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MATEMÁTICA Recursos para a Prova Final de Ciclo

Apresentação Esta compilação de materiais foi idealizada no sentido de fornecer aos professores adotantes do projeto Pi 9, de um modo sistematizado, os recursos necessários para uma rápida revisão de todos os conteúdos abordados ao longo do 3º ciclo, logo, uma mais eficaz ferramenta de preparação para a Prova Final de Ciclo. Assim, esta publicação contém:

• 19 rubricas “Resumir” (de todas as unidades do 3º ciclo); • 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Manual); • 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Caderno de Atividades); • 9 “Provas globais” (Caderno de Atividades). Deste modo, esperamos contribuir para a melhor preparação possível da sua atividade letiva.

Os Autores

Recursos para a Prova Final de Ciclo

7

Unidade 1

Números inteiros

Resumir Multiplicação de números inteiros

O produto de dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos factores. Exemplos: 1. +2 × (+3) = +6

2. –5 × (–7) = +35

O produto de dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos factores. Exemplos: 1. +4 × (–12) = –48

2. –6 × (+10) = –60

Propriedades da multiplicação:

Propriedades da multiplicação

4

Propriedade comutativa

Para quaisquer números inteiros a e b: a×b=b×a

Exemplo: (–2) × (–3) = +6 (–3) × (–2) = +6

Propriedade associativa

Para quaisquer números inteiros a, b e c: a × (b × c) = (a × b) × c

Exemplo: 2 × ((–3) × 4) = 24 (2 × (–3)) × 4 = 24

Existência de elemento neutro

Sendo a um qualquer número inteiro: a×1=a

Exemplo: (–2) × 1 = 2

Existência de elemento absorvente

Sendo a um qualquer número inteiro: a×0=0

Exemplo: (–7) × 0 = 0

Propriedade distributiva em relação à adição

Para quaisquer números inteiros a, b e c: a × (b + c) = a × b + a × c

2 × ((–3) + 4) = = 2 × (–3) + 2 × 4 = = 6 + 8 = +2

Divisão de números inteiros

O quociente entre dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo. O valor absoluto do quociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor. Exemplos: 2. + 500 : (+100) = +5

1. –10 : (–5) = +2

O quociente entre dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo. O valor absoluto do quociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor. Exemplos: 1. –100 : (+20) = –5

2. +60 : (–3) = –20

O quociente entre zero e qualquer número inteiro, diferente de zero, é igual a zero. Exemplos: 2. 0 : (+10) = 0

1. 0 : (–12) = 0

Quadro-resumo: Multiplicação

Divisão

(+) × (+) = (+)

(+) : (+) = (+)

0 : (+) = 0

(+) × (–) = (–)

(+) : (–) = (–)

0 : (–) = 0

(–) × (+) = (–)

(–) : (+) = (–)

(–) : 0 é impossível

(–) × (–) = (+)

(–) : (–) = (+)

(+) : 0 é impossível

Potência de base inteira e expoente natural Uma potência de base a e expoente n é um produto de n factores iguais a a:

Expoente 

an = a ×a×…×a



Base

n factores

5

Unidade 1

Números inteiros

Resumir Da definição de potência resulta que:

Uma potência de base positiva é sempre um número positivo. Exemplos: 1. 52 = 5 × 5 = +25

2. (+1)5 = (+1) × (+1) × (+1) × (+1) × (+1) = +1

Uma potência de base negativa e expoente par é um número positivo. Exemplos: 1. (–3)2 = (–3) × (–3) = +9

2. (–1)4 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = +1

Uma potência de base negativa e expoente ímpar é um número negativo. Exemplos: 1. (–3)3 = (–3) × (–3) × (–3) = –27

2. (–1)5 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = –1

Quadro-resumo:

positiva (+)

negativa (–)

base

par

ímpar

Expoente

par

ímpar

+

+

sinal da potência

+

–

Da definição de potência também é evidente que:

Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre igual a zero. Exemplos: 1. 03 = 0 × 0 × 0 = 0 6

2. 06 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0

3. 07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0

Raiz quadrada

A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2 = b × b = a. A raiz quadrada de a representa-se por √∫a ou 2√∫a. Exemplos: 1. Como 52 = 25, então √∫2∫5 = 5. 2. Como 72 = 49, então √∫4∫9 = 7. 3. Como 272 = 729, então √∫7∫2∫9 = 27.

Chama-se quadrado perfeito a um número que é igual ao quadrado de um número inteiro. Exemplos: 1. 25 = 52, logo 25 é um quadrado perfeito. 2. 49 = 72, logo 49 é um quadrado perfeito. 3. 729 = 272, logo 729 é um quadrado perfeito. Os 10 primeiros quadrados perfeitos são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Raiz cúbica

A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3 = b × b × b = a. A raiz cúbica de a representa-se por 3√∫a. Exemplos: 1. Como 23 = 8, então 3√∫8 = 2. 2. Como 53 = 125, então 3√∫1∫2∫5 = 5. 3. Como 123 = 1728, então 3√∫1∫7∫2∫8 = 12.

Chama-se cubo perfeito a um número que é igual ao cubo de um número inteiro positivo. Exemplos: 1. 8 = 23, logo 8 é um cubo perfeito. 2. 125 = 53, logo 125 é um cubo perfeito. 3. 1728 = 123, logo 1728 é um cubo perfeito. Os 10 primeiros cubos perfeitos são 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 e 1000. 7

Unidade 2

Sequências e regularidades

Resumir Sequências numéricas Numa sequência numérica, cada número tem o nome de termo, pelo que dois números seguidos dizem-se termos consecutivos. Cada termo obtém-se a partir da lei de formação da sequência. 11, 21, 31, 41, 51, …

1.o termo ou termo de ordem 1

2.o termo ou termo de ordem 2

3.o termo ou termo de ordem 3

4.o termo ou termo de ordem 4

5.o termo ou termo de ordem 5

Lei de formação: Com excepção do 1.o termo, cada termo obtém-se adicionando 10 unidades ao termo anterior.

Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão algébrica. Essa expressão designa-se por termo geral. O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que se conheça a sua ordem. O termo geral também permite verificar se um número é, ou não, termo da sequência. 11, 21, 31, 41, 51, … → Termo geral: 10n + 1

Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a representação do termo geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simplificadas, são iguais. Termo geral: 10n + 1

11, 21, 31, 41, 51, …

Termo geral: 11 + (n – 1) × 10

…

11 + (n – 1) × 10 = 11 + 10n – 10 = 10n + 1 → 11 + (n – 1) × 10 é equivalente a 10n + 1.

8

Sequências pictóricas Observa a seguinte sequência.

…

A sequência pictórica anterior obedece a um padrão que não é difícil de identificar: duas maçãs vermelhas são seguidas de duas maçãs verdes, as quais são seguidas de uma maçã amarela. Desta forma, a manter-se o padrão apresentado, pode concluir-se que a próxima peça de fruta a aparecer nesta sequência será uma maçã vermelha.

Sequências e Geometria É possível relacionar padrões geométricos e numéricos. A seguinte sequência é disso um bom exemplo:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Como podes observar, a cada figura corresponde um determinado número de pontos. A figura 1 é composta por um ponto, a figura 2 por quatro pontos e a figura 3 por nove pontos. Desenhando a figura seguinte segundo o mesmo padrão, obtém-se uma figura com dezasseis pontos:

Figura 4

Analisando cuidadosamente a sequência formada pelo número de pontos que constitui cada figura (1, 4, 9, 16, ...), conclui-se que esta sequência representa os números quadrados.

9

Unidade 3

Funções

Resumir Referencial cartesiano Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitualmente igual em ambos. y 2.o quadrante

Eixo das ordenadas

1.o quadrante

Origem do referencial x Eixo das abcissas

3.o quadrante

4.o quadrante

A origem do referencial tem coordenadas (0, 0).

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma abcissa e por uma ordenada. (x, y)

abcissa ordenada



Coordenadas cartesianas

Funções Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos (o conjunto de partida e o conjunto de chegada), onde a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-se por D. Os elementos deste conjunto chamam-se objectos ou originais. A cada objecto, x, a função fará corresponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objecto. A imagem de x representa-se por f(x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D’. 10

Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou expressões analíticas: f(x) = 2x

Elefante Gato Aranha Polvo Homem

Altura

Número de pernas

4 8 2

Tempo

Veículo

Número de rodas

Bicicleta

2

Triciclo

3

Automóvel

4

Gráficos de proporcionalidade directa Num gráfico de proporcionalidade directa todos os pontos pertencem a uma recta que passa pela origem do referencial. y y3 y1 = kx1 y2 = kx2 y2

y3 = kx3

y1 x1

x2

x3

x

Variáveis directamente proporcionais Uma variável y diz-se directamente proporcional a uma variável x se existir uma relação do tipo. y=k×x

(k ≠ 0)

↓ k designa-se por constante de proporcionalidade directa

Por outras palavras, pode afirmar-se que:

As variáveis x e y são directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionalidade directa.

11

Unidade 3

Funções

Resumir Referencial cartesiano Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitualmente igual em ambos. y 2.o quadrante

Eixo das ordenadas

1.o quadrante

Origem do referencial x Eixo das abcissas

3.o quadrante

4.o quadrante

A origem do referencial tem coordenadas (0, 0).

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma abcissa e por uma ordenada. (x, y)

abcissa ordenada



Coordenadas cartesianas

Funções Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos (o conjunto de partida e o conjunto de chegada), onde a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-se por D. Os elementos deste conjunto chamam-se objectos ou originais. A cada objecto, x, a função fará corresponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objecto. A imagem de x representa-se por f(x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D’. 12

Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou expressões analíticas: f(x) = 2x

Elefante Gato Aranha Polvo Homem

Altura

Número de pernas

4 8 2

Tempo

Veículo

Número de rodas

Bicicleta

2

Triciclo

3

Automóvel

4

Gráficos de proporcionalidade directa Num gráfico de proporcionalidade directa todos os pontos pertencem a uma recta que passa pela origem do referencial. y y3 y1 = kx1 y2 = kx2 y2

y3 = kx3

y1 x1

x2

x3

x

Variáveis directamente proporcionais Uma variável y diz-se directamente proporcional a uma variável x se existir uma relação do tipo. y=k×x

(k ≠ 0)

↓ k designa-se por constante de proporcionalidade directa

Por outras palavras, pode afirmar-se que:

As variáveis x e y são directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionalidade directa.

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Unidade 4

Triângulos e quadriláteros

Resumir Triângulo A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180o.

f

b

∠a + ∠b + ∠c = 180o Num triângulo, a amplitude de qualquer um dos seus ângulos externos é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos que não lhe são adjacentes.

a

c

d

e

∠d = ∠a + ∠b A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer triângulo é igual a 360o. ∠d + ∠e + ∠f = 360o

Duas figuras dizem-se congruentes, ou geometricamente iguais, se, quando sobrepostas, coincidem ponto por ponto, ou seja, quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões. Os lados e os ângulos que coincidem dizem-se correspondentes ou homólogos.

Dois segmentos de recta são congruentes se têm o mesmo comprimento. A B C

D AB

CD

Dois ângulos são congruentes se têm a mesma amplitude.

14

Dois polígonos são congruentes se têm lados correspondentes congruentes e ângulos correspondentes congruentes. A

2

F

G

2

L

2,24 2,24

B

116,57o

153,43o

E

116,57

97,13o

2,24 2,24

146,31o

H

90o

2

C

153,43o

o

3 3,61

116,57o

K

116,57

97,13o

o

3 3,61

2

I

GHIJKL

90o

146,31o

D

ABCDEF

J

Dois triângulos são congruentes se têm os lados correspondentes congruentes e os ângulos correspondentes congruentes.

A



Critério Lado-Lado-Lado (critério LLL) Dois triângulos são congruentes se têm os três lados congruentes, cada um a cada um. M

B

C

N

P

AB ⬅ MN AC ⬅ MP BC ⬅ NP

A

M

B

C

N

P



Critério Lado-Ângulo-Lado (critério LAL) Dois triângulos são congruentes se têm dois lados congruentes, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado congruente. AB ⬅ MN ∠CBA ⬅ ∠PNM BC ⬅ NP

A

B

C

M

N

P



Critério Ângulo-Lado-Ângulo (critério ALA) Dois triângulos são congruentes se têm um lado congruente e os dois ângulos adjacentes a esse lado congruentes, cada um a cada um. ∠CBA ⬅ ∠PNM BC ⬅ NP ∠ACB ⬅ ∠MPN

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Unidade 4

Triângulos e quadriláteros

Resumir Quadriláteros Quadriláteros

Não trapézios: Quadrilátero sem lados paralelos.

Rectângulo: Paralelogramo com quatro ângulos rectos.

Trapézios: Quadrilátero com lados paralelos.

Paralelogramos: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos.

Trapézio não paralelogramo: Quadrilátero com um único par de lados paralelos.

Quadrado: Trapézio isósceles: Paralelogramo com quatro lados congruentes e quatro ângulos rectos.

Trapézio em que os lados opostos não paralelos são congruentes.

Losango:

Trapézio rectângulo:

Paralelogramo com quatro lados congruentes.

Trapézio em que um dos lados opostos não paralelos é perpendicular às bases.

Paralelogramo obliquângulo:

Trapézio escaleno:

Paralelogramo sem ângulos rectos.

Trapézio em que os lados opostos não paralelos não são congruentes.

Os papagaios são quadriláteros com dois pares de lados consecutivos congruentes.

Num paralelogramo: D

• os ângulos opostos são congruentes;

c

d

• os ângulos consecutivos são suplementares;

E

• os lados opostos são congruentes; a

• as diagonais bissectam-se e dividem o paralelogramo em quatro triângulos congruentes dois a dois.

16

A

b B

C

Num losango, as diagonais bissectam-se e são perpendiculares. B

E

A

C

D

Num rectângulo, as diagonais bissectam-se e são congruentes. A

D

B

C

Num quadrado, as diagonais bissectam-se, são perpendiculares e são congruentes. A

D

B

c

Num trapézio, ângulos adjacentes a um dos lados opostos não paralelos são suplementares. Num trapézio isósceles, ângulos adjacentes à mesma base são congruentes e a suas diagonais são congruentes. B

C

A

D

Área do paralelogramo = base × altura

altura base

A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360o.

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Unidade 5

Tratamento de dados

Resumir Estatística A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados. Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de população. Quando se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo). Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe-se uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra da população trata-se uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar conclusões válidas para toda a população.

Um histograma é um gráfico constituído por rectângulos adjacentes, sendo a área de cada um desses rectângulos proporcional à frequência da classe que representa.

Velocidades máximas dos animais analisados

Número de animais

7 6 5 4 3 2 1 0 [0, 20[

[20, 40[ [40, 60[ [60, 80[ [80, 100[ [100, 120[ Velocidade (km/h)

Este tipo de gráfico deve apresentar as seguintes características: • deve ter um título adequado; • os dados devem estar agrupados em classes; • a área de cada rectângulo deve ser proporcional à frequência da classe que representa; • no eixo das abcissas representam-se as diferentes classes; • no eixo das ordenadas representam-se as frequências de cada uma das classes; • os rectângulos correspondentes às diferentes classes são adjacentes, isto é, não têm espaços entre si. Medidas de localização Média de um conjunto de dados – é o valor que se obtém dividindo a soma dos vaA média de um conjunto de dados, que se representa por x, lores observados pelo número total de observações.

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Exemplo: Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10. 5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 8 + 10 – x= = 7,5 8

Mediana de um conjunto de dados Depois de ordenado o conjunto de dados, podem verificar-se duas situações: • se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me) é o valor central desse conjunto de dados; • se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto de dados. Exemplos: 1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8.

2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

Mediana:

Mediana:

4 5 6 7 8 8 12

4 5 6

Me = 7

Me =

7 8

8 10 12

7+8 = 7,5 2

Quartis de um conjunto de dados • a mediana dos dados que ficam à esquerda da Me, designa-se por 1.o quartil, Q1; • a Me coincide com o 2.o quartil, Q2; • a mediana dos dados que ficam à direita da Me, designa-se por 3.o quartil, Q3. Exemplos: 1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8.

2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

Quartis:

Quartis:

1.o Quartil: 4 5 6 7 8 8 12

1.o Quartil: 4 5 6 5+6 Q1 = = 5,5 2

Q1 = 5 2.o Quartil = Mediana = 4 5 6 7 8 8 12 Q2 = 7 3.o Quartil: 4 5 6 7 8 8 12 Q3 = 8

7 8 8 10 12

2.o Quartil = Mediana = 4 5 6 7+8 Q2 = = 7,5 2 3.o Quartil: 4 5 6 7 8 8 + 10 Q3 = =9 2

8 10

7 8

8 10 12

12

Medidas de dispersão Amplitude = máximo – mínimo Amplitude interquartis = 3.o quartil – 1.o quartil

19

Unidade 6

Equações

Resumir Uma equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma letra. Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igualdade (=). Cada uma dessas partes diz-se um membro da equação: a que fica à esquerda do sinal é o primeiro membro e a que fica à direita é o segundo membro. x – 3 = 5 – 2x





o

1. membro 2.o membro

Cada um dos membros da equação pode ser constituído por um ou mais monómios, que se designam por termos da equação. Os termos que contêm incógnita denominam-se termos com incógnita. Os termos sem incógnita chamam-se termos independentes. x – 3 = 5 – 2x Termos com incógnita (x, –2x)

Termos independentes (–3, 5)

Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal. Os valores da incógnita que transformam a equação numa igualdade verdadeira dizem-se as soluções ou raízes dessa equação. Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes (⇔).

Regra da adição: Se se adicionar (ou subtrair) a ambos os membros da equação um mesmo número, obtém-se uma equação equivalente à inicial.

Regra prática da adição: numa equação, podemos mudar um termo de um membro para outro desde que se lhe troque o sinal: x+a=b⇔x=b–a

Regra da multiplicação: Se se multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um número, diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente à inicial. ax = b ⇔ c . ax = c . b e ax = b ⇔

20

a b x = , em que c é um número diferente de zero. c c

De acordo com as regras anteriores, pode definir-se uma sequência de procedimentos que permitem chegar rapidamente à solução de uma equação:

1.o desembaraçar de parênteses, aplicando a propriedade distributiva; 2.o agrupar os termos semelhantes (termos com incógnita no primeiro membro e termos independentes no segundo membro); 3.o reduzir os termos semelhantes; 4.o aplicar a regra da multiplicação e simplificar para obter o conjunto-solução.

Exemplo: 2(x – 6) = –12 ⇔ ← Desembaraçar de parênteses. ⇔ 2x – 12 = –12 ⇔ ← Adicionar em ambos os membros o termo +12. ⇔ 2x – 12 + 12 = – 12 + 12 ⇔ ← Simplificar ambos os membros, adicionando os termos semelhantes. ⇔ 2x = 0 ⇔ 0 ← Dividir ambos os membros por 2. ⇔x= ⇔ 2 ← Simplificar, tornando a fracção irredutível. ⇔x=0 C.S. = {0}

Classificação de equações Uma equação que admite uma e uma só solução diz-se possível e determinada. Quando uma equação tem mais do que uma solução diz-se possível e indeterminada. Uma equação que não admite solução diz-se impossível.

Principais passos na resolução de um problema 1.o ler atentamente o enunciado, distinguindo o que é dado do que é pedido; 2.o escolher uma letra (incógnita) que represente o número que é pedido; 3.o escrever uma equação que traduza o problema; 4.o resolver a equação; 5.o verificar se a solução da equação também é solução do problema; 6.o apresentar a resposta ao problema.

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Unidade 7

Figuras semelhantes

Resumir Figuras semelhantes Duas figuras dizem-se semelhantes se tiverem a mesma forma.

se verifica uma ampliação

Duas figuras dizem-se semelhantes se:

são congruentes

se verifica uma redução

Razão de semelhança A razão constante entre os comprimentos dos lados correspondentes de figuras semelhantes chama-se razão de semelhança (r > 0), sendo comum utilizar-se as letras r ou k para a simbolizar.

Razão de semelhança (r > 0)

r>1

Ampliação

r 1,7 × 103 • diferentes, será maior aquele cuja potência tiver maior expoente. Exemplo: 1,5 × 107 > 3,4 × 105

Multiplicação e divisão de números escritos em notação científica A = a × 10n e B = b × 10m • A × B = (a × 10n) × (b × 10m) = (a × b) × 10n + m

( ) × 10

n • A = a × 10m = a B b × 10 b

n–m

Adição e subtração de números escritos em notação científica Para somar e subtrair números escritos em notação científica: • escreve-se cada termo com a mesma potência de base dez; • fatoriza-se a expressão, pondo-se em evidência a potência comum, de base dez; • efetuam-se os cálculos dentro dos parênteses. 65

RESUMIR

UNIDADE 3 Funções e equações

EQUAÇÕES Passos para resolver equações do 1.o grau com denominadores 1. Desembaraçar de parênteses. 2. Desembaraçar de denominadores. 3. Agrupar os termos com incógnita num dos membros e os termos independentes no outro membro. 4. Reduzir os termos semelhantes. 5. Determinar o valor da incógnita.

FUNÇÕES Qualquer função com uma expressão algébrica do tipo y = kx ou, de forma equivalente, f(x) = kx, diz-se uma função linear. Se k ≠ 0, a função linear é uma função de proporcionalidade direta. x é um objeto; y = f(x) é a sua imagem; k é a constante de proporcionalidade. No gráfico de uma função linear, todos os pontos estão sobre uma reta que contém a origem do referencial. A representação gráfica de uma função linear (y = kx) é uma reta. A reta passa sempre pelos pontos (0, 0) e (1, k). • Se k > 0, a função é crescente.

• Se k < 0, a função é decrescente.

A função afim é uma função com uma expressão algébrica do tipo y = kx + b ou, de forma equivalente, f(x) = kx + b. A representação gráfica de uma função afim é uma reta. A função linear é um caso particular da função afim, quando b = 0. A inclinação das retas que representam funções afim depende do valor de k. As funções afim, cujas expressões algébricas tenham o mesmo parâmetro k, são representadas graficamente por retas paralelas. Nas expressões algébricas das funções representadas, o parâmetro b não varia. As retas que representam funções afim intersetam o eixo das ordenadas no ponto (0, b). 66

Uma equação do primeiro grau com duas incógnitas é uma equação do tipo ax + by = c, em que a e b são diferentes de zero. A solução é um par ordenado de números, (x, y), que, substituídos na equação, a transformam numa igualdade verdadeira. Estas equações têm um número infinito de soluções. Um sistema de duas equações a duas incógnitas é uma conjunção de duas equações. 

ax + by = c , a, b, d e e diferentes de zero. dx + ey = d

O par ordenado (x, y) é solução de um sistema de duas equações a duas incógnitas x e y se for simultaneamente solução das duas equações. Passos para resolver um sistema pelo método gráfico 1. Resolver as duas equações em ordem a y; 2. Representar, num mesmo referencial, as retas que representam cada uma das equações; 3. Se as retas se intersetam num ponto, a solução do sistema é o par ordenado que corresponde às coordenadas do ponto de interseção das duas retas. Passos para resolver um sistema pelo método de substituição 1. Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas. 2. Substituir o valor obtido na outra equação. 3. Resolver a nova equação. 4. Substituir o valor da incógnita na outra equação. Classificação de sistemas • possíveis: – determinados (têm uma solução);

– indeterminados (têm uma infinidade de soluções);

• impossíveis (não têm solução).

67

RESUMIR

UNIDADE 4 Planeamento estatístico

ESTATÍSTICA A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados. Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de população. Quando se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo). Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe-se uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra da população trata-se de uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar conclusões válidas para toda a população. Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta é o número de vezes que se observa um determinado acontecimento. A frequência relativa é o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pelo número total de observações. Profissões

Contagem

Frequência absoluta

Médico

IIII II

7

Astronauta

IIII

4

Professor

IIII

5

Comerciante

IIII I

6

Futebolista

III

3

Total

25

Frequência Relativa 7 28% = 0,28 25 4 16% = 0,16 25 5 20% = 0,20 25 6 24% = 0,24 25 3 12% = 0,21 25 100%

( ( ( ( (

) ) ) ) )

Natureza dos dados qualitativa Exemplos: Cor dos olhos, o clube preferido, o género de uma pessoa.

Dados de natureza discretos Exemplos: O número de irmãos ou o número de divisões de uma casa. quantitativa contínuos Exemplos: O peso ou a altura de uma pessoa 68

Os dados recolhidos, depois de organizados, podem ser representados por um gráfico. Exemplos: Gráfico de barras Atividade preferida pelos alunos da turma da Maria

Número de alunos

Janeiro

Fevereiro

Março

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Gráfico de linhas População (mil milhões)

Pictograma Garrafas recolhidas para reciclagem

Crescimento demográfico mundial 7 6 5 4 3 2 1 0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Anos

Ler

Abril

Diagrama de caule-e-folhas

Ver Fazer Jogar televisão desporto computador Atividades

Histograma

Gráfico circular Modalidade desportiva

1 6 6 2 0

8 4 3 6 3

3 8 9 1

9 7 6 1 3 3 6 4 6 7

caule folhas

Número de animais

Velocidades máximas dos animais analisados 5 6 7 8 9

7 6 5 4 3 2 1 0

Judo

Golf 15%

Natação [0, 20[ [20, 40[ [40, 60[ [60, 80[ [80, 100[ [100, 120[ Velocidade (km/h)

12,5%

20% 45% 7,5%

Futebol

Ginástica

Medidas de localização • Média de um conjunto de dados: A média de um conjunto de dados, que se representa por –x, é o valor que se obtém dividindo a soma dos valores observados pelo número total de observações. • Mediana de um conjunto de dados: Depois de ordenado o conjunto de dados, podem verificar-se duas situações: – se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me ou ~x ) é o valor central desse conjunto de dados; – se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto de dados. • Quartis de um conjunto de dados: – a mediana dos dados que ficam à esquerda da Me, designa-se por 1.o quartil, Q1; – a Me coincide com o 2.o quartil, Q2; – a mediana dos dados que ficam à direita da Me, designa-se por 3.o quartil, Q3. Extremos Os extremos são o valor máximo e o valor mínimo de um conjunto de dados. Exemplo: No conjunto de dados 2 4 5 5 6 7 9, os extremos são 2 (valor mínimo) e 9 (valor máximo). Medidas de dispersão Amplitude = máximo – mínimo Amplitude interquartis = 3.o quartil – 1.o quartil 69

RESUMIR

UNIDADE 5 Sequências e regularidades. Equações

SEQUÊNCIAS Numa sequência numérica, cada número designa-se por termo. Dois números seguidos dizem-se termos consecutivos. 2.o termo

4.o termo

4, 8, 12, 16, … 3.o termo 1.o termo ou termo de ordem 1

Lei de formação: Neste exemplo, cada termo, com exceção do primeiro, obtém-se adicionando duas unidades ao termo anterior. Os termos de uma sequência numérica relacionam-se segundo uma regra que pode ser traduzida por uma expressão algébrica, à qual chamamos termo geral. Neste exemplo, o termo geral é 4n. O termo geral de uma sequência permite determinar qualquer termo da sequência, desde que se conheça a sua ordem. O termo geral também permite verificar se um número é, ou não, termo da sequência.

EQUAÇÕES LITERAIS Uma equação literal é uma equação com mais do que uma variável. Exemplos: 1. A = b + B × h 2. x + y = 2 2 Resolver uma equação literal em ordem a uma das variáveis corresponde a isolar essa variável num dos membros.

MONÓMIOS E POLINÓMIOS Um monómio é um número ou o produto de um número por variáveis. Dois monómios dizem-se semelhantes quando têm a mesma parte literal.

–5  x2y3



Coeficiente

Parte literal

Monómios semelhantes podem ser adicionados (ou subtraídos), obtendo-se um novo monómio. Para isso, adicionam-se (ou subtraem-se) os coeficientes e dá-se a mesma parte literal. Exemplo: 3x3y2 – 2x3y2 = x3y2

Dois ou mais monómios podem sempre ser multiplicados. O seu produto é um monómio. Exemplo: 5x5y × 2xy2 = 5 × 2 × x5 × x × y × y2 = 10x6y3

Um polinómio é um monómio ou uma soma de dois ou mais monómios. Os monómios que formam o polinómio são os seus termos. Exemplo: 6x3 + 8x é um polinómio e os seus termos são 6x3 e 8x. 70

Um polinómio com dois termos diz-se um binómio e um polinómio com três termos diz-se um trinómio. O grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que o constituem. Para somar polinómios basta adicionar os termos semelhantes. O simétrico de um polinómio é um polinómio cujos termos são os simétricos do polinómio dado. Exemplo: O polinómio simétrico de 6x3 – 3x2 + 5x – 5 é –6x3 +3x2 – 5x + 5. Para subtrair dois polinómios, adiciona-se ao primeiro (aditivo) o polinómio simétrico do segundo (subtrativo). Para multiplicar um monómio por um polinómio basta utilizar a propriedade distributiva da multiplicação. Na multiplicação de dois polinómios também se utiliza a propriedade distributiva da multiplicação.

CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO Quadrado de um binómio

Exemplos:

(a + b)(a + b) = (a + b)2

1. (x + 3y)2 = x2 + 6xy + 9y2 2. (x – 4)2 = x2 – 8x + 16

Diferença de quadrados

Exemplo:

(a – b)(a + b) = a2 – b2

(x – 3)(x + 3) = x2 – 9

Fatorizar um polinómio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores.

EQUAÇÕES DO 2.o GRAU Uma equação do 2.o grau na forma canónica é uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.

Lei do anulamento do produto O produto de fatores é nulo quando pelo menos um dos fatores é zero:

Nota: O símbolo ⵪ lê-se “ou”.

A×B=0⇔A=0 ⵪ B=0

Para determinar as soluções de uma equação do 2o. grau, escrita na forma canónica, basta fatorizar o primeiro membro da equação e utilizar, de seguida, a lei do anulamento do produto. 71

RESUMIR

UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos

DECOMPOSIÇÃO DE UM POLÍGONO Qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos e quadriláteros. Polígono

Área

Losango

Alosango = d × D = d × D 2 2

Trapézio

Atrapézio = b + B × h 2

As medianas de um triângulo são os segmentos de reta que unem cada vértice com o ponto médio do lado oposto. Ao ponto de interseção das medianas dá-se o nome de baricentro. Num triângulo, a distância do baricentro a um vértice é dupla da distância do baricentro ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.

A mediana decompõe o triângulo em dois triângulos equivalentes, ou seja, com a mesma área. B

As três medianas de um triângulo decompõem-no em seis triângulos equivalentes, ou seja, em seis triângulos com a mesma área. Área do triângulo GDA = = Área do triângulo AGE = = Área do triângulo EGB = = Área do triângulo BFG = = Área do triângulo CFG = = Área do triângulo CDG

As alturas de um triângulo são os segmentos de reta da perpendicular traçada de um vértice para o lado oposto. Ao ponto de interseção das alturas dá-se o nome de ortocentro.

A

Ortocentro C

72

B

A altura referente à hipotenusa decompõe um triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado.

TEOREMA DE PITÁGORAS Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. (a, b, c) diz-se um terno pitagórico se e só se c2 = a2 + b2.

Diagonal facial e diagonal espacial de um paralelepípedo Aplicando o Teorema de Pitágoras à diagonal da base do prisma, d = √∫a2∫ ∫ ∫+∫ ∫b2∫ . Dado um paralelepípedo de dimensões a, b e c, o comprimento da sua diagonal espacial, D, pode ser obtido através da fórmula D = √∫a2∫ ∫ ∫+∫ ∫b2∫ ∫ ∫+∫ ∫c2∫ .

ÁREAS DE SÓLIDOS A área de um sólido é a soma das áreas de todas as superfícies que limitam esse sólido. Prisma Área total = 2 × área da base + área das faces laterais Pirâmide Área total = área da base + área das faces laterais Cilindro Área total = 2 × área da base + área da superfície lateral Cone Área total = área da base + área da superfície lateral Esfera Área da superfície esférica = 4 × π × r2 73

RESUMIR

UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos

VOLUMES Sólido

Volume a

Vcubo = área da base × altura = (a × a) × a = a3

a

a

Prismas altura

Vprisma = área da base × altura

área da base

Vpirâmide = 1 × área da base × altura 3

altura

Pirâmide

área da base

altura (h)

Cilindro

Vciclindro = área da base × altura = π × r2 × h

raio (r)

área da base

Vcone = 1 × área da base × altura = 1 × π × r2 × h 3 3

altura (h)

Cone área da base

raio (r) r

Vesfera = 4 × π × r3 3

Esfera

PONTO, RETA E PLANO Posição relativa de dois planos



Perpendiculares

Posição relativa de dois planos

Paralelos

Oblíquos





Concorrentes

Estritamente paralelos Coincidentes

Posição relativa de duas retas



Não complanares



Complanares

Perpendiculares

Concorrentes

Paralelas

Oblíquas





Posição relativa de duas retas

Estritamente paralelas Coincidentes

74

Posição relativa de uma reta relativamente a um plano



Perpendicular

Posição relativa de uma reta relativamente a um plano

Paralela

Oblíqua





Concorrente

Estritamente paralela Contida

Critérios de paralelismo e perpendicularidade Se uma reta é paralela a outra reta contida num plano, então é paralela a esse plano.

Se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano, então os dois planos são paralelos.

Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então é perpendicular a esse plano.

Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, então os dois planos são perpendiculares.

75

UNIDADE 1

Isometrias

Testar 6%

1 Qual das seguintes figuras representa uma translação?

[A]

[B]

[C]

[D]

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Grade 5/Abril 2009)

2 Observa a seguinte figura.

Representa, no teu caderno, a imagem do triângulo ABC através: A

6%

2.1. da translação associada ao vetor v;

6%

2.2. da reflexão de eixo d.

3 Como já sabes, alguns frisos obtêm-se pela repetição de um determinado motivo, respeitando um movimento de translação. Nos frisos seguintes, tenta identificar um motivo que lhes dê origem. 4% 4%

76

3.1.

3.2.

4 Observa a seguinte figura.

6%

4.1. Utilizando as letras da figura, indica dois vetores: a) com o mesmo comprimento; b) com a mesma direção, mas com sentidos opostos.

12%

4.2. Calcula: a) A≥E + E≥D

12%

b) B≥D + H≥M

c) A≥D + C≥B

4.3. Indica a imagem do ponto A por meio da translação associada ao vetor: a) A≥D

≥ b) –JA

A

c) D≥C

d) 0

3%

4.4. Comenta a afirmação: “A imagem do ponto A pela translação associada ao vetor F≥G é o ponto D”.

3%

4.5. Qual é a imagem do segmento de reta AB por meio da translação associada ao vetor B≥C?

9%

4.6. O ponto C é a imagem do ponto J na translação associada a que vetor?

4%

4.7. Constrói, no teu caderno, a imagem da figura pela TE≥C o TB≥M. 10%

5 Constrói, no teu caderno, a imagem do polígono 1 na reflexão deslizante associada ao eixo r A

e ao vetor v.

A

4%

6 6.1. Constrói, no teu caderno, um triângulo ABC, equilátero, sabendo que o segmento de reta AB mede 4 cm.

6%

6.2. Identifica as simetrias de rotação do triângulo ABC, que construíste na alínea anterior.

5%

6.3. Desenha o triângulo A’B’C’, imagem do triângulo ABC numa rotação de centro em A e amplitude –90o. 77

UNIDADE 2

Números racionais

Testar 1 O Filipe é nutricionista. Na tabela seguinte apresentam-se os pesos atuais e a respetiva variação em relação à última pesagem de alguns dos seus pacientes. Paciente

Idade

Peso atual (em kg)

Variação do peso em relação à última pesagem

João

45

80

–1,0 kg

Francisco

29

102

–2,2 kg

Anabela

16

45

+3,4 kg

Catarina

31

86

+4

2 kg 5

1%

1.1. Em qual dos pacientes a variação do peso é representada por um número inteiro?

1%

1.2. Qual dos pacientes teve uma maior variação de peso?

3%

1.3. Qual dos pacientes perdeu mais peso?

4%

1.4. Representa numa reta numérica a variação dos pesos dos pacientes.

2 Considera os números 1 ; 5 ; – 3 ; 7 ; 3 ; – 33 ; 4 3 2

4 9 11

55 11

3,5%

2.1. Usa a calculadora para representar cada um dos números na forma de dízima.

3,5%

2.2. Identifica o tipo de dízima de cada um dos números.

4%

2.3. Entre os números apresentados encontram-se duas frações com denominador 11. Utiliza a calculadora para investigar outras frações com denominador 11 e tenta encontrar uma forma geral de escrever uma fração com denominador 11 e numerador menor do que 11 na forma de dízima.

5%

3 Numa ficha de trabalho de Matemática, era pedido aos alunos que calculassem o valor de 3–4. O João calculou-o do seguinte modo: 3–4 = (–3) = (–3) = (–3) = (–3) = +81 Terá o João calculado corretamente o valor pedido? Se não, como o devia ter feito?

2% 2%

4 Determina o valor de a, em cada uma das seguintes expressões. 4.2. 24 = 1a 2

4.1. 270 = (2a)5

2%

3% 3% 3% 3%

78

4.3. 2a = (–2)4 = 28

5 Calcula, utilizando, sempre que possível, as regras de operações com potências.

( ) – (– 25 ) 5.3. ( 2 ) + (–3) – (–4) 3 5.1. – 2 5

–2

–2

–2

0

5.2. (–1)703 + (+1)2 + (–1)38 2 – (22)3

5.4. 9–4 : 3–4 = 33

4%

6 Escreve sob a forma de uma potência de expoente diferente de 1. 4

5%

1 7

4 9

10 000

0,001

–125

0,3

7 Escreve, sob a forma de potência de expoente negativo, as seguintes potências. 1 25

4%

–27

(–5)2

( 23 )

(– 21 11 )

6

7

(–1)18

8 Qual dos seguintes números está escrito em notação científica? [A] 734

[B] 4,75 = 105

[C] 0,5 = 10–6

[D] 15 = 10–12

9 Escreve em notação científica cada um dos seguintes números. 2%

9.1. 637

2%

9.2. 0,000257

3%

9.3. 356 = 1014

2% 2% 2%

10 No teu caderno, preenche os quadrados com os símbolos ,  ou =. 10.1. 3,5 = 10–13 10.3. –1 = 104

3,51 = 10–12 4 = 104

10.2. 2 = 3 = 10–1 10.4. 1,27 = 102

6 = 10–1 12 = 10–1

2% 4%

11 Efetua as seguintes operações, apresentando o resultado em notação científica.

4%

11.1. 34,5 = 10–3 = 21 = 10–6

11.2. 0,05 = 104 : 2 = 10–3

6%

11.3. 8,7 = 1012 + 476 = 109

11.4. 3,14 = 10–3 – 4,76 = 10–4

6%

12 Na tabela seguinte apresenta-se o consumo de água, em litros, necessário à produção de 1 tonelada de determinados produtos. Produto (1 tonelada = 1000 kg)

Consumo de água (em litros)

Papel Aço

1000 000 25 = 104

Borracha

2,75 = 106

1%

12.1. Apenas um dos produtos apresenta o consumo de água expresso em notação científica. Qual?

2%

12.2. Qual dos produtos necessita de mais água para a sua produção? Explica o teu raciocínio. 12.3. No passado mês de Setembro, a fábrica produziu 3 = 104 toneladas de papel.

3%

a) Determina o número de litros de água consumidos pela fábrica, só para a produção do papel.

3%

b) Na tabela ao lado, apresenta-se o tarifário da empresa que fornece água à fábrica. Determina o valor que a fábrica terá de pagar pela água de que necessitou para produzir as já referidas 3 = 104 toneladas de papel.

Água Consumo

valores mensais EUR/m3

Domésticos 1.o escalão (até 5 m3/30 dias) 2.o escalão (de 6 a 20 m3/30 dias) 3.o escalão (mais de 20 m3/30 dias) Não domésticos Consumo comercial, industrial, agrícola, Estado e outras pessoas coletivas de direito público e profissões liberais

0,1820 0,5993 1,4141 1,4141

79

UNIDADE 3

Funções e equações

Testar 1 Resolve as seguintes equações.

5%

1.1. 12 – (3x – 7) = 4 – x 1.2. 3x – (x – 2) = 0 5

5%

1.3. x + x + 3 = 5x – 1 3 4 2

5%

8%

8%

(

1.4. 3 – 2x – 5 = 2 –x – 9 4 3

)

2 No plantel de uma equipa de futebol, 1 dos jogadores são brasileiros 4 1 são africanos e os restantes 14 são portugueses. O treinador da 6 equipa está com dificuldades em fazer a convocatória para o próximo jogo porque metade do plantel está com gripe. Quantos jogadores tem o treinador disponíveis para o próximo jogo?

3 Considera as funções f, g, h e i definidas por: f(x) = 3x

g(x) = 3x + 4

h(x) = –2x

i(x) = –x + 3

6%

3.1. Calcula f(3) + g(–5) + h(0).

4%

3.2. De entre as quatro funções consideradas apenas duas são funções lineares. Quais? 3.3. No referencial seguinte apresentam-se as representações gráficas das quatro funções.

80

4%

a) Faz a correspondência entre cada função e a respetiva representação gráfica.

6%

b) Determina as coordenadas dos pontos A, B e C e calcula a área do triângulo ABC. Explica o teu raciocínio.

8%

4 A representação gráfica da função f é uma reta que passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas (1, 10). Calcula f(1) – 3 = f(3).

8%

8%

5 Resolve graficamente o sistema

2x – y = 3 . –x – y = 0

6 Resolve, pelo método de substituição, o sistema

x – 4y =3 3 x – 4y = –12

.

7 Para efetuar chamadas do seu telemóvel, para duas redes (A e B), o preço, em cêntimos, que o Paulo tem a pagar por cada segundo de duração de uma chamada encontra-se na tabela ao lado.

Preço por segundo (em cêntimos)

A

0,5

B

0,6

7.1. O Paulo tem 80 cêntimos disponíveis para efetuar chamadas do seu telemóvel. Após ter iniciado uma chamada para a rede A, o dinheiro disponível foi diminuindo, até ser gasto na sua totalidade. Qual dos quatro gráficos que se seguem representa esta situação? Justifica a tua escolha. Dinheiro disponível (cêntimos)

[A]

[B] 80 60 40 20 0

20 40 60 80 100 120 140 160

Dinheiro disponível (cêntimos)

5%

Rede

80 60 40 20 0

Tempo decorrido desde o início da chamada (segundos)

Tempo decorrido desde o início da chamada (segundos)

[D] 80 60 40 20 0

20 40 60 80 100 120 140 160 Tempo decorrido desde o início da chamada (segundos)

Dinheiro disponível (cêntimos)

Dinheiro disponível (cêntimos)

[C]

20 40 60 80 100 120 140 160

80 60 40 20 0

20 40 60 80 100 120 140 160 Tempo decorrido desde o início da chamada (segundos)

4%

7.2. Escreve a expressão algébrica da função representada no gráfico [D].

6%

7.3. Ontem, o Paulo só efetuou chamadas do seu telemóvel para as redes A e B. A soma dos tempos de duração dessas chamadas foi de 60 segundos e, no total, o Paulo gastou 35 cêntimos. Qual foi o tempo total de duração das chamadas efetuadas pelo Paulo, para a rede A? Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade. Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo, 2007 – 2.a chamada

8 Considera a equação y = –x + 3. Dá exemplo de outra equação de modo que o sistema formado pelas duas equações seja: 5%

8.1. impossível;

5%

8.2. indeterminado. 81

UNIDADE 4

Planeamento estatístico

Testar 1 Foi realizado um inquérito a 60 dos 432 funcionários de uma empresa de distribuição de mercadorias. Uma das questões era relativa ao estado civil do inquirido. As respostas obtidas encontram-se parcialmente organizadas na seguinte tabela. Estado civil

Frequência absoluta

Solteiro

21

Frequência relativa

Casado Divorciado

0,4 9

Viúvo 3% 3%

1.1. No conjunto de dados anterior, indica: a) a amostra;

b) a população.

8%

1.2. No teu caderno, completa a tabela anterior.

8%

1.3. Constrói um gráfico circular representativo da situação.

2 Uma empresa de televisão por cabo pretende elaborar um estudo sobre o grau de satisfação dos seus clientes relativamente aos serviços prestados. Assim, selecionou aleatoriamente 200 dos seus clientes e colocou-lhes a seguinte questão: Qual é a classificação que atribui aos serviços prestados pela nossa empresa: não satisfaz, satisfaz ou satisfaz bastante? 3% 3% 5% 6%

6%

2.1. Neste estudo estatístico, indica: a) a população;

b) a amostra.

2.2. O estudo efetuado é um censo ou uma sondagem? Justifica. 2.3. Supõe que o estudo foi realizado telefonicamente e que os clientes contactados pertencem todos à mesma zona residencial. Achas que dos resultados obtidos podem resultar conclusões válidas para toda a população? Explica o teu raciocínio.

3 O que terias a dizer sobre a representatividade de uma amostra constituída apenas por jogadores de futebol de uma equipa profissional para se estudar a condição física de uma determinada população?

6%

4 Para estudar a característica “hábitos alimentares” de uma determinada população, realizou-se um inquérito à entrada de uma pizaria. Faz um comentário acerca da representatividade da amostra.

5 Uma escola decidiu realizar um estudo estatístico acerca das áreas disciplinares preferidas dos seus alunos. Para isso, inquiriu os alunos de uma turma de artes.

82

3%

5.1. Como se designa este tipo de estudo?

3%

5.2. Qual é a população em estudo?

5%

5.3. Achas que dos resultados obtidos podem resultar conclusões válidas para toda a população? Explica o teu raciocínio.

4%

5.4. Sugere uma outra forma de fazer a recolha de dados.

5%

5.5. Que tipo de representações gráficas utilizarias para apresentar os resultados obtidos com este inquérito? Justifica a tua opção.

6 Durante um certo mês, foram registadas as temperaturas máximas diárias, em graus Celsius, em Viana do Castelo. 23,3

24,3

24,0

25,1

25,2

24,6

23,7

24,6

23,5

25,0

24,4

24,5

24,8

23,7

24,6

24,6

23,2

24,5

24,3

25,1

23,7

23,7

24,3

23,9

25,1

24,2

24,4

23,8

24,3

24,0

3%

6.1. Qual é a população em estudo?

6%

6.2. Organiza os dados num diagrama de caule-e-folhas.

4%

6.3. Calcula a maior amplitude térmica verificada durante esse mês.

5%

6.4. Calcula a média das temperaturas máximas registadas.

5%

6.5. Calcula a mediana das temperaturas máximas registadas.

6%

6.6. Indica qual dos seguintes diagramas de extremos e quartis pode representar as temperaturas máximas registadas na cidade ao longo do mês. Explica os motivos que te levaram a essa escolha, apresentando todos os cálculos ou esquemas que utilizaste. [A]

23

23,3

24

24,8

25

26

[B]

23

23,2

23

23,2

23,7

24

24,3

24

24,3

25

25,2

26

25

25,2

26

[C]

23,8

24,6

[D] 23,8 24,6 0

5

10

15

20

Sou capaz de …

24,3 25

30

35

40

Sugestão de alguns exercícios

t formular questões e planear adequadamente a recolha de dados.

pág. 14

Aplicar: 2, 3, 5.

pág. 15

t identificar e minimizar possíveis fontes de enviesamento na recolha de dados.

pág. 14

Aplicar: 3, 5.

pág. 15

t distinguir entre população e amostra e considerar os elementos que podem afetar a representatividade da amostra em relação à população.

pág. 14

Aplicar: 1, 2, 4, 5.

pág. 15

83

UNIDADE 5

Sequências e regularidades. Equações

Testar 1 A empresa de aluguer de automóveis “FantastiCar” anunciou uma nova fórmula para o cálculo do preço do aluguer dos seus carros. O custo (C) de cada aluguer, em €, será dado por: C = 30d + 10(k – 30d) 100 em que d representa o número de dias de aluguer e K representa o número de quilómetros que o automóvel percorreu no decurso do aluguer. 4% 6%

1.1. Supondo que um carro esteve alugado durante três dias, tendo percorrido 300 km, determina o custo do aluguer.

4%

1.2. Sabendo que um cliente pagou 270 €, tendo percorrido, durante o aluguer, 270 km, determina quantos dias esteve o automóvel alugado.

6%

1.3. Resolve a equação dada em ordem a K. 1.4. A Eduarda alugou um automóvel durante todo o mês de Janeiro e gastou 1137 euros. Quantos quilómetros fez a Eduarda com o veículo alugado?

2 Escreve: 2%

2.1. um monómio de grau 3;

2%

2.2. um monómio que não tenha parte literal;

2%

2.3. um par de monómios semelhantes;

2%

2.4. um polinómio de grau 5;

2%

2.5. dois polinómios de grau 3, cuja soma seja um polinómio de grau 1.

3 Considera os seguintes polinómios. A = x3 + 2x2 – 1 x – 3 2

B = 3 x2 + x – 0,1 2

2%

3.1. Indica o grau de cada um dos polinómios.

2%

3.2. Indica o polinómio simétrico de B.

10%

3.3. Calcula e simplifica. a) A + B

b) C2

c) C = D

d) 2A – 5D

C = x – 10

D=– x +2 5

4 Escreve uma expressão que represente a medida da área de cada uma das figuras. 3% 3%

84

4.1.

4.2.

5 Copia as seguintes igualdades para o teu caderno e completa-as. 2% 2% 2%

5.1. (2x – ?)2 = ? – 4x + ?

5.2. (3x – ?)(3x + ?) = ? – 100

5.3. (? + ?)(? – ?) = x4 – 49 4

5.4. ? – 3 2

(

)

(

) (x + 34 ) (x

2

= 4x2 – ? + ?

2%

4%

6 Resolve cada uma das seguintes equações.

4%

6.1. 3(x + 2)(2x – 10) = 0

6.2. 2x – 1 3

4%

6.3. 4x2 – 16 = 0

6.4. 21x2 + 1 = 1 – 7x

6.5. –25 + 4x2 = 0

6.6. 4x2 – 32x = –64

2 – 25) = 0

4% 4% 4%

7 O Pedro, na aula de Matemática, construiu a sequência de quadrados da figura. Os quadrados são formados por triângulos geometricamente iguais ao triângulo . A 1.a construção é formada por 2 triângulos, a 2.a construção é formada por 8 triângulos, a 3.a construção é formada por 18 triângulos e assim sucessivamente.

(…)

1.a construção

2a. construção

3a. construção

tem a 20.a construção da sequência?

2%

7.1. Quantos triângulos do tipo

3%

7.2. Escreve uma expressão que permita determinar o número de triângulos do tipo zados numa qualquer figura desta sequência.

2%

7.3. Quantos triângulos do tipo

2%

7.4. Qual é a construção formada por 200 triângulos do tipo

3%

7.5. Existe alguma construção formada com 280 triângulos do tipo

utili-

são necessários para a 34ª construção? Explica o teu raciocínio. ? Explica o teu raciocínio. ? Explica o teu raciocínio

Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 9.o ano – Fevereiro 2010

6%

8 A Mafalda e a Francisca são irmãs gémeas. Se ao quadrado da idade da Mafalda subtrairmos o triplo da idade da Francisca, obtemos o quádruplo da idade da Mafalda. Qual é a idade da Francisca?

85

UNIDADE 6

Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos

Testar 1 Determina a área de cada uma das seguintes figuras. 6%

1.1.

1.2.

6%

8%

2 Observa o seguinte trapézio.

Sabendo que o trapézio tem 35 cm2 de área, determina uma relação entre o comprimento da base menor, b, e o comprimento da base maior, B.

3 Observa a seguinte figura, na qual todos os ângulos são retos.

6%

3.1. Mostra que a área da figura é 13,5 cm2.

4%

3.2. A figura é a base de um prisma com 2,8 cm de altura. Determina o volume do prisma.

4%

3.3. Uma enorme peça metálica foi fundida para que prismas, como o referido na alínea anterior, possam ser construídos. A referida peça tem a forma de um prisma retangular e as seguintes dimensões: 2 m = 1,2 m = 0,8 m. Determina o volume, em cm3, da peça que foi fundida.

4%

3.4. Quantos prismas, como os referidos na alínea 3.2., podem ser construídos utilizando apenas o metal proveniente da fusão da peça? Adaptado de University of Cambridge International Examinations, Maio/Junho 2003

6%

4 Considerando que o círculo da figura tem 2/ cm2 de área, determina a área do quadrado nele inscrito.

86

10%

5 Observa a figura. Sabe-se que: t
ABC é um triângulo retângulo — t
AD = 6 cm — t
DC = 2 cm — Determina BC, apresentando todos os cálculos que efetuares.

6 Observa a figura. Sabe-se que: t
D pertence à circunferência de centro em A e que passa em B — t
AD = 8,5 cm — t
CD = 8 cm 7%

6.1. Comenta a afirmação: “Os triângulos ABC e ACD são equivalentes”.

7%

6.2. Os triângulos GDC e GBC são semelhantes? Justifica.

6%

6.3. Determina a área do triângulo ABC. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

7 A grande pirâmide de Quéops (Gizé, Egipto) é uma das sete maravilhas do mundo antigo. A sua base é um quadrado com 230 m de lado e tem 148 m de altura. De seguida, apresenta-se uma fotografia da referida pirâmide e um esquema que a representa.

4%

7.1. Determina o volume da pirâmide.

4%

7.2. Determina a área total da pirâmide.

6%

7.3. Utilizando as letras da figura, indica: a) dois planos concorrentes; b) duas retas não complanares.

4%

7.4. Indica, justificando, a posição relativa da reta AO e do plano BCD.

8%

8 Quanto mede a diagonal espacial de um cubo com 216 m2 de área total?

87

UNIDADE 1 Isometrias

Testar 1 Observa a figura.

Indica a figura que pode ser a imagem por uma translação da figura anterior. [A]

[B]

[C]

[D]

→ 2 Na figura está representado o trapézio ABCD, o vetor u e a reta r.

B

C

A

→

u

D

r

Constrói a imagem do trapézio ABCD através: 2.1. da rotação de centro em A e amplitude –90o; 2.2. da reflexão de eixo r; →

2.3. da reflexão deslizante associada ao eixo r e ao vetor u.

3 Comenta a afirmação: “Dois triângulos equiláteros são sempre translação um do outro”.

88

4 Na figura está representado um hexágono regular ABCDEF, ins-

A

F

crito numa circunferência de centro em G. 4.1. Após uma rotação de centro em G e amplitude –120o, o ponto D desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?

4.2. Indica a imagem do ponto E numa rotação de centro em G e amplitude –180o.

B

E

G

C

D

4.3. Indica a imagem do triângulo CGD numa rotação de centro em G e amplitude +240o.

4.4. O ponto C é a imagem do ponto E numa rotação de centro em G. Indica a amplitude do ângulo de rotação.

4.5. O hexágono da figura tem simetria rotacional? Justifica.

4.6. O hexágono da figura tem simetria axial? Justifica.

4.7. Define uma translação que transforme o segmento de reta DE no segmento de reta AB.

4.8. Completa: a) A≥F + E≥D = ______

→ →

b) ______ + F≥A = 0 ( 0 é o vetor nulo) c) ______ + G≥E = B≥D 4.9. Utilizando as letras da figura, indica dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e comprimentos diferentes.

4.10. Qual das seguintes afirmações é falsa? [A] Os vetores A≥F e C≥D têm a mesma direção. [B] Os vetores B≥C e C≥D têm o mesmo comprimento. [C] Os vetores B≥E e B≥G têm o mesmo sentido. [D] O triângulo BCG pode ser obtido do triângulo GEF através de uma translação. 89

UNIDADE 2 Números racionais

Testar 3 1 O Francisco ganhou 1225 € na lotaria. Gastou do

5 prémio na compra de uma nova televisão e depositou o restante no banco. 1.1. Indica o significado da expressão 1 – 3 no con5 texto do problema.

(

)

3 × 1225. Qual é o significado do re5 sultado obtido no contexto do problema?

1.2. Calcula 1 –

1.3. Quanto custou a televisão que o Francisco comprou?

2 Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas.

(

2.1. –2 × –0,5 × 4 5

( ) + (–1)

2.3. – 1 2

2

) – (– 13 : 2)

1001 –2–1 ×

(

2.2. 2 × –1 + 1 3 2

( 34 – 0,1)

0

–2

( )

11 –7 2.4. (–9) × (–9) × 33 : 1 4 3 (–3)

3 Escreve, em notação científica, cada um dos seguintes números.

90

) – 34 : (– 12 )

3.1. 2000

3.2. 0,00078

3.3. 1,5 milhões

3.4. 0,002 × 105

–7

×1 5

4 Considera os números racionais –3; +4,5; + 1 ; 0,3333; – 9 ; 10 ; 0 e –1,(35). 3

4

5

4.1. Algum dos números é um número inteiro positivo? Se sim, qual? 4.2. Escreve-os por ordem decrescente.

5 Na tabela seguinte apresenta-se a capacidade de cada um dos estádios de três grandes clubes portugueses de futebol: F. C. Porto, S. L. Benfica e Sporting C. P. Clube

Estádio

Capacidade (valor aproximado)

F. C. Porto

Estádio do Dragão

5 × 104

S. L. Benfica

Estádio da Luz

6,5 × 104

Sporting C. P.

Alvalade XXI

5,2 × 104

5.1. Coloca os estádios por ordem decrescente de capacidade.

5.2. Se, num determinado fim de semana, os três estádios encherem, quantas pessoas terão assistido aos jogos?

5.3. Determina a diferença entre as capacidades do Estádio da Luz e do Alvalade XXI.

6 A massa do Sol é cerca de 1,9891 × 1030 kg. A massa do átomo de hidrogénio, principal constituinte do Sol, é 1,67 × 10–27 kg.

6.1. Quantos átomos de hidrogénio há, aproximadamente, no Sol?

6.2. A 165 mil anos-luz da Terra, na Nebulosa Tarântula, esconde-se a R136, um grupo de estrelas de grande dimensão que tem suscitado a curiosidade dos cientistas. No centro deste agrupamento foi descoberta a R136a1, a maior estrela do conjunto, cujo tamanho equivale a 265 vezes a massa do Sol, segundo anunciou o astrónomo Paul Crowther, da Universidade de Sheffield, no Reino Unido. in Ciência Hoje, 22/7/2010

Determina um valor aproximado para a massa da estrela R136a1, apresentando-o em notação científica.

91

UNIDADE 3 Funções e equações

Testar 1 Resolve cada uma das seguintes equações. 1.1.

x x–2 – =1 2 5

1.2. –

2(x – 2) 2x + 1 + =x 4 3

2 O Sr. Domingos é agricultor. Da venda de um terreno, o Sr. Domingos recebeu algum dinheiro que decidiu investir na modernização da sua quinta. Utilizou dois terços do dinheiro recebido para comprar um trator e um quarto do dinheiro para remodelar o celeiro. Com os restantes 7200 €, comprou cinco vacas e dez porcos. Quanto dinheiro recebeu o Sr. Domingos da venda do terreno?

3 Na figura estão representadas as funções f, g e h.

h

3.1. Completa as seguintes afirmações com as palavras afim, linear e constante. A. f é uma função ______________________________.

5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 –2 –3 –4

B. g é uma função ______________________________. C. h é uma função ______________________________. 3.2. Para cada uma das funções representadas, escreve uma expressão analítica que a defina.

g f

4 5

–5

3.3. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações. Verdadeiro

Falso

A. O ponto (0,0) pertence ao gráfico da função f. B. x = 2 é solução da equação f(x) = g(x). C. A imagem do objeto 2, por g, é 1.

3.4. Determina: a) f(9)

92

b) g(7)

c) x, sabendo que g(x) = 500.

4 Os pontos (0, 4) e (–2, 0) pertencem ao gráfico da função f. Sabendo que f é uma função afim, determina a expressão analítica que a define.

5 Verifica se o par ordenado (–1, 3) é solução da equação 2x – 4y = –14.

6 Resolve e classifica os seguintes sistemas.



6.1.

2(x – 6) = y x–1=



6.2.

y – 10 2

2y = x + 3 3(x – 1) = –

y–3 +6 2

7 No início de cada ano letivo, o Gustavo compra todo o seu material escolar numa papelaria que se situa perto da sua casa. Este ano, verificou que, se comprasse seis cadernos pautados e três quadriculados, teria de pagar 8,4 €. Se comprasse quatro pautados e cinco quadriculados, teria de pagar 9,2 €. Quanto custa cada caderno quadriculado?

93

UNIDADE 4 Planeamento estatístico

Testar 1 Mais de metade dos alemães (51%) estão descontentes com o euro, segundo uma sondagem do jornal popular Bild. Realizada online, pelo instituto alemão YouGov, a sondagem consultou 1068 pessoas, tendo concluído que 44 por cento dos alemães estão satisfeitos com a moeda única. Segundo a mesma sondagem, 49 por cento dos alemães querem regressar ao marco, contra 41 por cento que recusam essa ideia, escreve o Bild, um jornal de grande tiragem, crítico do euro. In Jornal Público 27/12/2010

1.1. Relativamente ao estudo realizado, indica: a) a população; b) a amostra. 1.2. Se a Alemanha tiver uma população de 82 143 000 pessoas, quantas pessoas é de esperar que queiram regressar ao marco? Explica o teu raciocínio.

2 Numa escola secundária com 550 alunos efetuou-se uma sondagem acerca do número de irmãos de cada aluno. Concluiu-se que 80% dos alunos tem um ou mais irmãos. 2.1. Quantos alunos não têm irmãos?

2.2. Na turma da Francisca, apenas três alunos não têm irmãos. Se a turma da Francisca fosse uma amostra representativa da população, quantos alunos teria a turma da Francisca?

2.3. Na turma do Bernardo há 20 alunos. a) Quantos alunos é de esperar que não tenham qualquer irmão?

b) Depois de perguntar, verificou-se que 10 alunos desta turma não têm irmãos. Será este resultado surpreendente? Explica a tua opinião.

94

3 Os alunos da turma da Mariana decidiram analisar os hábitos de estudo dos alunos da sua escola. Assim, perguntaram a alguns alunos quantas horas semanais dedicavam ao estudo. A partir dos dados obtidos construiu-se o seguinte gráfico de barras. 10 9 8 7 Frequência absoluta 6 5 4 3 2 1 0

1h

2h

3h 4h 5 h Mais de 5 h Número de horas de estudo semanal

3.1. Indica a população e a amostra a que respeita o estudo estatístico. 3.2. Completa a seguinte tabela. Número de horas de estudo semanal

Frequência Frequência absoluta relativa

1h 2h 3h 4h 5h Mais de 5 h

3.3. Quantas pessoas foram inquiridas? 3.4. Quantas das pessoas inquiridas estudam mais de 5 horas semanais? 3.5. Determina a percentagem de alunos que assumiu estudar cinco horas semanais.

3.6. Se a escola da Mariana tiver 780 alunos, quantos é de esperar que estudem duas horas por semana? Explica o teu raciocínio.

3.7. Comenta a afirmação: “Da análise ao gráfico podemos concluir que 10 pessoas não tiveram qualquer negativa na pauta”.

3.8. Comenta a afirmação: “Se apenas se inquirissem alunos com mais de três negativas, a amostra não seria representativa”.

95

UNIDADE 5 Sequências e regularidades. Equações

Testar 1 A distância percorrida por um automóvel entre o momento em que o seu condutor inicia a travagem e o momento em que o automóvel para denomina-se distância de travagem (Dt). Esta pode ser calculada, em metros, utilizando a fórmula: v 2 1 Dt = × , em que v é a velocidade do veículo (km/h). 10 2

( )

A determinada altura, um veículo circulava a 92 km/h. Se o condutor do veículo travasse o automóvel, qual era a distância necessária para imobilizar o veículo? Explica o teu raciocínio.

Adaptado de Projeto 1001 Itens, GAVE

2 Considera o monómio –20x2 e indica: 2.1. o seu coeficiente e a sua parte literal; 2.2. o seu grau; 2.3. um monómio que lhe seja semelhante.

3 Simplifica. 3.1. (x2 – 5x + 6) – (–x3 + 4x)(x – 2)

3.2. 2(4x – 3)2 + (x – 6)(x + 6)

4 Qual dos seguintes é o simétrico do polinómio –3a2 + 4a – 12? [A] +3a2 + 4a – 12

[B] +3a2 – 4a + 12

5 Resolve cada uma das seguintes equações.

96

[C] +

1 2 1 1 a – a+ 3 4 12

5.1. 4x2 – 9 = 0

5.2. 12x2 – 8x = 0

5.3. 3x2 + 18x + 27 = 0

5.4. (x – 12)(25x2 – 100) = 0

[D] –

1 2 1 1 a + a– 3 4 12

6 Fatoriza cada uma das seguintes expressões algébricas. 6.2. x2(3x – 7) – 4(3x – 7)

6.1. 16a4 – 100a2

7 Considera o polinómio P = (m – 3)x2 – 8x + 16. 7.1. Indica o valor de m que transforma o polinómio P num polinómio de grau um. Que polinómio é esse? Explica o teu raciocínio.

7.2. Seja m = 4. a) Fatoriza o polinómio P. b) Calcula o valor do polinómio P quando x = 2.

8 Na figura está representado o retângulo ABCD, com 12 cm2 de área. Determina o valor exato de x.

(2x – 4) cm

A

D

(x – 3) cm

B

C

9 De seguida apresentam-se os quatro primeiros termos de uma sequência de figuras. Cada figura é formada por círculos iguais ao círculo

.

9.1. Quantos círculos tem a figura 5? 9.2. Quantos círculos são necessários para construir a figura número 10? Explica o teu raciocínio. 9.3. Qual das seguintes expressões pode ser o termo geral da sequência? [A] 2n2 + 2n

[B]

3 2 n n + 2 2

[C]

3 2 5 n + n+1 2 2

[D] 4n2 + n

9.4. Utilizando o termo geral da sequência, determina o número de círculos necessários para construir a figura número 33.

9.5. Existirá alguma figura composta por 1799 círculos? Justifica.

97

UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos

Testar 1 Determina a área da figura seguinte.

2 Observa a figura.

— Sabe-se que P é o baricentro do triângulo QRS e que RT = 18 cm. — — 2.1. Determina PR e PT, explicando o teu raciocínio.

2.2. Considera os triângulos QRT e RTS. Qual dos dois tem maior área? Justifica.

3 Em cada uma das seguintes situações, determina os valores de x, y e z. 3.1.

3.2.

4 Na figura está representado um círculo de centro em A e raio AH. Sabe-se que: • GH é uma corda com 10,4 cm de comprimento; — • AI = 16 mm; — — • GI = IH.

A

Determina a área do círculo. Explica o teu raciocínio. G

98

I

H

5 Observa a figura ao lado na qual estão representados um triângulo retângulo e três quadrados construídos sobre os seus lados. 5.1. Determina a área do quadrado maior. 5 cm

5.2. Determina o comprimento do lado do quadrado maior.

12 cm

6 Prova que (n, n + 1, n + 3) não é um terno pitagórico, independentemente do valor de n.

—

7 O cubo da figura tem 4 cm de aresta. Determina o valor exato de AB, apresentando todos os cálculos necessários.

8 A figura A é uma fotografia de uma caixa de choco-

I

lates que o Manuel fez para oferecer à Mariana no dia de S. Valentim. A figura B representa um modelo geométrico dessa caixa. Relativamente à figura B, sabe-se que:

H J

E

• ABCDEFGH é um prisma quadrangular regular; • EFGHI é uma pirâmide quadrangular regular, de al— tura IJ.

G

D

8.1. Indica a posição relativa:

C

A

a) da reta HG relativamente ao plano ABF;

F

Figura A

B Figura B

b) das retas IF e EH. 8.2. Prova que o plano HEF é paralelo ao plano DCB. — — — 8.3. Sabendo que AB = 13 cm, BF = 19 cm e IJ = 6 cm, determina: a) o volume, em cm3, do sólido representado na figura; b) a área lateral da pirâmide EFGHI, em cm2.

Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2010 – 1.a chamada

99

Provas globais De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objetivo de te prepararem para o exame que irás realizar no final do 9.o ano de escolaridade. As provas são precedidas de três tabelas com a identificação do conteúdo trabalhado em cada atividade, para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.

100

Grelhas de conteúdos Prova global 1 Unidade

1.1

1.2

1.3

1.4

2.

3.

Isometrias

4.1

4.2 a)

4.2 b)

X

4.2 c) X

Números racionais Funções e equações Planeamento estatístico

X X

X

X

X

Sequências e regularidades. Equações

X

Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos.

X

X

Prova global 2 Unidade

1.

2.1

2.2

2.3

2.4

3.

Isometrias Números racionais Funções e equações

4.1

4.2

X

X

4.3

5.1

5.2

5.3

5.4

X

X

X

X

X X

X X

Planeamento estatístico

X

X

Sequências e regularidades. Equações Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos

X

Prova global 3 Unidade

1.1

1.2

Isometrias

X

X

1.3

2.1

2.2

3.1

3.2

4.

5.

Números racionais Funções e equações

X

Planeamento estatístico

X

Sequências e regularidades. Equações Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos

X

6.

7.

X

X

X

X X

X

101

1

Prova global

1 O João decidiu certificar a qualidade da pastelaria de que é proprietário. Num processo de certificação de qualidade, é necessário proceder a um rigoroso controlo dos bolos produzidos. Assim, foram selecionados aleatoriamente 400 bolos, de entre os 4000 produzidos num dia, que foram avaliados em quatro parâmetros distintos. No gráfico seguinte apresentam-se os resultados obtidos. 5%

120 bolos 60%

Aprovado em todos os parâmetros Aprovado em 3 parâmetros Aprovado em 2 parâmetros Aprovado em 1 parâmetro

1.1 O estudo realizado é um censo ou uma sondagem? Justifica. 1.2 Qual é a população e a amostra a que respeita o estudo? 1.3 Quantos bolos, de entre os 400 avaliados, foram aprovados em todos os parâmetros?

1.4 Qual é a percentagem de bolos aprovados em dois parâmetros? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

2 Resolve a equação seguinte, apresentando os cálculos que efetuares. x(x – 7) – 3(x – 7) = 0

3 A pastelaria do João fornece bolos às duas escolas básicas das redondezas. No ano passado, vendeu a uma delas 7,2 = 103 bolos e à outra 1,54 = 104. Sabendo que a pastelaria vende, às escolas, cada bolo a 27 cêntimos, determina o valor recebido, no ano passado, proveniente deste negócio. Mostra como chegaste à resposta.

102

4 Na pastelaria do João estão à venda caixas com bolos tradicionais. 4.1 Existem caixas com três bolos e existem caixas com quatro bolos. Sabe-se ainda que: t
BT
DBJYBT
WB[JBT
têm todas a mesma massa (peso); t
PT
CPMPT
têm, também, todos a mesma massa; t
VNB
DBJYB
com quatro bolos pesa 310 gramas; t
EVBT
DBJYBs, cada uma com três bolos, têm uma massa total de 470 gramas. Qual é a massa, em gramas
EF
DBEB
DBJYB
WB[JB
Mostra como chegaste à tua resposta.

4.2 Observa as seguintes figuras. I H

G

J E

F

Figura A

Figura B

A figura A é uma fotografia de uma das caixas e a figura B representa um modelo geométrico dessa caixa. Sabe-se que EFGHI é uma pirâmide quadrangular regular, de altura IJ. a) Prova que a reta IJ é perpendicular ao plano EFG.

b) Determina, em cm3 e com aproximação às centésimas, o volume do sólido representado na — — figura B, sabendo que EF = 20 cm e FI = 18 cm. Mostra como chegaste à tua resposta.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 2010

c) Como podes observar, na figura A, o logótipo da pastelaria está representado em cada uma das faces da caixa de bolos. Na figura ao lado, apresenta-se um esquema desse mesmo loA gótipo e o vetor v. i. Constrói a imagem do polígono ABCDEFG A pela translação associada ao vetor u. A A ii. Completa: CB + EF = _________.

A

G F E

D

B

C A

u

103

Prova global

2

1 O Tiago trabalha numa agência de viagens e o seu vencimento é calQuantia a receber (€)

culado em função do tempo de trabalho por mês. Na figura está representada graficamente a função que relaciona o tempo de trabalho do Tiago, em horas, com a quantia que vai receber, em euros. Escreve uma expressão analítica da função representada.

Vencimento do Tiago

15

10 5 0 0

2 Uma agência de viagens perguntou a cada um dos

Destino preferido para a viagem de finalistas

Destino

o ano de uma escola secundária sobre o

alunos do 12. seu destino preferido para a viagem de finalistas. Os resultados apresentam-se no gráfico ao lado.

1 2 3 4 Tempo de trabalho (h)

Ibiza

20%

Brasil 18%

México

2.1 A agência de viagens realizou um censo ou uma sondagem? Justifica.

Algarve

23%

Outro destino

2.2 Relativamente ao estudo realizado, indica a população.

15% 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

Percentagem de alunos

2.3 Sabendo que, nesta escola, são 300 os alunos que frequentam o 12.o ano, determina quantos alunos responderam preferir o Brasil. Mostra como chegaste à tua resposta.

2.4 Decidido o destino e os participantes, a Associação de Estudantes pediu à Agência de Viagens que calendarizasse o pagamento de forma faseada. A proposta da agência definia que o valor total da viagem, 660 €, fosse pago em duas tranches: uma primeira tranche, três meses antes da partida, e uma segunda tranche, com o dobro do valor da primeira, apenas quinze dias antes. Qual é o valor de cada tranche?

3 Qual das opções seguintes apresenta dois números inteiros? [A] 2 e 3–1

104

[B] 1 e 1 2 3

()

[C] 20 e 3 4

–1

()

[D] 12 e 1 3 3

–2

4 Relativamente à figura, apresentada ao lado, sabe-se que: t
ABCD é um quadrado de lado 4 e centro K; t Os vértices C e A do quadrado são os centros das circunferências representadas na figura, ambas de raio 2.

G A

D H K

4.1 Completa: A A a) HK + KD = _____ A A b) GK + BK = _____ A A c) HJ + CI = _____

I C

B

J

4.2 Qual é a imagem do triângulo ABD pela rotação de centro em K e amplitude –90o? — 4.3 Determina GJ. Apresenta todos os cálculos que efetuares e o resultado aproximado às décimas.

5 De seguida apresentam-se os três primeiros termos de uma sequência de figuras. Cada figura é formada por quadrados iguais ao quadrado

Figura 1

, uns pintados de verde e outros de vermelho.

Figura 2

Figura 3

5.1 Quantos quadrados vermelhos terá a figura 5? 5.2 Quantos quadrados verdes terá a figura 20? 5.3 Escreve uma fórmula que relacione o número da figura (n) com o número de quadrados vermelhos (V).

5.4 Escreve uma fórmula que relacione o número da figura (n) com o número total de quadrados (T).

105

Prova global

3 A

1 O Clube Multimédia da escola da Maria decidiu criar uma televisão escolar, a “Estação i”, que se dedicará exclusivamente à informação, transmitindo notícias da Escola, do País e do Mundo. O símbolo escolhido para a “Estação i” apresenta-se na figura ao lado. Sabe-se que:

O

B

t o hexágono ABCDEF é regular e está inscrito numa circunferência de centro em O; — — t CD = 10 cm e CH = 25 cm. 1.1 Após uma rotação de centro em O e amplitude –120o, o ponto A desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?

F

E

C

D

H

G

1.2 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? A A [A] Os vetores AF e DC têm o mesmo sentido. A A [B] Os vetores FE e CD têm comprimentos diferentes. A A [C] Os vetores BE e OB têm o mesmo comprimento. [D] O segmento de reta AF é a imagem do segmento de reta CD por uma rotação de centro em O e amplitude +180o. 1.3 Determina a área sombreada da figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Escreve o resultado arredondado às centésimas. Nota: Sempre que procederes a arredondamentos utiliza duas casas decimais.

2 A Direção da escola, dada a enorme qualidade do projeto, pediu aos responsáveis pela “Estação i” que, para além da transmissão nas televisões internas da escola, utilizassem também a Internet como meio de comunicação. Deste modo, toda a comunidade educativa passava a ter acesso à emissão. O professor responsável pelo Clube Multimédia, antes de tomar qualquer decisão, questionou cada um dos 20 alunos inscritos no clube sobre o pedido da Direção. 85% concordaram que se passasse a utilizar a Internet. 2.1 O professor responsável realizou um censo ou uma sondagem? Justifica.

2.2 Quantos alunos não concordaram com a medida?

106

Número de pessoas (em dezenas)

3 Na figura ao lado está representada graficamente a função f que relaciona o tempo decorrido desde que a “Estação i” passou a transmitir através da Internet, em dias, com o número de pessoas, em dezenas, que assistem à emissão. 3.1 Quantas pessoas assistem à emissão quatro dias depois da “Estação i” ter passado a emitir através da Internet?

5 4 3 2 1 0 0

1

2 3 4 5 6 7 8 Tempo de emissão (em dias)

3.2 Qual das seguintes expressões pode definir a função f? x x [A] f(x) = +1 [B] f(x) = x +1 [C] f(x) = 2 2

[D] f(x) = x

4 Resolve a seguinte equação, apresentando os cálculos que efetuares. 4x2 – 17 = 0

5 Resolve graficamente o sistema

2x – y = 0 2y + 2x = 6

y 5 4 3 2 1

.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 –2 –3 –4

4

5 x

–5

( 3 ) – (–2)

3 3 6 Calcula o valor numérico da expressão – 2 =4 3 + – 7

6

0

–2.

7 Calcula (7,1 = 10–2) + (9,3 = 10–3). Nota: Não utilizes a calculadora e apresenta o resultado em notação científica.

107

Recursos para a Prova Final de Ciclo

9

RESUMIR

UNIDADE 1 Probabilidades

EXPERIÊNCIAS ® Uma experiência diz-se determinista se, repetida nas mesmas condições, produz sempre o mesmo resultado. Exemplo: Colocar um prego de aço num copo de água e verificar o que acontece. ® Uma experiência diz-se aleatória se é impossível prever o resultado que se obtém, mesmo quando repetida exatamente nas mesmas condições. Exemplo: Lançar uma vez um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 e verificar que face fica voltada para cima. Numa experiência aleatória, o conjunto de resultados, o espaço de resultados ou o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. Representa-se por S ou Ω. No exemplo do dado equilibrado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

ACONTECIMENTOS Cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados de uma experiência aleatória diz-se um: • acontecimento elementar – se é constituído por um só elemento do conjunto de resultados; • acontecimento composto – se é constituído por mais do que um elemento do conjunto de resultados; • acontecimento impossível – se se não tem qualquer elemento do conjunto de resultados, ou seja, se não se verifica; • acontecimento certo – se contém todos os elementos do conjunto de resultados, ou seja, se se verifica sempre.

PROBABILIDADE A probabilidade de um acontecimento A é um número maior ou igual a 0 (ou 0%) e menor ou igual a 1 (ou 100%), ou seja, 0 ≤ P(A) ≤ 1. É tão provável que o acontecimento ocorra como que não ocorra

É impossível ocorrer o acontecimento

É certo que o acontecimento ocorre

0

1 ou 0,25 4

1 ou 0,50 2

3 ou 0,75 4

1

0%

25%

50%

75%

100%

    Muito pouco provável 110

Pouco provável

Provável

Muito provável

A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 e a probabilidade de um acontecimento certo é 1. A probabilidade pode ser expressa na forma de dízima, de fração irredutível ou de percentagem. Quando dois acontecimentos têm a mesma probabilidade de ocorrer dizem-se equiprováveis.

Conceito frequencista de probabilidade Lei dos Grandes Números: Quando o número de repetições da experiência aleatória é elevado, a frequência relativa de um acontecimento tende a estabilizar num valor que se adota como probabilidade desse acontecimento.

Conceito clássico de probabilidade Lei de Laplace: Numa experiência aleatória em que os acontecimentos elementares são equiprováveis, a probabilidade de um determinado acontecimento A é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis à sua realização e o número de casos possíveis. P(A) =

número de casos favoráveis à realização de A número de casos possíveis

Por vezes, para contar o número de casos favoráveis a um determinado acontecimento, ou o número de casos possíveis, podemos recorrer a: Tabela de dupla entrada

Dado 1

Dado 2 1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

Diagrama de árvore Moeda 1

Diagrama de Venn

Moeda 2 C

C N C N N

111

RESUMIR

UNIDADE 2 Funções

PROPORCIONALIDADE INVERSA ® Duas variáveis são inversamente proporcionais se o produto dos seus valores correspondentes é constante e não nulo, ou seja, x e y são inversamente proporcionais quando: x×y=k

(k ≠ 0)

k diz-se a constante de proporcionalidade inversa.

FUNÇÃO DE PROPORCIONALIDADE INVERSA ® Qualquer função com uma expressão do tipo y = equivalente, f(x) =

k (com k constante, k ≠ 0 e x ≠ 0) ou, de forma x

k (com k constante, k ≠ 0 e x ≠ 0) diz-se uma função de proporcionalidade inversa. x

k é a constante de proporcionalidade inversa. Exemplos: 1. y =

4 é uma função de proporcionalidade inversa. x

2. y =

x não é uma função de proporcionalidade inversa. 4

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (de funções de proporcionalidade inversa) ® Num gráfico de proporcionalidade inversa, todos os pontos estão sobre uma linha curva composta por dois ramos – uma hipérbole. Nos pontos que pertencem ao gráfico de uma função de proporcionalidade inversa, o produto das coordenadas de cada ponto do gráfico é constante. Esta é a constante de proporcionalidade inversa. Exemplo: f(x) =

y 5

2 x

4 3

x

f (x)

x × f (x)

2

0,5

4

2

1

1

2

2

–2

–1

2

–0,5

–4

2

O produto das coordenadas de cada ponto do gráfico de f é constante. A constante de proporcionalidade inversa é 2. 112

–4 –3 –2 –1 O (–2, –1) –1 (–4; –0,5) –4 ¥ (–0, 5) = 2 –2 –2 ¥ (–1) = 2 –3 –0,5 ¥ (–4) = 2 –4 (–0,5; –4) –5

(0,5; 4) 0,5 ¥ 4 = 2

1¥2=2

(1, 2)

(2, 1) 2 ¥ 1 = 2 1

2

3

4

x

® No gráfico de uma função do tipo y = ax2, com a diferente de zero, todos os pontos estão sobre uma linha curva. Essa linha, chamada parábola, pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. • O ponto (0, 0) pertence ao gráfico de todas as funções do tipo y = ax2, com a diferente de zero. Este ponto diz-se o vértice da parábola. • O sinal do coeficiente a determina o sentido da concavidade da parábola.

a>0

a |–2| Logo, a abertura da parábola associda a g é menor do que a abertura da parábola associada a f.

113

RESUMIR

UNIDADE 3 Equações

EQUAÇÕES DO 2.° GRAU ® Toda a equação que seja equivalente a uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, diz-se uma equação do 2.° grau. Exemplos: 1. x2 – 5x – 2 = 0 é uma equação do 2.° grau. 2. π2x – 4x = 0 não é uma equação do 2.° grau. ® Diz-se que uma equação do 2.° grau escrita na forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, está na sua forma canónica. ® Quando numa equação do 2.° grau b = 0 e/ou c = 0, a equação diz-se incompleta. Se a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação diz-se completa. Exemplos: 1. 7x2 – 2x – 59 = 0 é uma equação do 2.° grau completa. 2. x2 – 4x = 0 é uma equação do 2.° grau incompleta.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.° GRAU ® Para resolver equações do 2.° grau podemos recorrer aos casos notáveis da multiplicação e à lei do anulamento do produto ou utilizar a fórmula resolvente da equação do 2.° grau. ® A fórmula resolvente da equação do 2.° grau permite determinar, de forma direta, as soluções de qualquer equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0: x=

< b ± b2 < 4 ac 2a

Exemplo: Na equação x2 + 3x – 4 = 0, a = 1, b = 3 e c = –4. Assim: x2 + 3x < 4 = 0 ‹x= ‹x= ‹x= ‹x= ‹x= ‹x=

a. Exemplos: 1. 5 < 8 é equivalente a dizer que 8 > 5.

2. –2 < – 1 é equivalente a dizer que – 1 > –2. 3 3

® Se x < y e y < z, então x < z. Exemplos: 1. 4 < 6 e 6 < 9, então 4 < 9.

2. –5 < – 3 e – 3 < 1, então –5 < 1. 2 2

® Sejam a, b e c três números reais. Se a < b, então a + c < b + c. Exemplos: 1. Se 4 < 6, então 4 + 3 < 6 + 3.

2. Se –6 < –3, então –6 – 2 < –3 – 2.

® Sejam a, b e k três números reais diferentes de zero. Se k > 0 e a < b, então k × a < k × b. Exemplos: 1. 3 < 5 ⇔ 3 × 2 < 5 × 2

2. –4 < – 2 ⇔ –4 × 3 < – 2 × 3 5 5

® Sejam a, b e k três números reais diferentes de zero. Se k < 0 e a < b, então k × a > k × b. Exemplos: 1. 3 < 5 ⇔ 3 × (–2) > 5 × (–2)

2. –4 < – 2 ⇔ –4 × (–3) > – 2 × (–3) 5 5 119

RESUMIR

UNIDADE 6 Trigonometria no triângulo retângulo

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS Considera o seguinte triângulo retângulo.

α

Para qualquer ângulo agudo α, verificam-se as seguintes razões: •

a – esta razão chama-se seno de α e escreve-se, de forma abreviada, sen α: c sen α =

•

b – esta razão chama-se cosseno de α e escreve-se, de forma abreviada, cos α: c cos α =

•

a medida do cateto oposto a α = c medida da hipotenusa

b medida do cateto adjacente a α = c medida da hipotenusa

a – esta razão chama-se tangente de α e escreve-se, de forma abreviada, tg α: b tg α =

medida do cateto oposto a α a = b medida do cateto adjacente a α

O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo designam-se por razões trigonométricas desse ângulo. Estas razões não dependem do comprimento dos lados do triângulo, mas apenas da amplitude dos seus ângulos.

RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Para todo o ângulo agudo α, verificam-se as seguintes propriedades: • tg α =

sen α cos α

• sen2 α + cos2 α = 1 120

PRATICAR 1 Observa a figura e calcula o seno de θ, o cosseno de θ, e a tangente de ε. Apresenta o resultado aproximado a duas casas decimais. A figura não está desenhada à escala.

2 Determina o valor da amplitude do ângulo α, aproximado às décimas do grau, em cada um dos seguintes triângulos. As figuras não estão desenhadas à escala. 2.1.

2.2.

3,6 0,9

α

2.3.

2.4. 8 α 4

3 Considera o triângulo retângulo representado na figura. Determina o comprimento de q. Apresenta o resultado aproximado às décimas, por defeito.

4 Na figura está representado o triângulo ABC, retângulo em C.

Determina, com aproximação às unidades: 4.1. o comprimento do segmento de reta BC; 4.2. o comprimento do segmento de reta AC. 121

UNIDADE 1

Probabilidades

Testar 1 Considera a experiência que consiste em rodar o pião da figura

1.2. Indica o conjunto de resultados da experiência.

1,5%

1.3. Indica, nesta experiência, um acontecimento:

1,5%

a) elementar;

b) composto;

1,5%

c) certo;

d) impossível.

6

3%

5

1.1. A experiência é aleatória ou determinista? Justifica a tua opção.

12

3%

7 8

3 4

sobre uma mesa e registar o número da face cuja aresta fica em contacto com a mesa.

1,5%

7%

2 Se em doze lançamentos de um dado cúbico perfeito ocorrer seis vezes a face 3, podes concluir que o dado é viciado? Justifica a tua resposta.

3 A roleta da figura está viciada. Experimentalmente, verificou-se que a probabilidade de sair um setor vermelho é 0,4 e que os acontecimentos “sair setor azul” e “sair setor verde” são equiprováveis. Determina a probabilidade de sair um setor: 3%

3.1. não vermelho;

3%

3.2. verde.

4%

4 O concorrente selecionado para a final de um concurso televisivo tem uma probabilidade de 0,85 de o vencer. Qual é a probabilidade de o concorrente não vencer o concurso?

5 Uma caixa contém vinte bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 20. Extrai-se, ao acaso, uma bola da caixa e verifica-se o número nela inscrito. Determina a probabilidade de o número ser: 3% 4% 4%

5.1. o 7; 5.2. múltiplo de 2 e 3, simultaneamente; 5.3. múltiplo de 2 ou múltiplo de 3.

6 Num saco existem discos verdes, azuis e vermelhos indistinguíveis ao tato. Extrai-se ao acaso um disco do saco. 2 1 e a probabilidade de sair um disco azul é . 5 4 6.1. Determina a probabilidade de sair um disco vermelho.

A probabilidade de sair um disco verde é 5% 6%

6.2. Determina o número total de discos que estão no saco, sabendo que há 16 discos verdes.

8%

7 Num saco estão seis bolas verdes e sete bolas amarelas. Extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco. Se a primeira bola retirada é verde, qual é a probabilidade de a segunda ser amarela?

122

12%

8 Num quadrado com 10 cm de lado, marcou-se um setor circular com centro num dos vértices do quadrado, tal como mostra a figura. Escolhendo um ponto do quadrado ao acaso, determina a probabilidade de esse ponto não pertencer ao setor circular. Explica o teu raciocínio.

10 cm

–3 –3

9 A figura representa a planificação de um dado de jogar, cujas faces têm uma numeração especial. 2%

9.1. Qual é o número que se encontra na face oposta à do zero?

4%

9.2. Se lançares o dado duas vezes e adicionares os números saídos, qual é a menor soma que podes obter?

6%

9.3. A Rita e o Vítor decidiram inventar um jogo com o dado da figura. O Vítor propôs: Lançamos o dado ao ar e, se sair um número negativo, ganho eu; se sair um número positivo, ganhas tu. A Rita protestou, porque assim o jogo não era justo. Concordas com a Rita? Explica a tua resposta.

7%

–2

0

2

3 –1

9.4. Se lançares o dado duas vezes e multiplicares os números saídos, é mais provável obteres um número positivo ou um número negativo? Justifica. Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2004

10 Um estudo feito a uma marca de iogurtes revelou que: t se um iogurte está dentro do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,05; t se um iogurte está fora do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,65. Considera que, num certo dia, uma mercearia tem dez iogurtes dessa marca, dois dos quais estão fora de prazo. Considera, ainda, os seguintes acontecimentos: t
V: “o iogurte está dentro do prazo de validade” — t
V: “o iogurte está fora do prazo de validade” t
E: “o iogurte está estragado” — t
E: “o iogurte não está estragado” 4%

10.1. Completa o esquema, tendo em conta as informações do enunciado. ____

2 10 6%

0,05

E

____

— E

____

E

____

— E

V

— V

10.2. Escolhendo ao acaso um desses dez iogurtes, qual é a probabilidade de ele estar dentro do prazo de validade e estragado? Adaptado de Exame Nacional do Ensino Secundário, 2000, 1.a fase – 2.a chamada

123

UNIDADE 2

Funções

Testar 6%

1 Uma tabela que relaciona duas variáveis, x e y, traduz uma situação de proporcionalidade inversa se: [A] à medida que x diminui, y aumenta. [B] à medida que x diminui, y também diminui. [C] o quociente entre os valores correspondentes das duas variáveis é constante. [D] o produto dos valores correspondentes das duas variáveis é constante.

6%

2 Indica, de entre as seguintes expressões algébricas, aquela que representa uma função de proporcionalidade inversa. [A] x ¥ y = 100

12%

[B] y =

4x 3

[C] y = 10x

[D] y =

2 x+3

k 3 Considera as funções f, g e h, definidas por f(x) = kx, g(x) = kx2 e h(x) = . De seguida, aprex

sentam-se as representações gráficas de cada uma dessas funções. y 4

I

II

III

3 2 1 O 1 –4 –3 –2 –1 –1

2

3

4 x

–2 –3 –4

Para k > 0, faz corresponder a cada uma das funções a respetiva representação gráfica.

8 4 Considera a função f definida por f: x Æ y = , com x ≠ 0. x

5%

4.1. Completa a seguinte tabela. x

–16

–8

–4

–2

–1

1

2

4

8

16

f(x) 5%

12%

4.2. Representa graficamente a função f.

5 Considera a função que está representada graficamente

y

no referencial. Qual das seguintes expressões é a sua representação analítica?

4

[A] y = 2x [C] y = –

1 2 x 2

3

[B] y = x2 [D] y =

2

x2 2

1 –3

–2 –1 –1 –2

124

O 1

2

3

x

10%

6 O Mário e os seus três irmãos têm de dividir entre si 10 000 € de uma herança. Se o Mário tivesse quatro irmãos, quanto receberia a menos? Explica o teu raciocínio.

14%

7 Num laboratório farmacêutico são levadas a cabo reações químicas com o objetivo de descobrir um novo fármaco. A equipa responsável pelo estudo descobriu que a quantidade de reagente (q), em miligramas, é inversamente proporcional ao tempo (t), em segundos, da reação química. Num primeiro ensaio, 15 mg de reagente desencadearam uma reação de 4 segundos. Prepara-se entretanto uma nova experiência em que serão utilizados 30 mg de reagente. Qual é a duração previsível da reação? Explica o teu raciocínio.

8 Para planear a vindima na quinta de Alzubar, construiu-se a tabela seguinte. Número de trabalhadores (t)

100

50

25

Número de dias de vindima (d)

1

2

4

Na tabela, as variáveis t e d referem-se a grandezas inversamente proporcionais. 8.1. Assinala no gráfico o tempo correspondente à vindima feita por 5, por 10 e por 20 trabalhadores.

Número de dias (d)

12%

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

20

40

60

80

100

Número de trabalhadores (t)

6%

8.2. Qual das seguintes fórmulas relaciona o número de trabalhadores (t) com o número de dias (d) necessários para a vindima na quinta de Alzubar? t [A] 100t = d [B] t + d = 100 [C] = 100 [D] t ¥ d = 100 d

12%

8.3. Na quinta de Alzubar, a vindima demorou quatro dias e foram recolhidos, no total, 80 000 kg de uva. Em média, quantos quilogramas de uva vindimou cada trabalhador, por dia? Explica a tua resposta e apresenta todos os cálculos que efetuares. Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2002

125

UNIDADE 3

Equações

Testar 1 Escreve uma equação do 2.o grau: 2%

1.1. completa;

2%

1.2. incompleta, mas que admita termo em x;

2%

1.3. que admita duas soluções distintas;

2%

1.4. que admita uma única solução;

2%

1.5. que seja impossível;

2%

1.6. que admita –3 e 6 como soluções.

2 Para resolver uma equação do 2.o grau incompleta, o Gilberto utilizou os seguintes passos. Observa-os: Equação: x2 – 16x = 0 1.o passo: x(x – 16) = 0 2.o passo: x = 0 › x – 16 = 0 3.o passo: x = 0 › x = 16 4%

2.1. Como se denomina a propriedade utilizada pelo Gilberto no 2.o passo?

6%

2.2. Resolve a equação, utilizando um processo diferente do do Gilberto.

3 Considera as equações: I. 25x2 – 16 = 0

II. 3x2 +4x = 0

III. x2 – 2x – 3 = 0

Resolve cada uma das equações, utilizando: 6%

3.1. a fórmula resolvente;

6%

3.2. outro processo que não a fórmula resolvente.

7%

4 Qual das seguintes afirmações é falsa? Justifica a tua opção. [A] Qualquer equação do 2.o grau pode ser resolvida recorrendo à fórmula resolvente. [B] Existem equações do 2.o grau impossíveis. [C] As equações do 2.o grau do tipo ax2 = 0, a ≠ 0, não podem ser resolvidas com recurso à fórmula resolvente. [D] (x – 3)(x + 3) = 2x é uma equação do 2.o grau completa.

8%

126

5 Prova que a equação x2 – 4x + 6 = 0 é impossível, sem a resolveres.

12%

6 O triângulo da figura tem 60 m2 de área. Determina o valor de x. (x + 2) m

(2x + 3) m 12%

7 No referencial da figura estão representadas as funções f e g definidas, respetivamente, por y=–

1 2 x e y = x – 4. Determina a área do triângulo AOB. 2 y

y=x–4 O x A

y = – 1 x2 2 B

8 Na figura está representado um retângulo ABCD. A

14

B x

10

D

C

Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa com 14 cm de comprimento por 10 cm de largura. Esta placa será construída em 2 materiais distintos: uma parte em metal (representada a rosa) e uma parte em madeira (representada a branco). A área a construir em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais. Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo ABCD. Seja x o lado de cada quadrado, medido em centímetros (0 < x < 5). 9%

8.1. Mostra que a área, em cm2, da parte da placa decorativa a construir em metal é dada, em função de x, por A(x) = 6x2 – 24x + 70. 8.2. Determina o valor de x para o qual:

9%

a) a área da parte em metal é 70 cm2;

9%

b) a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira. Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 10.o ano – 06/05/2009

127

UNIDADE 4

Circunferência

Testar 1 6UJMJ[BOEP
NBtFSJBM
EF
EFTFOIo, rFQrFTFOUB
OVN
referFODJBM
DBrtFTJBOP 4%

1.1. P
MVHBS
HFPNÏUSJDP
EPT
QPOtPT
RVF
EJTUBN
EB
PSJHFN
NFOPT
EF
EVBT
VOJEBEFT

4%

1.2. P
MVHBS
HFPNÏUSJDP
EPT
QPOtPT
RVF
EJTUBN
EP
QPOto A 

EVBT
PV
NBJT
VOJEBEFT

4%

1.3. a NFEJBUSJ[ do segNFOto de reta AB, TFOEP
A a PSJHFN do referFODJBM e B o QPOto de orEFOBEB
OVMB
F
BCDJTTB


4%

1.4. B
CJTTFUSJ[
EP
ÉOHVMP
ABC
TFOEP
A(2, 0), B(6, 0) e C(6, 4).

2 No NBQB TFHVJOte estão BTTJOBMBEBT DJODo MPDBMJEBEFs, A, B, C, D e E, e uma estação de SÈEJP R. "QFOBT as MPDBMJEBEFT TJUVBEBT até 500 km de EJTUÉODJB da SÈEJP DPOTFHVFN TJOtPOJ[BS as suas FNJTTÜFs. A

R B

C D E

100 quilómetros 4%

2.1. "
MPDBMJEBEF
B DPOTFHVJSÈ
TJOtPOJ[BS
B
SÈEJP
R
+VTUJmDB

5%

2.2. Uma FNQresa FTQFDJBMJ[BEB em testar a RVBMJEBEF SBEJPfØOJDB EFDJEJV testar a SÈEJP R OVm MPDBM que FTUJvesse FYBUBNFOte à mesma EJTUÉODJB das MPDBMJEBEFT B, C e D. ATTJOBMB o MPDBl exato POEF o teste fPJ rFBMJ[BEo.

5%

2.3. Está Qrojetada a DPOTUSVÎÍP de uma Oova estação de SÈEJo, DVKBT FNJTTÜFT só QPEFSÍP ser JHVBMNFOte TJOtPOJ[BEBT até uma EJTUÉODJB de 500 km. ATTJOBMB OP teu esquema, um dos QPTTÓvFJT MPDBJT POEF deverá ser DPOTUSVÓEB a Oova estação de SÈEJo, de forma a que todas BT
MPDBMJEBEFT
BTTJOBMBEBT
TJOtPOJ[FN
QFMP
NFOPT
VNB
EBT
EVBT
SÈEJPs. &YQMJDB
P
tFV
SBDJPDÓOJo. AEBQUBEP
EF
Prova de Aferição de Matemática – Prova C

12%

3 Observa a figura, da qual se sabe que: t
B
DJrDVOferÐODJB
tem DFOUrP
OP
QPOto A; t
D, E, C e F TÍP
QPOtPT
EB
DJrDVOferÐODJB t os arDos NFOPres CF e DE têm, rFTQFUJWBNFOte, 100o e 91o de BNQMJUVEF t
P
ÉOHVMP
EFC tem 29o EF
BNQMJUVEe. DetFSNJOB as BNQMJUVEFT dos ÉOHVMPT a, b, q e e. +VTUJmDB a tua rFTQPTUB

128

100o

F 29o

q

b

C

A e a D

91o

E

4 Determina a área de cada um dos polígonos regulares. 9%

4.1.

4.2.

9%

7,5 cm 10 m 5,1 cm

5 Observa a figura ao lado. Sabe-se que: t
B
DJrcunferência tem centro no ponto A; t
E e D são pontos da circunferência; t as retas r e s são tangentes à circunferência em E e em D; t
E e G são pontos da reta s; t
D e F são pontos da reta r. 8%

8%

D

83o A

s

F

149o

r G

5.1. Calcula a soma das amplitudes dos ângulos internos do pentágono.

E

5.2. Determina a amplitude, em graus, do arco menor ED. Justifica a tua resposta.

t

s E

C

6 Da figura ao lado, sabe-se que: t
B
DJrcunferência tem centro no ponto A; t
I, H, E, C, D e G são pontos da circunferência; t
B
reta r é tangente à circunferência em E; t
BT
retas t e s são paralelas.

H D

6.1. Justifica que: 3%

a) a reta s é um eixo de reflexão da circunferência;

3%

b) os arcos EC e DG são congruentes;

3%

c) o trapézio ECDG é isósceles;

3%

d) o triângulo GEF é retângulo.

A

41o 19o

F r

I

G

4%

6.2. Determina, em graus, a amplitude do ângulo HAE.

4%

6.3. Determina, em graus, a amplitude do arco IH.

4%

6.4. Sabendo que A–H = 10 cm, determina, em cm, o comprimento do arco GI. 129

UNIDADE 5

Números reais. Inequações

Testar 6%

1

As duas primeiras colunas da tabela seguinte já se encontram preenchidas. Completa as restantes colunas. p

0,(23)

–√∫7

√∫9

–

5 2

8 2

–12

–0,13

N Z Q R

2%

X X

X

5 2 Indica um número irracional menor do que 3 e maior do que . 2

3%

{

}

1 3 Considera o conjunto A = –3,5; ; √∫1∫09∫ ; 2,(45) . Qual dos números do conjunto A corres7 ponde a uma dízima infinita não periódica?

Teste Intermédio de Matemática, 9.o Ano, 11/05/2009

3%

4 Considera o conjunto S = mero irracional?

{√∫ 14 , √∫ 641 , √∫27∫ , √∫27∫ }. Qual dos números do conjunto S é um nú3

3

Teste Intermédio de Matemática, 9.o Ano, 11/05/2009

5 Sem recorrer à calculadora, mostra que: 4% 4% 4%

15%

5.1. (3 – √∫7 )(3 + √∫7 ) – p = 2 – p

5.2. (5 + √∫2 )2 – (3√∫2 + 4) = 23 + 7√∫2 5.3. 3√∫5 – (2√∫5 + √∫16 ∫ ) – √∫5 = –4

6 Na figura estão representados um triângulo equilátero, assinalado a azul; um quadrado, assinalado a vermelho; e um triângulo retângulo, assinalado a verde.

Indica as abcissas dos pontos W, Z, U e S.

7 Indica um valor aproximado:

130

3%

7.1. de 2p + √∫3, por defeito, com erro inferior a 0,1;

3%

7.2. de √∫7 – 2, por excesso, com erro inferior a 0,01.

8 Completa os espaços utilizando os símbolos < , > ou =, de modo a obteres afirmações verda1%

deiras.

1%

∫ ___ 3,316 8.1. √∫11

8.2. √∫1∫1 ___ 3,317

8.3. √∫1∫1 ___ 3,31662479

1% 4%

9 Indica dois números irracionais, m e n, de tal modo que m < –p < n < √∫2. 10 Indica:

3%

10.1. todos os números inteiros que pertencem ao intervalo ]–√∫6∫5, –3];

3%

10.2. o maior número inteiro pertencente ao intervalo ]–∞, –10[;

3%

10.3. um número irracional pertencente ao intervalo ]√∫1∫1, √∫1∫2 [. x 2(x – 1) . 11 Considera a inequação 1 – ≤ –

8%

2 3 11.1. Resolve a inequação, apresentando o conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais.

4%

11.2. Indica o menor número inteiro que não é solução da inequação.

8%

12 Na figura estão representados o retângulo ABCD e o triângulo EFG, retângulo em G.

Determina os valores de x de modo que a área do triângulo EFG não seja inferior à área do retângulo ABCD. 7%

13 Na última assembleia-geral, o presidente do clube de futebol do Bairro da Alegria apresentou as condições para a aquisição de bilhetes para os jogos em casa:

BILHETE DE FUTEBOL

t
PT
OÍP
TØDJPT
QBHBN

Ƚ
QPS
CJMIFte; t cada TØDJP paga 2 Ƚ por bilhete. A inscrição cPNP
TØDJP
DVTUB

Ƚ O Filipe assiste a todos os jogos em casa. Qual é o número mínimo de jogos que o clube de futebol do Bairro da Alegria tem de realizar em casa, para que compense ao Filipe tornar-se TØDJP
EP
DMVCF


10%

14 Representa em extensão o seguinte conjunto.

{

A = x å Z: 2

( 3x – 1) > 3x2– 1 ‹ 2x + 4 ≥ –12} 131

UNIDADE 6

Trigonometria no triângulo retângulo

Testar 6%

C

1 Determina a área e o perímetro do triângulo da figura, indicando os resultados arredondados às décimas. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. 40o A

6%

B

8m

2 A determinada hora do dia, os raios de sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 30o em relação à horizontal. Nessa altura, um pinheiro apresenta uma sombra de comprimento 18 metros. Determina a altura do pinheiro, com aproximação às décimas, apresentando todos os cálculos que efetuares.

6%

3 Acerca do triângulo retângulo ABC, sabe-se que:

C

4 t
TFO a = 



























t
A–C = 21 cm. 7 Determina o perímetro e a área do triângulo ABC, com aproximação às décimas. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

4%

a B

A

4 Na figura está representado o triângulo retângulo ABC. Qual das

C

seguintes equações pode ser utilizada para determinar o comprimento do segmento de reta AB? 4 [A] cos34o = A–B

[B] cos34o = A–B 4

4 [C] tg34o = A–B

[D] tg34o = A–B 4

7

34o A

5 Sabendo que cos a = √∫2 e que a é um ângulo agudo, determina o valor de: 4%

5.1. 1 + tg2a

2

5.2. 2 sena – tga

4%

6 Mostra que: 4%

6.1. cosa ¥ tg a – sen a = 0

6.2. cos2a(1 + tg2a) = 1

4% 6%

7 Verifica se existe um ângulo b, tal que senb = √∫2 e cosb = √∫3 . Explica o teu raciocínio. 2

8 Indica o valor de b em cada uma das seguintes expressões. 4%

132

4%

8.1. sen15o = cos b

8.2. senb = cos 45o

4

B

9 Na figura pode observar-se o triângulo ABC, retângulo em B. B 27 9

A

D

C

Sabendo que BD é a altura do triângulo referente à hipotenusa, determina, com aproximação às centésimas: 4%

9.1. o cosseno do ângulo DAB;

9.2. a amplitude do ângulo DAB;

4%

9.3. a medida de B–C.

4%

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

10 Na figura está representada uma circunferência de centro A e diâmetro EB. Sabe-se que: t
DCˆB = 39º;

C

t
D–B = 10 cm.

4%

10.1. Determina a amplitude do ângulo DEB.

4%

10.2. Prova que o triângulo EBD é retângulo.

4%

10.3. Determina o comprimento do raio da circunferência, com aproximação às décimas.

4%

10.4. Determina o comprimento do arco DB, com aproximação às décimas.

39o A

E

B 10 cm

D

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

8%

11 Determina a área do triângulo, indicando o resultado arredondado às centésimas.

35o

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais.

20o 19 cm

7,2 cm

12 Em relação à figura, sabe-se que: t
C, B, H, E, D e G são pontos da circunferência de centro A e diâmetro GH. t
DE//GH e GH//CB; t
D–E = C–B; t
CAˆB = 68o. t
G–H = 7,2 cm; 6%

12.1. Determina a área da zona limitada pela linha vermelha.

6%

12.2. Determina o comprimento da linha vermelha. Nota: Sempre que procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

D

E

A

G

H

68o

C

B

133

UNIDADE 1 Probabilidades

Testar 1 Num saco existem vinte bolas, numeradas de 1 a 20. O André vai retirar uma bola ao acaso. 1.1. Determina a probabilidade de o número inscrito na bola ser: a) o número 7;

b) um número par;

c) um divisor de 10;

d) um múltiplo de 3;

e) um número não inferior a 13;

f) um quadrado perfeito;

g) um cubo perfeito. 1.2. A probabilidade de o número inscrito na bola ser primo ou divisor de 20 é:

[A] 10%

[B] 20%

[C] 50%

[D] 60%

2 O Duarte faz coleção de moedas antigas e guarda-as numa caixa de madeira. As 48 moedas que possui encontram-se numeradas de 1 a 48. 2.1. Considera o acontecimento: A: “Tirar uma moeda da caixa, ao acaso, e esta estar identificada com um número não superior a 5”.

O acontecimento A é: [A] certo. [B] impossível. [C] composto. [D] elementar. 2.2. O Duarte retirou, ao acaso, uma moeda da caixa. Qual é a probabilidade de não estar identificada com o número 3? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.

3 Uma arca frigorífica contém gelados de quatro sabores diferentes: morango, limão, framboesa e laranja. Retirando da arca um gelado, ao acaso, a probabilidade de ser de morango é de 0,3; a probabilidade de ser de limão é de 10% e a probabi1 lidade de ser de framboesa é de . 2 Sabendo que existem dois gelados de laranja, indica, justificando, a quantidade de gelados existentes na arca.

134

4 Dentro de um saco opaco foram colocadas bolas brancas e bolas vermelhas. Existem cinco bolas brancas e a probabilidade de se tirar uma bola vermelha, quando se tira, ao acaso, uma bola do saco 1 é de . Quantas bolas foram colocadas dentro do saco? 2

5 A direção de uma academia de música analisou as matrículas dos seus 300 alunos e verificou que, relativamente à disciplina de instrumento: • 120 alunos estavam inscritos em piano; • 200 alunos estavam inscritos em violino; • 40 alunos não estavam inscritos nem em piano nem em violino. 5.1. Constrói um diagrama que te permita organizar a informação. Apresenta todos os cálculos que efetuares. 5.2. Ao escolher um aluno ao acaso, determina a probabilidade de esse aluno estar inscrito: a) nas aulas de violino; b) apenas nas aulas de piano; c) nas aulas de violino e de piano.

6 Na figura está representada uma circunferência de centro E, inscrita no quadrado ABCD.

Escolheu-se, ao acaso, um ponto da figura. Sabendo que B–D = √8 cm, determina, com um erro inferior a uma centésima, a probabilidade de o ponto escolhido pertencer à zona sombreada da figura.

7 O Filipe efetuou vinte lançamentos de um dado, com as faces numeradas de 1 a 6. Em dez desses lançamentos ocorreu a face 3. Perante tal situação, o Filipe afirmou: “Este dado está completamente vi10 ciado. Neste dado, a probabilidade de ocorrer um 3 é de ”. Comenta esta afirmação. 20 135

UNIDADE 2 Funções

Testar 1 De duas variáveis x e y sabe-se que se x é 2, então y é 6. Escreve y em função de x e indica a constante de proporcionalidade, sabendo que: 1.1. x e y são diretamente proporcionais; 1.2. x e y são inversamente proporcionais.

2 Qual das seguintes expressões representa uma função de proporcionalidade inversa? [A] y =

x 3

[B] y =

3 x+2

[C] y × x = 12

[D] y = 7x

3 Na figura, pode observar-se a representação gráfica da função f. y 4 3 2 1 -4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

x

-1 -2 -3 -4 f

-5

Qual das seguintes expressões corresponde à função f? [A] y = 2x2

[B] y = –2x2

[C] y = x2

[D] y = –x2

4 Representa graficamente a função g definida por g(x) = 2 . x

y 4 3 2 1 -4

-3

-2

0

-1 -1 -2 -3 -4

136

1

2

3

4

x

5 Todas as noites, antes de se deitar, o Filipe toma um copo de leite quente. Sabe-se que o tempo que o leite demora a aquecer, no micro-ondas, é inversamente proporcional à potência utilizada. Com uma potência de 300 watts, o aquecimento do leite demora 1 minuto. Hoje, o Filipe quer aquecê-lo em 45 segundos. Para que potência deve estar regulado o micro-ondas? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

6 O Cristiano é funcionário de uma estação de serviço onde o Daniel, a Beatriz e o Carlos abastecem, normalmente, o seu automóvel. 6.1. Numa determinada semana, o preço do litro de gasolina variou diariamente. Nessa semana, o Cristiano ficou responsável por efetuar um estudo acerca da relação entre o preço do litro de gasolina e o número de clientes da estação de serviço. Dia da semana Preço do litro de gasolina (€) N.° de litros vendidos

Segunda-feira

Terça-feira

Quarta- Quinta-feira -feira

1,529

1,492

1,4

532

545

610

Sexta-feira

Sábado

Domingo

1,5

1,521

1,438

1,445

569

540

589

579

O Cristiano concluiu que o número de litros de gasolina vendidos era inversamente proporcional ao preço do litro de gasolina. Concordas com o Cristiano? Porquê? 6.2. O Daniel vai abastecer o depósito do seu automóvel. Admite que o número  de litros de gasolina que o Daniel introduz no depósito em t minutos é dado por  = 33t. a) O depósito do automóvel do Daniel tem 71 litros de capacidade. Quando ele vai abastecer o depósito, o computador de bordo indica-lhe que o depósito ainda tem 5 litros de gasolina. Quantos minutos vai demorar o Daniel a encher o depósito, se nunca interromper o abastecimento? b) A relação entre  e t é uma relação de proporcionalidade direta, sendo 33 a constante de proporcionalidade. Explica o significado desta constante, no contexto do problema. 6.3. Na mesma estação, a Beatriz e o Carlos abasteceram os seus carros. A determinada altura, o Carlos interrompeu o abastecimento para verificar quanto dinheiro trazia na carteira. Em seguida, retomou o abastecimento. Na figura estão representadas graficamente duas funções, que representam o número de litros de gasolina introduzida por cada um no depósito do seu carro, t segundos depois de terem iniciado o respetivo abastecimento. a) Uma das funções representadas graficamente na figura é uma função de proporcionalidade direta. Indica a constante de proporcionalidade dessa função. b) Determina quanto pagou o Carlos no final do abastecimento, sabendo que o preço de cada litro de gasolina é de 1,480 € e que beneficiou de um desconto de 5%. Apresenta o resultado em euros, com duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta. Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2011 – 1.ª chamada e 2.ª chamada

137

UNIDADE 3 Equações

Testar 1 Escreve uma equação do 2.° grau: 1.1. completa; 1.2. incompleta, mas que admita termo em x; 1.3. que admita duas soluções distintas; 1.4. que admita uma única solução; 1.5. que seja impossível; 1.6. que admita –5 e 0 como soluções.

2 Considera a equação –2x2 – 4x = –6. 2.1. Identifica os coeficientes de cada um dos termos da equação. 2.2. Através do cálculo do binómio discriminante, o que podes concluir acerca do número de soluções da equação anterior? 2.3. Confirma a resposta dada na alínea anterior resolvendo a equação.

3 Resolve as seguintes equações. 3.1. 3(x2 + x) = 1 – x – x2 3.2. 3x2 + 10x = (x + 4)2 – 4 3.3.

x2 + 3x =7+x 5

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

4 O produto da idade atual da Mafalda pela idade que terá daqui a 7 anos é 228. Quantos anos tem a Mafalda?

5 Na figura encontra-se representado um retângulo ABCD com 48 dm2 de área e um retângulo DEFG. 6 dm E

A

D

x dm

F

G x - 1 dm 3 dm

B

Determina a área do retângulo DEFG. Explica o teu raciocínio. 138

C

6 Determina o(s) valor(es) de k que transforma(m) cada uma das seguintes equações em equações com uma única solução. 6.1. x2 – 3x + k = 0 6.2. –kx2 – 5x = 2k, k ≠ 0

7 Na figura encontram-se representados um retângulo ABCD e um quadrado EFGH.

Sabe-se que: • o retângulo ABCD tem 24 cm2 de área; • o comprimento do retângulo ABCD é

3 do comprimento da sua largura; 4

• os polígonos representados têm a mesma área. 7.1. Determina o comprimento e a largura do retângulo ABCD. 7.2. Determina o perímetro do quadrado. Explica como pensaste.

8 A Arcada de Braga remonta ao século XVIII. Este ex-líbris da cidade minhota foi edificado junto à velha mu-

ralha medieval, mas foi apenas no final do século XIX que ficou com o aspeto que atualmente conhecemos. Hoje é um local central, apelativo, animado por múltiplos cafés e uma praça fechada ao trânsito, repleta de fontes e jardins.

Na figura ao lado encontra-se um modelo de um dos arcos do referido monumento. Como podes observar, o arco encontra-se assente em dois pilares com a mesma altura. A altura do arco, a x metros de distância do pilar da esquerda, é dada, também em metros, pela expressão:

h (x)

h(x) = –x2 + 8x + 40 8.1. Determina a altura dos pilares da arcada.

x

8.2. Determina a largura do arco. Explica o teu raciocínio. 139

UNIDADE 4 Circunferência

Testar 1 Na figura está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um hexágono regular ABCDEF. Relativamente à figura, sabe-se ainda que: • a circunferência tem 4 cm de raio; • o triângulo DOC tem 4 3 cm2 de área.

1.1. Utilizando material de desenho, constrói a circunferência inscrita no triângulo DOC. Num pequeno relatório, explica como procedeste. 1.2. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo: a) DOC?

b) CDO?

c) FAB?

1.3. Seja r a reta tangente à circunferência em A. Seja P um ponto dessa reta, diferente de A. Indica, justificando, a amplitude do ângulo OAP. 1.4. O arco menor DF é congruente com o arco menor AC? Explica o teu raciocínio. 1.5. Descreve o lugar geométrico dos pontos pertencentes à região sombreada. 1.6. Calcula a área da região sombreada. Apresenta todos os cálculos que efetuares e escreve o resultado arredondado às unidades. Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo duas casas decimais. 1.7. Determina, em centímetros, o comprimento do arco ABD. 1.8. Seja P o ponto de interseção dos segmentos AC e BF. Explicando o teu raciocínio, determina a amplitude do ângulo APF. 1.9. Determina a amplitude de cada um dos ângulos externos do hexágono ABCDEF. 1.10. Considera a rotação de centro O e amplitude 240° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Tendo em conta esse rotação: a) qual é a imagem do ponto D? b) qual é a imagem do triângulo ODC? Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 2010

140

2 O Rui vai visitar com os seus pais alguns concelhos do distrito do Porto. O mapa da figura representa esse distrito. N Póvoa de Varzim Vila do Conde

Felgueiras Trofa

Santo Tirso Paços de Ferreira

Maia

Penafiel

Valongo

Matosinhos

Amarante

Paredes

Marco de Canaveses

Porto Vila Nova de Gaia

Gondomar

20 km

10 km

0

30 km

Os pais do Rui vão visitar o Porto e Paredes. Pretendem ficar alojados num local que se situe a menos de 20 km de Paredes e que seja mais próximo do Porto do que de Paredes. Sombreia a porção do mapa relativa à zona onde os pais do Rui deverão ficar alojados. Utiliza material de desenho e de medição. Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues. Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2009 – 1.ª chamada

3 Na figura está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um triângulo regular ABC.

A F

151°

D

β

30°

O

C

E

α B

Determina: 3.1. a amplitude, em graus, do arco menor BC; 3.2. as amplitudes, em graus, dos ângulos α e β. 141

UNIDADE 5 Números reais. Inequações

Testar 1 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? [A] –2 ∈ N

[B] π ∈ Q

[C]  9 ∈ Z

[D] –π ∈ Q+

2 Indica um número pertencente a Q mas que não pertença a R–. 3 Qual das opções seguintes corresponde a um número racional? [A] π

[B] π + 4

[C] 3

[D]

144

4 Sabe-se que um cilindro com 300 cm3 de volume tem 4 cm de altura. Determina um valor aproximado às décimas, por excesso, do comprimento do raio da base. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

5 Seja z um número real de tal modo que -3 < z < 4. Então: [A] –18 < –5z + 3 < 17

[B] –3 < –5z + 3 < 4

[C] –17 < –5z + 3 < 18

[D] –18 ≤ –5z + 3 ≤ 17

6 Escreve uma inequação cujo conjunto-solução seja ]–∞, 12]. 7 Qual é o menor número inteiro que satisfaz a inequação  x + 2 f  x  5 ? Apresenta todos os cál4

culos que efetuares.

8 Indica: 8.1. o maior número inteiro compreendido entre –4π e  2 ; 8.2. o menor número inteiro pertencente ao intervalo ]–π, 12[; 8.3. o menor número inteiro pertencente ao conjunto B = {x ∈ N: –3 ≤ x < 11}.

9 Considera o conjunto B = ]–∞, 6]. Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

142

[A] B = ]–∞, 4] ∪ [5, 6]

[B] B = ]–∞, 4[ ∪ [5, 6]

[C] B = ]–∞, 4[ ∪ ]4, 6[

[D] B = ]–∞, 4[ ∪ [4, 6]

10 Considera os conjuntos A = [–5, 4], B = ]–3, +∞[ e C = ]–∞, π]. 10.1. Indica um número que pertença: a) ao conjunto A, mas que não pertença ao conjunto B; b) simultaneamente aos conjuntos A e C. 10.2. Existe algum número que não pertença a nenhum dos conjuntos? Explica o teu raciocínio. 10.3. Determina: a) A ∩ B

b) B ∪ C

11 Sem recorrer à calculadora, mostra que

(

c) (A ∪ B) ∩ C

11 − 3) + ( − 2 3 ) = 32 − 6 11. 2

2

12 Resolve, em R, a conjunção de condições seguinte. −

2x − 5 + 3 < − 2 x   ∧   3( x − 1) < − 2 x 3

13 Determina os valores de x de modo que a área do retângulo ABCD, representado na figura, seja superior a 18 cm2, mas não seja inferior a 33 m2.

x cm A

D 3 cm

B

C

14 Num determinado dia, às 17 horas, a temperatura registada era de 26 °C. No dia anterior, à mesma hora, a temperatura era de 24 °C. Que temperatura deverá fazer no dia seguinte à mesma hora, para que a média das temperaturas destes três dias, às 17 horas, não seja inferior a 27 °C?

15 O Duarte é cinco anos mais velho do que a sua irmã. Sabendo que a soma das idades dos dois é, no máximo, 25 anos, determina a idade máxima da irmã do Duarte.

16 O Pedro é gerente de uma fábrica de queijos. Mensalmente, esta fábrica apresenta custos fixos no valor de 25 000 €, aos quais acrescem 1,2 € por cada queijo produzido. Toda a produção mensal desta fábrica é vendida, a 4 € por unidade, a uma cadeia de hipermercados que os comercializa em exclusividade. Determina o número de queijos que a fábrica deve produzir de modo que, mensalmente, não tenha prejuízo. Explica o teu raciocínio, apresentando todos os cálculos que efetuares.

143

UNIDADE 6 Trigonometria no triângulo retângulo

Testar 1 Observa o triângulo ABC, retângulo em C. Determina a amplitude do ângulo θ, apresentando o resultado arredondado às décimas do grau.

2 Considera o triângulo retângulo DEF e parte de uma tabela trigonométrica. Utilizando a informação fornecida pela tabela, determina, com aproximação às centésimas, o perímetro do triângulo. 40°

50°

sen α

0,6428

0,7660

cos α

0,7660

0,6428

tg α

0,8391

1,1918

3 A expressão cos2 x – 2 sen2 x é equivalente a: [A] 3 cos2 x – 2

[B] 3 cos2 x + 2

[C] 3 sen2 x – 2

[D] 3 sen2 x + 2

2 4 Seja α a amplitude de um ângulo agudo. Mostra que sen α = 1 – cos α.

1 + cos α

5 Sabendo que α é um ângulo agudo e que cos α = 1 , podemos afirmar que: 3

[A] sen α =

12 e tg α = 3

8

[B] sen α =

12 e tg α = 3

[C] sen α =

8 e tg α = 12 3

[D] sen α =

8 e tg α = 3

3

8

6 Na figura está representado um cone com 18 cm de altura. θ é o ângulo que uma das geratrizes do cone faz com o prolongamento de um dos raios da base. Determina o volume do cone, indicando o resultado arredondado às décimas. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

144

18 cm θ = 140°

7 Os valores de w que verificam, simultaneamente, as condições sen α = w + 2 e cos α = – w são: 2

⎧

⎫

⎧

⎫

⎧

[A] ⎨ 0, 36 ⎬ ⎩ 13 ⎭

3

[B] ⎨ –4, 36 ⎬ ⎩ 13 ⎭ ⎫

⎫

⎧

[C] ⎨ 0, – 36 ⎬ ⎩ 13 ⎭

[D] ⎨ –4, – 36 ⎬ ⎩ 13 ⎭

8 Na figura está representada uma circunferência de centro A, com 3 cm de raio. Sabe-se que a reta CD é tangente à circunferência e que ADC é um triângulo isósceles. E

A

114°

3 cm

C

D

8.1. Determina o valor exato do comprimento do segmento de reta AD. Explica o teu raciocínio. 8.2. Determina a distância do ponto E à reta CD. Explica o teu raciocínio.

9 O Monumento dos Descobrimentos, vulgarmente conhecido por Padrão dos Descobrimentos, localiza-se na freguesia de Belém, em Lisboa. Este monumento apresenta o formato de uma caravela, ladeada inferiormente por duas rampas que se reúnem na proa e onde se destaca a figura do infante D. Henrique. Ao longo das rampas encontram-se 16 figuras de cada lado, que representam uma síntese histórica de vultos ligados direta ou indiretamente aos Descobrimentos.

90° 51° 31° 7,7

cm

www.padraodosdescobrimentos.egeac.pt – Acesso em 03/02/12

Na figura pode observar-se um pormenor deste monumento. Determina a altura da estátua do infante D. Henrique, que encabeça a comitiva representada pelas personagens. Apresenta o resultado arredondado às unidades. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

145

146

Provas globais De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais relativas aos conteúdos estudados no 9°. ano, para que possas testar os teus conhecimentos antes dos testes e da prova final de ciclo que irás realizar no final do 9°. ano de escolaridade.* As provas são precedidas de 3 tabelas com a identificação do conteúdo abordado em cada questão, para te ajudar a identificar os conteúdos a que cada item se refere.

* Convém relembrar que para preparares a prova final de ciclo terás também de rever conteúdos estudados nos 7°. e 8°. anos. 147

Grelhas de conteúdos Prova global 1 Unidade Probabilidades

1.1

1.2

X

X

1.3 2.1. 2.2

2.3

3.

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

5.

6.1

6.2

X

X

7.

X

Funções

X

X

X

Equações

X

Circunferência

X

Números reais. Inequações

X

X

X

X

Trigonometria no triângulo retângulo

X

X

Prova global 2 Unidade Probabilidades

1.1

1.2

1.3

1.4 a)

1.4 b)

X

X

X

X

X

Funções

2.1

2.2

2.3

X

X

X

3.

4.1

4.2

5.

6.

Equações Circunferência

X

8.

X

X

9.

X

X

Números reais. Inequações

X

Trigonometria no triângulo retângulo

7.

X

X

Prova global 3 Unidade

2.2 2.2 2.2 2.2 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 a) a) a) 3. 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2 7.1 7.2 b) i) ii) iii)

Probabilidades Funções

X X

X

X

X

X

X

X

X

Equações

X

Circunferência

X

Números reais. Inequações Trigonometria no triângulo retângulo

148

X X

X

X

X

X

X

X

X

X

Prova global

1

1 A turma da Aurora, constituída por 12 rapazes e 14 raparigas, decidiu criar uma comissão de três alunos para organizar uma viagem de finalistas. Para tal, colocaram-se 26 papéis dentro de um saco opaco, cada um contendo o nome de um dos alunos da turma. O Diretor de Turma seleciona, ao acaso, um papel do saco, lê o nome do aluno escolhido e rasga o papel em causa. Já foram selecionados ao acaso dois papéis, e o Henrique e o Manuel foram os eleitos. 1.1. Determina a probabilidade de a comissão, depois de formada, ser mista. 1.2. Determina a probabilidade de a Aurora também fazer parte dessa comissão. 1.3. Supõe que a Aurora também foi selecionada e os três eleitos vão tirar uma fotografia sentados num muro. Determina a probabilidade de a Aurora ficar sentada no meio dos dois rapazes.

2 A comissão responsável por organizar a viagem e a gerência do hotel onde vão ficar alojados decidiram que a melhor opção passava por isolar o piso ocupado pelos alunos que participassem na viagem, de modo a não incomodar o normal funcionamento do hotel. Assim, a comissão comprometeu-se a assumir a despesa de todos os quartos de um piso do hotel, independentemente de os ocupar, ou não. Esse custo será dividido igualmente por todos os participantes na viagem. Inicialmente, apenas 12 alunos estavam inscritos na viagem. Nessa altura, cada um deles teria de pagar 281,25 € pelo alojamento. 2.1. Se se tivessem inscrito mais dez alunos, quanto passaria a pagar cada um deles pelo alojamento? Explica o teu raciocínio. 2.2. Fechadas as inscrições, concluiu-se que cada aluno teria de pagar 135 € pelo alojamento. Quantos alunos se inscreveram na viagem? Apresenta todos os cálculos que efetuares. 2.3. O piso reservado para a turma tinha 15 quartos. Sabendo que a turma ficou alojada cinco noites, determina o preço do quarto, por noite, neste hotel.

3 Durante os dois primeiros dias da viagem de finalistas, as temperaturas máximas foram baixas e o Sol esteve encoberto. O Francisco tinha apostado com um amigo que a média das temperaturas máximas dos três primeiros dias seria superior a 12 °C. Determina os valores possíveis para a temperatura máxima do terceiro dia, sabendo que o Francisco ganhou a aposta e que nos dois primeiros dias as temperaturas máximas foram de 8 °C e de 10 °C, respetivamente. Explica como pensaste, apresentando todos os cálculos que efetuares.

149

4 No preço da viagem de finalistas está incluída uma visita a um parque de diversões. A roda gigante desse parque de diversões tem dez cadeiras, identificadas com as letras de A a J, com um lugar cada uma. O esquema da figura representa a referida roda. Sabe-se que: t
ABCDEFGHIJ é um decágono regular inscrito numa circunferência de centro K; t
AB e FG são segmentos de reta paralelos; t
K–I = 8 m.

4.1. Determina o comprimento, em decímetros, do arco IJ. Apresenta o resultado arredondado às unidades. 4.2. Comenta a seguinte afirmação: “A amplitude do ângulo FEK é igual à amplitude do ângulo KFE.” 4.3. Indica, justificando, a amplitude, em graus, do ângulo FED. 4.4. Considera o segmento de reta FC. Seja P o ponto de interseção desse segmento com o segmento de reta ID. Indica, justificando, a amplitude do ângulo CPD. 4.5. Determina a área do decágono regular ABCDEFGHIJ. Apresenta os cálculos que efetuaste e escreve o resultado arredondado às décimas. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

5 Considera a equação 2(x – 2)2 = (x – 1)(x + 1) + 9. Qual das seguintes equações é equivalente à equação anterior? 2x (x – 8) = 0

(x – 3)(x – 8) = 0

x2 – 8x = 0

x2 = 0

6 Considera a inequação < 3( x 4 ) < x  0 . 2

6.1. Resolve-a, apresentando o conjunto-solução sob a forma de um intervalo de números reais. 6.2. Indica o maior número inteiro que é solução da inequação.

7 Sendo _ a amplitude de um ângulo agudo, mostra que (sen _ – cos _)2 = 1 – 2 sen _ cos _.

150

2

Prova global

1 O Ricardo tem um restaurante. Na sua cozinha há alguns pacotes de natas cujo prazo de validade termina hoje e outros cujo prazo termina daqui a uma semana. Selecionando um pacote ao acaso, a probabilidade de o seu prazo de validade terminar hoje é de 2 . 3 1.1. Qual é a probabilidade de o Ricardo selecionar um pacote cujo prazo de validade termina daqui a uma semana? 1.2. Se o Ricardo tiver à sua disposição 15 pacotes de natas, quantos estarão dentro do prazo de validade durante mais uma semana? 1.3. Se o Ricardo tiver à sua disposição 10 pacotes cujo prazo de validade termina daqui a uma semana, quantos terminam hoje o seu prazo de validade? 1.4. O Tiago, a Francisca, a Mariana e o Jorge foram almoçar ao restaurante do Ricardo e sentaram-se ao balcão. De quantas maneiras diferentes se podem sentar se: a) as raparigas ficarem de um lado e os rapazes de outro? b) as raparigas ficarem juntas?

2 Quando o restaurante do Ricardo está cheio, o tempo de espera por uma refeição, em minutos, é inversamente proporcional ao número de empregados de mesa que estão ao serviço. A tabela seguinte relaciona as duas variáveis: Número de empregados de mesa

1

2

Tempo de espera (em minutos)

40

a

2.1. Determina o valor de a. 2.2. Num determinado dia, um cliente esperou 10 minutos pela sua refeição. Quantos eram os empregados de mesa que estavam ao serviço? 2.3. Qual das seguintes fórmulas relaciona o tempo de espera pela refeição (t), em minutos, com o número de empregados de mesa (n) ao serviço? n t = 40n n = 40t t = n = 40 t= 40

3 O Ricardo pretende efetuar obras no seu restaurante, dividindo-o em dois espaços distintos: um espaço para fumadores e outro espaço para não fumadores, tal como a figura seguinte sugere. 22° Área fumadores

Área não fumadores 31° 10 m

Qual das duas áreas ficará maior? Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo duas casas decimais.

151

4 À porta do restaurante o Ricardo vai colocar uma placa luminosa circular, como se representa na figura.

C

ˆ = 122°, determina a 4.1. Sabendo que A–C = 50 dm e que C AD área da placa colorida a azul. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Restaurante do Ricardo

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo duas casas decimais.

4.2. Utilizando material de desenho, constrói a circunferência que passa por A, C e D.

A

D

5 Escreve todos os números do conjunto Z pertencentes ao intervalo ]–3, /]. 6 Resolve a seguinte inequação: <

2x < 5

2