LIVRO_DE_..calculo 3

Sumário Aula 1: Integrais Duplas

11

1.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

Integral Dupla: Domínios Retangulares . . . . . . . .

12

1.3

Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados

14

1.4

Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5

Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6

Propriedades das Integrais Duplas . . . . . . . . . .

19

1.7

Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.8

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .

30

Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

33

2.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

. . . . .

34

2.3

Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .

46

Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla

47

3.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2

Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.3

Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . .

52

3.4

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .

60

Aula 4: Integrais triplas

63

4.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.2

Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . .

64

4.3

Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.4

Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.5

Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.6

Propriedades das Integrais Triplas . . . . . . . . . .

68

4.7

Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.8

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .

81

Aula 5: Mudança de Variáveis em Integrais tríplas

83

5.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.2

Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . . . .

84

5.3

Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.4

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 104 Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas

105

6.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2

Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3

Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . . . . . . 110

6.4

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 120 Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 123 7.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2

Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3

Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.4

Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128

7.5

Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . 130

7.6

Algumas Aplicações das Integrais de Linha . . . . . 133

7.7

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 143 Aula 8: Integrais de Superfícies

145

8.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.2

Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3

Área de Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . 147

8.4

Momento de massa e Momento de Inércia de Superfícies de Casca Fina em R3 . . . . . . . . . . . . . . 151

8.5

Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 155

8.6

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 165 Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes

167

9.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.2

Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.3

Teorema de Green

9.4

Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões 175

9.5

Verificação do Teorema de Green . . . . . . . . . . 178

9.6

Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.7

Aplicação do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 183

9.8

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 188 Aula 10: Teorema de Divergência

189

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4 Estendendo o Teorema da Divergência . . . . . . . . 194 10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196 10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 203

AULA

Integrais Duplas META: Apresentar integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em R2 . Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I.

1

Integrais Duplas

1.1

Introdução

Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas aulas.

1.2

Integral Dupla: Domínios Retangulares

Começamos por considerar uma função f definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formalmente f : [a, b]×[c, d] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, consideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d} onde como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 < · · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn . Desta forma cada um dos Ij = [xj−1 , xj ] e Jk = [yk−1 , yk ] pequenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 , respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], 1 ≤

12

Cálculo III

AULA

1

Figura 1.1: Partição de R = [a, b] × [c, d] j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada por ∆Ajk = ∆xj ∆yk . Como tanto ∆xj quanto ∆yk são diferentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ), que corresponde a maior área entre todos os 1≤j≤m 1≤k≤n

pequeno retângulo.

Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann:

Smn =

m X n X

f (ξj , ζk )∆Ajk

j=1 k=1

A integral dupla da função f (x, y) sobre o retângulo R, denotada Z Z f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: R

Z Z

def

f (x, y)dxdy = lim Smn R

BIOGRAFIA Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826 e morreu em Selasca, Itália, 20 de Junho de 1866, foi um matemático alemão, com contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial. Wikipedia

|P |→0

13

Integrais Duplas

Figura 1.2: Soma de Riemann para f (x, y) em R = [a, b] × [c, d]

1.3

Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados

Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, começamos por considerar uma função F definida em um domí2 nio retangular R = {(x, y)  ∈ R |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal  f (x, y) , (x, y) ∈ D que D ⊂ R e F (x, y) = . Formalmente  0 , (x, y) ∈ /D F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f (x, y). Usando

a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios retangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por

14

Cálculo III

AULA

P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições

1

P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d}. Do mesmo modo definimos a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ) 1≤j≤m 1≤k≤n

onde ∆Ajk = ∆xj ∆yk , ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 . Tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida F (x, y):

Smn =

m X n X

F (ξj , ζk )∆Ajk

j=1 k=1

A integral dupla da função f (x, y) sobre o domínio D ⊂ R2 , denoZ Z tada f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: D

Z Z

def

f (x, y)dxdy = lim Smn D

|P |→0

Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retângulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk ) = 0.

1.4

Interpretação Geométrica

Quando a função f (x, y) é positiva na região R, como a da (Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f (x, y) e quanto maior for o refinamento da partição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar Z Z a integral dupla f (x, y)dxdy como o volume do prisma sólido R

15

Integrais Duplas

Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b] × [c, d] reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f (x, y).

1.5

Integrais Iteradas

Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o volume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos f (x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no

16

AULA

Cálculo III

1

Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y volume do citado prisma. b

Z V =

A(x)dx a

Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva f (x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como Z d f (x, y)dy. vimos em Cálculo I A(x) = c

O volume do prisma pode ser então escrito como: Z b Z V =

d

 f (x, y)dy dx

a

c

. Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no volume do citado prisma.

17

Integrais Duplas

Figura 1.5: A(y), y fixo, integramos em relação a x

Z

d

A(y)dy

V = c

Z Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) =

b

f (x, y)dx. a

O volume do prisma pode ser então escrito como:

Z

d Z b

V =

 f (x, y)dx dy

c

a

. Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que: Z

d Z b



Z b Z

f (x, y)dx dy = c

a

d

 f (x, y)dy dx

a

c

ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não altera o resultado final da integração dupla em domínios retangulares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas.

18

AULA

Cálculo III

1.6

Propriedades das Integrais Duplas

1

Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem demonstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na bibliografia abaixo. Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: Z Z

Z Z cf (x, y)dxdy = c

f (x, y)dxdy D

D

Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: Z Z

Z Z

Z Z

(f + g)(x, y)dxdy = D

f (x, y)dxdy + D

g(x, y)dxdy D

Propriedade 1.3. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale: Z Z f (x, y)dxdy ≥ 0 D

Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: Z Z

Z Z f (x, y)dxdy ≥

D

g(x, y)dxdy D

Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um

19

Integrais Duplas número finito de curvas em R2 , então vale: Z Z

Z Z

Z Z

f (x, y)dxdy = D

f (x, y)dxdy + A

f (x, y)dxdy B

OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “linearidade” do operador integral dupla. As terceira e quarta propriedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”.

1.7

Alguns Exemplos

Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exemplos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta. Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto Z Z f (x, y)dxdy primeiramente integramos na vaé, na integral R Z Z f (x, y)dydx riável x e depois na variável y. Já na integral R

primeiramente integramos na variável y e depois na variável x.

Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla sobre domínios retangulares. A saber: Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig. 1.6) dada por f (x, y) = exp(−x − y) e determine a integral dupla Z Z I = f (x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ R

1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}.

20

Cálculo III

AULA

1

Figura 1.6: Função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R: f (x, y) = exp(−x − y)

SOLUÇÃO: Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração: Z 1Z 1 I= exp(−x − y)dxdy 0

0

Lembrando que: exp(−x − y) = exp(−x) exp(−y) temos: Z 1Z 1 exp(−x) exp(−y)dxdy I= 0

0

Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y como uma constante:  Z 1 1 I= − exp(−x) exp(−y)dy 0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z 1 I= (− exp(−1) − (− exp(−0))) exp(−y)dy 0

Efetuando os cálculos temos: Z 1 I= (1 − exp(−1)) exp(−y)dy 0

Passo 3 integraremos y considerando a variável:  na variável 1  I = (1 − exp(−1)) − exp(−y) 0

Substituindo os limites de integração temos: I = (1 − exp(−1)) (− exp(−1) − (− exp(−0))) Efetuando os cálculos temos:

21

Integrais Duplas I = (1 − exp(−1))2 

OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D.

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7) Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na

Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7). Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-

22

Cálculo III

AULA

mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a

1

variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: Z bZ

Z Z

b(x)

f (x, y)dydx

f (x, y)dxdy = D

a

a(x)

Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig. 1.8) dada por f (x, y) = y(3x − x2 − y) e determine a integral duZ Z pla I = f (x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das R

curvas y = 0 e y = 3x − x2 .

Figura 1.8: Função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R: f (x, y) = x.y SOLUÇÃO: Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x − x2 (Fig. 1.9). Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e b(x) = 3x − x2 .

23

Integrais Duplas

Figura 1.9: Limites para o domínio D

A integral passa a ser escrita como: Z Z Z 3 Z 3x−x2 I= f (x, y)dxdy = y(3x − x2 − y)dydx 0

0

Operando no integrando fazendo o produto por y temos: Z 3 Z 3x−x2 I= (y(3x − x2 ) − y 2 )dydx 0

0

Passo 3 efetuando a integração em y temos: Z 3 2 y y 3 3x−x2 I= ( (3x − x2 ) − ) dx 2 3 0 0 Substituindo os limit3es de integração temos: Z 3 (3x − x2 )2 (3x − x2 )3 I= ( (3x − x2 ) − )dx 2 3 0 Efetuando as simplificações teremos: Z 3 (3x − x2 )3 I= dx 6 0 Expandindo o binômio de Newton temos: Z 1 3 I= (27x3 − 27x4 + 9x5 − x6 )dx 6 0 Passo 4 efetuando a integração em x temos: 1 x4 x5 x6 x7 3 I = (27 − 27 + 9 − ) 6 4 5 6 7 0 Substituindo os limit3es de integração temos: 1 34 35 36 37 I = (27 − 27 + 9 − ) 6 4 5 6 7 Efetuando os cálculos, garantido muito trabalho, temos:

24

Cálculo III

I=

1.8

AULA

1

729  280

Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:

Integração Dupla: Domínios retangulares Considerando uma função f : R 7→ R onde R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2 . Podemos cobri-lo com uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xn = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , ym = d} são partições dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A malha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj ∆yk onde ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij = [xj−1 , xj ] e Jk = [yk−1 , yk ] respectivamente. Defini-se a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ). Toma-se um ponto (ξj , ζk ) ∈ 1≤j≤n 1≤k≤m

25

Integrais Duplas [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte soma de Riemann:

Snm =

n X m X

f (ξj , ζk )∆Ajk

j=1 k=1

A integral dupla da função f (x, ) sobre o retângulo R, denotada Z Z f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: R

Z Z

def

f (x, y)dxdy = lim Snm |P |→0

R

Integração Dupla: Domínios não Retangulares Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, começamos por considerar uma função F definida em um domí2 nio retangular R = {(x, y)  ∈ R |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal  f (x, y) , (x, y) ∈ D que D ⊂ R e F (x, y) = . Formalmente  0 , (x, y) ∈ /D F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f (x, y). A partir

daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da integral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral dupla de uma função f (x, y) em um domínio não retangular D por:

Z Z

def

f (x, y)dxdy = lim Smn |P |→0

D

onde: Smn =

Pm Pn j=1

k=1 F (ξj , ζk )∆Ajk .

é a soma de Riemann

para F (x, y)

Integrais Iteradas As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =

26

Cálculo III

AULA

[a, b] × [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram

1

o valor da integral dupla, que pode ser representada por: Z c

d Z b

 Z b Z f (x, y)dx dy = a

a

d

 f (x, y)dy dx

c

. Propriedades das Integrais Duplas As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as seguintes propriedades: Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: Z Z

Z Z cf (x, y)dxdy = c D

f (x, y)dxdy D

Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: Z Z

Z Z

Z Z

(f + g)(x, y)dxdy = D

f (x, y)dxdy + D

g(x, y)dxdy D

Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale: Z Z f (x, y)dxdy ≥ 0 D

27

Integrais Duplas

Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: Z Z

Z Z f (x, y)dxdy ≥ D

g(x, y)dxdy D

Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de curvas em R2 , então vale: Z Z

Z Z

Z Z

f (x, y)dxdy = D

f (x, y)dxdy + A

f (x, y)dxdy B

Determinação dos Limites de Integração Para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes passos: Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7) Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).

28

Cálculo III

AULA

Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na

1

direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta AB através da região D. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: Z bZ

Z Z

b(x)

f (x, y)dxdy = D

f (x, y)dydx a

a(x)

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na integração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma integral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio de forma geométrica mais simples.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais duplas.

ATIV. 1.1. Seja f : [−1, +1] × [−1, +1] 7→ R dada por f (x, y) =

29

Integrais Duplas x2

+

y2.

Z Z f (x, y)dxdy.

Determine a integral dupla R

Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 1.2. Seja f : D ⊂ R2 7→ R dada por f (x, y) = x2 + y 2 , onde D = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 }.

Z Z • Determine os limites da integral dupla

f (x, y)dxdy, D

• esboce a região de integração e Z Z • calcule a integral dupla f (x, y)dxdy. D

Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,

30

Cálculo III 2003.

AULA

1

KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

31

AULA

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas META: Introduzir mudança de variáveis em integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Calcular o jacobiano de aplicações de R2 em R2 . Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 utilizando mudança de variáveis. Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 em coordenadas polares. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01.

2

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

2.1

Introdução

Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As Z Z vezes, na integral dupla f (x, y)dxdy, dada a natureza ou de HISTÓRIA O teorema de mudança de variáveis em integrais duplas foi primeiro proposto por Euler quando ele desenvolveu a noção de integral dupla em 1769. Usado por Legendre, Laplace e Gauss, foi primeiramente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (cerca de 125 anos). E foi satisfatóriamente demonstrado por Elie Cartan em uma série de artigos nos anos 1890.

D

f (x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas cartesianas.

2.2

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em integrais simples. Considere uma função f : [a, b] 7→ R. A idéia é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relacionadas por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que podemos inverter a mudança de variáveis. Seja F (x) uma anti-derivada de f (x) tal que F 0 (x) = f (x). Então, da regra da cadeia temos: d F (g(ξ)) = F 0 (g(ξ))g 0 (ξ) = f (g(ξ))g 0 (ξ). dξ Integrando com respeito a ξ temos: Z Z d F (g(ξ))dξ = f (g(ξ))g 0 (ξ)dξ dξ Das propriedades da integral temos: Z F (g(ξ)) + C = f (g(ξ))g 0 (ξ)dξ Como x = g(ξ) temos: Z F (x) + C = f (g(ξ))g 0 (ξ)dξ

34

Cálculo III

AULA

Como F (x) é uma primitiva de f (x) a primeira expressão é a in-

2

tegral indefinida de f (x) com respeito a x e temos: Z Z f (x)dx = f (g(ξ))g 0 (ξ)dξ Que representa a mudança de variáveis em uma integral simples. Para integrais definidas, se c = g(a) e d = g(b) então: Z d Z b f (g(ξ))g 0 (ξ)dξ f (x)dx = a

c

A expressão acima funciona bem quando g(ξ) é crescente neste caso a < b e c < d. Porém, no caso de g(ξ) decrescente (g 0 (ξ) < 0) pois neste caso a < b e d < c e portanto o limite inferior da segunda integral não conhecide com o limite inferior do intervalo da imagem de g(ξ) o mesmo acontecendo com o limite superior. Neste caso, usando as propriedades da integral simples temos: Z b Z c f (x)dx = − f (g(ξ))g 0 (ξ)dξ a

d

De outra forma escrevemos: Z b Z c f (x)dx = f (g(ξ))|g 0 (ξ)|dξ. a

d

e operaremos os limites inferiores e superiors das integrais como os limites inferiores e superiores dos domínios (intervalos) e a expressão acima vale tanto pra g(ξ) crescente quanto decrescente. Vamos agora diretamente ao assunto dando uma argumentação heurística para a expressão da mudança de variáveis em integrais duplas. Z Z Para isto, consideremos a integral dupla f (x, y)dxdy sobre D

uma região D ∈ R2 do plano (x, y) e a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja a imagem do domínio D0 do plano (u, v) (podemos expressar este fato como D = T (D0 )). Mais especificamente podemos escrever: x = x ˆ(u, v) e y = yˆ(u, v) tomando uma partição para o domínio D0 no plano

OBSERVAÇÃO heurística heu.rís.ti.ca sf (gr heuristiké) 1 Ciência ou arte do procedimento heurístico. 2 Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus próprios meios. 3 Ramo da ciência histórica que consiste na pesquisa dos documentos do passado.

(u, v) cobrindo-o com pequenos retângulos e usando a transformação T podemos levar o pequeno retângulo A0jk na pequena figura

35

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas plana Ajk = T (A0jk ) (ver Fig 2.1 e Fig 2.2). A área do pequeno retângulo no plano (u, v) é ∆A0jk a área da pequena figura Ajk no plano (x, j), e ai é que reside a argumentação heurística, será apro∂T ximada pela área do paralelogramo formado pelos vetores ∆vk ∂v ∂T e ∆uj e pelas linhas tracejadas (paralelas aos respectivos veto∂u res). Do calculo vetorial temos: ∂T ∂x ˆ ∂ yˆ ∆uj = ∆uj~i + ∆uj~j + 0~k. ∂u ∂u ∂u ∂T ∂x ˆ ∂ yˆ ∆vk = ∆vk~i + ∆vk~j + 0~k ∂v ∂v ∂v Vistos como vetores de R3 e a área do paralelogramo (ver Vetores e Geometria Analítica) dada pelo módulo do seguinte produto vetorial: ∂T ∂T ∆uj × ∆vk . ∆Ajk = ∂u ∂v Fazendo o cálculo do produto vetorial temos:   ~k ~i ~j    ∂x  ˆ ∂ y ˆ ∂T ∂T ∆uj ∆uj 0  ∆uj × ∆vk = det    ∂u ∂u ∂v  ∂u  ∂ yˆ ∂x ˆ ∆vk ∆vk 0 ∂v ∂v Fazendo os cálculos temos:  ∂x ∂T ∂T ˆ ∂ yˆ ∂ x ˆ ∂ yˆ  ∆uj × ∆vk = − ∆uj ∆vk~k. ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u Tomando o módulo da expressão acima, para a área de Ajk , temos: ∂x ˆ ∂ yˆ ˆ ∂ yˆ ∂ x − ∆Ajk ≈ ∆uj ∆vk . ∂u ∂v ∂v ∂u A expressão dentro do módulo é o determinante de uma matrix 2 × 2 conhecida como jacobiano da transformação x = x ˆ(u, v) e y = yˆ(u, v) e denotado:   ∂x ˆ ∂ yˆ ∂x ˆ ∂ yˆ ∂ x ˆ ∂ yˆ ∂(x, y)  ∂u  = det  ∂u − . = ∂ x ˆ ∂ y ˆ ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v ∂v Como a área do pequeno retângulo A0jk é dada por ∆A0jk = ∆uj ∆vk temos: ∂(x, y) ∆Ajk ≈ ∆A0jk . ∂(u, v)

36

Cálculo III

AULA

2

Figura 2.1: Plano (u, v)

Figura 2.2: Plano (x, y)

O que nos leva a considerar a seguinte fórmula para a mudança de variáveis em integrais duplas: Z Z Z Z ∂(x, y) f (x, y)dxdy = f (ˆ x(u, v), yˆ(u, v)) dudv. ∂(u, v) D D0 Que representa a mudança de variáveis na integral dupla pela transformação (x, y) = T (u, v). OBS 2.1. Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x ˆ(r, ϑ) = r cos(ϑ) e y =yˆ(r, ϑ) = r sin(ϑ), o jacobiano é dado por:    ∂x ˆ ∂ yˆ cos(ϑ) sin(ϑ) ∂(x, y)  ∂r ∂r    = r. = det  ∂ x ˆ ∂ yˆ  = det ∂(r, ϑ) −r sin(ϑ) r cos(ϑ) ∂ϑ ∂ϑ ∂(x, y) Portanto o jacobiano da transformação = r a mudança de ∂(r, ϑ) variáveis na integral dupla toma a forma: Z Z Z Z f (x, y)dxdy = f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ. D

D0

OBS 2.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D em coordenadas polares.

37

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~r (ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3) Passo 3 Deslocar o raio ~r (ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (diNOTA

reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando

Por convenção a medida de ângulo tem sinal positivo quando o deslocamento é feito na direção anti-horária, direção contrária ao movimento dos ponteiros do relógio e tem sinal negativo quando o deslocamento é feito na direção horária, direção do movimento dos ponteiros do relógio.

Figura 2.3: Determinação prática dos limites para D o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3). Passo 4 Deslocar o raio ~r (ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3). Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio ~r (ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~r (ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio ~r (ϑ) sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: Z Z

Z

β

Z

β(ϑ)

f (x, y)dxdy = D

38

f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ α

α(ϑ)

AULA

Cálculo III

2.3

2

Alguns Exemplos

Caros alunos, nesta seção ilustraremos, com dois exemplos, a mudança de variáveis em integrais duplas. A rigor, trataremos apenas de exemplos em coordenadas polares. Z Z f (x, y)dxdy onde

Exemplo 2.1. Determinar a integral dupla D

D = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 + y 2 ≤ 1} e f (x, y) = exp(−x2 − y 2 ). O domínio da função representa um quarto de disco (Fig 2.4).

Figura 2.4: Gráfico do exemplo 1 SOLUÇÃO: Passo 1 Como o domínio D é um quarto de disco, o mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla π em coordenadas polares (Fig 2.5) e verificar que: α = 0, β = , 2 α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 1. Neste caso podemos descrever o domínio como: D0 = {(r, ϑ) ∈ R2 |0 ≤ r ≤ 1 ∧ 0 ≤ ϑ ≤ π/2}. E como x = r cos(ϑ) e y = r sin(ϑ) e

39

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Figura 2.5: Gráfico do exemplo 1

∂(x, y) = r. o módulo do jacobiano da transformação é dado por: ∂(r, ϑ) Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, π/2] ( a variação de ângulo no primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como: Z Z Z 1 Z π/2 I= f (x, y)dxdy = f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr SubsD

0

0

tituindo f (x, y) temos: Z 1 Z π/2 I= exp(−(r cos(ϑ))2 − (r sin(ϑ))2 )rdϑdr 0

0

Efetuando as simplificações temos: Z 1 Z π/2 I= exp(−r2 )rdϑdr 0

0

Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o integrando não depende de ϑ temos: Z 1 π/2 I= exp(−r2 )ϑ rdr 0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z 1 I = π/2 exp(−r2 )rdr 0

Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mudança de variáveis pondo ξ = r2  deste modo  temos: dξ = 2rdr  1  1 1 ou seja rdr = − dξ e os limites r eξ . Daí, a integral  0  0 2

40

Cálculo III passará a forma: Z 1 I = π/4 exp(−ξ)dξ

AULA

2

0

Cuja integração é fácil e da forma: 1 I = π/4 − exp(−ξ) 0

Efetuando os cálculo temos: π I = (1 − exp(−1))  4

Vamos agora, diretamente ao nosso segundo exemplo. Trata-se de uma curva já conhecida de vocês (Cálculo II) a lemniscata. Exemplo 2.2. Determinar a área da região D, a parte da lemnisp cata, r = cos(2ϑ), que situa-se no primeiro quadrante. ver parte cinza da (Fig 2.6).

Figura 2.6: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Passo 1

Como o domínio D é um quarto de uma lemniscata, o

mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla em coordenadas polares (Fig 2.7) e verificar que: α = 0,

41

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas β=

p π , α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = cos(2ϑ). 4

Figura 2.7: Gráfico do exemplo 2 Neste caso podemos descrever o domínio como: D0 = {(r, ϑ) ∈ p R2 |0 ≤ ϑ ≤ π/4 ∧ 0 ≤ r ≤ cos(2ϑ)}. E como, neste exemplo, queremos calcular área temos que f (x, y) = 1 e em coordenadas polares podemos escrever na forma da seguinte integral dupla: Z Z Z π/4 Z √cos(2ϑ) A= rdrdϑ dxdy = D

0

0

Integrando em√r temos: Z π/4 2 r cos(2ϑ) A= dϑ 2 0 0 Substituindopos limites de integração temos:
2 Z π/4 cos(2ϑ) dϑ A= 2 0 Simplificando o integrando temos: Z π/4 cos(2ϑ) A= dϑ 2 0 Integrando na variável ϑ temos: sin(2ϑ) π/4 A= 4 0 Substituindo os limites de integração temos: sin(π/2) − sin(0) A= 4 Portanto: 1 A=  4

42

Cálculo III

AULA

2 OBS 2.3. Caros alunos, é muito importante neste ponto uma revisão cuidadosa e detalhada dos dois exemplos dados acima. Efetuar uma mudança de varáveis em integrais duplas não é tão simples quanto efetuar uma mudança de variáveis em integrais simples.

2.4

Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a mudança de variáveis em integrais dupla, nos permite, facilitar o cálculo das ditas integrais quando trabalhamos com domínios de integração de geometrias específicas, como a induzida pelas coordenadas polares.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos:

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Consideramos a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja transformado no domínio D0 do plano (u, v) (D = T (D0 )) e mais especificamente x = x ˆ(u, v) e y = yˆ(u, v). ∂(x, y) Definindo o jacobiano da transformação, denotado , por: ∂(u, v)   ∂x ˆ ∂ yˆ ∂(x, y) ∂x ˆ ∂ yˆ ∂ x ˆ ∂ yˆ  ∂u  = det  ∂u − . = ∂ x ˆ ∂ y ˆ ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v ∂v Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en integrais duplas:

43

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Z Z

Z Z f (x, y)dxdy = D

∂(x, y) f (ˆ x(u, v), yˆ(u, v)) dudv. ∂(u, v) 0 D

Sistema de Coordenadas Polares Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares no cálculo de integrais duplas temos: (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x ˆ(r, ϑ) = r cos(ϑ) e y = yˆ(r, ϑ) = r sin(ϑ). Vale a seguinte transformação de variáveis: Z Z

Z Z f (x, y)dxdy = D

f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ. D0

Determinação dos Limites de Integração em Coordenadas Polares Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D em coordenadas polares. Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~r (ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3) Passo 3 Deslocar o raio ~r (ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (direção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3). Passo 4 Deslocar o raio ~r (ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3). Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio

44

Cálculo III

AULA

~r (ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função

2

α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~r (ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio ~r (ϑ) sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: Z Z

Z

β

Z

β(ϑ)

f (x, y)dxdy = D

f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ α

α(ϑ)

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplicações da integral dupla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo do centro de massa de perfis planos bem como no cálculo de seus momentos de inércia.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões.

ATIV. 2.1. Determine a área da parte da cardióide r(ϑ) = 1 + cos(ϑ) que fica acima do eixo dos x (Fig 2.8) que está em cinza. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção os

exemplos acima, eles lhe servirão de guia. ATIV. 2.2. Determine a área entre a cardióide r(ϑ) = 1+cos(ϑ) e o círculo r(ϑ) = 1 acima do eixo do x (Fig 2.9) que está em cinza. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção os

exemplos acima, eles lhe servirão de guia.

45

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Figura 2.8: Atividade 1

Figura 2.9: Atividade 2

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

46

AULA

Algumas Aplicações da Integral Dupla META: Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Determinar área, massa, centro de massa, momento de massa e momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01 e aula 02.

3

Algumas Aplicações da Integral Dupla

3.1

Introdução

Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as integrais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade. Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET

3.2

Preliminares

Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial (massa por unidade de superfície) %(x, y), ∀(x, y) ∈ D. Determinação da massa Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio retangular R = {(x, y)  ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤  %(x, y) , (x, y) ∈ D y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) = .  0 , (x, y) ∈ /D Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d}. Tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann:

Smn =

m X n X j=1 k=1

48

Φ(ξj , ζk )∆Ajk .

AULA

Cálculo III A massa da região D, denotada m(D), será a integral dupla da funZ Z 2 ção %(x, y) sobre o domínio D ⊂ R , denotada %(x, y)dxdy

3

D

será então definida como o seguinte limite: Z Z def %(x, y)dxdy = lim Smn m(D) = |P |→0

D

.

OBS 3.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a seguinte soma de Riemann: Smn =

m X n X

g(ξj , ζk )Φ(ξj , ζk )∆Ajk

j=1 k=1

onde g(ξj , ζk ) é a aceleração da gravidade no ponto (ξj , ζk ). E o peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral dupla: Z Z def p(D) = g(x, y)%(x, y)dxdy = lim Smn |P |→0

D

.

Determinação do Momento de Massa Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y). Para calcular o momento de massa de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk . O momento de massa total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann:

Smn =

m X n X

ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk

j=1 k=1

. O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada

49

Algumas Aplicações da Integral Dupla pelo limite: Z Z

def

x%(x, y)dxdy = lim Smn

My (D) =

|P |→0

D

.

De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: Smn =

m X n X

ζk Φ(ξj , ζk )∆Ajk

j=1 k=1

. O momento de massa da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite: Z Z Mx (D) =

def

y%(x, y)dxdy = lim Smn D

|P |→0

.

Determinação do Centro de Massa O centro de massa de uma região plana D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial %(x, y), ∀(x, y) ∈ D, é o ponto (¯ x, y¯)Zdefinido por: Z x ¯=

My (D) = Z ZD m(d)

x%(x, y)dxdy %(x, y)dxdy

D

Z Z Mx (D) y¯ = = Z ZD m(d)

y%(x, y)dxdy %(x, y)dxdy

D

Determinação do Momento de Inércia Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa

50

Cálculo III

AULA

de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y).

3

Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξj2 Φ(ξj , ζk )∆Ajk . O momento de inércia total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann:

Smn =

m X n X

ξj2 Φ(ξj , ζk )∆Ajk

j=1 k=1

. O momento de inércia da região D em relação ao eixo y será dada pelo limite: Z Z

def

x2 %(x, y)dxdy = lim Smn

Iy (D) =

|P |→0

D

.

De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: Smn =

m X n X

ζk2 Φ(ξj , ζk )∆Ajk

j=1 k=1

. O momento da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite: Z Z

def

y 2 %(x, y)dxdy = lim Smn

Ix (D) = D

|P |→0

.

O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte integral dupla:

51

Algumas Aplicações da Integral Dupla

Z Z

(x2 + y 2 )%(x, y)dxdy

I0 (D) = D

.

3.3

Algumas Aplicações da Integral Dupla

Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro de massa de duas figuras planas. Na primeira usaremos o sistema de coordenadas cartesiano. Na segunda usaremos uma mudança de variáveis para o sistema de coordenadas polares. Vamos aos nossos exemplos.

Exemplo 3.1. Para o primeiro exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região triangular D dada pela interseção das retas x = 0, y = 0 e a reta que passa pelos pontos (0, a) e (b, 0) com a, b > 0 (Fig 3.1), cuja densidade superficial de massa é constante %(x, y) = %.

Figura 3.1: Gráfico do exemplo 1

52

AULA

Cálculo III

3

SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspeciox
nando a (Fig 3.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b 1 − . a Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respectivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx (D) e My (D) respectivamente. Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: Z Z Z a Z b(1−x/a) m(D) = %(x, y)dxdy = %dydx 0

D

0

Integrando em y temos: Z a b(1−x/a) m(D) = % y dx 0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z a x
m(D) = % b 1 − dx a 0 Integrando em x temos: x2
a m(D) = %b x − 2a 0 Substituindo os limites de integração temos: a2
m(D) = %b a − 2a Simplificando temos: ab m(D) = % 2 Passo 2 calcular o momento de massa Mx (D) dado pela integral dupla: Z Z Mx (D) =

%(x, y)ydxdy D

Substituindo os limites temos: Z Z Z Mx (D) = %(x, y)ydxdy = D

0

a Z b(1−x/a)

%ydydx 0

Integrando em y teremos: Z a 2 y b(1−x/a) dx Mx (D) = % 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: Z a (b(1 − x/a))2 Mx (D) = dx 2 0 Simplificando o integrando temos:

53

Algumas Aplicações da Integral Dupla a

b2 b2 x b2 x2
dx − + 2 a 2a2 0 Integrando em x teremos: b2 x b2 x2 b2 x3
a Mx (D) = % − + 2 2a 6a2 0 Substituindo os limites de integração temos: b2 a b2 a2 b2 a3
Mx (D) = % − + 2 2a 6a2 Simplificando as frações temos: b2 a Mx (D) = % 6 Passo 3 calcular o momento de massa My (D) dado pela integral Z

Mx (D) = %

dupla: Z Z My (D) =

%(x, y)xdxdy Z ZD

My (D) =

%(x, y)xdxdy D

Substituindo os limites temos: Z Z Z My (D) = %(x, y)xdxdy = D

0

a Z b(1−x/a)

%xdydx 0

Integrando em y teremos: Z a b(1−x/a) %xy dx My (D) = 0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z a x
My (D) = %bx 1 − dx a 0 Integrando em x teremos: x2 x3
a My (D) = %b − 2 3a 0 Substituindo os limites de integração temos: a3
a2 − My (D) = %b 2 3a Simplificando as frações temos: ba2 My (D) = % 6 Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: My (D) Mx (D) x ¯= e y¯ = . m(D) m(D) Usando os resultados anteriores temos:

54

Cálculo III ba2 b2 a % x ¯ = 6 e y¯ = 6 ab ab % % 2 2 Simplificando temos: a b x ¯ = e y¯ =  3 3 %

AULA

3

Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de coordenadas polares facilita os cálculos. Exemplo 3.2. Para o segundo exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região D dada pelo quarto da coroa circular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro quadrante (Fig 3.2), cuja densidade superficial de massa é constante %(x, y) = %.

Figura 3.2: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 3.2) e verificando que 0 ≤ ϑ ≤ π/2 e a ≤ r ≤ b. Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respectivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx (D) e My (D) respectivamente.

55

Algumas Aplicações da Integral Dupla Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: Z Z Z π/2 Z b m(D) = %(x, y)dxdy = %rdrdϑ D

0

a

Integrando em r temos: Z π/2 2 r b % dϑ m(D) = 2 a 0 Substituindo os limites de integração temos: Z π/2 2 b a2
m(D) = % dϑ − 2 2 0 Integrando em ϑ temos: b2 a2
π/2 m(D) = % − ϑ 2 2 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 m(D) = %π(b2 − a2 ) 4 Passo 2 calcular o momento de massa Mx (D) dado pela integral dupla: Z Z Mx (D) =

%(x, y)ydxdy D

Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que y = r sin(ϑ) temos: Z Z Z Mx (D) = %(x, y)ydxdy = D

0

π/2 Z b

%r sin(ϑ)rdrdϑ a

Integrando em r temos: Z π/2 r3 b sin(ϑ) dϑ Mx (D) = % 3 a 0 Substituindo os limites de integração temos: Z π/2 b3 a3
− dϑ Mx (D) = % sin(ϑ) 3 3 0 Integrando em ϑ temos: π/2 b3 a3
Mx (D) = % − (− cos(ϑ)) 3 3 0 Substituindo os limites de integração temos: b3 a3
Mx (D) = % − (− cos(π/2) − − cos(0)) 3 3 Simplificando temos: 1 Mx (D) = %(b3 − a3 ) 3 Passo 3 calcular o momento de massa My (D) dado pela integral dupla:

56

AULA

Cálculo III

3

Z Z My (D) =

%(x, y)xdxdy Z ZD

My (D) =

%(x, y)xdxdy D

Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que x = r cos(ϑ) temos: Z Z Z %(x, y)ydxdy = Mx (D) = D

0

π/2 Z b

%r cos(ϑ)rdrdϑ a

Integrando em r temos: Z π/2 r3 b Mx (D) = % cos(ϑ) dϑ 3 a 0 Substituindo os limites de integração temos: Z π/2 b3 a3
Mx (D) = % cos(ϑ) − dϑ 3 3 0 Integrando em ϑ temos: π/2 b3 a3
− (sin(ϑ)) Mx (D) = % 3 3 0 Substituindo os limites de integração temos: b3 a3
− (sin(π/2) − sin(0)) Mx (D) = % 3 3 Simplificando temos: 1 Mx (D) = %(b3 − a3 ) 3 Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: My (D) Mx (D) x ¯= e y¯ = . m(D) m(D) Usando os resultados anteriores temos: 1 3 %(b − a3 ) 3 x ¯ = y¯ = 1 %π(b2 − a2 ) 4 Levando em conta que b3 − a3 = (b − a)(b2 + ba + a2 ) e b2 − a2 = (b − a)(b + a) temos: 1 %(b − a)(b2 + ba + a2 ) 3 x ¯ = y¯ = 1 %π(b − a)(b + a) 4 Simplificando temos: 4 b2 + ba + a2 x ¯ = y¯ = .  3π b+a

57

Algumas Aplicações da Integral Dupla

3.4

Conclusão

Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras, algumas das mais importantes que são: a determinação da massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o momento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade.

RESUMO

Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia Dada uma região D ∈ R2 plana limitada com distribuição de densidade superficial %(x, y) podemos calcular a massa de D, o momento de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem, denotados respectivamente m(D), Mx (D), My (D), Ix (D), Iy (D) e I0 (D), pelas integrais duplas: Z Z m(D) = %(x, y)dxdy Z D Z Mx (D) = %(x, y)ydxdy Z ZD My (D) = %(x, y)xdxdy Z Z D Ix (D) = %(x, y)y 2 dxdy D

58

Cálculo III Z Z Iy (D) = Z ZD I0 (D) =

%(x, y)x2 dxdy e

AULA

3

%(x, y)(x2 + y 2 )dxdy

D

Centro de Massa Podemos também calcular o centro de massa, denotado (¯ x, y¯) usando as seguintes fórmulas: Z Z x%(x, y)dxdy My (D) D Z Z x ¯= = m(d) %(x, y)dxdy Z ZD y%(x, y)dxdy Mx (D) y¯ = = Z ZD m(d) %(x, y)dxdy D

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas. Primeiramente definindo-as para funções de domínios retangulares através do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções definidas em domínios não retangulares porém limitados.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades dois problemas de determinação do centro de massa.

ATIV. 3.1. Determine o centro de massa da região D dada pela interseção das retas y = 0, x = 1 e y = ax2 (Fig 3.3) região em cinza. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção as

59

Algumas Aplicações da Integral Dupla

Figura 3.3: Atividade 1

Figura 3.4: Atividade 2

demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas cartesianas. ATIV. 3.2. Determine o centro de massa da região D dada pelo semi-círculo superior x2 + y 2 = a2 (Fig 3.4) região em cinza. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção as

demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas polares.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.

60

Cálculo III

AULA

THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,

3

2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

61

AULA

Integrais triplas META: Apresentar integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir integral tripla e calcular algumas integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I.

4

Integrais triplas

4.1

Introdução

Caros alunos a quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dada HISTÓRIA A primeira técnica sistemática documentada para o cálculo de integrais triplas no cálculo de volume foi o método da exaustão de Eudoxus cerca de 370AC. O maior avanço no cálculo de integrais triplas veio do Iraque, no século 11, na figura de Ibn AL-Haythan (conhecido na Europa por Alhazen ). Enquanto resolvia o que ficou conhecido como “Problema de Alhazen” (um problema de ótica) ele calculou o volume de um parabolsóide usando um método de indução. Wikipédia.

por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. As características e detalhes próprios das integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas três aulas.

4.2

Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais

Começamos por considerar uma função φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f }. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três partições P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f } onde como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl , y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn . Desta forma cada um dos pequenos subintervalos Ii = [xi−1 , xi ], Jj =

64

Cálculo III

AULA

[yj−1 , yj ] e Kk = [zk−1 , zk ] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1 ,

4

∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1 , respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk . Como tanto ∆xi quanto ∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max (∆Vijk ), que corresponde 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n

ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos. Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre domínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann:

Slmn =

l X m X n X

φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk

i=1 j=1 k=1

A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, Z Z Z denotada φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o seR

guinte limite:

Z Z Z

def

φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn R

|P |→0

65

Integrais triplas

4.3

Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados

Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→ R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por considerar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal  φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D . Formalque D ⊂ R e Φ(x, y, z) =  0 , (x, y, z) ∈ /D mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R é uma extensão da função φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }. Do mesmo modo definimos a norma da partição por: |P | = max (∆Vijk ) onde ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk , 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n

∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1 . Tomamos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida Φ(x, y, z):

Slmn =

l X m X n X i=1 j=1 k=1

66

Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk

AULA

Cálculo III A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3 , Z Z Z denotada φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-

4

D

guinte limite: Z Z Z

def

φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . |P |→0

D

Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio D ⊂ R3 , contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi , ζj , ηk ) = 0.

4.4

Interpretação Geométrica

Quando a função φ : D ⊂ R3 7→ R é constante e igual a um (φ(x, y, z) = 1, ∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada, vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla Z Z Z dxdydz como o volume da região D ⊂ R3 . D

4.5

Integrais Iteradas

Dada uma função φ : R 7→ R onde R = [a, b] × [c, d] × [e, f ], do mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas:

Z Z Z φ(x, y, z)dxdydz =

1. R

a

Z Z Z φ(x, y, z)dxdydz =

2. R

Z bhZ c

Z bhZ a

e

dhZ f

i i φ(x, y, z)dz dy dx

e f hZ

d

i i φ(x, y, z)dy dz dx

c

67

Integrais triplas Z Z Z

dhZ bhZ f

Z φ(x, y, z)dxdydz =

3. R

c

Z Z Z

a

R

c

φ(x, y, z)dxdydz =

5.

e

R

φ(x, y, z)dxdydz =

6. R

e

i i φ(x, y, z)dx dz dy

a dhZ

c f

Z

Z Z Z

b

hZ

e f hZ

Z

Z Z Z

e

dhZ f

Z φ(x, y, z)dxdydz =

4.

i i φ(x, y, z)dz dx dy

b

i i φ(x, y, z)dx dy dz

a

hZ bhZ a

d

i i φ(x, y, z)dy dx dz

c

Em outras palavras, quando o domínio da integral tripla é paralelepipedal a ordem de integração não importa.

4.6

Propriedades das Integrais Triplas

Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem demonstração, alguma das propriedades das integrais triplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na bibliografia abaixo. Propriedade 4.1. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: Z Z Z

Z Z Z cf (x, y, z)dxdydz = c

f (x, y, z)dxdydz

D

D

Propriedade 4.2. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: Z Z Z

Z Z Z (f + g)(x, y, z)dxdydz =

f (x, y, z)dxdydz

D

Z Z

ZD

+

g(x, y, z)dxdydz D

68

Cálculo III

AULA

Propriedade 4.3. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores

4

reais integrável em D tal que f (x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: Z Z Z f (x, y, z)dxdydz ≥ 0 D

Propriedade 4.4. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: Z Z Z

Z Z Z f (x, y, z)dxdydz ≥

g(x, y, z)dxdydz D

D

Propriedade 4.5. Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de superfícies em R3 , então vale:

Z Z Z

Z Z Z f (x, y, z)dxdydz =

f (x, y, z)dxdydz

D

Z Z

ZA

+

f (x, y, z)dxdydz B

OBS 4.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “linearidade” do operador integral tripla. As terceira e quarta propriedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”.

4.7

Exemplos

Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exemplos e, vamos aqui fazer exatamente isto. Ilustrar o conceito de integral tripla com dois exemplos. Antes porém, vale observar

69

Integrais triplas que a na prática uma integral tripla equivale a três integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variáveis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral Z Z Z f (x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x, R

depois na variável y e por último na variável z. Já na integral Z Z Z f (x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z, R

depois na variável y e por último na variável x. Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] 7→ R dada por f (x, y) = x2 + y 2 + z 2 e determine a integral tripla Z Z I= f (x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ R

x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.

SOLUÇÃO: Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração: Z 1Z 1Z 1 I= (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz 0

0

0

Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e z como constantes:  Z 1Z 1 3 x I= + y 2 x + z 2 x dydz 3 0 0 Substituindo os limites de integração temos:  Z 1Z 1 13 03 I= − + y 2 (1 − 0) + z 2 (1 − 0) dydz 3 3 0 0 Efetuando os cálculos temos:  Z 1Z 1 1 2 2 I= + y + z dy 3 0 0 Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x como constante:

70

Cálculo III 1

 1 y3 1 2 y+ + z y dz I= 3 3 0 0 Substituindo os limites de integração temos:  Z 1 1 13 03 2 I= (1 − 0) + − + z (1 − 0) dz 3 3 3 0 Efetuando os cálculostemos: Z 1 1 1 + + z 2 dz I= 3 3 0 Passo  4 último passo,  integraremos na variável z: 1 1 z 3 1 I= z+ z+ 3 3 3 0 Substituindo os limites de integraçãotemos:  1 1 13 03 I= (1 − 0) + (1 − 0) + − 3 3 3 3 Efetuando os cálculos temos: 1 1 1 I= + + =1  3 3 3 Z

AULA

4

Figura 4.1: Determinação prática dos limites para D OBS 4.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não retangular da forma: D.

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região

71

Integrais triplas D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior e b(x) curva superior, como na AULA01. Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento r na Fig. 4.1) Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1). Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗ marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D∗ . Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orientado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto da superfície onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: Z bZ

Z Z Z

b(x) Z b(x,y)

f (x, y)dxdy = D

72

f (x, y, z)dzdydx a

a(x)

a(x,y)

AULA

Cálculo III

4 Vamos diretamente para um segundo exemplo de integral dupla sobre domínios não retangulares. A saber: Exemplo 4.2. Considere a função f : D ⊂ R3 7→ R dada por Z Z f (x, y, z)dxdydz f (x, y) = xyz e determine a integral dupla D

sobre a região D = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}, (Fig. 4.2).

Figura 4.2: Domínio D para o exemplo 2 SOLUÇÃO: Passo 1 faremos o desenho das superfícies que determinam os limites para a região D. A saber x = 0, x = 1, y = x2 , x = 0 e z = 1 (Fig. 4.2). Usando o processo prático exposto acima determinamos os limites de integração. A saber: a = 0, b = 1, a(x) = 0, b(x) = x2 , a(x, y) = 0 e b(x, y) = 1. Z 1 Z x2 Z 1 I= xyzdzdydx 0

0

0

Passo 2 integraremos na variável z considerando a variável y

73

Integrais triplas e x como uma constante:  Z 1 Z x2  z 2 1 I= xy dydx 2 0 0 0 Substituindo os limites de integração temos:  Z 1 Z x2  12 02 xy − xy ) dydx I= 2 2 0 0 Efetuando os cálculos temos: Z Z 2 1 1 x xydydx I= 2 0 0 Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x constante temos: Z 1 2 2 y x I= x dx 2 0 0 Substituindo os limites deintegração temos: Z  1 1 (x2 )2 02 I= x −x dx 2 0 2 2 Efetuando os cálculos temos: Z 1 1 5 x dx I= 4 0 Integrando finalmente , na variável x temos:  6 ,  1 1 x I= 4 6 0 Substituindo os  limites de integração temos:  1 16 06 − I= 4 6 6 1 Efetuando os cálculos temos: I =  24

4.8

Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a integral tripla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I e também uma extensão natural do conceito de integral dupla, vista em nossa primeira aula do curso de Cálculo III. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita por

74

Cálculo III

AULA

função positiva f (x) em um domínio [a, b] e a integral dupla pode

4

ser vista como o volume de um prisma reto limitado superiormente pela a superfície descrita por uma função positiva f (x, y) e limitado inferiormente pelo domínio [a, b] × [c, d], a integral tripla só tem interpretação geométrica no caso simples em que f (x, y, z) = 1. Neste caso a integral tripla representa o volume da região limitada D ⊂ R3 .

RESUMO

Integração Tripla: Domínios Paralelepipedais Considerando uma função φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f }. Podemos dividir R em pequenos paralelepípedos considerando os planos paralelos ao planos cartesianos gerados pela partição P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }. Os planos retalham a região R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk . A norma da partição fica estabelecida como: |P | = max (∆Vijk ). 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n

Toma-se um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann:

75

Integrais triplas

Slmn =

l X m X n X

φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk

i=1 j=1 k=1

A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, Z Z Z denotada φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o seR

guinte limite: Z Z Z

def

φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn |P |→0

R

Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→ R onde D é não paralelepipedal limitado, começamos por considerar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal que  φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D D ⊂ R e Φ(x, y, z) = . Formalmente  0 , (x, y, z) ∈ /D Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R é uma extensão da função φ(x, y, z). A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da integral tripla em domínios paralelepipedais. Podemos definir a integral tripla de uma função φ(x, y, z) em um domínio não retangular D por: Z Z Z

def

φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn |P |→0

D

onde Slmn =

Pl

i=1

Pm Pn j=1

k=1 Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk

é a soma de Rie-

mann para Φ(x, y, z. Integrais Iteradas As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] a ordem de execução das integrais simples não

76

Cálculo III

AULA

alteram o valor da integral tripla, que pode ser representada por:

4

Z Z Z φ(x, y, z)dxdydz =

1.

Z bhZ a

R

Z Z Z φ(x, y, z)dxdydz =

2.

a

φ(x, y, z)dxdydz = R

Z Z Z R

c

φ(x, y, z)dxdydz =

5. R

e

Z Z Z φ(x, y, z)dxdydz = R

b

hZ

i i φ(x, y, z)dx dz dy

a dhZ

c

e

i i φ(x, y, z)dz dx dy

e

b

i i φ(x, y, z)dx dy dz

a

f hZ bhZ

Z

6.

f

e f hZ

Z

i i φ(x, y, z)dy dz dx

c

dhZ f

φ(x, y, z)dxdydz = Z Z Z

d

hZ

a

Z

4.

f

e

c

i i φ(x, y, z)dz dy dx

e

dhZ bhZ

Z

3.

c

Z bhZ

R

Z Z Z

dhZ f

a

d

i i φ(x, y, z)dy dx dz

c

Propriedades das Integrais triplas As integrais triplas são, de certo modo, semelhantes às propriedades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais triplas têm, entre outras, as seguintes propriedades: Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: Z Z Z

Z Z Z cf (x, y, z)dxdydz = c D

f (x, y, z)dxdydz D

Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: Z Z Z

Z Z Z (f + g)(x, y, z)dxdydz = D

f (x, y, z)dxdydz Z Z ZD

+

g(x, y, z)dxdydz D

77

Integrais triplas Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: Z Z Z f (x, y, z)dxdydz ≥ 0 D

Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: Z Z Z

Z Z Z f (x, y, z)dxdydz ≥

g(x, y, z)dxdydz

D

D

Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de superfícies em R3 , então vale:

Z Z Z

Z Z Z f (x, y, z)dxdydz =

f (x, y, z)dxdydz

D

Z Z

ZA

+

f (x, y, z)dxdydz B

Determinação dos Limites de Integração para Integrais Triplas Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não retangular da forma: D.

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada

78

Cálculo III

AULA

D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior

4

e b(x) curva superior, como na AULA01.

Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento r na Fig. 4.1)

Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1).

Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗ marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1).

Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D∗ .

Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orientado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto da superfície onde o segmento de reta sai da região D.

79

Integrais triplas Nossa integral será efetuada assim: Z bZ

Z Z Z

b(x) Z b(x,y)

f (x, y)dxdy = D

f (x, y, z)dzdydx a

a(x)

a(x,y)

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na integração tripla. O objetivo da mudança de variáveis em uma integral tripla será a de facilitar esta integração de uma de duas formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio de forma geométrica mais simples.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais tríplas.

ATIV. 4.1. Seja f : [−1, +1] × [−1, +1] × [−1, +1] 7→ R dada por f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Determine a integral tripla: Z Z Z f (x, y, z)dxdydz. R

Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 4.2. Seja f : D ⊂ R3 7→ R dada por f (x, y, z) = 1, onde D = {(x, y, z) ∈ R3 |x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 − x2 }.

80

Cálculo III

AULA

4

• Esboce a região de integração • Determine os limites da integral tripla: Z Z Z f (x, y, z)dxdydz D

Z Z Z • Calcule a integral tripla

f (x, y, z)dxdydz. D

Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

81

AULA

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas META: Introduzir mudança de variáveis em integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Calcular integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 utilizando mudança de variáveis. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3 , de coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais triplas aula 04.

5

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas

5.1

Introdução

Caros alunos o problema da mudança de variáveis em integrais triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variáveis em integrais duplas. Analogias a parte, o fato de do espaço R3 ter uma dimensão a mais que o R2 , traz um esforço algébrico adicional ao tratamento geral da mudança de variáveis em integrais HISTÓRIA O teorema de mudança de variáveis em integrais tríplas foi primeiro proposto por Lagrange em 1773 e usado por Legendre, Laplace e Gauss, e primeiramente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (cerca de 125 anos). E foi satisfatóriamente demonstrado por Elie Cartan em uma série de artigos nos anos 1890.

triplas. Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis em integrais tripla que correspondem aos: sistemas de coordenadas cilíndricos e sistema de coordenadas esféricos.

5.2

Mudança de Variáveis em Integrais Triplas

Vamos considerar a integração de uma função f : D ⊂ R3 7→ R onde (x, y, z) ∈ D e conseqüentemente, ∀(x, y, z) ∈ D temos f (x, y, z) ∈ R. Consideraremos também, uma transformação T : D ⊂ R3 7→ D0 ⊂ R3 , biunívoca de modo que D = T −1 (D0 ), ∀(u, v, w) ∈ D0 , (x, y, z) = T −1 (u, v, w) ∈ D. Trocando em miúdos: x = x ˆ(u, v, w), y = yˆ(u, v, w) e z = zˆ(u, v, w). E suponhamos as funções contínuas ederiváveis e seu  ∂(x, y, z) x, y, z ou : finido por: J u, v, w ∂(u, v, w)  ∂x ˆ  ∂u    ∂x ∂(x, y, z) x, y, z ˆ J = = det   u, v, w ∂(u, v, w) ∂v  ∂ x ˆ ∂w

jacobiano, denotado J, de-

∂ yˆ ∂u ∂ yˆ ∂v ∂ yˆ ∂w

∂ zˆ ∂u ∂ zˆ ∂v ∂ zˆ ∂w

   .  

Suponhamos uma partição de D0 feita partindo de planos paralelos aos planos coordenados vw (u constante), uw (v constante) e uv (w constante). Denotando ui+1 = ui + ∆ui , vj+1 = vj + ∆vj e

84

Cálculo III

AULA

wk+1 = wk + ∆wk , destacamos o pequeno paralelepípedo indexado

5

por ijk, (Fig 5.1). Suponhamos que

Figura 5.1: Elemento de vo-

Figura 5.2: Elemento de vo-

lume em D0

lume em D

0 = ∆u ∆v ∆w seja este pequeno paralelepípedo de volume ∆Vijk i j k

mapeado por T −1 em um subdomínio em D de volume ∆Vijk (Fig 5.2). Seja: P = P (u, v, w) = (ˆ x(u, v, w), yˆ(u, v, w), zˆ(u, v, w)). Os segmentos de reta (u, vj , wk ), (ui , v, wk ) e (ui , vj , w) começando no ponto (ui , vj , wk ) são mapeados por T −1 em P (u, vj , wk ) P (ui , v, wk ) P (ui , vj , w) ver (Fig 5.2). ∂P No subdomínio Vijk ⊂ D traçamos os vetores tangentes ∆ui , ∂u ∂P ∂P ∆vj e ∆wk , ver (Fig 5.3). Em seguida traçamos segmentos ∂v ∂w de reta paralelos aos vetores tangentes completando um paralelepípedo em D, ver (Fig 5.4), cujo volume admitiremos aproximadamente igual ao ∆Vijk (esta é a argumentação heurística). Este volume é dado por:

∆Vijk

∂P ∂P ∂P ≈ ∆ui × ∆vj • ∆wk . ∂u ∂v ∂w

85

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Levando em conta que: ∂P ∂x ˆ ∂ yˆ ∂ zˆ~ = ~i + ~j + k ∂u ∂u ∂u ∂u ∂P ∂x ˆ ∂ yˆ ∂ zˆ = ~i + ~j + ~k ∂v ∂v ∂v ∂v ∂P ∂x ˆ~ ∂ yˆ ~ ∂ zˆ ~ = i+ j+ k ∂w ∂w ∂w ∂w e calculando o produto vetorial mixto teremos:

Figura 5.3: Elemento de vo-

Figura 5.4: Elemento de vo-

lume em D0

lume em D 

  ∂P ∂P ∂P ∆ui × ∆vj • ∆wk = det   ∂u ∂v ∂w 

∂x ˆ ∂u ∂x ˆ ∂v ∂x ˆ ∂w

∂ yˆ ∂u ∂ yˆ ∂v ∂ yˆ ∂w

∂ zˆ ∂u ∂ zˆ ∂v ∂ zˆ ∂w

    ∆ui ∆vj ∆wk  

Daí, levando em conta a expressão do jacobiano em R3 , dada acima, temos:

∆Vijk

∂(ˆ x, yˆ, zˆ) ≈ ∆ui ∆vj ∆wk ∂(u, v, w)

O que nos leva à seguinte expressão para a mudança de variáveis em integrais triplas: Z Z Z Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = D

86

F (u, v, w) |J| dudvdw D0

Cálculo III onde: F (u, v,w) = f (ˆ x(u, v, w), yˆ(u, v, w), zˆ(u, v, w)) e J é o jaco x ˆ, yˆ, zˆ . biano J = J u, v, w

5.3

AULA

5

Alguns Exemplos

Nesta seção veremos dois exemplos de integrais triplas com mudança de variáveis. No primeiro aplicaremos a mudança de variáveis dada pelo sistema de coordenadas cilíndricas e no segundo o sistema de coordenadas esféricas

Primeiramente veremos um exemplo em coordenadas cilíndricas. Antes porém, veremos como determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.

Figura 5.5: Coordenadas ci-

Figura 5.6: Coordenadas ci-

líndricas 1

líndricas 2

Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.5). Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.6).

87

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas À medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β]. Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)]. Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ) para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)].

Figura 5.7: Coordenadas ci-

Figura 5.8: Coordenadas ci-

líndricas 3

líndricas 4

Podemos agora encarar o nosso primeiro exemplo onde colocaremos

88

Cálculo III

AULA

em prática a determinação dos limites de integração em coordena-

5

das cilíndricas.

Exemplo 5.1. Considere o sólido gerado pela intersecção das superfícies: z = y + a, (plano) x2 + y 2 − 2ay = 0, (cilindro) e z = 0, (plano) (Fig 5.9) e determine seu volume.

Figura 5.9: exemplo 1

Superfícies do

Figura 5.10: Interseção das superfícies do exemplo 1

SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig 5.10) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na (Fig 5.11) as superfícies que compõem o sólido separadas no espaço.

Usaremos para o caso o sistema de coordenadas cilíndricas, dada pela transformação: (x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ) e z = z. O jacobiano da transformação é dado por:

89

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas

Figura 5.11: Domínio D para o exemplo 2

∂x ˆ  ∂r    ∂x x, y, z ˆ = det  J =J  r, ϑ, z  ∂ϑ ∂x ˆ ∂z Efetuando as derivadas parciais temos: 



cos(ϑ)

∂ yˆ ∂r ∂ yˆ ∂ϑ ∂ yˆ ∂z

sin(ϑ)

∂ zˆ ∂r ∂ zˆ ∂ϑ ∂ zˆ ∂z

0

     



    J = det  −r sin(ϑ) r cos(ϑ) 0    0 0 1 Fazendo as contas do determinante temos:

J =r Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos, vistos acima, para determinação dos limites de integração de uma integral tripla no sistema de coordenadas cilíndricas. Passo 1:

Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem

como sua projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), (ver Fig 5.10). A projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), conhecide com a superfície inferior do sólido, sendo o disco dado por x2 +y 2 −2ay ≤ 0.

90

Cálculo III

AULA

Passo 2: Os limites para r e ϑ são determinados em D∗ do mesmo

5

modo que para coordenadas polares em R2 . Neste caso 0 ≤ ϑ ≤ 2π e para r temos: que r vai de zero até a borda de D∗ que é dada por x2 + y 2 − 2ay = (r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2 − 2ar sin(ϑ) = 0. Daí, r2 − 2ar sin(ϑ) = r(r − 2a sin(ϑ)) = 0 Simplificando temos: 0 ≤ r ≤ 2a sin(ϑ). Passo 3:

Para determinar os limites para z. Por cada par

(r, ϑ) ∈ D∗ , traçamos uma reta paralela ao eixo z orientada no sentido positivo do eixo z atravessando o sólido. O limite inferior de z é o ponto onde a reta entra no sólido e o limite superior o ponto onde a reta sai do sólido. Neste caso: 0 ≤ z ≤ a + x ou como x = r cos(ϑ) temos: 0 ≤ z ≤ a + r cos(ϑ). Daí, o cálculo do volume de D será dado pela integral: 2π

Z

2a sin(ϑ) Z a+r sin(ϑ)

Z

V ol(D) =

rdzdrdϑ 0

0

0

Integrando na variável z temos: 2π

Z

Z

2a sin(ϑ)

V ol(D) = 0

a+r sin(ϑ) rz drdϑ 0

0

Substituindo os limites de integração temos: 2π

Z

2a sin(ϑ)

Z

r(a + r sin(ϑ) − 0)drdϑ

V ol(D) = 0

0

Fazendo as contas temos: Z

2π

Z

2a sin(ϑ)

V ol(D) = 0

(ar + r2 sin(ϑ))drdϑ

0

Integrando em na variável r temos: Z V ol(D) =

2π

(a 0

2a sin(ϑ) r2 r3 + sin(ϑ)) dϑ 2 3 0

91

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Substituindo o limite superior pois, o limite inferior por ser r = 0 não contribui, temos: Z 2π (2a sin(ϑ))2 (2a sin(ϑ))3 V ol(D) = (a + sin(ϑ))dϑ 2 3 0 Simplificando temos: 2π

Z

(2a3 sin2 (ϑ) +

V ol(D) = 0

8a3 sin4 (ϑ) )dϑ 3

Reescrevendo temos: V ol(D) = 2a

3

Z 0

2π

8a3 sin (ϑ)dϑ + 3 2

Z

2π

sin4 (ϑ)dϑ

0

Das tabelas de integrais temos: Z α sinn−1 (αu) cos(αu) sinn (αu)du = − an Z  n−1 + sinn−2 (αu)du n Z u sin(2αu) − sin2 (αu)du = 2 4α Dai, temos: Z ϑ sin(2ϑ) sin2 (ϑ)dϑ = − 2 4 Z Z 3 (ϑ) cos(ϑ) 3 sin 4 sin (ϑ)dϑ = − + sin2 (ϑ)dϑ 4 4   sin3 (ϑ) cos(ϑ) 3 ϑ sin(2ϑ) = − + − 4 4 2 4 Podemos agora calcular as integrais. Para a integral de sin2 (ϑ) temos: Z 0

92

2π

ϑ sin(2ϑ) 2π − 2 4 0 2π sin(4π) = + − 2 4 0 sin(0) − + 2 4 = π

sin2 (ϑ)dϑ =

AULA

Cálculo III Para a integral de sin4 (ϑ) temos:    Z 2π sin3 (ϑ) cos(ϑ) 3 ϑ sin(2ϑ) 2π 4 sin (ϑ)dϑ = − + − 4 4 2 4 0 0    3 sin (2π) cos(2π) 3 2π sin(4π) = + − + − 4 4 2 4    3 sin (0) cos(0) 3 0 sin(0) − − + − 4 4 2 4 3π = 4

5

Substituindo no cálculo de V ol(D) temos: V ol(D) = 2πa3 +

8a3 3π 3 4

= 4πa3  Em nosso segundo exemplo utilizaremos coordenadas esféricas, Antes porém, veremos como determinar os limites de integração em coordenadas esféricas.

Figura 5.12: Coordenadas es-

Figura 5.13: Coordenadas es-

féricas 1

féricas 2

Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.12).

93

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.13). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β]. Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar

Figura 5.14: Coordenadas es-

Figura 5.15: Coordenadas es-

féricas 3

féricas 4

a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)]. Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma ângulo ϕ

94

Cálculo III

AULA

com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig. 5.15). O

5

ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(ϑ, ϕ) para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)].

Podemos agora encarar o nosso segundo exemplo onde colocaremos em prática a determinação dos limites de integração em coordenadas esféricas.

Exemplo 5.2. Considere o sólido gerado pela interseção das sup p perfícies: z = x2 + y 2 (cone), z = a2 − x2 − y 2 (esfera)(Fig 5.16) e determine seu volume.

Figura 5.16: exemplo 2

Superfícies de

Figura 5.17: Interseção das superfícies de exemplo 2

SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig 5.17) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na (Fig 5.18) as superfícies que compõem o sólido separadas no espaço.

95

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas

Figura 5.18: Domínio D para o exemplo 2 Usaremos para o caso o sistema de coordenadas esféricas, dada pela transformação: (x, y, z) 7→ (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ), y = r sin(ϑ) cos(ϕ) e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação é dado por:  ∂x ˆ  ∂r    ∂x ˆ x, y, z J =J = det   r, ϑ, z  ∂ϑ ∂x ˆ ∂ϕ

∂ yˆ ∂r ∂ yˆ ∂ϑ ∂ yˆ ∂ϕ

∂ zˆ ∂r ∂ zˆ ∂ϑ ∂ zˆ ∂ϕ

     

Efetuando as derivadas parciais temos: 

cos(ϑ) cos(ϕ)

sin(ϑ) cos(ϕ)

sin(ϕ)

  J = det  −r sin(ϑ) cos(ϕ) r cos(ϑ) cos(ϕ) 0  −r cos(ϑ) sin(ϕ) −r sin(ϑ) sin(ϕ) r cos(ϕ)

    

Fazendo as contas do determinante temos:

J = r2 sin(ϕ) Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos na determinação dos limites de integração de uma integral tripla no sistema de

96

Cálculo III

AULA

5

Figura 5.19: Domínio D para o exemplo 2

coordenadas esféricas expostos acima. Passo 1:

Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem

como sua projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), ver (Fig 5.19). A projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), é dada por x2 + y 2 ≤ a2 . Passo 2:

Os limites para a variável ϑ são determinados em D∗

∗ como em um sistema √ de coordenadas polares. No caso como D é a temos que: 0 ≤ ϑ ≤ 2π. um disco de raio 2 Passo 3: Os limites para a variável ϕ são determinados em D

do seguinte modo: para cada valor fixo de ϑ, em D∗ , cortamos o domínio D por um plano que passa no eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x. Traçamos uma reta M que passa na origem, pertence ao plano ϑ e atravessa o domínio D. O ângulo ϕ é o ângulo formado por M e o eixo z positivo. Para o caso o menor valor é ϕ = 0, quando M conhecide com o eixo Z e o maior valor de ϕ em D p é quando M conhecide com a geratriz do cone z = x2 + y 2 e π ϕ= . 4 Passo 4: Os limites para a variável r são determinados em D

97

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas do seguinte modo: para cada par fixo ϑ, ϕ) percorremos a reta M partindo da origem. O limite inferior de r é o ponto onde a reta entra em D e o limite superior o ponto onde M sai de D. Para o nosso caso: 0 ≤ r ≤ a (a reta sai na superfície da esfera p z = a2 − x2 − y 2 . Podemos determinar o volume de D pela integral tripla: Z

2π

Z

π/4 Z a

V ol(D) = 0

0

r2 sin(ϕ)drdϕdϑ

0

Integrando primeiramente na variável r temos: Z 2π Z π/4 3 r a V ol(D) = sin(ϕ)dϕdϑ 3 0 0 0 Substituindo os limites de integração temos:  Z 2π Z π/4  3 a 03 V ol(D) = − sin(ϕ)dϕdϑ 3 3 0 0 Simplificando temos: a3 V ol(D) = 3

Z

2π

Z

π/4

sin(ϕ)dϕdϑ 0

0

Integrando na variável ϕ temos: Z π/4 a3 2π V ol(D) = − cos(ϕ) dϑ 3 0 0 Substituindo os limites de integração temos: Z a3 2π V ol(D) = (− cos(π/4) + cos(0)) dϑ 3 0 Simplificando temos: √ Z a3 2 − 2 2π dϑ V ol(D) = 3 2 0 Integrando na variável ϑ temos: √ a3 2 − 2 2π V ol(D) = ϑ 3 2 0

98

AULA

Cálculo III

5

Substituindo os limites de integração temos: √ a3 2 − 2 V ol(D) = (2π − 0) 3 2 Finalmente, simplificando temos: πa3 (2 − V ol(D) = 3

5.4

√

2)



Conclusão

Na aula de hoje, vimos que algumas vezes é conveniente fazer uma mudança nas variáveis de integração em uma integral tripla, para facilitar o cálculo da mesma. Vimos em particularmente duas mudanças de variáveis são muito importantes e correspondem aos: sistema de coordenadas cilíndricas e sistema de coordenadas esféricas.

RESUMO

Para o nosso resumo da aula 05 necessitamos algumas considerações iniciais para tratar da mudança de variáveis em integrais triplas. A saber: Consideramos a transformação (x, y, z) = T (u, v, w) tal que o domínio um ponto do domínio D ⊂ R3 , (x, y, z) seja transformado no ponto (u, v, w) do domínio D0 ⊂ R3 , (D = T (D0 )) e mais especificamente x = x ˆ(u, v, w), y = yˆ(u, v, w) e z = zˆ (u, v, w).Dex, y, z ou finindo o jacobiano da transformação, denotado J, J u, v, w ∂(x, y, z) , por: ∂(u, v, w)

99

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas

  J

x, y, z u, v, w



  ∂(x, y, z) = = det   ∂(u, v, w) 

∂ yˆ ∂u ∂ yˆ ∂v ∂ yˆ ∂w

∂x ˆ ∂u ∂x ˆ ∂v ∂x ˆ ∂w

∂ zˆ ∂u ∂ zˆ ∂v ∂ zˆ ∂w

     

Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en integrais duplas: Z Z Z

Z Z Z F (u, v, w) |J| dudvdw

f (x, y, z)dxdydz = D0

D

onde: F (u, v,w) = f (ˆ x(u, v, w), yˆ(u, v, w), zˆ(u, v, w)) e J é o jaco x ˆ, yˆ, zˆ biano J = J . u, v, w Sistema de Coordenadas Cilíndricas O sistema de coordenadas cilíndricas, dado pela transformação: (x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ) e z = z. O jacobiano da transformação é dado por: J = r e a integral tripla pela expressão: Z Z Z Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = D

F (r, ϑ, z)rdzdrdϑ D0

onde: F (r, ϑ, z) = f (r cos(ϑ), r sin(ϑ)z)

Sistema de Coordenadas esféricas O sistema de coordenadas esféricas, que é dado pela transformação: (x, y, z) 7→ (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ), y = r sin(ϑ) cos(ϕ) e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação é dado por: J = r2 sin(ϕ) e a integral tripla pela expressão: Z Z Z Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = F (r, ϑ, ϕ)r2 sin(ϕ)drdϕdϑ D

D0

onde: F (r, ϑ, ϕ) = f (r cos(ϑ) cos(ϕ), r sin(ϑ) cos(ϕ), r sin(ϕ))

100

Cálculo III

AULA

5 Determinação dos Limites para Integração em Coordenadas Cilíndricas Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas cilíndricas utiliza-se os seguintes passos:

Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.5).

Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.6). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].

Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].

Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ) para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)].

101

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas

Determinação dos Limites para Integração em Coordenadas Esféricas Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas esféricas utiliza-se os seguintes passos:

Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.12).

Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.13). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].

Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].

Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da va-

102

Cálculo III

AULA

riável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo

5

ϑ com o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma ângulo ϕ com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig. 5.15). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(ϑ, ϕ) para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)].

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplicações da integral tripla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo do centro de massa e momentos de inércia de sólidos gerados por intersecções de superfícies em R3 .

ATIVIDADES

Deixamos como atividades dois problemas envolvendo mudança de variáveis em integrais triplas.

ATIV. 5.1. Determine o volume do sólido formado pela intersecção das superfícies z = 0, z = 1 + x2 + 3y 2 e x2 + y 2 = 1. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

primeiro exemplo e use o sistema de coordenadas cilíndricas.

ATIV. 5.2. Seja D ⊂ R3 a região formada pela intersecção das superfícies z = 0 e x2 + yh2 + z 2 = 1 e f : R3 7→ R dada por

103

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Z Z Z f (x, y, z) = z. Determine a integral tripla

f (x, y, z)dxdydz. D

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o segundo exemplo e use o sistema de coordenadas esféricas.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

104

AULA

Algumas Aplicações das Integrais tríplas META: Apresentar algumas aplicações das integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Determinar o volume, o centro de massa momento de massa e o momento de inércia de alguns sólidos em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3 , coordenadas polares da disciplina Cálculo II, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas e integrais duplas aula 04 e aula 05.

6

Algumas Aplicações das Integrais tríplas

6.1

Introdução

Caros alunos, nossa sexta aula tem como objetivo introduzir algumas aplicações da integral tripla. Em particular veremos como calcular a massa de uma região D ⊂ R3 dada sua distribuição de densidade, bem como calcular, para a mesma, seu centro de gravidade e momentos de massa. É um bocado de cálculo, mais chegaremos lá.

6.2

Preliminares

Consideraremos uma região D ⊂ R3 finita, com uma distribuição de densidade (massa por unidade de volume) % : D 7→ R+ i.e. %(x, y, z) > 0, ∀(x, y, z) ∈ D.

Determinação da massa Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal que D ⊂ R e Φ(x, y, z) =  %(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D . Considerando a uma partição para  0 , (x, y, z) ∈ /D o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ], o produto cartesiano de partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b},x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl , P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d}, y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }, z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn . Tomamos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte

106

AULA

Cálculo III

6

soma de Riemann: l X m X n X Slmn = Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1

A massa da região D, denotada m(D), será a integral integral tripla da função %(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3 , dada por Z Z Z %(x, y, z)dxdydz e definida como o seguinte limite: D Z Z Z def %(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . m(D) = D

|P |→0

OBS 6.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a seguinte soma de Riemann: l X m X n X Slmn = g(ξi , ζj , ηk )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk , i=1 j=1 k=1

onde g(ξi , ζj , ηk ) é a aceleração da gravidade no ponto (ξi , ζj , ηk ). E o peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral tripla: Z Z Z

def

p(D) =

g(x, y, z)%(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . D

|P |→0

Determinação dos Momentos de Massa Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D ⊂ R3 limitada com distribuição de densidade %(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D. Para calcular o momento de massa de um pequeno paralelepípedo com relação ao plano coordenado yz tomamos o seguinte produto ξi Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . Aqui ξi representa uma aproximação da distância do pequeno paralelepípedo ∆ξi ∆ζj ∆ηk ao plano coordenado yz. O momento total em relação ao plano yz para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann:

107

Algumas Aplicações das Integrais tríplas

Slmn =

l X m X n X

ξi Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk .

i=1 j=1 k=1

O momento de massa da região D em relação ao plano yz, denotado Z Z Z x%(x, y, z)dxdydz Myz (D), será dado pela integral tripla D

definida pelo limite: Z Z Z def x%(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . Myz (D) = D

|P |→0

De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D em relação ao plano xz tomando-se a seguinte soma de Riemann: l X m X n X Slmn = ζj Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1

O momento de massa da região D em relação ao plano xz, denotado Z Z Z Mxz (D), será dado pela integral tripla y%(x, y, z)dxdydz D

definida pelo limite: Z Z Z def Mxz (D) = y%(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . D

|P |→0

E o momento de massa da região D em relação ao plano xy tomandose a seguinte soma de Riemann: l X m X n X Slmn = ηk Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1

O momento de massa da região D em relação ao plano xy, denoZ Z Z tado Mxy (D), será dado pela integral tripla z%(x, y, z)dxdydz D

definida pelo limite: Z Z Z def Mxy (D) = z%(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . D

|P |→0

Determinação dos Momentos de Inércia Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D ⊂ R3 limitada com distribuição de densidade %(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D. Para calcular, aproximadamente, o momento de inércia de um pequeno paralelepípedo com relação a uma

108

Cálculo III

AULA

reta r, tomamos o seguinte produto d2 (ξi , ζj , ηk )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk ,

6

onde d(ξi , ζj , ηk ) representa a distância do ponto (ξi , ζj , ηk ) à reta r.

Em particular a distância do ponto (ξi , ζj , ηk ) ao eixo x é q dada por: d(ξi , ζj , ηk ) = ζj2 + ηk2 e o momento de inércia do

pequeno paralelepípedo em relação ao eixo x será aproximado por: (ζj2 + ηk2 )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . O momento de inércia total em relação ao eixo x para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: l X m X n X Slmn = (ζj2 + ηk2 )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1

O momento de inércia da região D em relação ao eixo x, denotado Z Z Z Ix é dado pela integral (y 2 + z 2 )%(x, y, z)dxdydz calculada D

pelo limite: Z Z Z def Ix (D) = (y 2 + z 2 )%(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . |P |→0

D

De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo y tomando-se a seguinte soma de Riemann: l X m X n X Slmn = (ξi2 + ηk2 )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1

O momento de inércia da região D em relação ao eixo y, denotado Z Z Z Iy é dado pela integral (x2 + z 2 )%(x, y, z)dxdydz calculada D

pelo limite: Z Z Z def Iy (D) = (x2 + z 2 )%(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . D

|P |→0

Também chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo z tomando-se a seguinte soma de Riemann: Slmn = l X m X n X (ξi2 + ζj2 )Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk . i=1 j=1 k=1

O momento de inércia da região D em relação ao eixo z é dada pela Z Z Z integral (x2 + y 2 )%(x, y, z)dxdydz calculada pelo limite: D

109

Algumas Aplicações das Integrais tríplas Z Z Z

def

(x2 + y 2 )%(x, y, z)dxdydz = lim Slmn .

Iz (D) =

|P |→0

D

Determinação do Centro de Massa O centro de massa de uma região D ⊂ R3 finita, com uma distribuição de densidade mássica %(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, é o ponto (¯ x, y¯, z¯) definidoZpor: Z Z Myz (D) x ¯= = Z Z ZD m(d) Z Z Z y¯ =

x%(x, y, z)dxdydz , %(x, y, z)dxdydz

D

Mxz (D) = Z Z ZD m(d)

y%(x, y, z)dxdydz e

%(x, y, z)dxdydz Z Z ZD z%(x, y, z)dxdydz Mxy (D) z¯ = = Z Z ZD . m(d) %(x, y, z)dxdydz D

6.3

Algumas Aplicações da Integral Tripla

Faremos duas aplicações da integral tripla. A primeira refere-se ao cálculo do centro de massa de de um sólido gerado pela intersecção de superfícies, usando o sistema de coordenadas cartesiano. A segunda trata-se da determinação da massa e do momento de inércia Iz de um sólido gerado pela intersecção de superfícies, usando o sistema de coordenadas cilíndricas. Vamos aos nossos exemplos.

Exemplo 6.1. Considerando a intersecção das superfícies: x = 0, x = a, y = 0, y = x2 , z = 0 e z = x2 , (Fig 6.1), determinar sua massa e seu centro de massa levando en conta uma distribuição de densidade constante %(x, y, z) = %.

110

AULA

Cálculo III

6

Figura 6.1: Gráfico do exemplo 1

SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 6.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ x2 e 0 ≤ z ≤ x2 . Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respectivos momentos de massa com relação ao planos yz, xz e xy, respectivamente.

Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral tripla: Z Z Z Z a Z x2 Z x2 m(D) = %(x, y, z)dxdydz = %dzdydx D

0

0

0

Integrando em z temos: Z a Z x2 2 x m(D) = %z dydx 0

0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z a Z x2 m(D) = %(x2 − 0)dydx 0

0

Simplificando temos: Z a Z x2 m(D) = % x2 dydx 0

0

Integrando em y temos: Z a x2 m(D) = % x2 y dx 0

0

111

Algumas Aplicações das Integrais tríplas Substituindo os limites de integração temos: Z a m(D) = % x2 (x2 − 0)dx 0

Simplificando temos: Z a x4 dx m(D) = % 0

Finalmente, integrando em x temos: x5 a m(D) = % 5 0 Substituindo os limites de integração temos: a5 05
− m(D) = % 5 5 Simplificando temos: a5 m(D) = % 5 Passo 2 determinar o momento de massa relativo ao plano yz Myz (D), dada pela integral tripla: Z Z Z Z Myz (D) = %(x, y, z)xdxdydz = D

a Z x2

0

Integrando em z temos: Z a Z x2 x2 Myz (D) = %xz dydx 0

0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z a Z x2 Myz (D) = %x(x2 − 0)dydx 0

0

Simplificando temos: Z a Z x2 Myz (D) = % x3 dydx 0

0

Integrando em y temos: Z a x2 Myz (D) = % x3 y dx 0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z a Myz (D) = % x3 (x2 − 0)dx 0

Simplificando temos: Z a Myz (D) = % x5 dx 0

Finalmente, integrando em x temos:

112

Z

x2

%xdzdydx 0

0

AULA

Cálculo III

6

x6 a 6 0 Substituindo os limites de integração temos: a6 06
− Myz (D) = % 6 6 Simplificando temos: a6 Myz (D) = % 6

Myz (D) = %

Passo 3 determinar o momento de massa relativo ao plano xz Mxz (D), dada pela integral tripla: Z Z Z Z Mxz (D) = %(x, y, z)ydxdydz = D

a Z x2

0

Z

x2

%ydzdydx 0

0

Integrando em z temos: Z a Z x2 x2 Mxz (D) = %yz dydx 0

0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z a Z x2 Mxz (D) = %y(x2 − 0)dydx 0

0

Simplificando temos: Z a Z x2 Mxz (D) = % x2 ydydx 0

0

Integrando em y temos: Z a y 2 x2 Mxz (D) = % x2 dx 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: Z a (x2 )2 02
− dx Mxz (D) = % x2 2 2 0 Simplificando temos: Z a 6 x dx Mxz (D) = % 0 2 Finalmente, integrando em x temos: x7 a Mxz (D) = % 14 0 Substituindo os limites de integração temos: a7 07
Mxz (D) = % − 14 14 Simplificando temos: a7 Mxz (D) = % 14

113

Algumas Aplicações das Integrais tríplas

Passo 4 determinar o momento de massa relativo ao plano xy. Como a região D tem simetria com relação às variáveis y e z, e a distribuição de densidade também (por ser constante) temos que Mxz (D) = Mxy (D). De qualquer forma vamos verificar: Z a Z x2 Z x2 Z Z Z %zdzdydx %(x, y, z)zdxdydz = Mxy (D) = D

0

0

0

Integrando em z temos: Z a Z x2 2 2 z x Mxy (D) = % dydx 2 0 0 0 Substituindo os limites de integração temos: Z a Z x2 (x2 )2 02
Mxz (D) = % − dydx 2 2 0 0 Simplificando temos: Z a Z x2 4 x Mxz (D) = % dydx 2 0 0 Integrando em y temos: Z a 4 2 x x y dx Mxz (D) = % 0 0 2 Substituindo os limites de integração temos: Z a 4 x (x2 − 0)dx Mxz (D) = % 0 2 Simplificando temos: Z a 6 x Mxz (D) = % dx 0 2 Finalmente, integrando em x temos: x7 a Mxz (D) = % 14 0 Substituindo os limites de integração temos: 07
a7 − Mxz (D) = % 14 14 Simplificando temos: a7 Mxz (D) = % 14 Passo 5 determinar o centro de massa (¯ x, y¯, z¯) da região D, A saber:

114

Cálculo III a6 Myz (D) 5a x ¯= = 65 = , m(d) 6 a % 5 a7 % Mxz (D) 5a2 y¯ = = 145 = e m(d) 14 a % 5 a7 % Mxy (D) 5a2 z¯ = = 145 = . m(d) 14 a % 5 %

AULA

6

Vamos rapidinho ao nosso segundo exemplo.

Exemplo 6.2. Considerando a interseção das superfícies: x = 0, x2 + y 2 = b2 , z = 0 e z = a, (Fig 6.2), determinar sua massa e seu momento de inércia Iz (D), relativo ao eixo z, levando en conta uma distribuição de densidade constante %(x, y, z) = %.

Figura 6.2: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 6.2) e verificando que −b ≤ x ≤ +b, 0 ≤ y ≤ √ + b2 − x2 e 0 ≤ z ≤ a. Observemos que para este caso é mais ade-

115

Algumas Aplicações das Integrais tríplas quado usar o sistema de coordenadas cilíndrico, dado pela transformação (x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde: x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ), z = z e os limites de integração passam a: 0 ≤ r ≤ b, 0 ≤ ϑ ≤ π e 0 ≤ z ≤ a. Em segundo, calcularemos a massa da região D, m(D) e o momento de inércia Iz (D), relativo ao eixo z, respectivamente.

Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral tripla: Z Z Z Z πZ bZ a m(D) = %(x, y, z)dxdydz = %rdzdrdϑ D

0

0

Integrando em z temos: Z πZ b a m(D) = %z rdrdϑ 0

0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z a Z x2 m(D) = %(a − 0)rdrdϑ 0

0

Simplificando temos: Z πZ b m(D) = %a rdrdϑ 0

0

Integrando em r temos: Z π 2 r b m(D) = %a dϑ 0 2 0 Substituindo os limites de integração temos: Z π 2 b 02
m(D) = %a − dϑ 2 2 0 Simplificando temos: Z b2 π dϑ m(D) = %a 2 0 Finalmente, integrando em ϑ temos: b2 π m(D) = %a ϑ 2 0 Substituindo os limites de integração temos: b2 m(D) = %a (π − 0) 2 Simplificando temos: ab2 m(D) = %π 2

116

0

Cálculo III

AULA

Passo 2 Levando em conta que: x2 +y 2 = (r cos(ϑ))2 +(r sin(ϑ))2 =

6

r2 , determinar o momento de inércia Iz (D), relativo ao eixo z, dada pela integral tripla: Z Z Z Z %(x, y, z)(x2 +y 2 )dxdydz = Iz (D) = 0

D

π

Z bZ 0

a

%r2 rdzdrdϑ

0

Integrando em z temos: Z πZ b a %z r3 drdϑ Iz (D) = 0

0

0

Substituindo os limites de integração temos: Z a Z x2 %(a − 0)r3 drdϑ Iz (D) = 0

0

Simplificando temos: Z πZ b Iz (D) = %a r3 drdϑ 0

0

Integrando em r temos: Z π 4 r b Iz (D) = %a dϑ 0 4 0 Substituindo os limites de integração temos: Z π 4 04
b − dϑ Iz (D) = %a 4 4 0 Simplificando temos: Z b4 π Iz (D) = %a dϑ 4 0 Finalmente, integrando em ϑ temos: b4 π Iz (D) = %a ϑ 4 0 Substituindo os limites de integração temos: b4 Iz (D) = %a (π − 0) 4 Simplificando temos: ab4 Iz (D) = %π 4

6.4

Conclusão

Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral tripla, algumas das mais importantes são: dada uma região

117

Algumas Aplicações das Integrais tríplas D ⊂ R3 e sua distribuição de densidade volumétrica de massa %(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, as determinação da massa m(d), dos seus momentos de massa Myz relativo ao plano yz, Mxz relativo ao plano xz e Mxy relativo ao plano xy, dos momentos de inércia Ix relativo ao eixo x, Iy relativo ao eixo y e Iz relativo ao eixo z.

RESUMO

O nosso resumo de hoje constará de uma série de fórmulas para os cálculo da massa, momento de massa, momento de inércia e centro de gravidade de regiões D ∈ R3 limitadas no espaço dada sua distribuição de densidade volumétrica de massa %(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D. No corpo do texto temos umas pequenas argumentações heurísticas de como chegar a tais fórmulas, usando partições e somas de Riemman.

Dada uma região D ∈ R3 limitada com distribuição de densidade volumétrica de massa %(x, y, z) podemos calcular:

A Massa da região D Z Z Z m(D) = %(x, y, z)dxdydz. D

O Momento de Massa de D em Relação ao Plano yz Z Z Z Myz (D) = x%(x, y, z)dxdydz. D

O Momento de Massa de D em Relação ao Plano xz Z Z Z Mxz (D) = y%(x, y, z)dxdydz. D

118

Cálculo III O Momento de Massa em Relação ao Plano xy Z Z Z Mxy (D) = z%(x, y, z)dxdydz.

AULA

6

D

O Momento de inércia de D em Relação ao eixo x Z Z Z Ix (D) = (y 2 + z 2 )%(x, y, z)dxdydz. D

O Momento de inércia de D em Relação ao eixo y Z Z Z (x2 + z 2 )%(x, y, z)dxdydz. Iy (D) = D

O Momento de inércia de D em Relação ao eixo z Z Z Z Iz (D) = (x2 + y 2 )%(x, y, z)dxdydz. D

O Centro de Massa x, y¯, z¯) de D Z Z Z (¯ x%(x, y, z)dxdydz Myz (D) x ¯= = Z Z ZD , m(d) %(x, y, z)dxdydz Z Z ZD y%(x, y, z)dxdydz Mxz (D) D Z Z Z y¯ = = e m(d) %(x, y, z)dxdydz Z Z ZD z%(x, y, z)dxdydz Mxy (D) z¯ = = Z Z ZD . m(d) %(x, y, z)dxdydz D

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula passaremos a estudar funções vetoriais f : C ⊂ R3 7→ R3 onde C é uma curva no espaço R3 , dada parametricamente por: x = x ˆ(t), y = yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b]. Não estaremos, como no Cálculo II, interessados na geometria intrín-

119

Algumas Aplicações das Integrais tríplas seca das curvas e sim na contribuição de sua geometria no cálculo de integrais de campos de vetores definidos sobre tais curvas.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades os seguintes problemas:

ATIV. 6.1. Considerando a interseção das superfícies: x = 0, x = a, y = 0, y = x2 , z = 0 e z = x2 , (Fig 6.1), determinar seu momento de inércia Iz relativo ao eixo z, levando em conta uma distribuição de densidade constante %(x, y, z) = %. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

primeiro exemplo, ele lhe servirá de guia. ATIV. 6.2. Considerando a intersecção das superfícies: x = 0, x2 +y 2 = b2 , z = 0 e z = a, (Fig 6.2), determinar seu momento de massa Myz relativo ao plano yz, levando em conta uma distribuição de densidade constante %(x, y, z) = %. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

segundo exemplo, ele lhe servirá de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009.

120

Cálculo III SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.

AULA

6

THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

121

AULA

7

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 META: Apresentar integrais de funções vetoriais definidas sobre curvas em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir integrais de funções vetoriais definidas sobre curvas em R3 e calcular integrais de algumas funções vetoriais definidas sobre curvas em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores e Geometria analítica e curvas em R3 da disciplina Cálculo II.

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3

7.1

Introdução

Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas” tem um forte sabor de física pois, veremos coisas como: calculo do trabalho de uma força (função vetorial) ao longo de uma trajetória (curva) ou fluxo de um campo de vetores através de uma curva (o termo fluxo é tipicamente da física). Isto, não quer dizer que vocês tenham que se empenhar nos aspectos físicos, devendo apenas ater-se aos aspectos matemáticos que são os objetivos de nossa aula.

7.2

Curvas em R3

Nesta seção faremos uma pequena recapitulação sobre curvas em R3 , que vocês já viram em Cálculo II. Será um breve resumo onde estaremos recapitulando as definições e principais resultados.

Consideremos uma curva C ⊂ R3 dada parametricamente por: x=x ˆ(t), y = yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b] ou em sua forma vetorial ~r (t) = x ˆ(t)~i + yˆ(t)~j + zˆ(t)~kk.

O vetor tangente unitário à C é dado por:

d~~r (t) −1 d~~r (t) ~ T (t) = dt dt A velocidade e a aceleração de uma partícula seguindo a curva C, com movimento dado por ~r (t), no instante t são dadas por:

124

AULA

Cálculo III

7 d~~r (t) dˆ x(t)~ dˆ y (t)~ zˆ(t)~ = i+ j+ k dt dt dt dt d2 x ˆ(t)~ d2 yˆ(t)~ d2 zˆ(t)~ d2~r (t) = i+ j+ k dt2 dt2 dt2 dt2

~v (t) = ~a (t) =

O comprimento de arco da curva C ⊂ R3 parametrizada por x = x ˆ(t), y = yˆ(t) e z = zˆ(t), no intervalo [a, t] é dado por: Z sˆ(t) = a

t

s

dˆ x(t) dt

2

 +

dˆ y (t) dt

2

 +

dˆ z (t) dt

2 dt

Podemos inverter s = sˆ(t) como t = tˆ(s) e descrever a curva C ⊂ R3 parametrizada por comprimento de arco x = x ˆ(tˆ(s)), y = yˆ(tˆ(s)) e z = zˆ(tˆ(s)).

A curvatura de C é definida por: dT~ (s) k(s) = ds e pode ser calculada usando-se a fórmula: 1 dT~ (t) k(t) = |~~v (t)| dt O vetor normal unitário é definido por: dT~ (t) −1 dT~ (t) ~ (t) = N dt dt O vetor binormal à curva C ⊂ R3 é definido por:

~ ~ (t) B B(t) = T~ (t) × N Finalmente a torção da curva C ⊂ R3 é definida por:

125

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3

τ (s) = −

7.3

~ dB B(s) ~ •N ds

Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de Curvas em R3

Muito embora o cálculo da massa, momento de massa e centro de massa de uma curva C ⊂ R3 não envolva integração de funções vetoriais, começaremos por aqui.

Seja C ⊂ R3 , uma curva contínua e lisa, parametrizada por comprimento de arco e % : C ⊂ R3 7→ R+ , a densidade linear de massa de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, %(x, y, z) > 0. Definição 7.1. A massa de C ⊂ R3 , denotada m(C), é definida por: Z m(C) =

%(x, y, z)ds C

Definição 7.2. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano yz, denotada Myz (C), é definido por: Z Myz (C) = %(x, y, z)xds C

Definição 7.3. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano xz, denotada Mxz (C), é definido por: Z Mxz (C) = %(x, y, z)yds C

Definição 7.4. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano xy, denotada Mxy (C), é definido por: Z Mxy (C) = %(x, y, z)zds C

126

Cálculo III

AULA

Definição 7.5. O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (¯ x, y¯, z¯),

7

onde: Z x ¯ =

Myz (C) = ZC m(C)

%(x, y, z)xds %(x, y, z)ds

ZC y¯ =

Mxz (C) = ZC m(C)

%(x, y, z)yds %(x, y, z)ds

ZC z¯ =

Mxy (C) = ZC m(C)

%(x, y, z)zds %(x, y, z)ds

C

Definição 7.6. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo x, denotada Ix (C), é definido por: Z Ix (C) =

%(x, y, z)(y 2 + z 2 )ds

C

Definição 7.7. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo y, denotada Iy (C), é definido por: Z Iy (C) =

%(x, y, z)(x2 + z 2 )ds

C

Definição 7.8. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo z, denotada Iz (C), é definido por: Z Iz (C) =

%(x, y, z)(x2 + y 2 )ds

C

OBS 7.1. Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x ˆ(t), y = yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa relativo aos planos yz, xz e xy, momento de inércia relativo aos eixos x, y e z respectivamente pode ser calculados por:

127

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))|~~v (t)|dt

m(C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))ˆ x(t)|~~v (t)|dt

Myz (C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))ˆ y (t)|~~v (t)|dt

Mxz (C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))ˆ z (t)|~~v (t)|dt

Mxy (C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))(ˆ y 2 (t) + zˆ2 (t))|~~v (t)|dt

Ix (C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))(ˆ x2 (t) + zˆ2 (t))|~~v (t)|dt

Iy (C) = a

Z Iz (C) =

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))(ˆ x2 (t) + yˆ2 (t))|~~v (t)|dt

a

7.4

Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo

Consideremos um campo de vetores F~ : D ⊂ R3 7→ R3 e uma curva C ⊂ D contínua e suave. Definição 7.9. Definimos o fluxo integral de escoamento do campo vetorial F~ ao longo da curva C ⊂ R3 por: Z Φ(F, C) =

F~ • T~ ds

C

OBS 7.2. Quando a curva é simples e fechada, o fluxo integral de escoamento é denominado de circulação e escrevemos: I Φ(F, C) =

F~ • T~ ds

C

OBS 7.3. Se a curva C ⊂ D ⊂ R3 é parametrizada por: x = x ˆ(t), y = yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b]. Podemos interpretar o campo

128

Cálculo III

AULA

vetorial F~ : D ⊂ R3 7→ R3 como um campo de força no espaço,

7

a curva C ⊂ D ⊂ R3 como uma trajetória, a parametrização da curva C ⊂ D ⊂ R3 dada por x = x ˆ(t), y = yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b] como o movimento de uma partícula seguindo a trajetória C e o fluxo integral de escoamento como o trabalho executado pela força F~ ao longo de C e dado por: Z T (F, C) =

b

F~ (ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t)) • T~ (t)dt

a

OBS 7.4. Se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente por: ~r = x ˆ(t)~ii+ˆ y (t)~jj+ˆ z (t)~kk, t ∈ [a, b], e o campo vetorial F~ : D ⊂ R3 7→ R3 representado por: F~ = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~kk, onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais, o fluxo integral de escoamento pode ser escrito como uma das três formas: Z T (F, C) =

F~ • d~~r

ZC T (F, C) =

(f1 dx C Z b

T (F, C) = a

+ f2 dy + f3 dz)

dˆ y (t) dˆ z (t) dˆ x(t) + f2 + f3 f1 dt dt dt

 dt

Consideraremos, agora o caso particular de uma curva plana C ⊂ D ⊂ R2 simples e fechada e de um campo vetorial F~ : D ⊂ R2 7→ R2 . Interpretaremos o campo vetorial F~ como o campo de velocidade de um fluido que atravessa a região D ⊂ R2 . Definição 7.10. Definimos o fluxo de F através de C por: def

I

φ(F, C) =

~ ds F~ • N

C

~ é a normal unitária exterior a C. onde: N

129

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3

7.5

Independência do Caminho

Consideremos um campo vetorial F~ : D ⊂ R3 7→ R3 , dois pontos A, B ∈ D e um caminho C ⊂ D ligando o ponto A ao ponto B. O trabalho realizado para mover uma partícula do ponto A ao Z B ~ de modo ponto B ao longo da trajetória C, dado por F~ • dr A

geral depende do caminho C que liga os dois pontos. Porém, para alguns campos vetoriais este trabalho depende apenas dos pontos A e B. Definição 7.11. Sejam F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e Z B ~ é a mesma ∀C ⊂ D paradois pontos A, B ∈ D. Se F~ • dr A

metrizada por: x = x ˆ(t), y = yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e B = C(b) dizemos que F~ é um campo conservativo em D.

Vamos em seguida definir um operador diferencial vetorial muito importante denominado gradiente, A saber: Definição 7.12. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de valores reais. Definimos o gradiente de f , denotado ∇f , como o campo vetorial ∇f : D ⊂ R3 7→ R3 dado por: def

∇f =

∂f~ ∂f ~ ∂f ~ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

Quando um campo vetorial pode ser dado pelo gradiente de um campo escalar, dizemos que o campo escalar é uma função potencial para o campo vetorial. A saber: Definição 7.13. Sejam F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de valores reais tais que

130

Cálculo III

AULA

F~ = ∇f então f é dita uma função potencial para o campo vetorial

7

F~ em D Daqui por diante consideraremos C uma curva lisa i.e. constituída por um número finito de curvas simples unidas pelas extremidades e D um conjunto aberto e conexo i.e. dado qualquer ponto de D existe uma bola de centro no ponto inteiramente contida em D e dado dois pontos quaisquer de D o segmento de reta que os une está inteiramente contido em D. Consideraremos o campo vetorial F~ : D ⊂ R3 7→ R3 dado por F~ = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais contínuas e com derivadas de primeira ordem contínuas. ~ : D ⊂ R3 7→ R3 dado por F ~ = f1 (x, y, z)~ii+ Teorema 7.1. Sejam F f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais contínuas e com derivadas de primeira ordem contínuas em uma região D ⊂ R3 aberta e conexa do espaço. Então existe uma função f : D ⊂ R3 7→ R contínua e diferenciável em ∂f ∂f ∂f D ⊂ R3 tal que F~ = ∇f = ~i + ~j + ~k se somente se F~ for ∂x ∂y ∂z um campo conservativo. PROVA: Provaremos aqui a suficiência do teorema i.e. Se existe uma função f : D ⊂ R3 7→ R contínua e diferenciável em D ⊂ R3 ~ é um campo conser~ = ∇f = ∂f~i + ∂f ~j + ∂f ~k então F tal que F ∂x ∂y ∂z vativo. Suponha dois pontos A, B ∈ D e uma curva C ⊂ D parametrizada por ~r (t) = x ˆ(t)~i + yˆ(t)~j + zˆ(t)~kk, t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e B = C(b). Ao longo da curva C f é uma função f (ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t)) derivável com relação a t e levando em conta a regra da cadeia temos:

131

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 df x ∂f dˆ y ∂f dˆ z ∂f dˆ = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt Por outro lado o gradiente de f e a derivada do vetor posição ~r com relação a t são dados por: ∂f ∂f ∂f ~ ∇f = ~i + ~j + k ∂x ∂y ∂z dˆ x dˆ y dˆ z d~~r = ~i + ~j + ~k dt dt dt dt

d~~r Fazendo o produto escalar de ∇f por ao longo de C temos: dt x ∂f dˆ y ∂f dˆ z ∂f dˆ d~~r = + + ∇f • dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt Como F~ = ∇f ao longo de C temos: d~~r ∂f dˆ x ∂f dˆ y ∂f dˆ z F~ • = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ~ O trabalho realizado por F ao longo da curva C do ponto A até o ponto B é dado por: Z Z d~~r ~ F • d~~r = F~ • dt dt C C Aproveitando asequações acima podemosescrever: Z Z ∂f dˆ x ∂f dˆ y ∂f dˆ z ~ F • d~~r = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ZC ZCb df F~ • d~~r = dt a dt ZC ~ • d~~r = f (ˆ F x(b), yˆ(b), zˆ(b)) − f (ˆ x(a), yˆ(a), zˆ(a)) C Z Portanto F~ • d~~r é independente do caminho C pois, depende C

apenas dos valores de f nos pontos A e B, provando assim que F~ é um campo conservativo. Caros alunos deixamos como desafio a prova da necessidade. Novamente vocês podem recorrer aos livros de Cálculo Avançado.

Temos outro teorema que caracteriza campos vetoriais conservativos. A saber: Teorema 7.2. Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial dado por: F~ = f1~i + f2~j + f3~kk, cujas funções componentes f1 , f2 , f3 :

132

Cálculo III D ⊂ R3 7→ R tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. ∂f1 ∂f2 ∂f1 ∂f3 Então F~ é conservativo se, somente se = , = e ∂y ∂x ∂z ∂x ∂f2 ∂f3 = ∂z ∂y

AULA

7

PROVA: Novamente vamos provar a suficiência. Se F~ é conservativo, existe f : D ⊂ R3 7→ R tal que: ∂f ∂f ∂f ~ F~ = ~i + ~j + kk. ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f Em outras palavras: f1 = , f2 = e f3 = . ∂x ∂y ∂z Daí temos: ∂2f ∂f2 ∂2f ∂f1 = e = . ∂y ∂y∂x ∂x ∂x∂y Da continuidade das derivadas parciais de f1 e f2 temos: ∂f1 ∂f2 = . De forma semelhante temos: ∂y ∂x ∂2f ∂f3 ∂2f ∂f1 = e = . ∂z ∂z∂x ∂x ∂x∂z Da continuidade das derivadas parciais de f1 e f3 temos: ∂f1 ∂f3 = . ∂z ∂x E finalmente: ∂2f ∂f3 ∂2f ∂f2 = e = . ∂z ∂z∂y ∂y ∂y∂z Da continuidade das derivadas parciais de f2 e f3 temos: ∂f2 ∂f3 = . ∂z ∂y Deixamos a demonstração da necessidade para vocês. Novamente consultem livros de Cálculo Avançado. Na proxima seção, veremos como determinar o campo potencial quando ele existe, utilizando um exemplo.

7.6

Algumas Aplicações das Integrais de Linha

Veremos agora três aplicações das integrais de linha de campos vetoriais sobre curvas no espaço.

133

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 Exemplo 7.1. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força F : R3 7→ R3 dado por F~ (t) = z~i + 0~j + xy~k ao longo da hélice

Figura 7.1: Gráfico do exemplo 1 C ⊂ R3 dada por ~r = a cos(t)~i + a sin(t)~j + bt~kk, t ∈ [0, 4π] (ver Fig. 7.1 ). SOLUÇÃO: Derivando o vetor posição ~r (t) com relação a t temos: d~~r (t) = −a sin(t)~i + a cos(t)~j + b~k dt O campo de força F~ ao longo da curva C ⊂ R3 é dado por:

F~ (t) = bt~i + 0~j + a2 sin(t) cos(t)~k d~~r (t) Fazendo o produto escalar de F~ (t) por temos: dt d~~r (t) = −bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t) F~ (t) • dt Calculando o trabalho realizado pela força F~ (t) ao longo da curva

134

Cálculo III

AULA

7

C temos: T (F~ , C) =

Z

F~ (t) • d~~r (t)

C

Z

d~~r (t) F~ (t) • dt dt C Z 4π (−bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t))dt =

=

0

4π ba2 sin2 (t) 2 0 ba2 sin2 (4π) − = ba(− sin(4π) + 4π cos(4π)) + 2 ba2 sin2 (0)) −(ba(− sin(0) + 0 cos(0)) + 2 = 4πba = ba(− sin(t) + t cos(t)) +

E agora sem demora o segundo exemplo. Exemplo 7.2. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força constante F : R3 7→ R3 dado por F~ = K~i + Ky~j + K~k ao longo da

Figura 7.2: Gráfico do exemplo 2 curva C ⊂ R3 da intersecção da esfera (x−a)2 +(y−a)2 +(z−a)2 = a2 e do plano x − z = 0 (ver Fig. 7.2 ). SOLUÇÃO: Primeira coisa a fazer é obter uma parametriza  (x − a)2 + (y − a)2 + (z − a)2 = a2 ção para a curva . Como a  x−z =0

135

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 curva C ⊂ R3 pertence a reta podemos eliminar z = y na equação da esfera e temos: 2(x−a)2 +(y −a)2 = a2 , podemos propor como parametrização sa√ 2 tisfazendo a equação acima: y = a + a sin(t) e x = a + a cos(t). 2 Como z = √ x temos: 2 z =a+ a cos(t). 2 Resumindo temos a seguinte parametrização para a intersecção da esfera como √ plano dados:  2   a cos(t) x=a+   2  y = a + a sin(t) ∀t ∈ [−π, +π] .  √     z = a + 2 a cos(t) 2 Podemos √ escrever o vetor posição ~r como: √ 2 2 a cos(t))~i + (a + a sin(t))~j + (a + a cos(t))~kk. Deri~r = (a + 2 2 vando o vetor posição ~r (t) com relação a t temos: √ √ d~~r (t) 2 2 ~ ~ =− a sin(t)i + a cos(t)j − a sin(t)~k dt 2 2 Ao longo da curva C ⊂ R3 o campo de força é dado por: F~ (t) = K~i + Ka(1 + sin(t))~j + K~kk. d~~r (t) Fazendo o produto escalar de F~ (t) por temos: dt d~~r (t) F~ (t) • dt

√

2 Ka sin(t) + Ka2 (1 + sin(t)) cos(t) − 2 √ 2 Ka sin(t) − 2 √ = − 2Ka sin(t) + Ka2 (1 + sin(t)) cos(t)

= −

Calculando o trabalho realizado pela força F~ (t) ao longo da curva

136

Cálculo III

AULA

7

C temos: T (F~ , C) =

Z

F~ (t) • d~~r (t)

C

Z

d~~r (t) F~ (t) • dt dt C Z +π √ (− 2Ka sin(t) + Ka2 (1 + sin(t)) cos(t))dt = −π √ +π √ 2 = ( 2Ka cos(t) − Ka2 (1 + sin(t))2 ) 2 −π = 0

=

Vejamos mais um exemplo. Desta vez veremos como determinar a função potencial para um campo conservativo. Exemplo 7.3. Seja F~ : R3 7→ R3 um campo vetorial conservativo dado por: F~ = yz~i + (xz + 1)~j + xy~kk. Determine sua função potencial. SOLUÇÃO: Primeiramente testaremos se o campo vetorial F~ é um campo conservativo, usando a condição necessária e suficiente dada por: ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f2 ∂f3 ∂f1 = , = e = . ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y Como para o F~ dado f1 = yz, f2 = xz + 1 e f3 = xy temos: ∂f1 ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f2 ∂f3 =z= , =y= e =x= . ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y A condição está satisfeita e F~ é um campo vetorial conservativo e podemos procurar o f : R3 7→ R tal que: ∂f ∂f ∂f ~ F~ = ∇f = ~i + ~j + kk. ∂x ∂y ∂z De onde tiramos:  ∂f  = f1 = yz    ∂x  ∂f = f2 = xz + 1  ∂y    ∂f  = f3 = xy ∂z

137

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 ∂f = yz com relação a x temos: ∂x ∂f f = xyz + g(y, z) pois daí tiramos = yz. ∂x Temos agora que determinar o g(y, z) de modo que a segunda equa-

Integrando a primeira equação

ção sejam satisfeita. Derivando f = xyz + g(y, z) com relação a y temos: ∂f ∂g = xz + . ∂y ∂y ∂f Comparando com a segunda equação = xz + 1 temos: ∂y ∂g = 1. ∂y Integrando com relação a y temos: ∂g g(y, z) = y + h(z) pois daí tiramos = 1. ∂y Podemos reescrever f comos: f = xyz + y + h(z). Temos agora que determinar o h(z) de modo que a terceira equação sejam satisfeita. Derivando f = xyz + y + h(z) com relação a z temos: dh ∂f = xy + . ∂y dz ∂f Comparando com a terceira equação = xy temos: ∂z dh = 0. dz Logo h(z) = K é uma constante que podemos sem perda de generalidade fazer igual a zero e f passa a ter a forma final: f (x, y, z) = xyz + y

7.7

Conclusão

Na aula de hoje, vimos como integrar campos vetoriais (funções vetoriais) ao longo de curvas no espaço e no plano. Que, essencialmente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais

138

Cálculo III

AULA

como circulação e fluxo sobre curvas estão intimamente ligados à

7

Física.

RESUMO

Seja C ⊂ R3 , uma curva contínua e lisa, parametrizada por comprimento de arco e % : C ⊂ R3 7→ R+ , a densidade linear de massa de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, %(x, y, z) > 0. Massa A massa de C ⊂ R3 , denotada m(C), é definida por: Z m(C) =

%(x, y, z)ds C

Momento de Massa relativo aos planos yz yz, xz e xy xy. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano yz, xz e xy denotados Myz (C), Mxz (C) e Mxy (C) são definidos respectivamente por: Z Myz (C) =

%(x, y, z)xds ZC

Mxz (C) =

%(x, y, z)yds ZC

Mxy (C) =

%(x, y, z)zds C

Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x ˆ(t), y = yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa relativo aos planos yz, xz e xy, respectivamente pode ser calculados por:

139

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))|~~v (t)|dt

m(C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))ˆ x(t)|~~v (t)|dt

Myz (C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))ˆ y (t)|~~v (t)|dt

Mxz (C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))ˆ z (t)|~~v (t)|dt

Mxy (C) = a

Centro de Massa. O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (¯ x, y¯, z¯), onde: Z %(x, y, z)xds Myz (C) C x ¯ = = Z m(C) %(x, y, z)ds C Z %(x, y, z)yds Mxz (C) y¯ = = ZC m(C) %(x, y, z)ds C Z %(x, y, z)zds Mxy (C) z¯ = = ZC m(C) %(x, y, z)ds C

Momento de Inércia relativo aos eixos x , y e z . O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixos x, y e z denotados Ix (C), Iy (C) e Iz (C) são definidos respectivamente por: Z Ix (C) = ZC Iy (C) = ZC Iz (C) = C

140

%(x, y, z)(y 2 + z 2 )ds %(x, y, z)(x2 + z 2 )ds %(x, y, z)(x2 + y 2 )ds

Cálculo III

AULA

Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x ˆ(t), y =

7

yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b], o momento de inércia relativo aos eixos x, y e z, respectivamente pode ser calculados por:

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))(ˆ y 2 (t) + zˆ2 (t))|~~v (t)|dt

Ix (C) = a

Z

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))(ˆ x2 (t) + zˆ2 (t))|~~v (t)|dt

Iy (C) = a

Z Iz (C) =

b

%(ˆ x(t), yˆ(t), zˆ(t))(ˆ x2 (t) + yˆ2 (t))|~~v (t)|dt

a

Fluxo Integral de Escoamento. Seja um campo de vetores F~ : D ⊂ R3 7→ R3 e uma curva C ⊂ D contínua e suave. Definimos o fluxo integral de escoamento do ~ ao longo da curva C ⊂ R3 por: campo vetorial F Z Φ(F, C) = F~ • T~ ds C

Alternativamente se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente por: ~r = x ˆ(t)~i + yˆ(t)~j + zˆ(t)~kk, t ∈ [a, b] e o campo vetorial F~ : D ⊂ R3 7→ R3 por: F~ = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~kk, com f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais, o fluxo integral de escoamento pode ser escrito como: Z T (F, C) = F~ • d~~r C Z T (F, C) = (f1 dx + f2 dy + f3 dz) C  Z b dˆ x(t) dˆ y (t) dˆ z (t) T (F, C) = f1 + f2 + f3 dt dt dt dt a

Campo Conservativo. Sejam F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial, dois pontos A, B ∈ D.

141

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 Z

B

Se

~((F ) • dr ~ é constante ∀C ⊂ D parametrizada por: x = x ˆ(t),

A

y = yˆ(t) e z = zˆ(t), t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e B = C(b) dizemos que F~ é um campo conservativo em D.

Gradiente. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de valores reais. Definimos o gradiente de f , denotado ∇f , como o campo vetorial ∇f : D ⊂ R3 7→ R3 dado por: def

∇f =

∂f~ ∂f ~ ∂f ~ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

Função Potencial. Sejam F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de valores reais tais que F~ = ∇f então, f é dita uma função potencial para o campo vetorial F~ em D

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos, essencialmente, integração de funções reais e campos vetoriais (funções vetoriais) sobre superfícies S ⊂ R3 . Veremos também como calcular área, massa, momento de massa e centro de massa de superfícies.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades os seguintes problemas envolvendo integração de campos vetoriais sobre curvas no espaço.

142

Cálculo III ATIV. 7.1. Seja F~ : R3 7→ R3 o campo vetorial dado por: F~ (x, y, z) =

AULA

7

y(2xyz 2 + exy )~i + x(2xyz 2 + exy )~j + 2x2 y 2 z~kk:

• Mostre que campo vetorial F~ é conservativo. • Determine uma função potencial f : R3 7→ R tal que F~ = ∇f . Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção os

problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia. ATIV. 7.2. Sejam F~ : R3 7→ R3 o campo vetorial dado por: F~ (x, y, z) = y~i + z~j + b~kk, b 6= 0 e C ⊂ R3 a curva no espaço dada por ~r (t) = a cos(t)~i + a sin(t)~j + c~kk, ∀t ∈ [0, 2π], a, c > 0. Determine o trabalho realizado por F~ ao longo da curva C.

Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção os

problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.

143

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

144

AULA

Integrais de Superfícies META: Apresentar integrais de funções definidas sobre superfícies em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir integrais de funções definidas sobre superfícies em R3 e calcular algumas integrais de funções vetoriais definidas sobre superfícies em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores e Geometria analítica e superfícies em R3 .

8

Integrais de Superfícies

8.1

Introdução

Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Superfícies” tem, como a nossa aula anterior “Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 ”, um sabor de física. Desde a determinação da massa, momento de massa e centro de massa de uma superfície até a determinação do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Da mesma forma que na aula anterior, vocês devem ater-se apenas aos aspectos matemáticos da matéria abordada.

8.2

Superfícies em R3

Bom, vamos começar, bem do começo, com algumas formas de representação de superfícies. A primeira forma de representação de uma superfície é considerar uma função f : D ⊂ R3 7→ R e tomar um ponto c ∈ Img(f ) da imagem de f . Desta forma, de modo geral, f (x, y, z) = c representa uma superfície S ⊂ R3 . Exemplo 8.1. Sejam a, b, c > 0 e f : R3 7→ R dada por: f (x, y, z) = x2 y 2 z 2 + + . Desta forma f (x, y, z) = d representa elipsóides para a2 b2 c2 valores positivos de d. Outra forma de representação de uma superfície é através de uma parametrização. Representar S ⊂ R3 por: x = x ˆ(u, v), y = yˆ(u, v) e z = zˆ(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d]. Exemplo 8.2. Tomando o exemplo anterior podemos parametri√ √ zar os elipsóides por: x = a d cos(u) cos(v), y = b d sin(u) cos(v) √ e z = c d sin(v), ∀(u, v) ∈ [−π, +π] × [−π, +π].

146

Cálculo III

8.3

Área de Superfícies em R3

AULA

8

Vamos usar nesta seção uma argumentação heurística objetivando encontrar uma fórmula para determinação da área de uma superfície S ⊂ R3 . A argumentação baseia-se na possibilidade (ver, Fig. 8.1 ) de determinar a área de uma superfície através de uma integração dupla sobre sua projeção (sombra) no plano D ⊂ xy. Suponhamos que a projeção da superfície S ⊂ R3 dada

Figura 8.1: Superfície S ⊂ R3 e sua projeção D por: z = f (x, y) sobre o plano xy seja a região D ⊂ xy e seja D ⊂ R ⊂ xy um retângulo do plano xy paralelo aos eixos coordenados e que contenha a região D (ver, Fig. 8.2 ). Podemos subdividir R em pequenos retângulos (através de partições como vimos em nossa primeira aula) ∆ij de área ∆xi ∆yj . Podemos aproximar (ai está a argumentação heurística) a pequena área da superfície S, denotada ∆σij cuja projeção é o pequeno retângulo ∆ij pela parte do plano tangente a S no ponto (xi , yj , f (xi , yj )), denotada ∆Pij , que tem a forma de um paralelogramo, (ver, Fig. 8.2 ) cuja projeção no plano xy é também o pequeno retângulo ∆ij . A área de ∆Pij é, de modo geral, maior que a área de ∆ij

147

Integrais de Superfícies

Figura 8.2: Detalhe do elemento de área ∆σij (a área da sombra é sempre menor ou igual à área do objeto). Da ~ i × ~v j • p~ | é a área da projeção do paralelogeometria vetorial |~u gramo ∆Pij onde p~ é a normal a ∆ij (no caso para projeções no plano xy p~ = ~k mas, deixaremos p~ nas fórmulas caso seja escolhido outro plano de projeção). ~ i × ~v j • p~ | = ∆ij |~u Também da geometria vetorial temos: ~ i × ~v j • p~ | = |~u ~ i × ~v j |.|~ |~u p~|.| cos(ϕij )| = ∆ij onde ϕij é o ângulo formado pelo vetor normal p~ (xi , yj ) e o vetor ~u i × ~v j . Como, da geometria vetorial, (ver em livros de Cálculo Avançado) ~ i × ~v j | = ∆Pij e |~ |~u p~| = 1, temos: ∆Pij =

∆ij | cos(ϕ)|

Como cada pedaço ∆Pij aproxima o pedaço da superfície ∆σij então a soma: n−1 X m−1 X i=0 j=0

148

∆Pij =

n−1 X m−1 X i=0 j=0

∆ij | cos(ϕij )|

Cálculo III

AULA

aproxima a área de S. Um refinamento da partição de D ⊂ xy me-

8

lhora a aproximação e podemos então (argumentação heurística) escrever: Z Z Are(S) = D

1 dxdy | cos(ϕ)|

Para uma superfície dada por f (x, y, z) = c, temos |∇f • p~ | = |∇f |.|~ p~|.| cos(ϕ)| e como |~ p~| = 1 portanto: Z Z

Z Z dσ =

Are(S) =

D

S

|∇f | dA |∇f • p~ |

Por outro lado podemos estender a argumentação e determinar a integral de uma função g : D ⊂ R3 7→ R definida sobre a superfície S ⊂ R3 na forma: Z Z

Z Z g(x, y, z)dσ = S

g(x, y, z)) D

|∇f | dA |∇f • p~ |

Vamos a um exemplo para ilustrar os conceitos acima expostos. Exemplo 8.3. Considere a superfície S ⊂ R3 do espaço dada por z = a + x2 + y 2 , cuja projeção no plano xy é a região D ⊂ xy dada por x2 + y 2 ≤ b2 e determine sua área (ver Fig. 8.3). SOLUÇÃO: Deixamos como a primeira atividade mostrar que:

Figura 8.3: Parabolóide z = a + x2 + y 2

149

Integrais de Superfícies se a superfície é dada por z = f (x, y) projetada no plano xy em D ⊂ xy sua área é dada por: s   2 Z Z ∂f 2 ∂f + + 1dxdy Are(S) = ∂x ∂y D Como z = f (x, y) = a + x2 + y 2 temos: ∂f ∂x ∂f ∂y

= 2x = 2y

Daí, substituindo na expressão da área temos: s   2 Z Z ∂f ∂f 2 + + 1dxdy Are(S) = ∂x ∂y D Z Z p = (2x)2 + (2y)2 + 1dxdy x2 +y 2 ≤b2

Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ), para o cálculo da integraldupla temospara a projeção x2 +y 2 ≤ b2  b  2π os seguintes limites r = eϑ= e podemos reescrever  0  0 a integral dupla como:

Z bp (2r cos(ϑ))2 + (2r sin(ϑ))2 + 1rdrdϑ Are(S) = 0 0 Z 2π Z b q = 4r2 cos2 (ϑ) + 4r2 sin2 (ϑ) + 1rdrdϑ 0 0 Z 2π Z b p = 4r2 + 1rdrdϑ Z

0

2π

0

dz Fazendo a mudança de variáveis z = 4r2 + 1 temos: = 8r e os dr    b  4b2 + 1 limites de integração r = passa a z = e podemos  0  1

150

AULA

Cálculo III

8

reescrever a integral dupla como:

Z

2π

Z

Are(D) = 0

4b2 +1 √

zdzdϑ

1

Integrando primeiro em z depois em ϑ temos:

2π

Z

Z

Are(D) = 0 2π

√ 4b2 +1 z3 dϑ

Z

2π

Z 0

= =

8.4

zdzdϑ

1

= =

4b2 +1 √

1

p 2 ( (4b2 + 1)3 − 1)dϑ 3 0 2π 2 p 2 ( (4b + 1)3 − 1)ϑ 3 0 4π p 2 ( (4b + 1)3 − 1) 3

Momento de massa e Momento de Inércia de Superfícies de Casca Fina em R3

Seja uma superfície S ⊂ R3 de casca fina dada por f (x, y, z) = c e com densidade superficial % : S ⊂ R3 7→ R, a massa, o momento de massa em relação aos planos yz, xz e xy são dados, respectivamente, por: |∇f | dA |∇f • p~ | Z ZS Z D Z |∇f | Myz (S) = %(x, y, z)xdσ = %(x, y, z)x dA |∇f • p~ | S D Z Z Z Z |∇f | dA Mxz (S) = %(x, y, z)ydσ = %(x, y, z)y |∇f • p~ | S D Z Z Z Z |∇f | Mxy (S) = %(x, y, z)zdσ = %(x, y, z)z dA |∇f • p~ | S D Z Z

m(S) =

Z Z

%(x, y, z)dσ =

%(x, y, z)

151

Integrais de Superfícies O centro de massa, denotado (¯ x, y¯, z¯), é dado por: Z Z |∇f | %(x, y, z)x dA Myz (S) |∇f • p~ | D x ¯ = = Z Z |∇f | m(S) dA %(x, y, z) |∇f • p~| Z ZD |∇f | %(x, y, z)y dA Mxz (S) |∇f • p~ | D y¯ = = Z Z |∇f | m(S) %(x, y, z) dA |∇f • p~ | D Z Z |∇f | %(x, y, z)z dA Mxy (S) |∇f • p~ | z¯ = = Z ZD |∇f | m(S) %(x, y, z) dA |∇f • p~ | D Os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados, respectivamente, por: Z Z |∇f | Ix (S) = %(x, y, z)(y 2 + z 2 ) dA |∇f • p~ | D Z Z |∇f | dA Iy (S) = %(x, y, z)(x2 + z 2 ) |∇f • p~ | D Z Z |∇f | Iz (S) = %(x, y, z)(x2 + y 2 ) dA |∇f • p~ | D

Vamos ilustrar com um exemplo. Exemplo 8.4. Considere a casca fina descrita pela superfície S ⊂ R3 dada pela parte do cone x2 + y 2 − z 2 = 0 que situa-se acima do plano z = 0 e e abaixo do plano z = a, cuja densidade é constante e igual a % e determine seu centro de massa (ver Fig. 8.4). SOLUÇÃO: Em primeiro lugar determinaremos a massa da casca fina, levando em conta que a projeção de S ⊂ R3 no plano xy é a região circular D ⊂ xy dada por: x2 + y 2 ≤ a2 . Para o caso f (x, y, z) = x2 +y 2 −z 2 = 0 e p~ = ~kk. daí, seu gradiente será:

152

Cálculo III

AULA

8

Figura 8.4: Cone x2 + y 2 − z 2 = 0

∇f = −2x~i − 2y~j − 2z~k E temos:

|∇f • p~ | = 2z p p x2 + y 2 + z 2 = 2x2 + 2y 2 |∇f | = A massa da casca fina será: Z Z |∇f | m(S) = % dA |∇f • p~ | D p Z Z 2x2 + 2y 2 dxdy = % 2z x2 +y 2 ≤a2 √ √ Z Z 2 z2 = % dxdy 2 x2 +y 2 ≤a2 z √ Z Z 2 dxdy = % 2 x2 +y 2 ≤a2 Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ), para o cálculo da integraldupla temospara a projeção x2 +y 2 ≤ a2  a  2π os seguintes limites r = eϑ= e podemos reescrever  0  0

153

Integrais de Superfícies a integral dupla como:

m66(S) = = = = =

√ Z 2π Z a 2 rdrdϑ % 2 0 √ Z 2π 02 2 r a % dϑ 2 0 2 0 √ Z a2 2 2π % dϑ 4 0 √ 2 2π % ϑ 4 √0 a2 2 π% 2

Para determinar o centro de massa temos que determinar apenas Mxy pois, pela simetria da superfície e como % é constante temos que x ¯ = y¯ = 0. O momento de massa Mxy da casca fina será:

|∇f | dA |∇f • p~ | D p Z Z 2x2 + 2y 2 = %z dxdy 2z x2 +y 2 ≤a2 √ Z Z 2 zdxdy = % 2 x2 +y 2 ≤a2 √ Z Z p 2 = % x2 + y 2 dxdy 2 x2 +y 2 ≤a2 Z Z

Mxy (S) =

%z

Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ), para o cálculo da integraldupla temospara a projeção x2 +y 2 ≤ a2  a  2π os seguintes limites r = eϑ= e podemos reescrever  0  0

154

Cálculo III a integral dupla como: √ Z 2π Z a p 2 (r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2 rdrdϑ Mxy (S) = % 2 0 √ Z 2π Z0 a q 2 = % r2 cos2 (ϑ) + r2 sin2 (ϑ)rdrdϑ 2 0 0 √ Z 2π Z a √ 2 = % r2 rdrdϑ 2 0 0 √ Z 2π Z a 2 = % r2 drdϑ 2 0 √ Z 2π 03 r a 2 = % dϑ 2 0 3 0 √ Z a2 2 2π dϑ = % 6 0 √ 2 2π = % ϑ 6 √0 a3 2 = π% 3

AULA

8

O valor de z¯ será dado por: √ a3 2 π% Mxy (S) 3√ = 2a = z¯ = 2 m(S) 3 a 2 π% 2

8.5

Superfícies Parametrizadas

Nesta seção veremos como calcular integrais de superfícies para superfícies parametrizadas. Seja uma superfície lisa S ⊂ R3 parametrizada por: x = x ˆ(u, v), y = yˆ(u, v) e z = zˆ(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] onde x ˆ, yˆ e zˆ possuem derivadas contínuas com relação a u e a v. Podemos representar a superfície pelo vetor posição ~r (u, v) = x ˆ(u, v)~i + yˆ(u, v)~j + zˆ(u, v)~kk. Representaremos as derivadas do vetor r com relação a u e a v respectivamente por ~r u , ~r v . Consideraremos em R = [a, b] × [c, d] as quatro retas u = u0 , u = u0 + ∆u, v = v0 e

155

Integrais de Superfícies v = v0 + ∆v u = u0 + ∆u e denotamos ∆uv o pequeno retângulo formado pela intersecção das quatro retas (ver Fig. 8.5). O pe-

Figura 8.5: Domínio da parametrização queno retângulo ∆uv é mapeado pela parametrização no pequeno elemento de área ∆σuv sobre a superfície S. O paralelogramo formado pelos vetores ∆u~~r u e ∆v~~r v aproximam (por falta) o elemento de área ∆σuv (ver Fig. 8.6). A área do paralelogramo é dada por:

Figura 8.6: Elemento de área ∆σuv em S.

|∆u~~r u × ∆v~~r v | = |~~r u × ~r v |∆u∆v. A suposição de que S é uma superfície lisa garante que o produto vetorial ~r u × ~r v não é o vetor nulo e portanto a área do pequeno

156

Cálculo III

AULA

paralelogramo também não é nula. Podemos então fazer um par-

8

tição da região R do plano uv e mapeando-a pela parametrização sobre a superfície S. Aproximando cada ∆σuv pela área do paralelogramo associado podemos aproximar a área de S pela soma de Riemann: XX u

|~~r u × ~r v |∆u∆v.

v

Fazendo ∆u e ∆v tenderem a zero independentemente, a continuidade das derivadas ~r v do vetor posição garante que a soma de Riemann aproxime-se da integral dupla que dá a área Are(S) da superfície S i.e. Z bZ

d

|~~r u × ~r v |dudv.

Are(S) = a

c

Esta argumentação heurística nos permite estender os conceitos acima desenvolvidos para definir a integral de uma função f : S ⊂ R3 7→ R definida sobre a superfície S da seguinte forma: Definição 8.1. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por ~r (u, v) = x ˆ(u, v)~i + yˆ(u, v)~j + zˆ(u, v)~kk, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e f : S ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais definida sobre S então, a integral de f sobre S será: Z Z Z bZ d def f (x, y, z)dσ = f (ˆ x(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v))|~~r u ×~~r v |dudv. S

a

c

Um conceito, vindo da Física, muito importante é o do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície no espaço. Como exemplo temos o fluxo de massa (massa por unidade de tempo por unidade de área) de um fluido que é calculado através do seu campo de velocidade e da sua densidade de massa. Vamos à definição: Definição 8.2. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e F~ : S ⊂ R3 7→ R3 uma função de valores vetoriais. Definimos o

157

Integrais de Superfícies fluxo de F~ através de S, denotado φ(F~ ), por: Z Z def ~ φ(F ) = F~ (x, y, z) • ~n dσ. S

Onde n é a normal unitária em S. OBS 8.1. Alternativamente, se S ⊂ R3 é lisa e definida parametricamente por ~r (u, v) = x ˆ(u, v)~i + yˆ(u, v)~j + zˆ(u, v)~kk, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e F~ : S ⊂ R3 7→ R3 uma função de valores vetoriais. O fluxo de F~ através de S, é dado por: Z bZ d ~ φ(F ) = F~ (ˆ x(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v)) • ~n |~~r u × ~r v |dudv. a

c

1 ·(~~r u ×~~r v ) ~ r |~ u × ~r v | a integral para o fluxo do campo vetorial F~ através da superfície

Como podemos calcular o vetor normal por ~n =

S pode ser reescrita como:

φ(F~ ) =

Z bZ a

d

F~ (ˆ x(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v)) • (~~r u × ~r v )dudv.

c

Vejamos um exemplo envolvendo a determinação do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície no espaço.

Exemplo 8.5. Determine o fluxo do campo vetorial F~ : R3 7→ R3 dado por F~ (x, y, z) = z~i + z~j + xy~k através da superfície do parabolóide z = a2 − x2 − y 2 , que fica acima do plano z = 0 (ver Fig. 8.7). SOLUÇÃO: Começaremos por parametrizar a superfície do parabolóide fazendo x ˆ = v cos(u), yˆ = v sin(u) e z = a2 − v 2 . Desta forma o vetor posição para a superfície fica expresso por:

~r (u, v) = v cos(u)~i + v sin(u)~j + (a2 − v 2 )~kk.

158

AULA

Cálculo III

8

Figura 8.7: Parabolóide z = a2 − x2 − y 2 . As derivadas parciais do vetor posição ~r com relação a u e a v são:   ~r u = −v sin(u)~i + v cos(u)~j + 0k  ~r = cos(u)~i + sin(u)~j − 2v~k v Podemos calcular ~r u × ~r v operacionalmente por: ~k ~i ~j op ~r u × ~r v = det −v sin(u) v cos(u) 0 cos(u) sin(u) −2v



Calculando o determinante temos:

~r u × ~r v = −2v 2 sin(u)~i + 2v 2 sin(u)~j − v~k O campo vetorial F~ sobre a superfície pode ser escrito como:

F~ (u, v) = (a2 − v 2 )~i + (a2 − v 2 )~j + v 2 sin(u) cos(u)~kk. Fazendo o produto escalar do campo vetorial F~ por ~r u ×~~r v temos: F~ •(~~r u ×~~r v ) = −2v 2 (a2 −v 2 ) sin(u)+2v 2 (a2 −v 2 ) sin(u)−v 3 sin(u) cos(u)

159

Integrais de Superfícies Simplificando e calculando o fluxo do campo vetorial F~ sobre a superfície S temos:

φ(F~ ) =

a Z +π

Z

a

Z

−v 3

= 0

1 = 2 = 0

8.6

−v 3 sin(u) cos(u)dudv

−π

0

Z

sin2 (u) +π dv 2 −π

a

−v 3 (sin2 (+π) − sin2 (−π))dv

0

Conclusão

Na aula de hoje, vimos como integrar funções definidas sobre uma superfície no espaço. Funções escalares de valores reais ao longo de superfícies no espaço com as quais podemos determinar área, massa, momento de massa, centro de massa momento de inércia de uma superfície representando uma casca fina. Vimos também como calcular integrais de campos vetoriais (funções vetoriais) definidos sobre uma superfície no espaço, que essencialmente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais como o fluxo através de superfícies estão intimamente ligados à Física.

RESUMO

Caros alunos, em nossa aula de hoje, sobre integrais de funções definidas sobre superfícies no espaço, tanto funções escalares quanto campos vetoriais o conteúdo visto pode ser resumido como:

160

AULA

Cálculo III

8

Área de uma Superfície S ⊂ R3 Sejam S ⊂ R3 uma superfície dada por f (x, y, z) = c cuja projeção em um dos planos coordenados seja D e p~ a normal a D. A área da superfície S é dada por: Z Z

Z Z dσ =

Are(S) =

D

S

|∇f | dA |∇f • p~ |

Integral de Superfície S ⊂ R3 Sejam S ⊂ R3 uma superfície dada por f (x, y, z) = c cuja projeção em um dos planos coordenados seja D e p~ a normal a D e g : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais cujo domínio é a superfície S. A a integral de g sobre a superfície S é dada por: Z Z

Z Z g(x, y, z)dσ = S

g(x, y, z) D

|∇f | dA |∇f • p~ |

Massa e Momento de Massa de uma Superfície S ⊂ R3 Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, a massa, momento de massa relativo aos planos coordenados yz, xz e xy, são dados respectivamente por: |∇f | dA |∇f • p~ | D S Z Z Z Z |∇f | dA %(x, y, z)xdσ = %(x, y, z)x Myz (S) = |∇f • p~ | S D Z Z Z Z |∇f | Mxz (S) = %(x, y, z)ydσ = %(x, y, z)y dA |∇f • p~ | S D Z Z Z Z |∇f | Mxy (S) = %(x, y, z)zdσ = %(x, y, z)z dA |∇f • p~ | S D Z Z

Z Z

m(S) =

%(x, y, z)dσ =

%(x, y, z)

Centro de Massa de uma Superfície S ⊂ R3 Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade

161

Integrais de Superfícies superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, O centro de massa da casca fina, denotado (¯ x, y¯, z¯), é dado por: Z Z |∇f | %(x, y, z)x dA Myz (S) |∇f • p~ | D = Z Z x ¯ = |∇f | m(S) %(x, y, z) dA |∇f • p~ | D Z Z |∇f | %(x, y, z)y dA Mxz (S) |∇f • p~ | = Z ZD y¯ = |∇f | m(S) %(x, y, z) dA |∇f • p~ | D Z Z |∇f | %(x, y, z)z dA Mxy (S) |∇f • p~ | = Z ZD z¯ = |∇f | m(S) %(x, y, z) dA |∇f • p~ | D Momento de Inércia de uma Superfície S ⊂ R3 Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados, respectivamente, por: Z Z |∇f | %(x, y, z)(y 2 + z 2 ) Ix (S) = dA |∇f • p~ | D Z Z |∇f | Iy (S) = %(x, y, z)(x2 + z 2 ) dA |∇f • p~| Z ZD |∇f | Iz (S) = %(x, y, z)(x2 + y 2 ) dA |∇f • p~ | D

Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície S ⊂ R3 Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e F~ : S ⊂ R3 7→ R3 ~ através uma função de valores vetoriais. Definimos o fluxo de F de S, denotado φ(F~ ), por: def φ(F~ ) =

Z Z

F~ (x, y, z) • ~n dσ. S

162

Cálculo III

AULA

8

Onde n é a normal unitária em S.

Área de uma Superfície S ⊂ R3 Parametrizada Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por ~r (u, v) = x ˆ(u, v)~i + yˆ(u, v)~j + zˆ(u, v)~kk, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] então, a área de S será: Z bZ

d

|~~r u × ~r v |dudv.

Are(S) = a

c

Integral de Superfície S ⊂ R3 Parametrizada Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por ~r (u, v) = x ˆ(u, v)~i + yˆ(u, v)~j + zˆ(u, v)~kk, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e f : S ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais definida sobre S então, a integral de f sobre S será: Z Z

def

Z bZ

S

d

f (ˆ x(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v))|~~r u ×~~r v |dudv.

f (x, y, z)dσ =

a

c

Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície S ⊂ R3 Parametrizada Se S ⊂ R3 é lisa e definida parametricamente por ~r (u, v) = x ˆ(u, v)~ii+ yˆ(u, v)~j + zˆ(u, v)~kk, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e F~ : S ⊂ R3 7→ R3 uma função de valores vetoriais. O fluxo de F~ através de S, é dado por: φ(F~ ) =

Z bZ a

d

F~ (ˆ x(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v)) • ~n |~~r u × ~r v |dudv.

c

1 ·(~~r u ×~~r v ) |~~r u × ~r v | a integral para o fluxo do campo vetorial F~ através da superfície Como podemos calcular o vetor normal por ~n =

163

Integrais de Superfícies S pode ser reescrita como:

φ(F~ ) =

Z bZ a

d

F~ (ˆ x(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v)) • (~~r u × ~r v )dudv.

c

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos dois importantíssimos teoremas do Cálculo. São eles o “Teorema de Green” e “Teorema de Stokes”. Dizem respeito a integração de campos vetoriais ao longo de curvas fechadas no plano (caso do teorema de Green) e de curvas fechadas no espaço (caso do teorema de Stokes).

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões:

ATIV. 8.1. Seja S ⊂ R3 uma superfície dada por z = f (x, y) cuja projeção no plano xy é D ⊂ xy. Mostre que sua área pode ser dada por: s

Z Z D

Comentário:

∂f ∂x

2

 +

∂f ∂y

2 + 1dxdy

Volte ao texto e reveja com calma e atenção as

demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 8.2. Seja uma casca fina dada pela superfície S ⊂ R3 descrita por f (x, y, z) = a2 − x2 − y 2 − z 2 = 0, y < 0 e z > 0 (ver Fig. 8.8) e determine seu centro de gravidade.

164

Cálculo III

AULA

8

Figura 8.8: 1/4 da esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 Comentário:

Observe que a superfície tem simetria e como a

densidade é constante temos: x ¯ = 0 e y¯ = −¯ z.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971.

165

Integrais de Superfícies BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

166

AULA

Teorema de Green e Teorema de Stokes META: Apresentar o teorema de Green e o teorema de Stokes e algumas de suas aplicações. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Enunciar o teorema de Green e o teorema de Stokes e determinar o fluxo rotacional de um dado campo vetorial. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, aula 07 e aula 08.

9

Teorema de Green e Teorema de Stokes

9.1

Introdução

Caros alunos, nosso tema de hoje: “Teorema de Green e Teorema de Stokes", visa apresentar dois dos mais importantes teoremas do Cálculo, envolvendo integrais de linha. O teorema de Green, converte integrais de linha de curvas fechadas no plano em integrais duplas e o teorema de Stokes, que é uma generalização do teorema de Green, converte integrais d linha de campos vetoriais sobre curvas fechadas no espaço em integrais de superfície.

9.2

Preliminares

Antes de partirmos para a demonstração do teorema de Green é necessária a introdução de alguns conceitos, que estabelecerão BIOGRAFIA George Green nasceu em Sneinton, condado de Nottinghamshire 14 de Julho de 1793 e moerreu em Nottingham, 31 de Maio de 1841, foi um matemático e físico inglês. Na sua obra Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism (1828) introduziu a noção de função potencial no estudo dos campos magnéticos. O teorema de Green, que demonstrou em 1828 facilitou bastante o estudo das funções. Wikipedia

a definição de dois novos operadores diferenciais vetoriais. O primeiro deles é o conceito de “densidade de fluxo em um ponto”. Seja F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial (velocidade de es~ (x, y) = f1 (x, y)~i + f2 (x, y)~jj, coamento de um fluido) onde: F

Figura 9.1: Fluxo de F~ através do Retângulo f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Consideremos um pequeno retângulo contido em D com vértices em:

168

Cálculo III

AULA

(x, y), (x + ∆x, y), (x, y + ∆y) e (x + ∆x, y + ∆y) (ver Fig. 9.1

9

). A taxa com que F~ atravessa as arestas do retângulo são:

~ (x, y + ∆y) • ∆x~j = f2 (x, y + ∆y)∆x em cima : F em baixo : F~ (x, y) • (−∆x)~j = −f2 (x, y)∆x à direita : F~ (x + ∆x, y) • ∆y~i = f1 (x + ∆x, y)∆y à esquerda : F~ (x, y) • (−∆y)~i = −f1 (x, y)∆y O fluxo total através das arestas do retângulo é: (f1 (x + ∆x, y) − f1 (x, y))∆y + (f2 (x, y + ∆y) − f2 (x, y))∆x Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1 (x+∆x, y)− ∂f2 ∂f1 ∆x e f2 (x, y + ∆y) − f1 (x, y) ≈ ∆y temos a f1 (x, y) ≈ ∂x ∂x seguinte aproximação para o fluxo de F~ através das arestas do retângulo: ∂f1 ∂f2 ∆x∆y + ∆y∆x ∂x ∂y Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ∆x∆y teremos uma aproximação para a densidade de fluxo de F~ no retângulo. ∂f1 ∂f2 + ∂x ∂y Agora vamos à argumentação heurística em que fazemos ∆x e ∆y tenderem a zero e podemos definir a densidade de fluxo do campo vetorial F~ no ponto (x, y). Definição 9.1. Seja F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde: F~ (x, y) = f1 (x, y)~ii+f2 (x, y)~jj, f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Definimos a densidade de fluxo do campo vetorial

169

Teorema de Green e Teorema de Stokes F~ no ponto (x, y), denominado divergente de F~ , denotado DivF~ ou ∇ • F~ por: ∂f2 def ∂f1 ∇ • F~ = + ∂x ∂y Completaremos com “densidade de circulação em um ponto” os dois novos conceitos necessários ao estabelecimento do teorema de Green. Seja F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial (velocidade ~ (x, y) = f1 (x, y)~i + f2 (x, y)~jj, de escoamento de um fluido) onde: F

Figura 9.2: Circulação de F~ ao longo do Retângulo f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Consideremos um pequeno retângulo contido em D com vértices em: (x, y), (x + ∆x, y), (x, y + ∆y) e (x + ∆x, y + ∆y) (ver Fig. 9.2 ). A soma das taxas de escoamento dos quatro lados do retângulo mede a circulação de F~ no sentido anti-horário. As taxas de escoamento ao longo de cada lado do retângulo são dadas por:

~ (x, y + ∆y) • (−∆x~ii) = −f1 (x, y + ∆y)∆x em cima : F em baixo : F~ (x, y) • ∆x~i = f1 (x, y)∆x à direita : F~ (x + ∆x, y) • ∆y~j = f2 (x + ∆x, y)∆y à esquerda : F~ (x, y) • (−∆y)~j = −f2 (x, y)∆y

170

Cálculo III O escoamento total ao longo das arestas do retângulo é:

AULA

9

(f2 (x + ∆x, y) − f2 (x, y))∆y + (−f2 (x, y + ∆y) + f2 (x, y))∆x Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1 (x+∆x, y)− ∂f1 ∂f2 f1 (x, y) ≈ ∆x e f2 (x, y + ∆y) − f1 (x, y) ≈ ∆y temos a ∂x ∂x seguinte aproximação para o escoamento de F~ ao longo das arestas do retângulo: ∂f1 ∂f2 ∆x∆y − ∆y∆x ∂x ∂y Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ∆x∆y teremos uma aproximação para a densidade da circulação de F~ no retângulo. ∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y Fazendo ∆x e ∆y tenderem independentemente a zero podemos definir a densidade de circulação no ponto (x, y) por:

Definição 9.2. Seja F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde: F~ (x, y) = f1 (x, y)~i + f2 (x, y)~jj, f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Definimos a componente ~k da densidade de circulação do campo vetorial F~ no ponto (x, y), denominado rotacional de F~ , denotado RotF~ ou ∇ × F~ por: ∂f1 def ∂f2 (∇ × F~ ) • ~k = − ∂x ∂y

9.3

Teorema de Green

O teorema de Green pode ser exposto de duas formas na primeira diz que o fluxo exterior de um campo vetorial através de

171

Teorema de Green e Teorema de Stokes uma curva fechada simples no plano é igual a integral dupla do divergente do campo vetorial sobre a região D limitada pela curva, i.e. I

F~ • ~n ds =

C

Z Z  D

∂f1 ∂f2 + ∂x ∂y

 dxdy

Na outra forma diz que a circulação no sentido anti-horário de um campo de força ao longo de uma curva simples e fechada no plano é igual a integral dupla da componente ~k do rotacional do campo vetorial sobre a região D limitada pela curva. I C

F~ • ~tds =

Z Z  D

∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y

 dxdy

Vamos agora e sem muita demora à demonstração do teorema de Green.

Teorema 9.1. Sejam F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado por: F~ (x, y) = f1 (x, y)~i + f2 (x, y)~jj, f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple, fechada tal que retas paralelas aos eixos coordenados não a cortem

Figura 9.3: Teorema de Green

172

Cálculo III

AULA

em mais que dois pontos e Seja R a região limitada por C então:

9

Z Z 

I f1 dx + f2 dy = C

R

 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y

PROVA: Observando a Fig. 9.3 vemos C formada por duas parte orientadas dadas por:   C1 : y = g1 (x) a ≤ x ≤ b  C : y = g (x) b ≥ x ≥ a 2 2 Tomando um ponto arbitrário x ∈ (a, b) podemos integrar

∂f1 em ∂y

relação a y nos limites y = g1 (x) até y = g2 (x). A saber: Z

g2 (x)

g1 (x)

g2 (x) ∂f1 dy = f1 (x, y) = f1 (x, g2 (x)) − f1 (x, g1 (x)) ∂y g1 (x)

Podemos então integrar este resultado na variável x nos limites x = a até x = b e temos:

Z bZ a

g2 (x)

g1 (x)

∂f1 dydx = ∂y

b

Z

(f1 (x, g2 (x)) − f1 (x, g1 (x)))dx a

Z

a

Z

= −

(f1 (x, g2 (x))dx − Zb Z = − f1 dx − f1 dx C2 C1 I f1 dx = −

b

f1 (x, g1 (x)))dx a

C

Que podemos reescrever como: I

Z Z −

f1 dx = C

R

∂f1 dxdy ∂y

Por outro lado, observando a Fig. 9.4 a curva C pode ser dada por:

173

Teorema de Green e Teorema de Stokes

  C1 : x = h1 (y) c ≤ y ≤ d  C : x = h (y) d ≥ y ≥ c 2 2

Figura 9.4: Teorema de Green Tomando um ponto arbitrário y ∈ (c, d) podemos integrar

∂f2 em ∂x

relação a x nos limites x = h1 (y) até x = h2 (y). A saber: Z

h2 (y)

h1 (y)

h2 (y) ∂f2 dx = f2 (x, y) = f2 (h2 (y), y) − f2 (h1 (y), y) ∂x h1 (y)

Podemos então integrar este resultado na variável y nos limites y = c até y = d e temos:

Z c

d Z h2 (y) h1 (y)

∂f2 dxdy = ∂x

Z

d

(f2 (h2 (y), y) − f2 (h1 (y), y))dy c

Z

d

=

Z

c

f2 (h2 (y), y)dy + f2 (h1 (y), y)dy cZ d Z = − f2 dy − f2 dy C2 C1 I = f2 dy C

Que podemos reescrever como:

174

AULA

Cálculo III

I

Z Z f2 dy =

C

R

∂f2 dxdy ∂x

9

Adicionando os dois resultados temos: Z Z 

I f1 dx + f2 dy = C

9.4

R

 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy  ∂x ∂y

Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões

Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema de Green comportem um grande número de curvas, muitas outras não se enquadram na categoria que goza da propriedade de que toda reta

Figura 9.5: Curva

Figura 9.6: Partição

paralela aos eixos coordenados a cortem em no máximo dois pontos É o caso da curva dada na Fig. 9.5 visto que retas paralelas ao eixo x podem corta-la em até 4 pontos na parte de cima da curva. Nestes casos podemos estender o teorema de Green com o seguinte procedimento: Traçamos retas unindo pontos específicos da curva C como na Fig. 9.6 os pontos A, B e D de modo que

175

Teorema de Green e Teorema de Stokes as curvas formadas pela união de C1 com a reta AB bem como a união da curva C2 com a reta BD e a curva C3 com as retas DB e BA orientadas todas no sentido anti-horário contornando as regiões R1 R2 e R3 , respectivamente. As curvas acima descritas todas satisfazem a condição da demonstração do teorema de Green acima i.e. toda reta paralela aos eixos coordenados as cortam em apenas dois pontos. Desta forma aplicando o teorema de Green a cada uma das curvas temos:  ∂f2 ∂f1 f1 dx + f2 dy + f1 dx + f2 dy = − ) dxdy ∂y  IC1 ZAB Z ZR1  ∂x ∂f2 ∂f1 − ) dxdy f1 dx + f2 dy + f1 dx + f2 dy = ∂y IC2 ZBD Z R2 ∂x f1 dx + f2 dy + f1 dx + f2 dy + f1 dx + f2 dy = BA DB  ZC3Z  ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y R3 I

Z

Z Z



Adicionando todas as equações e levando em conta que:

Z

Z f1 dx + f2 dy = − Z AB

f1 dx + f2 dy ZBA

f1 dx + f2 dy = − BD

f1 dx + f2 dy, DB

temos: Z



Z Z f1 dx + f2 dy =

C1 ∪C2 ∪C3

R1 ∪R2 ∪R3

 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y

E como C = C1 ∪ C2 ∪ C3 e R = R1 ∪ R2 ∪ R3 podemos finalmente escrever que para a curva C da Fig. 9.5 vale o teorema de Green: Z Z 

Z f1 dx + f2 dy = C

176

R

 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy. ∂x ∂y

Cálculo III

AULA

Uma outra categoria de regiões que não satisfaz a exigência da

9

demonstração do teorema de Green são regiões R com buracos

Figura 9.7: Curva

Figura 9.8: Partição

como a da Fig. 9.7 onde a curva C ∗ que define a região do buraco está orientada no sentido horário. Uma solução está na partição dada na Fig. 9.8 onde repartimos R em oito sub-regiões R1 a R8 da seguinte forma: R1 limitada pelas curvas C1 , A2 A3 e A3 A1 , R2 limitada pelas curvas C2 , A4 A6 , C9 e A3 A2 , R3 limitada pelas curvas C3 , A5 A6 e A6 A4 , R4 limitada pelas curvas C4 , A7 A9 , C10 e A6 A5 , R5 limitada pelas curvas C5 , A8 A9 e A9 A7 , R6 limitada pelas curvas C6 , A10 A12 , C11 e A9 A8 , R7 limitada pelas curvas C7 , A11 A12 e A12 A10 , R8 limitada pelas curvas C8 , A1 A3 , C12 e A12 A11 . Em cada uma das oito regiões o teorema de Green pode ser aplicado individualmente e levando em conta que as integrais ao longo dos segmentos de reta se anulam mutuamente podemos escrever para a região R que: Z f1 dx + f2 dy + C

Z Z 

Z C∗

f1 dx + f2 dy = R

 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y

Podemos então relaxar um pouco as exigências do teorema de

177

Teorema de Green e Teorema de Stokes Green e reformula-lo como:

Teorema 9.2. Sejam F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado ~ (x, y) = f1 (x, y)~i + f2 (x, y)~jj, f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são por: F contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple, fechada e Seja R a região limitada por C então: Z Z 

I f1 dx + f2 dy = C

9.5

R

 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y

Verificação do Teorema de Green

Caros alunos, nesta seção faremos uma verificação do teorema de Green. A saber:

Exemplo 9.1. Considere a campo vetorial F~ : R2 7→ R2 dado por y ~ x ~ F~ (x, y) = − 2 i+ 2 j e a região com buraco limitadas 2 x +y x + y2 pelos círculos (ver Fig. 9.9):

Figura 9.9: Verificação do teorema de Green

178

AULA

Cálculo III

C1 : x = b cos(t)

y = b sin(t)

t ∈ [0, 2π]

9

C2 : x = a cos(t) y = −a sin(t) t ∈ [0, 2π] onde a < b, C1 é percorrida no sentido anti-horário e C2 no sentido horário. Verificar o teorema de Green para os dados campo vetorial e região. SOLUÇÃO: Como o campo vetorial F~ (x, y) = −x2 y~i + xy 2~j temos suas componentes dadas por f1 (x, y) = −x2 y e f2 (x, y) = xy 2 ∂f1 ∂f2 e temos as derivadas e dadas por: ∂y ∂x

∂f1 ∂y

= =

(x2 + y 2 )(−1) − (−y)(2y) (x2 + y 2 )2 x2 − y 2 (x2 + y 2 )2

e

∂f2 ∂x

= =

Portanto

(x2 + y 2 )(+1) − (−x)(2x) (x2 + y 2 )2 x2 − y 2 (x2 + y 2 )2

∂f1 ∂f2 = e temos: ∂y ∂x Z Z  R

∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y

 dxdy = 0

Calculando a integral de linha em C1 temos:

179

Teorema de Green e Teorema de Stokes

I

I

1 (xdx − ydy) x2 + y 2

f1 dx + f2 dy =

C1 2π

C1

Z =

0

b2 cos2 (t) + b2 sin2 (t) dt + b2 cos2 (t) + b2 sin2 (t)

2π

Z =

dt 0 2π

= t

0

= 2π

E calculando a integral de linha em C2 temos:

I

I f1 dx + f2 dy =

C2

C1

x2

Z

2π

= − 0

Z

1 (xdx − ydy) + y2 a2 cos2 (t) + a2 sin2 (t) dt + a2 cos2 (t) + a2 sin2 (t)

2π

= −

dt 0

2π = −t 0

= −2π

Temos então que: I

I f1 dx + f2 dy +

C1

f1 dx + f2 dy = 0 C2

E o teorema de Green é verificado: I f1 dx + f2 dy + C1

180

Z Z 

I f1 dx + f2 dy = C2

R

∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y

 dxdy 

Cálculo III

9.6

Teorema de Stokes

AULA

9

Caros alunos, nesta seção trataremos do Teorema de Stokes, que é uma generalização do Teorema de Green. Porém, devido a dificuldade das técnicas usada em sua demonstração e que escapam ao escopo deste curso, nos limitaremos a apresenta-lo e fazer uma aplicação do mesmo. Começamos por estender o conceito de densidade de circulação (rotacional). Como vimos anteriormente a componente ~k da densidade de circulação de um campo vetorial bi-dimensional F~ (x, y) = ∂f2 ∂f1 f1 (x, y)~i + f2 (x, y)~j é dada por: − . Em dimensão três, a ∂x ∂y densidade de circulação (rotacional) é um vetor normal ao plano de circulação cuja direção satisfaz a regra da mão direita. A taxa de rotação do fluido é medida pelo módulo do vetor rotacional. Vamos à definição: Definição 9.3. Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 uma campo vetorial

BIOGRAFIA Sir George Gabriel Stokes nasceu em Skreen, Condando de Sligo, 13 de Agosto de 1819 e morreu em Cambridge, 1 de Fevereiro de 1903, foi um matemático e físico irlandês que se distinguiu pelas suas contribuições na dinâmica de fluidos (por exemplo, as equações de Navier-Stokes), na óptica e física matemática (Teorema de Stokes). Wikipedia

tridimensional dado por: F~ (x, y, z) = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k onde f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O rotacional de F~ , denotado RotF~ ou ∇ × F~ , é definido por: def

∇ × F~ =



     ∂f1 ∂f3 ~ ∂f2 ∂f1 ~ ∂f3 ∂f2 ~ − i+ − j+ − k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Vamos agora enunciar o Teorema de Stokes que nos diz que sob certas condições a circulação de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície S ⊂ R3 no sentido anti-horário com relação ao campo de vetores normais a S é igual a integral de superfície do componente normal do rotacional.

181

Teorema de Green e Teorema de Stokes Teorema 9.3. Sejam F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional cujas componentes são contínuas e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R3 uma superfície lisa com borda C ⊂ D ⊂ R3 lisa então, a circulação do campo vetorial F~ ao longo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação aos vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície da componente normal do rotacional i.e.:

I

F~ • d~~r =

Z

C

(∇ × f~) • ~n dσ

S

OBS 9.1. Se duas superfícies orientadas diferentes S1 e S2 tem a mesma borda C as integrais de superfície da componente normal do rotacional de um campo vetorial que atravessa ambas são iguais: Z

(∇ × f~) • ~n dσ =

S1

Z

(∇ × f~) • ~n dσ

S2

OBS 9.2. Se C é uma curva lisa do plano xy, orientada no sentido anti-horário e R a região de xy delimitada por C o vetor normal a R é ~n = ~kk. Daí, temos:

∂f2 ∂f1 ∇ × F~ • ~n = ∇ × F~ • ~k = − ∂x ∂y E o teorema de Stokes pode ser escrito como:

I C

F~ • d~~r =

Z Z  R

∂f2 ∂f1 − ∂x ∂y

 dxdy

Que é o teorema de Green. Daí, se diz que o teorema de Green é um caso particular do teorema de Stokes.

182

Cálculo III

9.7

Aplicação do Teorema de Stokes

AULA

9

Caros alunos, nesta seção faremos uma aplicação do teorema de Stokes. A saber:

Figura 9.10: Verificação do teorema de Stokes Exemplo 9.2. Considere a campo vetorial F~ : R3 7→ R3 dado por F~ (x, y) = (yz + xz)~i + (xz + x)~j + (xy − y 2 /2)~k e a Curva C na p qual o plano z = a > 0 corta o cone z = x2 + y 2 (ver Fig. 9.10) e determine a circulação de F~ ao longo de C.

~ ao longo de C SOLUÇÃO: Para determinação da circulação de F usaremos o teorema de Stokes. Percorrer C no sentido anti-horário visto de cima corresponde a tomar a normal ~n ao cone apontando para dentro. O cone pode ser parametrizado por:

~r (r, ϑ) = ar cos(ϑ)~i + ar sin(ϑ)~j + ar~kk, ∀r ∈ [0, 1], ∀ϑ ∈ [0, 2π] As derivadas parciais ~r r e ~r ϑ são dadas por:

183

Teorema de Green e Teorema de Stokes

~r r = a cos(ϑ)~i + a sin(ϑ)~j + a~k ~r ϑ = −ar sin(ϑ)~i + ar cos(ϑ)~j + 0~k Daí, o produto vetorial ~r r × ~r ϑ pode ser calculado como: ~i ~j ~r r × ~r ϑ = det a cos(ϑ) a sin(ϑ) −ar sin(ϑ) ar cos(ϑ)

~k a 0

Daí, temos:

~r r × ~r ϑ = −ar cos(ϑ)~i − ar sin(ϑ)~j + ar~k Como, para uma superfície parametrizada temos: Z Z

F~ • ~n dσ = S

Z bZ a

d

(∇ × F~ ) • (~~r u × ~r v )dudv

c

Calculando o rotacional de F~ temos: ~k ~i ~j ∂ ∂ ∂ ∇ × F~ = det ∂x ∂t ∂z yz + xz xz + x xy − y 2 /2 Daí, temos:

∇ × F~ = −y~i + x~j + ~k

E como ∇ × F~ (x, y, z) = −y~i + x~j + ~k temos:

184



AULA

Cálculo III

9 ∇ × F~ • (~~r u × ~r v ) = +a2 r2 cos(ϑ) sin(ϑ) − a2 r2 cos(ϑ) sin(ϑ) + ar = ar E podemos calcular a integral de superfície como:

Z Z

F~ • ~n dσ =

Z

2π

Z

1

ardrdϑ = aπ

S

0

0

Usando o teorema de Stokes para calcular a circulação temos: I

F~ • d~~r =

C

9.8

Z Z

(∇ × F~ ) • ~n dσ = aπ  S

Conclusão

Na aula de hoje, vimos dois grandes teoremas do Cálculo. O teorema de Green que relaciona o fluxo exterior através de uma curva lisa do plano de um campo vetorial com a integral dupla do divergente do campo vetorial sobre a região delimitada pela curva. O teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo de vetores tridimensional ao longo da borda de uma superfície no espaço com a integral de superfície da componente normal do rotacional do campo vetorial.

RESUMO

No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e teoremas:

185

Teorema de Green e Teorema de Stokes Densidade de Fluxo de um Campo Vetorial Bi-dimensional

Seja F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde: F~ (x, y) = f1 (x, y)~ii+f2 (x, y)~jj, f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Definimos a densidade de fluxo do campo vetorial F~ no ponto (x, y), denominado divergente de F~ , denotado DivF~ ou ∇•F~ por: ∂f2 def ∂f1 ∇ • F~ = + ∂x ∂y Densidade de Circulação de um Campo Vetorial Bi-dimensional

Seja F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde: F~ (x, y) = f1 (x, y)~ii+f2 (x, y)~jj, f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Definimos a componente ~k da densidade de circulação do ~ no ponto (x, y), denominado rotacional de F ~, campo vetorial F denotado RotF~ ou ∇ × F~ por: ∂f1 def ∂f2 ∇ × F~ = − ∂x ∂y Teorema de Green Sejam F~ : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado por: F~ (x, y) = f1 (x, y)~i + f2 (x, y)~jj, f1 , f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple, fechada e Seja R a região limitada por C então: Z Z 

I f1 dx + f2 dy = C

R

 ∂f2 ∂f1 − ) dxdy ∂x ∂y

Rotacional Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 uma campo vetorial tridimensional dado por: F~ (x, y, z) = f1 (x, y, z)~ii+f2 (x, y, z)~jj+f3 (x, y, z)~k onde f1 , f2 , f3 :

186

Cálculo III

AULA

D ⊂ R3 7→ R são funções contínuas e com derivadas parciais de

9

primeira ordem contínuas. O rotacional de F~ , denotado RotF~ ou ∇ × F~ , é definido por: def

∇ × F~ =



     ∂f3 ∂f2 ~ ∂f1 ∂f3 ~ ∂f2 ∂f1 ~ − i+ − j+ − k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Teorema de Stokes Sejam F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional cujas componentes são contínuas e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R3 uma superfície lisa com borda C ⊂ D ⊂ R3 lisa então, a circulação do campo vetorial F~ ao l.ongo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação aos vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície da componente normal do rotacional i.e.: I C

F~ • d~~r =

Z

(∇ × f~) • ~n dσ

S

PRÓXIMA AULA

Na próxima aula estudaremos outro importante teorema do Cálculo atribuído ao Matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss resumidamente denominado de “Teorema da Divergência”.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões:

ATIV. 9.1. Sejam F~ : R2 7→ R2 o campo vetorial bi-dimensional dado por: F~ (x, y) = y~ii+0~j e R ⊂ R2 a região limitada pelo círculo

187

Teorema de Green e Teorema de Stokes C ⊂ R2 dado por: x2 + y 2 = a2 . Verifique o teorema de Green para este campo vetorial e esta região. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

texto e as verificações acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 9.2. Sejam F~ : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensional dado por: F~ (x, y) = x2~i + x~j + z~k e R ⊂ R2 a região limitada pela elipse C ⊂ R2 dado por: a2 x2 + y 2 = a2 . Use o teorema de Stokes e determine a circulação do campo F~ ao longo da curva C no sentido anti-horário quando vista de cima. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

texto e as verificações acima, elas lhe servirão de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

188

AULA

Teorema de Divergência META: Apresentar o teorema de Gauss e algumas de suas aplicações. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Enunciar o teorema de Gauss. Determinar o divergente de um campo vetorial e determinar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I e aula 08.

10

Teorema de Divergência

10.1

Introdução

Caros alunos terminamos aqui nosso curso de Cálculo III com o tema “Teorema da Divergência”, atribuído ao Matemático alemão BIOGRAFIA Johann Carl Friedrich Gauss nasceu em Braunschweig, 30 de Abril de 1777 e morreu em Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855, foi um matemático, astrônomo e físico alemão. Conhecido como o príncipe dos matemáticos. Muitos consideram Gauss o maior gênio da história da matemática. Seu QI foi estimado em cerca de 240. Wikipedia

Johann Carl Friedrich Gauss e mais tarde atribuido também ao Matemático russo Mikhail Vasilievich Ostrogradsky. O teorema de Gauss, ou teorema da divergência, relaciona uma integral tripla num sólido D ⊂ R3 com a integral sobre a superfície S ⊂ R3 que é fronteira deste sólido.

10.2

Preliminares

Como preliminares precisaremos apenas estender a definição de divergente de um campo vetorial bi-dimensional, visto na aula anterior, para o divergente de um campo vetorial tridimensional. Vamos logo à tarefa. Definição 10.1. Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado por F~ (x, y, z) = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D. Definimos o divergente de F~ , denotado DivF~ ou ∇ • F~ , por: ∂f2 ∂f3 def ∂f1 ∇ • F~ = + + ∂x ∂y ∂z Exemplo 10.1. Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensional dado por F~ (x, y, z) = x2 yz~i + xy 2 z~j + xyz 2~kk. O seu divergente será:

190

Cálculo III

AULA

10 ∇ • F~

∂ 2 ∂ ∂ (x yz) + (xy 2 z) + (xyz 2 ) ∂x ∂y ∂z = 2xyz + 2xyz + 2xyz

=

= 6xyz

10.3

Teorema da Divergência

Caros alunos, nesta seção vamos estudar a transformação de certas integrais de volume em integrais de superfícies que é o análogo no espaço do teorema de Green (em sua forma divergente) estudado na aula anterior. Como condições impostas primeiramente ao campo vetorial F~ é que ele tenha componentes contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas o que já basta para o nosso propósito. Quanto a região D ⊂ R3 , desejamos que ela seja regular e suave, tenha fronteira S ⊂ R3 regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pontos Uma tal região será aqui chamada de região simples. Um exemplo de tal região é a limitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 . Vamos ao enunciado e a demonstração do teorema da divergência.

Teorema 10.1. Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado por F~ (x, y, z) = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem

191

Teorema de Divergência contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pontos (ver Fig. 10.1) então:

Figura 10.1: Teorema da divergência

Z Z Z

∇ • F~ dxdydz =

Z Z

D

F~ • ~n dσ S

PROVA: Quando projetamos uma região regular e simples D no plano xy, sua fronteira S consiste de duas partes S1 e S2 dadas pelas funções: z1 (x, y) e z2 (x, y) respectivamente (ver Fig. 10.1). Seja f3 (x, y, z) uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D. Então:

Z Z Z D

192

∂f3 dV ol = ∂z

Z Z

Z

z2 (x,y)

dxdy Sxy

z1 (x,y)

∂f3 dz ∂z

AULA

Cálculo III

10

Integrando e substituindo os limites temos:

Z Z Z

∂f3 dV ol = ∂z

D

Z Z f3 (x, y, z2 (x, y))dxdy − Sxy

Z Z −

f3 (x, y, z1 (x, y))dxdy Sxy

Seja ~n = nx~i + ny~j + nz~k a normal a S em cada ponto (x, y, z) ∈ S apontando para fora de D e seja γ o ângulo entre ~n e ~k desta forma temos: ~n • ~k = nz = cos(γ).|~~n |.|~kk| i.e. cos(γ) = nz em S2 e cos(γ) = −nz em S1 . Daí, e do fato de que dxdy = cos(γ)dσ onde dσ é o elemento de área em S, temos: Z Z

Z Z f3 (x, y, z2 (x, y))dxdy =

f3 nz dσ

Sxy

S2

e também: Z Z

Z Z f3 (x, y, z1 (x, y))dxdy = −

f3 nz dσ S1

Sxy

Daí, e da expressão anterior temos:

Z Z Z D

∂f3 dV ol = ∂z

Z Z

Z Z f3 nz dσ +

S2

f3 nz dσ S1

Z Z =

f3 nz dσ S2 ∪S1

Como S = S2 ∪ S1 temos: Z Z Z D

∂f3 dV ol = ∂z

Z Z f3 nz dσ S

De forma análoga, usando as projeções de D sobre os planos coordenados yz e xz podemos deduzir que:

193

Teorema de Divergência

Z Z Z D

∂f1 dV ol = ∂x

Z Z

∂f2 dV ol = ∂y

Z Z

f1 nx dσ S

e também: Z Z Z D

f2 ny dσ S

Somando as três equações acima temos: Z Z Z  D

∂f1 ∂f2 ∂f3 + + ∂x ∂y ∂z



Z Z dV ol =

(f1 nx + f2 ny + f3 nz )dσ S

Como F~ = f1~i + f2~j + f3~k temos:

F~ • ~n = f1 nx + f2 ny + f3 nz ∂f1 ∂f2 ∂f3 ∇ • F~ = + + ∂x ∂y ∂z

E temos então: Z Z Z

∇ • F~ dV ol = D

10.4

Z Z

F~ • ~n dσ 

S

Estendendo o Teorema da Divergência

Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema da divergência comportem um grande número de regiões D, muitas outras não se enquadram na categoria que goza da propriedade de ser uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados

194

AULA

Cálculo III

10

Figura 10.2: Teorema da divergência que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pontos. È o caso da região dada pela Fig. 10.2. Observando porém, que se a região D puder ser decomposta em um número finito de sub-regiões simples, podemos escrever o teorema da divergência em cada uma das sub-regiões e somar o resultado, de forma que para a região D o teorema continue válido. Desta forma podemos enunciar uma forma mais ampla do teorema da divergência. A saber:

Teorema 10.2. Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado por F~ (x, y, z) = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, então: Z Z Z

∇ • F~ dxdydz = D

Z Z

F~ • ~n dσ S

195

Teorema de Divergência

10.5

Algumas Aplicações do Teorema da Divergência

Caros alunos, nesta seção faremos algumas aplicações do teorema da divergência. A primeira é no calculo do fluxo exterior de um campo vetorial tridimensional, a segunda no cálculo do fluxo exterior do campo elétrico gerado por uma carga pontual através de uma superfície fechada em cujo interior encontra-se a carga elétrica e a terceira na redução da forma integral da lei de balanço de massa à sua forma diferencial pontual.

~ : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensiExemplo 10.2. Sejam F onal dado por: F~ (x, y) = x~i + y~j + z~k e D a região delimitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 . Determine o fluxo exterior de F~ dado por Z Z F~ • ~n dσ através da superfície da esfera. S

Vamos ao calculo do fluxo exterior de um campo vetorial tridimensional. SOLUÇÃO: Do teorema da divergência temos: Z Z

F~ • ~n dσ = S

Z Z Z

∇ • F~ dV ol D

Portanto basta calcular a integral tripla sobre a região da esfera do divergente de F~ . Como F~ (x, y) = x~i + y~j + z~k seu divergente será:

∇ • F~

196

∂ ∂ ∂ (x) + (y) + (z) ∂x ∂y ∂z = 3

=

AULA

Cálculo III

10

Daí, temos:

Z Z

F~ • ~n dσ =

Z Z Z 3dV ol

S

Z Z

D Z

= 3

dV ol D

= 4πa3 

Vamos ao cálculo do fluxo exterior do campo elétrico gerado por uma carga pontual através de uma superfície S ⊂ R3 em cujo interior encontra-se a carga elétrica.

Exemplo 10.3. O campo elétrico gerado por uma carga elétrica pontual q localizada na origem é dado por:

~ = E

q ~r 4π0 |~~r |3

Como ~r = x~i + y~j + z~kk, colocando φ = |~~r | =

~ = E

p x2 + y 2 + z 2 temos:

q ~ F 4π0

1 onde F~ = 3 ~r . φ Podemos escrever o vetor F~ em suas componentes como: x y z F~ = 3~i + 3~j + 3 ~k φ φ φ Calculando as derivadas parciais das componentes de F~ temos:

∂ ∂x



x φ3

φ3 − 3xφ2

 =

∂φ ∂x

φ6

197

Teorema de Divergência Como φ = |~~r | =

p x2 + y 2 + z 2 temos: x ∂φ x =p = 2 2 2 ∂x φ x +y +z

Logo: ∂ ∂x



x φ3



y φ3



z φ3



=

φ3 − 3x2 φ φ6

=

φ3 − 3y 2 φ φ6

=

φ3 − 3z 2 φ φ6

De modo análogo temos: ∂ ∂y



∂ ∂z



e também:

Somando as três equações temos:

∂ ∂x



x φ3



∂ + ∂y



y φ3



∂ + ∂z



z φ3



3φ3 − 3(x2 + y 2 + z 2 )φ φ6 3φ3 − 3φ2 φ = φ6 = 0 =

Logo como:     ∂ y ∂ z + + =0 3 ∂y φ ∂z φ3 ~ = q ∇ • F~ temos: E também como ∇ • E 4π0 ∂ ∇ • F~ = ∂x



x φ3



~ =0 ∇•E

198

Cálculo III

AULA

Tomando D∗ como a região entre S e uma esfera centrada na

10

origem Sa e cujo raio a seja suficiente para que S permaneça no interior da esfera eaplicando o teorema da divergência temos: Z Z Z Z Z ~ ~ ∇•E EdV ol = 0 E • ~n dσ = D∗

S∪Sa

~ através de S no sentido que se afasta da origem Logo o fluxo de E ~ através de Sa no sentido que se afasta é o mesmo que o fluxo de E da origem. ~ através de Sa no sentido que se afasta da origem Como fluxo de E q é temos: 0 Z Z

~ • ~n dσ = q  E 0 S

Como última aplicação veremos como reduzir da forma integral para a forma diferencial pontual a equação de balanço de massa conhecida como Lei de Lavoisier. Sejam D ⊂ R3 uma região regular e suave do espaço e ~v : D ⊂ R3 7→ R3 um campo de velocidade de um fluido cuja densidade de massa é dada por % : D ⊂ R3 7→ R+ e que preenche D. Em sua forma integral o balanço de massa estabelece que ∀D∗ ⊂ D ⊂ R3 regular e suave com fronteira S ∗ regular e suave vale: d dt

Z Z Z

Z Z %~~v • ~n dσ = 0

%dV ol + D∗

S∗

onde a primeira integral representa a variação total da massa dentro da região D∗ e a segunda representa a variação de massa que penetra em D∗ pela superfície S ∗ . Usando o teorema da divergência temos: d dt

Z Z Z

Z Z Z ∇ • (%~~v )dV ol = 0

%dV ol + D∗

D∗

199

Teorema de Divergência Daí, tomando regiões D∗ que não variem com o tempo d dt

Z Z Z

Z Z Z %dV ol = D∗

D∗

∂% dV ol ∂t

E podemos reformular a equação de balanço de massa para a forma: 

Z Z Z D∗

 ∂% + ∇ • (%~~v ) dV ol = 0 ∂t

Como a integral acima vale ∀D∗ ⊂ D ⊂ R3 podemos dividi-la por V ol(D∗ ), usar o teorema do valor médio para integrais, fazer V ol(D∗ ) tender a zero e concluir que: ∂% + ∇ • (%~~v ) = 0 ∂t Que a forma diferencial pontual da equação de balanço de massa.

10.6

Conclusão

Na aula de hoje, vimos um importante teorema do Cálculo denominado “Teorema da Divergência” atribuído aos Matemáticos Gauss e Ostrogradsky. Tem forte conotação física e é utilizado para reduzir as leis de conservação de sua forma integral para forma diferencial pontual.

RESUMO

No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e teoremas:

200

AULA

Cálculo III Divergente de um Campo Vetorial Tridimensional

10

Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado por F~ (x, y, z) = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k tal que suas componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D. Definimos o divergente de F~ , denotado DivF~ ou ∇ • F~ , por:

def

DivF~ =

∂f1 ∂f2 ∂f3 + + ∂x ∂y ∂z

Teorema da Divergência: Forma Restritiva

Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado ~ (x, y, z) = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k tal que suas por F componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pontos então: Z Z Z

∇ • F~ dxdydz = D

Z Z

F~ • ~n dσ

S

Teorema da Divergência: Forma mais Ampla

Seja F~ : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado por F~ (x, y, z) = f1 (x, y, z)~i + f2 (x, y, z)~j + f3 (x, y, z)~k tal que suas

201

Teorema de Divergência componentes f1 , f2 , f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, então: Z Z Z

∇ • F~ dxdydz =

Z Z

D

F~ • ~n dσ S

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões:

ATIV. 10.1. Sejam F~ : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensional dado por: F~ (x, y) = x2~i − 2xy~j + 3xz~k e D ⊂ R3 a região limitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 e z ≥ 0 (acima do plano z = 0). Use o teorema da divergência e determine o fluxo exterior através da fronteira da região D. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 10.2. Sejam F~ : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensional dado por: F~ (x, y) = x~i + y~j + z~k e suponha que a região D ⊂ R3 seja uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave,. Mostre que o volume V ol(D) da região D é dado pela fórmula: 1 V ol(D) = 3

202

Z Z

F~ • ~n dσ S

Cálculo III

AULA

10

. Comentário:

Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

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