Lógica Apuntes CIAA 2017
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Apuntes Lógica...
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Lógica La lógica es una disciplina que se ocupa de los principios generales del razonamiento. En matemática, la lógica proposicional permite demostrar la verdad de ciertos enunciados o, por otro lado, indicar su falsedad. Trabaja con símbolos y conectivos , y está en relación con la gramática.
1. Proposición Proposición: es una oración que puede ser verdadera o falsa.
(!) La oración con Interrogación o exclamación NO es proposición. Ej: ¿Qué hora es? ¡Auxilio! (!) Si el sujeto no está perfectamente identificado la oración NO es una proposición, es una forma proposicional . Ej: x es igual a 2 1.1 Proposición simple: Es la oración (proposición) que tiene un sujeto y un predicado.
Las proposiciones se representan por letras minúsculas p, q, r , etc. Si p es una proposición, su valor de verdad es (p). Ejemplo: p: Los números naturales son positivos. po sitivos. (p)=V
1.2 Proposición compuesta : oración con dos o más proposiciones simples vinculadas por conectivos lógicos. Ejemplo: 4 es par y divisible por 2. (p:4 es par ; q:4 es divisible por 2) 2. Conectivos lógicos : partículas que vinculan dos o más proposiciones simples 3. Tabla de verdad : Tabla con todas las formas posibles de valores de verdad p V V F F
q V F V F
Las posibilidades (filas) de la tabla dependen del n° de proposiciones, habrá posibilidades. En el cuadro tenemos 2 proposiciones que nos dan 4 filas en la tabla de verdad (si fueran 3 las proposiciones tendríamos =8 filas). 4. Negación de una proposición: es una operación unitaria sobre una proposición, que permite obtener otra, que es su negación.
Ejemplo:
p: 3 es un número impar
p: 3 no es un número impar
(se niega el verbo)
El valor de verdad de la negación de una proposición es el contrario del valor de verdad de la proposición Ejemplo:
p: 3 es un número impar
(p)=V
p: 3 no es un número impar
( =F
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5. Operaciones lógicas: son los procesos que permiten armar proposiciones a partir de otras, vinculadas por los conectivos lógicos Símbolo del conectivo
Se lee “y” “ó” “Si… entonces…” “…si y sólo si…”
Conjunción Disyunción Implicación
Doble implicación
Operación Asociada Conjunción Disyunción Implicación o implicancia Doble implicación
Se simboliza
Se usa el conectivo en lugar de la palabra
y- pero- sin embargo- también- aunque- ni (y no) ó Antecedente: si - cuando - ya que- dado/puesto que Consecuente: entonces- luego- por lo tanto Si y solo si- equivale- siempre y cuando
sólo es verdadera si las dos proposiciones son verdaderas sólo es falsa si las dos proposiciones son falsas tiene antecedente (p) y consecuente (q). Sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente falso. sólo es verdadera si ambas proposiciones t ienen el mismo valor de verdad
p Antecedente (Hipótesis) Pasa antes Palabras que lo preceden: cuando - ya que- dado que – puesto que
Q Consecuente (Tesis) Pasa después Palabras que lo preceden: entoncesluego- por lo tanto
6. Ley lógica (tautología): es una proposición compuesta cuyo valor verdad es siempre verdadero cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Ej.: ( )
V F
Proposición Tautología Contingencia Contradicción
F V
V V
Tabla de verdad Todos los resultados verdaderos Resultados verdaderos y falsos Todos los resultados falsos
Ejemplo
6. Leyes lógicas (o tautologías)
6.1 Involución
(!) si tengo puedo escribir o viceversa sin alterar el resultado
6.2 Idempotencia a) b) 6.3 Conmutatividad a) De la conjunción b) De la disyunción 6.4 Asociatividad Versión Abril/2017
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a) De la conjunción [ ] [ ] b) De la disyunción [ ] [ ] 6.5 Distributividad: a) De la disyunción con respecto de la conjunción b) De la conjunción con respecto de la disyunción 6.6 Leyes de De Morgan a)
La negación de la conjunción entre dos proposiciones es equivalente a la disyunción de las negaciones de dichas proposiciones
b)
La negación de la disyunción entre dos proposiciones es equivalente a la conjunción de las negaciones de dichas proposiciones
6.7 Negación de una Implicancia o Condicional Negación de una implicación
F V F F
V V F F
V F V V
) V F V F
V V V V
V V F F
F V F F
F V F V
V F V F
(!) La negación de la implicación equivale a copiar el antecedente “y” negar el consecuente 6.8 Equivalencia de la implicación Ejercicio: ¿Verdadero o falso? Justificar
[ ] [ ] [ ] [ ]
Equivalencia de la implicación
[ ]
Ley de distributividad
[ ]
Negación de una disyunción
[ ]
Equivalencia de la implicación
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7. Implicaciones asociadas
Recíproca
q Directa
Contraria
p Contra recíproca
q Forma directa y contra recíproca son equivalentes . Forma recíproca y contraria también lo son entre sí. 8. Funciones proposicionales: su cuantificación
Las formas o funciones proposicionales son oraciones en las que el sujeto no está perfectamente identificado. Por ejemplo “x es un número impar” no es una proposición porque no podemos decir nada acerca de su valor de verdad, desconocemos el valor de la variable * x . Se simboliza como p(x): x es un número impar *Variable : es un símbolo para un número que no sabemos. Normalmente se usa una letra como x o y. 9. Cuantificadores:
Son símbolos que cuantifican al sujeto de una forma proposicional, se obtiene como resultado una proposición (susceptible de un valor de verdad). Indican cuántos o qué tipos de elementos que integran un conjunto tienen una propiedad o característica determinada. Ejemplos: (todos los números enteros son pares). (Algunos números enteros son pares) 9.1 Existencial Se lee: Existe, hay, algún, algunos, muchos, casi todos, la mayoría (!) Palabras que representan a una parte de la totalidad del sujeto 9.2 Universal Se lee: Para todo, todos, cualquiera, cada uno (!) Palabras que representan la totalidad del sujeto 9.3 Negación de los cuantificadores La negación del cuantificador Universal es el cuantificador Existencial:
[] La negación del cuantificador Existencial es el cuantificador Universal:
[]
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Ejemplo:
(!) En las implicaciones asociadas no se alteran los cuantificadores en general, salvo que afecten solo al antecedente o al consecuente.
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Implicaciones asociadas con cuantificadores Si el cuantificador afecta al antecedente y consecuente de una implicación, en la implicación asociada (contraria o contra recíproca) no se modifica: Ej.: Forma directa
Contraria Contra recíproca
Si un cuantificador afecta sólo al antecedente o consecuente de una implicación, en la implicación asociada (contraria o contra recíproca) se niega el c uantificador: Ej. 1: Forma directa
Contraria Contra recíproca
Ej. 2: Forma directa
Contraria Contra recíproca
Ej. 3: Forma directa
Contraria Contra recíproca
Negación de una implicación con cuantificador Si el cuantificador afecta al antecedente y consecuente de una implicación, se niega el cuantificador Ejemplo: [ ] Si el cuantificador afecta sólo al antecedente de una implicación, no cambia Ejemplo: [ ] Si un cuantificador afecta sólo al consecuente de una implicación, se niega el cuantificador Ejemplo 1: [ ] [ ] Ejemplo 2: [ ] [ ]
10. Números pares e impares 10.1 Un número par es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k , donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2).
Los números pares son = {..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8,...} 10.2 Un número impar es un número entero que no es par, los números impares se pueden escribir de la forma , donde k es un entero
Los números impares son= {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...}
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11. Métodos de demostración
Método directo
Para demostrar lo
Método indirecto o contrarecíproco Método de reducción por el absurdo
Métodos de Demostración Para indicar
Refutación por Contraejemplo
La demostración de que un razonamiento es válido consiste en probar que una implicación ó es una tautología (o ley lógica), donde p es la Hipótesis y q es la conclusión o Tesis. Para demostrar que un razonamiento es verdadero se usan distintos métodos de demostración, tales como el método directo , el método indirecto o por reducción al absurdo , mientras que para indicar que un enunciado es falso se utiliza el método de refutación por contraejemplo. 11.1 Método Directo: Consiste en partir de la verdad del antecedente (hipótesis) y tratar de establecer la verdad del consecuente (tesis).
Ejemplo: Si un número entero es par entonces el cuadrado de ese número también es par.
En esta implicación se puede identificar la hipótesis (luego de “si ”) y la tesis (luego de “entonces”). Como el sujeto no está perfectamente identificado (no se sabe exactamente de qué número se habla) l o simbolizamos con una letra que representa la variable (en este caso X ). Además, cada variable que sea incorporada debe estar acompañada del conjunto numérico al que pertenece (en este caso el conjunto de los números enteros). Simbólicamente:
Notas:
*En la hipótesis ( H ) se escribe que si para cualquier ( número ( x ) que pertenece al conjunto de los enteros, ese número es par equivale a la definición de número par ( . Ver 10.1 del resumen
*En la tesis ( T ) se escribe que entonces para cualquier ( número ( x, porque hablamos del mismo de la hipótesis ) que pertenece al conjunto de los enteros, ese número elevado al cuadrado es par equivale a la definición de número par ( . Usamos otra variable (en este caso m) porque el resultado de es diferente a x , (salvo en el caso de x igual a 0,-1 ó 1)
Demostración:
Explicación de la demostración (paso a paso): i) Por hipótesis se tiene que: Versión Abril/2017
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ii) Si elevamos ambos miembros al cuadrado:
iii) En la tesis se tiene que:
Si en logramos obtener una expresión igual al doble de un número ( 2m) se puede sustituir iv) sacamos 2 como factor para acercarnos a la expresión en v) Una vez hecho lo anterior, si a lo denominamos y sustituimos, obtenemos
A partir de la hipótesis, por medio de cálculos, se llegó a una expresión idéntica a , estableciendo la verdad de la tesis. Queda demostrado que si x es un número entero par, entonces su cuadrado también es par. 11.2 Método Indirecto o Contra recíproco Consiste en partir de la negación del consecuente (tesis) y determinar la negación del antecedente (hipótesis)
Ejemplo: Demostrar que si el cuadrado de un número entero es par entonces dicho número es par.
El antecedente de la afirmac ión es “el cuadrado de un número entero es par” y el consecuente “dicho número es par”, la hipótesis de la demostración sería la negación del co nsecuente, que quedaría como: “x es un número entero impar” y la tesis sería la negación del antecedente, que quedaría como “el cuadrado de x es impar” Simbólicamente:
Demostración:
11.3 Método de Reducción por el Absurdo Método de demostración que consiste en suponer la falsedad del consecuente (tesis) y aceptar que el antecedente (hipótesis) es verdadero, llegar a una contradicción que permita afirmar que la implicación, al no poder ser falsa, resulta verdadera. También se puede probar que la negación de la proposición es falsa, en consecuencia, la proposición dada será verdadera.
Ejemplo: Demostrar que si un número entero es impar entonces su cuadrado es impar
Simbólicamente:
Demostración: Se parte del supuesto que x es impar y es par (supone falsedad del consecuente ):
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Entonces un mismo número es par e impar simultáneamente , lo cual es un absurdo; y el absurdo está en el supuesto de que el cuadrado de un número impar es un número par . Conclusión: Para cualquier número entero impar su cuadrado es par. 11.4 Refutación Método de demostración donde se busca un ejemplo que ponga en evidencia l a falsedad de la afirmación.
Ejemplo: Si un número entero es par su cuadrado es impar.
La afirmación es falsa. Contraejemplo: el número 2 es entero y su cuadrado es un número par (4).
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Ejercicios de Lógica Determinar el valor de verdad de:
1.- [ ] es Falso si 2.- [ ] es Verdadero si 3.- [ [ ] es Falso si 4.- [ ] [ ] es Falso si
Verdadero o falso. Justifique:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
Si un número entero es impar, entonces dicho número al cuadrado es impar Si un número entero es par, entonces dicho número al cuadrado es par Si un número entero es impar, entonces dicho número al cuadrado es par Si un número entero es par, entonces dicho número al cuadrado es impar La resta de dos números enteros es impar cuando uno de ellos sea par y el otro impar La resta de dos números enteros es par cuando uno de ellos sea par y el otro impar La resta de dos números enteros es par cuando ambos son pares La resta de dos números enteros es par cuando ambos son impares La suma de dos números enteros es impar cuando uno de ellos sea par y el otro impar La suma de dos números enteros es par cuando uno de ellos sea par y el otro impar La suma de dos números enteros es impar cuando ambos sean pares La suma de dos números enteros es impar cuando ambos sean impares La multiplicación de dos números enteros es par cuando uno de ellos sea par y el otro impar La multiplicación de dos números enteros es impar cuando uno de ellos sea par y el otro impar La multiplicación de dos números enteros es par cuando ambos sean impares La multiplicación de dos números enteros es par cuando ambos sean pares
a) [ ] [ ] b) [ ] c) [ ] [ ] d) [ ] [ ] e) [ ] [ ] Versión Abril/2017
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Ejercicios de Lógica 1) Dado el siguiente enunciado: “Ningún alumno de Matemática I reprobará el examen puesto que estudiaron la teoría y resolvieron los trabajos prácticos”
a) Determinar las proposiciones o formas proposicionales que lo componen. b) Expresar simbólicamente el enunciado dado. c) Negar la contra recíproca y expresarla en lenguaje coloquial.
2) Dado el siguiente enunciado: “ Algunos alumnos promocionaron Matemática I dado que todos los ejercicios de los trabajos prácticos fueron bien resueltos”
a) Determinar las proposiciones o formas proposicionales que lo componen. b) Expresar simbólicamente el enunciado dado. c) Negar la recíproca de la recíproca y expresarla en lenguaje coloquial.
3) Dado el siguiente enunciado: “ Todos los alumnos reprobarán el parcial, cuando la mayoría de los ejercicios no fueron bien resueltos”
a) Determinar las proposiciones o formas proposicionales que lo componen. b) Expresar simbólicamente el enunciado dado. c) Negar la recíproca de la contraria y expresarla en lenguaje coloquial.
4) Dado el siguiente enunciado: “ Ningún alumno recursará Matemática I puesto que no faltaron a clases y estudiaron todos los días”
a) Determinar las proposiciones o formas proposicionales que lo componen. b) Expresar simbólicamente el enunciado dado. c) Negar la contraria y expresarla en lenguaje coloquial.
5) Dado el siguiente enunciado: “ Algunos alumnos asistirán a clases de consultas cuando las actividades de los trabajos prácticos no se entiendan”
a) Determinar las proposiciones o formas proposicionales que lo componen. b) Expresar simbólicamente el enunciado dado. c) Negar la recíproca y expresarla en lenguaje coloquial.
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