Ölçme Bilgisi 4 -IV

Nirengi Ağlarında Uzunluk Ölçüsü

 Nirengi ağlarına ölçek vermek amacıyla, ağın kuruluş ilkelerine uygun olarak bazı kenar uzunlukları baz olarak veya gerekli görülen kenarlar  EDM ölçüsü  EDM ölçüsü ile ölçülür. Ancak, bu ölçülerin hepsi fiziksel yeryüzünde yapılmaktadır. Bunların doğrultular  gibi hesap yüzeyine yüzeyine indirgenm indirgenmeleri eleri gerekir. gerekir. Bunların Bunların indirgenm indirgenmesind esinde, e, ölçü teknikleri tekniklerine ne uygun uygun geliştiril geliştirilen en indirgeme indirgeme  bağıntıları kullanılır.

•

Baz Uzunluk Ölçüsü ve İndirgenmesi

Yersel yöntemlerle kurulmuş ağlarda, ağa ölçek vermek amacıyla belli kenar uzunlukları invar şerit metreler kullanılarak ya doğrudan yada baz büyütmesi şeklinde ölçülmektedir. Ölçülen baz uzunluklarının istenen incelikte olması için, kullanılan invar şeritlerin veya invar tellerin ilk ve son 10cm ‘lik kısımları milimetre incelikte bölümlenmiştir. Ölçü anında baz doğrultusundaki komşu ara noktaları arasındaki uzunluklar, invar şeritler yatay tutularak mesafeler büyük bir itina ile ölçülür. Her bir ölçüye, ısı, germe ve yükseklik farkı…vs. düzeltmeleri getirilerek bazın toplam uzunluğu elde edilir.

B

Yeryüzü

dℓ ds

B’ dh  Elipsoid   Paraleli

β dℓ’ A

B” h ds0

β 

ε 

a

b  Elipsoid 

O

dφ

Şekil 39: Bazların 39: Bazların İndirgemesi

Yerel Yatay

Bu noktalar arasında invar ölçü telleri yada şeritleri kullanılarak yapılacak uzunluk ölçüsü ile birlikte sıcaklık ve basınç ölçülür. Ara noktalar arasındaki eğim farkından kaynaklanacak indirgemeyi gerçekleştirmek için, her bir komşu noktalar  arasında arasında nivelman nivelman yapılarak; ölçülen uzunluğa yükseklik farkı, sıcaklık sıcaklık ve basınçtan basınçtan dolayı dolayı düzeltmeler düzeltmeler getirilerek  getirilerek  yeryüzündeki baz uzunluğu elde edilir. Daha sonra ilgili hesaplamalarda kullanılmak üzere, elde edilen baz uzunluğu hesap yüzeyine indirgenir. Bu şekilde ölçülmüş olan bir baz uzunluğunu ilgili hesap yüzeyine indirgenirken; ölçü yöntemine uygun bir indirgeme yöntemi izlenerek, bazın hesap yüzeyine indirgenmiş uzunluk değeri elde edilir.

Böyle bir işlem; komşu iki ara noktası arasında ölçülen bir  dℓ  uzunluğu için, dℓ’  : bu uzunluğun yerel yataydaki ds : de elipsoide paralel paralel yerel yatay bir bir düzlemdeki, ds0 : elipsoid yüzeyindeki bileşenleri olmak üzere,

şeklinde ölçü yöntemine uygun bir mantıkla indirgenir.

Şekilden de görüldüğü gibi;  ABB’ üçgeninde;  ABB’ üçgeninde; ε açısı çok küçük bir açı olacağından, olacağından, indirgeme işlemlerinde, işlemlerinde, Cosε = 1, 1, ve Sinε =0 alınabilir. Neticede, aynı üçgenden,

ds

=

d Cos( β − ε) ≈ d Cos β + εd Sin Sin β 

yazılabilir. Daha sonra, bu formülde formülde geçen bazı değerler değerler yerine,  ABB’’ üçgeninden  ABB’’ üçgeninden

d ' 

=

d Cos βosβ βosβ , d Sin Sin βi

≅

dh

Oldukları dikkate alınırsa; alınırsa; ve bu eşitlikler yerine yazıldığında;

ds

elde edilir.

= d + εdh '

Burada R elipsoidin ölçülen baz doğrultusunda yani

1

 R

=

Cos Cos 2α  M 

+

α 

azimutundaki eğrilik yarıçapı olmak üzere, değeri

Sin 2α  M 

 bağıntısından hesaplanabilir.

Bu formülde kullanılan M  değeri elipsoidin meridyen yönündeki ve  N  değeri değeri de ona dik yöndeki yöndeki eğrilik yarıçaplarını yarıçaplarını göstermektedir.

dℓ baz dℓ baz olarak ölçülmüş uzunluk değerinin elipsoid yüzeyindeki ds0 değerini hesaplamak için  AB’O ve abO üçgeninden;

ds ds0

yazılarak buradan;

=

 R + h  R

=1+

h  R

ds = ds0

+ ds

h 0

 R

veya ds0

= ds-ds

h 0

 R

elde edilir. Aynı şekilde; abO üçgeninden

dϕ 

=

ds 0 R 

olduğu dikkate dikkate alınarak bunun yerine yazılması ile

ds 0

=

ds

- h d ϕ 

elde edilebilir. Bu değer, daha önce verilmiş olan eşitlikte yerine yazılarak,

ds0

= d '  + εdh − h.d ϕ 

yada

ds0

= d '  + d ( εh) − hd (ϕ  + ε )

diferansiyel bağıntısı elde edilmiş olur.

Bunun bazın uç noktaları olan  A ve B ve B noktaları arasında integrali alınırsa,

 B

S 0

= '  + ε B h B − ε A h A − ∫ hd ( ϕ  + ε )  A

 B

S 0

= '  + ε B h B − ε A h A − hm ( ε B − ε A ) − hm ∫ d ϕ  ,  A

hm

=

h A

+ h B 2

olmak üzere elipsoide indirgenmiş uzunluk değeri,

S 0

= '  + ε B ( h B − hm ) − ε A ( h A − hm ) −

hm  R

S 0

olarak elde edilmiş olur.

Bu bağıntıda geçen,

ε  A

ve

ε  B

değerleri çok küçük ve birbirine

ε  B

= ε  A eşit alınırsa,

 bazın elipsoid yüzeyine indirgenmiş yani jeodezik eğri olarak uzunluğu,

S 0

= '  −

hm  R

S 0

ya da daha basit bir ifade ile

S 0

  h   = S 1 − m      R  

olarak bulunmuş olur. Eğer hesaplamalar hesaplamalar bir projeksiyo projeksiyonn yüzeyinde yüzeyinde yapılacak yapılacak ise, o zaman elipsoide indirgenmiş indirgenmiş uzunluğun uzunluğun,, projeksiyo projeksiyona na indirgenmesi gerekir. Böyle bir işlem,

S0

uzunluğuna projeksiyon yüzeyinde karşılık gelen s projeksiyon uzunluğu,

(  ,i  ,Y i X  ,k  Y k ) ⇒  s − S 0 =  f  X  (  ,i  ,Y i X k , Y k )  s = S 0  f  X  +

 projeksiyona indirgeme düşüncesine uygun olarak gerçekleştirilebilir.

Bu amaçla kullanılacak,

d s=  s − S 0 =  f ( X  ,Y   ,X  i , Y  i , X k , Y  k  ) indirgeme formülü projeksiyonun türüne ve özelliğine göre değişik bağıntılarla ifade edilir.

Gauss-Krüger projeksiyonu Gauss-Krüger projeksiyonu için böyle bir indirgeme işlemi, arazide yatay olarak ölçülmüş S baz uzunluğunun elipsoide indirgenmiş

S0

uzunluk değerine getirilecek düzeltmesi,en basit şekliyle,

ds = s − S 0

=

 s 6 R

(Y  + Y Y  + Y  ) 2

2

i

2

i

k 

k 

şeklinde verilebilir. Bu indirgeme değeri elipsoide indirgenmiş indirgenmiş baz uzunluğuna ilave edilmesiyle edilmesiyle projeksiyona indirgenmiş uzunluk değeri,

 s = S 0 + d s

şeklinde hesaplanabilir. Burada,

S : Ölçülen baz uzunluğu, S0 : Elipsoid yüzeyindeki baz uzunluğu, uzunluğu , s : Projeksiyon düzlemindeki baz uzunluğu

değerlerini göstermektedir.

Örnek 1: Bir nirengi ağının komşu noktalarının bulunduğu yüksekliklerdeki yerel yatayda 20-21,

20-22, 20-23 kenar 

uzunlukları baz ölçüsü şeklinde ölçülerek her biri için,

D.N. B.N Baz uzunlukları 20

. 21 22 23

1409.751m. 3676.046  1181.414

uzunluk uzunluk değerler değerlerii elde edilmi edilmiştir. ştir. Ayrıca Ayrıca her her bir kenarların kenarların uç noktaları noktalarınn

3

0

derece dilim dilim genişliğin genişliğindeki deki UTM 

 projeksiyonundaki yaklaşık koordinat ( sağa ve yukarı koordinat) değerleri ve yükseklikleri

Nok. No

Sağa (m)

Yukarı (m.)

H

20

561 874.21

4 540 658.04

1260m .

21 22 23

562 755.96 565 500.70 562 358.12

4 541 757.84 4 541 260.32 4 539 580.32

935 817   797  

olarak bilinmektedir.

Bu kenar uzunluklarının Gauss-Krüger  projeksiyo projeksiyonuna nuna indirgemek indirgemek için dünyanın dünyanın eğrilik eğrilik yarıçapı yarıçapı R=6370km. R=6370km. alarak; ds  projeksiyona indirgeme düzeltme değerlerini ve s = S0 + d s projeksiyona indirgemiş uzunluk değerlerini hesaplayınız.

Çözüm:

Burada, önce yukarıdaki örnekte olduğu gibi, noktaların noktaların sağa değerlerinden 500 000m değeri çıkartılarak,

Nok. No 20

Y 61 874.21

X 4 540 658.04

21 22 23

62 755.96 65 500.70 62 358.12

4 541 757.84 4 541 260.32 4 539 580.32

Gauss-Krüger koordinatları Gauss-Krüger koordinatları hesaplanır. Daha sonra bu koordinat değerleri kullanılarak,

ds = s − S 0

=

 s 6 R

(Y  + Y Y  + Y  ) 2

2

i

2

i

k 

formülünden elipsoide indirgenmiş her bir  S

D.N.

B.N.

S

20

21 22 23

1409.751m. 3676.046 1181.414

olarak hesaplanır.

uzunlukları

S 0

k 

0

  h = S 1 − m    R

1409.5081 3675.4467 1181.2232

baz uzunluğuna getirilecek düzeltme miktarları,

ds

= s − S  (cm)

6.75 18.38 5.61

0

 s = S 0 + d suzunlukları 1409.5756m. 3675.6305 1181.2794

•

EUÖ veya (EDM) Elektronik Uzunluk Uzunluk Ölçüsü ve İndirgenmesi

EDM aletleri kullanılarak yapılan uzunluk ölçüsünde, uzunlukların invar şerit metreler kullanılarak baz ölçülmesinden farklı  bir yol izlenmektedir. Bu yöntemde, ölçülecek uzunluğun yatay olmasına bakılmadan noktalarından birine kurulan uzaklık  ölçer (EDM) (EDM) aletinin hedef noktasına tutulan bir reflektöre tatbik edilerek noktalar arasındaki eğik uzunluk bir seferde doğrudan ölçülmektedir. Bu şekilde ölçülen eğik uzunluk; kullanılan ölçü yöntemine uygun bir analitik çözüm yolu izlenerek hesap yüzeylerine indirgenir.

Böyle bir işlem geometrik olarak, en basit şekliyle,

 D

B

Sr 

A

h2

h1

S0 r  S

R 

2γ 2δ

M

O

Şekil 40: Eğik 40: Eğik Uzunlukların İndirgemesi olarak ifade edilebilir. Elektronik uzaklık ölçer  (EDM) aletlerini kullanılarak doğrudan eğik vaziyette ölçülmüş olan bu tür  kenar uzunluklarının elipsoid yüzeyine indirgenmesinde iki farklı özelliğe sahip indirgeme uygulanır. Bunlardan biri; yaykiriş indirgemesi düzeltmeleri, diğeri de noktaların yüksekliklerinden dolayı indirgemedir.

1.

Yay-Kiriş İndirgemesi

 EDM  ile eğik olarak ölçülmüş ölçülmüş olan bir uzunluğun uzunluğun,, doğrudan doğrudan trigonometr trigonometrik ik üçgen bağıntıları bağıntılarını nı kullanılarak kullanılarak elipsoide elipsoide yüzeyine indirgenebilmesi için  A ve  B noktaları arasındaki kiriş uzunluğunun ölçülmüş olması gerekmektedir. Halbuki; atmosferin farklı yoğunluktaki tabakalardan oluşması nedeniyle ölçü anında bu tabakalardan geçen bir ışının kırılarak  yolu yoluna na bir bir eğri eğri yayı yayı boyu boyunc ncaa deva devam m edec edeceğ eğii düşü düşünc ncesi esind nden en harek hareket etle le,, hiçb hiçbir ir zama zamann böyl böylee bir bir kiri kirişş uzun uzunlu luğu ğu ölçülememektedir. Bunun yerine azda farklı olsa, her zaman bu kirişe karşılık gelen yay boyu ölçülebilmektedir. Bu neden,  D yay boyu şeklinde ölçülmüş olan EDM  olan  EDM uzunlukları uzunlukları önce

S r 

kiriş boyuna indirgenir.

Şekilden görüldüğü gibi, arazi alet kurulan ve reflektör tutulan,  A ve B ve B noktaları arasındaki ışın yolunun boyu yani bu iki nokta arasındaki yay uzunluğu  D ve buna karşılık gelen kiriş uzunluğu da şekilden, OAB ışın yolu yayı için, 2δ  = üçgeninden de

Sinδ  =

S r  2r 

 D r 

ve buradan

δ  

bağıntısı yazılabilir. Bu bağıntı,

 D   = Sin     2r   2r  

S r 

şeklinde de ifade edilebilir. Buradan

S r 

=

 D   = 2r Sin       2r  

S r 

kiriş uzunluğu,

 D 2r 

δ  

=

S r 

olsun. olsun.

Bu iki iki farklı farklı uzunlu uzunlukk arasınd arasındaa ;

elde edilir. Aynı şekilde, OAB  D 2r 

olduğu dikkate alınarak,

olarak elde edilir. Burada, kullanılan D 2r  açısının çok küçük oluşundan dolayı seriye açılarak işlemler yapılabilir. yapılabilir. Böyle  bir işlem neticesinde

S r 

S r 

= D −

kiriş uzunluğu,

 D

3 2

24r 

+

 D

5 4

1920 r 

−

......

seri ifadesi ile elde edilebilir.

Burada; ışın yolu eğrisinin r  eğrilik yarıçapı ile yerin  R eğrilik yarıçapı arasında, k atmosferik k atmosferik refraksiyon katsayısı olmak  üzere, r =  R k  gibi bir ilişkinin olduğu dikkate alınarak, S r  = D − k 

2

 D

3

24 R

2

+ ......

kiriş uzunluğu elde edilir. Bununla ilgili D yay boyunun kiriş uzunluğuna indirgenmesi indirgenmesi için gerekli olan düzeltme değeri,

k r 

= S r  − D = −k 

2

 D 3 24 R

2

.....

olarak hesaplanır. Buna göre de; ölçülen  D yaya uzunluğu

S r 

S r 

kiriş uzunluğuna,

= D + k 

r 

şeklinde de indirgenebilir.

Böylece, arazide  A

alet kurulan ve  B reflektör tutulan hedef noktaları arasındaki ışın yolu boyunu temsil eden  D yay

uzunluğundan buna karşılık gelen

S r 

kiriş boyuna geçilmiş olur. Ancak burada söylemek gerekirse;  D yay boyunun

100m. olduğu durumda k r r= 1ppm. den küçük olacağından bazı pratik uygulamalar için ihmal edilebilir bir değer olmaktadır.   1ppm.

2. Elipsoidin Eğriliğinden Eğriliğinden dolayı İndirgeme

Benzer durum, durum, elipsoid elipsoid yüzeyindeki yüzeyindeki noktalar noktalar arasında arasında da oluşmaktadır. oluşmaktadır. Elipsoid Elipsoid her noktasında noktasında eğriliği farklı olan bir  kapalı yüzeydir. Bunu üzerindeki iki nokta arasında bir yay uzunluğu ve bir de buna karşılık gelen kiriş uzunluğu  bulunmaktadır. Bu nedenle, benzer yay-kiriş indirgemesi burada da söz konusu olmaktadır.

Işın yolu eğriliğinden eğriliğinden dolayı dolayı yayların yayların kiriş uzunluğuna uzunluğuna indirgenme indirgenmesinde sinde yapılan işlemlere işlemlere benzer şekilde, elipsoid elipsoid yüzeyindeki A’  yüzeyindeki A’ ve ve B’   B’ noktalarının noktalarının belirlediği yay uzunluğundan uzunluğundan M noktasındaki

2γ  

=

S 0  R

bağıntısından

γ   =

S 0 2 R

elde edilebilir. Aynı şekilde  A’B’M  üçgeninden de,

γ   

açısı için,

Sin γ   =

S  2 R

yazılarak elde edilen bu bağıntıda

γ   

açısının değeri yerine yazılması yazılması ile elipsoid yüzeyindeki  A’ ve  A’ ve B’   B’ noktaları noktaları arasındaki

S  kiriş uzunluğundan S 0 elipsoid yay uzunluğuna geçişte kullanılan indirgeme formülünün temel eşitliği olan;

  S   =   S          2 R    2 R  

Sin

0

ifadesi yazılabilir. Buradan

S 0

S 0

çekilirse,

S    = 2 R Sin -       2 R   1

 bağıntısı elde edilir. Bu eşitliğin seri açılımı sonucunda,

S 0

= S −

S 3 24 R

2

+

S 5 1920 R

4

−

......

elde edilir.

Bu eşitliğin sağ tarafında birinci terimin ter imin haricindeki terimler, eğrilik düzeltmesi olarak adlandırılır. Bunun değeri, k s

= S  − S  = − 0

S

3 2

24R 

+

S

5 4

1920R 

− ......

şeklinde hesaplanabilir. Neticede, elipsoid yüzeyindeki yaya uzunluğu

S 0

= S + k  s

olarak hesaplanabilir.

3. Yükseklikten dolayı İndirgeme

Işın yolu ve elipsoidin eğriliklerinden dolayı yapılan indirgemeler neticesinde kirişe indirgenmiş uzunluklar arasında düzlem üçgenlerdeki kosinüs bağıntısından faydalanarak,

S r 2

=

( R + h )

2

1

+

( R + h ) 2

2

(

− 2  R +

h1 ) ( R + h2 ) Cosγosγ

formülü yazılabilir. Burada;

S 2

= R + R − 2 R 2

2

2

Cosγo⇒

olduğu dikkate dikkate alınarak, bu bağıntıdan,

Cosγ = 1-

S 2 2 R

2

  S  = ( R + h ) + ( R + h ) − 2( R + h ) ( R + h )1  2 R

2

S r 2

2

2

1

2

1

2

2

       

ve gerekli işlemlerin yapılması ile de,

2

S r 

= 2 R + 2 R(h + h  ) + h + h − 2 R − 2 R(h + h  )-2h h + 2( R + h ) ( R + h ) 2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

S r 

= (h − h  ) + 2( R + h ) ( R + h ) 2

1

2

1

2

S 

2 R

2

yazılabilir. Daha sonra sonra buradan buradan S uzunluğu S uzunluğu çekilirse,

2

S 

ve

=

2 R

2

(

( S 

2

r  −

2  R +

(h1 − h2 )2 )

h1 ) ( R + h2 )

2

1

2

1

2

S 2 2 R

2

( S r 

2

S  =  R

−

(h1 − h2 ) 2

)

( R + h1 ) ( R + h2 )

elipsoid noktaları arasındaki kiriş uzunluk değeri elde edilir. Buradan, elipsoid üzerindeki yay uzunluğuna,

S 0

S    = S + k  s ⇒ S  = 2 RSin −       R 2     1

0

 bağıntısı ile indirgeme yapılır.

Sonuçta özetlemek gerekirse; Arazide bir  A bir  A noktasına kurulan aletle B aletle  B noktasına bakılarak noktalar arasındaki uzunluk uzunluk D yay boyu boyu olarak ölçülür. Sonra Sonra bu uzunluğa ışın yolu eğriliğinden dolayı k r  indirgenme düzeltmesi getirilerek Sr  kiriş uzunluğun uzunluğunaa geçilir. geçilir. Daha sonra, bu kiriş uzunluğu, uzunluğu, noktaların noktaların yüksekliklerind yüksekliklerinden en dolayı elipsoid elipsoid yüzeyindeki yüzeyindeki noktalar  arasıdaki,

( S r  2

S  =  R

−

(h1 − h2 ) 2

)

( R + h1 ) ( R + h2 )

kiriş uzunluğuna indirgenir. Buradan da,

S 0

S    = S + k  s ⇒ S  = 2 RSin −       R 2     1

0

formülüyle elipsoid yüzeyine indirgenir.

Bu şekilde şekilde hesaplanmış olan S 0 değeri; elipsoid yüzeyinde jeodezik yada normal kesit eğrisinin uzunluk değeri olmaktadır. Buna karşılık gelen projeksiyon projeksiyon yüzeyindeki yüzeyindeki s uzunluğu ise;

ds = s − S 0

=

 s 6 R

(Y  + Y Y  + Y  ) 2

2

i

2

i

k 

k 

 projeksiyona indirgeme düzeltmesi hesaplandıktan sonra,

 s

= S  + ds 0

 bağıntısından hesaplanabilir.

Bu durumda; yeryüzünde  A ve B ve  B noktaları arasında  EDM aletleri  EDM  aletleri kullanılarak ölçülen bir   D uzunluğunun projeksiyona indirgenmesinde, yukarıda yapılan indirgeme işlemlerine ek olarak bir de projeksiyon yüzeyine indirgeme işlemi yapılır. Böylece, sözü edilen işlem adımları izlenerek, izle nerek, ölçülen uzunlukların projeksiyon yüzeyine indirgemesi gerçekleştirilmiş olur.