Livro Xmat Vol03 Efomm - 2009a2016 - 2aed
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
Renato Madeira
Sumário
INTRODUÇÃO ............................................. ................................................................... ............................................ ............................................. ............................................ .....................2 CAPÍTULO 1 - ENUNCIADOS ......................................... ............................................................... ............................................. ............................................ .....................3 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2015/2016 .................................... .......................................................... ................................ .......... 3 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2014/2015 .................................... .......................................................... ................................ .......... 9 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2013/2014 .................................... .......................................................... .............................. ........ 16 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2012/2013 .................................... .......................................................... .............................. ........ 21 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2011/2012 .................................... .......................................................... .............................. ........ 27 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2010/2011 .................................... .......................................................... .............................. ........ 33 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2009/2010 .................................... .......................................................... .............................. ........ 38 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2008/2009 .................................... .......................................................... .............................. ........ 45 CAPÍTULO 2 ............................................. .................................................................... ............................................. ............................................. ............................................. ......................50 RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES .................................... .......................................................... ................................. ........... 50 CAPÍTULO 3 ............................................. .................................................................... ............................................. ............................................. ............................................. ......................55 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES ............................................. .................................................................... ............................................. ................................. ........... 55 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2015/2016 .................................... .......................................................... .............................. ........ 55 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2014/2015 .................................... .......................................................... .............................. ........ 69 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2013/2014 .................................... .......................................................... .............................. ........ 86 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2012/2013 .................................... .......................................................... ............................ ...... 100 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2011/2012 .................................... .......................................................... ............................ ...... 116 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2010/2011 .................................... .......................................................... ............................ ...... 130 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2009/2010 .................................... .......................................................... ............................ ...... 146 PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2008/2009 .................................... .......................................................... ............................ ...... 164
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
Renato Madeira
INTRODUÇÃO Esse livro é uma coletânea com as questões das Provas de Matemática do Processo Seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) dos anos de 2009 a 2016 detalhadamente resolvidas e classificadas por assunto, totalizando 160 questões. No capítulo 1 encontram-se os enunciados das provas, para que o estudante tente resolvê-las de maneira independente. No capítulo 2 encontram-se as respostas às questões e a sua classificação por assunto. É apresentada também uma análise da incidência dos assuntos nesses 6 anos de prova. No capítulo 3 encontram-se as resoluções das questões. É desejável desejável que o estudante tente resolver as questões com afinco antes de recorrer à sua resolução. Espero que este livro seja útil para aqueles que estejam se preparando para o concurso da EFOMM ou concursos afins e também para aqueles que apreciam Matemática.
Renato de Oliveira Caldas Madeira é engenheiro aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) da turma de 1997 e Mestre em Matemática Aplicada pelo Fundação Getúlio Vargas (FGV-RJ) em 2015; participou de olimpíadas de Matemática no início da década de 90, tendo sido medalhista em competições nacionais e internacionais; trabalha com preparação pr eparação em Matemática para concursos militares há 20 anos e é aut or do blog “Mademática”. AGRADECIMENTOS Gostaria de dedicar esse livro à minha mi nha esposa Poliana pela ajuda, compreensão e amor durante toda a vida e, em particular, durante a elaboração dessa obra e a meus filhos Daniel e Davi que eu espero sejam futuros leitores deste livro. Renato Madeira
Acompanhe o blog www.madematica.blogspot.com e fique sabendo dos lançamentos dos próximos volumes da coleção X-MAT! Volumes já lançados: Livro X-MAT Volume 1 EPCAr 2010-2016 (2ª edição) Livro X-MAT Volume 2 AFA 2010-2016 (2ª edição) Livro X-MAT Volume 4 Escola Naval 2010-2016 (2ª edição) Livro X-MAT Volume 5 Colégio Naval 1984-2016 (2ª edição) Livro X-MAT Volume 6 EsPCEx 2011-2016 (1ª edição)
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Renato Madeira ENUNCIADOS EFOMM 2015-2016
CAPÍTULO 1 - ENUNCIADOS PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2015/2016 1) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência a,b,c . Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b OU que a, b e c sejam primos? a) b) c) d) e)
4 216 27 216 108 216 31 216 10 216 2
2) O valor da integral 2 tg3 2x sec 2x dx , sendo c uma constante, é a) sec2 2x tg2 2x c sec2 2x tg 2 2x c b) tg 2x c) arctg ln x c tg 7 2x c d) 7
e) tg 2x sen 2x c 3) De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L R C , onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria produziu x peças e verificou que o custo de produção era dado pela função C x x2 500x 100 e a receita representada por R x 2000x x 2 . Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. a) 625 b) 781150 c) 1000 d) 250 e) 375 2 4t é: t 0 t
4) O valor de lim a) 1
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b) c) d)
Renato Madeira ENUNCIADOS EFOMM 2015-2016
1 4 1
3 1 2
e) 2 5) A solução do sistema: x y z w 7 xy xz xw yz yw zw 4 xyz xyw xzw yzw 6 xyzw 1 pode ser representada pelas raízes do polinômio: a) x3 6x2 4x 7 b) x3 6x2 4x 7 c) 2x4 14x3 8x 2 12x 2 d) 7x4 4x3 6x 2 x e) x4 7x3 4x2 6x
6) Sabendo que
5 2
é uma raiz do polinômio P x 2x3 3x2 9x 10 , a soma das outras raízes é
igual a: a) 2 b) 0 c) 10 d) 1 e) 1 7) Seja o número complexo z 1 3 i , onde i é a unidade imaginária. O valor de 4 4 a) z 256 cos i sen 3 3 b) z 256 cos i sen 3 3 5 5 c) z 256 cos i sen 3 3 2 2 d) z 256 cos i sen 3 3 e) z 256 cos2 isen2
z
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é:
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8) Determine o perímetro do triângulo ABD, em cm, representado na figura abaixo:
a) 5 3 5 b) 5 2 2 3 1 c) 20 4 5 d) 45 e) 50 9) Determine o comprimento do menor arco AB na circunferência de centro O, representada na figura a seguir, sabendo que o segmento OD mede 12 cm, os ângulos COD 30 e OAB 15 e que a área do triângulo CDO é igual a 18cm2 . ˆ
ˆ
a) 5 cm b) 12 cm c) 5 cm d) 12 cm e) 10 cm 10) Dados os pontos A 2, 5 , B 1,1 e C 1, 1 , o valor da altura do triângulo ABC em relação à base AC é igual a: a) 37 b) 5 c) 8 d)
14 37 37
e) 7
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11) Numa progressão geométrica crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com o dobro do 2º termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 26, determine o valor do 2º termo. a) 6 b) 2 c) 3 d) 1 e)
26 7
12) Determine a imagem da função f, definida por f x x 2 x 2 , para todo x , onde o conjunto dos números reais. a) Im f b) Im f y | y 0 c) Im f y | 0 y 4 d) Im f y | y 4 e) Im f y | y 0
é
13) Quanto à posição relativa, podemos classificar as circunferências x 22 y 32 9 e x 2 y2 8x 15 0 como a) secantes. b) tangentes internas. c) tangentes externas. d) externas. e) internas. 14) A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é a) 40320 b) 38160 c) 37920 d) 7200 e) 3600 e x e x 15) Um aluno precisa construir o gráfico da função real f, definida por f x . Ele percebeu 2 2 e x e x e x e x f x . Assinale a que a função possui a seguinte característica: f x 2 2 2 2
alternativa que representa o gráfico dessa função.
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16) Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médio de cada lado, temos um segundo quadrado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é
9 2
25
45
a) 2 b)
2
2
c) 2 2 d) 245 e) 225
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Renato Madeira ENUNCIADOS EFOMM 2015-2016
17) O número complexo, z z cos i sen , sendo i a unidade imaginária e 0 2 , que satisfaz a inequação z 3i 2 e que possui o menor argumento , é 5 2 5 i 3 3 5 2 5 b) z i 3 3 2 5 5 i c) z 3 3 2 5 5 d) z i 3 3
a) z
e) z 2 5 5i 18) Seja o polinômio p x x6 26x4 32x3 147x 2 96x 180 . A respeito das raízes da equação p x 0 , podemos afirmar que a) todas as raízes são reais. b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas. c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais. d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas. e) nenhuma raiz é real. 19) Um garrafão contém 3 litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se um litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-se, a seguir, um litro da mistura e acrescentase um litro de água, e assim por diante. A quantidade de vinho, em litros, que resta no garrafão, após 5 dessas operações, é aproximadamente igual a a) 0,396 b) 0,521 c) 0,676 d) 0,693 e) 0,724 20) Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a a) b) c) d) e)
1
12 2 3
3
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2014/2015 1) O conjunto de todos os números reais q 1 , para os quais a1 , a 2 e a 3 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q , com primeiro termo 2 e representam as medidas dos lados de um triângulo, é 1 5 a) 1, . 2 1 5 b) 1, . 2 1 5 c) 1, . 5 1 5 d) 1, . 4 e) 1,1 5 . x
x 1 2) Sabendo-se que a lim , pode-se afirmar que o ângulo , em radianos, tal que x x 1 tg ln a 1, pode ser a) 4
b) c) d) e)
2
3 4
4
2
3) Considere o número complexo z1 1, tal que z1 seja solução da equação z6 1 , com menor argumento positivo. A solução z 2 da mesma equação, cujo argumento é o triplo do argumento de z1 , é igual a 1 3 i 2 2 1 3 b) i 2 2 c) 1 1 3 d) i 2 2
a)
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e)
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1 3 i 2 2
4) Considerando os pontos A 1,1 , B 3,4 , C 1,5 , D 3,2 e P como a interseção dos segmentos AB e CD, a expressão 3a 6b , onde a é a área do triângulo APC e b é a área do triângulo BPD , é igual a a) 24 b) 20 c) 10 d) 16 e) 12 5) Uma turma de alunos do 1 ano da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8h40 às 10h20 e de 10h30 às 12h . As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a) 9 b) 18 c) 36 d) 48 e) 54 6) Sejam as funções f : e g : . Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora, considere as sentenças a seguir: I - g f é injetora; II - f g é bijetora; III - g f é sobrejetora. Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada sentença, obtém-se a) V – V – V b) V – V – F c) F – V – F d) F – F – V e) V – F – V
e 2 3 7) Sabendo-se que det 1 2 0 1 3 1 1 3 2e 2 8 24 2 1 2 3 4 5 det 5 6 . 2 3 4 0 1 3 5 12 3 0 5 5 16
1
2
33
4
5
3
4
3
5
2
0
1 6 a, 5 12 4
calcule,
em
função
de
a
,
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a) 2a b) 2a c) a d) a e) 3a 8) Deseja-se construir uma janela que, possuindo a forma de um retângulo sob um semicírculo, conforme figura abaixo, permita o máximo de passagem de luz possível. Sabe-se que: o vidro do retângulo será transparente; o vidro do semicírculo será colorido, transmitindo, por unidade de área, apenas metade da luz incidente em relação ao vidro transparente; o perímetro total da janela é fixo p . Nessas condições, determine as medidas da parte retangular da janela, em função do perímetro p . Obs.: Ignore a espessura do caixilho.
a) b) c) d) e)
4
p e 3 8 2 p e 3 8 8 p e 3 8 6 p e 3 8 4 p e 3 8
4 p 2 3 8 4 p 4 3 8 4 p 3 8 3 4 p 4 3 8 8
p 3 8
9) Um juiz de futebol trapalhão tem no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com uma face amarela e uma outro face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um cartão, retirado do bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador vê é amarela, a probabilidade de a face voltada para o juiz ser vermelha será a) b) c) d)
1 6 1 3 2 3 1 2
. . . .
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e)
3 2
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.
10) Assinale a alternativa que apresenta equações paramétricas da reta r , sabendo-se que o ponto A , x 2 t cujas coordenadas são 2, 3, 4 , pertence a r e que r é ortogonal às retas r1 : y t e z 3 y x 1 r2 : . z 3 x 2 y 3 4z a) r : 6 6 x 2 6t
b) r : y 3 5t z 4 y x 5 c) r : z 6 x x 2 6t d) r : y 3 3t z 4 x 2 6t e) r : y 3 6t z 4 t 11) Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P i 2 e P 1 i 0 . 1 a) 2x3 3x 2 2x 2 b) c) d) e)
5 2 3 2x 3x 2 2x 2 5 2 3 2x 3x 2 2x 2 5 1 3 2x 3x 2 2x 2 5 2 3 x x 2 2x 3 3
12) Dada uma função F: , sabe-se que: i) F' x sen 3x cos 5x , onde F' x é a derivada da função F , em relação à variável independente x; ii) F 0 0 . O valor de F é 16 www.madematica.blogspot.com
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1 2 2 3 a) 4 2 4
b) c) d) e)
1
2 2 3 4 2 4 1 2 2 3 4 2 4 1 2 2 3 4 2 4 1 2 2 3 4 2 4
13) Os números reais positivos a1, a2 , , an formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q . Nesse caso, é correto afirmar que a sequência loga1,loga 2, ,loga n forma a) uma progressão geométrica crescente, se q 1 . b) uma progressão aritmética crescente, se q 1 . c) uma progressão geométrica decrescente, se 0 q 1 . d) uma progressão aritmética crescente, se 0 q 1 . e) uma progressão aritmética crescente, desde que q 0 . 14) Um tanque em forma de cone circular de altura h encontra-se com vértice para baixo e com eixo na vertical. Esse tanque, quando completamente cheio, comporta 6000 litros de água. O volume de água, quando o nível está a
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da altura, é igual a
a) 1500 litros. b) 150 litros. c) 93,75 litros. d) 30 litros. e) 125 litros. 15) Um astronauta, em sua nave espacial, consegue observar em certo momento exatamente
1 6
da
superfície de um planeta. Determine a que distância ele está da superfície desse planeta. Considere o raio do planeta igual a 12800 km . a) 1300 km b) 1500 km c) 1600 km d) 3200 km e) 6400 km 2
16) O valor da integral xe x dx é a)
1 x2 e c 4 www.madematica.blogspot.com
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x x2 e c 2 2 1 c) ex c 2 1 d) ex c 2 1 e) e x c 4
b)
1
27 10 6 3 64 é 17) O valor da expressão 4 83
a) b) c) d) e)
25 3 3 5
6 25 6 5
3 25
1 1 18) Sabe-se que uma partícula move-se segundo a equação S t t3 t 2 t 2 , onde t é o tempo 3
2
em segundos e S é a posição em metros. Pode-se afirmar que a aceleração da partícula, quando t = 2 s, é a) 3 m s2 b) 5 m s2 c) 7 m s2 d) 8 m s2 e) 10 m s2 19) Seja A a ij
33
uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo é dado pela lei
i j, se i j é par a ij . Pode-se afirmar que o valor de det A é i j, se i j é ímpar
a) 0 b) 12 c) 12 d) 4 e) 4 www.madematica.blogspot.com
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20) Seja C uma circunferência de raio 2 centrada na origem do plano xy . Um ponto P do 1º quadrante fixado sobre C determina um segmento OP , onde O é a origem, que forma um ângulo de radianos 4
com o eixo das abscissas. Pode-se afirmar que a reta tangente ao gráfico de C passando por P é dada por a) x y 2 0 b) 2x y 1 0 c) 2x y 2 0 d) x y 2 2 0 e) x y 2 2 0
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2013/2014 1) A área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular cujas bases são paralelas e têm áreas 25 3 cm2 e 4 3 cm2 e altura 4 cm é, em cm2 ,
a) 19 3 b) 25 3 c) 15 19 d) 21 19 e) 25 15 2) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2 cm . Se a sua área é menor ou igual a 35 cm2 , então todos os possíveis valores de x , em cm , satisfazem: a) 0 x 7 b) 0 x 5 c) 2 x 5 d) 2 x 7 e) 2 x 7 3) Uma pesquisa indica a taxa de crescimento populacional de uma cidade através da função P x 117 200x , por pessoas anualmente há x anos. Passados 10 anos, o crescimento é dado pela 10
integral 117 200x dx . Pode-se afirmar que esse crescimento será de 0
a) 10130 pessoas. b) 11170 pessoas. c) 11200 pessoas. d) 11310 pessoas. e) 12171 pessoas. 4) O valor da soma de exata, é a) 1 b) 0 c) 1
a e b , para que a divisão de f x x
3
ax b por g x 2x 2 2x 6 seja
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d) 2 e) 3 1 5
5) Seja x 0, 2 tal que senx cosx . Então, o produto P e a soma
S de
todos os possíveis
valores de tg x são, respectivamente, a) P 1 e S 0 b) P 1 e S 5 c) P 1 e S 0 d) P 1 e S 5 e) P 1 e S 5 6) Suponha um lote de dez peças, sendo duas defeituosas. Testam-se as peças, uma a uma, até que sejam encontradas as duas defeituosas. A probabilidade de que a última peça defeituosa seja encontrada no terceiro teste é igual a a) 1 45 b) 2 45 c) 1 15 d) 4 45 e) 1 9 7) O limite da soma da expressão a) b) c) d) e)
3 1 3 3 3 1 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
é igual a
1 7 2 7 3 7 4 7 5 7
8) Os valores de x , para os quais a função real dada por f x 4 2x 1 6 está definida, formam o conjunto 1 3 a) , 2 2 9 5 3 7 b) , , 2 2 2 2 5 1 7 11 c) , , 2 2 2 2 5 7 d) , 0 0, 2 2 www.madematica.blogspot.com
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9 1 3 11 e) , , 2 2 2 2
9) Os múltiplos de 5 são escritos na disposição abaixo:
Caso esse padrão seja mantido indefinidamente, com certeza o número 745 pertencerá à a) primeira coluna. b) segunda coluna. c) terceira coluna. d) quarta coluna. e) quinta coluna. x 10) Se g x 9x 11 e f g x g 1 são funções reais, então f 16 vale 9 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
11) O determinante da matriz A a ij , de ordem 2 , onde: cos 2i j , se i j a ij tg , se i j i j é igual a a) 1 3 . b) 1 3 . c) 3 . d) 3 . e) 1 .
12) Sabendo que a velocidade de uma partícula, em m s , é dada pela equação v t 2 3 t 5 t 2 (onde t é o tempo medido em segundos), pode-se afirmar que, no instante t 5 s , sua aceleração é a) 28 m s 2 b) 30 m s2 c) 36 m s 2 d) 47 m s 2 e) 53m s 2 www.madematica.blogspot.com
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13) O valor da expressão 163 4 4 812 274 3 é 1 a) 1 23 2 b) 1 23
3 c) 1 34 4 d) 1 24 5 e) 1 32
14) O valor de x para resolver a equação 4x 6x 2 9x é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 15) A única alternativa INCORRETA é 2 a) lim 3x 5x 2 4 x2
x 2 2x 3 4 b) lim x 1 4x 3 7 2
2x 2 x 2 c) lim 4 x 1 3x 2
x2 4 d) lim 2 2 x 2 x 2x 3 2 e) lim 3 x 22x 3x 2 2 x 2 x 4x 3 3
16) O valor de lim t 0
5 t t
35
é
a) 0 b) 1
10
c) d) e)
1 3
52 1 3
3 25
17) Considere um triângulo retângulo de catetos 9 cm e 12 cm. A bissetriz interna relativa à hipotenusa desse triângulo mede, em cm, a)
36 7
2.
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19
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b) c) d) e)
25
2
7 4 15 7 5 3
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2 2 2
5
18) Seja ax by cz d 0 a equação do plano que passa pelos pontos 4, 2,2 e 1,1,5 e é perpendicular ao plano 3x 2y 5z 1 0 . A razão
d b
é
5
a) . 4
b)
4
.
7
c) 8 . 1
d) . 2
e)
2 5
.
19) Denotaremos por n X o número de elementos de um conjunto finito X . Sejam A , B , C conjuntos tais que n A B 14 , n A C 14 e n B C 15 , n A B C 17 e n A B C 3 . Então n A n B n C é igual a a) 18 . b) 20 . c) 25 . d) 29 . e) 32 . 20) Sabendo-se que a raiz quadrada do número complexo 16 30i é a bi ou c di , onde a,b,c,d e a 0 , pode-se afirmar que o valor de a d é: a) +2. b) +1. c) 0. d) 1. e) 2.
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2012/2013 1 1 1) O valor de lim 2 é x 0 x x x a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
2) O número de bactérias B, numa cultura, após t horas, é B B0 ekt , onde k é uma constante real. Sabendo-se que o número inicial de bactérias é 100 e que essa quantidade duplica em t então o número N de bactérias, após 2 horas, satisfaz: a) 800 N 1600 b) 1600 N 8100 c) 8100 N 128000 d) 128000 N 256000 e) 256000 N 512000
ln 2 horas, 2
2 3) O gráfico de f x x 3 ex , x , tem uma assíntota horizontal r. Se o gráfico de f intercepta 2 r no ponto P a, b , então a 2 b esen a 4a é igual a: a) 3 b) 2 c) 3 d) 2
e)
1 2
4) Num quadrado de lado a, inscreve-se um círculo; nesse círculo se inscreve um novo quadrado e nele um novo círculo. Repetindo a operação indefinidamente, tem-se que a soma dos raios de todos os círculos é: a)
a 2 2 1 ; 2
b) a 2 2 1 ; c)
a 2 2 1 ; 2
d) a 2 2 1 ; e) 2a 2 1 . 2
1 i 1 5) Se os números reais x e y são soluções da equação 1 i , então 5x 15y é igual 1 i x iy a: a) 0 www.madematica.blogspot.com
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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b) 1 c) 1 d) 2 e) 2 6) Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de 12 cm de raio e ângulo central de 120 . Então, a altura do cone é: a) 2 2 b) 4 2 c) 6 2 d) 8 2 e) 12 2 7) Constrói-se um depósito, na forma de um sólido V, dentro de uma semiesfera de raio 4 m. O depósito é formado por uma semiesfera de raio 1 m sobreposta a um cilindro circular, dispostos conforme a figura. Então a área da superfície total de V, em m2 , é igual a:
a) 20 14 2 . b) 17 4 10 . c) 8 4 7 . d) 2 1 7 6 . e) 15 6 7 . 8) A empresa Alfa Tecidos dispõe de 5 teares que funcionam 6 horas por dia, simultaneamente. Essa empresa fabrica 1800 m de tecido, com 1,20 m de largura em 4 dias. Considerando que um dos teares parou de funcionar, em quantos dias, aproximadamente, a tecelagem fabricará 2000 m do mesmo tecido, com largura 0,80 m, e com cada uma de suas máquinas funcionando 8 horas por dia? a) 2 dias. b) 3 dias. c) 4 dias. d) 5 dias. e) 6 dias. www.madematica.blogspot.com
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
9) Se det
2
cos x sen x sen y cos y
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1 3
, então o valor de 3sen x y tg x y sec x y , para
x y , é igual a:
a) 0 b)
1 3
c) 2 d) 3 e)
1 2
10) O valor da integral senx cosxdx é: a) cosx c 1 4 1 c) cos x c 2 1 d) cos x c 4 1 e) cos2x c 2
b) cos2x c
11) Um muro será construído para isolar a área de uma escola que está situada a 2 km de distância da estação do metrô. Esse muro será erguido ao longo de todos os pontos P, tais que a razão entre a distância de P à estação do metrô e a distância de P à escola é constante e igual a 2 . Em razão disso, dois postes, com uma câmera cada, serão fixados nos pontos do muro que estão sobre a reta que passa pela escola e é perpendicular à reta que passa pelo metrô e pela escola. Então, a distância entre os postes, em km, será: a) 2. b) 2 2 . c) 2 3 d) 4. e) 2 5 . 12) O gráfico da função contínua y f x , no plano xy, é uma curva situada acima do eixo x para x 0 e possui a seguinte propriedade: “A área da região entre a curva y f x e o eixo x no intervalo a x b ( a 0 ) é igual a área entre a curva e o eixo x no intervalo ka x kb ( k 0 )”. Se a área da região entre a curva y f x e o eixo x para x no intervalo 1 x 3 é o número A então a área entre a curva y f x e o eixo x no intervalo 9 x 243 vale: a) 2A b) 3A c) 4A www.madematica.blogspot.com
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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d) 5A e) 6A 13) O código Morse, desenvolvido por Samuel Morse, em 1835, é um sistema de representação que utiliza letras, números e sinais de pontuação através de um sinal codificado intermitentemente por pulsos elétricos, perturbações perturbações sonoras, sinais visuais ou sinais de rádio. Sabendo-se que o código Morse trabalha com duas letras pré-estabelecidas, ponto e traço, e codifica com palavras de 1 a 4 letras, o número de palavras criadas é: a) 10. b) 15. c) 20. d) 25. e) 30. 14) Um ponto P x , y , no primeiro quadrante do plano xy, situa-se no gráfico de y x 2 . Se é o ângulo de inclinação da reta que passa por P e pela origem, então o valor da expressão 1 y (onde y é a ordenada de P) é: a) cos cos . b) cos2 . sec2 . c) sec d) tg 2 . e) sen sen . 2 1 1 15) A matriz A a ij 1 1 0 define em 3 3 1 2 1 Se u e v são dois vetores em 3 satisfazendo: u é paralelo, tem mesmo sentido de v 2 e u 3 ; v é paralelo, tem mesmo sentido de v 3 e v 2 . Então, o produto vetorial u v é dado por:
a)
3
os vetores vi ai1 i ai2 j ai3k , 1 i 3 .
3 2 i j 2 1 k 2
b) 3 2 i j 2 1 k c) 3 2 i j 2 1 k d) 2 2 i 2 j 1 2 k e) 3 2 i j 2 1 k 3 2
16) Se tgx secx , o valor de sen x cos x vale: a) b)
7
13 5
13
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c) d) e)
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12 13 15 13 17 13
17) P x é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: os números r1 1 , r2 i e r3 1 i são raízes da equação P x 0 ; P 0 4 .
Então, P 1 é igual a: a) 4 b) 2 c) 10 d) 10 e) 40 18) Durante o Treinamento Físico Militar na Marinha, o uniforme usado é tênis branco, short azul e camiseta branca. Sabe-se que um determinado militar comprou um par de tênis, dois shortes e três camisetas por R$ 100,00. E depois, dois pares de tênis, cinco shortes e oito camisetas por R$ 235,00. Quanto, então, custaria para o militar um par de tênis, um short e uma camiseta? a) R$ 50,00. b) R$ 55,00. c) R$ 60,00. d) R$ 65,00. e) R$ 70,00. 19) Dois observadores que estão em posições coincidentes com os pontos A e B, afastados 3 km entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, a partir do chão, como sendo 30 e 75 , respectivamente. Se o balão está diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, então a altura do balão, a partir do chão, em km, é: a) b) c) d) e)
1 3 5 2 2 5 2 3 3 2
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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20) O litro da gasolina comum sofreu, há alguns dias, um aumento de 7,7% e passou a custar 2,799 reais. Já o litro do álcool sofreu um aumento de 15,8%, passando a custar 2,199 reais. Sabendo que o preço do combustível combustível é sempre cotado cotado em milésimos de real, real, pode-se afirmar, aproximadamente, aproximadamente, que a diferença de se abastecer um carro com 10 litros de gasolina e 5 litros de álcool, antes e depois do aumento, é de: a) R$ 2,00. b) R$ 2,50. c) R$ 3,00. d) R$ 3,50. e) R$ 4,00.
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2011/2012 1) Considere-se o conjunto universo U, formado por uma turma de cálculo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) e composta por alunos e alunas. São dados os subconjuntos de U: A: conjunto formado pelos alunos; e B: conjunto formado por todos os alunos e alunas aprovados. Pode-se concluir que CUB A B é a quantidade de a) alunos aprovados. b) alunos reprovados. c) todos os alunos e alunas aprovados. d) alunas aprovadas. e) alunas reprovadas. 2) O lucro obtido pela venda de cada peça de roupa é x 10 , sendo x o preço da venda e 10 o preço do custo. A quantidade vendida por mês é igual a 70 x . O lucro mensal máximo obtido com a venda do produto é: a) 1200 reais. b) 1000 reais. c) 900 reais. d) 800 reais. e) 600 reais. 3) Em radioatividade, na função A t A0 e t , temos que: I. A é a quantidade de substância radioativa ainda existente, no instante t; II. é a constante de desintegração e 0 ; III. A0 é a amostra inicial no instante t 0 ; e IV. t é o tempo. De acordo com as informações acima, o gráfico que melhor representa a função y t Ln A t é:
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4) Um recipiente na forma de um cilindro circular reto contém um líquido até um certo nível. Colocando-se nesse recipiente uma esfera, o nível do líquido aumenta 2 cm. Sabendo-se que o raio do cilindro mede 3 2 cm , conclui-se que o raio da esfera, em cm, mede: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 5) Um professor escreveu no quadro-negro uma equação do segundo grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes 3 e 2. Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes 1 e 4. A diferença positiva entre as raízes da equação correta é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6) Se f0 x a) b)
x x 1
e fn1 fo f n para n 0,1,2, então f n x vale:
x xn n 1 x
x 1
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c) d) e)
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nx x 1
x
n 1 x 1 x nx 1
7) O conjunto solução da inequação
log10 x 2
3
4
x 13 1 x 2
0 é:
1 1 a) 1, ,1 1, 2 2 1 1 2 b) 1, ,1 , 2 2 3 1 1 c) 1, ,1 1, 2 2 1 1 2 d) 1, ,1 1, 2 2 3 1 1 2 e) 1, ,1 1, 2 2 3
8) Considere a sequência cujo termo geral é dado por a n 43n i 44n , n imaginária, o módulo da soma dos infinitos termos dessa sequência é a) b) c) d) e)
*
. Se i é a unidade
2 7 3
22 7 3
23 17 3
24 17 3
26 17 3
9) Os números inteiros de 1 a 500 são escritos na disposição abaixo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A escrita se repete, na mesma disposição, a cada vez que se atinge o valor 500. O número escrito na quarta coluna da 134ª linha é www.madematica.blogspot.com
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a) 158 b) 159 c) 160 d) 169 e) 170 xa a 10) O valor do lim é: x 0 x
a)
1
b)
a 1
c)
a
2 a
d) 2 a e) 0 11) De todos os empregados de uma empresa de navegação, 31% optaram por um plano de assistência odontológica. A firma tem a matriz na capital e somente duas filiais, uma em Macaé e a outra em Piraí. Sabe-se que 50% dos empregados trabalham na matriz, 20% dos empregados trabalham na filial Macaé, 30% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistência odontológica e que 35% dos empregados da filial de Macaé também fizeram tal opção. Qual é, então, a porcentagem dos empregados da filial de Piraí que optaram pelo plano? a) 40% b) 35% c) 30% d) 25% e) 15% 12) Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de R$ 9,00 a unidade. O proprietário anunciou a venda desse produto ao preço de x reais, para que pudesse, ainda que dando ao comprador um desconto de 10% sobre o preço anunciado, obter um lucro de 40% sobre o preço unitário de custo. Nessas condições, o valor de x é a) 14 reais. b) 12 reais. c) 10 reais. d) 8 reais. e) 6 reais. 13) Se é o menor ângulo formado pelas retas tangentes à circunferência x 2 y2 9 nos pontos 3 2 3 2 3 3 3 P , , então o valor de , em radianos, é e Q 2 2 2 2 a) 12
b)
6
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c)
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4
5 12 7 e) 12
d)
14) A área entre o gráfico de y 3x 2 3 e a reta y 3 , em unidades de área, vale: a) 6 b) 3 c) 1,5 d) 2 e) 0,5 15) Os números que exprimem o cateto, a hipotenusa e a área de um triângulo retângulo isósceles estão em progressão aritmética, nessa ordem. O cateto do triângulo, em unidades de comprimento, vale: a) 2 2 1 b) 2 2 2 c) 4 2 2 d) 4 2 4 e) 4 2 1 16) A solução da equação z z 1 3i é um número complexo de módulo: a)
5 4
b) 5 c) 5 d) e)
5 2 5 2
sen x 17) O gráfico da função f x arc tg x intercepta o eixo x nos pontos de 7 cos x 5 coordenadas: a) , 0 e , 0 7 5 b) , 0 e , 0 7 5 c) , 0 e , 0 7 5 d) 0, e 0, 7 5 www.madematica.blogspot.com
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e) 0, e 7
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0, 5
18) O valor de na equação y3 61y2 y 5832 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica, é: a) 1017 b) 1056 c) 1078 d) 1098 e) 1121 19) Sabendo que o polinômio P x x3 kx 2 px 9 é divisível por D x x 2 3 , podemos afirmar que: a) p k 3 p 1 k c) p k 9
b)
d) p e k e) p k 4 3 2x 1 x 20) Considere a matriz A 2 3x 1 1 , então o valor de f no ponto de abscissa 1, onde 4x 1 2 0 f x det A , é: a) 18 b) 21 c) 36 d) 81 e) 270
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2010/2011 1) Se a 4 3 , b a) a c b b) a b c c) c a b d) b a c e) b c a
61 e c 1, 22222 50
, assinale a opção correta.
2) Sabendo-se que f 0 3 e f n 1 f n 7 , então f 201 é igual a: a) 1206 b) 1307 c) 1410 d) 1510 e) 1606 3) Seja a função f
o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números f x 1 1 racionais) com a seguinte propriedade definida por f x 1 1 . Sabendo-se que f x f 0 4 , o valor de f 1007 é igual a a) 1 b) 4 c) d) e)
(sendo
1 4 5 3
3 5
4) O conjunto solução da inequação
1 x 1 x
1 é:
a) 0, b) 0,1 c) 1, d) 0,1 e) ,0 1, 5) Se a sequência de inteiros positivos 2,x,y é uma Progressão Geométrica e x 1, y,11 uma Progressão Aritmética, então, o valor de x y é a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 www.madematica.blogspot.com
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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e) 15 1 6) Sejam A, B e C matrizes de ordem 3 3 inversíveis tais que det A1 3 e det AB1 4 . 2 T Sabendo-se que é a matriz identidade de ordem 3, tal que 3C1 2B1 A , o determinante de C é igual a a) 8 3 b) 32 3 c) 9 d) 54 e) 288
7) Um carro percorre 240 km com o desempenho de 12 km por litro de gasolina. Ao utilizar álcool como combustível, o desempenho passa a ser 8 km por litro de álcool. Sabendo que o litro de gasolina custa R$ 2,70, qual deve ser o preço do litro de álcool para que o gasto ao percorrer a mesma distância seja igual ao gasto que se tem ao utilizar gasolina como combustível? a) R$ 1,60 b) R$ 1,65 c) R$ 1,72 d) R$ 1,75 e) R$ 1,80 8) Dada a equação x2 y2 4x 10y 25 0 , assinale a opção que apresenta a distância do centro da curva à origem do sistema de coordenadas. a) 5 b) 6 c) 8 d) 24 e) 29 9) Analise a função a seguir. x2 4 , x2 f x x 2 3p 5, x 2 Para que a função acima seja contínua no ponto x 2 , qual deverá ser o valor de p? a) 1 3 b) 1 c) 3 d) 1 e) 3
10) Sejam os números complexos z tais que números complexos é uma a) parábola. b) reta.
1 z z 1 . O lugar geométrico das imagens desses 3
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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c) circunferência de raio 3 8 . d) circunferência de raio 3 2 . e) hipérbole. 11) A divisão de um polinômio P x por x 4 deixa resto 3, por x 1 deixa resto 8 e por x 2 deixa resto 1. O resto da divisão de P x pelo produto x 4 x 1 x 2 tem como soma dos coeficientes a) 24 b) 9 c) 3 d) 0 e) 4 2
2
12) A circunferência de equação x 4 2 2 y 1 2 4 2 2 intercepta o eixo das abscissas em dois pontos A e B. Sabendo que o segmento AB é o lado de um polígono regular convexo que possui centro coincidente com o centro da circunferência, calcule o perímetro desse polígono. a) 24 b) 16 c) 15 d) 6 2 1 e) 6 2 2 13) Analise a figura a seguir.
Seja o círculo C1 de raio R, onde estão dispostos n círculos tangentes exteriores a C1 , todos com raios iguais a
2 3
R ,
(Dado: arccos a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
como mostra a figura acima. Assinale a opção que representa o valor máximo de n. 21 0, 41 rad ) 5
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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14) Um projétil é lançado de baixo para cima e a sua trajetória descreve uma curva plana de equação h 27t 3t 2 , onde h é a altura em cada momento, em função do tempo. Sabendo que h está em quilômetros e t em minutos, qual será a altura máxima atingida por esse projétil? a) 6,075 10 km b) 6,7510 km c) 60,75 10 km d) 67,5 10 km e) 675 10 km 15) Seja uma pirâmide quadrangular regular com arestas iguais a 2 cm. No centro da base da pirâmide, está centrada uma semiesfera que tangencia as arestas da pirâmide. Existe uma esfera de maior raio, que está apoiada externamente em uma face lateral da pirâmide e tangencia internamente a superfície curva da semiesfera. Essa esfera possui volume, em cm3 , igual a 27 11 6 a) 54
b)
3 24
4 3 24 108 44 6 d) 27
c)
e)
2 3
16) Um hexágono regular de lado igual a 8 cm está inscrito na base de um cone de revolução de volume igual a 128 cm3 . A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro, com o mesmo volume e a mesma base do cone, é de a) 0,3 b) 0,6 c) 0,9 d) 0,27 e) 0,36 17) Se a,b,c é o conjunto solução da equação x3 13x2 47x 60 0 , qual o valor de a 2 b2 c2 ? a) 263 b) 240 c) 169 d) 75 e) 26
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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p q q 2 p 2 18) Seja p e q números reais, tais que, p q e p q 0 , a expressão é p 2 q 2 equivalente a: a) p1 q 1 b) p q c) p q d) p1 q 2 p e) p q 19) Seja um container, no formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, a maior distância entre dois vértices da paralelepípedo é igual a 6 5 m . É correto afirmar que metade de sua área total, em m2 , vale (dado: a b c 22 m ) a) 120 b) 148 c) 152 d) 188 e) 204 20) Sejam x, y e z números reais positivos onde x y 1 z , e sabendo-se que existem ângulos e onde x cos2 cos2 e y cos2 sen 2 , é correto afirmar que o valor mínimo da expressão 1 2 3 z é 2 2 x y z xy
a) 6 b) 6 2 2 c) 12 d) 9 2 2 e) 12 2 2
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2009/2010 1) Analise as afirmativas abaixo. I – Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: P = { x K | x possui lados opostos paralelos}; L = { x K | x possui 4 lados congruentes}; R = { x K | x possui 4 ângulos retos}; e Q = { x K | x possui 4 lados congruentes e 2 ângulos com medidas iguais}. Logo, L R L Q . II – Seja o conjunto A 1,2,3,4 , nota-se que A possui somente 4 subconjuntos. III – Observando as seguintes relações entre conjuntos: a, b, c, d Z a, b, c, d, e , c, d Z a, c, d, e e b,c,d Z c ; pode-se concluir que Z a, c, e . Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta: a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Apenas a afirmativa III é verdadeira. e) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 2 x
2) Considere a função real f, definida por f x e duas circunferências C1 e C2 , centradas na 1
origem. Sabe-se que C1 tangencia o gráfico de f, e que um ponto de abscissa pertence a C2 e ao 2
gráfico de f. Nessas condições, a área da coroa circular, definida por C1 e C2 , é igual a a)
65 4
49 4 25 c) 4
b)
d) e)
9 4
4
3) Considere a equação de incógnita real x : 2cos4 x 2cos2 x 1 cos4x . Se x 0 0; é uma de suas soluções e x 0 centímetros é a medida da diagonal de um cubo, então a área da superfície total desse cubo, em cm2 , é igual a a) b) c)
3 8 1 2 6
2 2
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d)
27 8
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2
e) 62 cos
4) O valor numérico da expressão
44 33 sec 24 2400 tg tg 4 é igual a 3 cossec2 780
a) 1 b) c) d) e)
3 4
4 3 1 2 3
8
5) João construiu um círculo de papel com centro O e raio 4 cm (Figura 1). Traçou dois diâmetros AC e BD perpendiculares e, em seguida, dobrou o papel fazendo coincidir A, O e C, conforme sugere Figura 2.
A área da parte do círculo não encoberta pelas dobras, sombreada na figura 2, é igual a 1 3 1 16 48 cm2 3 1 16 12 3 cm 2 3 1 16 12 3 cm 2 3 1 48 3 16 cm 2 3
a) 96 16 cm2 b) c) d) e)
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6) Seja f : uma função estritamente decrescente, o que significa que para quaisquer x1 e x 2 reais, com x1 x 2 , tem-se f x1 f x 2 . Nessas condições, analise as afirmativas abaixo. I – f f é injetora. II – f f pode ser uma função par. III – Se Se f possui inversa, então sua inversa é estritamente decrescente. Assinale a opção correta. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas as as afirmativas I e III são são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. d) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. e) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 1 0 7) Sejam as matrizes A 0 0 matriz 2 X1 é igual a
a) b)
1
0
0
1
0
0
, 1 3
2
2 2 4
1 2 3 0 1 1 B 0 0 1 0 0 0
7
3 e X A B . O determinante da 1 1
1 6 1 3
c) 1 d)
8 3
e) 6 169i 65 , admitindo que 8) Considere o conjunto dos números complexos Z com a propriedade Z 16 i é a unidade imaginária. O elemento desse conjunto que possui o maior argumento , 0 2 , é igual a a) 60 14 144 4i b) 65 16 169 9i c) 104i d) 65 16 169 9i e) 6515 156 6i
9) A equação 4 x 3 x 13 217 13 3 x tem uma solução positiva x1 . O número de divisores inteiros positivos de x1 é a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
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10) Sabendo que log30 3 a e log30 5 b , que opção representa r epresenta log10 2 ? 1 a b a) 2a 1 a b b) a 1 1 a b c) 1 a 1 a b d) 2a 1 a b e) 1 a 11) Os pontos A 4;10 3 , B 4; 0 , C 0;0 e D 0;b são vértices de um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. A equação da reta AD é representada por 5 x5 12 4 b) y 3 12 c) y x 1 5
a) y
d)
y
e) y
x 2
1 2
5 1 x 12 2
12) Sejam ABC e BCD dois triângulos retângulos congruentes, contidos em planos perpendiculares, com hipotenusas AC BD 8 m e cateto AB 4 m . O volume, em m3 , do tetraedro ABCD definido pelos vértices desses triângulos triângulos é igual a a) 16 3 b) 8 3 16 3 3 32 d) 3 32 3 e) 3
c)
13) As medidas dos lados AC , BC e AB de um triângulo tri ângulo ABC forma, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente. Os ângulos internos A , B e C desse triângulo possuem a seguinte propriedade: sen2 A sen2 B sen2 C 2 sen A sen B cosC cos2 C . Se o perímetro do triângulo ABC mede 3 3 m , sua área, em m2 , é igual a ˆ
ˆ
a)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3 3 4 www.madematica.blogspot.com
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b) c)
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3 4 9
8
d) 2 e) 4 14) Um triângulo isósceles ABC, com lados AB AC e base BC, possui a medida da altura relativa à base igual à medida da base acrescida de 2 metros. Sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 36 metros, pode-se afirmar que sua base mede a) 8 metros. b) 9 metros. c) 10 metros. d) 11 metros. e) 12 metros. 15) O gráfico das três funções polinomiais do 1 grau a, b e c definidas, respectivamente, por b x e c x , estão representadas abaixo.
5
a x ,
6
a x b x 0 é Nessas condições, o conjunto solução da inequação 3 c x a) 4; 1 3;
b) 4; 1 3; c) ; 4 1; d) 4; e) 4
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16) Um triângulo obtusângulo ABC tem 18 cm de perímetro e as medidas de seus lados formam uma progressão aritmética crescente AB, AC, BC . Os raios das circunferências inscrita e circunscrita a esse triângulo ABC medem, respectivamente, r e R. Se senA ˆ
15 3 15 e senB , então o produto 4 16 ˆ
r R , em cm2 , é igual a 35 a) 9 b) 6 6
c) 3 15 d)
16 3
e) 1 17) Seja f uma função de domínio D f a . Sabe-se que o limite de f x , quando x tende a a, é L e escreve-se lim f x L , se para todo 0 , existir 0 , tal que se 0 x a então xa
f x L .
Nessas condições, analise as afirmativas abaixo. x 2 3x 2 se x 1 I – Seja f x x 1 , logo, lim f x 0 . x1 3 se x 1 x 2 4 se x 1 II – Na função f x 1 se x 1 , tem-se lim f x 3 . x1 3 x se x 1 III – Sejam f e g funções quaisquer, pode-se afirmar que lim f g n x L M n , n x a
lim f x L e lim g x M .
xa
*
, se
xa
Assinale a opção correta. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Apenas a afirmativa III é verdadeira. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 18) A expressão 6 n n 2 representa a soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica. É correto afirmar que essa sequência é uma progressão a) aritmética de razão 3. b) aritmética de razão 4. c) aritmética de razão 2. d) geométrica de razão 4. e) geométrica de razão 2.
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19) Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n X representa o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: n A B C 25 ; n A C 13 ; n B A 10 ; n A C n C A B . O maior valor possível de n C é igual a a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 20) Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo com altura h e base quadrada. Ele está com uma certa quantidade de água até uma altura h1 . Duas esferas, ambas com diâmetros iguais a 2 dm, forma colocadas dentro do recipiente, ficando esse recipiente com o nível de água até a borda (altura h). Considerando que o volume do paralelepípedo retângulo é de 40 litros, pode-se afirmar que a razão a) b) c) d) e)
h1 h
, utilizando 3 , vale:
4 5 1 2 1
8 1 5 2 5
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2008/2009 1) Qual é o número inteiro cujo produto por 9 é um número natural composto apenas pelo algarismo 1? a) 123459 b) 1234569 c) 12345679 d) 12345789 e) 123456789 2) O logotipo de uma certa Organização Militar é uma pedra semipreciosa, cujo valor é sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa em gramas. Suponha que a pedra de 8 gramas, infelizmente, tenha caído partindo-se em dois pedaços. Qual é o prejuízo, em relação ao valor inicial, sabendo-se que foi o maior possível? a) 18% b) 20% c) 50% d) 80% e) 90% 3) Numa embarcação é comum ouvirem-se determinados tipos de sons. Suponha que o nível sonoro e a intensidade de um desses sons estejam relacionados com a equação logarítmica 12 log10 , em que é medido em decibéis e em watts por metro quadrado. Qual é a razão I1 I2
, sabendo que
1 corresponde ao ruído sonoro de 8 decibéis de uma aproximação de dois navios e
que 2 corresponde a 6 decibéis no interior da embarcação? a) 0,1 b) 1 c) 10 d) 100 e) 1000 4) Duas pessoas estão na beira da praia e conseguem ver uma lancha B na água. Adotando a distância entre as pessoas como P1P2 sendo 63 metros, o ângulo BPP 1 2 , BP2 P1 , tg 2 e tg 4 . A distância da lancha até a praia vale a) 83 b) 84 c) 85 d) 86 e) 87 ˆ
ˆ
5) Tem-se um contêiner no formato cúbico, onde o ponto P descreve o centro desse contêiner e o quadrado ABCD a parte superior dele. Considerando-se o APC, o seno do ângulo APC vale ˆ
a)
2 2 3
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b)
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2 2 2
c) 2 2 d)
3 2 2
e) 3 2 6) A equação 2 x cos x 0 tem quantas raízes no intervalo 0, 2 ? a) zero. b) uma. c) duas. d) três. e) quatro. 7) Considerando-se a função clássica f x arcsen x e a sua inversa g x f 1 x , é correto afirmar que os gráficos de f g e g f são a) iguais. b) diferentes, mas o de f g está contido no de g f . c) diferentes, mas o de g f está contido no de f g . d) diferentes e de intersecção com um número finito de pontos. e) diferentes e de intersecção vazia. 8) Após a determinação dos valões numéricos de p 1 , p 0 e p 1 , verifica-se que o polinômio p x x 3 x 2 x 0,5 tem a) apenas uma raiz real. b) apenas duas raízes reais. c) três raízes reais, todas do mesmo sinal. d) três raízes reais, duas positivas e uma negativa. e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.
a1x b1 y c1z d1 9) Dado o sistema de equações lineares S : a 2 x b2 y c 2z d 2 . Sabendo-se que os determinantes a x b y c z d 3 3 3 3 a1
b1
c1
d1
b1
c1
a1
d1
c1
a1
b1
d 1
a2
b2
c2 , d 2
b2
c2 , a 2
d2
c2 e a 2
b2
d 2 são todos iguais a zero, apenas pode-se
a3
b3
c3
b3
c3
d3
c3
b3
d 3
d3
a3
a3
concluir que S a) é determinado. b) não é determinado. c) admite a solução 0,0,0 . d) não é impossível. e) não é indeterminado.
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10) A, B e C são pontos consecutivos no sentido anti-horário de uma circunferência de raio r. O menor arco AB tem comprimento igual a r. Tomando-se como unidade u a medida do ângulo agudo ACB , qual é o valor do seno de u ? ˆ
6
a) b) c)
3 2
2 2 1 2
d)
2 3 2
e)
2 3 2
11) A progressão geométrica x 3, x 1, de termos reais não nulos admite um limite para a soma dos seus infinitos termos se, e somente se, a) x 1 b) x 1 c) x 3 d) x 3 e) 1 x 3 12) Sabendo-se que duas circunferências secantes são ortogonais quando as respectivas retas tangentes nos seus pontos de interseção são perpendiculares, qual é a equação da circunferência centrada em 3,5 que é ortogonal à circunferência x 2 y2 6x 7 0 ? a) x2 y2 6x 10y 20 0 b) x2 y2 6x 10y 24 0 c) x2 y2 6x 10y 25 0 d) x2 y2 6x 10y 28 0 e) x2 y2 6x 10y 30 0 13) Em uma progressão aritmética cujo número de termos é ímpar a soma dos termos de ordem ímpar é 573, e a soma dos termos de ordem par é 549. Quanto vale a soma de dois termos equidistantes dos extremos dessa progressão? a) 12 b) 24 c) 48 d) 56 e) 68 14) Dois dos lados de um hexágono regular estão contidos nas retas definidas pelas equações 4x 3y 28 0 e 8x 6y 15 0 , respectivamente. A área desse hexágono é um número entre a) 13 e 14 www.madematica.blogspot.com
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b) 14 e 15 c) 15 e 16 d) 16 e 17 e) 17 e 18 n
15) Qual é o menor valor do número natural positivo n para que 3 i , onde i é a unidade imaginária, seja um número real? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a a b 3c a b c 16) Se o determinante da matriz A d e f é 5, então d d e 3f é igual a g h i g g h 3i a) zero b) cinco. c) quinze. d) trinta. e) quarenta e cinco.
17) Os domínios das funções reais f x log x 2 e g x 2 log x são D1 e D2 , respectivamente. Sendo assim, pode-se afirma que a) D1 D2 b) D1 D2 , mas D1 D 2 . c) D1 D 2 , mas D2 D1 . d) D1 D2 e D1 D2 e) D1 D 2 , D 2 D1 e D1 D2 18) Todos os anos uma fábrica aumenta a produção em uma quantidade constante. No 5º ano de funcionamento, ela produziu 1460 peças, e no 8º ano, 1940. Quantas peças, então, ela produziu no 1º ano de funcionamento? a) 475 b) 520 c) 598 d) 621 e) 820 19) Na construção de um prédio, para levar água da cisterna até a caixa superior, foram usados canos de ferro de duas polegadas. Considerando os seguintes dados abaixo, qual a massa aproximada de cada um desses canos? Use 3,14 . Comprimento de um cano: 6 m Diâmetro externo: 5 cm Diâmetro interno: 4,4 cm Densidade do ferro: 7,8g/cm3 www.madematica.blogspot.com
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a) 16.720 g b) 17.750 g c) 18.920 g d) 20.720 g e) 21.550 g 20) Dividindo-se o polinômio f x 2x4 3x3 mx t por r x 4x 2 . Nessas condições, m e t são números reais tais que a) m 3 e t 6 . b) m 2 e t 10. c) m 1 e t 2 . d) m 1 e t 5 . e) m 2 e t 10 .
g x x2 2 ,
obtém-se resto
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares Renato Madeira RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES
CAPÍTULO 2 RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM 2015/2016 1) e (Probabilidade) 2) d (Integral) 3) a (Função quadrática) 4) b (Limite) 5) c (Equações polinomiais) 6) e (Equações polinomiais) 7) d (Números complexos) 8) b (Trigonometria no triângulo retângulo) 9) a (Geometria plana - circunferência) 10) d (Geometria analítica – reta) 11) a (Progressões) 12) c (Função modular) 13) a (Geometria analítica – circunferência) 14) d (Análise combinatória) 15) c (Função exponencial) 16) e (Progressões) 17) c (Números complexos) 18) b (Equações polinomiais) 19) a (Progressões) 20) e (Geometria espacial)
PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM 2014/2015 1) b (Progressão geométrica e triângulos) 2) d (Limites e equação trigonométrica) 3) c (Números complexos) 4) e (Geometria Analítica – coordenadas no plano) 5) d (Análise combinatória) 6) d (Funções) 7) b (Determinantes) 8) a (Geometria plana e função quadrática) 9) b (Probabilidade) 10) e (Geometria analítica no espaço) 11) c (Polinômios) 12) c (Integral) 13) b (Progressões) 14) c (Geometria Espacial) 15) e (Geometria Espacial) 16) c (Integral) 17) e (Potências e raízes) 18) b (Derivada) 19) a (Matrizes e determinantes) www.madematica.blogspot.com
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20) d (Geometria analítica – reta)
PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM 2013/2014 1) d (Geometria Espacial – pirâmides) 2) d (Geometria Plana – áreas e Trinômio do 2° grau) 3) b (Integral) 4) a (Polinômios) 5) b (Trigonometria) 6) b (Probabilidade) 7) c (Progressão geométrica) 8) e (Função e inequação modular) 9) d (Progressão aritmética) 10) a (Função composta) 11) c (Matrizes e determinantes) 12) e (Derivada – aplicações) 13) c (Potenciação e radiciação) 14) a (Equação exponencial) 15) c (Limites) 16) d (Limites) 17) a (Geometria Plana – relações métricas nos triângulos) 18) a (Geometria Analítica no 3 − plano) 19) c (Conjuntos) 20) e (Números complexos)
PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM 2012/2013 1) d (Limite) 2) b (Função exponencial) 3) a (Cálculo diferencial – gráfico de funções) 4) c (Progressões) 5) b (Números complexos) 6) d (Geometria espacial – cone) 7) e (Geometria espacial – cilindro e esfera) 8) b (Regra de três) 9) d (Trigonometria) 10) b (Integral) 11) d (Trigonometria no triângulo retângulo) 12) b (Integral) 13) e (Análise combinatória) 14) c (Geometria analítica – reta) 15) a (Vetores) 16) e (Trigonometria) 17) e (Polinômios) 18) d (Sistemas lineares) 19) e (Trigonometria no triângulo retângulo) 20) d (Operações com mercadorias) www.madematica.blogspot.com
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM 2011/2012 1) d (Conjuntos) 2) c (Função quadrática) 3) e (Logaritmo) 4) b (Geometria espacial – volume volume do cilindro e da esfera) 5) c (Equação do 2º grau) 6) d (Função composta) 7) a (Inequação produto-quociente e logaritmo) 8) e (Progressões e números complexos) 9) d (Progressões) 10) c (Limite) 11) c (Médias) 12) a (Operações com mercadorias) 13) d (Geometria analítica – circunferência) circunferência) 14) a (Função modular) 15) c (Progressões) 16) b (Números complexos) 17) a (Funções trigonométricas inversas) 18) d (Equação polinomial) 19) b (Polinômios) 20) b (Determinantes)
PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM 2010/2011 1) e (Conjuntos numéricos) 2) c (Progressões) 3) d (Função composta) 4) b (Inequação produto-quociente) produto-quociente) 5) b (Progressões) 6) e (Determinantes) 7) e (Razões e proporções) 8) e (Geometria analítica – circunferência) circunferência) 9) c (Limite e continuidade) 10) c (Números complexos) 11) d (Polinômios) 12) b (Geometria analítica – circunferência) circunferência) 13) a (Trigonometria no triângulo tri ângulo retângulo) 14) a (Função quadrática) 15) a (Geometria espacial – pirâmide pirâmide e esfera) 16) c (Geometria espacial – cone cone e cilindro) 17) d (Equação polinomial) 18) e (Produtos notáveis e fatoração) f atoração) 19) c (Geometria espacial – prisma) prisma) 20) e (Desigualdades)
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM 2009/2010 1) d (Conjuntos) 2) b (Geometria analítica – circunferência) circunferência) 3) b (Equações trigonométricas) 4) e (Redução ao 1º quadrante) 5) e (Geometria plana – áreas) áreas) 6) b (Função) 7) d (Determinantes) 8) a (Números complexos – lugar lugar geométrico) 9) d (Equação irracional) 10) e (Logaritmo) 11) a (Geometria analítica – reta) reta) 12) e (Geometria espacial – tetraedro) tetraedro) 13) c (Geometria plana – relações relações métricas nos triângulos) 14) c (Geometria plana – relações relações métricas no triângulo retângulo) 15) c (Inequação produto – quociente) quociente) 16) d (Geometria plana – relações relações métricas nos triângulos e áreas) 17) d (Limites) 18) c (Progressões) 19) d (Conjuntos) 20) a (Geometria espacial – prisma prisma e esfera)
PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM 2008/2009 1) c (Operações com números naturais) 2) c (Função quadrática) 3) d (Logaritmo) 4) b (Trigonometria no triângulo retângulo) 5) a (Geometria espacial – cubo) cubo) 6) d (Função exponencial e função trigonométrica) 7) c (Função composta) 8) e (Polinômios – teorema teorema de Bolzano) 9) b (Sistemas lineares) 10) e (Ângulos na circunferência e trigonometria) tri gonometria) 11) b (Progressões) 12) c (Geometria analítica – circunferência) circunferência) 13) c (Progressões) 14) b (Geometria analítica – reta) reta) 15) e (Números complexos) 16) c (Determinantes) 17) c (Função logaritmo) 18) e (Progressões) 19) d (Geometria espacial – volume) volume) 20) b (Polinômios)
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QUADRO RESUMO DAS QUESTÕES DE 2009 A 2016
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Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2015-2016
CAPÍTULO 3 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2015/2016 1) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência a,b,c . Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b OU que a, b e c sejam primos? a) b) c) d) e)
4 216 27 216 108 216 31 216 10 216
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: No primeiro caso a sequência de números deve ter a forma a, a 1, a 2 . Os casos favoráveis são 1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 e 4,5,6 , ou seja, 4 casos. No segundo caso, os valores possíveis para a, b e c são 2, 3 e 5. O número de casos favoráveis é 3! 6 . O número de elementos do espaço amostral é # 63 216 e o total de casos favoráveis é # A 4 6 10 (observe que os dois conjuntos de casos favoráveis são disjuntos). # A 10 Portanto, a probabilidade pedida é P . # 216 2
2) O valor da integral 2 tg3 2x sec 2x dx , sendo c uma constante, é a) sec2 2x tg2 2x c sec2 2x tg 2 2x c b) tg 2x c) arctg ln x c tg 7 2x c d) 7
e) tg 2x sen 2x c www.madematica.blogspot.com
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Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2015-2016
RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: tg 2x u du sec2 2x 2dx 7 2 tg 7 2x 3 6 2 6 u c 2 tg 2x sec 2x dx tg 2x 2sec 2x dx u du c 7 7
3) De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L R C , onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria produziu x peças e verificou que o custo de produção era dado pela função C x x2 500x 100 e a receita representada por R x 2000x x2 . Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. a) 625 b) 781150 c) 1000 d) 250 e) 375 RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: O lucro quando são produzidas x peças é dado por L x R x C x 2000x x 2 x 2 500x 100 2x 2 2500x 100 . Como essa é uma função quadrática de coeficiente líder negativo, então ela possui ponto de máximo 2500 que ocorre em x V 625 . 2 2 Portanto, devem ser produzidas 625 peças. 2 4t é: t 0 t
4) O valor de lim a) 1 b) c) d)
1 4 1
3 1 2
e) 2 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: O limite é da forma
0 0
, então, aplicando o teorema de L’Hôpital, temos: www.madematica.blogspot.com
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1 1 2 4 t 1
2 4 t lim 2 t 0 t 0 t
lim
1
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1 1 1 1 1 . 2 t 0 4 t 2 4 4
lim
5) A solução do sistema: x y z w 7 xy xz xw yz yw zw 4 xyz xyw xzw yzw 6 xyzw 1 pode ser representada pelas raízes do polinômio: a) x3 6x2 4x 7 b) x3 6x2 4x 7 c) 2x4 14x3 8x 2 12x 2 d) 7x4 4x3 6x 2 x e) x4 7x3 4x2 6x
RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Seja P x a0 x4 a1x3 a2 x2 a3 x a 4 o polinômio de 4º grau (que possui 4 raízes), cujas raízes são x, y, z e w. Pelas relações de Girard (relações entre coeficientes e raízes), temos: a 1 1 x y z w 7 a1 7a 0 a0 a 2 2 xy xz xw yz yw zw 4 a 2 4a 0 a0 a 3 3 xyz xyw xzw yzw 6 a 3 6a 0 a0 a 4 4 xyzw 1 a 4 a 0 a0
Sendo assim, o polinômio é dado por P x a0 x4 7a 0 x3 4a0 x2 6a 0 x a 0 . Fazendo a 0 2 , temos P x 2x4 14x3 8x 2 12x 2 .
6) Sabendo que
5 2
é uma raiz do polinômio P x 2x3 3x2 9x 10 , a soma das outras raízes é
igual a: a) 2 b) 0 c) 10 d) 1 e) 1 www.madematica.blogspot.com
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RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: 5 2
Sejam r 1 , r 2 e r 3 as três raízes do polinômio P x 2x3 3x2 9x 10 , então, pelas relações de Girard, a soma dessas raízes é 1 r1 r2 r 3 r1
3 3 . 2
2
5 5 3 r2 r3 r2 r2 1 2 2 2
Portanto, a soma das outras raízes é 1. 7) Seja o número complexo z 1 3 i , onde i é a unidade imaginária. O valor de 4 4 a) z 256 cos i sen 3 3 b) z 256 cos i sen 3 3 5 5 c) z 256 cos i sen 3 3 2 2 d) z 256 cos i sen 3 3 e) z 256 cos2 isen2
z
8
é:
RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: 1 3 4 4 i sen z 1 3i 2 i 2 cos 2 2 3 3
Pela 1ª fórmula de De Moivre, temos: 4 4 32 isen 32 256 cos 2 i sen 2 z8 28 cos 8 isen 8 256 cos 3 3 3 3 3 3 32 30 2 2 5 2 . Note que 3
3
3
8) Determine o perímetro do triângulo ABD, em cm, representado na figura abaixo:
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a) 5 3 5 b) 5 2 2 3 1 c) 20 4 5 d) 45 e) 50 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: No triângulo retângulo ACD, temos: tg 30
x 1 10 3 1 x 3 1 10 x 5 3 1 . x 10 3 3 1 3 1
No triângulo retângulo ABD, temos: y2 x2 x2 2x2 y x 2 . Logo, o perímetro do triângulo ABD é 2p 2x y 2x x 2 5 2 2 3 1 . 9) Determine o comprimento do menor arco AB na circunferência de centro O, representada na figura a seguir, sabendo que o segmento OD mede 12 cm, os ângulos COD 30 e OAB 15 e que a área do triângulo CDO é igual a 18cm2 . ˆ
ˆ
a) 5 cm b) 12 cm c) 5 cm d) 12 cm e) 10 cm RESPOSTA: a RESOLUÇÃO:
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Como O é o centro da circunferência, então OA OB OC (raios). O triângulo OAB é isósceles, pois OA OB, então OBA OAB 15 e AOB 180 2 15 150. OC OD OC 12 1 18 OC 6 SCOD sen 30 ˆ
2
2
ˆ
ˆ
2
Portanto, o menor arco AB é um arco de 150º em uma circunferência de raio 6 cm e seu comprimento 150 5 cm . é 2 6 360 10) Dados os pontos A 2, 5 , B 1,1 e C 1, 1 , o valor da altura do triângulo ABC em relação à base AC é igual a: a) 37 b) 5 c) 8 d)
14 37 37
e) 7 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: 1 1 1 1 1 1 A área do triângulo ABC é dada por S 2 1 1 1 5 2 5 2 1 14 7 . 2 2 2 5 1 1 2 2 O lado AC mede AC 1 2 1 5 37 . Sendo h a altura relativa ao lado AC e considerando a área do triângulo ABC, temos AC h 37 h 14 37 7 h S .
2
2
37
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11) Numa progressão geométrica crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com o dobro do 2º termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 26, determine o valor do 2º termo. a) 6 b) 2 c) 3 d) 1 e)
26 7
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: Seja a PG: a1 ,a2,a 3 de razão q. Para que a PG seja crescente, devemos ter a1 0 e q 1 . a 3 3a1 2a 2 a1q2 3a1 2a1q q2 2q 3 0 q 1 q 3 a1 a 2 a3 26 a1 1 q q 2 26 a1 1 3 32 26 a1 2 Logo, o segundo termo da PG é a 2 a1 q 2 3 6 . 12) Determine a imagem da função f, definida por f x x 2 x 2 , para todo x , onde o conjunto dos números reais. a) Im f b) Im f y | y 0 c) Im f y | 0 y 4 d) Im f y | y 4 e) Im f y | y 0
é
RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: x 2 f x x 2 x 2 4 4 Im1 4 2 x 2 f x x 2 x 2 2x 2 x Im 2 0, 4 x 2 f x x 2 x 2 4 4 Im3 4 Im f Im1 Im2 Im3 4 0, 4 4 y
| 0 y 4
2 13) Quanto à posição relativa, podemos classificar as circunferências x 22 y 3 9 e x 2 y2 8x 15 0 como a) secantes. b) tangentes internas. c) tangentes externas. d) externas. e) internas.
RESPOSTA: a www.madematica.blogspot.com
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RESOLUÇÃO: A circunferência x 22 y 32 9 tem centro O1 2, 3 e raio R1 3 . 2 A circunferência x 2 y2 8x 15 0 x 2 8x 16 y 2 16 15 x 4 y 2 1 tem centro O 2 4, 0 e raio R 2 1 . 2 2 A distância entre seus centros é O1O 2 2 4 3 0 13 . Como 3 1 13 3 1 R1 R 2 O1O2 R1 R2 , então as circunferências são secantes. Note que, quando as circunferências são secantes, R 1 , R 2 e O1O 2 formam um triângulo e, portanto, devem satisfazer a desigualdade triangular.
14) A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é a) 40320 b) 38160 c) 37920 d) 7200 e) 3600 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Seja um anagrama da forma
V x1
V x2
, onde
V x3
xi ,
i = 1, 2, 3, 4, representa a quantidade de
x4
consoantes em cada um dos intervalos. A palavra MERCANTE possui 5 consoantes, então x1 x 2 x 3 x 4 5 . Como o anagrama não pode possuir vogais juntas, então x 2 0 e x 3 0 . A resolução da equação linear básica garante que cada variável é maior ou igual a zero. Para satisfazermos a condição x 2 0 e x 3 0 , devemos fazer o seguinte: x1 x2 x3 x 4 5 x1 x 2 1 x3 1 x 4 3 x1 y2 y3 x 4 3 y2
y3
Nessa última equação, se y2 x2 1 0 x2 1 e y3 x3 1 0 x3 1 . O número de soluções da equação linear é igual ao número de maneiras de ordenar 3 tracinhos e 3 6! 6 5 4 20 . bolinhas, ou seja, P63,3 3!3!
6
Finalmente, para obter o total de anagramas devemos multiplicar o valor obtido acima pela permutação das 5 consoantes (distintas) e das 3 vogais (2 iguais e 1 diferente). Assim, temos: 20 P5 P32,1 20 5!
3! 20 120 3 7200 . 2!1!
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e x e x 15) Um aluno precisa construir o gráfico da função real f, definida por f x . Ele percebeu 2 2 e x e x e x e x f x . Assinale a que a função possui a seguinte característica: f x 2 2 2 2
alternativa que representa o gráfico dessa função.
RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: A característica citada no enunciado, f x f x , x , indica que a função f é par e que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy. Isso elimina as alternativas a) e b). Basta agora encontrar o valor de f 0 para descobrirmos a alternativa correta. 0
0
2
2
e e 1 1 f 0 1 2
2
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Logo, o gráfico correto é o da alternativa c). 16) Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médio de cada lado, temos um segundo quadrado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é
9 2
25
45
a) 2 b)
2
2
c) 2 2 d) 245 e) 225 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO:
Os quadrados formados como descrito têm razão de semelhança
2 1 . Logo, a razão entre as 2 2
2
1 1 suas áreas é . 2 2 Sendo assim, as áreas dos dez primeiros quadrados formam uma progressão geométrica de 1º termo a1 22 4 e razão q
1 2
.
Portanto, o produto das áreas dos dez primeiros quadrados é 5 9 5 10 5 1 4 1 P10 a1 a10 2 4 4 2 9 25 225 . 2 2 17) O número complexo, z z cos i sen , sendo i a unidade imaginária e 0 2 , que satisfaz a inequação z 3i 2 e que possui o menor argumento , é
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5 2 5 i 3 3 5 2 5 i b) z 3 3 2 5 5 c) z i 3 3 2 5 5 i d) z 3 3
a) z
e) z 2 5 5i RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: A inequação z 3i 2 z 3i 2 representa os números complexos cuja distância ao complexo 3i é menor ou igual a 2. Isso equivale ao círculo de centro em 0, 3 e raio 2 no plano de ArgandGauss, conforme figura abaixo.
Assim, o complexo de menor argumento é o correspondente ao ponto A e o de maior argumento é o correspondente ao ponto B. Vamos identificar então o número complexo que é afixo do ponto A. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OAC, temos: AO2 22 33 AO 5. Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos:
2
5 3 OD OD
3 AD 2 5 AD
2 5 3
e
5 . 3
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2 5 5 , e o número complexo correspondente é Portanto, as coordenadas do ponto A são 3 3 z
2 5 5 i. 3 3
18) Seja o polinômio p x x6 26x4 32x3 147x 2 96x 180 . A respeito das raízes da equação p x 0 , podemos afirmar que a) todas as raízes são reais. b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas. c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais. d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas. e) nenhuma raiz é real. RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Como de polinômio é de grau par, ele pode ter 0, 2, 4 ou 6 raízes reais. Vamos testar as possíveis raízes racionais que são os divisores de 180, ou seja, D 180 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 . p x x6 26x4 32x3 147x 2 96x 180 p 1 16 26 14 32 13 147 12 961 180 480 6 4 3 2 p 1 1 26 1 32 1 147 1 96 1 180 224 p 2 26 26 24 32 23 147 22 96 2 180 1568 6 4 3 2 p 2 2 26 2 32 2 147 2 96 2 180 672 p 3 36 26 34 32 33 147 32 96 3 180 4032 6 4 3 2 p 3 3 26 3 32 3 147 3 96 3 180 1728 p 4 46 26 44 32 43 147 42 96 4 180 7524 6 4 3 2 p 4 4 26 4 32 4 147 4 96 4 180 2660 p 5 56 26 54 32 53 147 52 96 5 180 8960 6 4 3 2 p 5 5 26 5 32 5 147 5 96 5 180 0 (raiz) Como p x é de grau par, devemos ter outras raízes reais. Vamos testar mais alguns candidatos a raízes. p 6 66 26 64 32 63 147 62 96 6 180 0 (raiz) Vamos aplicar o algoritmo de Briott-Ruffini para essas duas raízes: 1 0 26 32 147 96 180 1 0 5 5 1 27 12 36 6 1 1 5 3 6 0 p x x 5 x 6 x4 x3 5x2 3x 6 Vamos estudar o polinômio q x x 4 x3 5x2 3x 6 .
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q x x 4 x3 5x2 3x 6 x4 x3 2x2 3x2 3x 6
x2 x2 x 2 3 x2 x 2 x2 3 x2 x 2 Assim, temos: p x x 5 x 6 x2 3 x2 x 2 Os polinômios x 2 3 e x 2 x 2 ( 12 4 1 2 7 0 ) não possuem raízes reais, então o polinômio p x possui duas raízes reais, 5 e 6, e mais quatro raízes complexas. Dessa forma, o polinômio possui somente duas raízes reais, sendo elas distintas. 19) Um garrafão contém 3 litros de vinho. Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se um litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-se, a seguir, um litro da mistura e acrescentase um litro de água, e assim por diante. A quantidade de vinho, em litros, que resta no garrafão, após 5 dessas operações, é aproximadamente igual a a) 0,396 b) 0,521 c) 0,676 d) 0,693 e) 0,724 RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: Após a primeira operação, no garrafão tem-se uma mistura com 2 litros de vinho e 1 li tro de água. Na segunda operação, retira-se 1 litro da mistura, o que corresponde a se
1 3
do vinho e
1 3
1 3
dessa mistura. Assim, retira-
da água.
A análise dos primeiros passos permite concluir que a cada operação retira-se quantidade de vinho restante é
2 3
1 3
do vinho e a
da etapa anterior. Portanto, a quantidade de vinho é uma progressão 2
geométrica de primeiro termo a1 3 e razão q . A quantidade de vinho, após cinco dessas 3
5
2 32 operações, é a 6 a1 q 3 3 81 5
0,396 .
20) Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a a) b) c)
1
12 2 3
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d) e)
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3
6
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: A área de uma esfera de raio R é Sesfera 4R 2 e a área do cubo de aresta A Scubo 6A2 . A2 2 2 2 Como ambos têm a mesma área, então 4R 6A 2 . R
3
A razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é Vcubo A3 3 A2 A 3 2 2 1 2 . 2 Vesfera 4 R 3 4 R R 4 3 3 2 3 6 3
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2014/2015 1) O conjunto de todos os números reais q 1 , para os quais a1 , a 2 e a 3 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q , com primeiro termo 2 e representam as medidas dos lados de um triângulo, é 1 5 a) 1, . 2 1 5 b) 1, . 2 1 5 c) 1, . 5 1 5 d) 1, . 4 e) 1,1 5 . RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Os termos da progressão geométrica são a1 2 , a 2 2q e a 3 2q 2 . Como q 1 , a progressão geométrica é crescente. Os termos da P.G. representam as medidas dos lados de um triângulo, então devem satisfazer a desigualdade triangular. Assim, devemos ter: 1 5 1 5 q a 3 a1 a 2 2q 2 2 2q q2 q 1 0 . 2
2 Fazendo a interseção da desigualdade acima com a condição q 1 estabelecida no enunciado, obtemos
1 1, 2
5
. x
x 1 2) Sabendo-se que a lim , pode-se afirmar que o ângulo , em radianos, tal que x x 1 tg ln a 1, pode ser a) 4
b) c)
2
3 4
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d) e)
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4
2
RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: (O enunciado dessa questão foi alterado, pois a mesma estava incorreta da forma como foi proposta.) 1ª SOLUÇÃO: x x 1 2 lim 1 a lim x x 1 x x 1 2 lim 1 x x 1
x 1 2
lim
x
2 1 1 x
2x x 1 x 1 2
2 lim 1 x x 1
x 1 2
2x x x 1 lim
e2
tg ln a 1 ln e2 1 2 1 1
Para k 0 , temos .
4
k, k
4
2ª SOLUÇÃO DO LIMITE: x 1 1 x 1 x 1 x 1 2 2 2 lim 1 1 a lim xlim 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
2 lim 1 x x 1
2
x 1 1 2 2 2 2 lim 1 lim 1 lim 1 x x 1 x x 1 x x 1 1
2
x 1 1 2 2 2 lim 1 lim 1 e2 1 e2 x x 1 x x 1 3ª SOLUÇÃO DO LIMITE: x
x
x 1 lim ln x 1 lim x ln x 1 lim x x x 1 x 1 x x 1 x
ln a ln lim
lim
x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 x 12
x
x 2
x 1 x 1 *
ln
1 x
2 2x 2 2 x 1 x 1 lim lim lim 2 1 x x x 2 1 x x 2 1 x2
ln a 2 a e 2
(*) Aplicou-se o teorema de L’Hôpital na indeterminação
0 0
.
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4ª SOLUÇÃO DO LIMITE: x x 1 2 lim 1 a lim x x 1 x x 1
x 1 2
2x x 1
2x x 1 x 1 2
x 1 2 2x 2 2 ln a lim ln 1 lim ln 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2 2 lim ln lim 1 2 ln e 2 x x 1 x x 1 ln a 2 a e 2 5ª SOLUÇÃO DO LIMITE: x x 1 1 x 1 x x x 1 x lim lim a lim x x x 1 x x 1 x 1 1 x x
1 lim 1 x x
x
x 1 lim 1 x x
1
e e
1
e2
3) Considere o número complexo z1 1, tal que z1 seja solução da equação z6 1 , com menor argumento positivo. A solução z 2 da mesma equação, cujo argumento é o triplo do argumento de z1 , é igual a a) b) c) d) e)
1 3 i 2 2 1 3 i 2 2 1 1 3 i 2 2 1 3 i 2 2
RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Pela segunda fórmula de De Moivre, temos: 0 2k k z6 1 1 cis 0 z 6 1 cis 1 cis , k 0,1, 2, ,5 6
3
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1 3 2 1 3 Assim, as soluções da equação são: 1 cis0 1 , 1 cis i , 1 cis i , 3
1 cis
2
2
3
2
2
3 4 1 3 5 1 3 1 , 1 cis i e 1 cis i . 3 3 2 2 3 2 2
3 1 Como z1 1 é a solução de menor argumento positivo, então z1 1cis i . 3
2
2
Como z 2 é solução dessa mesma equação e possui argumento igual do triplo do argumento de então o argumento de z 2 é 3 e z2 1 cis 1 .
z1 ,
3
4) Considerando os pontos A 1,1 , B 3,4 , C 1,5 , D 3,2 e P como a interseção dos segmentos AB e CD, a expressão 3a 6b , onde a é a área do triângulo APC e b é a área do triângulo BPD , é igual a a) 24 b) 20 c) 10 d) 16 e) 12 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO:
A reta que passa por A 1,1 e B 3,4 tem equação dada por y 1 4 1 3 3 1 y 1 x 1 y x . x 1 3 1 2 2 2 www.madematica.blogspot.com
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A reta que passa por C 1,5 e D 3,2 tem equação dada por y5 52 3 3 13 y 5 x 1 y x . x 1 1 3 2 2 2 3 2
1 3 13 . Assim, suas coordenadas 2 2 2 3 1 3 13 7 3 7 1 7 são x x 3x 7 x e y 3 . Portanto, P ,3 . 2 2 2 2 3 2 3 2 3
O ponto P é a interseção das retas AB : y x e CD : y x
1 1 1 1 1 16 8 A área do triângulo APC é a SAPC 1 7 3 1 e a área do triângulo BPD é 2 2 3 3 1 3 5 1 1 1 8 2 1 1 4 2 b SBPD 3 7 3 3 . Portanto, 3a 6b 3 6 12 . 3 3 2 2 3 3 4 3 2
5) Uma turma de alunos do 1 ano da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8h40 às 10h20 e de 10h30 às 12h . As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a) 9 b) 18 c) 36 d) 48 e) 54 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Inicialmente, vamos contar o número de maneiras de marcar as aulas de Arquitetura Naval. Temos que escolher 2 dentre os 3 dias e, em cada dia, temos 2 possibilidades de horário. Assim, o número de 3 maneiras de marcar essas aulas é 2 2 3 2 2 12 . 2 Vamos agora contar o número de maneiras de marcar as aulas de Inglês. Uma das aulas deve ocorrer em um dos 2 dias já ocupados pela aula de Arquitetura Naval e a outra em um dos 2 horários no dia que está livre. Assim, o número de maneiras de marcar essas aulas é 2 2 4 . As aulas de Cálculo ocorrerão necessariamente nos dois horários restantes, ou seja, há uma única maneira de marcá-las. Pelo princípio multiplicativo, o número de modos que pode ser feito o horário é 12 41 48 . 6) Sejam as funções f : e g : . Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora, considere as sentenças a seguir: I - g f é injetora; II - f g é bijetora; III - g f é sobrejetora. Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada sentença, obtém-se www.madematica.blogspot.com
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2014-2015
a) V – V – V b) V – V – F c) F – V – F d) F – F – V e) V – F – V RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: I – FALSA Contra-exemplo: Se f x x que é uma função bijetora, então g f x g f x g x que não é necessariamente injetora. II – FALSA Como não foi afirmado que g é injetora, então podemos supor que existam x1, x 2 , com x1 x 2 , tais que g x1 g x2 . Aplicando a função f nos dois lados dessa igualdade, temos f g x1 f g x2 f g x1 f g x2 , com x1 x 2 , o que implica que a função f g não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. III − VERDADEIRA
Devemos provar que y , existe x tal que g f x y . Como g é sobrejetora, então y , existe z tal que g z y . Como f é bijetora, então existe f 1 a função inversa de f . Assim, basta tomar f x z x f 1 z . Dessa forma, temos y , existe z tal que g z y e x f 1 z tais que g f x g f x g f f 1 z g z y . Portanto, g f é sobrejetora.
e 2 3 7) Sabendo-se que det 1 2 0 1 3 1 1 2e 2 8 24 3 2 1 2 3 4 5 det 2 3 4 5 6 . 0 1 3 5 12 3 0 5 5 16 a) 2a b) 2a c) a d) a e) 3a
1
2
33
4
5
3
4
3
5
2
0
1 6 a, 5 12 4
calcule,
em
função
de
a
,
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
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RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: 1 1 1 3 3 3 2e 2 8 24 2 2e 2 2 2 2 3 2 1 e 2 3 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 det det 2 det 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 0 1 3 5 12 0 1 3 5 12 0 1 3 5 12 3 0 5 5 16 5 5 16 3 0 3 0 5 5 16 1 1 3 e e 2 3 1 2 33 1 2 2 3 4 5 6 3 2 3 4 5 6 2 det 1 2 3 4 5 2 det 1 2 3 4 5 2a 0 1 3 5 12 0 1 3 5 12 3 0 5 5 16 3 1 2 0 4 1 Colocamos o 2 em evidência na primeira linha do determinante, o que implica que o determinante fica multiplicado por 2 . 2 Invertemos a segunda linha com a terceira, o que implica o que determinante fica multiplicado por 1 . 3 Substituímos a quinta linha pela diferença entre a quinta e a quarta linha, o que não altera o determinante (teorema de Jacobi). 8) Deseja-se construir uma janela que, possuindo a forma de um retângulo sob um semicírculo, conforme figura abaixo, permita o máximo de passagem de luz possível. Sabe-se que: o vidro do retângulo será transparente; o vidro do semicírculo será colorido, transmitindo, por unidade de área, apenas metade da luz incidente em relação ao vidro transparente; o perímetro total da janela é fixo p . Nessas condições, determine as medidas da parte retangular da janela, em função do perímetro p . Obs.: Ignore a espessura do caixilho.
4 p p e 3 8 2 3 8 4 2 p e p b) 3 8 4 3 8 a)
4
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8
c)
p e 3 8 6 p e d) 3 8 4 p e e) 3 8
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4 p 3 8 3 4 p 4 3 8 8
p 3 8
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: Seja 2r a base do retângulo, então a sua altura será dada por: p r p 2 p 2r 2h r h r r . 2 2 2 2 Seja a incidência de luz igual k por unidade de área, então a luz transmitida pelo retângulo é p 2 1 r 2 r 2 k. k 2r r k r p r 2 e a luz transmitida pelo semicírculo é k 2 2 4 2 2 8 3 2 3 Assim, a passagem de luz total é 2 r 2 pr k é uma função do r pr k que 4 4 p 2p 2 grau em r e assume seu valor máximo quando r . 8 3 8 3 2 4 Portanto, as medidas do retângulo são: 4p 2 2p p 1 2 4 p . 2r e h p 8 3 2 2 3 8 2 3 8 2 3 8 Note que o valor de r foi obtido utilizando que uma função quadrática da forma y ax 2 bx c b possui um vértice de coordenadas x V e yV , onde b2 4ac , e que esse vértice é um 2a
4a
ponto de máximo, se a 0 , ou um ponto de mínimo, se a 0 . 9) Um juiz de futebol trapalhão tem no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com uma face amarela e uma outro face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um cartão, retirado do bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador vê é amarela, a probabilidade de a face voltada para o juiz ser vermelha será a) b) c) d) e)
1 6 1 3 2 3 1 2 3 2
. . . . .
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RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Considere os cartões A1 , A 2 , V1 , V2 e A3 , V3 identificados pela cor de suas faces. Vamos analisar o experimento no qual o juiz retira o cartão e mostra uma das faces para o jogador aleatoriamente. Se a face que o jogador vê é amarela, ou seja, A1 , A 2 ou A3 , então esse é o nosso espaço amostral. Assim, n 3 . Para que a face voltada para o juiz seja vermelha, o jogador deve estar vendo a face A3 . Assim, há um único caso favorável e n A 1 . n A 1 Logo, a probabilidade pedida é P A . n 3 Esse problema pode ser feito também com auxílio do diagrama de árvore a seguir, onde foi adotada a mesma nomenclatura para os cartões e suas faces.
Se a face que o jogador vê é amarela, então ele vê uma das três faces marcadas por retângulos no diagrama. Para que a face voltada para o juiz ser vermelha, então o jogador deve estar vendo a face A3 . Portanto, a probabilidade pedida é P
P A3 P A1 P A2 P A3
16 1 . 1 6 1 6 1 6 3
10) Assinale a alternativa que apresenta equações paramétricas da reta r , sabendo-se que o ponto A , x 2 t cujas coordenadas são 2, 3, 4 , pertence a r e que r é ortogonal às retas r1 : y t e z 3 y x 1 r2 : . z 3 x 2 y 3 4z a) r : 6
6
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b) c) d)
e)
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x 2 6t r : y 3 5t z 4 y x 5 r: z 6 x x 2 6t r : y 3 3t z 4 x 2 6t r : y 3 6t z 4 t
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Sejam d 1 , d 2 e d0 x 0 , y0 , z0 os vetores diretores das retas r 1 , r 2 e r , respectivamente. x 2 t d1 1, 1, 0 r1 : y t z 3 x t y x 1 r2 : y 1 x d 2 1, 1, 0 r2 : z 3 z 3 d1 d2 r1 r2 r r1 r r2 d0 d1 0 x0 y0 0 d0 a,a, b ; a, b x 2 at 2, 3, 4 r r : y 3 at z 4 bt Fazendo, a 6 e b 1 , temos a reta da alternativa e). Note que a reta da alternativa e) é a mesma da alternativa b), mas em b) é apresentada a equação simétrica da reta e em e) a equação paramétrica pedida. 11) Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P i 2 e P 1 i 0 . 1 a) 2x3 3x 2 2x 2
5 2 b) 2x3 3x 2 2x 2 5 2 c) 2x3 3x 2 2x 2 5
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1 d) 2x3 3x 2 2x 2 5 2 e) x3 x 2 2x 3 3
RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: (As alternativas foram alteradas, pois não havia resposta correta) Inicialmente, lembremos que se um número complexo (não real) é raiz de multiplicidade m de um polinômio de coeficientes reais, então o seu conjugado também é raiz de multiplicidade m desse polinômio. Se P x possui coeficientes reais e P 1 i 0 , então P 1 i 0 . Logo, P x tem um fator x 1 i x 1 i x2 2x 2 e pode ser escrito como P x x 2 2x 2 q x . 2 2 1 2i 2 P i i2 2i 2 q i 2 1 2i q i 2 q i 1 2i 1 2i 1 4 5 Para que P x tenha coeficientes reais e grau mínimo, q x deve possuir coeficientes reais e ser do primeiro grau. Fazendo q x ax b , com a, b , temos: 2 4 4 2 2 i a b q x 2x 1 . 5 5 5 5 5 2 2 Portanto, P x 2x 1 x 2 2x 2 2x 3 3x 2 2x 2 . 5 5 q i a i b
12) Dada uma função F: , sabe-se que: i) F' x sen 3x cos 5x , onde F' x é a derivada da função F , em relação à variável independente x; ii) F 0 0 . O valor de F é 16 1 2 2 3 a) 4 2 4 1 2 2 3 b) 4 2 4 1 2 2 3 c) 4 2 4 1 2 2 3 d) 4 2 4 1 2 2 3 e) 4 2 4
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RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: 1 Aplicando a transformação de produto em soma, temos: sen 3x cos 5x sen 8x sen 2x .
Vamos recordar a integral sen kx dx
2
cos kx c . k
1 cos 8x cos 2x F x F' x dx c sen 8x sen 2x dx c c 2 16 4 cos 8 0 cos 2 0 3 F 0 c 0 c 16 4 16 cos 8x cos 2x 3 F x 16 4 16
F 16
cos 2 cos cos 3 16 16 2 8 3 1 2 2 3 16 4 16 16 4 16 4 2 4
cos 8
2 1 2 2 2 2 2 cos cos 2cos 1 cos 4 8 8 2 4 8
2 2 2
13) Os números reais positivos a1, a2 , , an formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q . Nesse caso, é correto afirmar que a sequência loga1,loga 2, ,loga n forma a) uma progressão geométrica crescente, se q 1 . b) uma progressão aritmética crescente, se q 1 . c) uma progressão geométrica decrescente, se 0 q 1 . d) uma progressão aritmética crescente, se 0 q 1 . e) uma progressão aritmética crescente, desde que q 0 . RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: PG : a1,a 2 ,
,a n
a k 1 a q log k 1 log q log a k 1 log a k log q ak a k
Portanto, a sequência loga1,loga 2, ,loga n é uma progressão aritmética de razão r log q . Se 0 q 1 , então r log q 0 e a PA é decrescente. Se q 1 , então r log q 0 e a PA é crescente. 14) Um tanque em forma de cone circular de altura h encontra-se com vértice para baixo e com eixo na vertical. Esse tanque, quando completamente cheio, comporta 6000 litros de água. O volume de água, quando o nível está a
1 4
da altura, é igual a
a) 1500 litros. www.madematica.blogspot.com
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b) 150 litros. c) 93,75 litros. d) 30 litros. e) 125 litros. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: (As alternativas foram alteradas, pois não havia resposta correta)
O tanque cheio e o tanque com água a
1 4
da altura são representados por dois cones semelhantes. A
relação entre seus volumes é igual ao cubo da razão de semelhança. Assim, temos: 3 V1 4 V1 4 h 4 1 V1 4 93, 75 . Vcheio h 6000 64
15) Um astronauta, em sua nave espacial, consegue observar em certo momento exatamente
1 6
da
superfície de um planeta. Determine a que distância ele está da superfície desse planeta. Considere o raio do planeta igual a 12800 km . a) 1300 km b) 1500 km c) 1600 km d) 3200 km e) 6400 km
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RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: A figura abaixo representa a situação descrita no enunciado e o ponto A representa o astronauta. Observe que a superfície da Terra foi considerada uma superfície esférica.
A área SC que o astronauta consegue observar é a área de uma calota esférica em uma esfera de raio r 12800 e altura h PM . 1 4r 2 2 A superfície da esfera é Se 4r , então a área que o astronauta observa é Sc Se . 6
6
A área da calota esférica de raio r e altura h é Sc 2rh . 4r 2 r h . Igualando as duas expressões para a área da calota, temos: 2rh 6 3 r 2r OM OP PM r 3 3 No triângulo retângulo AOT2 , temos:
2r 3r 3 AO 12800 19200 3 2 2 A distância do astronauta à superfície da Terra é d AP AO OP 19200 12800 6400 km . OT22 AO OM r 2 AO
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2
16) O valor da integral xe x dx é a) b) c) d) e)
1 x2 e c 4 x x2 e c 2 1 x2 e c 2 1 x e c 2 1 x e c 4
RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: x 2 u 2xdx du 2
x u xe dx e
du 1 u 1 1 2 e du e u c ex c 2 2 2 2
1
27 10 6 3 64 é 17) O valor da expressão 4 83
a) b) c) d) e)
25 3 3 5
6 25 6 5
3 25
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: 1 6 3
1 6 3
3
3
1 3
61 10 3 1
3 27 10 3 10 3 64 4 4 3 4 4 83
3
23 3
4 2 3 3
3 2 10 3 24 3 24 3 4 4 2 2 2 2 4 10 25 2 2 2 5
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1 1 18) Sabe-se que uma partícula move-se segundo a equação S t t3 t 2 t 2 , onde t é o tempo 3
2
em segundos e S é a posição em metros. Pode-se afirmar que a aceleração da partícula, quando t = 2 s, é a) 3 m s2 b) 5 m s2 c) 7 m s2 d) 8 m s2 e) 10 m s2 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: 1 1 S t t3 t 2 t 2 3 2 dS t t2 t 1 vt dt dv t 2t 1 a t dt
t 2 s a 2 2 2 1 5 m s2
19) Seja A a ij
33
uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo é dado pela lei
i j, se i j é par a ij . Pode-se afirmar que o valor de det A é i j, se i j é ímpar
a) 0 b) 12 c) 12 d) 4 e) 4 RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: a11 1 1 0 a12 1 2 1 a13 1 3 2 a 21 2 1 1 a 22 2 2 0 a 23 2 3 1 a31 3 1 2 a 32 3 2 1
0 det A 1
2
1 2 0 1 2 2 0 1
0
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a33 3 3 0
20) Seja C uma circunferência de raio 2 centrada na origem do plano xy . Um ponto P do 1º quadrante fixado sobre C determina um segmento OP , onde O é a origem, que forma um ângulo de radianos 4
com o eixo das abscissas. Pode-se afirmar que a reta tangente ao gráfico de C passando por P é dada por a) x y 2 0 b) 2x y 1 0 c) 2x y 2 0 d) x y 2 2 0 e) x y 2 2 0 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO:
Seja t a reta tangente à circunferência em P e sejam A e B os pontos onde t corta o eixo das abscissas e das ordenadas, respectivamente. respectivamente. Como AOP rad 4455 , então AOB é um triângulo retângulo isósceles. Assim, temos: ˆ
OA OB
4 OP
cos45
2 2 2
2 2.
A equação segmentária de t é dada por
x y x y 1 1 x y 2 2 0 . OA OB 2 2 2 2
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Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2013-2014
PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM EFOMM – 2013/2014 2013/2014 1) A área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular cujas bases são paralelas e têm áreas 25 3 cm2 e 4 3 cm2 e altura 4 cm é, em cm2 ,
a) 19 3 b) 25 3 c) 15 19 d) 21 19 e) 25 15 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Sejam x a aresta da base maior e y a aresta da base menor do tronco de pirâmide que são triângulos equiláteros, então x2 3 SB 100 x 10 25 3 x 2 10 4 y2 3 4 3 y2 16 y 4 S b 4
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Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2013-2014
As faces laterais do tronco de pirâmide são trapézios isósceles congruentes. Para encontrar a área lateral do tronco de pirâmide, precisamos encontrar a altura MM ' de uma face lateral. 1 3
1 4 3 2 3 . 3 2 3 1 1 10 3 5 3 No triângulo equilátero ABC de lado 10 , temos GM AM . 3 3 2 3 2 3 Como o quadrilátero G'GPM' é um retângulo, então GP G ' M ' , PM' GG ' 4 e 3 5 3 2 3 3. PM GM GP 3 3 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo PMM' , temos
No triângulo equilátero A'B'C' de lado 4 , temos G 'M ' A 'M '
2
MM'2 PM'2 PM2 42 3 19 MM' 19
Assim, a área lateral do tronco de pirâmide triangular regular é igual a 10 4 19 SL 3 21 19 cm2 . 2
2) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2 cm . Se a sua área é menor ou igual a 35 cm2 , então todos os possíveis valores de x , em cm , satisfazem: a) 0 x 7 b) 0 x 5 c) 2 x 5 d) 2 x 7 e) 2 x 7 RESPOSTA: d www.madematica.blogspot.com
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RESOLUÇÃO: A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2 cm , então x y 2 y x2 . Se a área desse retângulo é menor ou igual a 35 cm2 , então S xy x x 2 35 x 2 2x 35 0 5 x 7 . Como x e y são medidas dos lados de um retângulo, então x 0 e y x 2 0 x 2 , o que implica x 2 . Fazendo a interseção dos intervalos 5 x 7 e x 2 , temos 2 x 7 . 3) Uma pesquisa indica a taxa de crescimento populacional de uma cidade através da função P x 117 200x , por pessoas anualmente há x anos. Passados 10 anos, o crescimento é dado pela 10
integral 117 200x dx . Pode-se afirmar que esse crescimento será de 0
a) 10130 pessoas. b) 11170 pessoas. c) 11200 pessoas. d) 11310 pessoas. e) 12171 pessoas. RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: 10
O crescimento pedido é o valor da integral definida 117 200x dx . Assim, temos: 0
10
10 x2 2 117 200x dx 117x 200 117x 100x 0 2 0 0 117 10 100 10 2 117 0 100 0 2 11170
10
4) O valor da soma de exata, é a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
a e b , para que a divisão de f x x
3
ax b por g x 2x 2 2x 6 seja
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: Se a divisão de f x x3 ax b por g x 2x2 2x 6 é exata, então o resto é R x 0 e o quociente é do 1° grau e da forma Q x cx d . Representando a divisão de acordo com o algoritmo de Euclides, temos: www.madematica.blogspot.com
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Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2013-2014
f x g x Q x R x x 3 ax b 2x 2 2x 6 cx d 0
x3 ax b 2cx 3 2d 2c x 2 2d 6c x 6d Como a igualdade acima deve ser válida para qualquer valor de x , então os dois lados da igualdade devem ser polinômios idênticos. Assim, temos: 1 2c c 1 2 0 2d 2c 0 2d 1 d 1 2 a 2d 6c a 2 1 2 6 1 2 a 4 b 6d b 6 1 2 b 3 Portanto, a b 4 3 1 . 1 5
5) Seja x 0, 2 tal que senx cosx . Então, o produto P e a soma
S de
todos os possíveis
valores de tg x são, respectivamente, a) P 1 e S 0 b) P 1 e S 5 c) P 1 e S 0 d) P 1 e S 5 e) P 1 e S 5 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: 1 5
Dividindo sen x cos x por cos2 x em ambos os lados, temos: 1 sen x 1 sec2 x sen x cos x tg x 5tg x 1 tg2 x tg2 x 5 tg x 1 0 2 5 cos x 5cos x 5
Analisando o discriminante da equação do 2° grau, temos: 5 4 1 1 21 0 . Logo, a equação possui duas raízes reais. Dessa forma, podemos afirmar que o produto P e a soma S de todos os possíveis valores de tg x são 5 1 P 1 e S 5. 2
1
1
6) Suponha um lote de dez peças, sendo duas defeituosas. Testam-se as peças, uma a uma, até que sejam encontradas as duas defeituosas. A probabilidade de que a última peça defeituosa seja encontrada no terceiro teste é igual a a) 1 45 b) 2 45 c) 1 15 d) 4 45 e) 1 9 RESPOSTA: b www.madematica.blogspot.com
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RESOLUÇÃO: Seja D o evento “encontrar uma bola defeituosa no teste” e
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B o evento “encontrar uma bola defeituosa
no teste”.
Para que a última peça defeituosa seja encontrada no terceiro teste, temos duas possibilidades para os resultados dos três primeiros testes: B,D,D ou D,B,D . Assim, a probabilidade de que a última peça defeituosa seja encontrada no terceiro teste é dada por P
8 2 1 2 8 1 2 . 10 9 8 10 9 8 45
7) O limite da soma da expressão a) b) c) d) e)
3 1 3 3 3 1 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
é igual a
1 7 2 7 3 7 4 7 5 7
RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: 2
3 é . 4 Sendo assim, trata-se da soma de uma progressão geométrica (P.G.) infinita de primeiro termo 2 3 3 1 a1 e razão q 1 . 4 4 4 Como a razão da P. G. infinita tem módulo menor do que 1 , o limite da sua soma existe e é dado por
3 1 3 3 3 1 3 3 3 3 3 1 A razão entre duas parcelas consecutivas da soma 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
3 1 a1 4 4 3. S 2 1 q 7 3 1 4
8) Os valores de x , para os quais a função real dada por f x 4 2x 1 6 está definida, formam o conjunto 1 3 a) , 2 2 9 5 3 7 b) , , 2 2 2 2 www.madematica.blogspot.com
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5 1 7 11 c) , , 2 2 2 2 5 7 d) , 0 0, 2 2 9 1 3 11 e) , , 2 2 2 2
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Para que a função real f x 4 2x 1 6 esteja definida devemos ter 4 2x 1 6 0 2x 1 6 4 4 2x 1 6 4 2 2x 1 10 A última expressão consiste de duas inequações simultâneas. Vamos resolver cada uma delas em separado. 1 3 x 2 2 9 11 2x 1 10 10 2x 1 10 9 2x 11 x 2 2
2x 1 2 2x 1 2 2x 1 2 x
Como as duas desigualdades devem ser satisfeitas simultaneamente, devemos fazer a interseção dos 9 1 3 11 intervalos. Portanto, Df , , . 2 2 2 2 9) Os múltiplos de 5 são escritos na disposição abaixo:
Caso esse padrão seja mantido indefinidamente, com certeza o número 745 pertencerá à a) primeira coluna. b) segunda coluna. c) terceira coluna. d) quarta coluna. e) quinta coluna. RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Como 745 5149 e 149 5 29 4 , então o número 745 aparecerá na trigésima linha e na coluna 4.
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x 10) Se g x 9x 11 e f g x g 1 são funções reais, então f 16 vale 9 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: Vamos identificar o valor de x para o qual g x 16 . g x 9x 11 16 9x 27 x 3 Portanto, g 3 16 . x Fazendo x 3 na expressão f g x g 1 , temos: 9 4 3 4 f g 3 g 1 f 16 g 9 11 1 3 9 3 11) O determinante da matriz A a ij , de ordem 2 , onde: cos 2i j , se i j a ij tg , se i j i j é igual a a) 1 3 . b) 1 3 . c) 3 . d) 3 . e) 1 . RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: cos 1 tg 3 a11 cos a12 tg 2 1 1 1 2 3 tg 3 cos 0 a 21 tg a 22 cos 2 1 22 2 2 3 1 3 A det A 1 0 3 3 3 3 0
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12) Sabendo que a velocidade de uma partícula, em m s , é dada pela equação v t 2 3 t 5 t 2 (onde t é o tempo medido em segundos), pode-se afirmar que, no instante t 5 s , sua aceleração é a) 28 m s 2 b) 30 m s2 c) 36 m s 2 d) 47 m s 2 e) 53m s 2 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: A aceleração da partícula no instante t 5 é igual à derivada de v t 2 3 t 5 t 2 , calculada em t 5 . Assim, temos: a t
dv t 3 10t dt
Portanto, a aceleração da partícula no instante t 5 é a 5 3 10 5 53 m s2 . 13) O valor da expressão 163 4 4 812 274 3 é a) 11 23 b) 12 23 c) 13 34 d) 14 24 5 e) 1 32 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO:
163 4 4 812 274 3 24 3 4 4 34 2 33 4 3 23 4 38 34
3 23 32 34 8 9 34 1 34 1 34
14) O valor de x para resolver a equação 4x 6x 2 9x é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 RESPOSTA: a
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RESOLUÇÃO: 4
x
9 x 4 x
6 2 9 x
x
9x
6x 9x
2x
x
2 2 2 0 2 0 3 3
x
2 2 não convém 3 x
x
0
2 1 2 2 x 0 3 3 3 Portanto, o conjunto solução da equação exponencial é S 0 . 15) A única alternativa INCORRETA é a) lim 3x 2 5x 2 4 x 2
x 2 2x 3 4 b) lim x 1 4x 3 7 2
2x 2 x 2 c) lim 4 x 1 3x 2 x2 4 d) lim 2 2 x 2 x 2x 3 2 3x 2 x 2x 2 e) lim 3 2 x 2 x 4x 3
RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: a) CORRETA Como a função f x 3x2 5x 2 é contínua em todos os reais, então lim f x lim 3x 2 5x 2 f 2 3 22 5 2 2 4 . x 2
x 2
b) CORRETA x 2 2x 3 Como a função f x é contínua em x 1 , então 4x 3
x 2 2x 3 12 2 1 3 4 lim f x lim f 1 x 1 x 1 4x 3 4 1 3 7 c) INCORRETA 2 2x 2 x 2 Como a função f x é contínua em x 1 , então 3x 2 2
2
2x 2 x 2 2 12 1 2 lim f x lim f 1 94 x 1 x 1 3x 2 3 1 2 d) CORRETA www.madematica.blogspot.com
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x2 4 x 2 x 2 x 2 2 2 lim lim 2 lim 2 x 2 x 2x x 2 x x 2 x 2 x 2 e) CORRETA Como a função f x 3 lim f x lim
x 2
3
x 3 2x 2 3x 2 x 2 4x 3
x3 2x 2 3x 2 x 2 4x 3
x 2
é contínua em x 2 , então
23 2 22 3 2 2 f 2 3 2 22 4 2 3
5 t 3 5 16) O valor de lim é t 0 t 3
a) b) c) d)
0 1
10 1 3
52
1 33 25
e) RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: 0 O limite em análise é uma indeterminação do tipo . Aplicando o teorema de L’Hôpital, temos: 0
1 2 3 5 t 1 5 t 5 1 1 1 3 lim lim 3 lim 2 2 t 0 t 0 t 0 3 3 t 1 3 25 3 5 t 3 5 0 3
3
Alternativamente, podemos fazer t 0 y 3 5
3
5 t y 5 t y3 t y3 5 , temos:
5 t 3 5 y35 y3 5 lim lim 3 lim 3 3 3 t 0 2 2 3 3 t y 5 y 5 y 5 y 5 y y 5 5 3
lim
y3 5
1 y2 y 3 5 3 52
1 3
52 3 5 3 5 3 52
1 33 25
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17) Considere um triângulo retângulo de catetos hipotenusa desse triângulo mede, em cm , a) b) c) d) e)
36
2
7 4
5 3 5
e 12 cm . A bissetriz interna relativa à
2.
7 25
15 7
9 cm
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2 2 2
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO:
Seja o triângulo retângulo ABC de catetos AC 12 e BC 9 , e bissetriz relativa à hipotenusa CD . Pelo teorema das bissetrizes, temos:
AD AC 12 4 . DB BC 9 3
Seja DE BC , então DEC 90 . Aplicando o teorema de Thales, temos: ˆ
EC DB EC 3 3 36 EC 12 . AC AB 12 4 3 7 7
No triângulo retângulo isósceles CED , temos:
CE CE 36 7 36 2 cos 45 CD cm . CD 7 cos 45 2 2
Essa questão também pode ser resolvida da seguinte forma: Pelo teorema de Pitágoras, temos: AB2 122 92 225 AB 15 Pelo teorema das bissetrizes, temos: AD AC 12 4 AD DB AD DB AB 15 60 45 AD DB . DB BC 9 3 4 3 4 3 7 7 7 7 Aplicando a lei dos senos no triângulo BCD , temos: CD senCBD ˆ
DB sen BCD ˆ
CD 45 7 36 2 CD cm . 12 15 7 2 2
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18) Seja ax by cz d 0 a equação do plano que passa pelos pontos 4, 2,2 e 1,1,5 e é perpendicular ao plano 3x 2y 5z 1 0 . A razão
d b
é
5
a) . 4
b)
4
.
7
c) 8 . 1
d) . 2
e)
2 5
.
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: Sejam os planos : ax by cz d 0 e : 3x 2y 5z 1 0 . O vetor normal de é n a, b, c e o vetor normal de é n 3, 2,5 . Como , então n n n n 0 a, b,c 3, 2,5 0 3a 2b 5c 0 . 4, 2, 2 4a 2b 2c d 0 1,1,5 a b 5c d 0 As equações obtidas resultam no sistema linear: a b 5c d a b 5c d a b 5c d L2 L2 4L1 L2 L2 3 6b 18c 3d 4a 2b 2c d 2b 6c d L3 L3 3L1 3 L L 3 3 3a 2b 5c 0 5b 10c 3d 3b 6c 9d 5 5 Somando a segunda e a terceira linha na expressão final do sistema, temos: b d
9d 4d d 5 5 5 b 4
Essa questão também pode ser resolvida da seguinte forma: Sejam os planos : ax by cz d 0 e : 3x 2y 5z 1 0 . O vetor normal de é n 3, 2,5 que é paralelo ao plano , pois . 4, 2,2 , então o vetor Como os pontos e 1,1,5 pertencem a 4, 2, 2 1,1, 5 3, 3, 3 3 1, 1, 1 é paralelo a . Assim, o produto vetorial dos vetores n 3, 2,5 e 1, 1, 1 , ambos paralelos ao plano , resulta em um vetor normal a . i
ˆ
j
k
ˆ
ˆ
n 3, 2,5 1, 1, 1 3 2
5 7,8, 1
1 1 1
Considerando o ponto 1,1,5 e seja um ponto x,y,z , o vetor x 1, y 1, z 5 é paralelo a e, portanto seu produto escalar com o vetor normal de deve ser nulo. Assim, temos: 7,8, 1 x 1, y 1, z 5 0 7x 7 8y 8 z 5 0 7x 8y z 10 0 . www.madematica.blogspot.com
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Portanto, b 8 , d 10 e
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d 10 5 . b 8 4
19) Denotaremos por n X o número de elementos de um conjunto finito X . Sejam A , B , C conjuntos tais que n A B 14 , n A C 14 e n B C 15 , n A B C 17 e n A B C 3 . Então n A n B n C é igual a a) 18 . b) 20 . c) 25 . d) 29 . e) 32 . RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Vamos lançar mão das expressões do princípio da inclusão-exclusão para dois e três conjuntos. Assim, temos: n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C (1) n A B n A n B n A B (2) n A C n A n C n A C (3) n B C n B n C n B C (4) Subtraindo as igualdades (2), (3) e (4) da igualdade (1), temos: n A B C n A B n A C n B C n A n B n C n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C n A B C Substituindo os valores do enunciado, temos: n A n B n C 14 14 15 17 3 29 . Essa questão também pode ser resolvida da seguinte forma, usando diagramas de Venn:
n A B 14 x y z 8 14 x y z 6
n A n B n C x y 5 x z 6 y z 6 2 x y z 17 2 6 17 29 www.madematica.blogspot.com
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20) Sabendo-se que a raiz quadrada do número complexo 16 30i é a bi ou c di , onde a,b,c,d e a 0 , pode-se afirmar que o valor de a d é: a) 2 . b) 1 . c) 0 . d) 1 . e) 2 . RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Seja x yi a raiz quadrada de 16 30i , então x 2 y2 16 x yi 16 30i x y 2xyi 16 30i 2xy 30 2
2
2
2
15 15 2xy 30 y x 2 16 x 4 16x 2 225 0 x x
x 2 25 não convém x 2 9 x 3
Se x 3 , então y
15 5 . x
Portanto, as raízes quadradas de 16 30i são 3 5i e 3 5i . Como a 0 , então a bi 3 5i e c di 3 5i . Portanto, a d 3 5 2 .
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2012/2013 1 1 1) O valor de lim 2 é x0 x x x a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: O limite apresentado é do tipo . 1 1 1 x 1 1 1 lim x 1 1 lim lim 2 lim lim 1. x0 x x x x0 x x x 1 x0 x x 1 x 0 x x 1 x 0 x 1 0 1 2) O número de bactérias
kt B , numa cultura, após t horas, é B B0 e , onde k é uma constante real.
Sabendo-se que o número inicial de bactérias é 100 e que essa quantidade duplica em t
ln 2 horas, 2
então o número N de bactérias, após 2 horas, satisfaz: a) 800 N 1600 b) 1600 N 8100 c) 8100 N 128000 d) 128000 N 256000 e) 256000 N 512000 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Quando t 0 , temos B 100 , então 100 B0 ek0 B0 100 . Quando t 200 100 e
ln 2 , temos B 200 , então 2 k
ln2 2
2
k eln 2 2 2
k 2
2
k 1 k 2 . 2
O número N de bactérias, após 2 horas, é dado por N 100 e22 100 e4 . Como 2 e 3 24 e4 34 16 e 4 81 1600 100 e4 8100 1600 N 8100 . 3) O gráfico de f x x 32 ex , x , tem uma assíntota horizontal r . Se o gráfico de
f
2
intercepta r no ponto P a, b , então a 2 b esen a 4a é igual a: www.madematica.blogspot.com
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a) 3 b) 2 c) 3 d) 2 e)
1 2
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: 2 lim f x lim x 3 e x x
x
Assim, a função não possui assíntota em .
x 3 lim f x lim x
x
2
x
e
lim
x
x 3
2
e x
lim
x 3 2 ex
x
. Aplicando o teorema de L’Hôpital duas vezes, temos: x 32 2 x 3 1 2x 6 2 lim f x lim lim lim lim 0 x x x x
O limite acima é do tipo x
x
e
x
x
e
x e
e
Portanto, a assíntota horizontal em é a reta r : y 0 . Vamos agora encontrar a interseção do gráfico de f com a reta r : y 0 . x 32 ex 0 x 3 P a, b 3,0 a 3 b 0 . A expressão pedida é dada por a 2 b esen
2a
2
4a 32 0 esen 3 4 3 3 .
Observe no gráfico da função f a seguir, o comportamento da função quando x que mostra a aproximação assintótica com a reta y 0 .
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4) Num quadrado de lado a , inscreve-se um círculo; nesse círculo se inscreve um novo quadrado e nele um novo círculo. Repetindo a operação indefinidamente, tem-se que a soma dos raios de todos os círculos é: a)
a 2 2 1 ; 2
b) a 2 2 1 ; c)
a 2 2 1 ; 2
d) a 2 2 1 ; e) 2a 2 1 . RESPOSTA: c RESOLUÇÃO:
O círculo inscrito no quadrado de lado L1 a possui raio R 1
raio
a 2
possui diagonal
possui raio R 2 Assim,
a
a
R 1
, portanto L2 2 a L2
a 2
a 2
. O quadrado inscrito no círculo de
e o círculo inscrito nesse quadrado
.
2 2
R 2 a 2 2 1 , ou seja, a razão entre os raios de dois círculos consecutivos é R1 a 2 2
1 2
.
Dessa forma, as medidas dos raios dos círculos formam uma progressão geométrica de primeiro termo R 1
a 2
e razão q
1 2
.
Logo, a soma dos raios de todos os círculos é dada por S
a 2
R 1 a 2 2 1 a 2 2 1 . 1 1 q 1 2 2 1 2 1 2 2
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1 i 1 5) Se os números reais x e y são soluções da equação 1 i , então 5x 15y é igual 1 i x iy a: a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) 2 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: 2 2 1 i 1 i 1 2i i 2 2i 1 1 i 1 i 2 1 2i i2 2i 2
1 i 1 1 1 1 i 1 1 i 2 i 1 i x iy x iy x iy 1 1 2 i 2 i 2 1 2 1 i x y x yi x yi 2i 2 i 2 i 4 i2 5 5 5 5 2 1 5x 15y 5 15 1 5 5 6) Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de 12 cm de raio e ângulo central de 120 . Então, a altura do cone é: a) 2 2 b) 4 2 c) 6 2 d) 8 2 e) 12 2 RESPOSTA: d
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RESOLUÇÃO:
O comprimento da circunferência da base é igual ao comprimento do arco do setor circular. Assim, 2 temos: 2 r 12 r 4 . 3
Aplicando o teorema de Pitágoras h2 42 122 h 2 128 h 8 2 cm .
no
triângulo
retângulo
VOA ,
temos:
7) Constrói-se um depósito, na forma de um sólido V , dentro de uma semiesfera de raio 4 m . O depósito é formado por uma semiesfera de raio 1 m sobreposta a um cilindro circular, dispostos conforme a figura. Então a área da superfície total de V , em m2 , é igual a:
a) 20 14 2 . b) 17 4 10 . c) 8 4 7 . www.madematica.blogspot.com
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d) 2 1 7 6 . e) 15 6 7 . RESPOSTA: e RESOLUÇÃO:
A altura do cilindro é h OO' 4 1 3 . O raio da base do cilindro é R O'A e OA 4 é o raio da semiesfera maior. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OO'A , temos: O'A2 32 42 O' A 7 . A área lateral do cilindro é dada por 2R h 2 7 3 6 7 . 2
A área da base do cilindro é R 2 7 7 . A área da parte superior do cilindro não coberta pela semiesfera menor de raio
R 2 r 2
7
2
r 1 é
12 6 .
A área da semiesfera de menor de raio r 1 é
1 4r 2 212 2 . 2
Portanto, a área da superfície total de V é dada por SV 6 7 7 6 2 15 6 7 m 2 . 8) A empresa Alfa Tecidos dispõe de 5 teares que funcionam 6 horas por dia, simultaneamente. Essa empresa fabrica 1800 m de tecido, com 1,20 m de largura em 4 dias. Considerando que um dos teares parou de funcionar, em quantos dias, aproximadamente, a tecelagem fabricará 2000 m do mesmo tecido, com largura 0,80 m , e com cada uma de suas máquinas funcionando 8 horas por dia? a) 2 dias. b) 3 dias. c) 4 dias. d) 5 dias. e) 6 dias. RESPOSTA: b RESOLUÇÃO:
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Para fabricar 1800 1, 20 2160 m2 de tecido são necessárias 5 6 4 120 horas de funcionamento 2160
dos teares. Portanto, um tear fabrica em 1 hora de funcionamento Para fabricar 2000 0,80 1600 m2 de tecido são necessárias
18 m2 de tecido.
120 1600 800
18
9
horas de tear. Como na
segunda situação estão funcionando 4 teares durante 8 horas por dia, então são necessários 800 9 25 2, 7 3 dias. 48 9
9) Se det
2
a) b) c) d) e)
cos x sen x sen y cos y
1 3
, então o valor de 3sen x y tg x y sec x y , para
x y , é igual a: 0 1
3 2 3 1 2
RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: det
cos x sen x sen y cos y
1 3
1 3
cos x cos y sen x sen y cos x y
1 3
2
1 2 2 x y sen x y 1 cos x y 1 2 3 3 2
2 2 sen x y 3 2 2 tg x y 1 cos x y 3 1 1 3 sec x y cos x y 1 3 3sen x y tg x y sec x y 3
2 2 2 2 3 3 3
10) O valor da integral senx cosxdx é: a) cosx c
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1 4 1 c) cos x c 2 1 d) cos x c 4 1 e) cos2x c 2
b) cos2x c
RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: 1 1 1 cos 2x 1 sen x cos x dx 2sen x cos x dx sen 2x dx c cos 2x c 2 2 2 2 4
11) Um muro será construído para isolar a área de uma escola que está situada a 2 km de distância da estação do metrô. Esse muro será erguido ao longo de todos os pontos P , tais que a razão entre a distância de P à estação do metrô e a distância de P à escola é constante e igual a 2 . Em razão disso, dois postes, com uma câmera cada, serão fixados nos pontos do muro que estão sobre a reta que passa pela escola e é perpendicular à reta que passa pelo metrô e pela escola. Então, a distância entre os postes, em km , será: a) 2 . b) 2 2 . c) 2 3 d) 4 . e) 2 5 . RESPOSTA: d RESOLUÇÃO:
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Na figura os pontos E e M representam a escola e a estação do metrô, respectivamente. Os pontos P1 e P2 representam a posição dos postes e os postes estão sobre o muro, então: P1M P2M PE P E 2 2 1 2 cos 45 . P1E P2E P1M P2M 2
Daí conclui-se que EP1M EP2M 45 , então os triângulos EP1M e EP2M são retângulos isósceles e EP1 EP2 EM 2 . Portanto, a distância entre os postes é P1P2 4 km . ˆ
ˆ
Observe que os pontos do muro são os pontos do círculo de Apolônius dos pontos M e E , e razão 2. 12) O gráfico da função contínua y f x , no plano xy , é uma curva situada acima do eixo x para x 0 e possui a seguinte propriedade: “A área da região entre a curva y f x e o eixo x no intervalo a x b ( a 0 ) é igual a área entre a curva e o eixo x no intervalo ka x kb ( k 0 )”. Se a área da região entre a curva y f x e o eixo x para x no intervalo 1 x 3 é o número A então a área entre a curva y f x e o eixo x no intervalo 9 x 243 vale: a) 2A b) 3A c) 4A d) 5A e) 6A RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Se a área entre a curva y f x e o eixo x para x 1,3 é o número A , então para cada uma das x 9 1,9 3 9, 27 , regiões determinadas por e x 3 9, 3 27 27, 81 x 3 27,3 81 81,243 a área também é igual a A . Assim, para x 9, 243 9, 27 27, 81 81, 243 , a área entre a curva y f x e o eixo x é igual a A A A 3A . b
kb
a
ka
Observe que o enunciado afirma que f x dx f x dx ,
k 0 . Essa propriedade é compatível
dx ln x c , o que resulta x x kb kb dx b dx b kb b kb ln x ka ln kb ln ka ln ln ln b ln a f x dx . f x dx x ka a ka ka a x a 1
com a função f x , com x 0 , pois f x dx
Essa situação é ilustrada no gráfico a seguir:
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13) O código Morse, desenvolvido por Samuel Morse, em 1835 , é um sistema de representação que utiliza letras, números e sinais de pontuação através de um sinal codificado intermitentemente por pulsos elétricos, perturbações sonoras, sinais visuais ou sinais de rádio. Sabendo-se que o código Morse trabalha com duas letras pré-estabelecidas, ponto e traço, e codifica com palavras de 1 a 4 letras, o número de palavras criadas é: a) 10 . b) 15 . c) 20 . d) 25 . e) 30 . RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Vamos dividir o problema em quatro casos: 1°) Palavras de uma letra: A quantidade de palavras de uma letra é 2 . 2°) Palavras de duas letras: Se as duas letras são iguais, a quantidade de palavras é 2 . Se as duas letras são diferentes, a quantidade de palavras é 2! 2 . Logo, a quantidade de palavras de duas letras é 2 2 4 . 3°) Palavras de três letras: Se as três letras são iguais, a quantidade de palavras é 2 . Se a palavra possui uma letra de um tipo e duas de outro tipo, então temos 2 maneiras de escolher a letra que ocorrerá uma única vez e essa letra poderá ser colocada em 3 posições distintas. Portanto, a quantidade de palavras é 2 3 6 . Logo, a quantidade de palavras de três letras é 2 6 8 . 4°) Palavras de quatro letras: Se as quatro letras são iguais, a quantidade de palavras é 2 . Se a palavra possui uma letra de um tipo e três de outro tipo, então temos 2 maneiras de escolher a letra que ocorrerá uma única vez e essa letra poderá ser colocada em 4 posições distintas. Portanto, a quantidade de palavras é 2 4 8 .
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Se a palavra possui duas letras de cada tipo, então basta escolher as duas posições para colocar as 43 6 palavras. duas letras de um dos tipos, ou seja, há C24
2!
Logo, a quantidade de palavras de quatro letras é 2 8 6 16 . Pelo princípio aditivo, o total de palavras criadas é 2 4 8 16 30 . 14) Um ponto P x , y , no primeiro quadrante do plano xy , situa-se no gráfico de y x 2 . Se é o ângulo de inclinação da reta que passa por P e pela origem, então o valor da expressão 1 y (onde y é a ordenada de P ) é: a) cos . b) cos2 . c) sec2 . d) tg 2 . e) sen . RESPOSTA: c RESOLUÇÃO:
Como o ponto P x , y , no primeiro quadrante do plano xy , situa-se no gráfico de y x 2 , então suas coordenadas são tais que x, y 0 e y x 2 . Se é o ângulo de inclinação da reta que passa por P x, y e pela origem 0, 0 , então y 0 x2 x. tg x0 x
Portanto, 1 y 1 x 2 1 tg2 sec2 .
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2 1 1 15) A matriz A a ij 1 1 0 define em 33 1 2 1 Se u e v são dois vetores em 3 satisfazendo: u é paralelo, tem mesmo sentido de v 2 e u 3 ; v é paralelo, tem mesmo sentido de v3 e v 2 . Então, o produto vetorial u v é dado por:
a)
3
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os vetores vi ai1i ai2 j ai3k , 1 i 3 .
3 2 i j 2 1 k 2
b) 3 2 i j 2 1 k c) 3 2 i j 2 1 k d) 2 2 i 2 j 1 2 k e) 3 2 i j 2 1 k RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: u é paralelo, tem mesmo sentido de v 2 e u 3 ; 2
v2 a 21i a 22 j a 23k i j 0k i j v 2 1 12 2 u v2 e tem mesmo sentido de v 2 u a v2 e a 0
u a v2 a v 2 3 a 2 a
3
2 v é paralelo, tem mesmo sentido de v3 e v
3 2 3 2 u i j . 2 2
2. 2
v3 a 31i a 32 j a 33k i 2 j k v 3 12 2 12 2 v v3 e tem mesmo sentido de v3 v b v3 e b 0
v b v3 b v3 2 b 2 b 1 v i 2 j k . i
uv
3 2 2 1
j 3 2 2 2
k 0
3 2 3 2 3 2 3 2 i j 2 1 k i 3k k j 2 2 2 2
1
3 2
16) Se tgx secx , o valor de sen x cos x vale: a) b)
7
13 5
13
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c) d) e)
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12 13 15 13 17 13
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: 3 3 9 tg x sec x tg 2 x 3sec x sec 2 x 2 2 4 9 9 13 13 12 3sec x sec 2 x tg 2 x 1 sec x cos x 4 4 4 12 13 3 3 13 5 sen x 5 sen x 5 5 sen x tg x sec x 2 2 12 12 cos x 12 12 13 12 13 5 12 17 sen x cos x 13 13 13 tg x sec x
Alternativamente, a questão pode ser resolvida como segue: 1 tg2 x sec2 x sec2 x tg 2 x 1 sec x tg x sec x tg x 1 3 2
sec x tg x 1 sec x tg x
2 3
tgx secx 3 13 5 2 sec x tg x 12 12 secx tgx 2 3 13 12 cos x 12 13 5 sen x 5 sen x 5 5 sen x tg x 12 cos x 12 12 13 12 13
sec x
sen x cos x
5 12 17 13 13 13
17) P x é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: os números r1 1 , r2 i e r3 1 i são raízes da equação P x 0 ; P 0 4 .
Então, P 1 é igual a: a) 4 b) 2 c) 10 www.madematica.blogspot.com
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d) 10 e) 40 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Se P x é um polinômio de coeficientes reais, então se o número complexo r2 i é raiz, então o número complexo conjugado r4 i também é raiz. Da mesma forma, se o número complexo r3 1 i , então o número complexo conjugado r5 1 i . Para que P x tenha grau mínimo, essas devem ser as suas únicas raízes. Dessa forma, esse polinômio pode ser representado na forma fatorada como: P x a x 1 x i x i x 1 i x 1 i a x 1 x2 1 x2 2x 2 . Se P 0 4 , então P 0 a 1 1 2 4 a 2 . Portanto, P x 2 x 1 x2 1 x2 2x 2 e 2 2 P 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 40 . 18) Durante o Treinamento Físico Militar na Marinha, o uniforme usado é tênis branco, short azul e camiseta branca. Sabe-se que um determinado militar comprou um par de tênis, dois shortes e três camisetas por R$100,00 . E depois, dois pares de tênis, cinco shortes e oito camisetas por R$ 235, 00 . Quanto, então, custaria para o militar um par de tênis, um short e uma camiseta? a) R$ 50, 00 . b) R$ 55, 00 . c) R$ 60, 00 . d) R$ 65,00 . e) R$ 70, 00 . RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Seja T o preço de um tênis, S o preço de um short e C o preço de uma camiseta, temos: 1 T 2 S 3 C 100 T 2S 100 3C 2T 4S 200 6C 2 T 5 S 8 C 235 2T 5S 235 8C 2T 5S 235 8C S 35 2C T 100 3C 2S 100 3C 2 35 2C 30 C Portanto, o preço de um par de tênis, um short e uma camiseta T S C 30 C 35 2C C 65 reais.
é
Alternativamente, a questão poderia ser resolvida como segue: 1 T 2 S 3 C 100 3T 6S 9C 300 2 T 5 S 8 C 235 2T 5S 8C 235 3T 6S 9C 2T 5S 8C 300 235 T S C 65 reais.
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19) Dois observadores que estão em posições coincidentes com os pontos A e B , afastados 3 km entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, a partir do chão, como sendo 30 e 75 , respectivamente. Se o balão está diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B , então a altura do balão, a partir do chão, em km , é: a) b) c) d) e)
1 3 5 2 2 5 2 3 3 2
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO:
Seja P a posição do balão e P ' a projeção de P sobre o segmento AB , então APP' e BPP' são triângulos retângulos e APP ' 90 30 60 e BPP ' 90 75 15 . Consequentemente, o ângulo APB APP ' BPP ' 60 15 75 ABP . Portanto, o triângulo ABP é isósceles e AP AB 3 . ˆ
ˆ
ˆ
No APP' , temos sen 30
ˆ
ˆ
ˆ
PP ' PP ' 1 3 PP ' km , que é a medida da altura do balão. AP 3 2 2
20) O litro da gasolina comum sofreu, há alguns dias, um aumento de 7,7% e passou a custar 2,799 reais. Já o litro do álcool sofreu um aumento de 15,8% , passando a custar 2,199 reais. Sabendo que o preço do combustível é sempre cotado em milésimos de real, pode-se afirmar, aproximadamente, que a diferença de se abastecer um carro com 10 litros de gasolina e 5 litros de álcool, antes e depois do aumento, é de: a) R$ 2,00 . b) R$ 2,50 . c) R$ 3, 00 . www.madematica.blogspot.com
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d) R$ 3,50 . e) R$ 4,00 . RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: 7, 7 2, 799 Seja g0 o preço anterior do litro da gasolina, então g 0 1 2,599 . 2, 799 g 0 1, 077 100 15,8 2,199 Seja a 0 o preço anterior do litro do álcool, então a 0 1 1,899 . 2,199 a 0 1,158 100 A diferença de se abastecer um carro com 10 litros de gasolina e 5 litros de álcool, antes e depois do aumento, é 10 2,799 2,599 5 2,199 1,899 10 0,2 5 0,3 3,50 reais.
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2011/2012 1) Considere-se o conjunto universo U , formado por uma turma de cálculo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) e composta por alunos e alunas. São dados os subconjuntos de U : A : conjunto formado pelos alunos; e B : conjunto formado por todos os alunos e alunas aprovados. Pode-se concluir que C UB A B é a quantidade de a) alunos aprovados. b) alunos reprovados. c) todos os alunos e alunas aprovados. d) alunas aprovadas. e) alunas reprovadas. RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: C UB U B é o conjunto formado por todos os alunos e alunas reprovados. A B é o conjunto formado pelos alunos reprovados. C UB A B é o conjunto formado pelos elemento que pertencem a C UB e não pertencem a A B , ou seja, é o conjunto das alunas reprovadas . 2) O lucro obtido pela venda de cada peça de roupa é x 10 , sendo x o preço da venda e 10 o preço do custo. A quantidade vendida por mês é igual a 70 x . O lucro mensal máximo obtido com a venda do produto é: a) 1200 reais. b) 1000 reais. c) 900 reais. d) 800 reais. e) 600 reais. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: O lucro mensal L x é dado pelo produto do lucro de cada peça pela quantidade de peças vendidas no mês. Assim, L x 70 x x 10 x 2 80x 700 . O lucro mensal máximo corresponde à ordenada do vértice do trinômio do 2° grau que representa 2 4 1 700 80 L x , então L MAX 900 reais . 4 1 3) Em radioatividade, na função A t A 0 e t , temos que: I. A é a quantidade de substância radioativa ainda existente, no instante t ; II. é a constante de desintegração e 0 ; www.madematica.blogspot.com
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III. A 0 é a amostra inicial no instante t 0 ; e IV. t é o tempo. De acordo com as informações acima, o gráfico que melhor representa a função y t Ln A t é:
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: A t A 0 e t y t Ln A t Ln A 0 e t Ln A0 t Ln e Ln A 0 t Logo, y t Ln A 0 t é uma função do 1° grau de coeficiente angular 0 , cujo gráfico é uma reta decrescente, como mostrado abaixo.
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Note que a alternativa (e) é a única que mostra o gráfico de uma função do 1° grau decrescente, mas os dados do problema não permitem identificar o sinal de Ln A 0 . Se 0 A 0 1 , então Ln A 0 0, e se A 0 1 , então Ln A 0 0 . 4) Um recipiente na forma de um cilindro circular reto contém um líquido até um certo nível. Colocando-se nesse recipiente uma esfera, o nível do líquido aumenta 2 cm . Sabendo-se que o raio do cilindro mede 3 2 cm , conclui-se que o raio da esfera, em cm, mede: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: O volume da esfera de raio r deve ser igual ao volume adicional no cilindro, ou seja, igual ao volume de um cilindro de raio da base R 3 2 cm e altura h 2 cm . Assim, 2 4 3 r 3 2 2 r 3 27 r 3 cm 3 5) Um professor escreveu no quadro-negro uma equação do segundo grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes 3 e 2 . Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes 1 e 4 . A diferença positiva entre as raízes da equação correta é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 www.madematica.blogspot.com
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e) 5 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Seja ax 2 bx c 0 a equação do 2° grau original, onde a 0 . b Seja ax 2 bx c ' 0 a equação de raízes 3 e 2 , então 3 2 5 b 5a . a c Seja ax 2 b'x c 0 a equação de raízes 1 e 4 , então 1 4 4 c 4a . a Assim, a equação original pode ser escrita como: ax 2 bx c 0 ax 2 5ax 4a 0 x 2 5x 4 0 , cujas raízes são 4 e 1 e a diferença positiva entre as raízes é 4 1 3 .
x 6) Se f 0 x e f f f para n 0,1,2, então f n x vale: x 1 n 1 o n a) b) c)
x xn
n 1 x x 1 nx
x 1
x n 1 x 1 x e) nx 1 d)
RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: x f0 x x 1
x x x f1 x f 0 f 0 x f 0 f 0 x f 0 xx 1 x 1 1 2x 1 x 1 x x 1 x f 2 x f 0 f1 x f 0 f1 x f 0 2x x 2x 1 1 3x 1 2x 1 x Vamos então supor que f n x , n , e provar que esse resultado é verdadeiro pelo n 1 x 1 Princípio da Indução Finita (P.I.F.). Já mostramos que a proposição é verdadeira para n 0,1,2 . www.madematica.blogspot.com
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x Supondo que f k x , para algum k , então temos: k 1 x 1 x x x k 1 x 1 . f k 1 x f 0 f k x f 0 f k x f 0 x k 1 x 1 k 2 x 1 1 k 1 x 1 x Logo, pelo Princípio da Indução Finita, conclui-se que f n x , n . n 1 x 1 3 log10 x 2 4 0 é: 7) O conjunto solução da inequação x 13 1 x 2 1 1 a) 1, ,1 1, 2 2 1 1 2 b) 1, ,1 , 2 2 3 1 1 c) 1, ,1 1, 2 2 1 1 2 d) 1, ,1 1, 2 2 3 1 1 2 e) 1, ,1 1, 2 2 3 RESPOSTA: a RESOLUÇÃO:
3 Analisando a função f x log10 x 2 , temos: 4 3 1 1 1 f x 0 x2 1 x2 0 x , 4 4 2 2 3 1 1 f x 0 x2 1 x2 x 4 4 2 3 1 1 1 f x 0 x2 1 x2 0 x x . 4 4 2 2 Observe que a condição de existência da função logarítmica é sempre satisfeita, pois o logaritmando x2 3 é sempre positivo. 4 Vamos dispor as raízes e pontos de descontinuidade sobre a reta real e marcar aqueles de multiplicidade par a fim de aplicar o “Método dos Intervalos” .
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1 1 S 1, ,1 1, 2 2 8) Considere a sequência cujo termo geral é dado por a n 43n i 4 4n , n * . Se i é a unidade imaginária, o módulo da soma dos infinitos termos dessa sequência é a) b) c) d) e)
2 7 3
22
7
3
23
17
3
24
17
3
26
17
3
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO:
a k
k 1
k 1
43n
i 4 4 n 43
1 4i 2 6 1 4i 1 n n 4 4 k 1 k 1
1 1 26 6 6 4 2 1 4i 2 1 4i 1 4i 1 3 3 1 4
k 1
6 2 6 17 26 2 2 2 a k 1 4i 1 4 3 3 3
9) Os números inteiros de 1 a 500 são escritos na disposição abaixo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A escrita se repete, na mesma disposição, a cada vez que se atinge o valor 500 . O número escrito na quarta coluna da 134ª linha é a) 158 b) 159 c) 160 d) 169 e) 170 www.madematica.blogspot.com
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RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Se a escrita não fosse reiniciada, o número da quarta coluna da 134ª linha seria 5 133 4 669 . Como a escrita é reiniciada quando se atinge o valor 500 , então o número escrito é 669 500 169 .
xa a 10) O valor do lim é: x x 0 1 a) a b) a c)
1 2 a
d) 2 a e) 0 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO:
x a 2 a 2 xa a xa a xa a lim lim lim x x 0 x x 0 x a a x0 x x a a x a a 1 1 1 lim lim x 0 x x a a x0 x a a 0a a 2 a 11) De todos os empregados de uma empresa de navegação, 31% optaram por um plano de assistência odontológica. A firma tem a matriz na capital e somente duas filiais, uma em Macaé e a outra em Piraí. Sabe-se que 50% dos empregados trabalham na matriz, 20% dos empregados trabalham na filial Macaé, 30% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistência odontológica e que 35% dos empregados da filial de Macaé também fizeram tal opção. Qual é, então, a porcentagem dos empregados da filial de Piraí que optaram pelo plano? a) 40% b) 35% c) 30% d) 25% e) 15% RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: A porcentagem de todos os empregados que fizeram a opção pelo plano odontológico é a média aritmética ponderada das porcentagens em cada filial onde os pesos são as quantidades (ou percentuais do total) de funcionários.
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50% 30% 20% 35% 30% x% 3100 1500 700 30x x 30 100% Logo, a porcentagem dos empregados da filial de Piraí que optaram pelo plano é 30%. 31%
12) Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de R$9,00 a unidade. O proprietário anunciou a venda desse produto ao preço de x reais, para que pudesse, ainda que dando ao comprador um desconto de 10% sobre o preço anunciado, obter um lucro de 40% sobre o preço unitário de custo. Nessas condições, o valor de x é a) 14 reais. b) 12 reais. c) 10 reais. d) 8 reais. e) 6 reais. RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: O preço de venda após o desconto de 10% é PV x 100% 10% x 1 0,1 0, 9x . O lucro é de L 40% 9 0, 4 9 3, 6 . Como L PV PC , temos: 3, 6 0,9x 9 0,9x 12,6 x 14 reais. 13) Se é o menor ângulo formado pelas retas tangentes à circunferência x 2 y2 9 nos pontos 3 2 3 2 3 3 3 P , , então o valor de , em radianos, é e Q 2 2 2 2 a) 12
b) c) d) e)
6
4 5
12 7 12
RESPOSTA: d
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RESOLUÇÃO:
Figura 1 Figura 2 1ª solução – figura 1 A circunferência x 2 y2 9 tem centro O 0,0 e raio 3 . O ângulo POQ 180 é tal que 3 2 3 3 3 2 3 9 6 9 2 OP OQ 2 2 2 2 4 4 2 6. cosPOQ 2 2 2 3 3 4 OP OQ 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 5 rad . Logo, POQ 180 105 75 12 ˆ
ˆ
ˆ
2ª solução – figura 2
3 2 PP ' OP 'P : tg 2 1 45 OP' 3 2 2 3 QQ' 3 OQ'Q : tg 2 30 OQ' 3 3 3 2 POQ 180 180 45 30 105 ˆ
PTQ 180 POQ 180 105 75 ˆ
ˆ
5 rad 12
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14) A área entre o gráfico de y 3x 2 3 e a reta y 3 , em unidades de área, vale: a) 6 b) 3 c) 1, 5 d) 2 e) 0, 5 RESPOSTA: a RESOLUÇÃO:
2 2 Se 3x 2 0 x , então 3x 2 3x 2 . Se 3x 2 0 x , então 3x 2 3x 2 3 3 2 2 Se x , então y 3x 1 . Se x , então y 3x 5 . 3 3 2 1 1 Se x , então y 3x 1 . Se x , então y 3x 1 . 3 3 3 5 5 2 Se x , então y 3x 5 . Se x , então y 3x 5 . 3 3 3 Traçando o gráfico das funções e indicando as interseções com a reta y 3 , temos:
4 8 3 3 3 6 u.a. . A área procurada é SABD SBCE 2 Alternativamente, o gráfico de y 3x 2 3 pode ser construído por etapas, conforme a seguir:
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15) Os números que exprimem o cateto, a hipotenusa e a área de um triângulo retângulo isósceles estão em progressão aritmética, nessa ordem. O cateto do triângulo, em unidades de comprimento, vale: a) 2 2 1 b) 2 2 2 c) 4 2 2 d) 4 2 4 e) 4 2 1 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Seja b a medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles, então a medida da sua hipotenusa é 2 b b b . b 2 e sua área é 2
2
b 2 b2 Assim, temos PA : b, b 2, 2 b 2 b b 4 2 2 u.c. . 2 2
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16) A solução da equação z z 1 3i é um número complexo de módulo: a)
5 4 5
b) c) 5 d) e)
5 2 5 2
RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Seja z x yi , com x, y , então z x 2 y2 .
2 2 z z 1 3i x 2 y 2 x yi 1 3i x y x 1 y 3 x 2 9 x 1 x 2 9 1 x x 2 9 1 2x x 2 x 1 x 4
z 4 3i z 4 2 32 5
sen x x intercepta o eixo x nos pontos de 7 cos x 5
17) O gráfico da função f x arc tg coordenadas:
a) , 0 e ,0 7 5 7 5 c) ,0 e , 0 7 5 d) 0, e 0, 7 5 e) 0, e 0, 5 7
b) , 0 e , 0
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: O gráfico de f x intercepta o eixo x quando f x 0 . Assim, sen x f x arc tg x 0 arc tg tg x 0 x 0 7 5 7 cos x 5 tg x tg x x k, k x 7 5 7 5 www.madematica.blogspot.com
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Logo, o gráfico de f x intercepta o eixo x em infinitos pontos, dentre os quais ,0 e 5
,0 . 7
18) O valor de na equação y3 61y2 y 5832 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica, é: a) 1017 b) 1056 c) 1078 d) 1098 e) 1121 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO:
a Sejam as raízes da equação ,a,aq , pelas relações de Girard, temos: q a 1 1 q 61 18 1 1 q 61 1 1 q 61 a aq 61 a q q q q 18 a a 21 2 61 a aq a aq a 1 q 18 1098 q 18 q q a a aq 5832 a 3 5832 a 18 q 19) Sabendo que o polinômio P x x3 kx 2 px 9 é divisível por D x x 2 3 , podemos afirmar que: a) p k 3 p b) 1 k c) p k 9 d) p e k e) p k 4 3 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: D x x 2 3 x 3 x 3 Pelo teorema de D’Alembert, D x divide P x se, e somente se, P 3 P 3 0 . Assim, P 3 3 3 3k 3p 9 0 3k 3p 9 3 3 P 3 3 3 3k 3p 9 0 3k 3p 9 3 3 p 6k 18 2 3p 6 3 k 3 p 3 1 k www.madematica.blogspot.com
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Alternativamente, poderíamos efetuar a divisão dos polinômios e fazer o resto da divisão ser um polinômio identicamente nulo. x 3 kx 2 px 9 x2 3
x3 /
3x
xk
kx 2 p 3 x 9
kx 2
3k / p 3 x 3k 9 p 3 x 3k 9 0 p 3 0 3k 9 0 p 3 k 3 2 x 1 x 20) Considere a matriz A 2 3x 1 1 , então o valor de f no ponto de abscissa 1 , onde 4x 1 2 0 f x det A , é: a) 18 b) 21 c) 36 d) 81 e) 270 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO:
1 2 1 1 1 1 1 f 1 det A 2 3 1 1 1 2 4 1 21 4 1 1 2 0 3 2 0
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2010/2011 1) Se a 4 3 , b a) a c b b) a b c c) c a b d) b a c e) b c a
61 50
e c 1,22222
, assinale a opção correta.
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: 61 122 b 1, 22 1, 2222 50 100 c 1, 2222
c 4
1,3 c 4 1,34 2,8561 3 4 3 a 4 c a
b c a 2) Sabendo-se que f 0 3 e f n 1 f n 7 , então f 201 é igual a: a) 1206 b) 1307 c) 1410 d) 1510 e) 1606 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Para n , a função f é uma progressão aritmética de primeiro termo f 0 3 e razão 7. Logo, pode-se concluir que f n f 0 7 n 0 3 7n e que f 201 3 7 201 1410 . 3) Seja a função f
o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números f x 1 1 racionais) com a seguinte propriedade definida por f x 1 1 . Sabendo-se que f x f 0 4 , o valor de f 1007 é igual a a) 1 b) 4 c) d)
( sendo
1 4 5 3
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e)
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3 5
RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: f x 1 1 f x 1 1 f x 1 1 f x f x f x 1 1 f x 1 1 x 1 f x 1 1 1 f 2 1 f x 1 f x 1 f x 1 1 1 2 f x 1 f x 1 f x 1 1 1 x 1 1 f x 1 1 f x 1 1 f f x 2 1 x 1 1 f x 1 1 f 1 f x 1 f x 1 1 x 2 1 f x 1 1 1 2f x 1 f f x 3 f x 1 f x 2 1 f x 1 1 1 2 f x 1 1 f x 3 1 f x 1 1 f x 4 f x f x 3 1 f x 1 1 Logo, a função f é periódica de período 4 , o que implica f x 4 n f x , n . f 1007 f 3 4 251 f 3 . f 1 1 1 f 0 1 4 1 5 f 1 2 f 3 f 1 1 1 f 0 1 4 1 3
4) O conjunto solução da inequação
1 x 1 x
1 é:
a) 0, b) 0,1 c) 1, d) 0,1 e) ,0 1, RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: 1 x 1 x 2x 1 1 0 0 0 x 1 S 0,1 1 x 1 x 1 x A solução da inequação apresentada acima pode ser obtida facilmente pelo método dos intervalos, conforme figura abaixo: www.madematica.blogspot.com
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Observe, porém, que a linha pontilhada é apenas uma referência para identificação dos sinais e não representa um esboço do gráfico da função. Em particular, ao redor do ponto 1 , o comportamento da função é bem diferente, apresentando assíntotas verticais. 5) Se a sequência de inteiros positivos 2,x,y é uma Progressão Geométrica e x 1, y,11 uma Progressão Aritmética, então, o valor de x y é a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: PG 2, x, y x 2 2 y
PA x 1, y,11 2y x 1 11 2y x 12 x 2 x 12 x 2 x 12 0 x 3 x 4 Como 2,x,y é uma sequência de inteiros positivos, então x 4 , 2y 4 12 y 8 e x y 4 8 12 . 1 1 6) Sejam A , B e C matrizes de ordem 3 3 inversíveis tais que det A1 3 e det AB 4. 2 T
Sabendo-se que é a matriz identidade de ordem 3 , tal que 3C1 2B1 A , o determinante de C é igual a a) 8 3 b) 32 3 c) 9 d) 54 e) 288 RESPOSTA: e
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RESOLUÇÃO: T
Lembrando que AT A , AB1 B1A1 , A A1 , det A T det A , det AB det A det B (teorema de Binet) e, se a matriz A tem ordem n e k é um escalar, det k A k n det A , podemos escrever o seguinte desenvolvimento: T T T 1 1 1 1 1 1 3C 2B A C 3C C 2B A C 6 B A 2 1 CT 6 B1 A 2 1 1 1 CT A1 6 B1 A A1 6 B1A1 AA1 6 AB1 2 2 2 1 1 det CT A1 det 6 AB1 det CT det A1 63 det AB1 2 2 1 det C det A1 216 det AB1 det C 3 216 4 det C 288 2 7) Um carro percorre 240 km com o desempenho de 12 km por litro de gasolina. Ao utilizar álcool como combustível, o desempenho passa a ser 8 km por litro de álcool. Sabendo que o litro de gasolina custa R$ 2,70, qual deve ser o preço do litro de álcool para que o gasto ao percorrer a mesma distância seja igual ao gasto que se tem ao utilizar gasolina como combustível? a) R$ 1,60 b) R$ 1,65 c) R$ 1,72 d) R$ 1,75 e) R$ 1,80 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Para percorrer 240 km usando gasolina, com desempenho de 12 km / são gastos custo de 20 2,70 54 reais . Para percorrer 240 km usando álcool, com desempenho de 8 k m / são gastos custo total deve ser R$54,00 , então o preço do litro do álcool deve ser
240 20 a um 12
240 30 . Como o 8
54,00 1,80 reais . 30
8) Dada a equação x 2 y2 4x 10y 25 0 , assinale a opção que apresenta a distância do centro da curva à origem do sistema de coordenadas. a) 5 b) 6 c) 8 d) 24 e) 29 www.madematica.blogspot.com
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RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: x 2 y2 4x 10y 25 0 x 2 2 2 x 22 y2 2 5 y 52 25 22 52
x 2 2 y 5 2 22 Logo, a equação representa uma circunferência de centro 2, 5 e raio 2 . Assim, a distância do centro da curva à origem do sistema de coordenadas é 2 0 2 5 0 2 29 . 9) Analise a função a seguir.
x2 4 f x x 2 , x 2 3p 5, x 2 Para que a função acima seja contínua no ponto x 2 , qual deverá ser o valor de p ? a) 1 3 b) 1 c) 3 d) 1 e) 3 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: f é contínua no ponto x 2 lim f x f 2 x 2
x 2 x 2 x2 4 lim f x lim lim lim x 2 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 lim f x f 2 4 3p 5 p 3 x 2
10) Sejam os números complexos z tais que números complexos é uma a) parábola. b) reta. c) circunferência de raio 3 8 . d) circunferência de raio 3 2 . e) hipérbole.
1 z z 1 . O lugar geométrico das imagens desses 3
RESPOSTA: c
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RESOLUÇÃO: Seja z x yi, x, y , então 1 1 z z 1 x yi x 1 yi x yi 3 x 1 yi 3 3
x 2 y2 3 x 12 y2 x 2 y2 9 x 2 2x 1 y2
9 9 8x 2 8y2 18x 9 0 8 x 2 2 x 8
2
8y2
8
92 9 8
9 2 2 9 9 2 2 3 2 x y x y 64 8 8 8 Logo, o lugar geométrico das imagens dos números complexos 9 ,0 e raio 3 . 8 8
z é
uma circunferência de centro
11) A divisão de um polinômio P x por x 4 deixa resto 3 , por x 1 deixa resto 8 e por x 2 deixa resto 1 . O resto da divisão de P x pelo produto x 4 x 1 x 2 tem como soma dos coeficientes a) 24 b) 9 c) 3 d) 0 e) 4 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Pelo teorema de D’Alembert, temos:
P x dividido por x 4 deixa resto 3 P 4 3 P x dividido por x 1 deixa resto 8 P 1 8 P x dividido por x 2 deixa resto 1 P 2 1 O resto da divisão de P x por x 4 x 1 x 2 é um polinômio de grau máximo igual a 2 , logo podemos representar esse resto como R x ax 2 bx c . Pelo algoritmo da divisão de Euclides, temos: P x x 4 x 1 x 2 Q x R x , onde Q x é o quociente dessa divisão. P 4 4 4 4 1 4 2 Q 4 R 4 R 4 16a 4b c 3 P 1 1 4 1 1 1 2 Q 1 R 1 R 1 a b c 8 P 2 2 4 2 1 2 2 Q 2 R 2 R 2 4a 2b c 1 16a 4b c 3 a b c 8 a b c 8 a b c 8 a 1 a b c 8 15a 5b 5 3a b 1 a b 3 b 4 4a 2b c 1 3a 3b 9 a b 3 2a 2 c 3 Logo, a b c 1 4 3 0 . www.madematica.blogspot.com
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x
2 y 1
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2 4 2 2 intercepta o eixo das
12) A circunferência de equação 42 abscissas em dois pontos A e B . Sabendo que o segmento AB é o lado de um polígono regular convexo que possui centro coincidente com o centro da circunferência, calcule o perímetro desse polígono. a) 24 b) 16 c) 15 d) 6 2 1 e) 6 2 2 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Os pontos de interseção da curva com o eixo das abscissas são tais que y 0 . 2
2
2
x 4 2 2 0 1 2 4 2 2 x 4 2 2 3 2 2 4 2 2 2
x 4 2 2 1 x 4 2 2 1 AB
4 2 2 1 4 2 2 1 2
O centro da circunferência é O 4 2 2 , 1 2 e seu raio é
4 2 2 .
Aplicando a lei dos cossenos ao OAB , temos: 2
2
2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 cos AOB ˆ
4 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 cos AOB cos AOB ˆ
ˆ
4 1 2 2 AOB 45 2 4 2 1 2 ˆ
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Como
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360 8 , o polígono é um octógono regular convexo e o seu perímetro é 8 2 16 45
13) Analise a figura a seguir.
Seja o círculo C1 de raio R , onde estão dispostos n círculos tangentes exteriores a C1 , todos com raios iguais a n . (Dado:
2 3
R , como mostra a figura acima. Assinale a opção que representa o valor máximo de
arccos
21 0, 41 rad ) 5
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 RESPOSTA: a
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RESOLUÇÃO:
2 5 C1A C1B R R R 3 3
21 R 21 5R 2R 21 3 C1D R cos 0, 41rad 0,82rad 5R 3 2 5 2 3 3 3 2 2 3,14 n MÁX 7 0,82 2
2
14) Um projétil é lançado de baixo para cima e a sua trajetória descreve uma curva plana de equação h 27t 3t 2 , onde h é a altura em cada momento, em função do tempo. Sabendo que h está em quilômetros e t em minutos, qual será a altura máxima atingida por esse projétil? a) 6,075 10 km b) 6,75 10 km c) 60,75 10 km d) 67,5 10 km e) 675 10 km RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: O valor máximo de h ocorre no vértice da função do 2 grau em t . 27 2 4 3 0 243 h máx 6,075 10 km 4a 4 3 4 www.madematica.blogspot.com
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15) Seja uma pirâmide quadrangular regular com arestas iguais a 2 cm . No centro da base da pirâmide, está centrada uma semiesfera que tangencia as arestas da pirâmide. Existe uma esfera de maior raio, que está apoiada externamente em uma face lateral da pirâmide e tangencia internamente a superfície curva da semiesfera. Essa esfera possui volume, em cm3 , igual a 27 11 6 a) 54 b) c) d) e)
3 24 4 3 24
108 44 6 27 2 3
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO:
Seja a pirâmide quadrangular regular S ABCD .
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Considerando a seção da pirâmide e da semiesfera pelo plano SAC , obtém-se a figura.
OC 2 OCS 45 ST 2 OT R 2 R sen OCS sen 45 R 1 OC 2 2 2 Considerando a seção da pirâmide e da semiesfera pelo plano SMN , obtém-se a figura. cos OCS ˆ
ˆ
ˆ
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2
SM SN 2 12 3 2 6 3 3 6 1 6 3 6 OT ' OT TT ' 1 2r 1 r 3 2 6 6 Logo, o volume da esfera de centro O' é:
OSN :SN OT SO NO 3 OT 2 1 OT
3
4 4 3 6 4 27 27 6 54 6 6 27 11 6 V r 3 cm3 3 3 6 3 216 54 16) Um hexágono regular de lado igual a 8 cm está inscrito na base de um cone de revolução de volume igual a 128 cm 3 . A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro, com o mesmo volume e a mesma base do cone, é de a) 0, 3 b) 0,6 c) 0, 9 d) 0,27 e) 0,36 RESPOSTA: c
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RESOLUÇÃO:
Se um hexágono regular de lado 8 cm está inscrito na base de um cone de revolução, então o raio da base do cone é igual a R 8 cm . 1 1 O volume do cone é dado por V R 2H 128 cm 3 8 2 H 128 H 6 cm . 3 3 A geratriz g do cone é g H 2 R 2 6 2 8 2 10 . A área total do cone é Scone Rg R 2 8 10 8 2 144 cm 2 . O volume do cilindro é dado por: V R 2h 128 cm 3 8 2 h 128 h 2 cm . A área total do cilindro é Scilindro 2Rh 2R 2 2R h R 2 8 2 8 160 cm 2 . S 144 9 0,9 . A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro é cone Scilindro 160 10 17) Se a,b,c é o conjunto solução da equação x 3 13x 2 47x 60 0 , qual o valor de
a 2 b2 c2 ? a) 263 b) 240 c) 169 d) 75 e) 26 RESPOSTA: d www.madematica.blogspot.com
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RESOLUÇÃO: Pelas relações de Girard: 13 1 a b c 11 13 1 47 2 ab ac bc 1 2 47 1 a 2 b 2 c 2 a b c 2 2 ab ac bc 13 2 3 47 75 1 p q q2 p2 18) Seja p e q números reais, tais que, p q e p q 0 , a expressão é p2 q 2 equivalente a: a) p1 q 1 b) p q c) p q d) p1 q 2 p e) p q
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO:
1 1 1 1 p q q2 p2 p q q2 p2 2 2 1 1 1 1 1 p q q p q p 1 1 p q p2 q 2 2 2 p q 1 p q p q p2 q 2 p q . p q p q p q 19) Seja um container, no formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões a , b e c , a maior distância entre dois vértices da paralelepípedo é igual a 6 5 m . É correto afirmar que metade de sua área total, em m 2 , vale (dado: a b c 22 m ) a) 120 b) 148 c) 152 d) 188 e) 204 RESPOSTA: c
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RESOLUÇÃO:
A maior distância entre dois vértices do paralelepípedo é a sua diagonal
d , então
d a 2 b 2 c 2 6 5 a 2 b 2 c 2 180 A área total do paralelepípedo é Stotal 2 ab ac bc a b c 2 a 2 b 2 c 2 22 2 180 304 m 2 . S Logo, metade da sua área total é total 152 m 2 . 2 20) Sejam x , y e z números reais positivos onde x y 1 z , e sabendo-se que existem ângulos e onde x cos 2 cos 2 e y cos 2 sen 2 , é correto afirmar que o valor mínimo da expressão 1 2 3 z 2 2 é x y z xy a) 6 b) 6 2 2 c) 12 d) 9 2 2 e) 12 2 2 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Lema: Se a, b
e x, y
*
a b 2 a 2 b 2 , então , onde a igualdade ocorre somente quando xy x y
a b . x y Demonstração: Seja por absurdo:
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a b 2 a 2 b 2 a 2 2ab b2 xy a 2 xy y 2 b 2 x 2 xy xy x y 2
a 2 y2 b2 x 2 2abxy 0 ay bx 0 (ABSURDO) a b 2 a 2 b 2 a b Logo, . Note ainda que a igualdade ocorre somente quando ay bx 0 . x y xy x y No problema em questão, temos: 2
2
1 2 3 2 2 1 2 12 2 x y x y xy xy 1 2 3 z 3 2 2 3 z 3 3 1 z 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z xy xy z x y x y z x y x y z 2
2
2
3 3 3 3 12 3 3 12 z xy z xy x y z 1 1 2 3 z 3 3 1 2 3 z 2 2 2 2 12 2 2 2 2 12 2 2 x y z x y x y z x y z x y MIN Note que o valor mínimo ocorre quando: 3 3 1 x y z 1 z z z xy 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 22 2 x e y 2 1 x y xy 12 2 2 2 2 2
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2009-2010
PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2009/2010 1) Analise as afirmativas abaixo. I – Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: P x K | x possui lados opostos paralelos ; L x K | x possui 4 lados congruentes ; R x K | x possui 4 ângulos retos ; e
Q x K | x possui 4 lados congruentes e 2 ângulos com medidas iguais . Logo, L R L Q . II – Seja o conjunto A 1,2,3,4 , nota-se que A possui somente 4 subconjuntos. III – Observando as seguintes relações entre conjuntos: a,b,c,d Z a,b,c,d,e , c, d Z a, c, d, e e b,c,d Z c ; pode-se concluir que Z a, c, e . Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta: a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Apenas a afirmativa III é verdadeira. e) Apenas a afirmativa II é verdadeira. RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: I FALSA L R L Q , basta notar que losangos pertencem a L Q , mas não pertencem a L R , no qual só há quadrados. II FALSA A quantidade de subconjuntos de A é 24 16 . III VERDADEIRA a, b, c,d Z a, b, c,d, e Z a, b, c,d, e e Z c,d Z a, c,d, e Z a, c,d, e a Z b Z Z a, c, e b, c, d Z c c Z b Z d Z
2 2) Considere a função real f, definida por f x e duas circunferências C1 e C 2 , centradas na x 1
origem. Sabe-se que C1 tangencia o gráfico de f, e que um ponto de abscissa pertence a C 2 e ao 2
gráfico de f. Nessas condições, a área da coroa circular, definida por C1 e C 2 , é igual a a) b)
65 4
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
c) d) e)
25 4 9 4
Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2009-2010
4
RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Se C1 e C 2 são circunferências centradas na origem, então podem ser escritas como C1 : x 2 y 2 r 2 e C2 : x 2 y 2 R 2 , onde r, R 0 . 1
Se o ponto de abscissa pertence a C 2 e ao gráfico de f, temos: 2
1 2 1 1 2 2 65 f 4 , 4 C2 4 R 2 R 2 2 2 2 4 1 2 Sabemos que C1 tangencia o gráfico de f, então 2 f : y e C1 : x 2 y 2 r 2 x 2 2 2 4 2 x r x 2 2 r 2 0 x4 r 2x2 4 0 x x Para que a circunferência tangencie o gráfico de f (hipérbole), a equação biquadrada deve possuir uma raiz dupla positiva. Assim, o seu discriminante deve ser nulo. 2
r 2 4 1 4 0 r 4 16 r 2 4 . Dessa forma, a área da coroa circular, definida por C1 e C 2 , é dada por 65 49 Scoroa R 2 r 2 4 . 4 4 O gráfico a seguir ilustra a situação descrita pelo problema.
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2009-2010
3) Considere a equação de incógnita real x : 2cos4 x 2cos 2 x 1 cos4x . Se x 0 0; é uma de suas soluções e x 0 centímetros é a medida da diagonal de um cubo, então a área da superfície total desse cubo, em cm2 , é igual a a) b) c) d)
3 8 1
2 2
2 6 27
8
2
e) 62 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: 2
cos 4x 2 cos 2 2x 1 2 2 cos 2 x 1 1 8cos 4 x 8cos 2 x 1 2 cos 4 x 2 cos 2 x 1 cos 4x 2 cos 4 x 2 cos 2 x 1 8 cos 4 x 8 cos 2 x 1 6 cos 4 x 6cos 2 x 0 6cos 2 x cos 2 x 1 0
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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares
Renato Madeira RESOLUÇÃO EFOMM 2009-2010
cos x 0 x k, k 2 ou cos x 1 x k, k x 0 0, x 0 2 Seja um cubo de aresta a, a sua diagonal mede D a 3 e sua área total é ST 6a 2 . 2
2 Da 3 a ST 6 2 2 2 3 2 3
cos 4) O valor numérico da expressão
44 33 sec 2400 tg 3 4 é igual a cossec2 780
a) 1 b) c) d) e)
3 4
4 3 1 2
3 8
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: 44 2 2 1 cos 14 cos cos 3 3 2 3 sec 2400 sec 6 360 240 sec 240 sec 60 2
33 tg 10 3 cotg 1 tg 4 2 4 4 csc 780 csc 2 360 60 csc 60 csc60 cos
44 33 1 sec 2400 tg 2 1 3 4 2 2 cossec2 780 2 3
2 3
1 23 4 8 3
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5) João construiu um círculo de papel com centro O e raio 4cm (Figura 1). Traçou dois diâmetros AC e BD perpendiculares e, em seguida, dobrou o papel fazendo coincidir A, O e C, conforme sugere Figura 2.
A área da parte do círculo não encoberta pelas dobras, sombreada na figura 2, é igual a 1 a) 96 16 cm 2 3 1 b) 16 48 cm 2 3 1 c) 16 12 3 cm2 3 1 d) 16 12 3 cm2 3 1 e) 48 3 16 cm2 3 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: A corda formada na Figura 2 divide o raio da circunferência ao meio, logo essa corda é igual ao raio do triângulo equilátero inscrito na circunferência. Dessa foram, a área pedida pode ser obtida retirando-se da área da circunferência, a área de 4 segmentos circulares de 120 . 4 r 2 r 2 3 2 S SCIRC 4 SSEG120 r 4 sen120 r 2 2 r 2 3 3 2 3 3 2 Como o raio do círculo é r = 4 cm, temos: 1 S 42 3 48 3 16 cm 2 3 3 6) Seja f : uma função estritamente decrescente, o que significa que para quaisquer x1 e x 2 reais, com x1 x 2 , tem-se f x1 f x 2 . Nessas condições, analise as afirmativas abaixo. I – f é injetora. II – f pode ser uma função par. www.madematica.blogspot.com
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III – Se f possui inversa, então sua inversa é estritamente decrescente. Assinale a opção correta. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. d) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. e) Apenas a afirmativa II é verdadeira. RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: I VERDADEIRA S.P.G.
x1 x 2 x1 x 2 f x1 f x 2 f x1 f x 2 Logo, a função f é injetora. II FALSA 1 1 f 1 f 1 f 1 f 1 Logo, f não é par. III VERDADEIRA x1 x 2 y1 f x1 f x 2 y 2 x1 f 1 f x1 e x 2 f 1 f x 2
x1 x 2 f 1 f x1 f 1 f x 2 f 1 y1 f 1 y2 x1 x 2 y1 y 2 f 1 y1 f 1 y 2 Logo, f 1 é estritamente decrescente.
1 0 7) Sejam as matrizes A 0 0 matriz 2 X 1 é igual a a) b) c) d) e)
2 1 2 2 0 1 0 0
0 1 2 3 7 0 1 1 3 4 e X A B . O determinante da , B 0 0 1 1 1 3 0 0 0 1
1 6 1 3 1 8 3 6
RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: A e B são matrizes triangulares superiores, logo seus determinantes podem ser calculados através do produto dos elementos da diagonal principal. www.madematica.blogspot.com
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detA 1 2 1 3 6 det B 1 111 1 A matriz X A B é uma matriz de ordem 4 e seu determinante pode ser obtido com o auxílio do
Teorema de Binet: det X det A B det A det B 6 1 6 1 1 1 det X det X 6 Como X1 , matriz inversa de X , também é de ordem 4, o determinante da matriz 2 X 1 é 2 4 vezes o determinante de X1 . 1 8 1 1 4 det 2 X 2 det X 16 6 3 8) Considere o conjunto dos números complexos Z com a propriedade Z 169i 65 , admitindo que i é a unidade imaginária. O elemento desse conjunto que possui o maior argumento , 0 2 , é igual a a) 60 144i b) 65 169i c) 104i d) 65 169i e) 65 156i RESPOSTA: a RESOLUÇÃO:
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Z 169i 65 Z 169i 65 A expressão acima significa que a distância entre os números complexos Z e o número complexo 169i deve ser menor ou igual a 65, no Plano de Argand-Gauss. Isso é o mesmo que Z pertencer ao interior de um círculo de centro em 169i e raio 65. Dentre todos os números complexos Z, o de maior argumento é o que está indicado na figura e possui extremidade B. AB2 1692 652 AB 156 3 65 5 cos cos sen 2 169 13 3 156 12 sen sen cos 169 13 2 5 12 ZARG MAX AB cos i sen 156 i 60 144i 13 13 9) A equação 4 x 3 x 13 217 13 3 x tem uma solução positiva x1 . O número de divisores inteiros positivos de x1 é a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: 4
x 3 x 13 217 13 3 x 4 3 x 4 13 217 13 3 x 3 x 13 217 13 3 x 2
3 x 26 3 x 169 217 133 x 3 x 13 0 217 133 x 0 2
3 x 133 x 48 0 3 x 13 3 x
217 16,7 13
3 x 16 3 x 3 13 3 x 16,7 3
3 x 16 x 163 24 212 Logo, o número de divisores inteiros positivos de x1 212 é 12 1 13 . 10) Sabendo que log30 3 a e log 30 5 b , que opção representa log10 2 ? a) b)
1 a b 2a 1 a b a 1
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c) d) e)
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1 a b 1 a 1 a b 2a 1 a b 1 a
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO:
log3 log3 a a log3 log30 1 log3 1 a log5 1 log 2 log30 5 b b b log 2 1 b b log3 log30 1 log3 a 1 a b ab ab 1 a b log 2 1 b b 1 a 1 a 1 a log30 3 a a
11) Os pontos A 4;10 3 , B 4; 0 , C 0;0 e D 0;b são vértices de um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. A equação da reta AD é representada por 5 a) y x 5 12 b) y c) y d) y e) y
4 3
12 x 1 5 x 2
1 2
5 1 x 12 2
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: (O enunciado desta questão foi adaptado, pois a mesma estava incorreta da maneira como foi proposta originalmente) Como o quadrilátero ABCD é circunscritível, podemos aplicar o teorema de Pitot. Assim, temos:
AB CD BC AD AB
10 ; BC 4 ; CD b ; 3
2 10 20 100 20 244 AD 0 4 b 16 b2 b b2 b 3 3 9 3 9 10 20 244 20 244 2 b2 b b AB CD BC AD b 4 b 2 b 3 3 9 3 9 3 20 244 2 4 4 2 b2 b b b b 3 9 3 9 3 2
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16 240 2 b b b5 3 9 3 Portanto, a equação da reta AD é dada por 10 5 y5 3 y 5 5 y 5 x 5. x 0 0 4 x 12 12 A figura a seguir representa a situação descrita no enunciado.
12) Sejam ABC e BCD dois triângulos retângulos congruentes, contidos em planos perpendiculares, com hipotenusas AC BD 8 m e cateto AB 4 m . O volume, em m 3 , do tetraedro ABCD definido pelos vértices desses triângulos é igual a a) 16 3 b) 8 3 c) d) e)
16 3 3 32 3
32 3 3
RESPOSTA: e
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RESOLUÇÃO:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, temos:
BC2 42 82 BC2 48 BC 4 3 Como o plano ABC é perpendicular ao plano BCD, então AB é altura do tetraedro ABCD. Assim, o volume do tetraedro é dado por: 1 1 4 4 3 32 3 3 VABCD AB SBCD 4 m 3 3 2 3 13) As medidas dos lados AC , BC e AB de um triângulo ABC forma, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente. Os ângulos internos A , B e C desse triângulo possuem a seguinte propriedade: sen 2 A sen 2 B sen 2 C 2 sen A sen B cosC cos2 C . Se o perímetro do triângulo ABC mede 3 3 m , sua área, em m 2 , é igual a ˆ
ˆ
a)
3 3
b)
3
c)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
4 4 9
8
d) 2 e) 4 RESPOSTA: c
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RESOLUÇÃO: AC BC AB BC AC AB , sen B , sen C 2R sen A 2R 2R 2R senB senA senC sen 2 A sen 2 B sen 2 C 2 sen A sen B cosC cos 2 C
Lei dos Senos
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
sen 2 A sen 2 B 2 senA senB cosC sen 2 C cos 2 C 1 ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
BC AC BC AC cos C 1 2 2R 2R 2R 2R ˆ
2
2
BC AC 2 BC AC cos C 4R 2 ˆ
A expressão do lado esquerdo é a Lei dos Cossenos, então: 2
AB 4R 2 AB 2R Como AB 2R , o triângulo ABC é retângulo de hipotenusa AB . AC 3 k 2 2 2 3 PA : AC, BC, AB BC 3 3 k 3 3 k 2 3 2k 3 k 4 AB 3 k
AC
3 3 5 3 , BC 3, AB 4 4
1 1 3 3 9 3 m2 . Logo, a área do triângulo é SABC AC BC 2 2 4 8 14) Um triângulo isósceles ABC, com lados AB AC e base BC, possui a medida da altura relativa à base igual à medida da base acrescida de 2 metros. Sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 36 metros, pode-se afirmar que sua base mede a) 8 metros. b) 9 metros. c) 10 metros. d) 11 metros. e) 12 metros. RESPOSTA: c
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RESOLUÇÃO: Seja BC 2a , pode-se construir a figura abaixo.
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras no ABH : x 2 2a 2 a 2 5a 2 8a 4
2p ABC 2a 2x 2a 2 5a 2 8a 4 36
5a 2 8a 4 18 a 5a 2 8a 4 18 a 2 18 a 0 a 2 11a 80 0 a 18 a 16 a 5 a 18 a 5 A base do triângulo é BC 2 5 10 m 15) O gráfico das três funções polinomiais do 1 grau a, b e c definidas, respectivamente, por a x , b x e c x , estão representadas abaixo.
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5
6
a x b x 0 é Nessas condições, o conjunto solução da inequação 3 c x a) 4; 1 3; b) 4; 1 3; c) ; 4 1; d) 4; e) 4 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: A raiz de a x é 1 , a raiz de b x é 3 e raiz de c x é 4 . 5 6 a x b x Na fração , 1 é raiz de multiplicidade 5 , 3 é raiz de multiplicidade 6 e 4 é um 3 c x ponto de descontinuidade de multiplicidade 3 . Assim, 3 é um ponto duplo e os outros dois são pontos simples.
Escolhendo os intervalos de sinais maiores ou iguais a zero, temos S , 4 1, . 16) Um triângulo obtusângulo ABC tem 18 cm de perímetro e as medidas de seus lados formam uma progressão aritmética crescente AB, AC, BC . Os raios das circunferências inscrita e circunscrita a esse triângulo ABC medem, respectivamente, r e R. Se sen A ˆ
15
e senB ˆ
4
3 15 , então o produto 16
r R , em cm 2 , é igual a a)
35 9
b) 6 6 c) 3 15 d) e)
16 3 1
RESPOSTA: d
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RESOLUÇÃO:
AB 6 k PA: AB, AC, BC AC 6 BC 6 k Lei dos Senos: BC AC AB 6k 2R sen A senB sen C 15 4 AB AC 46 S pr sen A 9 r 2 2 15 16 16 r R 3 15 3 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
6 6k 16 2R k 2 R 3 15 sen C 15 16 15 15 r 4 3 ˆ
17) Seja f uma função de domínio D f a . Sabe-se que o limite de f x , quando x tende a a , é L e escreve-se lim f x L , se para todo 0 , existir 0 , tal que se 0 x a então x a
f x L . Nessas condições, analise as afirmativas abaixo. x 2 3x 2 se x 1 , logo, lim f x 0 . I – Seja f x x 1 x 1 3 se x 1 x 2 4 se x 1 II – Na função f x 1 se x 1 , tem-se lim f x 3 . x 1 3 x se x 1 n n III – Sejam f e g funções quaisquer, pode-se afirmar que lim f g x L M , n * , se x a
lim f x L e lim g x M .
x a
x a
Assinale a opção correta. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Apenas a afirmativa III é verdadeira. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: I FALSA
x 2 x 1 x 2 3x 2 lim f x lim lim lim x 2 1 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
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Note que o limite quando x tende a 1 é calculado para valores em uma vizinhança reduzida de 1, ou seja, que não inclui o número 1. II FALSA lim f x lim x 2 4 12 4 3 lim f x 2 3 lim f x limf x x 1 x1 x 1 x 1 lim f x lim 3 x 3 1 2 x1 x 1 x1 III VERDADEIRA O produto dos limites é igual ao limite do produto. 18) A expressão 6 n n 2 representa a soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica. É correto afirmar que essa sequência é uma progressão a) aritmética de razão 3. b) aritmética de razão 4. c) aritmética de razão 2. d) geométrica de razão 4. e) geométrica de razão 2. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Sn 6n n 2
a n Sn Sn1 6n n 2 n 2 4n 5 2n 5 2 Sn 1 6 n 1 n 1 n 2 4n 5 a n 7 2 n 1 Logo, a sequência é uma progressão aritmética de primeiro termo 7 e razão 2. 19) Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n X representa o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: n A B C 25 ; n A C 13 ; n B A 10 ; n A C n C A B . O maior valor possível de n C é igual a a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 RESPOSTA: d
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RESOLUÇÃO: Representando os conjuntos A, B e C no diagrama de Venn-Euler, temos:
n A B C 25 a b c x y z m 25 n A C 13 a x 13 n B A 10 b y 10 n A C n C A B m z c m z c a b c x y z m a x b y 25 13 10 2 c c 2 c m z 1 n C c m z y 2 y
b y 10 y 10 n C MAX 2 10 12 20) Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo com altura h e base quadrada. Ele está com uma certa quantidade de água até uma altura h1 . Duas esferas, ambas com diâmetros iguais a 2 dm , forma colocadas dentro do recipiente, ficando esse recipiente com o nível de água até a borda (altura h ). Considerando que o volume do paralelepípedo retângulo é de 40 litros, pode-se afirmar que a razão a) b) c) d)
h1 h
, utilizando 3 , vale:
4 5 1 2 1
8 1 5
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e)
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2 5
RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: Seja S a área da base do paralelepípedo em dm2 , então: V S h 40 Como as esferas têm raio 1 dm, temos: 4 8 40 8 S h1 2 13 S h S h h1 h h1 3 3 h 3 h 8 h 3 4 40 40 1 1 1 1 h 3 h 15 15 5
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PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM – 2008/2009 1) Qual é o número inteiro cujo produto por 9 é um número natural composto apenas pelo algarismo 1? a) 123459 b) 1234569 c) 12345679 d) 12345789 e) 123456789 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Analisando o produto dos dois últimos algarismos do número em cada uma das alternativas por 9, temos: 59 9 531 o número termina em 31 69 9 621 o número termina em 21 89 9 801 o número termina em 01 79 9 711 o número termina em 11 Fazendo o produto do número completo da alternativa c) por 9, temos:
12345679 9 111111111
2) O logotipo de uma certa Organização Militar é uma pedra semipreciosa, cujo valor é sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa em gramas. Suponha que a pedra de 8 gramas, infelizmente, tenha caído partindo-se em dois pedaços. Qual é o prejuízo, em relação ao valor inicial, sabendo-se que foi o maior possível? a) 18% b) 20% c) 50% d) 80% e) 90% RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: O valor inicial da pedra de 8 gramas era 82 64 reais. Supondo que a pedra tenha se partido em duas partes de peso x e 8 x gramas, então o valor dos dois pedaços é x 2 8 x 2 2x 2 16x 64 . O prejuízo em relação ao valor inicial é P x 64 2x 2 16x 64 2x 2 16x . 16 O prejuízo é máximo no vértice da função quadrática, ou seja, em x V 4 e 2 2 yV P 4 2 42 16 4 32 . 64 32 100% 50% . Assim, o prejuízo máximo em relação ao valor inicial é 64
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3) Numa embarcação é comum ouvirem-se determinados tipos de sons. Suponha que o nível sonoro e a intensidade de um desses sons estejam relacionados com a equação logarítmica 12 log10 , em que é medido em decibéis e em watts por metro quadrado. Qual é a razão I1 I2
, sabendo que 1 corresponde ao ruído sonoro de 8
decibéis de uma aproximação de dois navios e
que 2 corresponde a 6 decibéis no interior da embarcação? a) 0,1 b) 1 c) 10 d) 100 e) 1000 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: 8 12 log10 1 log10 1 4 1 104
6 12 log10 2 log10 2 6 2 106 I1 104 6 104 6 102 100 I2 10 4) Duas pessoas estão na beira da praia e conseguem ver uma lancha B na água. Adotando a distância entre as pessoas como P1P2 sendo 63 metros, o ângulo BP1P2 , BP2P1 , tg 2 e tg 4 . A distância da lancha até a praia vale a) 83 b) 84 c) 85 d) 86 e) 87 ˆ
ˆ
RESPOSTA: b RESOLUÇÃO:
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Projetando B sobre P1P2 , obtemos o ponto H. Fazendo BH h e P2 H x , então P1H 63 x . BH h tg 4 h 4x P2 H x BH h 2 4x 126 2x x 21 e h 84 tg P1H 63 x Logo, a distância da lancha até a praia é de 84 m. 5) Tem-se um contêiner no formato cúbico, onde o ponto P descreve o centro desse contêiner e o quadrado ABCD a parte superior dele. Considerando-se o APC , o seno do ângulo APC vale ˆ
a)
2 2
b)
2 2
3 2
c) 2 2 d)
3 2 2
e) 3 2 RESPOSTA: a RESOLUÇÃO:
Seja o contêiner um cubo de aresta a, então O segmento AC é a diagonal do quadrado ABCD de lado a, então AC a 2 . a 3 Os segmentos AP e CP são metade da diagonal do cubo, então AP CP . 2 A área do triângulo APC é
1 4
da área do retângulo ACEF, então temos:
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1 AP CP 1 a 3 a 3 1 2 2 sen AC CE sen a 2 a sen SAPC SACEF . 4 2 2 2 2 4 3 6) A equação 2 x cos x 0 tem quantas raízes no intervalo 0, 2 ? a) zero. b) uma. c) duas. d) três. e) quatro. RESPOSTA: d RESOLUÇÃO:
cos x cos x 2x cos x 0 2x cos x 0 2x cos x
1 Observe que a função y 2 x é estritamente decrescente e varia de 20 1 a 22 2 0, 01 . 2
No intervalo 0, 2 , a função y cos x decresce de 1 até 1 e depois cresce até 1. Dessa forma, os gráficos têm 3 interseções e, consequentemente, a equação 2 x cos x possui três raízes no intervalo 0, 2 .
7) Considerando-se a função clássica f x arcsenx e a sua inversa g x f 1 x , é correto afirmar que os gráficos de f g e g f são a) iguais. b) diferentes, mas o de f g está contido no de g f . c) diferentes, mas o de g f está contido no de f g . d) diferentes e de intersecção com um número finito de pontos. e) diferentes e de intersecção vazia. www.madematica.blogspot.com
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RESPOSTA: c RESOLUÇÃO:
A função f x arcsenx tem domínio Df 1,1 e imagem Imf , . 2 2 A função g x f 1 x tem domínio Dg Imf , e imagem Img Df 1,1 . 2 2 A função f g x f g x f f 1 x x tem domínio e imagem iguais ao domínio de g, ou seja, Df g Imf g , . 2 2 A função g f x g f x f 1 f x x tem domínio e imagem iguais ao domínio de f, ou seja, Dg f Img f 1,1 . Portanto, as funções f g e g f são ambas iguais a x, mas os seus domínios são diferentes. Como Dg f Df g , então os gráficos f g e g f são diferentes, mas o de g f está contido no de f g. 8) Após a determinação dos valões numéricos de p 1 , p 0 e p 1 , verifica-se que o polinômio p x x3 x 2 x 0,5 tem a) apenas uma raiz real. b) apenas duas raízes reais. c) três raízes reais, todas do mesmo sinal. d) três raízes reais, duas positivas e uma negativa. e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva. RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: p 1 13 12 1 0,5 0,5 0
p 0 03 02 0 0,5 0,5 0 p 1 13 12 1 0,5 0,5 0 Como p 1 p 0 0 , então, pelo teorema de Bolzano, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo 1, 0 . Como p 0 p 1 0 , então, pelo teorema de Bolzano, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo 0,1 . Como o polinômio tende a , quando x tende a , e p 1 0 , então existe um número ímpar de raízes reais no intervalo , 1 . Como o polinômio é de grau 3 e, consequentemente, possui no máximo 3 raízes reais, então, em cada um dos intervalos citados, há exatamente uma raiz. Portanto, o polinômio possui três raízes reais duas negativas e uma positiva. O gráfico a seguir representa a situação descrita no problema. www.madematica.blogspot.com
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9) Dado o sistema de equações lineares
a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 a 2 b2 c2 , d 2 b 2 c2 , a 2 d 2 a 3 b3 c3 d3 b3 c3 a 3 d3 concluir que S a) é determinado. b) não é determinado. c) admite a solução 0,0,0 . d) não é impossível. e) não é indeterminado.
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a1x b1 y c1z d1 S: a 2 x b2 y c 2z d2 . Sabendo-se que os determinantes a x b y c z d 3 3 3 3 c1 a1 b1 d1 c2 e a 2 b2 d 2 são todos iguais a zero, apenas pode-se c3 a 3 b3 d3
RESPOSTA: b RESOLUÇÃO:
a1 b1 c1 Se o determinante da matriz incompleta do sistema a 2 b2 c2 é nulo, então o sistema não é a3 b3 c3 determinado. x y z 1 O sistema S: x y z 1 é um exemplo para o qual o sistema é impossível. x y z 2
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x y z 1 O sistema S: x y z 1 é um exemplo para o qual o sistema é possível e indeterminado. x y z 1 Note que o sistema acima também não admite a solução 0,0,0 . 10) A, B e C são pontos consecutivos no sentido anti-horário de uma circunferência de raio r. O menor arco AB tem comprimento igual a r. Tomando-se como unidade u a medida do ângulo agudo ACB , qual é o valor do seno de u ? ˆ
6
a) b) c) d) e)
3 2
2 2 1 2
2 3 2 2 3 2
RESPOSTA: e RESOLUÇÃO:
med AB r AB 1 rad O ângulo ACB é um ângulo inscrito na circunferência, então ACB ˆ
ˆ
AB 1 rad u . 2 2
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1 sen u sen rad sen 6 6 2 12
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3 1 6 2 2 3 2 2 2
1 cos
11) A progressão geométrica x 3,x 1, de termos reais não nulos admite um limite para a soma dos seus infinitos termos se, e somente se, a) x 1 b) x 1 c) x 3 d) x 3 e) 1 x 3 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: x 1 1 x 3 x 1 x 1 2x 2 1 1 0 0 x1 x 3 x 3 x 3 x3 x 1 x 1 4 1 1 0 0 x 3 0 x 3 x 3 x 3 x 3 Fazendo a interseção dos dois intervalos, temos x 1 . q 1 1 q 1 1
12) Sabendo-se que duas circunferências secantes são ortogonais quando as respectivas retas tangentes nos seus pontos de interseção são perpendiculares, qual é a equação da circunferência centrada em 3,5 que é ortogonal à circunferência x 2 y 2 6x 7 0 ? a) x 2 y2 6x 10y 20 0 b) x 2 y2 6x 10y 24 0 c) x 2 y2 6x 10y 25 0 d) x 2 y2 6x 10y 28 0 e) x 2 y2 6x 10y 30 0 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Se as tangentes são perpendiculares no ponto de interseção, os raios que se encontram no ponto de interseção também são perpendiculares. Assim, o triângulo formado pelo segmento que une o centro das duas circunferências e os dois raios é retângulo. 2 x 2 y2 6x 7 0 x 2 6x 9 y2 7 9 x 3 y2 16 Logo, o centro da circunferência é O 3,0 e raio é 4 . A distância entre os centros é
3 32 5 0 2 5 . www.madematica.blogspot.com
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Sendo r o raio da segunda circunferência, pelo teorema de Pitágoras, temos: r 2 42 52 r 3 . Assim, a equação da circunferência centrada em 3,5 e ortogonal à circunferência inicial é dada por
x 32 y 52 r 2 x 3 2 y 5 2 32 x 2 y 2 6x 10y 25 0 . A figura a seguir ilustra a situação descrita pelo problema.
13) Em uma progressão aritmética cujo número de termos é ímpar a soma dos termos de ordem ímpar é 573, e a soma dos termos de ordem par é 549. Quanto vale a soma de dois termos equidistantes dos extremos dessa progressão? a) 12 b) 24 c) 48 d) 56 e) 68 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Supondo que a PA possua 2n 1 termos, teremos n 1 termos de ordem ímpar e n termos de ordem par, assim: a1 a 2n1 n 1 573 2 a 2 a 2n n 549 2 A soma de dois termos equidistantes dos extremos é sempre a mesma. Assim, seja S a1 a 2n 1 a 2 a 2n , temos:
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S n 1 1146 S 48 S n 1098 14) Dois dos lados de um hexágono regular estão contidos nas retas definidas pelas equações 4x 3y 28 0 e 8x 6y 15 0 , respectivamente. A área desse hexágono é um número entre a) 13 e 14 b) 14 e 15 c) 15 e 16 d) 16 e 17 e) 17 e 18 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: Observando que as retas são paralelas conclui-se que são retas suporte de lados opostos do hexágono. Tomando um ponto sobre uma das retas e calculando a sua distância à outra reta, o resultado é igual ao dobro da altura do triângulo equilátero que forma o hexágono. Seja o ponto P 7, 0 sobre a reta r : 4x 3y 28 0 e sendo s : 8x 6y 15 0 , então temos: 8 7 6 0 15 41 d P,s 2 2 10 8 6 Seja o hexágono formado por seis triângulos equiláteros de lado L , então 41 L 3 41 d P,s 2 L . 10 2 10 3 L2 3 6 3 412 14,6 que está entre 14 e 15 . A área do hexágono é dada por Shex 6 S 6 4 4 102 3 n
15) Qual é o menor valor do número natural positivo n para que 3 i , onde i é a unidade imaginária, seja um número real? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Inicialmente, vamos escrever o número complexo 3 i na forma trigonométrica. 1 3 1 1 1 3 i i cos isen cis 2 2 2 2 6 6 2 6 Pela 1ª fórmula de De Moivre, temos:
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n 1 3 i cis 1n cis n 1n cos n isen n 6 2 6 6 2 6 2 n
n Para que 3 i seja um número real, devemos ter sen 0 . O menor valor positivo para o qual n
isso ocorre é n 6 .
6
a a b 3c a b c 16) Se o determinante da matriz A d e f é 5, então d d e 3f é igual a g h i g g h 3i a) zero b) cinco. c) quinze. d) trinta. e) quarenta e cinco. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: a a b 3c a a b c * a b c d d e 3f 3 d d e f 3 d e f 3 5 15 g g h 3i g gh i g h i (*) A segunda coluna foi substituída pela diferença entre a segunda coluna e a primeira coluna. Pelo teorema de Jacobi, essa operação não altera o determinante. 17) Os domínios das funções reais f x log x2 e g x 2 log x são D1 e D2 , respectivamente. Sendo assim, pode-se afirma que a) D1 D 2 b) D1 D 2 , mas D1 D 2 . c) D1 D2 , mas D2 D1 . d) D1 D 2 e D1 D2 e) D1 D2 , D2 D1 e D1 D2 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: O domínio de f x log x 2 é tal que x 2 0 x 0 , então D1 * . O domínio de g x 2 log x é tal que x 0 , então D2 * . Portanto, D1 D2 , mas D2 D1 .
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18) Todos os anos uma fábrica aumenta a produção em uma quantidade constante. No 5º ano de funcionamento, ela produziu 1460 peças, e no 8º ano, 1940. Quantas peças, então, ela produziu no 1º ano de funcionamento? a) 475 b) 520 c) 598 d) 621 e) 820 RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Se a produção aumenta todos os anos em uma quantidade constante, então a quantidade de peças produzidas por ano é uma progressão aritmética. Seja a n a quantidade de peças produzidas no n-ésimo ano de funcionamento e r a razão da progressão aritmética, então a 5 1460 a8 1940
a8 a5 r 8 5 1940 1460 3 r r 160 A quantidade de peças produzidas no primeiro ano de funcionamento a1 é dada por a5 a1 r 5 1 1460 a1 160 4 a1 820 . 19) Na construção de um prédio, para levar água da cisterna até a caixa superior, foram usados canos de ferro de duas polegadas. Considerando os seguintes dados abaixo, qual a massa aproximada de cada um desses canos? Use 3,14 . Comprimento de um cano: 6 m Diâmetro externo: 5 cm Diâmetro interno: 4,4 cm Densidade do ferro: 7,8g/cm3 a) 16.720 g b) 17.750 g c) 18.920 g d) 20.720 g e) 21.550 g RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: O cano é uma casca cilíndrica. O seu volume pode ser calculado pelo produto da área da base, que é uma coroa circular, pela sua altura. 4,4 5 2, 2 . Assim, temos: A área da base é a área de uma coroa circular, onde R 2,5 e r 2 2 S base R 2 r 2 2,52 2,22 1,41 4,4274 cm2 . A altura da casca cilíndrica é igual ao comprimento do cano que é 6 m 600 cm . Assim, o volume do cano é V S base h 4, 4274 600 2656, 44 cm3 . www.madematica.blogspot.com
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