LN Probabilidade.lista02.Resolução

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MATEMÁTICA/PMPE/2016 LISTA 02 - PROBABILIDADE

01.) De uma reunião participam 200 profissionais, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidade dele ser médico ou dentista? a) 21/50

b) 2/13

Temos: 𝑃 = Onde:

c) 11/20

d) 3/4

Assim: 𝑃 =

𝑃 =

110

b) 1/4

𝑃=

200

= 𝟐𝟎

c) 1/3

d) 1/2

e) 17/30

𝑛(𝐸)

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 28, 29, 30}

𝟏 𝟑

𝑃=

𝑛(𝐸) 𝑛(𝑆)

Notemos que n(S) = 6 e n(E) = 4 Logo:

𝑃 =

4

𝟐

=𝟑 6

05.) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter um número par ou primo?

𝑃=

𝑛(𝐸) 𝑛(𝑆)

Espaço Amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Evento: E = { 2, 3, 4, 5, 6 } Notemos que n(S) = 6 e n(E) = 5 Logo:

Notemos que n(S) = 30 e n(E) = 15 15

=

Evento: E = { 3, 2, 4, 6 }

Temos:

𝑛(𝑆)

E = { 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 27, 28, 30}

Logo:

6 18

Espaço Amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Onde: 1.) n(S) = Número de elementos do espaço 2.) n(E) = Número de elementos do evento que nos interessa Veja:

𝟒 𝟗

𝟏𝟏

02.) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirandose ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou 3?

Temos:

=

c) Para a bola sorteada não ser branca, nem amarela: há 6 casos possíveis.

Temos:

Obs.: Perceba que há 200 pessoas possíveis, mas somente 110 são favoráveis ao que queremos, que são médicos (60) ou dentistas (50).

a) 1/5

8 18

04.) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 3 ou um número par?

1.) NCF = Número de casos favoráveis 2.) NCP = Número de casos possíveis Logo:

Assim: 𝑃 =

e) 12/29

𝑁𝐶𝐹 𝑁𝐶𝑃

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𝑃 =

𝟓 𝟔

Obs.: Lembre-se de que número natural primo é todo número natural, maior do que 1, que só é divisível por ele próprio e por 1.

𝟏

𝑃 = 30 = 𝟐

Logo, os números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... 03.) Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 brancas e 10 amarelas. Uma bola é sorteada na urna. Qual a probabilidade de que: 06.) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter um número par e primo?

a) a bola sorteada ser amarela? b) a bola sorteada ser branca ou preta?

Temos: c) a bola sorteada não ser branca, nem amarela?

𝑃=

𝑛(𝐸) 𝑛(𝑆)

Espaço Amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Temos: 𝑃 =

𝑁𝐶𝐹 𝑁𝐶𝑃

Evento: E = { 2}

Para todas as perguntas, temos 18 casos possíveis (6 + 2 + 10 = 18) Logo:

Notemos que n(S) = 6 e n(E) = 1 Logo:

𝑃 =

𝟏 𝟔

a) Para a bola sorteada ser amarela: há 10 casos possíveis. Assim: 𝑃 =

10 18

=

𝟓 𝟗

Obs.: Perceba que “E” indica simultaneidade, ou seja, tem que ser par e tem que ser primo, ao mesmo tempo.

b) Para a bola sorteada ser branca ou preta: há 8 casos possíveis.

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07.) Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de nascerem duas meninas e um menino? Temos: 𝑃 =

𝑁𝐶𝐹 𝑁𝐶𝑃

09.) Uma moeda tem uma face branca e a outra azul. Se a moeda for lançada 3 vezes, qual a probabilidade de a face azul ser sorteada pelo menos duas vezes? Temos: 𝑃 =

Indicando “menino” por H e “menina” por M, teremos 8 possibilidades para o nascimento das três crianças. Veja: 1º H H H H M M M M

2º H H M M H H M M

Prof. Jonas

𝑁𝐶𝐹 𝑁𝐶𝑃

Indicando “Face branca” por B e “Face azul” por A, como na questão dos bebês, feita anteriormente, teremos 8 possibilidades para o para os resultados do sorteio.

3º H M H M H M H M

Veja: 1ª B B B B A A A A

(Percebeu como construir as possibilidades? Uma dica: o total de possibilidades, nesse caso, é 2 x 2 x 2 = 8. Justifique!) Como queremos duas meninas e um menino, há três possibilidades favoráveis, que estão marcadas com setas na tabela acima. Assim: 𝑃 =

2ª B B A A B B A A

Note que “a face azul ser sorteada pelo menos duas vezes” significa que ela deve aparecer sorteada duas vezes ou mais, ou seja, três vezes. Nesse caso, há quatro possibilidades favoráveis, que estão marcadas com setas na tabela acima.

𝟑 𝟖

Assim: 𝑃 = 08.) (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é: a) 1/2

b) 1/3

3ª B A B A B A B A

c) 1/4

d) 1/6

e) 1/8

𝟒 𝟖

=

𝟏 𝟐

10.) No lançamento simultâneo de 2 dados, considere as faces voltadas para cima e determine a probabilidade de a soma dos números do par sorteado seja maior do que 8. Temos:

𝑁𝐶𝐹

𝑃 = 𝑁𝐶𝑃

Temos:

Agora, vamos sortear um par de números, onde o primeiro faz parte de um dos dados, e o segundo faz parte de outro.

De modo análogo ao que foi esquematizado na questão 07, teremos:

Desse modo, há 36 pares possíveis: 6 x 6 = 36.

𝑃=

𝑁𝐶𝐹 𝑁𝐶𝑃

Todos os pares estão dispostos abaixo:

Indicando “menino” por H e “menina” por M, teremos 8 possibilidades para o nascimento das três crianças. Veja: 1º H H H H M M M M

2º H H M M H H M M

3º H M H M H M H M

Desses pares numéricos, estamos interessados naqueles cuja soma de seus números seja maior do que 8, e isso pode ser observado com os pares que estão abaixo da linha vermelha tracejada na tabela acima. Perceba que há 10 pares abaixo da linha traceja vermelha acima.

Como queremos que as crianças tenham o mesmo sexo, há duas possibilidades favoráveis, que estão marcadas com setas na tabela acima. Assim: 𝑃 =

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𝟐 𝟖

Assim: 𝑃 =

𝟏𝟎 𝟑𝟔

𝟓

= 𝟏𝟖

𝟏

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11.) (UFRGS) Dois dados perfeitos numerados de 1 a 6 são jogados simultaneamente. Multiplicando-se os números sorteados, a probabilidade de que o produto seja par é a) 25%

b) 33%

c) 50%

d) 66%

e) 75%

a) 5/17

Temos:

Temos:

b) 12/17

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c) 12/22

d) 4/17

e) 17/12

𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐸̅ ) = 1 𝑃(𝐸) =

De modo análogo ao que foi esquematizado na questão 10, teremos: ∴ 𝑃(𝐸̅ ) = 1 −

5 ⟹ 17

5 + 𝑃(𝐸̅ ) = 1 17

5 𝟏𝟐 = 17 𝟏𝟕

14.) (FUVEST) A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões. a) 3%

b) 5%

c) 6%

d) 8%

e) 12%

Temos: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Perceba que a multiplicação dos números só dará um resultado par, nos casos abaixo:  

B = Evento em que a população é ≤ 110 milhões de hab.

Se os dois números forem pares; Se um deles for par e o outro for ímpar;

A ∩ B = Evento em que a população é = 110 milhões de hab

Se os dois forem ímpares, o produto dará um número ímpar, mas isso não é o que se pede na questão. Então, das 36 duplas de números, existem 9 que não atendem ao que pede a questão, conforme mostra a figura acima, em que as duplas circuladas têm números ímpares, e, desse modo, o produto deles é ímpar. Assim, restam 27 (36 - 9 = 27) duplas que atendem o pedido da questão Logo: 𝑃 =

𝟐𝟕 𝟑𝟔

A = Evento em que a população é ≥ 110 milhões de hab.

𝟑

= = 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟕𝟓% 𝟒

12.) (UFSCar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, qual a probabilidade de não obtermos a bola número 7?

Sabe-se que: P(AUB)= 100%, P(A) = 95% e P(B) = 8% Então, pela probabilidade da união, podemos escrever: 100% = 95% + 8% - P(A∩B) Ou seja:

P(A∩B) = 103% − 100% = 3%

15.) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de tevê que habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais, distintos de A e B. Escolhida uma pessoa ao acaso, determine a probabilidade de que ela assista apenas ao canal B? a) 15%

b) 255%

c) 28%

d) 30%

e) 44%

Temos: a) 4/5

b) 7/10

c) 9/10

d) 1/10

e) 1/9 Das 500 pessoas, 70 não assistem ao canal A ou ao canal B, de modo, que 500 - 70 = 430 é o total de pessoas que assistem a A ou B.

Temos:

𝑃=

𝑛(𝐸)

Evento: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 }

Então, no diagrama das posições abaixo, devemos somar 430 pessoas. Como para A deve haver 280 pessoas e para B, 250, teríamos um total de pessoas dado por 280 + 250 = 530, ou seja, há um excesso de 100 pessoas (530 - 430 = 100) e esse total corresponde ao número de pessoas que assistem aos dois canais.

Notemos que n(S) = 10 e n(E) = 9

Veja o digrama:

𝑛(𝑆)

Espaço Amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Logo:

𝑃 =

𝟗 𝟏𝟎

13.) Uma bola é retirada de um urna que contém bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retirada uma bola vermelha é 5/17. Calcule a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha.

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250 - 100 = 150

280 - 100 = 180

Assim, das 500 pessoas pesquisadas, 180 assistem apenas ao canal B e, dessa forma, a probabilidade procurada é:

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MATEMÁTICA/PMPE/2016 LISTA 02 - PROBABILIDADE

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d) A probabilidade da pessoa sorteada não pertencer ao clube B é 40%.

150 3 𝑃= = = 0,3 = 𝟑𝟎% 500 10

ERRADA. 16.) (PUCCAMP-SP) Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 pertencem a um clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos 3 clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, a probabilidade de ela: a) pertencer aos três clubes é 3/5. b) pertencer somente ao clube C é zero. c) pertencer a, pelo menos, dois clubes é de 60%. d) não pertencer ao clube B é 40%. e) pertencer somente ao clube A é 12,5%.

O total de pessoas que não pertencem ao clube B é 40. Logo, a pro30 babilidade em questão é 𝑃 = = 30%. 100

e) A probabilidade da pessoa sorteada pertencer somente ao clube A é 12,5%. ERRADA. O total de pessoas que pertencem ao clube somente ao clube A é 18. 18 Logo, a probabilidade em questão é 𝑃 = = 18%. 100

17.) Oito pessoas (entre elas Pedro e Sílvia) são dispostas ao acaso numa fila. Qual a probabilidade de:

Temos: Seguindo o mesmo raciocínio da questão anterior, ou mesmo recordando os conteúdos que Hércules está vendo com vocês (a turma matutina verá comigo), façamos o diagrama para os três conjuntos, A, B e C:

a) Pedro e Sílvia ficarem juntos b) Pedro e Sílvia ficarem separados

Temos: Vimos em combinatória que o total de maneiras de 8 pessoas ficarem em uma fila é P8 = 8! = 40.320. a) De quantos modos Pedro e Sílvia ficam juntos nessa fila?

Percebemos que o total de participantes dos clubes A, B e C é dado pela soma dos números no diagrama acima, que nos dá 100 pessoas.

Como vimos, devemos contar Pedro e Sílvia como uma só pessoa e, desse modo, o cálculo fica P7 = 7! = 5.040, que deve ser multiplicado por 2, pois podemos ter PS ou SP, o que nos dá: 2 x 5040 = 10.080. Desse modo, a probabilidade procurada é:

Vamos analisar cada alternativa, estando claro, porém, que a alternativa c) é a correta. Veja: Usaremos a expressão 𝑃 =

𝑃=

10080 40320

1

= = 0,25 = 𝟐𝟓% 4

𝑁𝐶𝐹

Obs.: Seria melhor fazermos 𝑃 =

𝑁𝐶𝑃

a) A probabilidade da pessoa sorteada pertencer aos três clubes é 3/5. ERRADA.

7! . 2 8!

=

7! . 2 8 . 7!

=

1 4

= 0,25 = 25%

b) A probabilidade de Pedro e Sílvia ficarem separados é 100% - 25% = 75%

O total de pessoas que pertencem aos três clubes é 10 e, desse modo, 10 a probabilidade em questão é 𝑃 = = 1/10. 100

b) A probabilidade da pessoa sorteada pertencer somente ao clube C é zero.

18.) Considere o tabuleiro de 16 casas, de 8 casas brancas e 8 casas pretas, representado na figura abaixo.

CERTA. O total de pessoas que pertencem somente ao clube C é zero, como 0 pode ser visto no diagrama. Logo, 𝑃 = = 0. 100

c) A probabilidade da pessoa sorteada pertencer a, pelo menos, dois clubes é de 60%. ERRADA. O total de pessoas que pertencem a, pelo menos, dois clubes é, con40 forme o diagrama: 10 + 12 + 8 + 10 = 40. Logo, 𝑃 = = 40%.

Três peças serão dispostas ao acaso sobre o tabuleiro, cada uma delas dentro de uma casa, ocupando, assim, três casas distintas. A probabilidade de que as três peças venham a ocupar três casas de mesma cor é a) 1/10

b) 1/5

c) 1/4

d) 1/3

e) 1/2

100

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MATEMÁTICA/PMPE/2016 LISTA 02 - PROBABILIDADE

Temos:  De quantos modos podemos escolher 3 lugares dentre 16 existentes no tabuleiro? Como vimos em combinatória, basta acharmos o total de combinações simples de 16 elementos, tomados 3 a 3: Assim: 𝐶16,3 =

16! 3! . 13!

=

16.15.14.13! 3.2.1 . 13!

= 𝟓𝟔𝟎

 De quantos modos podemos escolher 3 lugares dentre 8 existentes na cor preta no tabuleiro? De modo análogo: 𝐶8,3 =

8! 3! . 5!

=

8.7.6.5! 3.2.1 . 5!

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c) Qual é a probabilidade de que as duas pessoas sorteadas sejam do sexo feminino? De imediato: 𝑃 =

90 380

=

𝟗 𝟑𝟖

d) Qual é a probabilidade de que Rivanildo e sua esposa, Dalara, sejam sorteados? Só há duas maneiras de Rivanildo e Dalara serem sorteados, podendo ele ser o organizador dos comes e bebes e ela conduzir a cerimônia, ou ele conduzir a cerimônia e ela ser a organizadora dos comes e bebes. Desse modo, a probabilidade procurada é 𝑃 =

= 56

 De quantos modos podemos escolher 3 lugares dentre 8 existentes na cor branca no tabuleiro?

2 380

=

𝟏 𝟏𝟗𝟎

Exemplos complementares de combinatória e probabilidade

Como o cálculo é o mesmo do item anterior, encontramos 56.

Assim, o total de maneiras das três peças serem colocadas em três espaços de mesma cor é 56 + 56 = 112. Assim, a probabilidade procurada é 𝑃 =

112 560

=

𝟏 𝟓

19.) Em um encontro de casais, com 10 casais participantes, duas pessoas devem ser escolhidas para assumirem a organização da festa, sendo uma para organizar os comes e bebes e outra para conduzir a cerimônia do encontro. Dessa forma, responda o que se pede: a) De quantos modos as duas pessoas podem ser escolhidas por sorteio? b) De quantos modos duas mulheres podem ser escolhidas por sorteio?

20.) Um município deseja emplacar todas as suas bicicletas, utilizando, para isso, uma placa contendo três letras maiúsculas – tiradas do alfabeto normal de vinte e seis letras, das quais 5 (cinco) são vogais - seguidas de três dígitos, ou seja, números inteiros de 0 (zero) a 9 (nove). As regras de emplacamento exigem que não pode haver repetições de letras, mas que as repetições de dígitos são permitidas. Também nenhuma letra da placa pode ser uma vogal. Nessas condições, a quantidade máxima de placas diferentes que podem ser emitidas neste município, sem que haja repetição de placas é igual a A) 5745600 B) 7980000 D) 15600000 C) 11232000 E) 12654720 Temos: ___ ___ ___ ___ ___ ___

c) Qual é a probabilidade de que as duas pessoas sorteadas sejam do sexo feminino?

Há 21 consoantes que podem ser usadas, sem repetição, nas três primeiras posições, e há 10 algarismos que podem ser usados, podendo repetir, nas três posições finais.

d) Qual é a probabilidade de que Rivanildo e sua esposa, Dalara, sejam sorteados?

Assim, pelo PFC: T = 21. 20 . 19 . 10 . 10 . 10 = 7.980.000

Temos: a) De quantos modos as duas pessoas podem ser escolhidas por sorteio? Como vimos em combinatória, como as funções são distintas, devemos achar o total de arranjos simples de 10 elementos, tomados 2 a 2: Assim: 𝐴20,2 =

20! (20−2)!

=

20! 18!

=

20 . 19 . 18! 18!

= 380

b) De quantos modos duas mulheres podem ser escolhidas por sorteio? Como há 10 mulheres, teremos: 𝐴20,2

10! 10! 10 . 9 . 8! = = = = 90 (10 − 2)! 8! 8!

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21.) Em uma empresa de transporte de passageiros, existem 4 (quatro) motoristas e 7 (sete) cobradores disponíveis em um dado turno. A empresa precisa escolher 2 (dois) dentre os motoristas e 3 (três) dentre os cobradores para compor uma comissão. Dado que a ordem do sorteio das pessoas não é importante para a composição da comissão e que, é claro, a mesma pessoa não é sorteada mais de uma vez, a quantidade possível de comissões que podem ser assim formadas é de A) 210

B) 336

D) 1680

C) 420

E) 10080

Temos: Como a ordem não é importante, os agrupamentos serão combinações: Assim:

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4!

Grupo de motoristas: 𝐶4,2 =

2! . 2!

Grupo de cobradores: 𝐶7,3 =

7! 3! . 4!

=

4 . 3 . 2! 2 . 1 . 2!

=

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Paula não viajar e Antônio passar no vestibular, sabendo que são eventos independentes?

=𝟔

7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1 . 4!

Prof. Jonas

= 𝟑𝟓

a) 18%

Devemos escolher um grupo de motoristas (existem 6 possíveis) e um grupo de cobradores (existem 35 possíveis) para formarmos a comissão, e esse resultado, pelo PFC, é dado por:

b) 42%

c) 30%

d) 10%

e) 34%

Temos: Se a probabilidade de Paula viajar é de 70%, então a probabilidade de Paula não viajar é de 30%.

T = 6 x 35 = 210 Temos dois eventos independentes que devem ocorrer: 22.) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Sorteando-se uma bola dessa urna, qual é a probabilidade de que seu número seja divisível por 2, mas não seja divisível por 3? a) 1/4

b) 1/5

c) 1/3

d) 1/2

Paula não viajar (30%) e Antônio passar no vestibular (60%) Para que ambos ocorram, como vimos em sala, a probabilidade será a multiplicação dessas duas:

e) 1/9 P = 30% . 60% = 0,3 . 0,6 = 0,18 = 18%

Temos:

𝑃=

𝑛(𝐸)

Espaço Amostral: S = { 1, 2, 3, . . . , 28, 29, 30 }

25.) Um dado e uma moeda, sem falcatruas, são lançados. Qual é a probabilidade de que sejam sorteados um número par no dado, e coroa, na moeda?

Evento: E = { 2, 4, 8, 10, 16, 18, 20, 22, 26, 28 }

a) 12,5%

𝑛(𝑆)

Notemos que n(S) = 30 e n(E) = 10 Logo:

𝑃 =

𝟏𝟎 𝟑𝟎

=

b) 25%

c) 30%

d) 1/6

e) 1/5

Temos: 𝟏 𝟑

23.) Em uma fila há 48 pessoas, sendo 36 adultos. Se o total de homens adultos é o dobro do total de mulheres adultas, qual é a probabilidade de, ao sortearmos uma pessoa da fila, ela não ser homem adulto?

Perceba que há 12 possibilidades, e 3 delas são favoráveis ao pedido da questão: 2c, 4c e 6c.

a) 40%

Assim, a probabilidade pedida é:

b) 50%

c) 56%

d) 61%

e) 70%

𝑃 =

Temos: De 48 pessoas, 36 são adultos e, nesse caso, sobram 12 não adultos. Há mulheres e homens adultos, num total de 36 pessoas, e, pelo enunciado, o total de homens adultos é o dobro do total de mulheres adultas, ou seja:

3 1 = = 0,25 = 𝟐𝟓% 12 4

Obs.1: Você poderia resolver sem utilizar a tabela. Para o dado há 6 possibilidades e, para a moeda, 2 possibilidades, ou seja, o total de maneiras de escolhermos um número do dado e uma face da moeda é 6 x 2 = 12. Obs.2: Perceba que os eventos são independentes. Resolva inspirado na questão anterior (questão 24).

Total de mulheres adultas: x 26.) Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de que a multiplicação dos dois números sorteados seja um número par?

Total de homens adultos: 2x Logo: 𝑥 + 2𝑥 = 36 ∴ 3𝑥 = 36 ⟹ 𝑥 =

36 3

= 12

Assim, das 48 pessoas, 12 são mulheres adultas, 24 são homens adultos e 12 são não adultos. Assim, como existem 24 (12 + 12 = 24) pessoas que não são homens adultos, a probabilidade procurada é: 𝑃=

24 1 = = 0,5 = 𝟓𝟎% 48 2

24.) A probabilidade de Paula viajar é de 70%. A probabilidade de Antônio passar no vestibular é de 60%. Qual é a probabilidade de

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a) 1/6

b) 1/5

c) 1/4

d) 1/3

e) 1/2

Repetido. É igual à questão 11. Foi mal! O gabarito correto é 3/4 ou 75%. Obs.: Se a pergunta fosse “... não ser um número par?”, a resposta seria conforme abaixo, baseado na tabela na questão 11: 𝑃=

9 1 = = 0,25 = 25% 36 4

Ou seja, bastava fazer: 100% − 75% = 25%.

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27.) Em uma festa há homens e mulheres, num total de 40 pessoas convidadas. Um brinde foi sorteado para os convidados, e, antes de anunciar o nome da pessoa sortuda, o organizador do sorteio disse “A pessoa felizarda é uma mulher”. Sabendo que o organizador não mentiu e que o total de mulheres convidadas na festa supera o de homens convidados em 10 pessoas, qual é a probabilidade de uma das 5 filhas de dona Regina ser a sorteada para ganhar o brinde? a) 5%

b) 10%

c) 15%

d) 20%

e) 25%

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Desse modo, se considerarmos a área do triângulo MNB valendo 1 unidade de área, sem prejuízo de raciocínio, a área do quadrado será 8 unidades de área, de modo que a probabilidade desejada é; 𝑃=

1 = 0,125 = 𝟏𝟐, 𝟓% 8

29.) Um dado viciado de seis faces numeradas de 1 (um) a seis (6) se comporta de tal forma que a probabilidade de uma face ocorrer é proporcional ao valor desta face. Nestas condições, a probabilidade de ocorrer uma face ímpar é igual a

Temos: A) 1/2

B) 4/7

C) 2/3

D) 3/6

E) 3/7

Total de homens: x Temos: Total de mulheres: x + 10 Como vimos, a probabilidade total é igual a 1 (ou 100%). 𝑥 + 𝑥 + 10 = 40

Pelo enunciado:

Conforme o enunciado, vamos dividir 1 em seis partes proporcionais aos números do dado: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Total de mulheres

Ou seja:

2𝑥 = 40 − 10 ∴ 2𝑥 = 30 ⟹

𝑥=

30 = 15 2

Somando essas partes, teremos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

O que nos dá 15 homens e 25 mulheres.

Ou seja, vamos dividir o 1 em 21 partes, o que nos dá

Agora, temos um problema de probabilidade condicional, pois está garantido que a pessoa sorteada é uma mulher, de modo que há 25 casos possíveis.

de uma parte.

1 para o valor 21

Assim, as probabilidades de cada número são:

Qual é, então, a probabilidade de que uma das 5 filhas de dona Regina ser a sorteada para ganhar o brinde?

Número 1: a probabilidade é 1 𝑥

1 21

=

1 21

5 1 𝑃= = = 0,2 = 𝟐𝟎% 25 5

Número 2: a probabilidade é 2 𝑥

1 21

=

2 21

Número 3: a probabilidade é 3 𝑥

1 21

=

3 21

Número 4: a probabilidade é 4 𝑥

1 21

=

4 21

Número 5: a probabilidade é 5 𝑥

1 21

=

5 21

Número 6: a probabilidade é 6 𝑥

1 21

=

6 21

28.) Um atirador dará um tiro no quadro abaixo, com formato de quadrado. Sabendo que o atirador sempre acerta o quadro, qual é a probabilidade de que ele acerte o triângulo MNB? a) 12,5% d) 50%

b) 18% e) 55%

c) 25%

Logo, a probabilidade de que a face sorteada seja ímpar é: 1 3 5 9 𝟑 + + = = 21 21 21 21 𝟕

Temos: Podemos dividir o quadrado ABCD em 8 triângulos iguais:

30.) Em uma sala, esperam 6 (seis) homens e 4 (quatro) mulheres. São escolhidas, aleatoriamente, 3 (três) dessas pessoas. Nessas condições, sabendo que as três pessoas escolhidas são distintas, a probabilidade de haver, no máximo, uma mulher no grupo de pessoas escolhidas é igual a A) 2/3

B) 1/3

C) 1

D) 1/2

E) 3/4

Temos: Há 10 pessoas e devemos escolher 3. Como a ordem não é importante, o total de maneiras é: A probabilidade pedida corresponde à divisão da área do triângulo MNB pela área total do quadrado, que é igual a 8 vezes a área do triângulo.

Tel. (75)3281-2285

𝐶10,3 =

10! 10 . 9 . 8 . 7! = = 120 3! . 7! 3 . 2 . 1 . 7!

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MATEMÁTICA/PMPE/2016 LISTA 02 - PROBABILIDADE

Prof. Jonas

Devem ser escolhidos 3 homens ou 2 homens e 1 mulher. Total de maneiras de escolhermos 3 três homens dentre 6 existentes: 𝐶6,3 =

6! 6 . 5 . 4 . 3! = = 20 3! . 3! 3 . 2 . 1 . 3!

Total de maneiras de escolhermos 2 homens e 1 mulher: 𝐶6,2 . 𝐶4,1 =

6! 4! ∙ = 15 . 4 = 60 2! . 4! 1! . 3!

Veja a questão 21, e saberá o porquê da multiplicação.

Assim, há 80 (20 + 60 = 80) casos favoráveis, dentre 120 possíveis. Logo: 𝑃=

80 𝟐 = 120 𝟑

Fim.

Prezados, algumas questões foram menos agradáveis, por conta de detalhes ou um cálculo mais estendido, mas não podemos dizer que houve questão difícil. Vamos para a próxima lista, com progressão aritmética e progressão geométrica para a turma do matutino, e juros simples e compostos para as turmas do noturno.

Havendo dúvidas, entrem em contato.

Até mais.

Prof. Jonas

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