Logaritmicas y Expo

Elaborado por: José A. Siles R y Jolman E. López Grupo Matagalpino de matemáticas: Los Karamasov

0.1

Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

1. La expresión exponencial 7x + 7x a) x = 2

b) x = 1

7x + 7x

1

c) x = 0

= 8x es igual a:

d) x = - 1

= 8x ! 7x + 7x 7 ! 7x (1 + 7

1

1

1

= 8x

) = 8x

! 7x (1 + 17 ) = 8x

x ! 7x ( 7+1 7 )=8

! 7x ( 78 ) = 8x ! !

8 7 8 7

= =

8x 7x ( 87 )x

!1=x

Porque la función exponencial es biunívoca.

2. Sea el sistema de ecuaciones: ax + ay = 4 ax ay = 2 Si en el sistema anterior, a = 3, entonces x + y es igual a: a) 0

b) - 1

c) 2

d) 1

Si a = 3 entonces

3x + 3y = 4 3x 3y = 2

Eliminando 3x nos resulta 3x + 3y = 4 3x + 3y = 2

2 (3y ) 3y log 3y y log 3 y y

= = = =

2 1 log 1 log 1 log 1 = log 3 = 0

1

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Sustituyendo y en una de las ecuaciones originales tenemos 3x 3y 3x 30 3x 1 3x 3x x

= = = = = =

2 2 2 2+1 3 1

Luego hacemos la suma x + y = 1 + 0 = 1 3. En la ecuación exponencial 2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 = 31 la solución es: a)

1 2

b)

1 3

c)

2

d)

1 5

2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 2x 22 + 2x 23 + 2x 24 + 2x 25 + 2x 26 2x (22 + 23 + 24 + 25 + 26 ) 2x (4 + 8 + 16 + 32 + 64) 2x (124)

= = = = =

2x

=

log 2x

=

x log 2

=

x = x =

2

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31 31 31 31 31 31 124 1 log 4 1 log 4 log 14 log 2 2

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4. Si en la expresión 2x = P , entonces 4 a) 2p

b) p

2

4

c) p

1

es igual a:

d) 4p

2x = P

1

!2=P

Porque la función exponencial es biunívoca, lo que implica que para números reales x1 y x2 : 1) Si x1 6= x2 , entonces ax1 6= ax2

2) Si ax1 = ax2 , entonces x1 = x2

4

1

= (2)

2

=P

2

10

x

5. El valor de x en la expresión y=

10x 2

está dado por: p p p a) log(y 2 + 1) b) 10 y 2 + 1 c) log(y + y 2 + 1) d) sen2(y y 2 )

y 2y

10x

10

x

2 x

= 10

1 10x

10x 10x 1 10x x x 2 (2y) 10 = (10 ) 1 x 10 2y 1 = 0 ( ) 2y

(10x )2

=

Haciendo la sustitución u = 10x en u2

=

se tiene:

2yu

1=0

Resolviendo utilizando la fórmula cuadrática haciendo: a = 1; b = 1

3

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2y; c =

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u1;2

=

u1;2

=

u1;2

=

u1;2

=

u1;2

=

p

b2 4ac 2a p 2y) ( 2y)2 2(1) p 2 4y + 4 2 p 4y 2 + 4 p2 4(y 2 + 1) 2

(b) ( 2y 2y 2y

u1;2 u1;2 u1;2

4(1)( 1)

p 2 y2 + 1 2 p y 2 + 1) 2(y = p 2 y2 + 1 = y =

2y

Sustituyendo u = 10x en la última ecuación, se tiene: p y2 + 1 p y 2 + 1) log 10x = log(y p x log 10 = log(y y 2 + 1) p x = log(y y 2 + 1) 10x

6. Si f (x) =

a) 0

ex +e 2

b) 5

x

= y

entoces f (ln 2) es:

c)

5 4

d)

3 4

f (x)

=

f (ln 2) = f (ln 2) =

ex + e x 2 eln 2 + e 2 2 + 12 2 4

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ln 2

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por propiedad: eln x = x 5 2

f (ln 2) =

2 5 4

f (ln 2) =

7. El valor de x en la ecuación: a(3x+1)(2x

a) x = 2

b) x = 2

2)

2

= a2x

c) x =

11 4

+5 4x2 +4

a

d) x = 1 2

2

a(3x+1)(2x 2) = a2x +5 a4x 2 2 a6x 4x 2 = a6x +9 6x2 4x 2 = 6x2 + 9

+4

ya que las bases son iguales 6x2

8. Si 33

25 = 4

a) 3

b) 9

4x 4x

2 = 6x2 + 9 2 = 9 4x = 11 11 x = 4

6m , entonces m2 es: c)

3 d) 6 33 33

25 25 22

33 23 (3 2)3

= 4

6m

= 6m = (3x2)m = (3 2)m

como las bases son iguales, entonces: 3 = m; de donde 9 = m2

5

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9. La respuesta al resolver la ecuación 4x+1 + 2x+3 = 320 es: a) x =

2 b) x =

3 c) x = 3 d) x = 2 4x+1 + 2x+3 = (22 )x+1 + 2x 23 = 22x 22 + 2x 8 = 4(2x )2 + 8(2x ) =

320 320 320 320

Haciendo u = 2x , sustituimos en la última ecuación: 4(2x )2 + 8(2x ) = 320 ! 4u2 + 8u

320 = 0

resolviendo usando la forma cuadrática con: a = 4; b = 8; c =

u1;2

p 64 4(4)( 320) 2(4) p 64 + 5120 p8 5184 8 72

8

=

8

=

8

=

8

=

320

8

Así, u1 =

64 8 + 72 = =8 8 8

^

u2 =

Tomando del valor positivo: 2x log 2x x log 2

= 8 = log 8 = log 8 log 8 x = log 2 x = 3

6

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8

72 8

=

80 = 8

10

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10. La solución de la ecuación 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651 es: a) x = 1 b) x = 2

c) x = 0

d) x =

1

5x + 5x+2 + 5x+4 = 651 5x + 5x 52 + 5x 54 = 651 5x + 25(5x ) + 625(5x ) = 651 5x (1 + 25 + 625) = 651 5x (651) = 651 651 5x = 651 5x = 1 Aplicando logaritmo: 5x log 5x x log 5

= 1 = log 1 = log 1 log 1 x = log 5 x = 0

11. La solución de 84x a) x = 2 b) x = 3

8

9=

8 es:

c) x = 1 84x

8

9

4x 8

8 84x

8

d) x =

= 8 = 8+9 = 1

Aplicando logaritmo: 84x 8 = 1 log 84x 8 = log 1 (4x 8) log 8 = log 1 log 1 4x 8 = log 8 4x 8 = 0 7

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2

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4x = 8 8 x = 4 x = 2

12. Una expresión equivalente a 1 (3 loga x 2

5 loga y

30 loga z)

es igual a: a) loga

3x 5y+30z

1 (3 loga x 2

b) loga

x3 y 5 +30z

c) loga

5 loga y

30 loga z) !

x3 1 (loga 5 2 y

loga z 30 ) !

1 (loga x3 loga y 5 2 1 x3 (loga 5 30 ) 2 y z

x3 1 loga ( 5 30 ) 2 ! loga y z

13. Sea la expresión ln

q

ab e2

3x y 5 +30z

s

d) loga

q

x3 y 5 z 30

loga z 30 )

x3 y 5 z 30

y conociendo los valores de ln a = 0:6 y ln b = 2:4

entonces la solución es: c) e2 a) e b) 1e q 1 1 (ab) 2 ! ln ! ln(ab) 2 ln ab 2 e e

1 2 (3)

1!

!

3 2 2

!

d)

p

e

ln e ! 12 (ln a+ln b) ln e ! 21 (0:6+2:4) 1 !

1 2

8

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14. El log(a + b)2

log(a + b) es igual a:

a) log 2

b) log(a + b)

log(a + b)2

c) log a + log b

log(a + b)

= 2 log(a + b) = log(a + b):

15. Siendo log m = 13 (log x + log y a) 13 (xy

z)

b)

log m = log m = log m =

d) log a + 3 log b

log(a + b)

log z) entonces m es igual a:

1 xy 3 z

c)

p 3 xy z

d) x + y

z

1 (log x + log y log z) 3 1 (log(xy) log z) 3 xy 1 (log ) 3 z

xy 1 log m = log( ) 3 rz xy log m = log 3 z r xy m = 3 z

logb y 2 + logb xy 2 es igual a:

16. El resultado de realizar logb x a) x2 logb y

logb x

b) x logb y 2

logb y 2 + logb xy 2 ! logb

c) logb x2

d) x logb y

x x + logb xy 2 ! logb 2 xy 2 ! logb x2 y2 y

9

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17. Al resolver log(9x a) x = 2

5) = log(x

b) x = 4

1) + 1 el valor de x es:

c) x = 1

log(9x

5)

log(x 9x log( x 9x x

d) x = 5

1) = 1 5 ) = 1 1 5 = 10 1

ya que loga x = y $ x = ay

log10 10 = 1 $ 10 = 101

9x 5 9x 10x x x

= 10x 10 = 10 + 5 = 5 = 5

18. El valor de 13log13 (8+5) es: a) 26 b) (13)2

c) 13

d) (13)13

Propiedad: blogb x = x 13log13 (8+5)

= 13log13 (13) = 13

19. El valor de e1+ln 5 es: a) 5e

b) 1e c) e1 d) ln 5

Propiedad de logarítmos naturales: eln x = x e1+ln 5

= e eln 5 = e 5 = 5e 10

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20. Al simpli…car la expresión log5 16 log5 4 se obtiene: a) 5

b) 2 c) 4 d) log 4

Se tiene log5 16 = x ! 16 = 5y

log5 4 = y ! 4 = 5y ( )

^

Entonces: log5 16 = x ! log5 42 = x x 2 log5 4 = x ! log5 4 = 2 x = y por( ) 2 x = 2y Así:

log5 16 x 2y = = =2 log5 4 y y

21. La ecuación log(3

x2 ) = log 2 + log x

tiene por solución: a) x = 1 b) x = 2

c) x =

3

log(3 x2 ) = log(3 x2 ) = 3 x2 = x2 + 2x 3 =

(x + 3)(x

d) x1 =

2

log 2 + log x log 2x 2x 0

1) = 0 ! x + 3 = 0 x = 3; x = 1

Tomamos el valor positivo.

11

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_

x

1=0

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22. En la expresión (log x)2 = 35

2 log x

el valor de x es: a) x = 105 b) x = 107

c) x1 = 10

5

d) x = 10

(log x)2 = 35 (log x)2 + 2 log x 35 = 0

7

2 log x

Haciendo u = log x ! u2 + 2u 35 = 0 (u + 7)(u 5) = 0 u+7 = 0 _ u 5=0 u=

7; u = 5

Tomado u = 5 ! log x = 5 ! 105 = x

ya que log x = y $ 10y = x

23. Si se aplica logarítmo a la ecuación 2x+1

5x = 9

el resultado es: a) log( 92 )

b) log( 29 )

c) log( 23 )

(2x+1 5x ) = 9 2x 2 5x = 9 2x 2 5x = 9 9 2x 5x = 2 9 x (2 5) = 2 9 10x = 2 9 2 9 x log 10 = log 2 9 x = log 2 log 10x

= log

12

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d) log( 53 )

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24. Al despejar "t" en L = M at=N a) t = N loga

L+P M

P;obtenemos:

b) t = N loga

M +P L

c) t = N loga L+M P

t = loga ( L MM ) L L+P L+P M L+P loga ( ) M

= M at=N = M at=N

P

= at=N =

t N

prop: loga x = y $ ay = x N loga (

L+P )=t M

25. La forma logarítmica de la expresión e2t = 3

x

es: a) log(3 x) = 2t 2t

e2t ln e2t 2t t

b) ln (3 2 x) = t

= 3 x = ln(3 x) = ln(3 x) ln(3 x) = 2

c) 2 log(3 x) = t

aclaración t =

d) ln(3 x) =

ln(3 x) 3 x 6= t = ln 2 2

La respuesta correcta es d)

13

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d)

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26. El conjunto solución de la ecuación 3(3x ) + 9(3

x

) = 28

es: a) f 1; 2g

b) f 1; 0g

c) f0; 1g

3(3x ) + 9(3

d) f2g

x

) = 28 9 3(3x ) + x = 28 3

Hacemos u = 3x Entonces: 9 = 28 u 3u2 + 9 = 28 u 2 3u + 9 = 28u 28u + 9 = 0 3u +

3u2

u1;2 =

( 28)

=

28

28 + 26 6

( 28)2 2(3)

4(3)(9)

p

784 108 6 p 28 676 = 6 =

u1 =

p

28

26 6

^

28

u2 =

26 6

54 6

=

2 6

=9

=

1 3

=

3x = 9

3x =

14

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1 3

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log 3x = log 9

log 3x = log

1 3

x log 3 = log 9

x log 3 = log

1 3

x=

log 3 =2 log 9

x=

log 13 = log 3

1

Sol = f 1; 2g 27. Al simpli…car la expresión (ex + e

x

)(ex + e x ) (ex e (ex + e x )2

x

)(ex

e

x

)

se obtiene: a)

ex e ex +e

x

(ex + e

=

=

b)

x

(ex +e 4

x 2

)

c)

ex +e ex e

x

d)

x

4 (ex +e

)(ex + e x ) (ex e x )(ex e x ) (ex + e x )2 (ex )2 + 2(ex )(e x ) + (e x )2 (ex )2 2(ex )(e (ex + e x )2

x )2

x

(ex )2 + 2(ex )(e

x

) + (e

x 2

)

(ex =

(ex )2 + 2(ex )(e + e x )2

2(ex )(e x ) + 2(ex )(e (ex + e x )2 =

4 (ex + e

x )2

15

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x

)

x

x

)

) + (e

(e

x 2

)

x 2

)

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28. Al resolver la ecuación log(x3 ) = (log x)3 se obtiene que el conjunto solución es: n 3o n p o p c) 3 2 a) 1; 10 3 b) 3 10 d) 103 log(x3 ) = (log x)3 ! (log x)3

3 log x = 0

Haciendo u = log x u3

3u = 0

u(u2 u=0 log x = 0

3) = 0 u2

_

3=0

u2 = 3 ! u =

p

3 ! log x =

x = 100

x = 10 p

x=1

x = 10 n p o Sol = 1; 10 3

29. Qué valor de x veri…ca que log(x2 9) =1 log(x + 3) a) f4g

p

b) f3g

c) f 3g log(x2 9) log(x + 3)

d) f 4g

= 1

log(x2 9) = log(x + 3) x2 9 = x + 3 x2 x 12 = 0 16

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3

3 p

3

_ x = 10

p

3

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(x

4)(x + 3) = 0 ! x

4=0

x = 4;

x=

_

x+3=0

3

Tomamos entonces x = 4

30. Al expresar "x" en términos de "y" en la expresión y=

ex + e ex e

x x

obtenemos: y+1 1

a) 12 e y

b) ln

q

y+1 y 1

y

=

y

=

y

=

y

=

ye2x y ye2x e2x

c) ex + e x ex e x ex + e1x ex e 1 x e2x +1 ex e2x 1 ex 2x

e +1 e2x 1 = e2x + 1 = y+1

e2x (y

1) = y + 1 y+1 e2x = y 1 y+1 ln e2x = ln( ) y 1 y+1 2x = ln( ) y 1 1 y+1 x = ln( ) 2 y 1 r y+1 x = ln ( ) y 1

17

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ln(y 1) e1 y

d)

y+1 y 1