendo um número finito de passos são analisados.   Nos últimos anos tornou-se uma disciplina importantíssima porque nos porque  nos computadores a informação é armazenada e

Contextualizando

Matemáticaa Discreta ou Matemátic Matemátic Matemáticaa Combinatória

Você é colaborador de uma   startup  de tecnologia e mais um desafio lhe é apresentado, agora relacionado ao número de disposit disp ositivos ivos que têm acesso a uma determinad determinadaa red rede e de computadores computado res privada(do tipo intranet). Essa rede de computadores foi configurada de tal modo que, cada um dos  3 escritórios   da empresa ( A,   B,   C )  tem  cinco pontos de acesso à rede rede.. Em um det determi erminado nado mom momento ento havia   13 computad computadores ores conectados à rede e uma   sobrecarga  sobrecarga   foi detectada por um software de gerenciamento de gerenciamento de fluxode dados. Essa sobrecarga Essa  sobrecarga foi causada em um escritório em que  cinco computadores estavam conectados à rede. rede.

manipulada de forma discreta.   A matemática discreta aborda fundamentalmente três tipos de problemas que surgem no estudo de conjuntos e estruturas discretas:   problemas de existência   (existe algum arranjo de objetos obje tos de um dado conju conjunto nto sati satisfa sfazen zendo do det determ erminad inadaa propriedade?);  problemas de contagem  (quantos arranjos ou configurações desse tipo existem?);  problemas de otimização (de todas as conf configur iguraçõe açõess poss possíve íveis, is, qua quall é a melh melhor or,, de acordo com determin determinado ado critério?) (PICADO, 2008).

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Matemátic Matemáticaa Combinatória   Princípio

da contagem da  contagem.. O ramo da Matemática que trata da contagem é a  a   Combinatória. Combinatória. Tratar a contagem é importante; sempre que temos recurs recursos os finitos, por exemplo, exemplo,  os recursos computacionais, tais como a capacidade de processamento, espaço em disco, memória, tamanho das bases de dados. dados.   Além disso, é possível verificar a  eficiência de um algoritmo, algoritmo, uma vez que um algoritmo pode ser elaborado de diferentes maneir man eiras as e, dep depende endendo ndo da for forma ma de implementa ementação ção e quant qua ntida idade de de en entr trad adas as (nú (númer mero o de va vari riáv áveis eis), ), pod pode e demandar um maior ou menor tempo para ser executado. executado.    Logo, o conhecimen conhecimento to sobre contage contagem m també também m auxilia na análise do tempo de execução e quantidade de memória

Matemáticaa Combinatória Matemátic    Voc Você ê

pode ter ass associa ociado do a list listaa de dois elementos elementos (par ordenado) à forma de representação de um ponto no plano  x, y )). cartesiano (coordenadas ( x, )).    As listas listas es estão tão presentes presentes em uma série de apli aplicaçõ cações es na matemática.   Um núme número ro é uma lista de alga algarism rismos os;;   uma palavra pala vra é uma lista de letr letras; as; um iden identifi tificado cadorr em um pro progra grama ma de computa computador dor automóvel pode ser uma lista ta de letras ras e algarismos; a placa de um é umalis lista de let letras algar alg arism ismos os,, o núm númer ero o de um te tele lefon fone e é um umaa lis lista ta de algarismos, o código de barras é uma lista de algarismos; só para citar algumas aplicaçõesdas listas.   Uma questão com a qual frequentemente nos deparamos é: quantas listas podemos formar?

Matemáticaa Combinatória Matemátic

Arranjos

   cons consumid umida, a,

ou sej seja, a, a aná análise lise da comp complex lexida idade de de um algoritmo.  Problemas de contagem normalmente se resumem em determinar quantos elementos existem em um conjunto finito. fini to. Det Determ erminar inar ess essas as quan quantida tidades des de rec recurs ursos os fini finitos tos podem pode m ger gerar ar ques questões tões difí difíceis ceis de ser serem em res respondi pondidas das (GERSTING, 2017). Por isso, vamos inicialmente nos familiarizar com o conceito conceito de lista. lista.   Uma   lista   é um umaa se sequ quên ência cia or orde dena nada da de ob obje jeto toss (SCHEINERMAN, (SCHEINER MAN, 2015). Costumam Costumamos os repre representar sentar uma lista abrindo parênteses e apresentando cada elemento da lista, separando-os por vírgula. Por exemplo, a lista (2, 4, 8, 16) é uma lista cujo primeiro elemen elemento to é o número 2, o segundo

  De

Matemáticaa Combinatória Matemátic

Permutação

  elemento

   Um

é o número 4, o terceiro elemento é o número 8 e o quarto elemento elemento é o número 16.    A or orde dem m com a qu qual al os el elem emen entos tos figura figuram m na lis lista ta é significativa. significa tiva. Assim, a  lista  lista (2,  (2, 4, 8, 16) não é a mesma que a lista (4, 2, 16, 8). Embora os elementos que compõem a lista sejam os mesmos, a forma pela qual foram arranjados (ordem) é diferente. Também Também é importante destacar destacar que uma lista pode conter elementos elementos repetidos, repetidos, como(3, 4, 5, 5, 6).    Em uma   lista, lista, cham chamamo amoss de compriment comprimento o ao núm número ero de elementos que a compõe. Quando a   lista tem apenas dois elementos ela recebe o nome de par ordenado. ordenado. E  uma lista vazia é uma lista cujo comprimentoé igual a zero.

acordo com Iezzi  et al . (2004), dado um conjunto com  n elementos distinto elementos distintos, s, chama-se arranjo   dos   n   elementos, tomados   p   a   p, a qual qualquer quer sequência sequência ordenada ordenada de   p elementos element os distintosescolhidos entre os n existentes.    Para Para determinar o número de arranjos podemos utilizar a ! fórmula ,  =    !   Para

ilustrar esse conceito, considere o conjunto  A ={1,2,3,4}. Vamos det Vamos determ erminar inar o núme número ro de arr arranjo anjoss des desses ses quat quatro ro elementos (n=4) tomadosdois a dois p=(2).    Util Utiliza izando ndo a fór fórmula mula para det determi erminaç nação ão do núme número ro de arranjos, temos que:

caso especial de arran arranjo, jo, denominado permutação, é obtido quando dado um conjunto com  n  elementos distintos, selecionamos seleciona mos exa exatament tamente e   n   eleme elemento ntoss par paraa fo forma rmarr a sequênciaordenada.    Considere Considere,, por exe exemplo, mplo, o problem problemaa de se determinar de quantas maneiras seis pessoas  A ,  B ,  C ,  D ,  E  e  F  podem ser dispostas dispost as em uma fila indiana. Cada maneira de compor a fila é uma permuta permutação ção das seis pessoas, pois qualquer fila obtida é uma sequência ordenada na qual comparecem sempre as seis pessoas.   Ao utilizarm utilizarmos os a fórmula do número de arranjos, percebemos que neste caso n = p:

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Combinação

Árvore de Decisão

  A combinação ,

   quan quanto to

considera cada sequência obtida como um conjunto não ordenado. Dado um conjunto com n  elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos, tomados p a  p, a qualquer subconjunto formado por p  elementos distintos escolhid esc olhidos os ent entre re os n existentes.   Para determinar o número de combinações, podemos utilizar a fórmula: por exemplo, que dos cinco funcionários  A , B , C , D e  E  de uma empresa do setor de Tecnologia da Informação, trêss ser trê serão ão prom promovid ovidos. os. Que Querem remos os det determi erminar nar toda todass as combinaçõesdesses cincofuncionários, tomadosdois a dois.

paraa map par mapear ear um alg algorit oritmo mo que pre prevê vê a melh melhor or decisão (escolha), matematicamente matematicamente,, além de auxiliar na criaçãode planos de ação.   Em geral, uma árvore de decisão inicia a partir de um único nó de origem (chamado de nó raiz), que se divide em possíveis resultados. O nó raiz é representado por um elemento no topo da árvore.

  Considere,

Fonte:Scheffer,V.C.,p.38

Combinação   n =5 e p=2

Resolução da SP

Startup de tecnologia    Temos emos,,

portanto port anto,, 10 poss possibil ibilidad idades es de esc escolha olha de trê trêss funcionáriospara serem promovidos.   Mais importante do que nos preocuparmos com as fórmulas é sabermos interpretar o problema e dispormos de ferramentas variadas para sua resolução.

Árvore de Decisão   A

árvore de deci decisão são é uma impo importa rtante nte ferrament ferramentaa para auxiliar na tomada de decisões e pode ser muito utilizada em diverso dive rsoss algo algoritm ritmos, os, o qual se tra trata ta de uma sequência sequência ordenada de instruções a serem seguidas para se chegar a um objetivo,, resulta objetivo resultado do e ou uma ação.   Outra forma de representarmos os possíveis resultados de uma ordenação ordenação (lis (listas tas)) é a utili utilizaç zação ão de um dia diagra grama ma chamado Árvore Árvore de Decisão.    Uma Uma árv árvore ore de deci decisão são é uma estrutura estrutura hierárqui hierárquica ca que representa um mapeamento de possíveis resultados de uma série de escolhasrelacionadas.   Elas podem ser usadas tanto para conduzirdiálogos informais

   Como Como

colaborador colabora dor de uma   startup  de tec tecnolo nologia, gia, você se deparo depa rou u co com m o se segu guin inte te pr prob oble lema ma:: um umaa re rede de de computadores computa dores privada da empre empresa sa foi configur configurada ada de tal modo que cada um dos 3 escritórios da empresa ( A, B , C ) tem cinco pontos de acesso à rede. Em um determinado momento, havia 13 computa computadores dores conectados à rede e uma sobrecar sobrecarga ga foi detectada por um software de gerenciamento de fluxo de dados.   Essa sobrecarga foi causada em um escritório em que cinco computadores estavam conectados à rede. Deseja-se saber qual é a probabilidade (chance) de que essa sobrecarga tenha partido do escritório C .   Pe  Pelo lo prin princípio cípio multiplica multiplicativo tivo sabemos sabemos que há um tot total al de 3x5=15 pontosde acesso a essa rede. rede.

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Como    Como

no mome momento nto da dete detecção cção da sobr sobreca ecarga rga havia 13 computadore computa doress cone conecta ctados dos à red rede, e, tem temos os dois cená cenários rios possíveis:    (I) hav havia ia dois escritór escritórios ios com todo todoss os pontos de aces acesso so utiliza util izados dos e um ter terceir ceiro o escr escritór itório io util utilizan izando do ape apenas nas trê trêss pontos pont os de aces acesso so ou;   (II) havia um escritório utilizando utilizando todos os pontos de acesso e dois escritóriosutilizando 4 pontos de acesso.

   Con Consid sider erand ando o

os doi doiss ce cenár nários ios,, te temos mos um to tota tall de 6 possibili poss ibilidade dadess de util utiliza ização ção dess dessaa red rede e no mome momento nto da sobrecarga. Dessas 6 possibilidades, em três cenários temos o escritório C  utilizando  utilizando todosos seus pontos de acesso.     Poder Poderíamos, íamos, portant portanto, o, presum presumir ir que há  =0, =0,5 5 = 50% de probabilidade de a sobrecarga ter sido causada pelo escritório C .   Uma análise mais detalhada, no entanto, revela que em dois dos três cenários em que o escritório  C  utiliza todos os seus pontos de acesso, há outros escritórios que também estão utilizando todos todos os pontosde acesso.   Ao apresentar sua conclusão ao seu superior imediato, esse detalhe não poderá ser omitido.

Conceitos

Recapitulando

•

  Fundamentos da Lógica;

•

  Evolução da Lógica;

•

  Princípios Matemáticos.

Interação

Entenderam a constituição e evolução da lógica?

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