Livro Variáveis Complexas
May 11, 2017 | Author: Alexandre Duarte | Category: N/A
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SUMÁRIO Aula 1: Álgebra dos Números Complexos
13
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2
Um Pouquinho de História . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3
Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .
24
Aula 2: Limites de Funções de Variáveis Complexas
25
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2
Topologia do Plano Complexo
. . . . . . . . . . . .
26
2.3
Funções de Variáveis Complexas . . . . . . . . . . .
28
2.4
Limites de Funções de Variáveis Complexas . . . . .
29
2.5
Continuidade de Funções complexas . . . . . . . . .
32
2.6
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .
38
Aula 3: Derivação Complexa
39
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2
Derivação Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3
Regras de Derivação Complexa
. . . . . . . . . . .
42
3.4
Equações de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . .
44
3.5
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .
52
Aula 4: Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa 53 4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.2
Funções Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.3
Forma Polar das Equações de Cauchy-Riemann
. .
58
4.4
Funções Harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.5
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .
66
Aula 5: Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 69 5.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.2
Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.3
Propriedades da Função Exponencial . . . . . . . .
71
5.4
Derivada da Função Exponencial . . . . . . . . . . .
74
5.5
Função Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.6
Propriedades da Função Logaritmo
. . . . . . . . .
75
5.7
Derivada da Função Logaritmo . . . . . . . . . . . .
76
5.8
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .
81
Aula 6: Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 83 6.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.2
Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.3
Propriedades das Funções Trigonométricas . . . . .
86
6.4
Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . .
88
6.5
Derivada das Funções Trigonométricas
. . . . . . .
90
6.6
Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
6.7
Propriedades das Funções Hiperbólicas . . . . . . .
93
6.8
Funções Hiperbólicas Inversas . . . . . . . . . . . .
94
6.9
Derivada das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . .
96
6.10 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 101 Aula 7: Integração Complexa
103
7.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2
Integração Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3
Integrais de Linha Reais
7.4
Relação entre Integrais de Linha Complexa e Real . 106
7.5
Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.6
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
. . . . . . . . . . . . . . . 105
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 112 Aula 8: Teoremas de Cauchy
113
8.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2
Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3
Teoria de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4
Fórmula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 123
8.5
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 131 Aula 9: Convergência de Séries de Números Complexos 133 9.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2
Seqüências de Números Complexos . . . . . . . . . 134
9.3
Alguns Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.4
Séries de Números Complexos . . . . . . . . . . . . 138
9.5
Séries de Potência
9.6
Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 149
Aula 10: Séries de Laurent
151
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.2 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 161 Aula 11: Singularidades de Funções de Variáveis Complexas 163 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.2 Pontos Singulares de Funções Complexas . . . . . . 164 11.3 Classificação de Pontos Singulares Isolados . . . . . 164 11.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 172 Aula 12: Cálculo de Resíduos
173
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.2 Resíduos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 182
Aula 13: Aplicações do Teorema dos Resíduos
183
13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 13.2 Algumas Aplicações do Teorema dos Resíduos . . . 184 13.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 192 Aula 14: Transformações Conformes
193
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 14.2 Transformações Conformes . . . . . . . . . . . . . . 194 14.3 Exemplos de Algumas Transformações Conformes . 197 14.3.1 Transformações de Möbius . . . . . . . . . . 198 14.3.2 Pontos fixos de uma Aplicação . . . . . . . . 199 14.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 203 Aula 15: Transformações Conformes: Aplicações
205
15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 15.2 Problemas de Dirichlet e de Neumann . . . . . . . . 206 15.2.1 Problemas de Dirichlet . . . . . . . . . . . . 210 15.2.2 Problemas de Neumann . . . . . . . . . . . 210 15.2.3 Aplicações ao Escoamento de Fluidos . . . . 211 15.2.4 Escoamento em Torno de Obstáculos . . . . 213 15.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 217
AULA
Álgebra dos Números Complexos META: Apresentar a álgebra dos números complexos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir e efetuar as operações algébricas no corpo C. Calcular raízes e potências em C. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo III.
1
Álgebra dos Números Complexos
1.1
Introdução
Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Variáveis Complexas com o tema “Álgebra dos Números Complexos”. Vamos aqui estabelecer as bases algébricas dos números complexos como um corpo não ordenado i.e. as operações de soma e produto definidas para os números complexos têm as mesmas propriedades que as da soma e produto de números reais.
1.2
Um Pouquinho de História
É interessante notar que a descoberta dos números complexos não foi devida a solução de equações do segundo grau x2 + ax + b = 0, a, b ∈ R e sim devido a descoberta da solução para a equação cúbica em sua forma geral x3 +ax2 +bx+c = 0, a, b, c ∈ R. Historicamente a idéia de números complexos apareceu com o Matemático italiano Gerolamo Cardano, que os chamou de fictícius. Scipione del Ferro, Matemático italiano, por volta de 1510, encontrou uma forma geral para a solução da equação cúbica incompleta da forma x3 + px + q = 0 porém, morreu sem publica-la. Seu aluno Antonio Maria Fior. conhecendo a solução, propõe um desafio a outro Matemático italiano Nicoló Fontana, apelidado de Tartaglia. Tartaglia, muito embora não conhecesse a solução dos problemas, conseguiu deduzir a fórmula para equações cúbicas da forma x3 + px + q = 0 quanto para x3 + px2 + q = 0 e venceu a disputa. Tartaglia, com a mudança de variáveis y = a x − reduziu a equação geral da cúbica x3 + ax2 + bx + c = 0 3 à forma y 3 + py + q = 0 cuja solução já tinha demonstrado ser
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Variáveis Complexas s
s r r q 2 q 2 q p 3 q p 3 x= − − + + 3 − + + . Foi Rafael 2 2 3 2 2 3 Bombelli, engenheiro hidráulico nascido em Bolonha, Itália, em 3
AULA
1
1530, quem conseguiu atravessar a barreira e chegar aos novos números. Bombelli, estudando a equação x3 − 15x − 4 = 0 por inspeção verificou que x = 4 era solução. Dividindo x3 − 15x − 4 por x−4 encontrou x2 +4x+1 = 0 cujas soluções são reais porém, subp √ stituindo na fórmula de Tartaglia encontramos x = 3 2 + −121+ p √ 3 2 − −121. Por um lado a fórmula de Tartaglia estava correta √ por outro −121 era, até então, visto com impossível. A idéia de p p √ √ Bombelli foi a de que 3 2 + −121 e 3 2 − −121 deveriam ser √ √ números da forma a + −b e a − −b respectivamente. Após, um bocado de conta (vale a pena refaze-las) encontrou a = 2 e b = 1 e estavam descoberto os números complexos.
1.3
Números Complexos
Vamos agora por a mão na massa começando pela início. Isto é, definindo o que vem a ser números complexos.
Definição 1.1. Um número complexo z = (x, y) é um par ordenado onde x, y ∈ R com soma e produto dados por: ∀z1 , z1 , z1 = (x1 , y1 ) e z2 = (x2 , y2 ). z1 + z2 def = (x1 + x2 , y1 + y2 ) z .z def 1 1 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) OBS 1.1. Denotamos C o conjunto de todos os números complexos munido das estruturas aditiva e multiplicativa dadas acima.
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Álgebra dos Números Complexos A igualdade de números complexos é derivada da igualdade de pares ordenados i.e. Definição 1.2. Seja z1 = (x1 , y1 ) e z2 = (x2 , y2 ) dois números complexos. z1 = z2 se, somente se x1 = x2 e y1 = y2 . OBS 1.2. Apesar de ser definido como par ordenado de números complexos, os números complexos não tem paralelo com R2 pois, em R2 não existe estrutura multiplicativa como nos complexos. Os números complexos possuem, entre outras, as seguintes propriedades: ∀z1 , z2 , z3 ∈ C i) z1 + z2 = z2 + z1 simetria da soma ii) z1 .z2 = z2 .z1 simetria da multiplicação iii) (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) associatividade da soma iv) (z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ) associatividade da multiplicação v) (0, 0) é o neutro aditivo vi) (1, 0) é o neutro multiplicativo vii) se z = (x, y) então −z = (−x, −y) é o simétrico aditivo. x −y −1 viii) se z = (x, y) 6= (0, 0) então z = , é o x2 + y 2 x2 + y 2 simétrico multiplicativo ix) z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 distributividade da multiplicação sobre a soma OBS 1.3. Fazendo as seguintes identificações: 1 = (1, 0) e ı = (0, 1) podemos escrever um número complexo z = (x, y) como
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Variáveis Complexas
AULA
z = x + yıı, que é uma forma mais simples de se manipular desde
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que ponhamos ı 2 = −1. Nesta forma a soma e a multiplicação ficam dadas por: se ∀z1 , z2 ∈ C, z1 = x1 + y1ı e z2 = x2 + y2ı então z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )ıı z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 − x2 y1 )ıı Definição 1.3. Seja z = x + yıı ∈ C um número complexo. Definimos as partes reais e partes imaginária de z, denotadas Re(z) e Im(z) respectivamente, por: Re(z) = x e Im(z) = y OBS 1.4. Dado um número complexo z = x + yıı ∈ C, podemos representa-lo graficamente como um ponto do plano xy. Desta forma dando sentido à próxima definição. Definição 1.4. Dado um número complexo z = x + yıı ∈ C, definimos o módulo de z, denotado |z|, por: def
|z| =
p
x2 + y 2
(1.1)
Um conceito importante a ser em seguida definido é o de conjugado. A saber: Definição 1.5. Seja z = x + yıı ∈ C um número complexo. Definimos o conjugado de z, denotado z¯ por: def
z¯ = x − yıı OBS 1.5. O módulo e o conjugado estão relacionados por: |z|2 = z.¯ z. Algumas propriedades do módulo: ∀z1 , z2 ∈ C
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Álgebra dos Números Complexos y z
x
z¯
Figura 1.1: Conjugado de um número complexo i) z1 | ≥ 0 ii) |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 | iii) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | iv) se z = x + yıı então |z| ≥ |x| e |z| ≥ |y| Algumas propriedades do conjugado: ∀z1 , z2 , z ∈ C i) z1 + z2 = z1 + z2 ii) z1 .z2 = z1 .z2 iii) x = Re(z) =
z + z¯ 2
iv) y = Im(z) =
z − z¯ 2ıı
Como podemos associar um número complexo z = x + yıı ∈ C a um ponto do plano xy, podemos usar coordenadas polares e definir uma nova forma de representação d números complexos. A saber:
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Variáveis Complexas
AULA
1
y z = r cos(θ) + r sin(θ)ıı r θ
x Figura 1.2: Forma polar de um número complexo Definição 1.6. Seja z = x + yıı ∈ C um número complexo. Fazendo x = r cos(θ) e y = r sin(θ) a representação: z = r cos(θ) + r sin(θ)ıı é dita representação polar do número z. OBS 1.6. O módulo de z é dado por: p (r cos(θ))2 + (r sin(θ))2 q = r2 cos2 (θ) + r2 sin2 (θ) q = r2 (cos2 (θ) + sin2 (θ)) √ = r2
|z| =
=r Definição 1.7. Dado um número complexo z ∈ C em sua forma polar z = r cos(θ)+r sin(θ)ıı definimos o argumento de z, denotado arg(z) por: arg(z) = θ. OBS 1.7. O argumento de um número complexo tem uma infinidade de valores já que cos(θ + 2kπ) = cos(θ), ∀k ∈ Z e sin(θ + 2kπ) = sin(θ), ∀k ∈ Z. qualquer dos θ + 2kπ pode ser um argumento. OBS 1.8. Se z = r cos(θ) + r sin(θ)ıı e w = % cos(φ) + % sin(φ)ıı.
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Álgebra dos Números Complexos Fazendo o produto z.w temos: z.w = (r cos(θ) + r sin(θ)ıı).(% cos(φ) + % sin(φ)ıı) = r%(cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ)) + r%(cos(θ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ))ıı = r% cos(θ + φ) + r% sin(θ + φ) OBS 1.9. Da observação acima tiramos: Se z = r cos(θ)+r sin(θ)ıı e w = % cos(φ) + % sin(φ)ıı então arg(z.w) = arg(z) + arg(w) a fórmula acima pode ser interpretada assim: se arg(z) é um argumento de z e arg(w) é um argumento de w então arg(z)+arg(w) é um argumento de z.w e um argumento de z.w pode ser decomposto na soma de um argumento de z mais um argumento de w.
1.4
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que embora definidos inicialmente como pares ordenados de R2 , os números complexos possuem um estrutura multiplicativa que torna C diferente de R2 .
RESUMO
No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:
Álgebra dos Números Complexos Definição Um número complexo z = (x, y) é um par ordenado onde x, y ∈ R
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Variáveis Complexas
AULA
com soma e produto dados por: ∀z1 , z1 , z1 = (x1 , y1 ) e z2 =
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(x2 , y2 ). z1 + z2 def = (x1 + x2 , y1 + y2 ) z .z def 1 1 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) Algumas Propriedades Os números complexos possuem, entre outras, as seguintes propriedades: ∀z1 , z2 , z3 ∈ C i) z1 + z2 = z2 + z1 simetria da soma ii) z1 .z2 = z2 .z1 simetria da multiplicação iii) (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) associatividade da soma iv) (z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ) associatividade da multiplicação v) (0, 0) é o neutro aditivo vi) (1, 0) é o neutro multiplicativo vii) se z = (x, y) então −z = (−x, −y) é o simétrico aditivo. x −y −1 viii) se z = (x, y) 6= (0, 0) então z = , é o x2 + y 2 x2 + y 2 simétrico multiplicativo ix) z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 distributividade da multiplicação sobre a soma Definição Fazendo as seguintes identificações: 1 = (1, 0) e ı = (0, 1) podemos escrever um número complexo z = (x, y) como z = x + yıı Seja z = x + yıı ∈ C um número complexo. Definimos as partes
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Álgebra dos Números Complexos reais e partes imaginária de z, denotadas Re(z) e Im(z) respectivamente, por: Re(z) = x e Im(z) = y. Definição Dado um número complexo z = x + yıı ∈ C, definimos o módulo def p de z, denotado |z|, por: |z| = x2 + y 2 . Definição Seja z = x + yıı ∈ C um número complexo. Definimos o conjugado def
de z, denotado z¯ por: z¯ = x − yıı. Algumas Propriedades do Módulo Algumas propriedades do módulo: ∀z1 , z2 ∈ C i) z1 | ≥ 0 ii) |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 | iii) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | iv) se z = x + yıı então |z| ≥ |x| e |z| ≥ |y| Algumas Propriedades do Conjugado Algumas propriedades do conjugado: ∀z1 , z2 , z ∈ C i) z1 + z2 = z1 + z2 ii) z1 .z2 = z1 .z2 z + z¯ 2 z − z¯ iv) y = Im(z) = 2ıı
iii) x = Re(z) =
Definição Seja z = x + yıı ∈ C um número complexo. Fazendo x = r cos(θ)
22
Variáveis Complexas
AULA
e y = r sin(θ) a representação: z = r cos(θ) + r sin(θ)ıı é dita
1
representação polar do número z. Produto na Forma Polar Se z = r cos(θ) + r sin(θ)ıı e w = % cos(φ) + % sin(φ)ıı. Fazendo o produto z.w temos: z.w = r% cos(θ + φ) + r% sin(θ + φ)
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula introduziremos o conceito de funções de variáveis complexas e o conceito de limites no corpo dos números complexos. Veremos também, algumas propriedades dos limites de funções complexas.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 1.1. Sejam z1 e z2 dois números complexos. Mostre que z1 .z2 = z2 .z1 .
Comentário:
Use as propriedades comutativas dos números
reais. ATIV. 1.2. Sejam z = r cos(θ) + r sin(θ)ıı. Mostre que: z n = rn cos(nθ) + rn sin(nθ)ıı Comentário: Use o princípio da indução.
23
Álgebra dos Números Complexos
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008 FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006. CERI, Cristina e MONTEIRO, Marta S. A História dos Números Complexos. http://www.ime.usp.br/ martha/caem/complexos.pdf. Acessado em 02/06/2011.
24
AULA
Limites de Funções de Variáveis Complexas META: Introduzir o conceito de limite de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir limites de funções de variáveis complexas e determinar o limite de algumas funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS Aula01 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo II.
2
Limites de Funções de Variáveis Complexas
2.1
Introdução
Caros alunos o tema de nossa aula de hoje é “Limites de Funções de Variáveis Complexas”. Antes de entrarmos no tema central no entanto, faremos um pequeno passeio pela topologia do plano complexo. A rigor, as noções topológicas aqui expostas não se restringem ao plano complexo. Estes conceitos, em especial o de bola aberta serão usados nas definições de limite e continuidade de funções complexas.
2.2
Topologia do Plano Complexo
Vamos iniciar nossa aula com as definições, com alguns pequenos comentários, de alguns conceitos topológicos. Começando por: Definição 2.1. Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0 um real positivo. definimos a bola aberta de centro em z0 e raio r por: Br (z0 ) = {z ∈ C||z − z0 | < r} OBS 2.1. Apesar do nome bola aberta, a representação geométrica de uma bola aberta de centro em z0 ∈ C e raio r > 0 é (ver figura 2.1), no plano complexo C, é o interior um disco cujo centro é z0 e cujo raio é r. Podemos definir também, a bola fechada incluindo as bordas i.e. Definição 2.2. Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0 um real positivo. definimos a bola fechada de centro em z0 e raio r por: Br (z0 ) = {z ∈ C||z − z0 | ≤ r}
26
AULA
Variáveis Complexas
2
y Br (z0 ) r1
z0
x
Figura 2.1: Bola Aberta no Plano Complexo Definição 2.3. Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D é um conjunto aberto se, somente se: Para todo z ∈ D, existe ε > 0 tal que Bε (z) ⊂ D. OBS 2.2. Em un conjunto aberto cada ponto é centro de alguma bola aberta inteiramente contida no conjunto. Em particular cada bola aberta em C é por sua vez um conjunto aberto. Também é aberto o plano complexo C. E o conjunto vazio ∅ é aberto, pois satisfaz a definição de conjunto vazio. Definição 2.4. Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D é um conjunto fechado se, somente se se complementar {C (D) em relação a C for aberto. OBS 2.3. Bolas fechadas são conjuntos fechados.
Também é
fechado o plano complexo C, visto que seu complementar, o conjunto vazio ∅, é um conjunto aberto. Definição 2.5. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ D. Dizemos que z é um ponto interior de D se, somente se existe ε > 0 tal que Bε (z) ⊂ D.
27
Limites de Funções de Variáveis Complexas OBS 2.4. Todos os pontos de um conjunto D aberto são pontos interiores de D. Definição 2.6. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto exterior de D se, somente se existe ε > 0 tal que Bε (z) ⊂ {C (D). Definição 2.7. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto de fronteira de D se, somente se para todo ε > 0, Bε (z) ∩ D 6= ∅ e Bε (z) ∩ {C (D) 6= ∅. Definição 2.8. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto de acumulação de D se, somente se para todo ε > 0 tal que Bε (z) ∩ D 6= ∅. OBS 2.5. Todos os pontos de um conjunto D aberto são pontos de acumulação. Todos os pontos de fronteira de um conjunto D são pontos de acumulação.
2.3
Funções de Variáveis Complexas
Consideraremos aqui funções de variáveis complexas, que questão de economia serão chamadas simplesmente funções complexas. Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Uma função complexa f é uma regra que associa cada ponto z de D a um número complexo denotado w. O número w é chamado de o valor de f no ponto z ou imagem de z por f e denotado f (z) i.e. w = f (z) OBS 2.6. Adotaremos também, a notação usual de funções i.e. para indicar uma função f de domínio D ⊂ C em C usamos f : D ⊂ C 7→ C.
28
Variáveis Complexas
AULA
Também, com o objetivo de simplificação e a menos que seja indi-
2
cado o contrário, o domínio de D de f será um conjunto aberto. OBS 2.7. Desde que a imagem de uma função complexa é um número complexo, podemos ter uma forma alternativa de representar funções complexas pondo z = x + yıı e f (z) = f (x + yıı) = u(x, y) + v(x, y)ıı onde as funções u : D ⊂ C 7→ R e v : D ⊂ C 7→ R são ditas componentes real e imaginária de f respectivamente. Exemplo 2.1. Para a função f : C 7→ C dada por f (z) = z 3 suas componentes são u(x, y) = x3 − 3xy 2 e v(x, y) = 3x2 y − y 3 i.e. f (•) pode ser escrita como: f (z) = f (x + yıı) = (x + yıı)3 = (x + yıı).(x + yıı).(x + yıı) = ((x2 − y 2 ) + 2xyıı).(x + yıı) = (x3 − 3xy 2 ) + (3x2 y − y 3 )ıı
2.4
Limites de Funções de Variáveis Complexas
Começaremos diretamente pela definição de limite. Definição 2.9. Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de domínio D aberto e z0 ∈ D. Dizemos que L ∈ C é o limite de f (z) quando z tende a z0 , denotado lim f (z) = L se, somente se para z→z0
todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo z ∈ Bδ (z0 ) − {z0 } temos f (z) ∈ Bε (L) OBS 2.8. A definição acima, traduzindo em palavras, quer dizer que se L é o limite de f (z) quando z se aproxima de z0 a imagem
29
Limites de Funções de Variáveis Complexas a imagem f (z) está em uma bola arbitrariamente pequena Bε (L) de centro em L. Para ilustrar o cálculo de limites usando a definição, veremos o seguinte exemplo: z3 , z = 6 ı . Exemplo 2.2. Seja f : C 7→ C dada por: f (z) = 0 ,z = ı Determinar o limite de f (z) quando z tende a ı . SOLUÇÃO: Como ı 3 = −ıı suspeitamos que lim f (z) = −ıı. Vaz→ıı
mos comprovar, usando a definição de limite. Para cada real positivo ε > 0, existe um real positivo δ > 0 tal que: ∀z ∈ Bδ (ıı) − {ıı} temos: f (z) ∈ Bε (−ıı). Podemos, de forma mais conveniente, descrever a situação acima em termos de módulo da seguinte forma: ∀z|0 < |z − ı | < δ temos: |z 3 + ı | < ε. Para ter isso escrevermos:
|z 3 + ı | = |z 3 − ı 3 | = |(z − ı )(z 2 + zıı + ı 2 )|
(2.2)
≤ |z − ı |.|z 2 + zıı + ı 2 | < ε
Se, temporariamente, limitarmos z de modo que |z−ıı| < 1 teremos:
|z| − |ıı| ≤ |z − ı | < 1 |z| − 1 < 1 |z| < 2
30
(2.3)
AULA
Variáveis Complexas
2
Daí, teremos a seguinte limitação: |z 2 + zıı + ı 2 | < |z 2 + |zıı| + |ıı2 | < |z|2 + |z||ıı| + |ıı|2
(2.4)
, ∃δ > 0, δ = min{1, ε/7}|∀z, 0 < |z − ı | < δ. Como |z − ı | < δ e δ = min{1, ε/7} temos que valem ao mesmo tempo as seguintes desigualdades: |z − ı | < 1 e |z − ı | < ε/7. Da primeira desigualdade garantimos a desigualdade eqn 2.3.3 que por sua vez garante a desigualdade eqn 2.4.3. Por outro lado, da segunda desigualdade temos: |z − ı | <
ε 7
(2.5)
|z − ı |.7 < ε Das desigualdades eqn 2.5 e eqn 2.4.3 temos: |z − ı |.|z 2 + zıı + ı 2 | < ε |(z − ı ).(z 2 + zıı + ı 2 )| < ε
(2.6)
|z 3 − ı 3 | < ε Daí, temos: ∀ε >, ∃δ > 0, δ = min{1, ε/7}|∀z, 0 < |z − ı | < δ → |z 3 + ı | < ε Que podemos sintetizar como: lim f (z) = −ıı
z→ıı
Teorema 2.1. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. Se lim f (z) = w0 e lim f (z) = w1 z→z0
z→z0
então w0 = w1 .
31
Limites de Funções de Variáveis Complexas OBS 2.9. O teorema acima garante que se existe o limite de f (•) em um ponto z0 então este limite é único. Teorema 2.2. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de componentes f (z) = f (x+yıı) = u(x, y)+ v(x, y)ıı, z0 = x0 +y0ı ∈ D e w0 = u0 +v0ı ∈ C. Então lim f (z) = z→z0
lim v(x, y) = v0 . w0 se, somente se: x→x lim u(x, y) = u0 e x→x 0 y→y0
0 y→y0
Temos também o seguinte teorema que sintetiza algumas das propriedades referentes a operações com limites. Teorema 2.3. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas e z0 ∈ D tais que lim f (z) = f0 e z→z0
lim g(z) = g0 então:
z→z0
i) lim (f + g)(z) = lim f (z) + lim g(z) = f0 + g0 z→z0
z→z0
z→z0
ii) lim (f − g)(z) = lim f (z) − lim g(z) = f0 − g0 z→z0
z→z0
z→z0
iii) lim (f.g)(z) = lim f (z). lim g(z) = f0 .g0 z→z0
z→z0
z→z0
lim f (z) f f0 z→z0 iv) lim (z) = = se g0 6= 0 z→z0 g lim g(z) g0 z→z0
OBS 2.10. As propriedades dos limites de funções complexas resumida no teorema 2.3 nostra basicamente que limites de funções complexas têm as mesmas propriedades que funções de valores reais quanto a operações com limites.
2.5
Continuidade de Funções complexas
E vamos à definição de imediato.
32
Variáveis Complexas
AULA
Definição 2.10. Sejam D ⊂ C um aberto de C, F : D ⊂ C 7→ C
2
uma função complexa e z0 ∈ D. Dizemos que f (•) é contínua se, somente se: lim f (z) = f (z0 )
z→z)
OBS 2.11. A equação da definição acima sintetiza três requisitos para a continuidade de uma função em um ponto. Primeiro a função tem que ser definida no ponto. Segundo o limite lim f (z) z→z)
existe. E terceiro é requerida a igualdade lim f (z) = f (z0 ). z→z)
OBS 2.12. Se a função f (•) é contínua em todos os pontos de seu domínio D dizemos simplesmente que f (•) é uma função contínua. O seguinte teorema caracteriza algumas das propriedades referentes a funções contínuas. Teorema 2.4. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C e duas funções complexas contínuas em D e z0 ∈ D então: i) (f + g)(z) é contínua em z0 ii) (f − g)(z) é contínua em z0 iii) (f.g)(z) é contínua em z0 iv)
f (z) é contínua em z0 se g(z) 6= 0, ∀z ∈ D g
OBS 2.13. As propriedades acima decorrem imediatamente das propriedades das operações com limites. Teorema 2.5. Sejam D1 , D2 ⊂ C, abertos de C, f : D2 ⊂ C 7→ C e g : D1 ⊂ C 7→ D2 ⊂ C duas funções complexas contínuas em D2 e D1 respectivamente e z0 ∈ D1 então: lim (f ◦ g)(z) = f (g(z0 ))
z→z0
33
Limites de Funções de Variáveis Complexas OBS 2.14. O teorema acima diz em outras palavras que a composta de funções contínua é também uma função contínua.
2.6
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que as mesmas noções topológicas de R2 podem ser estendidas ao plano complexo e que limites de funções de valores complexos comportam-se tal e qual limites de funções de valores reais, possuindo basicamente as mesmas propriedades no que se refere às operações com limites.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos:
Topologia do Plano Complexo Definimos os seguintes conceitos topológicos no plano complexo: Bola Aberta Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0 um real positivo. definimos a bola aberta de centro em z0 e raio r por: Br (z0 ) = {z ∈ C||z − z0 | < r} Bola Fechada Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0 um real positivo. definimos a bola fechada de centro em z0 e raio r por: Br (z0 ) = {z ∈ C||z − z0 | ≤ r} Conjunto Aberto Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D é
34
Variáveis Complexas
AULA
um conjunto aberto se, somente se: Para todo z ∈ D, existe ε > 0
2
tal que Bε (z) ⊂ D. Conjunto Fechado Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D é um conjunto fechado se, somente se se complementar {C (D) em relação a C for aberto. Ponto Interior Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ D. Dizemos que z é um ponto interior de D se, somente se existe ε > 0 tal que Bε (z) ⊂ D. Ponto Exterior Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto exterior de D se, somente se existe ε > 0 tal que Bε (z) ⊂ {C (D). Ponto de Fronteira Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto de fronteira de D se, somente se para todo ε > 0, Bε (z) ∩ D 6= ∅ e Bε (z) ∩ {C (D) 6= ∅. Ponto de Acumulação Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto de acumulação de D se, somente se para todo ε > 0 tal que Bε (z) ∩ D 6= ∅. Funções Complexas Podemos representar funções complexas de diversas formas como: Para f : D ⊂ C 7→ C podemos escrever: w = f (z) ou Se z = x+yıı podemos escrever f (z) = f (x+yıı) = u(x, y)+v(x, y)ıı onde u(x, y) e v(x, y) são ditas componentes de f (•).
35
Limites de Funções de Variáveis Complexas Limites de Funções Complexas Quanto a limites de funções complexas destacamos os seguintes tópicos: Definição Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de domínio D aberto e z0 ∈ D. Dizemos que L ∈ C é o limite de f (z) quando z tende a z0 , denotado lim f (z) = L se, somente se para todo ε > 0, existe z→z0
δ > 0 tal que para todo z ∈ Bδ (z0 ) − {z0 } temos f (z) ∈ Bε (L) Teorema 1 Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. Se lim f (z) = w0 e lim f (z) = w1 então z→z0
z→z0
w0 = w1 . Teorema 2 Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de componentes f (z) = f (x + yıı) = u(x, y) + v(x, y)ıı, z0 = x0 + y0ı ∈ D e w0 = u0 + v0ı ∈ C. Então lim f (z) = w0 se, z→z0
somente se: x→x lim u(x, y) = u0 e x→x lim v(x, y) = v0 . 0 y→y0
0 y→y0
Teorema 3 (Operações com Limites) Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas e z0 ∈ D tais que lim f (z) = f0 e lim g(z) = g0 então: z→z0
z→z0
i) lim (f + g)(z) = lim f (z) + lim g(z) = f0 + g0 z→z0
z→z0
z→z0
ii) lim (f − g)(z) = lim f (z) − lim g(z) = f0 − g0 z→z0
z→z0
z→z0
iii) lim (f.g)(z) = lim f (z). lim g(z) = f0 .g0 z→z0
z→z0
z→z0
lim f (z) f f0 z→z0 iv) lim (z) = = se g0 6= 0 z→z0 g lim g(z) g0 z→z0
Definição Sejam D ⊂ C um aberto de C, F : D ⊂ C 7→ C uma função
36
Variáveis Complexas
AULA
complexa e z0 ∈ D. Dizemos que f (•) é contínua se, somente se:
2
lim f (z) = f (z0 )
z→z)
Propriedades da Funções Contínuas Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas e z0 ∈ D tais que lim f (z) = f0 e lim g(z) = g0 então: z→z0
z→z0
i) lim (f + g)(z) = lim f (z) + lim g(z) = f0 + g0 z→z0
z→z0
z→z0
ii) lim (f − g)(z) = lim f (z) − lim g(z) = f0 − g0 z→z0
z→z0
z→z0
iii) lim (f.g)(z) = lim f (z). lim g(z) = f0 .g0 z→z0
z→z0
z→z0
lim f (z) f f0 z→z0 iv) lim (z) = = se g0 6= 0 z→z0 g lim g(z) g0 z→z0
PRÓXIMA AULA
A nossa próxima aula será dedicada à ”Derivação de Funções Complexas´´ onde veremos que a estrutura multiplicativa do corpo dos números complexos faz com que a derivação no plano complexo seja significativamente diferente da derivação em R2 .
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões: z2 , z = 6 ı ATIV. 2.1. Seja f : C 7→ C dada por: f (z) = . 0 ,z = ı Mostrar que o limite de f (z) quando z tende a ı é −1. Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
exemplo, ele lhe servirá de guia.
37
Limites de Funções de Variáveis Complexas ATIV. 2.2. Seja f : C 7→ C dada por: f (z) = az 2 + bz + c, onde a, b, c ∈ C. Mostrar que f (•) é contínua em z0 . Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
exemplo, ele lhe servirá de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
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AULA
Derivação Complexa META: Introduzir o conceito de derivada de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir derivada de funções de variáveis complexas e determinar a derivada de algumas funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS Aula02 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo II.
3
Derivação Complexa
3.1
Introdução
Caros alunos em nossa aula de hoje veremos a Derivação Complexa. Em muitos aspectos a derivação complexa tem as mesmas propriedades da derivação real. Em outros porém a derivação complexa é peculiar e estas peculiaridades serão parte do tema de nossa aula.
3.2
Derivação Complexa
Iniciaremos pela definição de derivada de uma função complexa. Definição 3.1. Sejam D ⊂ C aberto, z0 ∈ D e f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa. Definimos a derivada de f (•) no ponto z0 , denotada f 0 (z0 ), por: def
f 0 (z0 ) = lim
z→z0
f (z) − f (z0 ) z − z0
(3.7)
OBS 3.1. Está implícito na definição acima que a derivada de f (•) é dada pela expressão à direita se, somente se o limite existe. Podemos expressar também o limite usando uma nova variável ∆z = z − z0 , z = z0 + ∆z, onde ∆z é escolhido de modo que tenhamos z ∈ D. def
f 0 (z0 ) = lim
z→z0
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) ∆z
(3.8)
OBS 3.2. Para que a derivada de f (•) exista em um ponto z0 ∈ D é necessário que o limite da definição seja independente da maneira como z se aproxima de z0 . Vejamos, agora, dois exemplos:
40
Variáveis Complexas
AULA
Exemplo 3.1. Seja f : C 7→ C dada por f (z) = z 3 . Calculemos
3
sua derivada. SOLUÇÃO: Seja z0 ∈ C temos: f (z0 + ∆z) − f (z0 ) (z0 + ∆z)3 − z03 = ∆z ∆z z03 + 3z02 ∆z + 3z0 (∆z)2 + (∆z)3 − z03 = ∆z 3z02 ∆z + 3z0 (∆z)2 + (∆z)3 = ∆z = 3z02 + 3z0 ∆z + (∆z)2 Passando o limite ∆z → 0 e usando a definição de derivada eqn 3.8 temos: lim
∆z→0
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) = lim (3z02 + 3z0 ∆z + (∆z)2 ) ∆z→0 ∆z f 0 (z0 ) = 3z02
Vamos ao segundo exemplo: Exemplo 3.2. Seja f : C 7→ C dada por f (z) = |z|2 . Calculemos sua derivada. SOLUÇÃO: Seja z0 ∈ C temos: f (z0 + ∆z) − f (z0 ) |z0 + ∆z|2 − |z0 |2 = ∆z ∆z (z0 + ∆z)(z0 + ∆z) − z0 z¯0 = ∆z z0 z¯0 + z¯0 ∆z + z0 ∆z + ∆z∆z − z0 z¯0 = ∆z z¯0 ∆z + z0 ∆z + ∆z∆z = ∆z ∆z = z¯0 + z0 + ∆z ∆z Vamos passar o limite ∆z → 0 por dois caminhos distintos. Caminho 1: Vamos fazer ∆z → 0 seguindo um caminho paralelo ao eixo real. Neste caso ∆z = ∆x + 0ıı = ∆x, ∆z = ∆x − 0ıı = ∆x.
41
Derivação Complexa ∆z = 1. E passando o limite ∆z → 0 que é equivalente, neste ∆z caso a ∆x → 0 temos: Daí,
f 0 (z0 ) = z¯0 + z0 Caminho 2: Vamos fazer ∆z → 0 seguindo um caminho paralelo ao eixo imaginário. Neste caso ∆z = 0 + ∆yıı = ı ∆y, ∆z = ∆z 0 − ∆yıı = −ıı∆y. Daí, = −1. E passando o limite ∆z → 0 ∆z que é equivalente, neste caso a ∆y → 0 temos: f 0 (z0 ) = z¯0 − z0 Daí, f (z) = |z|2 não é derivável em ponto nenhum do plano complexo, exceto em z0 = 0.
3.3
Regras de Derivação Complexa
Se f (•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto z0 ∈ C então valem as seguintes regras de derivação: 1. (f + g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) + g 0 (z0 ) 2. (f − g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) − g 0 (z0 ) 3. (f.g)0 (z0 ) = f (z0 ).g 0 (z0 ) + g(z0 ).f 0 (z0 ) 0 f (z0 ).g 0 (z0 ) − g(z0 ).f 0 (z0 ) f (z0 ) = se g(z0 ) 6= 0 4. g g 2 (z0 ) Demonstraremos, agora, uma das regras de derivação complexa. A saber. Se f (•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto z0 ∈ C então vale a0 seguinte regra0 de derivação: 0 f f (z0 ).g (z0 ) − g(z0 ).f (z0 ) (z0 ) = se g(z0 ) 6= 0. g g 2 (z0 )
42
AULA
Variáveis Complexas PROVA: Para simplificar trocaremos ∆z por λ. Usando a definição
3
de derivada complexa temos:
f f (z0 + λ) − (z0 ) g g λ f (z0 + λ) f (z0 ) − g(z0 + λ) g(z0 ) = lim λ→0 λ f (z0 + λ)g(z0 ) − f (z0 )g(z0 + λ) g(z0 + λ)g(z0 ) = lim λ→0 λ f (z0 + λ)g(z0 ) − f (z0 )g(z0 + λ) = lim λ→0 g(z0 + λ)g(z0 )λ
0 f (z0 ) = lim λ→0 g
(3.9)
Adicionando o termo nulo −f (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g(z0 ) ao denominador da equação eqn 3.9.4 acima temos:
0 f f (z0 + λ)g(z0 ) − f (z0 )g(z0 ) (z0 ) = lim λ→0 g g(z0 + λ)g(z0 )λ f (z0 )g(z0 + λ) − f (z0 )g(z0 ) − lim λ→0 g(z0 + λ)g(z0 )λ g(z0 ) f (z0 + λ) − f (z0 ) = lim λ→0 g(z0 + λ)g(z0 ) λ g(z0 + λ) − g(z0 ) f (z0 ) − lim λ→0 g(z0 + λ)g(z0 ) λ g(z0 ) f (z0 + λ) − f (z0 ) = lim lim λ→0 g(z0 + λ)g(z0 ) λ→0 λ f (z0 ) g(z0 + λ) − g(z0 ) lim − lim λ→0 g(z0 + λ)g(z0 ) λ→0 λ
(3.10)
Como as funções f (•) e g(•) são deriváveis, são também contínuas e da definição de derivada complexa temos:
43
Derivação Complexa
g(z0 ) g(z0 ) = g(z0 + λ)g(z0 ) gr(z0 ) f (z0 ) f (z0 ) = 2 lim λ→0 g(z0 + λ)g(z0 ) g (z0 ) f (z0 + λ) − f (z0 ) f 0 (z0 ) = lim λ→0 λ g(z + λ) − g(z0 ) 0 g 0 (z0 ) = lim λ→0 λ lim
λ→0
Logo a última equação eqn 3.10.3 passa a: 0 g(z0 ) 0 f (z0 ) 0 f (z0 ) = 2 f (z0 ) − 2 g (z0 ) g g (z0 ) g (z0 ) g(z0 )f 0 (z0 ) − f (z0 )g 0 (z0 ) = g 2 (z0 )
3.4
Equações de Cauchy-Riemann
Nesta seção estabeleceremos condições necessárias e suficiente para garantir a existência da derivada de uma função de variáveis complexas em um ponto do plano complexo. Teorema 3.1. Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C, f (z) = u(x, y) + v(x, y)ıı e f 0 (z) existam na vizinhança de um ponto z0 = x0 + y0ı ∈ C. Então as derivadas parciais de primeira ordem de u e v com relação a x e a y existem e satisfazem: ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂v ∂u (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂x ∂y
(3.11)
PROVA: Da hipótese do teorema f (z) = u(x, y)+v(x, y)ıı e f 0 (z) estão definidas em uma vizinhança do ponto z0 = x0 + y0ı ∈ C. Da definição de derivada temos: def
f 0 (z0 ) = lim
z→z0
44
f (z) − f (z0 ) z − z0
(3.12)
AULA
Variáveis Complexas
3
Podemos tomar dois casos (caminhos): Caso 1 podemos fazer z → z0 seguindo o caminho z = x + y0ı , z − z0 = x + y0ı − (x0 + y0ı ) = x − x0 que é equivalente a x → x0 e temos: f (z) − f (z0 ) u(x, y0 ) + v(x, y0 )ıı − u(x0 +, y0 ) − v(x0 , y0 )ıı = z − z0 x − x0 u(x, y0 ) − u(x0 , y0 ) v(x, y0 ) − v(x0 , y0 ) = +ı x − x0 x − x0 Passando o limite z → z0 (de forma equivalente) x → x0 temos: lim
z→z0
f (z) − f (z0 ) u(x, y0 ) − u(x0 , y0 ) = lim x→x0 z − z0 x − x0 ∂u ∂v f 0 (z0 ) = (x0 , y0 ) + (x0 , y0 )ıı ∂x ∂x
(3.13)
Caso 2 podemos fazer z → z0 seguindo o caminho z = x0 + yıı, z − z0 = x0 + yıı − (x0 + y0ı ) = (y − y0 )ıı que é equivalente a y → y0 e temos: f (z) − f (z0 ) u(x0 , y) + v(x0 , y)ıı − u(x0 +, y0 ) − v(x0 , y0 )ıı = z − z0 x − x0 v(x0 , y) − v(x0 , y0 ) u(x0 , y) − u(x0 , y0 ) +ı = (y − y0 )ıı (y − y0 )ıı u(x0 , y) − u(x0 , y0 ) v(x0 , y) − v(x0 , y0 ) = −ıı + (y − y0 ) (y − y0 ) Passando o limite z → z0 (de forma equivalente) x → x0 temos: lim
z→z0
u(x0 , y) − u(x0 , y0 ) f (z) − f (z0 ) = lim −ıı y→y z − z0 (y − y0 ) 0 ∂u ∂v f 0 (z0 ) = −ıı (x0 , y0 ) + (x0 , y0 ) ∂y ∂y ∂v ∂u = (x0 , y0 ) − (x0 , y0 )ıı ∂y ∂y
(3.14)
Comparando as equações eqn 3.13.3 e eqn 3.14.3 temos: ∂u ∂v ∂v ∂u (x0 , y0 ) + (x0 , y0 )ıı = (x0 , y0 ) − (x0 , y0 )ıı ∂x ∂x ∂y ∂y
45
Derivação Complexa Da igualdade de números complexos temos: ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂v ∂u (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂x ∂y Antes de provar a suficiência, provaremos um lema que será muito útil. Lema 3.1. Sejam D ⊂ R2 um aberto e f : D ⊂ R2 7→ R uma função com derivadas parciais e D, contínuas em (x0 , y0 ) ∈ D. Então: f (x0 + λ, y0 + η) − f (x0 , y0 ) =
∂f ∂f (x0 , y0 )λ + (x0 , y0 )η + ξλ + ζη ∂x ∂y
onde ξ → 0 e ζ → 0 quando λ → 0 e η → 0. PROVA: Começamos por escrever a diferença f (x0 + λ, y0 + η) − f (x0 , y0 ) como: f (x0 + λ, y0 + η) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + λ, y0 + η) − f (x0 , y0 + η) + f (x0 , y0 + η) − f (x0 , y0 ) (3.15) Do teorema do valor médio para funções de uma variável real existe t ∈ (0, 1) tal que:
f (x0 + λ, y0 + η) − f (x0 , y0 + η) = Como
∂f (x0 + tλ, y0 + η)λ ∂x
∂f é contínua em D a diferença: ∂x ξ(λ, η) =
∂f ∂f (x0 + tλ, y0 + η) − (x0 , y0 ) ∂x ∂x
tende a zero quando λ → 0 e η → 0. Daí, temos: ∂f f (x0 + λ, y0 + η) − f (x0 , y0 + η) = (x0 , y0 ) + ξ λ ∂x
46
(3.16)
AULA
Variáveis Complexas
3
Do mesmo modo temos: f (x0 , y0 + η) − f (x0 , y0 ) =
∂f (x0 , y0 ) + ζ η ∂y
(3.17)
portanto das equações eqn 3.15, eqn 3.16 e eqn 3.17 temos f (x0 + λ, y0 + η) − f (x0 , y0 ) =
∂f ∂f (x0 , y0 )λ + (x0 , y0 )η + ξλ + ζη ∂x ∂y
e fica provado o lema.
Vamos, agora, provar a suficiência. Teorema 3.2. Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ ∂u ∂v C seja uma função complexa tal que as derivadas parciais , , ∂x ∂x ∂u ∂v e existam em D e são contínuas em z0 = x0 + y0ı . Se as ∂y ∂y condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas em z0 , ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂v ∂u (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂x ∂y então f é derivável em z0 . PROVA: Como, da hipótese,
∂u ∂u e são contínuas, aplicando ∂x ∂y
o lema a u(x, y), temos: ∆u = u(x0 + λ, y0 + η) − u(x0 , y0 ) =
∂u ∂u (x0 , y0 )λ + (x0 , y0 )η + ξ1 λ + ζ1 η ∂x ∂y
(3.18)
onde ξ1 → 0 e ζ1 → 0 quando λ → 0 e η → 0. ∂v ∂v Do mesmo modo, Como, da hipótese, e são contínuas, ∂x ∂y aplicando o lema a v(x, y), temos: ∆v = v(x0 + λ, y0 + η) − v(x0 , y0 ) =
∂v ∂v (x0 , y0 )λ + (x0 , y0 )η + ξ2 λ + ζ2 η ∂x ∂y
(3.19)
47
Derivação Complexa onde ξ2 → 0 e ζ2 → 0 quando λ → 0 e η → 0. Das equações eqn 3.18 e eqn 3.19 temos: ∆w = ∆u + ∆vıı ∂u ∂v ∂u ∂v = + ı λ+ + ı η + ξλ + ζη ∂x ∂x ∂y ∂y
(3.20)
onde omitimos o argumento (x0 , y0 ) das derivadas parciais e ξ = ξ1 + ξ2 e ζ = ζ1 + ζ2 . Das equações de Cauchy-Riemann podemos reescrever a equação eqn 3.20 como: ∂u ∆w = + ∂x ∂u = + ∂x
∂v ∂v ∂u ı λ+ − + ı η + ξλ + ζη ∂x ∂x ∂x ∂v ı (λ + ηıı) + ξλ + ζη ∂x
Dividindo a equação eqn 3.21 por ∆z = λ + ηıı temos: ∆w ∂u ∂v ξλ + ζη ı = + + ∆z ∂x ∂x λ + ηıı
(3.21)
(3.22)
Antes de fazer ∆z → 0 em eqn 3.22 temos que mostrar que ξλ + ζη lim = 0. Para isto tomando o módulo da expressão ∆z→0 λ + ηıı e usando a desigualdade triangular temos: ξλ + ζη ≤ |ξ| λ + |ζ| η (3.23) λ + ηıı λ + ηıı λ + ηıı η λ |λ| = p |η| = p ≤ 1 e ≤ 1 Como λ + ηıı λ + ηıı λ2 + η 2 λ2 + η 2 podemos reescrever eqn 3.23 como: ξλ + ζη ≤ |ξ| + |ζ| (3.24) 0≤ λ + ηıı Passando o limite ∆z → 0 em eqn 3.24 lembrando que ξ → 0 e ζ → 0 quando ∆z → 0 temos: ξλ + ζη ≤0 0≤ λ + ηıı
48
Variáveis Complexas ξλ + ζη = 0 e passando o limite ∆z → 0 em eqn ∆z→0 λ + ηıı 3.22 temos: ∆w ∂u ∂v ı f 0 (z0 ) = lim = + ∆z→0 ∆z ∂x ∂x
e portanto lim
AULA
3
Portanto a derivada f 0 (z0 ) existe e é única. Agora um exemplo de aplicação das equações de Cauchy-Riemann. Em seção anterior vimos que a função f (z) = z 3 era derivável usando para isso a definição de derivada complexa. Por outro lado podemos expressar a função em suas componentes reais e imaginárias da seguinte forma: f (z) = z 3 = f (x + yıı) = (x + yıı)3 = (x + yıı)2 (x + yıı) = (x2 − y2 + 2xyıı)(x + yıı) = x3 − 3xy 2 + (3x2 y − y 3 )ıı Temos então u(x, y) = x3 − 3xy 3 e v(x, y) = 3x2 − y 3 . Derivando com relação a x e a y temos: ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y
= 3x2 − 3y 2 = −6xy = 6xy = 3x2 − 3y 2
Vemos pois, que as equações de Cauchy-Riemann: ∂v ∂u = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x são satisfeitas para todo z = x + yıı ∈ C.
49
Derivação Complexa
3.5
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que derivação de funções complexas em alguns aspectos é semelhante à derivação de funções reais enquanto que em outros aspectos diferem sensivelmente.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 03 constam os seguintes tópicos:
Derivação Complexa Definição da derivação complexa: DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto, z0 ∈ D e f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa. Definimos a derivada de f (•) no ponto z0 , denotada f 0 (z0 ), por: def
f 0 (z0 ) = lim
z→z0
f (z) − f (z0 ) z − z0
Regras de Derivação Complexa Para a derivação complexa temos, entre outras, as seguintes regras: 1. (f + g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) + g 0 (z0 ) 2. (f − g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) − g 0 (z0 ) 3. (f.g)0 (z0 ) = f (z0 ).g 0 (z0 ) + g(z0 ).f 0 (z0 ) 0 f f (z0 ).g 0 (z0 ) − g(z0 ).f 0 (z0 ) (z0 ) = se g(z0 ) 6= 0 4. g g 2 (z0 ) Equações de Cauchy-Riemann Os seguintes teoremas constituem condições necessária e suficiente (respectivamente) para a derivabilidade de uma função complexa:
50
Variáveis Complexas TEOREMA: (condição necessária)
AULA
3
Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C, f (z) = u(x, y) + v(x, y)ıı e f 0 (z) existam na vizinhança de um ponto z0 = x0 + y0ı ∈ C. Então as derivadas parciais de primeira ordem de u e v com relação a x e a y existem e satisfazem: ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂v ∂u (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂x ∂y TEOREMA: (condição suficiente) Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C seja uma ∂u ∂v ∂u ∂v , , e função complexa tal que as derivadas parciais ∂x ∂x ∂y ∂y existam em D e são contínuas em z0 = x0 + y0ı . Se as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas em z0 , ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂v ∂u (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂x ∂y
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos mais alguns aspectos da derivação de funções complexas. Em particular funções holomorfas e a ligação de funções harmonicas com a derivação complexa.
51
Derivação Complexa
ATIVIDADES
Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais duplas.
ATIV. 3.1. Se f (•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto z0 ∈ C então vale a seguinte regra de derivação: (f.g)0 (z0 ) = f (z0 ).g 0 (z0 ) + g(z0 ).f 0 (z0 ). Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção a
demonstração de uma das regras de derivação complexa, ela lhe servirá de guia. ATIV. 3.2. Mostre que as componentes da função complexa f (x+ yıı) = sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y)ıı satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. Comentário: Reveja as derivadas das funções trigonométricas e das funções hiperbólicas.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
52
AULA
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa META: Introduzir o conceito de funções holomorfas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir funções holomorfas e determinar se uma dada função de variáveis complexas é holomorfa. PRÉ-REQUISITOS Aula03 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo II.
4
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa
4.1
Introdução
Caros alunos em nossa aula de hoje veremos mais alguns aspectos da derivação de funções complexas. Em particular funções holomorfas e mostraremos algumas funções holomorfas. Veremos também, a ligação de funções harmônicas com a derivação complexa. Para concluir veremos a forma polar das equações de CauchyRiemann.
4.2
Funções Holomorfas
Iniciaremos pela definição de função holomorfa. Definição 4.1. Sejam D ⊂ C aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função e z0 ∈ D. Dizemos que f (•) é holomorfa em z0 ∈ D se, somente se existe δ > 0 tal que f 0 (z) existe para todo z ∈ Bδ (z0 ). e também, Definição 4.2. Sejam D ⊂ C aberto e f : D ⊂ C 7→ C uma função. Dizemos que f (•) é holomorfa em D se, somente se f 0 (z) existe para todo z ∈ D. OBS 4.1. Para que uma função seja holomorfa em um ponto não é suficiente que seja derivável neste ponto. É necessário que seja derivável em uma vizinhança do ponto em questão. OBS 4.2. Dada uma função complexa f : D ⊂ C 7→ C, z = x+yıı, f (z) = u(x, y) + v(x, y)ıı. Como z¯ = x − yıı podemos escrever: z + z¯ z − z¯ x= ey= . Dai, para f (z) temos: 2 2ıı z + z¯ z − z¯ z + z¯ z − z¯ f (z) = u , +v , ı (4.25) 2 2ıı 2 2ıı
54
Variáveis Complexas
AULA
por outro lado, derivando as expressões para x e y em função de z
4
e z¯ temos: ∂x ∂z ∂x ∂ z¯ ∂y ∂z ∂i ∂ z¯
= 1/2 = 1/2ıı (4.26) = 1/2 = −1/2ıı
Derivando a equação 4.25 com relação a z¯, usando a regra da 1 cadeia, as equações 4.26 e levando em conta que = −ıı temos: ı ∂ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y ı f (z) = + + + ∂ z¯ ∂x ∂ z¯ ∂y ∂ z¯ ∂x ∂ z¯ ∂y ∂ z¯ 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂v 1 ∂v = − + − ı 2 ∂x 2ıı ∂y 2 ∂x 2ıı ∂y (4.27) 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂v 1 ∂v = + ı+ ı− 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 1 ∂u ∂v 1 ∂u ∂v + ı = − + 2 ∂x ∂y 2 ∂y ∂x Se f (•) for holomorfa satisfaz as equações de Cauchy-Riemann ∂u ∂v ∂u ∂v em todos os pontos de D i.e. − = 0 e + = 0. ∂x ∂y ∂y ∂x Dai, da equação 4.27 concluímos que: se f (•) for holomorfa então ∂ f (z) = 0 em todo z ∈ D. Em outras palavras uma função é ∂ z¯ holomorfa quando não depende de z¯. OBS 4.3. As equações de Cauchy-Riemann oferecem uma condição suficiente pa identificação de funções holomorfas i.e. se em f (z) = u(x, y) + v(x, y)ıı, u(•, •), v(•, •) e suas derivadas são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann então f (•) é uma função holomorfa. Exemplo 4.1. A função f : C 7→ C dada por f (z) = z n , n ∈ N é uma função holomorfa. Senão vejamos:
55
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa É fácil verificar que: z n − z0n = (z − z0 )(z n−1 + z n−2 z0 + · · · + zz0n−2 + z0n−1 ) Dai, temos: z n − z0n = z n−1 + z n−2 z0 + · · · + zz0n−2 + z0n−1 z − z0 Passando o limite z → z0 e usando a definição de derivada temos: f 0 (z0 ) = lim
z→z0
z n − z0n z − z0
= lim (z n−1 + z n−2 z0 + · · · + zz0n−2 + z0n−1 ) z→z0
= z0n−1 + z0n−2 z0 + · · · + z0 z0n−2 + z0n−1 = z0n−1 + z0n−1 + · · · + z0n−1 + z0n−1 | {z } n vezes
= nz0n−1 Daí, f (z) = z n é uma função holomorfa em C i.e. f 0 (z) existe em todo o plano complexo. Por outro lado. 2 z¯ , z 6= 0 z Exemplo 4.2. A função f : C 7→ C dada por f (z) = 0 ,z = 0 não é holomorfa em ponto nenhum de C. Pois, da observação acima temos: ∂f z¯ = 2 6= 0, z 6= 0 ∂ z¯ z Por outro lado no ponto z = 0 temos: f (z) − f (0) f (z) z¯2 = lim = lim 2 z→0 z→0 z z→0 z z−0
f 0 (0) = lim
Se a derivada existe em z = 0 ela terá que ser independente do caminho com que z → 0. Vamos escolher três caminhos distintos:
56
Variáveis Complexas
AULA
Caminho 1: ao longo do eixo real x. Daí, z = x + 0ıı, z¯ = x − 0ıı
4
e z → 0 equivale a x → 0. z¯2 (x − 0ıı)2 x2 = lim = lim =1 z→0 z 2 x→0 (x + 0ıı )2 x→0 x2
f 0 (0) = lim Caminho 2:
ao longo do eixo imaginário y. Daí, z = 0 + yıı,
z¯ = 0 − yıı e z → 0 equivale a y → 0. z¯2 (0 − yıı)2 −y 2 = lim = lim =1 z→0 z 2 y→0 (0 + yıı )2 x→0 −y 2
f 0 (0) = lim
Como a avaliação da derivada de f (•) no ponto zero seguindo os caminhos 1 e 3 são iguais temos que as equações de CauchyRiemann são satisfeitas em z = 0 pois, as equações de CauchyRiemann são obtidas de derivações seguindo os eixos real e imaginário. No entanto para o caminho 3 temos: Caminho 3: ao longo da reta y = x. Daí, z = x + xıı, z¯ = x − xıı e z → 0 equivale a x → 0. z¯2 (x − xıı)2 x(1 − ı )2 (1 − ı )2 = lim = lim = = −1 z→0 z 2 x→0 (x + xıı )2 x→0 x(1 + ı )2 (1 + ı )2
f 0 (0) = lim
Vemos daí, que f (•) também não é derivável em z = 0. Vamos agora a mais uma definição. Definição 4.3. Seja f : C 7→ C uma função complexa. Dizemos que f é uma função inteira se holomorfa em todo C. OBS 4.4. A função f (z) = z n , n ∈ N, conforme o exemplo acima é uma função inteira. Vamos encerrar esta seção com um teorema que será usado mais tarde. Teorema 4.1. Seja D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa em D e z0 ∈ D então: f (z) = f 0 (z0 )(z − z0 ) + η(z − z0 )
57
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa onde lim η = 0. z→z0
PROVA: Definindo η por:
η=
f (z) − f (z0 ) − f 0 (z − 0) z − z0
temos que: f (z) = f 0 (z0 )(z − z0 ) + η(z − z0 ) Por outro lado, como f (•) é holomorfa em D é , em particular, holomorfa em z0 e: lim η = lim
z→z0
4.3
z→z0
f (z) − f (z0 ) 0 − f (z − 0) = f 0 (z0 ) − f 0 (z0 ) = 0 z − z0
Forma Polar das Equações de Cauchy-Riemann
Podemos expressar as equações de Cauchy-Riemann usando coordenadas polares (forma polar de números complexos). A saber:
Teorema 4.2. As equações de Cauchy-Riemann, em coordenadas polares, são dadas por: ∂u 1 ∂v = ∂r r ∂θ ∂v 1 ∂u =− ∂r r ∂θ
(4.28)
PROVA: Em coordenadas polares temos: x = r cos(θ) e y = p r sin(θ) e suas inversas: r = x2 + y 2 e θ = tan−1 (y/x). derivando
58
AULA
Variáveis Complexas
4
temos: ∂r x r cos(θ) =p = cos(θ) = 2 2 ∂x r x +y ∂r y r sin(θ) =p = = sin(θ) 2 2 ∂y r x +y
(4.29)
r cos(θ) cos(θ) ∂θ x = = = 2 2 2 ∂x x +y r r y r sin(θ) sin(θ) ∂θ =− 2 =− =− 2 2 ∂y x +y r r Usando a regra da cadeia para funções de duas variáveis reais e as equações eqn 4.29 para a função u(•, •) temos: ∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂u 1 ∂u = cos(θ) + sin(θ) ∂r r ∂θ ∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ = + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂u 1 ∂u = sin(θ) + cos(θ) ∂r r ∂θ Do mesmo modo para a função v(•, •) temos:
(4.30)
∂v ∂r ∂v ∂θ ∂v = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂v 1 ∂v = cos(θ) − sin(θ) ∂r r ∂θ (4.31) ∂v ∂r ∂v ∂θ ∂v = + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂v 1 ∂v = sin(θ) + cos(θ) ∂r r ∂θ ∂v ∂u = , usando as equações Da equação de Cauchy-Riemann ∂x ∂y eqn 4.30.1 e eqn 4.31.2 temos: ∂v 1 ∂u ∂u 1 ∂v − cos(θ) − + sin(θ) = 0 (4.32) ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ Da mesma forma, da equação de Cauchy-Riemann
∂u ∂v = − , ∂y ∂x
usando as equações eqn 4.30.2 e eqn 4.31.1 temos: ∂u 1 ∂v ∂v 1 ∂u − sin(θ) + + cos(θ) = 0 ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ
(4.33)
59
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por cos(θ) e da equação eqn 4.33 por sin(θ) e somando temos: ∂u 1 ∂v − =0 ∂r r ∂θ
(4.34)
Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por sin(θ) e da equação eqn 4.33 por cos(θ) e subtraindo temos: ∂v 1 ∂u + =0 ∂r r ∂θ
(4.35)
As equações eqn 4.34 e eqn 4.35 constituem-se a forma polar das equações de Cauchy-Riemann. OBS 4.5. Veremos aqui como derivar uma função complexa dada na forma polar. Seja f : D ⊂ C 7→ C dada na forma polar: f (z) = f (r(cos(θ) + sin(θ)ıı)) = u(r, θ) + v(r, θ)ıı
(4.36)
Derivando a equação eqn 4.36 com relação a r e usando em f (•) a ∂ (r(cos(θ) + sin(θ)ıı)) = cos(θ) + regra da cadeia lembrando que ∂r sin(θ)ıı temos: f 0 (r(cos(θ) + sin(θ)ıı)).(cos(θ) + sin(θ)ıı) =
∂u ∂v (θ) + (r, θ)ıı ∂r ∂r
Fazendo o produto da equação acima por cos(θ) − sin(θ)ıı e lembrando que (cos(θ) + sin(θ)ıı).(cos(θ) − sin(θ)ıı) = 1 e cos(θ) − sin(θ)ıı = cos(−θ) + sin(−θ)ıı temos: ∂u ∂v f 0 (z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ıı). (r, θ) + (r, θ)ıı ∂r ∂r
(4.37)
Por outro lado, derivando a equação eqn 4.36 com relação a θ e ∂ usando em f (•) a regra da cadeia lembrando que (r(cos(θ) + ∂θ sin(θ)ıı)) = r(− sin(θ) + cos(θ)ıı) temos: f 0 (r(cos(θ)+sin(θ)ıı)).(r(− sin(θ)+cos(θ)ıı)) =
60
∂u ∂v (r, θ)+ (r, θ)ıı ∂θ ∂θ
AULA
Variáveis Complexas 1 = −ıı temos: r(− sin(θ) + cos(θ)ıı) = ı r(cos(θ) + sin(θ)ıı).ıı e a equação acima pode ser reescrita como: Levando em conta que
f 0 (r(cos(θ) + sin(θ)ıı)).(r(cos(θ) + sin(θ)ıı))ıı =
4
∂v ∂u (r, θ) + (r, θ)ıı ∂θ ∂θ
1 (cos(θ) − sin(θ)ıı) e rıı lembrando que (cos(θ) + sin(θ)ıı).(cos(θ) − sin(θ)ıı) = 1 e cos(θ) − Fazendo o produto da equação acima por
sin(θ)ıı = cos(−θ) + sin(−θ)ıı temos: 1 ∂u ∂v 0 f (z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ıı). (θ) + (r, θ)ıı rıı ∂θ ∂θ
4.4
(4.38)
Funções Harmônicas
Nesta seção veremos que as componentes de uma função complexa holomorfa são funções harmônicas. Começando pela definição Definição 4.4. Seja u : D ⊂ R2 7→ R uma função real. Dizemos que u(•, •) é harmônica em D se, somente se suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em D e satisfazem: ∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y
(4.39)
OBS 4.6. A equação eqn 4.39 é conhecida com equação de Laplace no plano. Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa holomorfa em D. Veremos em uma aula mais adiante que neste caso tanto f (z) = u(x, y) + v(x, y)ıı quanto suas componentes u(x, y) e v(x, y) possuem derivadas contínuas de qualquer ordem em D. Além de que satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. A saber: ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
(4.40)
61
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa Daí, derivando eqn 4.40.1 com relação a x e eqn 4.40.2 com relação a y temos: ∂2u ∂2v = ∂x2 ∂x∂y ∂2v ∂2u =− 2 ∂y ∂y∂x
(4.41)
Levando em conta que as derivadas parciais de u(•, •) e v(•, •) são ∂2v ∂2v contínuas temos que = . Daí, somando as equações ∂x∂y ∂y∂x eqn 4.41.1 e eqn 4.41.2 temos: ∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y
(4.42)
Do mesmo modo podemos mostrar que: ∂2v ∂2v + =0 ∂x2 ∂y 2
(4.43)
E portanto, u(•, •) e v(•, •) são funções harmônicas. OBS 4.7. Se u(x, y) e v(x, y) são componentes de uma função f (z) = u(x, y) + v(x, y)ıı holomorfa em algum domínio D ⊂ C dizemos que u e v são funções harmônicas conjugadas. Veremos agora um exemplo, de como partindo de uma função harmônica u(x, y) determinar sua harmônica conjugada v(x, y) e reconstruir a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y). Exemplo 4.3. Dada u(x, y) = 2x(1 − y). Mostre que u(x, y) é harmônica, determine sua harmônica conjugada v(x, y) e a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y). SOLUÇÃO: derivando parcialmente u(x, y) com relação a x e a
62
AULA
Variáveis Complexas
4
y duas vezes temos: ∂u = 2(1 − y) ∂x 2 ∂ u =0 ∂x2 ∂u = −2x ∂y ∂2u =0 ∂y 2
(4.44)
Somando as equações eqn 4.44.2 e eqn 4.44.4 temos: ∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y Logo u(x, y) é uma função harmônica. Vejamos agora como utilizar as equações de Cauchy-Riemann para determinar a harmônica conjugada de u(x, y). As equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são: ∂v ∂u = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
(4.45)
Das equações eqn 4.45.1 e eqn 4.44.1 e integrando temos: ∂v = 2(1 − y) ∂y Z v(x, y) = 2(1 − y)dy
(4.46)
= 2y − y 2 + h(x) onde h(x) é uma função a ser determinada. Derivando a equação eqn 4.46.3 com relação a x temos: ∂v = h0 (x) ∂x
(4.47)
Substituindo as equações eqn 4.47 e eqn 4.44.3 em eqn 4.45.2
63
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa e integrando temos: h0 (x) = 2x Z h(x) = 2xdx
(4.48)
= x2 Substituindo a equação eqn 4.48.3 em eqn 4.46.3 temos: v(x, y) = 2y + x2 − y 2
(4.49)
A equação eqn 4.49 é a harmônica conjugada de u(x, y). a função f (z) = u(x, y) + v(x, y)ıı é portanto holomorfa e é dada por: f (z) = f (x + yıı) = 2x(1 − y) + (2y + x2 − y 2 )ıı
(4.50)
Fazendo em eqn 4.49 y = 0 temos: f (x + 0ıı) = f (x) = 2x + x2ı Logo temos: f (z) = 2z + ı z 2
4.5
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que derivação de funções complexas em alguns aspectos é semelhante à derivação de funções reais enquanto que em outros aspectos diferem sensivelmente.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 04 constam os seguintes tópicos: Funções Holomorfas
64
Variáveis Complexas Definição de Função Holomorfa em um ponto.
AULA
4
DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função e z0 ∈ D. Dizemos que f (•) é holomorfa em z0 ∈ D se,somente se existe δ > 0 tal que f 0 (z) existe para todo z ∈ Bδ (z0 ). Definição de função holomorfa. DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto e f : D ⊂ C 7→ C uma função. Dizemos que f (•) é holomorfa em D se,somente se f 0 (z) existe para todo z ∈ D. Definição de função inteira. DEFINIÇÃO: Seja f : C 7→ C uma função complexa. Dizemos que f é uma função inteira se holomorfa em todo C. Forma Polar das Equações de Cauchy-Riemann As equações de Cauchy-Riemann, em coordenadas polares, são dadas por: ∂u 1 ∂v = ∂r r ∂θ (4.51) ∂v 1 ∂u =− ∂r r ∂θ Derivação de Funções Complexas na Forma Polar Derivação com relação a r:
0
f (z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ıı).
∂v ∂u (r, θ) + (r, θ)ıı ∂r ∂r
Derivação com relação a θ: 1 f (z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ıı). rıı 0
∂u ∂v (θ) + (r, θ)ıı ∂θ ∂θ
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula vamos começar o estudo da extensão da definição de algumas funções do campo real para o campo com-
65
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa plexo. Em particular as funções exponencial e sua inversa a função logaritmo.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 4.1. Dada u(x, y) = y 3 − 3x2 y. Mostre que u(x, y) é harmônica, determine sua harmônica conjugada v(x, y) e a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y).
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
exemplos eles lhes servirão de guia. ATIV. 4.2. Seja f : C 7→ C dada por f (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 + a0 , onde an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ C. Mostre que f (•) é uma função holomorfa
Comentário: Use o fato de que f (z) = z n , ∀n ∈ N é uma função holomorfa.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008.
66
Variáveis Complexas
AULA
FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução
4
às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
67
AULA
Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 META: Definir algumas funções elementares no campo dos complexos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir algumas funções elementares no campo dos complexos e provar algumas de suas propriedades. PRÉ-REQUISITOS Aula 01 de Variáveis Complexas.
5
Funções Elementares do Cálculo Complexos 1
5.1
Introdução
Caros alunos iniciaremos o estudo de algumas funções de variáveis complexas. Estenderemos, nesta aula, as definições das funções exponencial e logaritmo ao domínio dos números complexos e estudaremos algumas de suas propriedades.
5.2
Função Exponencial
Se uma função f (•) de variável complexa z = x+uıı se reduzirá, no campo dos reais, a velha e conhecida função exponencial devemos exigir que: f (x + 0ıı) = ex para todo real x. Com isto em mente vamos à definição. Definição 5.1. Para todo z ∈ C a função exponencial calculada no ponto z = x + yıı, denotada exp(z) é definida por: def
exp(z) = ex (cos(y) + sin(y)ıı)
(5.52)
OBS 5.1. Claramente a definição acima concorda com o que esperamos inicialmente da função exponencial pois, def
exp(x + 0ıı) = ex (cos(0) + sin(0)ıı) = ex . As partes real e imaginária da função exponencial são: u(x, y) = ex cos(y) v(x, y) = ex sin(y)
(5.53)
Daí, derivando eqn 6.64.1 e eqn 6.64.2 com relação a x e com
70
AULA
Variáveis Complexas
5
relação a y temos: ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y
= ex cos(y) = −ex sin(y) (5.54) = ex sin(y) = ex cos(y)
Das equações eqn 6.65 podemos verificar facilmente que: ∂v ∂u = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
(5.55)
Logo as equações de Cauchy-Riemman são satisfeitas. E da continuidade das derivadas das equações eqn 6.65 temos que a função exponencial exp(•) é holomorfa. OBS 5.2. Como ex esta definida ∀x ∈ R e cos(y) e sin(y) estão definidas ∀y ∈ R temos que exp(z) está definida ∀z ∈ C i.e. Dom(exp) = C. Por outro lado, como Img(ex cos(y)) = R e Img(ex sin(y)) = R poderíamos pensar que a imagem da função exponencial seria todo o plano complexo. Porém, como ex > 0, ∀x ∈ R e as funções cos(y) e sin(y) não se anulam ao mesmo tempo em nenhum y ∈ R temos que exp(z) 6= 0, ∀z ∈ C. Daí, Img(exp) = C∗ .
5.3
Propriedades da Função Exponencial
Listaremos, aqui, algumas das propriedades da função exponencial no campo dos complexos. Algumas das propriedades da função exponencial no campo dos reais valem para o campo dos complexos. Adicionalmente, teremos algumas outras propriedades da função
71
Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 y +π
x −π
Figura 5.1: Domínio da função exponencial exponencial que valem apenas no campo dos complexos (a exemplo da periodicidade). • ∀z1 , z2 ∈ C, exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 ) • ∀z ∈ C, exp(−z) =
1 exp(z)
• ∀k ∈ Z, ∀z ∈ C, exp(kz) = (exp(z))k • ∀z ∈ C, exp(¯ z ) = exp(z) • ∀z ∈ C, exp(z + 2πıı) = exp(z) OBS 5.3. A última propriedade vale apenas no campo dos complexos e nos diz que a função exponencial é periódica de período imaginário 2πıı. Com isso a função exponencial no campo dos complexos é uma função multiforme. Em outras palavras uma função não injetora. Para recuperar o caráter injetor podemos restringir o domínio de definição da função exponencial à faixa Dom(exp(z)) = R × [−π, +π) (ver figura 5.1). Quanto a imagem continua a mesma Img(exp(z)) = C∗ i.e. todo o plano complexo exceto a origem. Faremos aqui a demonstração de apenas uma das propriedades da função exponencial. A saber:
72
Variáveis Complexas
AULA
Demonstração da Primeira Propriedade: Sejam z1 , z2 ∈ C
5
dados por: z1 = x1 + y1ı e z2 = x2 + y2ı . Daí, temos: exp(z1 ) exp(z2 ) = ex1 (cos(y1 ) + sin(y1 )ıı)ex2 (cos(y2 ) + sin(y2 )ıı) = ex1 +x2 (cos(y1 ) cos(y2 ) + sin(y1 ) cos(y2 )ıı + sin(y2 ) cos(y1 )ıı − sin(y1 ) sin(y2 )) = ex1 +x2 (cos(y1 ) cos(y2 ) − sin(y1 ) sin(y2 ) + (sin(y1 ) cos(y2 ) + sin(y2 ) cos(y1 ))ıı) = ex1 +x2 (cos(y1 + y2 ) + sin(y1 + y2 )ıı) = exp(z1 + z2 ) OBS 5.4. Para um z ∈ C puramente real z = x + 0ıı temos: exp(z) = exp(x + 0ıı) = ex (cos(0) + sin(0)ıı) = ex Como potência de base e as propriedades da função exponencial não entram em conflito com as propriedades usuais das potências. E para um z ∈ C puramente imaginário z = 0 + yıı temos: exp(z) = exp(0 + yıı) = e0 (cos(y) + sin(y)ıı) = cos(y) + sin(y)ıı Desta forma podemos introduzir a notação devida a Eüler: exp(yıı) = eyıı = cos(y) + sin(y)ıı e teremos um nova forma de escrever um número complexo. Senão vejamos: Dado z ∈ C, z = x + yıı em sua forma polar z = r(cos(θ) + sin(θ)ıı). Tomaremos a = ln(r) e podemos escrever o número complexo z de diversas formas. A saber: z = x + yıı = r(cos(θ) + sin(θ)ıı) = reθıı = ea+θıı
73
Funções Elementares do Cálculo Complexos 1
5.4
Derivada da Função Exponencial
Do exposto na seção anterior, sabemos que a função exponencial exp(•) é holomorfa ∀z ∈ C e portanto sua derivada pode ser dada por: ∂ exp(x + yıı) ∂x ∂ x = (e cos(θ) + ex sin(θ)ıı) ∂x
exp0 (z) =
= ex cos(θ) + ex sin(θ)ıı
(5.56)
= exp(x + yıı) = exp(z) OBS 5.5. Vemos pois que a função exponencial no campo dos complexos tem a mesma derivada que a função exponencial no campo dos reais i.e. exp0 (z) = exp(z).
5.5
Função Logaritmo
O fato da função exponencial ser periódica de período imaginário 2πıı transforma-se em um problema ao se definir a função logaritmo como a inversa da função exponencial pois tira da função exponencial a propriedade de função injetora que a função exponencial no campo dos reais tem. Definição 5.2. Definimos a função ´logaritmo em um ponto z ∈ C, z = reθıı , r ∈ [0, ∞) e θ ∈ [−π, +π), por: def
log(z) = ln(r) + (θ + 2kπ)ıı, k ∈ Z
(5.57)
A função logaritmo assim definida é uma função multiforme com infinitos valores associados a cada ponto z ∈ C. Cada valor de k ∈
74
Variáveis Complexas
AULA
Z corresponde a um ramo da função logaritmo. O ramo principal
5
corresponde a k = 0 i.e. def
log(z) = ln(r) + θıı
(5.58)
OBS 5.6. Vemos então que a função logaritmo restrita a cada ramo é uma função injetora. Em particular o ramo principal 6.69.
5.6
Propriedades da Função Logaritmo
Listaremos, aqui, algumas das propriedades da função logaritmo no campo dos complexos. Algumas das propriedades da função logaritmo no campo dos reais valem para o campo dos complexos. • ∀z1 , z2 ∈ C∗ , log(z1 .z2 ) = log(z1 ) + log(z2 ) z1 ∗ • ∀z1 , z2 ∈ C , log = log(z1 ) − log(z2 ) z2 • ∀z ∈ C∗ , exp(log(z)) = z Faremos aqui a demonstração de apenas uma das propriedades da função logaritmo. A saber: Demonstração da Primeira Propriedade: Sejam z1 , z2 ∈ C∗ dados por: z1 = r1 eθ1ı e z2 = r2 eθ2ı . Daí, temos: log(z1 .z2 ) = log(r1 eθ1ı .r2 eθ2ı ) = log(r1 r2 e(θ1 +θ2 )ıı ) = ln(r1 r2 ) + (θ1 + θ2 + 2kπ)ıı, ∀k ∈ Z = ln(r1 ) + ln(r2 ) + (θ1 + 2mπ) + (θ2 + 2nπ)ıı, ∀m, n ∈ Z = (ln(r1 ) + (θ1 + 2mπ)) + (ln(r2 ) + (θ2 + 2nπ)ıı), ∀m, n ∈ Z = log(z1 ) + log(z2 )
75
Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 OBS 5.7. Na demonstração acima, a passagem do passo 3 para o passo 4 é justificada pois, para cada k ∈ Z podemos escrever k = m + n de infinitas maneiras. OBS 5.8. A propriedade 3 diz que a função logaritmo log(•) é a inversa à direita da função exponencial exp(•) porém, não é inversa à esquerda. Tomando z = x + yıı temos: log(exp(z)) = log(ex .eyıı ) = ln(ex ) + (y + 2kπ)ıı, ∀k ∈ Z = x + yıı + 2kπ, ∀k ∈ Z = z + 2kπ, ∀k ∈ Z 6= z devido ao caráter de função multivalorada do logaritmo definido por eqn 6.68 porém, se nos restringirmos ao ramo principal a função log(•) é também inversa à esquerda da função exponencial exp(•).
5.7
Derivada da Função Logaritmo
Antes de calcular a derivada da função logaritmo vejamos como reescrever a equações que determinam a derivada de uma função f (•) complexa em coordenadas polares, vista na aula anterior, pondo z = reθıı . Da aula anterior se f (z) = f (r(cos(θ)+sin(θ)ıı)) = u(r, θ) + v(r, θ)ıı temos: ∂u 1 ∂v = ∂r r ∂θ ∂v 1 ∂u =− ∂r r ∂θ
76
AULA
Variáveis Complexas
5
para as equações de Cauchy-Riemann e ∂u ∂v 0 f (z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ıı). (r, θ) + (r, θ)ıı ∂r ∂r ∂u ∂v 1 (θ) + (r, θ)ıı = (cos(−θ) + sin(−θ)ıı). rıı ∂θ ∂θ Para a derivada de f (•). Pondo z = reθıı podemos reescrever as equações acima como:
∂u ∂v f (z) = e . (r, θ) + (r, θ)ıı ∂r ∂r ∂u ∂v 1 . (θ) + (r, θ)ıı = ∂θ ∂θ ı reθıı 0
−θıı
As partes real e imaginária da função logaritmo são: u(r, θ) = ln(r)
(5.59)
v(r, θ) = θ + 2kπ, ∀k ∈ Z Daí, derivando eqn 6.70.1 e eqn 6.70.2 com relação a x e com relação a y temos: ∂u ∂r ∂u ∂θ ∂v ∂r ∂v ∂θ
1 r =0 =
(5.60) =0 =1
Das equações eqn 6.71 podemos verificar facilmente que: u(r, θ) = ln(r)
(5.61)
v(r, θ) = θ + 2kπ, ∀k ∈ Z Logo as equações de Cauchy-Riemman são satisfeitas. E da continuidade das derivadas das equações eqn 6.71 temos que a função logaritmo log(•) é holomorfa. Quanto a derivada da função logaritmo com u(r, θ) = ln(r) e
77
Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 v(r, θ) = θ + 2kπ, ∀k ∈ Z temos: ∂u ln0 (z) = e−θıı . (r, θ) + ∂r ∂ −θıı =e . ln(r) + ∂r 1 = e−θıı r 1 = θıı re 1 = z
∂v (r, θ)ıı ∂r ∂ (θ + 2kπ)ıı ∂r (5.62)
OBS 5.9. Vemos pois que a função logaritmo no campo dos complexos tem a mesma derivada que a função logaritmo no campo 1 dos reais i.e. ln0 (z) = . z
5.8
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que a função exponencial e a função logaritmo podem ser estendidas de modo intuitivo no domínio dos números complexos mantendo suas propriedades originais praticamente intactas.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 05 constam os seguintes tópicos:
Função Exponencial Definimos a função exponencial da seguinte forma: Definição:
Para todo z ∈ C a função exponencial calculada no
ponto z = x + yıı, denotada exp(z) é definida por: def
exp(z) = ex (cos(y) + sin(y)ıı)
78
Variáveis Complexas Algumas Propriedades da Função Exponencial
AULA
5
A função exponencial assim definida tem as seguintes propriedades:
• ∀z1 , z2 ∈ C, exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 ) • ∀z ∈ C, exp(−z) =
1 exp(z)
• ∀k ∈ Z, ∀z ∈ C, exp(kz) = (exp(z))k • ∀z ∈ C, exp(¯ z ) = exp(z) • ∀z ∈ C, exp(z + 2πıı) = exp(z) Derivada da Função Exponencial A derivada da função exponencial exp(•) no campo dos complexos é dada por: exp0 (z) = exp(z) Função Logaritmo Definimos a função logaritmo da seguinte forma: Definição:
Definimos a função logaritmo em um ponto z ∈ C,
z = reθıı , r ∈ [0, ∞) e θ ∈ [−π, +π), por: def
log(z) = ln(r) + (θ + 2kπ)ıı, k ∈ Z Algumas Propriedades da Função Logaritmo A função logaritmo assim definida tem as seguintes propriedades:
• ∀z1 , z2 ∈ C∗ , log(z1 .z2 ) = log(z1 ) + log(z2 ) z1 ∗ • ∀z1 , z2 ∈ C , log = log(z1 ) − log(z2 ) z2
79
Funções Elementares do Cálculo Complexos 1 • ∀z ∈ C∗ , exp(log(z)) = z
Derivada da Função Logaritmo A derivada da função logaritmo log(•) no campo dos complexos é dada por: log0 (z) =
1 z
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula vamos continuaremos o estudo da extensão da definição de algumas funções do campo real para o campo complexo. Em particular as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 5.1. Considere a função exponencial exp(•) no campo dos complexos e mostre que:
∀k ∈ Z, ∀z ∈ C, exp(kz) = (exp(z))k Comentário: Use o princípio da indução. ATIV. 5.2. Seja λ ∈ C e defina a função: def
z λ = exp(λ log(z)), ∀z ∈ C
80
Variáveis Complexas
AULA
Mostre, que se tomarmos o ramo principal de log(•) a função assim
5
definida é holomorfa e sua derivada é dada por: d λ z = λz λ−1 dz Comentário: Use a regra da cadeia.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
81
AULA
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 META: Definir mais algumas funções elementares no campo dos complexos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir mais algumas funções elementares no campo dos complexos e provar algumas de suas propriedades. PRÉ-REQUISITOS Aula 01 de Variáveis Complexas.
6
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2
6.1
Introdução
Caros alunos dando continuidade ao estudo de algumas funções de variáveis complexas estenderemos, nesta aula, as definições das funções trigonométricas e das funções hiperbólicas ao domínio dos números complexos. Começaremos pelas funções trigonométricas, mais precisamente pela função seno.
6.2
Funções Trigonométricas
Começaremos pelas definições das funções seno e cosseno pois, serviram de base para definição das demais funções trigonométricas. Como vimos anteriormente a fórmula de Eüler para variáveis complexas escreve-se assim: ∀θ ∈ R, eθıı = cos(θ) + sin(θ)ıı
(6.63)
Trocando em eqn. 6.63 θ por −θ e levando em conta que as funções seno e cosseno de reais são função par e função ímpar respectivamente, teremos: eθıı = cos(θ) + sin(θ)ıı e−θıı = cos(θ) − sin(θ)ıı Subtraindo e adicionando as equações eqn. 6.63 temos: θıı −θıı eθıı − e−θıı sin(θ) = e − e = −ıı 2ıı 2 θıı − e−θıı e cos(θ) = 2
(6.64)
(6.65)
Desta forma é natural estender a definição das funções seno e cosseno no domínio dos complexos por: Para a função seno
84
Variáveis Complexas
AULA
Definição 6.1. Para todo z ∈ C, definimos a função seno, calcu-
6
lada no ponto z, denotada sin(z) por: def
sin(z) = −ıı
ezıı − e−zıı 2
(6.66)
Para a função cosseno Definição 6.2. Para todo z ∈ C, definimos a função cosseno, calculada no ponto z, denotada cos(z) por: def
cos(z) =
ezıı + e−zıı 2
(6.67)
As definições das funções tangente, cotangente, secante e cosecante no campo no campo dos números reais são feitas à partir das funções seno e cosseno. No campo dos números complexos segue como as mesmas definições. A saber: Para a função tangente: Definição 6.3. Para todo z ∈ C a função tangente calculada no ponto z, denotada tan(z) é definida por: def
tan(z) =
sin(z) cos(z)
(6.68)
Para a função cotangente: Definição 6.4. Para todo z ∈ C a função cotangente calculada no ponto z, denotada cot(z) é definida por: def
cot(z) =
cos(z) sin(z)
(6.69)
Para a função secante: Definição 6.5. Para todo z ∈ C a função secante calculada no ponto z, denotada sec(z) é definida por: def
sec(z) =
1 cos(z)
(6.70)
85
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 Para a função cosecante: Definição 6.6. Para todo z ∈ C a função cosecante calculada no ponto z, denotada csc(z) é definida por: def
csc(z) =
1 sin(z)
(6.71)
Alternativamente, a exemplo das funções seno e cosseno, podemos definir as funções tangente, cotangente, secante e cosecante usando a função exponencial. A saber: ezıı − e−zıı ezıı + e−zıı ezıı + e−zıı cot(z) = ı zıı e − e−zıı 2 sec(z) = zıı e + e−zıı 2ıı csc(z) = zıı e − e−zıı tan(z) = −ıı
6.3
(6.72)
Propriedades das Funções Trigonométricas
As propriedades das função trigonométricas são as mesmas no campo dos reais quanto no campo dos complexos. A seguir listaremos algumas e faremos a demonstração de uma delas. i) ∀z ∈ C, cos2 (z) + sin2 (z) = 1 ii) ∀z ∈ C, sec2 (z) − tan2 (z) = 1 iii) ∀z ∈ C, cot2 (z) − csc2 (z) = 1 iv) ∀z ∈ C, sin(−z) = − sin(z) v) ∀z ∈ C, cos(−z) = cos(z) vi) ∀z ∈ C, tan(−z) = − tan(z)
86
AULA
Variáveis Complexas
6
vii) ∀z, w ∈ C, cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w) viii) ∀z, w ∈ C, sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) ix) ∀z, w ∈ C, tan(z + w) =
tan(z) + tan(w) 1 + tan(z) tan(w)
1 = 2
sin(2z) 1+ 2
1 xi) ∀z ∈ C, sin (z) = 2
sin(2z) 1− 2
x) ∀z ∈
C, cos2 (z)
2
Demonstraremos aqui que: ∀z, w ∈ C, cos(z +w) = cos(z) cos(w)− sin(z) sin(w). Demonstração: Das definições das funções sin(•) e cos(•) temos: e(z+w)ıı + e−(z+w)ıı 2 ezıı + e−zıı cos(z) = 2 ewıı + e−wıı cos(w) = 2 ezıı − e−zıı sin(z) = −ıı 2 ewıı − e−wıı sin(z) = −ıı 2
cos(z + w) =
(6.73)
Fazendo o produto das equações eqn 6.73.2 e eqn 6.73.3 temos: ezıı + e−zıı ewıı + e−wıı 2 2 ı ı ı zı −zı wı (e + e )(e + e−wıı ) = 4 ı wıı zı −zı e e + e ı ewıı + ezıı e−wıı + e−zıı e−wıı = 4 ı ı (z+w)ı (w−z)ı e +e + e(z−w)ıı + e−(z+w)ıı = 4
cos(z) cos(w) =
(6.74)
87
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 Fazendo o produto das equações eqn 6.73.4 e eqn 6.73.5 temos: ezıı − e−zıı ewıı − e−wıı 2 2 (ezıı − e−zıı )(ewıı − e−wıı ) =− 4 ı wıı zı −zı e e − e ı ewıı − ezıı e−wıı + e−zıı e−wıı =− 4 ı ı (z+w)ı (w−z)ı −e +e + e(z−w)ıı − e−(z+w)ıı = 4
sin(z) sin(w) = ı 2
(6.75)
Subtraindo as equações eqn 6.74 e eqn 6.75 temos: 2e(z+w)ıı + 2e−(z+w)ıı 4 ı (z+w)ı e + e−(z+w)ıı = 2
cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w) =
(6.76)
comparando as equações eqn 6.73.1 e eqn 6.76 temos: cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w)
6.4
(6.77)
Funções Trigonométricas Inversas
As funções trigonométricas inversas podem ser deduzidas das expressões de definição das funções trigonométricas. Aqui faremos a dedução de uma delas. A saber: √ 1 log(z + 1 − z 2 ) ı √ 1 cos−1 (z) = log(z + z 2 − 1) ı 1 1 + zıı −1 tan (z) = log 2ıı 1 − zıı 1 z +ı −1 cot (z) = log 2ıı z −ı ! √ 2 1 1 − z z + sec−1 (z) = log ı z
i) sin−1 (z) = ii) iii) iv)
v)
88
AULA
Variáveis Complexas 1 vi) csc−1 (z) = log ı
z+
√
z2 − 1 z
6
!
Demonstraremos aqui que: sin−1 (z) =
√ 1 log(z + 1 − z 2 ). ı
Demonstração: Da definição de função inversa temos: sin(w) = z ↔ w = sin−1 (z) Da definição da função sin(w) temos: sin(w) =
ewıı − e−wıı =z 2ıı
(6.78)
por outro lado, fazendo na equação eqn 6.78 ξ = ewıı temos: ξ − ξ −1 =z 2ıı ξ−ξ
−1
(6.79)
= 2zıı
Fazendo o produto da equação eqn 6.79 por ξ temos: ξ 2 − 1 = 2zııξ (6.80) ξ 2 − 2zııξ − 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau eqn 6.80 para ξ temos: ξ = zıı + Onde sabemos que
√
p 1 − z2
(6.81)
1 − z 2 é uma função multivalorada. Por outro
lado, como ξ = ewıı da equação eqn 6.81 temos: ewıı = zıı +
p 1 − z2
(6.82)
Invertendo a função exponencial em eqn 6.82, levando em conta que ewıı = e(w−2kπ)ıı e que w = sin−1 (z) temos: p wıı = 2kπıı + log(zıı + 1 − z 2 ) p 1 sin−1 (z) = 2kπ + log(zıı + 1 − z 2 ) ı
(6.83)
89
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 Vemos então que a função sin−1 (z) tem infinitos valores porém, escolhendo o ramo principal onde sin−1 (0) = 0 temos k = 0 e da equação eqn 6.83 podemos escrever: sin−1 (z) =
6.5
p 1 log(zıı + 1 − z 2 ) ı
Derivada das Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas estendidas ao campo dos complexos têm as seguintes derivadas: i) cos0 (z) = − sin(z) ii) sin0 (z) = cos(z) iii) tan0 (z) = sec2 (z) iv) cot0 (z) = − csc2 (z) v) sec0 (z) = sec(z) tan(z) vi) csc0 (z) = − csc(z) cot(z) Faremos a demonstração apenas de um ítem acima. A saber: Derivada da Função Seno: sin0 (z) = cos(z). PROVA: Usando a definição da função seno sin(•), a definição da função coseno cos(•), a derivada da função exponencial exp(•) e a regra da cadeia temos: sin0 (z) =
d ezıı − e−zıı dz 2ıı ı ezıı + ı e−zıı 2ıı ezıı + e−zıı = 2 =
= cos(z)
90
(6.84)
AULA
Variáveis Complexas
6.6
6
Funções Hiperbólicas
Começaremos pelas definições das funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico pois, serviram de base para definição das demais funções hiperbólicas. Como no campo dos números reais as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas à partir da função exponencial, sua extensão ao campo dos números complexo utiliza a mesma forma. A saber: Para a função seno hiperbólico. Definição 6.7. Para todo z ∈ C, definimos a função seno hiperbólico, calculada no ponto z, denotada sinh(z) por: def
sinh(z) =
ez − e−z 2
(6.85)
Para a função cosseno hiperbólico. Definição 6.8. Para todo z ∈ C, definimos a função cosseno hiperbólico, calculada no ponto z, denotada cosh(z) por: def
cosh(z) =
ez + e−z 2
(6.86)
As definições das funções tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica e cosecante hiperbólica no campo no campo dos números reais são feitas à partir das funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico. No campo dos números complexos segue como as mesmas definições. A saber: Para a função tangente hiperbólica: Definição 6.9. Para todo z ∈ C a função tangente calculada no ponto z, denotada tanh(z) é definida por: def
tanh(z) =
sinh(z) cosh(z)
(6.87)
91
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 Para a função cotangente hiperbólica: Definição 6.10. Para todo z ∈ C a função cotangente hiperbólica calculada no ponto z, denotada coth(z) é definida por: def
coth(z) =
cosh(z) sinh(z)
(6.88)
Para a função secante hiperbólica: Definição 6.11. Para todo z ∈ C a função secante hiperbólica calculada no ponto z, denotada sech (z) é definida por: def
sech (z) =
1 cosh(z)
(6.89)
Para a função cosecante hiperbólica: Definição 6.12. Para todo z ∈ C a função cosecante hiperbólica calculada no ponto z, denotada csch (z) é definida por: def
csch (z) =
1 sinh(z)
(6.90)
Alternativamente, a exemplo das funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, podemos definir as funções tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica e cosecante hiperbólica usando a função exponencial. A saber: ez − e−z ez + e−z ez + e−z cot(z) = z e − e−z 2 sec(z) = z e + e−z 2 csc(z) = z e − e−z tan(z) =
92
(6.91)
AULA
Variáveis Complexas
6.7
Propriedades das Funções Hiperbólicas
6
As propriedades das função hiperbólicas são as mesmas no campo dos reais quanto no campo dos complexos. A seguir listaremos algumas e faremos a demonstração de uma delas. i) ∀z ∈ C, cosh2 (z) − sinh2 (z) = 1 ii) ∀z ∈ C, sech 2 (z) + tanh2 (z) = 1 iii) ∀z ∈ C, coth2 (z) − csch 2 (z) = 1 iv) ∀z ∈ C, sinh(−z) = − sinh(z) v) ∀z ∈ C, cosh(−z) = cosh(z) vi) ∀z ∈ C, tanh(−z) = − tanh(z) vii) ∀z, w ∈ C, cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) viii) ∀z, w ∈ C, sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w) ix) ∀z, w ∈ C, tanh(z + w) =
tanh(z) + tanh(w) 1 + tanh(z) tanh(w)
Demonstraremos aqui que: ∀z ∈ C, sech 2 (z) + tanh2 (z) = 1. Demonstração: Das definições das funções sinh(•) e cosh(•) temos: ez + e−z 2 ez − e−z sinh(z) = 2
cosh(z) =
(6.92)
Elevando ao quadrado as equações eqn 6.92.1 e eqn 6.92.2 e levando-se em conta que ez e−z = ez−z = e0 = 1 temos: e2z + 2ez e−z + e−2z e2z + 2 + e−2z = 4 4 2z z −2z −z 2z e − 2e e +e e − 2 + e−2z sinh(z)2 = = 4 4
cosh2 (z) =
(6.93)
93
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 Subtraindo as equações eqn 6.93.1 e eqn 6.93.2
e2z + 2 + e−2z e2z − 2 + e−2z − 4 4 e2z + 2 + e−2z − e2z + 2 − e−2z = 4 4 = 4
cosh2 (z) − sinh(z)2 =
(6.94)
=1 Dividindo a equação eqn 6.94 por cosh2 (z) temos: 1 cosh2 (z) − sinh(z)2 = 2 cosh (z) cosh2 (z) 1 cosh2 (z) sinh(z)2 − = 2 2 cosh (z) cosh (z) cosh2 (z) sinh(z)2 1 1− = cosh2 (z) cosh2 (z)
(6.95)
Levando-se em conta a equação eqn 6.95 e as definições das funções tanh(•) e sech (•) temos: 1 − tanh2 (z) = sech 2 (z)
(6.96)
Que pode ser rearrumada para: sech 2 (z) + tanh2 (z) = 1
6.8
(6.97)
Funções Hiperbólicas Inversas
As funções hiperbólicas inversas podem ser deduzidas das expressões de definição das funções hiperbólicas. Aqui faremos a dedução de uma delas. A saber: i) sinh−1 (z) = log(z + ii) cosh−1 (z) = log(z +
94
√
1 + z2)
√
z 2 − 1)
AULA
Variáveis Complexas 1 (z) = log 2
1 (z) = log 2
−1
iii) tanh
−1
iv) coth
v) sech −1 (z) = log
vi)
csch −1 (z)
= log
1+z 1−z
6
z+1 z−1 ! √ z + 1 − z2 z z+
√
z2 − 1 z −1
Demonstraremos aqui que: tanh
!
1 (z) = log 2
1+z . 1−z
Demonstração: Da definição de função inversa temos: tanh(w) = z ↔ w = tanh−1 (z) Da definição da função tanh(w) temos: tanh(w) =
ew − e−w =z ew + e−w
(6.98)
por outro lado, fazendo na equação eqn 6.98 ξ = ew temos: ξ − ξ −1 =z ξ + ξ −1 ξ−ξ
−1
= (ξ + ξ
(6.99) −1
)z
Fazendo o produto do numerador e do denominador da fração da equação eqn 6.99 por ξ e rearrumando temos: ξ 2 − 1 = (ξ 2 + 1)z (6.100) 2
(1 − z)ξ = 1 + z = 0 Resolvendo a equação do segundo grau eqn 6.100 para ξ temos: r 1+z ξ= (6.101) 1−z
95
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 r
1+z é uma função multivalorada. Por outro 1−z lado, como ξ = ew equação eqn 6.101 temos: r 1+z w e = (6.102) 1−z Onde sabemos que
Invertendo a função exponencial, levando em conta que ew = ew−2kπıı e que w = tanh−1 (z) da equação eqn 6.102 temos: ! r 1+z w = 2kπıı + ln 1−z ! (6.103) r 1 + z tanh−1 (z) = 2kπıı + ln 1−z Vemos então que a função tanh−1 (z) tem infinitos valores porém, escolhendo o ramo principal onde tanh−1 (0) = 0 temos k = 0 e usando propriedade da função logaritmo e na equação eqn 6.103 podemos escrever:
−1
tanh
6.9
1 (z) = log 2
1+z 1−z
Derivada das Funções Hiperbólicas
As funções hiperbólicas estendidas ao campo dos complexos têm as seguintes derivadas: i) cosh0 (z) = sinh(z) ii) sinh0 (z) = cosh(z) iii) tanh0 (z) = sech 2 (z) iv) coth0 (z) = − csc2 (z) v) sech 0 (z) = −sech (z) tanh(z)
96
AULA
Variáveis Complexas
6
vi) csch 0 (z) = −csch (z) coth(z) Faremos a demonstração apenas de um ítem acima. A saber: Derivada da Função Coseno: cosh0 (z) = sinh(z). PROVA: Usando a definição da função coseno hiperbólico cosh(•), a definição da função seno hiperbólico sinh(•), a derivada da função exponencial exp(•) e a regra da cadeia temos: cosh0 (z) =
d ez + e−z dz 2 ez − e−z 2 ez − e−z = 2 =
(6.104)
= sinh(z)
6.10
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas podem ser estendidas de modo intuitivo no domínio dos números complexos mantendo suas propriedades originais intactas.
97
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2
RESUMO
No nosso resumo da Aula 06 constam os seguintes tópicos:
Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são definidas por: ezıı − e−zıı def sin(z) = −ıı 2−zıı zıı def e + e cos(z) = 2 ezıı − e−zıı def sin(z) tan(z) = = = −ıı zıı cos(z) e + e−zıı ı zı e + e−zıı def cos(z) = ı zıı cot(z) = sin(z) e − e−zıı 1 2 def sec(z) = = ı zı cos(z) e + e−zıı 2ıı 1 def = zıı csc(z) = sin(z) e − e−zıı Propriedades das Funções Trigonométricas Algumas propriedades das funções trigonométricas:
• ∀z ∈ C, cos2 (z) + sin2 (z) = 1 • ∀z ∈ C, sec2 (z) − tan2 (z) = 1 • ∀z ∈ C, cot2 (z) − csc2 (z) = 1 • ∀z ∈ C, sin(−z) = − sin(z) • ∀z ∈ C, cos(−z) = cos(z) • ∀z ∈ C, tan(−z) = − tan(z) • ∀z, w ∈ C, cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w)
98
Variáveis Complexas • ∀z, w ∈ C, sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)
AULA
6
tan(z) + tan(w) 1 + tan(z) tan(w) sin(2z) 1 2 1+ • ∀z ∈ C, cos (z) = 2 2 sin(2z) 1 2 • ∀z ∈ C, sin (z) = 1− 2 2 • ∀z, w ∈ C, tan(z + w) =
Funções Hiperbólicas As funções hiperbólicas são definidas por: ez − e−z 2 −z z def e + e cosh(z) = 2 ez − e−z def sinh(z) tanh(z) = = = z cosh(z) e + e−z z e + e−z def cosh(z) coth(z) = = z sinh(z) e − e−z 1 2 def sech (z) = = z cosh(z) e + e−z 1 2 def csch (z) = = z sinh(z) e − e−z def
sinh(z) =
Propriedades das Funções Hiperbólicas Algumas propriedades das funções hiperbólicas:
• ∀z ∈ C, cosh2 (z) − sinh2 (z) = 1 • ∀z ∈ C, sech 2 (z) + tanh2 (z) = 1 • ∀z ∈ C, coth2 (z) − csch 2 (z) = 1 • ∀z ∈ C, sinh(−z) = − sinh(z) • ∀z ∈ C, cosh(−z) = cosh(z) • ∀z ∈ C, tanh(−z) = − tanh(z)
99
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 • ∀z, w ∈ C, cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) • ∀z, w ∈ C, sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w) • ∀z, w ∈ C, tanh(z + w) =
tanh(z) + tanh(w) 1 + tanh(z) tanh(w)
Funções Trigonométricas Inversas As funções trigonométricas inversas definidas por:
√ 1 log(z + 1 − z 2 ) ı √ 1 cos−1 (z) = log(z + z 2 − 1) ı 1 1 + zıı −1 tan (z) = log 2ıı 1 − zıı 1 z +ı −1 cot (z) = log 2ıı z −ı ! √ 1 z + 1 − z2 −1 sec (z) = log ı z
• sin−1 (z) = • • •
•
1 • csc−1 (z) = log ı
z+
√
z2 − 1 z
!
Funções Hiperbólicas Inversas As funções hiperbólicas inversas são definidas por:
• sinh−1 (z) = log(z +
√
1 + z2)
√ • cosh−1 (z) = log(z + z 2 − 1) 1 1+z −1 • tanh (z) = log 2 1−z 1 z+1 −1 • coth (z) = log 2 z−1
100
Variáveis Complexas
• sech −1 (z) = log
z+
• csch −1 (z) = log
z+
√
!
√
!
1 − z2 z z2 − 1 z
AULA
6
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos integração complexa. Definiremos a integração de linha complexas e veremos como a integração de linha complexas se relaciona com a integral de linha real.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes demonstrações:
ATIV. 6.1. Mostre que ∀z, w ∈ C, cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. 1 z +ı ATIV. 6.2. Mostre que = log . 2ıı z −ı Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as cot−1 (z)
demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973.
101
Funções Elementares do Cálculo Complexos 2 SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
102
AULA
Integração Complexa META: Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir a integral de uma função complexa. Calcular integral de algumas funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS Aula05 e aula06 de Variáveis Complexas.
7
Integração Complexa
7.1
Introdução
Caros alunos o tema dessa nossa aula é “Integração Complexa” começaremos por definir a integral de uma função complexa ao longo de uma curva no plano complexo C veremos também a relação entre a integração complexa e a integração real bem como algumas das propriedades da integração complexa.
7.2
Integração Complexa
Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D (ver figura 7.1). Subdividimos C em n partes através dos pontos z0 , z1 , . . . , zn . y zn ξn−1 C ξ1
ξ1 z0
z1
zn−1
z2
Figura 7.1: Integral de Linha
x
Para cada arco de curva ligando zk−1 a zk tomamos um ponto arbitrário ξk e fazemos a soma: Sn = f (ξ1 )(z1 − z0 ) + f (ξ2 )(z2 − z1 ) + · · · + f (ξn )(zn − zn−1 ) =
n X
f (ξk )(zk − zk−1 )
k=1
(7.105)
104
Variáveis Complexas
AULA
Fazendo ∆zk = zk −zk−1 podemos reescrever a equação eqn 7.105
7
como: Sn = f (ξ1 )∆z1 + f (ξ2 )∆z2 + · · · + f (ξn )∆zn =
n X
(7.106) f (ξk )∆zk
k=1
Fazendo o número de pontos da partição n tender ao infinito, em eqn 7.106 de modo que o comprimento da maior corda |∆zk | tenda a zero, o soma Sn tende a um limite que independe da subdivisão de C. A esse limite chamamos de integral de f (•) ao longo de C e denotamos: Z f (z)dz
(7.107)
C
OBS 7.1. A integral acima definida é denominada integral de linha complexa ou simplesmente integral de linha de f (•) ao longo da curva C. Observe que se f (z) é analítica em D ⊂ C, então f (z) é certamente integrável ao longo de C
7.3
Integrais de Linha Reais
Nesta seção procuramos relembrar algumas fórmulas sobre integrais de linhas reais. Sejam P (x, y) e Q(x, y) funções de valores reais de x e y, contínuas em todos os pontos de uma curva C, podemos definir a integral de linha real por: Z (Q(x, y)dx + P (x, y)dy)
(7.108)
C
E se C for parametrizada por x = x ˆ(t) e y = yˆ(t), t ∈ [a, b] podemos reescrever a integral de linha real eqn 7.108 como: Z b (Q(ˆ x(t), yˆ(t))ˆ x0 (t) + P (ˆ x(t), yˆ(t))ˆ y 0 (t))dt (7.109) a
105
Integração Complexa OBS 7.2. Para o caso em que C é uma curva lisa por partes podemos integrar, segundo eqn 7.109, em cada uma das partes em que a curva é lisa e totalizar os resultados.
7.4
Relação entre Integrais de Linha Complexa e Real
A integral de linha complexa dada por eqn 7.107 pode ser reescrita em função das integrais de linha reais da seguinte forma: Z
Z (u(x, y) + ı v(x, y)).(dx + ı dy)
f (z)dz = C
ZC (u(x, y)dx − v(x, y)dy)
=
(7.110)
ZC +ı
(v(x, y)dx + u(x, y)dy) C
OBS 7.3. Podemos também, considerar eqn 7.110 como a definição oficial da integral de linha complexa. Para ilustrar veremos um exemplo de integral de linha complexa. Exemplo 7.1. Sejam f : C 7→ C dada por f (z) = z = x + yıı e C é o círculo de centro em z0 = a + bıı e raio r (ver figura 7.2 ). SOLUÇÃO: Como f (z) = z então u(x, y) = x e v(x, y) = y. Resta, antes de efetuar a integração de linha propriamente dita, providenciar uma parametrização para a curva C. Vamos propor uma parametrização para a curva C. Como C é um círculo de raio r e centro em z0 = a + bıı uma possível parametrização é x = a + r cos(t) e y = b + r sin(t), t ∈ [0, 2π). Daí, dx = −r sin(t)dt e dy = r cos(t)dt. Podemos calcular em separado as duas integrais
106
AULA
Variáveis Complexas
7
y
b
z0
r
a
x
Figura 7.2: Exemplo 7.1
em eqn 7.110. A sabe:
Z (u(x, y)dx − v(x, y)dy)
= ZC
(xdx − ydy)
=
C Z 2π
((a + r cos(t).(−r sin(t) − (b + r sin(t)).r cos(t))dt
= 0
Z =
2π
(−ar sin(t) − br cos(t) − 2r2 sin(t) cos(t))dt
0
= (ar cos(t) − br sin(t) − 2r2
sin2 (t) 2π ) 2 0
=0 (7.111)
107
Integração Complexa Para a segunda integral: Z = (u(x, y)dy + v(x, y)dx) ZC = (xdy + ydx) C Z 2π = ((a + r cos(t).r cos(t) + (b + r sin(t)).(−r sin(t)))dt 0 Z 2π (ar cos(t) − br sin(t) − r2 (cos2 (t) − sin2 (t))dt = 0
sin(2t) 2π ) 2 0
= (ar sin(t) + br cos(t) − r2 =0
(7.112) Portanto, de eqn 7.110, eqn 7.111 e eqn 7.112 temos: Z f (z)dz = 0 C
Encerraremos esta seção com um teorema (sem demonstração) que resume algumas das propriedades da integral de linha complexa. Teorema 7.1. Sejam D ⊂ C um aberto f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas integráveis sobre a curva lisa C ⊂ D, então: Z Z Z i) (f + g)(z)dz = f (z)dz + g(z)dz. C
C
Z
C
Z f (z)dz, α ∈ C.
αf (z)dz = α
ii) C
C
b
Z
a
Z f (z)dz = −
iii)
f (z)dz, a, b ∈ C.
a
b b
Z
Z f (z)dz =
iv) a
c
Z
a
b
f (z)dz, a, b, c ∈ C.
f (z)dz + c
Z v) f (z)dz ≤ M L onde |f (z)| ≤ M, ∀z ∈ C e L é o compriC
mento de C.
108
Variáveis Complexas
7.5
Integral Indefinida
AULA
7
Vermos agora, que podemos estender o conceito de integral indefinida para funções complexas. Definição 7.1. Sejam D ⊂ C um aberto e f, F : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas tais que F 0 (z) = f (z). Dizemos que F (z) é a integral indefinida de f (z) e denotamos: Z F (z) = f (z)dz
7.6
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que existe uma forte relação entre a integral de linha complexa e real e que a integral indefinida complexa segue o mesmo padrão que a real.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 07 constam os seguintes tópicos:
Integração Complexa Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D podemos escrever a integral de linha complexa em função das integrais de linha reais da seguinte forma: Z Z f (z)dz = (u(x, y) + ı v(x, y)).(dx + ı dy) C ZC = (u(x, y)dx − v(x, y)dy) ZC + ı (v(x, y)dx + u(x, y)dy) C
109
Integração Complexa Algumas Propriedades da Integral de Linha Sejam D ⊂ C um aberto f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas integráveis sobre a curva lisa C ⊂ D, então: Z Z Z g(z)dz. f (z)dz + (f + g)(z)dz = i) C
C
C
Z
Z f (z)dz, α ∈ C.
αf (z)dz = α
ii) C
C
b
Z
a
Z f (z)dz = −
iii)
f (z)dz, a, b ∈ C.
a
b b
Z
Z
c
f (z)dz =
iv) a
Z
b
f (z)dz, a, b, c ∈ C.
f (z)dz + a
c
Z v) f (z)dz ≤ M L onde |f (z)| ≤ M, ∀z ∈ C e L é o compriC
mento de C. Integral Indefinida A integral indefinida complexa é definida do mesmo modo que integral indefinida real. A saber: Sejam D ⊂ C um aberto e f, F : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas tais que F 0 (z) = f (z). Dizemos que F (z) é a integral indefinida de f (z) e denotamos: Z F (z) =
f (z)dz
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos alguns teoremas sobre integração de funções complexas conhecidos como teoria de Cauchy. Em particular daremos ênfase ao teorema de Cauchy-Goursat que diz que a integral de uma função holomorfa sobre uma curva fechada simples é zero.
110
AULA
Variáveis Complexas
7
y 4
2
x
Figura 7.3: Atividade 1
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 7.1. Sejam f : C 7→ C dada por f (z) = z 3 e C é a ´curva suave por partes dada pela figura 7.3 onde a parte parabólica é Z f (z)dz. dada por y + x2 . Determine a integral de linha C
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
exemplo e na parametrização procure fazer x(t) = t. ATIV. 7.2. Sejam f : C 7→ C dada por f (z) = z¯ e C é o círculo de centro em z0 = a + bıı e raio r (ver figura 7.2 ). Calcule: Z f (z)dz. C
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
exemplo, ela lhe servirá de guia.
111
Integração Complexa
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
112
AULA
Teoremas de Cauchy META: Introduzir os principais teoremas de Cauchy sobre integração de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Enunciar os principais teoremas de Cauchy sobre integração de funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS Aula07 de Variáveis Complexas.
8
Teoremas de Cauchy
8.1
Introdução
Caros alunos o tema dessa nossa aula é “Teoremas de Cauchy” também conhecidos como “Teoria de Cauchy”. As integrais de funções holomorfas possuem algumas propriedades muito importantes. Provavelmente a mais importante delas seja descrita pelo teorema integral de Cauchy, uma forma de representar funções holomorfas através de integrais de linha ao longo de curvas fechadas.
8.2
Preliminares
Nas preliminares, veremos a definição de domínio simplesmente conexo e enunciaremos, sem demonstração, o teorema de Green no plano (funções reais). BIOGRAFIA George Green nasceu em Sneinton, condado de Nottinghamshire 14 de Julho de 1793 e morreu em Nottingham, 31 de Maio de 1841, foi um matemático e físico inglês. Na sua obra Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism (1828) introduziu a noção de função potencial no estudo dos campos magnéticos. O teorema de Green, que demonstrou em 1828 facilitou bastante o estudo das funções. Wikipedia
Definição 8.1. Seja D ⊂ C dizemos que D é um domínio simplesmente conexo se, somente se toda curva fechada inteiramente contida em D puder ser deformada até um ponto em curvas inteiramente contidas em D. E agora, sem demonstração (para uma demonstração veja o Livro de Cálculo III), o teorema de Green no plano. Teorema 8.1 (Teorema de Green no Plano). Sejam D ⊂ R2 um domínio e f : D ⊂ R2 7→ R2 uma aplicação suave. Seja V ⊂ D satisfazendo: 1. V é fechado e limitado. 2. a fronteira ∂V é constituída de um número finito de curvas de Jordan suaves por partes 3. V − ∂V é um domínio.
114
Variáveis Complexas
AULA
Supondo que V e ∂V tem orientação compatível. Se f (x, y) =
8
(u(x, y), v(x, y)) então: Z Z Z ∂v ∂u (udx + vdy) = dxdy − dx dy V ∂V
8.3
Teoria de Cauchy
Começaremos por um teorema de Cauchy em sua forma original e depois ampliaremos provando o teorema de Cauchy-Goursat. BIOGRAFIA Teorema 8.2 (Teorema de Cauchy). Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D (ver figura 8.1). Se f (z) é holomorfa em D e tem derivada f 0 (z) contínua em D então: I f (z)dz = 0 C
PROVA:
Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris, França 21 de agosto de 1789 e morreu em Sceaux, França 23 de maio de 1857, foi um matemático frances, pioneiro no estudo da análise, tanto real e quanto complexa, e em teoria de grupos de permutação. Ele também pesquisou em convergência e divergência de séries infinitas, equações diferenciais, determinantes, probabilidade e física matemática. Wikipedia
Figura 8.1: Teorema de Cauchy Da definição da integral de linha complexa temos: I I f (z)dz = (u + vıı)(dx + dyıı) C IC I = (udx − vdy) + ı (vdx + udy) C
(8.113)
C
115
Teoremas de Cauchy Como f (z) = u(x, y) + v(x, y)ıı é holomorfa em D e tem derivada f 0 (z) contínua em D temos: f 0 (z) =
∂u ∂v ∂v ∂u + ı= − ı ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂u ∂v ∂v , , e são contínuas em ∂x ∂y ∂x ∂y D e como C ⊂ D conseqüentemente em C e seu interior. Podemos Portanto, as derivadas parciais
pois aplicar o teorema de Green nas integrais da equação eqn 8.113 e temos. I Z Z ∂v ∂u f (z)dz = − − dxdy ∂x ∂y C R Z Z ∂u ∂v + − dxdy ∂y R ∂x
(8.114)
onde R é a região interior da curva C. Por outro lado, como f (z) é holomorfa, vale em D e em particular em R, as equações de Cauchy-Riemann. BIOGRAFIA Édouard Jean-Baptiste Goursat nasceu em Lanzac, França, 21 de maio de 1858 e morreu em Paris, França, 25 de novembro de 1936, foi um matemático francês mais conhecido por sua versão do teorema de Cauchy-Goursat afirmando que a integral de uma função em torno de um contorno simples fechado é zero se a função é analítica dentro do contorno. Mac Tutor
∂v ∂u = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
(8.115)
Logo, substituindo eqn 8.115 em eqn 8.114 temos: I f (z)dz = 0 C
Nosso próximo passo é demonstrar uma versão mais forte do teorema, retirando a necessidade da continuidade da derivada f 0 (z) em D. Teorema 8.3 (Teorema de Cauchy-Goursat). Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D (ver figura 8.1). Se f (z) é holomorfa em D então: I f (z)dz = 0 C
116
AULA
Variáveis Complexas
8
A prova do teorema sera dividida em três partes. Prova do Teorema de Cauchy-Goursat para o Caso de um Triângulo Tomando un triângulo arbitrário ∆, ligando os pontos A, B e C ver figura 8.2). Ligando os pontos médios D, E e F dos lados AB, AC e BC respectivamente. Repartiremos ∆ em quatro triângulos denotados ∆1 , ∆2 , ∆3 e ∆4 . Se f (z) é holomorfa em ∆, é em particular, holomorfa em ∆1 , ∆2 , ∆3 e ∆4 . E, omitindo os integrandos à direita, podemos escrever: I Z Z Z f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz (8.116) DAE
EBF
F CD
A
∆1 E
D ∆4 ∆2
∆3
B
C
F
Figura 8.2: Teorema de Cauchy-Goursat no Triângulo Levando em conta, das propriedades da integral de linha complexa, Z Z Z Z Z Z que =− , =− e =− podemos reesED
DE
FE
EF
DF
FD
crever eqn 8.116 como: Z
I f (z)dz =
Z +
C
+
DAE
ED
Z +
+
Z +
DF
Z + DAED
+ Z +
DE
Z
FE
Z
(8.117)
+
EF
Z +
EDF E
Z
EBF
Z
F CD
=
Z
FD
Z +
F CDF
DEF D
117
Teoremas de Cauchy onde omitimos os integrandos por questão de economia. A equação eqn 8.117 pode ser reescrita como: I I I f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz C ∆1 ∆2 I I + f (z)dz + f (z)dz ∆3
(8.118)
∆4
Tomando o módulo de eqn 8.118 e usando a desigualdade triangular temos: I I I f (z)dz ≤ f (z)dz + f (z)dz C ∆1 ∆2 I I + f (z)dz + f (z)dz ∆3
(8.119)
∆4
Sem perda de generalidade podemos tomar ∆1 como o triângulo que contribui com o maior valor em eqn 8.119 e escrever: I I f (z)dz ≤ 4 C
∆1
f (z)dz
(8.120)
Podemos repetir o processo, ligando os pontos médios dos lados de ∆1 e obter: I
∆1
I f (z)dz ≤ 4
∆2
f (z)dz
(8.121)
onde, neste caso ∆2 é o sub-triângulo de ∆1 com maior contribuição. Substituindo eqn 8.121 em eqn 8.120 temos: I I 2 f (z)dz ≤ 4 C
∆2
f (z)dz
Após n repetição desse processo temos: I I n f (z)dz ≤ 4 C
∆n
f (z)dz
(8.122)
Por outro lado, ∆, ∆1 , δ2 , . . . , ∆k , . . . é uma seqüência de triângulos encaixantes cada um contido no seu antecessor e portanto,
118
Variáveis Complexas
AULA
existe um ponto z0 que pertence a todos os triângulos da seqüên-
8
cia. Como cada triângulo está contido em D e f (z) é holomorfa em D é holomorfa em z0 . Logo, f (z) = f 0 (z0 )(z − z0 ) + η(z − z0 )
(8.123)
Como lim η = 0, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀z, |z − z0 | < δ temos z→z0
|η| < ε. Dai, integrando eqn 8.123 em ∆n temos:
I
I
0
I (z − z0 )dz +
f (z)dz = f (z0 ) ∆n
∆n
η(z − z0 )dz
(8.124)
∆n
Como z − z0 é holomorfa em C e tem derivada contínua em C podemos aplicar o teorema de Cauchy, a segunda integral em eqn 8.124 é nula e temos: I
I η(z − z0 )dz
f (z)dz = ∆n
(8.125)
∆n
∆n z0
Figura 8.3: Devido a proporcionalidade, se o perímetro de ∆ é L, o perímetro de ∆n é L/2n e se z é um ponto qualquer sobre ∆n (ver figura 8.3) então |z − z0 | < L/2n < δ. Daí, e da propriedade das integrais R de linha C f (z)dz ≤ M L onde |f (z)| ≤ M, ∀z ∈ C e L é o comprimento de C, a equação eqn 8.125 passa a: I I L L L2 f (z)dz = η(z − z0 )dz ≤ ε n n = ε n 2 2 4 ∆n ∆n
(8.126)
119
Teoremas de Cauchy Substituindo eqn 8.126 em eqn 8.122 temos: I f (z)dz ≤ εL2
(8.127)
C
Como em eqn 8.127 ε pode ser tomado arbitrariamente pequeno, concluímos que: I f (z)dz = 0 C
Prova do Teorema de Cauchy-Goursat para o Caso de um Polígono Fechado Seja, a título de exemplo, o polígono fechado Γ, ligando os pontos A, B, C, D, E e F (ver figura 8.4) E
D
C
F
A
B
Figura 8.4: Teorema de Cauchy
Traçando as linhas BF , CF e DF repartimos o polígono em triângulos. Como o teorema de Cauchy-Goursat já foi provado para triângulos, e como as integrais ao longo de BF , CF e DF cancelamse (cada um desses caminhos é percorrido duas vezes em sentidos
120
AULA
Variáveis Complexas
8
opostos) temos: Z Z I f (z)dz f (z)dz + f (z)dz = Γ Z ABF A ZBCF B + f (z)dz + f (z)dz CDF C
DEF D
=0 OBS 8.1. Observamos que apesar de na demonstração ter sido usado um polígono fechado simples, o teorema contínua válido para um polígono qualquer, incluindo polígonos que se auto-interceptam. Prova do Teorema de Cauchy-Goursat para o Caso de uma Curva Fechada Simples Seja C ⊂ C uma curva fechada simples contida em uma região na qual f (z) seja holomorfa. Tomando os pontos z0 , z1 , z2 , . . . , zn , z0 = zn , sobre C e seja Pn o polígono formado ligando em seqüência esses pontos (ver figura 8.5) z2
Γ z1
z0 = zn
zn−1
Figura 8.5: Teorema de Cauchy Definindo a soma: Sn =
n X
f (zk )∆zk
(8.128)
k=1
onde ∆zk = zk = zk−1 . Passando o limite n → +∞ em eqn 8.129 de modo que max |∆k | →
121
Teoremas de Cauchy 0 vemos que ∀ε >, ∃N0 ∈ N tal que ∀n > n0 temos: ε I f (z)dz − Sn < 2 C
(8.129)
Tomando a integral de linha no polígono fechado Pn (levando em conta que no polígono fechado vale o teorema de Cauchy-Goursat) temos: I
Z
z1
Z
f (z)dz zn−1
z Z 0z1
Pn
zn
f (z)dz + · · · +
f (z)dz = 0 =
(f (z) − f (z1 ) + f (z1 ))dz+
= z0
Z
zn
(f (z) − f (zn ) + f (zn ))dz ··· + zn−1 Z z1 = (f (z) − f (z1 ))dz+ z0 Z zn (f (z) − f (zn ))dz + Sn ··· +
(8.130)
zn−1
Portanto, de eqn 8.130 tiramos: Z z1 Z Sn = (f (z) − f (z1 ))dz + · · · +
zn
(f (z) − f (zn ))dz (8.131)
zn−1
z0
Tomando N0 suficientemente grande para que em cada lado de Pn , ligando z0 a z1 , z1 a z2 até zn−1 a zn tenhamos: |f (z1 ) − f (z)| <
ε ε , . . . , |f (zn ) − f (z)| < 2L 2L
(8.132)
onde L é o perímetro de Pn . Tomando o módulo de eqn 8.131 e usando a desigualdade triangular e eqn 8.132 e propriedades da integral de linha temos: Z z1 Z |Sn | ≤ |f (z) − f (z1 )|dz + · · · + z0
zn
|f (z) − f (zn )|dz
zn−1
ε (|z1 − z0 | + · · · + |zn − zn−1 |) 2L ε ≤ 2
≤
(8.133)
122
AULA
Variáveis Complexas Por outro lado fazendo: I I f (z)dz − Sn + Sn f (z)dz =
8 (8.134)
C
C
Tomando o módulo de eqn 8.134 e usando a desigualdade triangular e eqn 8.129 temos: I I f (z)dz ≤ f (z)dz − Sn + Sn C
C
ε ε < + 2 2 0 de modo que o círculo Γ de raio ε e centro em z0 esteja inteiramente contido na região limitada por C (ver figura 8.7). Daí, aplicando o teorema anterior à região entre C e Γ temos: I I 1 1 dz = dz z − z z − z0 0 C Γ
(8.137)
onde ambas as curvas são orientadas no sentido positivo. Podemos parametrizar o círculo Γ pondo z = z0 + εeı t , t ∈ [0, 2π). Daí, dz = ı εeı t dt e substituindo na equação eqn 8.137 temos: Z 2π I 1 1 dz = ı εeı t dt ıt z − z εe 0 0 C Z 2π (8.138) dt =ı 0
= 2πıı Teorema 8.6 (Fórmula Integral de Cauchy). Sejam D ⊂ C um aberto f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa em D, C ⊂ D uma curva suave e z0 um ponto interior da região limitada por C então: I 1 f (z) f (z0 ) = dz 2πıı C z − z0
125
Teoremas de Cauchy PROVA: Como z0 ∈ D e D ⊂ C é um aberto, podemos tomar um ε > 0 de modo que o círculo Γ de raio ε e centro em z0 esteja inteiramente contido na região limitada por C (ver figura 8.7). Daí, aplicando o teorema anterior à região entre C e Γ temos: I C
f (z) dz = z − z0
I Γ
f (z) dz z − z0
(8.139)
onde ambas as curvas são orientadas no sentido positivo. Podemos parametrizar o círculo Γ por: z = z + 0 + εeı t , t ∈ [0, 2π). Daí, dz = ı εeı t dt e para eqn 8.139 temos: I C
f (z) dz = z − z0
Z
2π
0
Z
f (z0 + εeı t ) ı t ı εe dt εeı t
2π
=ı
(8.140)
ıt
f (z0 + εe )dt 0
Passando o limite ε → 0 em eqn 8.140 e lembrando que f (z) é holomorfa e portanto contínua temos: I C
Z 2π f (z) f (z0 + εeı t )dt dz = lim ı ε→0 z − z0 0 Z 2π =ı lim f (z0 + εeı t )dt ε→0 0 Z 2π =ı f (lim (z0 + εeı t ))dt ε→0 0 Z 2π =ı f (z0 )dt 0 Z 2π = ı f (z0 ) dt
(8.141)
0
= 2πııf (z0 ) Logo: 1 f (z0 ) = 2πıı
I C
f (z) dz z − z0
A seguir veremos mais um teorema. Diz respeito a derivação de funções holomorfas.
126
Variáveis Complexas
AULA
Teorema 8.7 (Derivada de funções Holomorfas). Sejam D ⊂ C
8
um aberto f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa em D, C ⊂ D uma curva suave e z0 um ponto interior da região limitada por C então: f 0 (z0 ) =
1 2πıı
I C
f (z) dz (z − z0 )2
PROVA: Tomando z0 + λ no interior da região limitada por C podemos usar o teorema 8.6 e escrever: I f (z0 + λ) − f (z0 ) 1 1 1 1 = − f (z)dz λ 2πıı C λ z − z0 − λ z − z0 I f (z) 1 dz = 2πıı C (z − z0 − λ)(z − z0 ) I 1 f (z) = dz 2πıı C (z − z0 )2 I λf (z) 1 + dz 2πıı C (z − z0 − λ)(z − z0 )2 (8.142) O resultado segue-se passando o limite λ → 0 na equação eqn 8.142. Basta mostrar que a segunda integral vai a zero quando λ → 0. Para isto, tomamos um círculo Γ de raio ε e centro em z0 , inteiramente contido na região limitada por C (ver figura 8.7) e temos: I C
λf (z) dz = (z − z0 − λ)(z − z0 )2
I Γ
λf (z) dz (z − z0 − λ)(z − z0 )2 (8.143)
Tomando λ pequeno o bastante para que z0 + λ pertença a região limitada por Γ e |λ| < ε/2 e levando em conta que sobre Γ, |z−z0 | = ε temos: |z − z0 − λ| ≥ |z − z0 | − |λ| > ε − ε/2 = ε/2
(8.144)
Mais ainda, como f (z) é holomorfa, existe M > 0 tal que |f (z)| <
127
Teoremas de Cauchy M, ∀z ∈ Γ e o comprimento de Γ é 2πε. Daí, temos: I
Γ
λf (z) 2πεM |λ| dz ≤ 2 (z − z0 − λ)(z − z0 ) (ε/2)(ε2 )
(8.145)
Portanto, o lado esquerdo de tende a zero quando λ → 0 i.e. I lim
λ→0
Γ
λf (z) dz =0 2 (z − z0 − λ)(z − z0 )
Logo: I lim
λ→0 Γ
λf (z) dz = 0 (z − z0 − λ)(z − z0 )2
(8.146)
Passando o limite λ → 0 em eqn 8.142 e eqn 8.143 e usando f (z0 + λ) − f (z0 ) eqn 8.146 e levando em conta que f 0 (z0 ) = lim λ→0 λ temos: I f (z) 1 0 f (z0 ) = dz 2πıı C (z − z0 )2 OBS 8.2. O resultado obtido equivale a: d 1 d f (w) = dw 2πıı dw
I C
f (z) 1 dz = z−w 2πıı
I C
∂ ∂w
f (z) z−w
dz
que é uma extensão da regra de Leibnitz de derivação sob a integração para integrais de contorno. OBS 8.3. Podemos também, do mesmo modo, mostrar que: f
(n)
1 (z0 ) = 2πıı
I C
f (z) dz, n = 1, 2, . . . (z − z0 )n+1
de onde concluímos que uma função holomorfa tem derivada de qualquer ordem. Omitimos aqui, a demonstração deste resultado. Porém, caros alunos, nada impede de ser tentada. Para isto usem o princípio da indução supondo válida a fórmula acima e mostrando que a mesma vale para n + 1.
128
Variáveis Complexas
8.5
AULA
8
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que se uma função complexa é holomorfa ela tem derivada de qualquer ordem.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 08 constam os seguintes tópicos:
Teorema de Cauchy Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D (ver figura 8.1). Se f (z) é holomorfa em D e tem derivada f 0 (z) contínua em D então: I f (z)dz = 0 C
Teorema de Cauchy-Goursat Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D (ver figura 8.1). Se f (z) é holomorfa em D então: I f (z)dz = 0 C
Fórmula Integral de Cauchy Sejam D ⊂ C um aberto f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa em D, C ⊂ D uma curva suave e z0 um ponto interior da região limitada por C então: f (z0 ) =
1 2πıı
I C
f (z) dz z − z0
129
Teoremas de Cauchy Derivada de funções Holomorfas Sejam D ⊂ C um aberto f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa em D, C ⊂ D uma curva suave e z0 um ponto interior da região limitada por C então: 1 f (z0 ) = 2πıı 0
I C
f (z) dz (z − z0 )2
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos como estender ao campo dos números complexos as mesmas noções de seqüências e séries de números complexos. Estas noções são básicas no desenvolvimento de representações de funções complexas através de séries.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 8.1. Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa holomorfa, a, b ∈ D e C uma curva lisa tal que a e b estam no seu interior. Mostre que: I 1 f (z) f (a) f (b) dz = + 2πıı C (z − a)(z − b) a−b b−a Comentário: Procure usar os teoremas de Cauchy e o método das frações parciais. I ATIV. 8.2. Mostre que: C
z (4 −
z 2 )(z
+ i)
dz = −
2π onde; C é 5
o círculo |z| = 2. Comentário: Use os teoremas de Cauchy e verifique quais z0 dos
130
Variáveis Complexas
AULA
fatores da forma z − z0 do denominador do integrando pertencem
8
ao interior do círculo |z| = 2.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
131
AULA
Convergência de Séries de Números Complexos META: Apresentar o conceito de convergência de séries de números complexos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir convergência de séries de números complexos e calcular o limite de algumas séries de números complexos. PRÉ-REQUISITOS Aula01 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo II.
9
Convergência de Séries de Números Complexos
9.1
Introdução
Caros alunos veremos aqui um pouco de seqüências e séries de números complexos. Seqüências pois são essenciais ao estudo das séries e séries pois são essenciais ao estudo das funções holomorfas visto que essas podem ser expressas como série de potências.
9.2
Seqüências de Números Complexos
Começaremos pela definição de seqüências de números complexos. A saber: Definição 9.1. Uma seqüência de números complexos é uma função cujo domínio é o conjunto do números naturais N e o contradomínio o conjunto dos números complexos C, z : N 7→ C. O n-ésimo termo da seqüência será denotado z(n) ou alternativamente zn (que utilizaremos daqui para a frente). Uma seqüência pode ser denotada alternativamente por {zn , n ∈ N} ou {zn } (que utilizaremos daqui para a frente). Exemplo 9.1. Como exemplos de seqüências temos: 1. {zn } onde z0 = 2 e zn =
√
2 + zn−1 , n = 1, 2, 3, . . .
2. {zn } onde zn = n2 + 1, n = 0, 1, 2, . . . Definição 9.2. Seja {zn } uma seqüência de números complexos. Dizemos que {zn } é uma seqüência limitada se, somente se existe K > 0 tal que zn ∈ BK (0), ∀n ∈ N. OBS 9.1. Uma seqüência é limitada se todos os seus elementos pertencem a alguma bola aberta.
134
Variáveis Complexas
AULA
Definição 9.3. Seja {zn } uma seqüência de números complexos.
9
Dizemos que z ∈ C é o limite de {zn }, denotado z = lim zn , n→∞
se, somente se para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 , zn ∈ Bε (z). OBS 9.2. Se uma seqüência {zn } tem limite dizemos alternativamente que ela converge. Por outro lado se {zn } não possui limite dizemos que a seqüência diverge.
9.3
Alguns Teoremas
Veremos agora alguns teoremas sobre seqüências de Números Complexos. Teorema 9.1. Seja {zn } uma seqüências de números complexos. Se {zn } é convergente então {zn } é limitada. PROVA: Como {zn } é convergente existe z ∈ C tal que z = lim zn . Daí, tomando ε = 1 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 , zn ∈
n→∞
B1 (z). Daí, usando a desigualdade triangular, temos: |zn − z| < 1 → |zn | < 1 + |z|. De outra forma: ∀n ≥ n0 , zn ∈ B1+|z| (0). Teorema 9.2. Seja {zn } uma seqüências de números complexos tal que zn = xn + ynı onde {xn } e {yn } são seqüências de números reais então z = x + yıı = lim zn se, somente se x = lim xn e n→∞
n→∞
y = lim yn . n→∞
PROVA: A prova será dividida em duas partes: Parte 1: Se z = x + yıı = lim zn então para todo ε > 0, existe n→∞
135
Convergência de Séries de Números Complexos n0 ∈ N tal que: ∀n ≥ n0 , zn ∈ Bε (z), de outra forma: ∀n ≥ n0 , |zn − z| < ε. p por outro lado, como |xn − x| ≤ (xn − x)2 + (yn − y)2 = |zn − z| < ε. Daí, temos: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N|∀n ≥ n0 , |xn − x| < ε. logo x = lim xn . n→∞
Do mesmo modo: y = lim yn . n→∞
Parte 2:
se x = lim xn e y = lim yn então para todo ε > 0 n→∞
n→∞
existe n1 , n2 ∈ N tal que: ε ε ∀n ≥ n1 , |xn − x| < e ∀n ≥ n2 , |yn − y| < . 2 2 Tomando n0 = max{n1 , n2 } as desigualdades acima valem simultaneamente se n ≥ n0 i.e. ε ε ∀n ≥ n0 , |xn − x| < ∧ |yn − y| < . 2 2 Daí, temos: ε ε |zn − z| ≤ |xn − x| + |yn − y| < + = ε Logo zn ∈ Bε (z). 2 2 Daí, temos: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N|∀n ≥ n0 , zn ∈ Bε (z). logo z = lim zn . n→∞
Teorema 9.3. Sejam {zn } e {wn } duas seqüências de números complexos tais que z = lim zn e w = lim wn então: n→∞
i) lim azn = az, para todo a ∈ C n→∞
ii) lim (zn + wn ) = z + w n→∞
iii) lim (zn − wn ) = z − w n→∞
iv) lim (zn .wn ) = z.w n→∞
zn z = , se w 6= 0 n→∞ wn w
v) lim
136
n→∞
Variáveis Complexas
AULA
PROVA: Provaremos apenas a iii) o restante ficará à cargo dos
9
alunos. Para todo ε > 0, existem n1 , n2 , n3 ∈ N e K > 0 tais que, da definição de limite de seqüências e do teorema 9.1 : ∀n ≥ n1 , zn ∈ Bε/2|w| (z), ∀n ≥ n1 , wn ∈ Bε/2K (z) e ∀n ≥ n1 , zn ∈ BK (z). De outra forma: ∀n ≥ n1 , |zn − z| <
ε ε , ∀n ≥ n1 , |wn − z| < e ∀n ≥ 2|w| 2K
n1 , |zn | < K. Daí, tomando n0 = max{n1 , n2 , n3 } teremos as três desigualdades acima simultaneamente satisfeitas e: |zn wn − zw| = |zn wn − zn w + zn w − zw| ≤ |zn wn − zn w| + |zn w − zw| ≤ |zn |.|wn − w| + |w|.|zn − z| < K.|wn − w| + |w|.|zn − z| ε ε + |w|. < K. 2K 2|w| 0, existe n0 ∈ N tal que: ∀m, n ≥ n0 |zm − zn | < ε
9.4
Séries de Números Complexos
Como de modo geral, começaremos pela definição. Definição 9.4. Dada uma seqüência {zn } de números complexos, definimos a série associada {sn } com a seqüência de somas parciais n X sn = zk . k=0
OBS 9.3. Séries são seqüências especiais definidas a partir de outras seqüências. Se a seqüência de somas parciais converge dizemos ∞ X que a série converge. Denotaremos zn à série numérica gerada n=0
por {zn }. Definição 9.5. Seja r > 0 um número real positivo e {xn = rn } a seqüência de potências de r. Definimos a série geométrica r n X como a série associada a {xn } de somas parciais sn = rk = k=0
1 + r + r2 + · · · + rn . OBS 9.4. podemos simplificar a expressão da soma parcial sn = n X rk = 1 + r + r2 + · · · + rn . do seguinte modo: k=0
fazendo o produto de sn por r temos: n X rsn = r rk = r +2 +r3 + · · · + rn+1 . Subtraindo de sn temos: k=0
rsn − sn = rn+1 − 1. Daí, temos: 1 − rn+1 sn = . 1−r
138
AULA
Variáveis Complexas
9
Se r < 1 como lim rn = 0 temos: n→∞
1 − rn+1 n→∞ 1 − r 1 − lim rn+1
lim sn = lim
n→∞
n→∞
=
1−r 1 = 1−r e a série geométrica é convergente. Por outro lado se r > 1 como lim rn = ∞ temos: n→∞
1 − rn+1 n→∞ 1 − r 1 − lim rn+1
lim sn = lim
n→∞
n→∞
=
1−r
=∞ e a série geométrica é divergente. As séries numéricas são mais ricas, em comparação com as seqüências, no que tange aos critérios de convergências. Veremos alguns deles, na forma de teoremas dos quais provaremos alguns, começando pelo critério da comparação de séries de números reais. ∞ ∞ X X Teorema 9.5 (Critério da Comparação). Sejam xn e yn n=0
n=0
séries numéricas onde: xn , yn ∈ R. tais que xn , yn > 0. Supondo que para todo n, xn < yn valem: ∞ ∞ X X 1. Se yn converge então xn converge. n=0
2. Se
∞ X
n=0
xn diverge então
n=0
Teorema 9.6. Seja ∞ X n=0
∞ X
yn diverge.
n=0 ∞ X
zn uma série de números complexos. Se
n=0
zn converge então lim zn = 0. n→∞
139
Convergência de Séries de Números Complexos PROVA: Pelo critério de Cauchy temos: lim |zn | = lim |sn − n→∞
n→∞
sn−1 | = 0. Logo da continuidade da função módulo temos: lim zn = 0.
n→∞
OBS 9.5. O teorema acima nos dá uma condição necessária para convergência de uma série numérica. Definição 9.6. Seja mos que ∞ X
∞ X
∞ X
zn uma série de números complexos. Dize-
n=0
zn converge absolutamente se, somente se, a série
n=0
|zn | associada à seqüência {|zn |} converge.
n=0
OBS 9.6. Na próxima seção, estudo das séries de potências ficará clara a importância deste conceito. Teorema 9.7. Seja ∞ X
∞ X
zn uma série de números complexos. Se
n=0
zn é absolutamente convergente então
n=0
zn é convergente.
n=0
PROVA: Sejam sn = s∗n
∞ X
=
n X
n X
zk a n-ésima soma parcial de {zn } e
k=0
|zk | a n-ésima soma parcial de {|zn |}. Da desigualdade
k=0
triangular, fazendo m = n + k temos: |sm − sn | = |sn+k − sn | = |zn+k + zn+k−1 + · · · + zn+1 | ≤ |zn+k | + |zn+k−1 | + · · · + |zn+1 | ≤ |s∗n+k − s∗n | ≤ |s∗m − s∗n |
140
AULA
Variáveis Complexas
Como
∞ X
|zn | do critério de Cauchy, para todo ε > 0 existe no ∈ N
9
n=0
tal que ∀m, n ≥ n0 , |s∗m − s∗n | < ε. Da desigualdade acima temos: ∞ X ∀m, n ≥ n0 , |sm − sn | < ε. Logo zn satisfaz o critério de n=0
Cauchy e é convergente.
Teorema 9.8. Sejam
∞ X
zn e
n=0
plexos convergentes tais que
∞ X
wn duas séries de números com-
n=0 ∞ X
∞ X
n=0
n=0
zn = z e
wn = w e a ∈ C
então:
i)
∞ X
(azn ) = az
n=0
ii)
∞ X
(zn + wn ) = z + w
n=0
9.5
Séries de Potência
Esta seção será o ponto alto de nossa aula. Nela veremos séries de potência, culminando com um teorema de representação de funções holomorfas.
Definição 9.7. Seja {an } uma seqüência de números complexos. Definimos a série de potências associada a {an } de centro em 0 ∞ X por: an z n . n=0
OBS 9.7. As primeiras somas parciais da série de potências asso-
141
Convergência de Séries de Números Complexos ciada a {an } de centro em 0 são: s0 = a0 s1 = a0 + a1 z s2 = a0 + a1 z + a2 z 2 .. . sn = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n .. . Dada uma série de potência duas perguntas aparecem de forma natural. Na primeira desejamos saber para quais valores de z a série é convergente. A segunda é se fizermos f (z) = lim sn sob n→∞
quais condições teríamos uma função e onde estaria definida. O caso trivial z = 0 é nos dá uma resposta óbvia pois, teríamos uma seqüência constante. A verdadeira questão é para que outros valores de z teríamos uma resposta positiva? Teorema 9.9. Seja
∞ X
an z n uma série numérica:
n=0
i) Se existe z1 ∈ C, z1 6= 0 tal que ∞ X
∞ X
an z1n converge então
n=0
an z n converge para todo z ∈ C tal que |z| < |z1 |
n=0
ii) Se existe z2 ∈ C, z2 6= 0 tal que
∞ X
an z2n
diverge então
n=0
∞ X
an z n
n=0
diverge para todo z ∈ C tal que |z2 | < |z| PROVA: Dividiremos a prova em duas partes: ∞ X Parte 1: Como an z1n converge do teorema 9.6 temos: n=0
lim an z1n = 0 e a seqüência {an z1n } é limitada. Logo existe K > 0
n→∞
142
AULA
Variáveis Complexas tal que para todo n ∈ N, |an z1n | < K. Daí, como |z| < |z1 | pondo |z| r= < 1 temos: |z1 |
9
|an z n | = |an |.|z|n n
= |an |.|z1 | .
|z| |z1 |
n
= |an z1n |.rn < Krn Como r < 1 a série
∞ X
Krn converge para
n=0
comparação teorema 9.5 a série rema 9.7 a série
∞ X
∞ X
K pelo critério da 1−r
|an z n | e portanto do teo-
n=0
an z n é convergente.
n=0
Suponha, por absurdo, que exista um número z ∈ C ∞ X tal que |z| > |z2 | e a série an z n seja convergente. repetindo a
Parte 2:
n=0
demonstração da Parte 1 trocando z por z2 e z1 por z teríamos ∞ X que a série an z2n seria convergente o que é um absurdo. Logo, n=0
para todo z ∈ C tal que |z| > |z2 | a série
∞ X
an z n é divergente.
n=0
OBS 9.8. O teorema acima nos diz de se uma série
∞ X
an z n é
n=0
convergente em um ponto z1 6= 0 então é convergente em todos os pontos da bola aberta B|z1 | (0) e portanto podemos definir uma n X função f : B|z1 | (0) 7→ C dada por f (z) = lim an z n . n→∞
Teorema 9.10. Seja
∞ X
k=0
an z n uma série de potências então existe
n=0
¯r (0) tal que a série converge absolutamente em uma bola fechada B todos os pontos do interior da bola e diverge para todos os pontos do exterior da bola.
143
Convergência de Séries de Números Complexos
Definição 9.8. Seja
∞ X
an z n uma série de potências denomi-
n=0
namos raio de convergência ao raio r da bola definida pelo teorema acima. O seguinte teorema oferece um modo prático de determinar o raio de convergência de uma série de potências. ∞ X Teorema 9.11. Seja an z n uma série de potências tal que para n=0
todo n ∈ N, an 6= 0. Então o raio de convergência da série de potências pode ser dado por: an 1 ou r = lim r = lim n→∞ an+1 n→∞ |an |1/n Vejamos um exemplo de determinação do raio de convergência de uma série de potências. Exemplo 9.2. Seja a série de potências dada por
∞ X 1 n z . Den!
n=0
termine seu raio de convergência. SOLUÇÃO:
1 1 temos: an+1 = = n! (n + 1)! 1 (n + 1).n! n! = = = n + 1. 1 n! (n + 1).n!
Tomando an =
1 an . Logo: (n + 1).n! an+1
Daí, temos: an = lim n + 1 = ∞. Logo: lim n→∞ an+1 n→∞ an an r = lim = lim = ∞. n→∞ an+1 n→∞ an+1 Para concluir enunciaremos sem demonstração o seguinte teorema. Teorema 9.12. Sejam D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C um função holomorfa em uma bola aberta Br (z0 ) ⊂ D então para cada z ∈ Br (z0 ) temos: f (z) =
∞ X f (n) (z0 ) n=0
144
n!
(z − z0 )n
Variáveis Complexas
9.6
AULA
9
Conclusão
Na aula de hoje, tanto as seqüências de números complexos quanto as séries de números complexos têm paralelo com seqüências e séries de números reais exceto por alguns critérios de convergência.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 09 constam os seguintes tópicos:
Seqüências de Números Complexos Definição de seqüência de Números complexos Uma seqüência de números complexos é uma função cujo domínio é o conjunto do números naturais N e o contra-domínio o conjunto dos números complexos C, z : N 7→ C. Convergência de Seqüência de Números Complexos Se uma seqüência {zn } tem limite dizemos alternativamente que ela converge. Por outro lado se {zn } não possui limite dizemos que a seqüência diverge. Teorema 1 Seja {zn } uma seqüências de números complexos. Se {zn } é convergente então {zn } é limitada. Teorema 2 Sejam {zn } e {wn } duas seqüências de números complexos tais que z = lim zn e w = lim wn então: n→∞
n→∞
i) lim azn = az, para todo a ∈ C n→∞
ii) lim (zn + wn ) = z + w n→∞
145
Convergência de Séries de Números Complexos iii) lim (zn − wn ) = z − w n→∞
iv) lim (zn .wn ) = z.w n→∞
z zn = , se w 6= 0 n→∞ wn w
v) lim
Teorema 3: Critério de Cauchy Seja {zn } uma seqüência de número complexos então {zn } é convergente se, somente se, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que: ∀m, n ≥ n0 |zm − zn | < ε Séries de Números Complexos Definição Dada uma seqüência {zn } de números complexos, definimos a série n X zk . associada {sn } com a seqüência de somas parciais sn = k=0
Definição ∞ ∞ X X Seja zn uma série de números complexos. Dizemos que zn n=0
converge absolutamente se, somente se, a série
∞ X
n=0
|zn | associada à
n=0
seqüência {|zn |} converge. Teorema 1 ∞ ∞ X X Seja zn uma série de números complexos. Se zn é absolun=0
tamente convergente então
∞ X
n=0
zn é convergente.
n=0
Teorema 2 ∞ ∞ X X Sejam zn e wn duas séries de números complexos convern=0
gentes tais que
n=0
∞ X
n=0
i)
∞ X
(azn ) = az
n=0
146
zn = z e
∞ X n=0
wn = w e a ∈ C então:
AULA
Variáveis Complexas
ii)
∞ X
9
(zn + wn ) = z + w
n=0
Séries de Potência Definição Seja {an } uma seqüência de números complexos. Definimos a série ∞ X de potências associada a {an } de centro em 0 por: an z n . n=0
Teorema 1 ∞ X Seja an z n uma série numérica: n=0 ∞ X
i) Se existe z1 ∈ C, z1 6= 0 tal que ∞ X
an z1n converge então
n=0
an z n converge para todo z ∈ C tal que |z| < |z1 |
n=0
ii) Se existe z2 ∈ C, z2 6= 0 tal que ∞ X
∞ X
an z2n diverge então
n=0
an z n diverge para todo z ∈ C tal que |z2 | < |z|
n=0
Teorema 2 ∞ X Seja an z n uma série de potências então existe uma bola fechada n=0
¯r (0) tal que a série converge absolutamente em todos os pontos B do interior da bola e diverge para todos os pontos do exterior da bola. Definição ∞ X Seja an z n uma série de potências denominamos raio de conn=0
vergência ao raio r da bola definida pelo teorema acima. Teorema 3 ∞ X Seja an z n uma série de potências tal que para todo n ∈ N, n=0
an 6= 0. Então o raio de convergência da série de potências pode
147
Convergência de Séries de Números Complexos ser dado por: an 1 ou r = lim r = lim n→∞ an+1 n→∞ |an |1/n Teorema 4 Sejam D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C um função holomorfa em uma bola aberta Br (z0 ) ⊂ D então para cada z ∈ Br (z0 ) temos: f (z) =
∞ X f (n) (z0 ) n=0
n!
(z − z0 )n
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos séries de Laurent uma forma de representação de funções não holomorfas.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 9.1. Sejam {zn } e {wn } duas seqüências de números complexos tais que z = lim zn e w = lim wn . Mostre, usando a n→∞
n→∞
definição, que:
lim (zn + wn ) = z + w.
n→∞
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção as
demonstrações dos teoremas sobre seqüências de números complexos, elas lhe servirão de guia.
148
AULA
Variáveis Complexas
ATIV. 9.2. Seja a série de potências dada por
∞ X 2n n=0
n!
z n . Deter-
9
mine seu raio de convergência. Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
exemplo de determinação do raio de convergência de uma série de potências, ele lhe servirá de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
149
AULA
Séries de Laurent META: Introduzir séries de Laurent. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir séries de Laurent e determinar a série de Laurent para algumas funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS Aula09 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo II.
10
Séries de Laurent
10.1
Introdução
Caros alunos essa nossa aula tem como tema “Séries de Laurent”. Como as séries de Taylor servem para representar funções holomorfas, Séries de Laurent servem para representar certos tipos de funções não-holomorfas.
10.2
Séries de Laurent
Caros alunos esta aula em particular será curta. Vamos então diretamente para o teorema que é o ponto central de nossa aula antes porém, veremos um resultado importante na demonstração do teorema. A saber: Se z 6= 1 é um número complexo então: 1 z n+1 = 1 + z + z2 + · · · + zn + 1−z 1−z
(10.147)
PROVA: Considere a soma sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n e fazendo o produto zsn temos: zsn = z + z 2 + z 3 + · · · + z n+1 . Subtraindo sn − zsn temos: sn − zsn = 1 + z + z 2 + · · · + z n − (z + z 2 + · · · + z n+1 ) = 1 − z n+1 . Daí, temos: sn (−z) = 1 − z n+1 . Logo: 1 − z n+1 = sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n . E finalmente: 1−z 1 z n+1 = 1 + z + z2 + · · · + zn + . 1−z 1−z Teorema 10.1. Seja f (•) uma função holomorfa no anel aberto D = B%2 (z0 )−B%1 (z0 ) e sua fronteira onde 0 < %1 < %2 seja z ∈ D (ver figura 10.1) então: f (z) =
∞ X m=−∞
152
am (z − z0 )m
AULA
Variáveis Complexas
10
y Γ2 %2 Γ1
z0 %1
z
x Figura 10.1: Série de Laurent
onde: I f (z) 1 dz m = 0, 1, 2, . . . am = 2πıı ΓI2 (z − z0 )m+1 1 f (z)(z − z0 )m−1 dz m = 1, 2, 3, . . . a−m = 2πıı Γ1 PROVA: Da fórmula integral de Cauchy temos:
f (z) =
1 2πıı
I Γ1
f (w) dw − w−z
I Γ2
f (w) dw w−z
(10.148)
Vamos considerar a primeira integral em eqn 10.148. Para isto tomamos: 1 1 = w−z w − z0 + z0 − z 1 = (w − z0 )(1 + (z0 − z)/(w − z0 )) 1 = (w − z0 )(1 − (z − z0 )/(w − z0 ))
(10.149)
153
Séries de Laurent z − z0 em eqn 10.147temos: w − z0 1 z − z0 n z − z0 + ··· + =1+ 1 − (z − z0 )/(w − z0 ) w − z0 w − z0 n+1 z − z0 w − z0 + 1 − (z − z0 )/(w − z0 )
Substituindo z por
(10.150) Manipulando eqn 10.150 temos: z − z0 z − z0 n 1 + ··· + =1+ 1 − (z − z0 )/(w − z0 ) w − z0 w − z0 n+1 z − z0 w − z0 + 1 − (z − z0 )/(w − z0 ) z − z0 z − z0 n =1+ + ··· + w − z0 w − z0 n+1 z − z0 w − z0 + w − z0 − (z − z0 ) w − z0 z − z0 z − z0 n =1+ + ··· + w − z0 w − z0 n+1 z − z0 w − z0 + w−z w − z0 z − z0 n z − z0 + ··· + =1+ w − z0 w − z0 n+1 z − z0 w − z0 + w − z0 w−z (10.151) Substituindo eqn 10.151 em eqn 10.149 temos: 1 z − z0 1 = + + ··· w−z w − z0 (w − z0 )2 z − z0 n 1 + w − z0 w−z
154
(10.152)
Variáveis Complexas
AULA
Fazendo o produto de eqn 10.152 por f (w) e integrando ao longo
10
de Γ2 no sentido positivo temos: I I I f (w) z − z0 f (w) f (w) dw + dw + · · · dw = (w − z0 )2 Γ2 w − z Γ2 Γ2 w − z0 I z − z0 n f (w) + dw w − z0 w−z Γ2 (10.153) Fazendo o produto de eqn 10.153 por 1 ak = 2πıı
I Γ2
1 e definindo 2πıı
f (w) dw, k = 0, 1, . . . (w − z0 )k+1
temos: 1 2πıı
I Γ2
f (w) dw = a0 + a1 (z − z0 ) + · · · + an−1 (z − z0 )n−1 w−z I 1 z − z0 n f (w) + dw 2πıı Γ2 w − z0 w−z (10.154)
Vamos considerar agora a segunda integral em eqn 10.148. Para isto tomamos: −
1 1 1 = = w−z z−w z − z 0 + z0 − w 1 = (z − z0 )(1 + (z0 − w)/(z − z0 )) 1 = (z − z0 )(1 − (w − z0 )/(z − z0 ))
(10.155)
w − z0 em eqn 10.147temos: z − z0 1 w − z0 w − z0 n =1+ + ··· + 1 − (w − z0 )/(z − z0 ) z − z0 z − z0 n+1 w − z0 z − z0 + 1 − (w − z0 )/(z − z0 )
Substituindo z por
(10.156)
155
Séries de Laurent Manipulando eqn 10.156 temos: 1 w − z0 n w − z0 + ··· + =1+ 1 − (w − z0 )/(z − z0 ) z − z0 z − z0 n+1 w − z0 z − z0 + 1 − (w − z0 )/(z − z0 ) w − z0 w − z0 n + ··· + =1+ z − z0 z − z0 n+1 w − z0 z − z0 + z − z0 − (w − z0 ) z − z0 w − z0 w − z0 n =1+ + ··· + z − z0 z − z0 n+1 w − z0 z − z0 + z−w z − z0 w − z0 w − z0 n =1+ + ··· + z − z0 z − z0 n+1 w − z0 z − z0 + z − z0 z−w (10.157) Substituindo eqn 10.157 em eqn 10.155 temos: −
1 1 w − z0 = + ··· + w−z z − z0 (z − z0 )2 w − z0 n 1 + z − z0 z−w
(10.158)
Fazendo o produto de eqn 10.158 por f (w) e integrando ao longo de Γ1 no sentido positivo temos: I I I f (w) f (w) w − z0 dw = dw + f (w) − dw + · · · w − z z − z (z − z0 ) 2 0 Γ1 Γ1 Γ1 I w − z0 n f (w) + dw z − z0 z−w Γ1 (10.159)
156
AULA
Variáveis Complexas
Fazendo o produto de eqn 10.159 por a−k
1 = 2πıı
I
10
1 e definindo 2πıı
f (w)(w − z0 )k−1 dw, k = 1, 2, . . .
Γ1
temos: 1 2πıı
I Γ1
f (w) a−1 a−2 a−n dw = + + ··· + 2 w−z z − z0 (z − z0 ) (z − z0 )n n I 1 w − z0 f (w) + dw 2πıı Γ1 z − z0 z−w (10.160)
Resta mostrar que a integral final em eqn 10.154 tendem a zero quando n → ∞. Para isso façamos: I z − z0 n f (w) 1 dw (10.161) un = 2πıı Γ2 w − z0 w−z z−z 0 Como w ∈ Γ2 temos: max = γ < 1. Por outro lado w − z0 como f (•) é holomorfa no anel aberto D = B%2 (z0 ) − B%1 (z0 ) e sua fronteira |f (w)| < M . E também, |w − z| = |w − z0 + z0 − z| ≥ |w − z0 | − |z − z0 | = %2 − |z − z0 |. Daí, tomando o módulo de eqn 10.161 temos: 1 I z − z n f (w) 0 dw |un | = ı 2πı Γ2 w − z0 w−z n I 1 f (w) z − z0 ≤ dw 2π Γ2 w − z0 w−z γnM 1 2π%2 ≤ 2π %2 − |z − z0 | γ n M %2 ≤ %2 − |z − z0 |
(10.162)
De eqn 10.162 temos lim |un | = 0 de onde lim un = 0 n→∞
n→∞
Da mesma forma para mostrar que a integral final em eqn 10.160 tendem a zero quando n → ∞ façamos: I w − z0 n f (w) 1 vn = dw 2πıı Γ1 z − z0 z−w
(10.163)
157
Séries de Laurent w − z 0 Como w ∈ Γ1 temos: max = γ < 1. Por outro lado z − z0 como f (•) é holomorfa no anel aberto D = B%2 (z0 ) − B%1 (z0 ) e sua fronteira |f (w)| < M . E também, |z − w| = |z − z0 + z0 − w| ≥ |z − z0 | − |w − z0 | = |z − z0 | − %1 . Daí, tomando o módulo de eqn 10.163 temos: 1 I w − z n f (w) 0 |vn | = dw 2πıı Γ2 z − z0 z−w n I 1 f (w) z − z0 ≤ dw 2π Γ2 w − z0 w−z γnM 1 2π%1 ≤ 2π |z − z0 | − %1 γ n M %1 ≤ |z − z0 | − %1
(10.164)
De eqn 10.164 temos lim |vn | = 0 de onde lim vn = 0 Portanto, n→∞
n→∞
passando o limite n → ∞ em eqn 10.154 e eqn 10.160 levando em conta que as integrais finais de eqn 10.154 e eqn 10.160 tendem a zero e substituindo em eqn 10.148 temos: f (z) =
∞ X
am (z − z0 )m
m=−∞
onde: I 1 f (z) dz m = 0, 1, 2, . . . am = 2πıı ΓI2 (z − z0 )m+1 1 f (z)(z − z0 )m−1 dz m = 1, 2, 3, . . . a−m = 2πıı Γ1 OBS 10.1. As vezes é conveniente reescrever a série de Laurent na forma: f (z) =
∞ X m=1
X bm + an (z − z0 )n (z − z0 )m n=0
onde: I 1 f (z) dz n = 0, 1, 2, . . . an = 2πıı IΓ2 (z − z0 )n+1 1 f (z)(z − z0 )m−1 dz m = 1, 2, 3, . . . bm = 2πıı Γ1
158
AULA
Variáveis Complexas Vamos a alguns exemplos de aplicação da série de Laurent.
10
Exemplo 10.1. Determine a série de Laurent da função f (z) = eaz em torno do ponto z0 = 1. (z − 1)4 SOLUÇÃO: Primeiramente vamos deslocar o ponto onde f (•) é descontínua de z0 = 1 para z0 = 0 fazendo a mudança de variável u = z − 1 e temos: f (z) = fˆ(u) = f (u + 1) = Como
ez
=
∞ X zn n=0
au ea(u+1) ae = e (u + 1 − 1)4 u4
(10.165)
temos:
n!
au
e
= =
∞ X (au)n n=0 ∞ X n=0
n! (10.166)
an un n!
De eqn 10.165 e eqn 10.166 temos: f (z) = fˆ(u) = ea
∞ 1 X an un u4 n! n=0
=e
a
∞ X an un−4 n=0
(10.167)
n!
Fazendo em eqn 10.167 a mudança devariável k = n−4, n = k+4 ∞ ∞ e substituindo os limites n ek no somatório temos: 0 −4 f (z) = fˆ(u) = ea
∞ X ak+4 uk (k + 4)!
(10.168)
k=−4
Explicitando no somatório de eqn 10.168 os termos de k = −4 até k = −1 temos: ea aea a2 ea a3 ea + + 2 + u4 u3 u u ∞ k+4 k X a u + ea (k + 4)!
f (z) = fˆ(u) =
(10.169)
k=0
159
Séries de Laurent Retornando em eqn 10.170 u = z − 1 temos: aea a2 ea a3 ea ea + + + (z − 1)4 (z − 1)3 (z − 1)2 z − 1 ∞ X ak+4 ea (z − 1)k + . (k + 4)!
f (z) =
(10.170)
k=0
10.3
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que certas funções não-holomorfas também podem ser representadas por série de potências. Mais especificamente, por série de Laurent.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 10 consta o seguinte tópico:
Série de Laurent Seja f (•) uma função holomorfa no anel aberto D = B%2 (z0 ) − B%1 (z0 ) e sua fronteira onde 0 < %1 < %2 seja z ∈ D então: f (z) =
∞ X
am (z − z0 )m
m=−∞
onde: I f (z) 1 dz m = 0, 1, 2, . . . a = m m+1 2πıı C I2 (z − z0 ) 1 f (z)(z − z0 )m−1 dz m = 1, 2, 3, . . . a−m = 2πıı C1
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos singularidades de funções de variáveis complexas. Mais especificamente veremos como usar séries
160
Variáveis Complexas
AULA
de Laurent para classificar pontos de singularidades isoladas de
10
funções não-holomorfas..
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 10.1. Determine a série de Laurent da função f (z) = 1 − cos(z) entorno do ponto z0 = 0. z2 Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
exemplo acima, ele lhe servirá de guia. ATIV. 10.2. Determine a série de Laurent da função f (z) = 1 entorno do ponto z0 = 1. 2 z (z − 1)2 Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
exemplo acima, ele lhe servirá de guia. Veja também a série de 1 . Taylor para a função (1 + z)2
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008.
161
Séries de Laurent FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
162
AULA
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas META: Introduzir o conceito de singularidades de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir singularidades de funções de variáveis complexas e analisar as singularidades de algumas funções de variáveis complexas. PRÉ-REQUISITOS Aula10 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo II.
11
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas
11.1
Introdução
Caros alunos o tema dessa nossa aula é “Singularidades de Funções de Variáveis Complexas”. O objetivo é usar séries de Laurent para estudar e classificar pontos de singularidades de funções complexas.
11.2
Pontos Singulares de Funções Complexas
Começaremos por estudar pontos singulares de funções complexas. Definição 11.1. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. Dizemos que z0 é um ponto singular de f (•) se, somente se f 0 (z0 ) = 0 ou não existe. Definição 11.2. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D um ponto singular de f (•). Dizemos que z0 é um ponto singular isolado se, somente se existe uma bola aberta Br (z0 ) de centro em z0 tal que z0 é o único ponto singular de f (•) que pertence a Br (z0 ). Caso contrario z0 é dito um ponto singular não isolado. OBS 11.1. Pontos singulares são extremamente importantes na análise complexas pois, dizem muito do comportamento local de funções complexas.
11.3
Classificação de Pontos Singulares Isolados
Estaremos, aqui, interessado em estudar e classificar pontos singulares isolados. Para isso usaremos a representação em série de
164
Variáveis Complexas
AULA
11
Laurent da função a ser estudada. Definição 11.3. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa representada em série de Laurent por: f (z) =
∞ X m=1
X bm + an (z − z0 )n (z − z0 )m n=0
e z0 ∈ D um ponto singular isolado de f (•). Se: i) bm = 0, ∀m = 1, 2, . . . dizemos que z0 é uma singularidade removível. ii) bk 6= 0 e bm = 0, ∀m = k + 1, k + 2, . . . dizemos que z0 é um polo de ordem k. iii) ∀m ∈ N, ∃k > m|bk 6= 0 dizemos que z0 é uma singularidade essencial. OBS 11.2. Se z0 é uma singularidade removível f (•) é holomorfa sendo representada por uma série de Taylor em torno de z0 i.e. f (z) =
X
an (z − z0 )n
n=0
OBS 11.3. Se z0 é um polo de ordem k a representação de f (•) em série de Laurent fica reduzida a: f (z) =
k X m=1
X bm + an (z − z0 )n (z − z0 )m n=0
OBS 11.4. Se z0 é uma singularidade essencial os coeficiente bm da representação de f (•) são não nulos para uma infinidade de valores de m ∈ N. Vejamos alguns exemplos de funções complexas e suas singularidades.
165
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas
Exemplo 11.1. Seja f : C − {0} 7→ C dada por f (z) = Como sin(z) =
∞ X
(−1)n
n=0
sin(z) . z
z 2n+1 então: (2n + 1)! ∞
f (z) =
z 2n+1 1X (−1)n z (2n + 1)! n=0
= =
∞ X
(−1)n
n=0 ∞ X
(−1)n
n=0
=1−
1 z 2n+1 z (2n + 1)! z 2n (2n + 1)!
z2 z4 z6 + − + ··· 3! 5! 7!
Portanto z = 0 é uma singularidade removível de f (•). Exemplo 11.2. Seja f : C − {0} 7→ C dada por f (z) = Como sin(z) =
∞ X
(−1)n
n=0
f (z) =
sin(z) . z3
z 2n+1 então: (2n + 1)!
∞ 2n+1 1 X n z (−1) z3 (2n + 1)! n=0
= =
∞ X
(−1)n
n=0 ∞ X
(−1)n
n=0
1 z 2n+1 z 3 (2n + 1)! z 2n−2 (2n + 1)!
∞
=
X 1 z 2k k+1 + (−1) z2 (2k + 3)! n=0
1 1 z2 z4 = 2− + − + ··· z 3! 5! 7! Portanto z = 0 é um polo de ordem 2 de f (•). Exemplo 11.3. Seja f : C − {0} 7→ C dada por f (z) = sin(1/z).
166
AULA
Variáveis Complexas
Como sin(z) =
∞ X
(−1)n
n=0
f (z) = = =
11
z 2n+1 então: (2n + 1)!
∞ X
(−1)n
n=0 ∞ X
(−1)n
n=0 ∞ X
(−1)n
n=0
=1+
∞ X
(1/z)2n+1 (2n + 1)! 1/z 2n+1 (2n + 1)! 1 1 2n−2 (2n + 1)! z
(−1)n
n=1
= ··· −
1 1 2n−2 (2n + 1)! z
1 1 1 + − +1 7 5 7!z 5!z 3!z 3
Portanto z = 0 é uma singularidade essencial de f (•). Teorema 11.1. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. As seguintes proposições são equivalentes: i) z0 é uma singularidade removível de f (•). ii) Existe lim f (z). z→z0
iii) |f (z)| é limitado em alguma bola aberta Br (z0 ). PROVA: Dividiremos a prova em três partes: Parte 1:
i) implica ii). Supondo que i) vale a série de Laurent
de f (z) é da forma: f (z) =
X
an (z − z0 )n
n=0
Logo lim f (z) = a0 e portanto existe lim f (z) e ii) vale. z→z0
Parte 2:
z→z0
ii) implica iii). Supondo que existe lim f (z) = L, z→z0
da definição de limite existe δ > 0 tal que se z ∈ Bδ (z0 ) − {z0 }
167
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas então f (z) ∈ B1 (L). De outra forma. Se z ∈ Bδ (z0 ) − {z0 } então |f (z) − L| < 1 ou seja: ∀z ∈ Bδ (z0 ) − {z0 }, |f (z)| < |L| + 1 isto é vale iii). Parte 3:
iii) implica i). Suponhamos que vale iii) então existe
K > 0 e uma bola Br (z0 ) tal que ∀z ∈ Br (z0 ), |f (z)| < K. por outro lado, os coeficientes bm da série de Laurent são dados por: Z 1 bm = f (z)(z − z0 )m−1 dz, m = 1, 2, . . . 2πıı Γ onde Γ(t) = z0 + εeı t , t ∈ [0, 2π) e ε < r. Daí, temos: 1 Z m−1 |bm | ≤ f (z)(z − z0 ) dz 2πıı Γ Z 1 |f (z)|.|z − z0 |m−1 |dz| ≤ 2π Γ 1 ≤ Kεm−1 2πε 2π ≤ Kεm Fazendo ε → 0 temos: |bm | − 0 e portanto bm = 0, m = 1, 2, . . .. Logo z0 é uma singularidade removível de f (•) e i) vale. Teorema 11.2. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D, então z0 é um polo de ordem k de f (•) se, somente se existe L 6= 0 tal que L = lim (z − z0 )k f (z). z→z0
PROVA: Dividimos a prova em duas partes: Parte 1 (Necessidade) Suponhamos que z0 é um polo de ordem k de f (•) então a representação por série de Laurent de f (z) é da forma: f (z) =
k X m=1
X bm + an (z − z0 )n m (z − z0 )
Logo, fazendo o produto por (z − z0
n=0
)k
temos:
(z − z0 )k f (z) = bk + · · · + b1 (z − z0 )k−1 +
X n=0
168
an (z − z0 )n+k
AULA
Variáveis Complexas
11
Passando o limite z → z0 temos: lim (z − z0 )k f (z) = bk 6= 0 e temos nosso candidato L = bk .
z→z0
Parte 2 (Suficiência) Suponhamos que existe o limite lim (z − z→z0
z0 )k f (z) = L 6= 0. Definindo a função g(z) = (z − z0 )k f (z), temos: lim g(z) = L 6= 0. Logo da parte ii) do teorema 12.1 g(z) tem
z→z0
uma singularidade removível em z0 e pode ser dada por uma série de Taylor centrada em z0 em alguma bola aberta Br (z0 ). g(z) =
X
an (z − z0 )n
n=0
Daí, como g(z) = (z − z0 )k f (z) podemos escrever para f (z). f (z) =
X L ak−1 + · · · + + an+k (z − z0 )n z − z0 (z − z0 )k n=0
E portanto z0 é um polo de ordem k de f (•). Vamos agora enunciar um último teorema sem demonstra-lo. Teorema 11.3. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e suponhamos que z0 ∈ D é uma singularidade essencial de f (•) e que f (z) é holomorfa em B% (z0 ) − {z0 } ⊂ D então dados 0 < r ≤ %, ε > 0 e α ∈ C, existe um número complexo β tal que β ∈ Br (z0 ) − {z0 } e |f (β) − α| < ε.
11.4
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que algumas funções de variáveis complexas são não-holomorfas pois apresentam pontos singulares (pontos onde a derivada da função é zero ou não existe). Também vimos que as singularidades isoladas são classificadas como removíveis, pólos ou singularidades essenciais.
169
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas
RESUMO
No nosso resumo da Aula 11 constam os seguintes tópicos:
Pontos Singulares de Funções Complexas Definição Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. Dizemos que z0 é um ponto singular de f (•) se, somente se f 0 (z0 ) = 0 ou não existe. Definição Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D um ponto singular de f (•). Dizemos que z0 é um ponto singular isolado se, somente se existe uma bola aberta Br (z0 ) de centro em z0 tal que z0 é o único ponto singular de f (•) que pertence a Br (z0 ). Caso contrario z0 é dito um ponto singular não isolado. Classificação de Pontos Singulares Isolados Definição Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa representada em série de Laurent por: f (z) =
∞ X m=1
X bm + an (z − z0 )n (z − z0 )m n=0
e z0 ∈ D um ponto singular isolado de f (•). Se: i) bm = 0, ∀m = 1, 2, . . . dizemos que z0 é uma singularidade removível. ii) bk 6= 0 e bm = 0, ∀m = k + 1, k + 2, . . . dizemos que z0 é um polo de ordem k.
170
Variáveis Complexas
AULA
iii) ∀m ∈ N, ∃k > m|bk 6= 0 dizemos que z0 é uma singularidade
11
essencial. Teorema 1 Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D. As seguintes proposições são equivalentes: i) z0 é uma singularidade removível de f (•). ii) Existe lim f (z). z→z0
iii) |f (z)| é limitado em alguma bola aberta Br (z0 ). Teorema 2 Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e z0 ∈ D, então z0 é um polo de ordem k de f (•) se, somente se existe L 6= 0 tal que L = lim (z − z0 )k f (z). z→z0
Teorema 3 Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa e suponhamos que z0 ∈ D é uma singularidade essencial de f (•) e que f (z) é holomorfa em B% (z0 ) − {z0 } ⊂ D então dados 0 < r ≤ %, ε > 0 e α ∈ C, existe um número complexo β tal que β ∈ Br (z0 ) − {z0 } e |f (β) − α| < ε.
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos o cálculo de resíduos que nos permitirá um teorema semelhante a integral d Cauchy para funções não-holomorfas com singularidades isoladas tipo polo.
171
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 11.1. Seja f : D ⊂ C 7→ C dada por f (z) = tan(zıı). Determine todas as singularidades de f (•) e estabeleça o seu domínio. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos, eles lhe servirão de guia. ATIV. 11.2. Seja f : C − {0} 7→ C dada por f (z) =
1 − cos(z) . z3
Classifique as singularidades de f (•). Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
exemplos, eles lhe servirão de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
172
AULA
Cálculo de Resíduos META: Apresentar cálculo de resíduos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir resíduo de uma função de variáveis complexas em um ponto dado e calcular o resíduo de uma função de variáveis complexas em um ponto dado. PRÉ-REQUISITOS Aula11 de Variáveis Complexas.
12
Cálculo de Resíduos
12.1
Introdução
Caros alunos nessa nossa aula veremos “Cálculo de Resíduos”. O teorema da integral de Cauchy-Goursat assegura que a integral de uma função holomorfa ao longo de uma curva fechada simples C é zero. O cálculo de resíduos permite estender o teorema de Cauchy-Goursat para funções que possuam singularidades isoladas tipo polo no interior da curva C.
12.2
Resíduos
Lembrem-se que z0 é dito um ponto singular de uma função f (•) se f (•) falha em ser holomorfa em z0 mais é holomorfa em algum ponto de toda vizinhança de z0 . Ademais z0 é dita singularidade isolada se existe uma vizinhança de z0 onde f (•) é holomorfa a exceção de z0 . Definição 12.1. Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − {z0 }. Definimos o resíduo de f (•) no ponto z0 , 1 denotado res(f, z0 ), como coeficiente do termo da série de z − z0 Laurent de f (•) centrada em z0 . Vejamos um exemplo de resíduo. Exemplo 12.1. Na aula10 vimos que a série de Laurent para a eaz função f (z) = em torno do ponto z0 = 1 era: (z − 1)4 ea aea a2 ea a3 e a + + + (z − 1)4 (z − 1)3 (z − 1)2 z − 1 ∞ X ak+4 ea (z − 1)k + . (k + 4)!
f (z) =
k=0
Por simples inspeção vemos que: res(f, 1) = a3 ea .
174
AULA
Variáveis Complexas
12
Γ γ2− a2
γ1−
− γn
a1
an
Figura 12.1: Teorema dos Resíduos Vejamos agora como adaptar o teorema de Cauchy-Goursat para o caso de funções não-holomorfas com um número finito de pólos. Teorema 12.1 (Teorema dos resíduos). Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − {z1 , z2 , . . . , zn }. Suponha Γ ⊂ D −{z1 , z2 , . . . , zn } uma curva suave por partes , orientada no sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos z1 , z2 , . . . , zn então: 1 2πıı
I f (z)dz = Γ
n X
res(f, zk )
k=1
PROVA: Para cada ponto zk , k = 1, 2, . . . , n tomemos um círculo γk de centro em zk tais que: γk não tem ponto em comum com γn , n 6= k nem com Γ e está orientado positivamente (sentido anti-horário) (ver figura 12.1) seja γk− o círculo γk orientado negativamente (sentido horário). Seja C = Γ ∪ γ1− ∪ γ2− ∪ · · · ∪ γn− . Do teorema de Cauchy temos: I f (z)dz = 0
(12.171)
C
Levando em conta a construção de C podemos reescrever eqn
175
Cálculo de Resíduos 12.171 como: I f (z)dz = Γ
n I X k=1
f (z)dz
(12.172)
γk
Do teorema de Laurent temos: ∞ X
f (z) =
m=1
X bm an (z − zk )n + (z − zk )m n=0
onde: bm =
1 2πıı
I
f (z)(z − zk )m−1 dz, m = 1, 2, 3, . . .
γk
Em particular: res(f, zk ) = b1 =
1 2πıı
I f (z)dz γk
Daí, tiramos: I f (z)dz = 2πııres(f, zk )
(12.173)
γk
Daí, substituindo eqn 12.173 em eqn 12.172 temos: I n X 1 f (z)dz = res(f, zk ). 2πıı Γ
(12.174)
k=1
Veremos agora um teorema que relaciona em uma mesma integral o número de zeros e o número de pólos de uma função. Teorema 12.2. Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − {z1 , z2 , . . . , zn }. Suponha Γ ⊂ D − {z1 , z2 , . . . , zn } uma curva suave por partes , orientada no sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos z1 , z2 , . . . , zn e que esses pontos sejam pólos de f (•) e que Γ não contenha nenhum zero de f (•) então: 1 2πıı
I Γ
f 0 (z) dz = Z − P f (z)
onde Z é o número de zeros de f (•) no interior de Γ, contado tantas vezes quantas forem sua multiplicidade e P o número de
176
Variáveis Complexas
AULA
pólos de f (•) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem
12
sua ordem. PROVA: Consideremos a integral: I 0 1 f (z) dz 2πıı Γ f (z)
(12.175)
Pelo teorema dos resíduos a integral em eqn 12.175 é a soma dos resíduos do integrando. Porém, dado um ponto a no interior de Γ temos três possibilidades: i) f (a) 6= 0 ii) f (0) = 0 e a é um zero de multiplicidade m de f (•) iii) lim f (z) = ±∞, a é um polo de ordem k de f (•) z→a
f 0 (z) é holomorfa o resíduo é zero e o ponto f (z) nada contribui para a integração em eqn 12.175. Parte 1: no caso i)
Parte 2 no caso ii) para este caso existe uma bola aberta Br (a) de raio r e centro em a tal que f (z) = (z − a)m g(z), ∀z ∈ Br (a) f 0 (z) onde g(z) é holomorfa em Br (a). Daí, calculando a razão f (z) temos: f 0 (z) m(z − a)m−1 g(z) + (z − a)m g 0 (z) m g 0 (z) = = + f (z) (z − a)m g(z) z−a g(z) (12.176) g 0 (z) também é holomorfa e Como g(z) é holomorfa em Br (a), g(z) portanto tem representação por série de Taylor en torno do ponto z = a. Daí, temos: ∞
g 0 (z) X = cn (z − a)n g(z)
(12.177)
n=0
Daí, substituindo eqn 12.177 em eqn 12.176 temos: ∞
X f 0 (z) m = + cn (z − a)n f (z) z−a
(12.178)
n=0
177
Cálculo de Resíduos f 0 (z) Logo eqn 12.178 é a série de Laurent de , z = a é um polo 0 f (z) f (z) de primeira ordem cujo resíduo é res , a = m, que é a f (z) contribuição do ponto z = a à integral eqn 12.175. Parte 3: no caso iii) para este caso existe uma bola aberta Br (a) de raio r e centro em a tal que f (z) = (z − a)−k g(z), ∀z ∈ Br (a) f 0 (z) onde g(z) é holomorfa em Br (a). Daí, calculando a razão f (z) temos: f 0 (z) −k(z − a)−k−1 g(z) + (z − a)−k g 0 (z) = f (z) (z − a)−k g(z) −k g 0 (z) = + z−a g(z)
(12.179)
g 0 (z) também é holomorfa e g(z) portanto tem representação por série de Taylor en torno do ponto
Como g(z) é holomorfa em Br (a),
z = a. Daí, temos: ∞
g 0 (z) X = cn (z − a)n g(z)
(12.180)
n=0
Daí, substituindo eqn 12.180 em eqn 12.179 temos: ∞
X f 0 (z) −k = + cn (z − a)n f (z) z−a
(12.181)
n=0
f 0 (z) , z = a é um polo Logo eqn 12.181 é a série de Laurent de 0 f (z) f (z) de primeira ordem cujo resíduo é res , a = −k, que é a f (z) contribuição do ponto z = a à integral eqn 12.175. Juntando as contribuições dos casos ii) e iii) temos: I 0 1 f (z) dz = Z − P 2πıı Γ f (z) onde Z é o número de zeros de f (•) no interior de Γ, contado tantas vezes quantas forem sua multiplicidade e P o número de
178
Variáveis Complexas
AULA
pólos de f (•) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem
12
sua ordem. A seguir, veremos alguns teoremas que auxiliaram na determinação dos resíduos de uma função não-holomorfa. Teorema 12.3. Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − {z0 }. E suponhamos que z0 é um polo de ordem 1 de f (•). Então res(f, z0 ) = lim (z − z0 )f (z). z→z0
PROVA: Da hipótese do teorema a série de Laurent de f (z) é da forma: ∞
res(f, z0 ) X f (z) = + cn (z − z0 )n z − z0
(12.182)
n=0
Fazendo o produto de eqn 12.182 por z − z0 temos: (z − z0 )f (z) = res(f, z0 ) +
∞ X
cn (z − z0 )n+1
(12.183)
n=0
Passando o limite z → z0 em eqn 12.183 e levando em conta que ∞ X lim cn (z − z0 )n+1 = 0 temos: z→z0
n=0
res(f, z0 ) = lim (z − z0 )f (z). z→z0
Teorema 12.4. Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − {z0 }. E suponhamos que z0 é um polo de ordem k > 1 de f (•) e g : D ⊂ C 7→ C dada por g(z) = (z − z0 )k f (z). g (k−1) (z0 ) . Então res(f, z0 ) = (k − 1)! PROVA: Da hipótese do teorema a série de Laurent de f (z) é da forma: ∞
f (z) =
bk res(f, z0 ) X + · · · + + cn (z − z0 )n z − z0 (z − z0 )k
(12.184)
n=0
179
Cálculo de Resíduos Fazendo o produto de eqn 12.184 por (z − z0 )k temos: (z − z0 )k f (z) = bk + · · · + res(f, z0 )(z − z0 )k−1 +
∞ X
cn (z − z0 )n+k
n=0
(12.185) Como g(z) = (z − z0 )k f (z) e é holomorfa da eqn 12.185 temos: g(z) = bk +· · ·+res(f, z0 )(z −z0 )k−1 +
∞ X
cn (z −z0 )n+k (12.186)
n=0
Logo eqn 12.184 é a expansão em série de Taylor de g(z) en torno do ponto z0 e res(f, z0 ) o coeficiente de (z − z0 )k−1 nessa expansão e portanto: res(f, z0 ) =
g (k−1) (z0 ) . (k − 1)!
OBS 12.1. Se f (z) é holomorfa em z0 então res(f, z0 ) = 0 que não contribui em nada. Porém, se z0 é uma singularidade essencial não tem uma fórmula para simplificar a obtenção do resíduo e o caminho é determinar a série de Laurent de f (z).
12.3
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que é possível estender o teorema de Cauchy para funções não-holomorfas no interior de uma curva fechada simples em cujo interior o integrando possua singularidades isoladas.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 12 constam os seguintes tópicos:
180
Variáveis Complexas
AULA
12
Resíduos Definição Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − {z0 }. Definimos o resíduo de f (•) no ponto z0 , denotado res(f, z0 ), como 1 coeficiente do termo da série de Laurent de f (•) centrada z − z0 em z0 . Teorema 1 Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − {z1 , z2 , . . . , zn }. Suponha Γ ⊂ D−{z1 , z2 , . . . , zn } uma curva suave por partes , orientada no sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos z1 , z2 , . . . , zn então: 1 2πıı
I f (z)dz = Γ
n X
res(f, zk )
k=1
Teorema 2 Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − {z1 , z2 , . . . , zn }. Suponha Γ ⊂ D−{z1 , z2 , . . . , zn } uma curva suave por partes , orientada no sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos z1 , z2 , . . . , zn e que esses pontos sejam pólos de f (•) e que Γ não contenha nenhum zero de f (•)então: 1 2πıı
I Γ
f 0 (z) dz = Z − P f (z)
onde Z é o número de zeros de f (•) no interior de Γ, contado tantas vezes quantas forem sua multiplicidade e P o número de pólos de f (•) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem sua ordem.
181
Cálculo de Resíduos
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos algumas aplicações do cálculo de resíduos (teorema dos resíduos). Em especial no cálculo de algumas integrais definidas.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV. 12.1. Seja f (z) = ez csc(z). Determine todos os pólos de f (•) e calcule o resíduo em cada polo. Comentário: Verifique que todos os pólos de f (•) são simples e use a fórmula lim (z − zk )f (z). z→zk
1 ATIV. 12.2. Determine a integral: 2πıı o círculo unitário |z| = 1.
I
ez csc(z)dz onde C é
C
Comentário: Aplique o teorema do resíduos e o problema anterior.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
182
AULA
Aplicações do Teorema dos Resíduos META: Apresentar algumas aplicações do cálculo de resíduos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Aplicar o cálculo de resíduos na determinação de algumas integrais. PRÉ-REQUISITOS Aula12 de Variáveis Complexas.
13
Aplicações do Teorema dos Resíduos
13.1
Introdução
Caros alunos nessa nossa aula veremos “Algumas Aplicações do Teorema dos Resíduos”. Mais especificamente, veremos com utilizar o teorema dos resíduos na determinação de alguns tipos de integrais impróprias.
13.2
Algumas Aplicações do Teorema dos Resíduos
Veremos, agora, como aplicar o teorema dos resíduos na determinação de certos tipos de integrais impróprias. Começaremos por integrais da forma: Z
+∞
f (x)dx
(13.187)
−∞
Sabemos de Cálculo II que se a integral imprópria acima existe pode ser calculada como o limite: Z lim
+M
M →∞ −M
f (x)dx
(13.188)
y Γ
−r
γ
+r x
Figura 13.1: Aplicações do Teorema dos Resíduos
184
Variáveis Complexas
AULA
Analisaremos o seguinte caso: a nossa função f (•) é holomorfa no
13
semi-plano superior e borda exceto em um número finito de pólos {z1 , z2 , . . . , zn } para os quais Im(zk ) > 0, k = 1, 2, . . . , n. Para este caso, vamos integrar f (z) ao longo da curva C = Γ ∪ γ onde γ(t) = t, t ∈ [−r, +r] e Γ(t) = reı t , t ∈ [0, π] onde r é escolhido grande o suficiente para que todos os pólos {z1 , z2 , . . . , zn } estejam contidos no interior de C. Do teorema de Cauchy temos: I n X 1 res(f, zk ) = f (z)dz 2πıı C k=1 Z Z 1 1 (13.189) f (z)dz + f (z)dz = 2πıı Γ 2πıı γ Z π Z r 1 1 = f (reı t )ııreı t dt + f (x)dx 2πıı 0 2πıı r se: Z lim
r→∞ 0
π
f (reıt )ııreıt dt = 0
(13.190)
Passando o limite r → ∞ em eqn 13.189 e usando eqn 13.190 temos: Z lim
r
r→∞ −r
f (x)dx = 2πıı
n X
res(f, zk )
(13.191)
k=1
Veremos agora uma condição suficiente para eqn 13.190. Se |f (z)| ≤ M/rk onde M e k > 1 são constantes então: Z π Z lim f (z)dz = lim f (reı t )ııreı t dt = 0 (13.192) r→∞ 0
r→∞ Γ
PROVA: Das propriedades da integração complexa temos: Z Z |f (z)|.|dz| f (z)dz ≤ Γ
Γ
M ≤ k πr r πM ≤ k−1 r
185
Aplicações do Teorema dos Resíduos Visto que o comprimento do arco Γ é πr. Daí, como k > 1, passando o limite r → ∞ temos: Z πM lim f (z)dz ≤ lim k−1 r→∞ r r→∞ Γ =0 e portanto: Z lim
r→∞ Γ
f (z)dz = 0. y
z2
z1
x z3
z4
Figura 13.2: Aplicações do Teorema dos Resíduos Vejamos um exemplo: Z
∞
Exemplo 13.1. Determine a integral −∞
1 dz, onde a > 0. z 4 + a4
SOLUÇÃO: Para a função do exemplo f (z) =
z4
1 os pólos + a4
(ver figura 13.2) são: z1 = a cos(π/4) + a sin(π/4)ıı = aeπıı/4 z2 = a cos(3π/4) + a sin(3π/4)ıı = ae3πıı/4 z3 = a cos(5π/4) + a sin(5π/4)ıı = ae5πıı/4 z4 = a cos(7π/4) + a sin(7π/4)ıı = ae7πıı/4 Logo apenas os pólos z1 e z2 estão no interior de C (ver figura 13.1 e figura 13.2). Levando em conta que todos os pólos de 1 f (z) = 4 são pólos simples podemos calcular os resíduos em z + a4 z1 e z2 usando á regra de L’Hopital da seguinte forma: Resíduo
186
AULA
Variáveis Complexas
13
em z1 : res(f, z1 ) = lim (z − z1 )f (z) z→z1
= lim (z − z1 ) z→z1
z4
1 − a4
z − z1 z 4 − a4 1 = lim z→z1 4z 3 1 = 3 3πıı/4 4a e
(13.193)
= lim
z→z1
Resíduo em z2 : res(f, z2 ) = lim (z − z2 )f (z) z→z2
= lim (z − z2 ) z→z2
z4
1 − a4
z − z2 z 4 − a4 1 = lim z→z2 4z 3 1 = 3 9πıı/4 4a e De eqn 13.193 e eqn 13.194 temos: = lim
z→z2
2 X
res(f, zk ) =
k=1
1 4a3 e3πıı/4
+
(13.194)
1 4a3 e9πıı/4
1 −3πıı/4 (e + e−9πıı/4 ) 4a3 1 = 3 (cos(−3π/4) + sin(−3π/4)ıı 4a =
(13.195)
+ cos(−9π/4) + sin(−9π/4)ıı) Levando em conta que cos(−z) = cos(z), sin(−z) = − sin(z), cos(3π/4) = − cos(9π/4) e sin(3π/4) = cos(9π/4) de eqn 13.194 temos: 2 X k=1
1 (−2 sin(3π/4)ıı) 4a3 √ 2ıı =− 3 4a
res(f, zk ) =
(13.196)
187
Aplicações do Teorema dos Resíduos Portanto de eqn 13.191 e eqn 13.196 temos: Z
∞
−∞
2
X 1 dx = 2πıı res(f, zk ) 4 4 x +a k=1 √ 2ıı = −2πıı 3 √ 4a 2π = . 2a3
(13.197)
y Γ
x
Figura 13.3: Aplicações do Teorema dos Resíduos Analisaremos agora um outro caso especial: integrais da forma Z 2π f (cos(θ), sin(θ))dθ. Para este caso usaremos o contorno da 0
figura 13.3 e fazemos a seguinte mudança de variável: z = eθıı . 1 eθıı + e−θıı z + z −1 Logo: dz = ı eθıı dθ, dθ = dz, cos(θ) = = e zıı 2 2 ı ı θı −θı −1 e −e z−z sin(θ) = = . Vejamos um exemplo: 2ıı 2ıı Z 2π 1 dθ onde: a > Exemplo 13.2. Calculo a integral a + b cos(θ) 0 |b|. SOLUÇÃO: Usando as transformações acima temos: Z
2π
1 dθ a + b cos(θ) 0 I 1 1 = dz −1 ı zı z+z C a+b 2 I −2ıı = dz 2 C bz + 2az + b
I=
188
(13.198)
AULA
Variáveis Complexas −2ıı são obtidos resolvendo + 2az + b bz 2 + 2az + b = 0. Os dois pólos simples são: √ −2a + 4a2 − 4b2 z1 = √ 2b −a + a2 − b2 = b√ −2a − 4a2 − 4b2 z2 = √ 2b −a − a2 − b2 = b Os pólos da função f (z) =
bz 2
13
Apenas z1 pertence a região limitada por Γ pois, −a + √a2 − b2 |z1 | = b √ √ a2 − b2 + a a2 − b2 − a = √ b a2 − b2 + a b = √ 2 2 a −b +a 1 O que garante z2 fora da região limitada por Γ. Para o resíduo de f (•) em z1 temos: res(f, z1 ) = lim (z − z1 )f (z) z→z1
−2ıı(z − z1 ) z→z1 bz 2 + 2az + b −2ıı = lim z→z1 2bz + 2a −ıı =√ 2 a − b2
= lim
(13.199)
189
Aplicações do Teorema dos Resíduos −2ıı e na curva + 2az + b fechada suave Γ e usando eqn 13.198 e eqn 13.199 temos: Usando o teorema dos resíduos em f (z) =
2π
Z I= 0
1 dθ = a + b cos(θ)
bz 2
I Γ
bz 2
−2ıı dz + 2az + b
= 2πııres(f, z1 ) =√
13.3
2π . a2 − b2
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que é possível aplicar o teorema dos resíduos na determinação de alguns tipos de integrais impróprias.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 13 constam os seguintes tópicos:
Algumas Aplicações do Teorema dos resíduos Primeira Aplicação Função f (•) é holomorfa no semi-plano superior e borda exceto em um número finito de pólos {z1 , z2 , . . . , zn } para os quais Im(zk ) > 0, k = 1, 2, . . . , n. Para este caso, integrar f (z) ao longo da curva C = Γ ∪ γ onde γ(t) = t, t ∈ [−r, +r] e Γ(t) = reı t , t ∈ [0, π] onde r é escolhido grande o suficiente para que todos os pólos {z1 , z2 , . . . , zn } estejam contidos no interior de C (figura 13.1). Se |f (z)| ≤ M/rk onde M e k > 1 são constantes então: Z
∞
Z f (x)dx = lim
−∞
190
r
r→∞ −r
f (x)dx = 2πıı
n X k=1
res(f, zk )
(13.200)
Variáveis Complexas Segunda Aplicação Z 2π Integrais da forma f (cos(θ), sin(θ))dθ. Para este caso usare-
AULA
13
0
mos o contorno da figura 13.3 e fazemos a seguinte mudança 1 de variável: z = eθıı . Logo: dz = ı eθıı dθ, dθ = dz, cos(θ) = zıı eθıı + e−θıı z + z −1 eθıı − e−θıı z − z −1 = e sin(θ) = = . E temos: 2 2 2ıı 2ıı Z 2π I z + z −1 z − z −1 1 f (cos(θ), sin(θ))dθ = f , dz 2 2ıı zıı 0 C
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos transformações conforme (transformações que preservam o ângulo entre vetores). Em particular veremos que funções holomorfas são transformações conformes.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
Z
∞
ATIV. 13.1. Determine a integral −∞
Comentário:
1 dz, onde a > 0. z 6 + a6
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
primeiro exemplo acima, ele lhe servirá de guia. Z 2π 1 ATIV. 13.2. Calculo a integral dθ onde: a > |b|. a + b sin(θ) 0 Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o segundo exemplo acima, ele lhe servirá de guia.
191
Aplicações do Teorema dos Resíduos
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008. FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
192
AULA
Transformações Conformes META: Introduzir o conceito de transformações conforme. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir transformações conformes e exemplificar transformações conformes. PRÉ-REQUISITOS Aula03 de Variáveis Complexas.
14
Transformações Conformes
14.1
Introdução
Caros alunos estamos quase no final de nosso curso de “Variáveis Complexas”. Nosso assunto de agora é “Transformações Conformes”. Aqui estabeleceremos os aspectos básicos de transformações conformes como ponto de partida para a próxima aula onde faremos algumas aplicações das transformações conformes.
14.2
Transformações Conformes
Vamos iniciar com a definição do conceito de transformações conformes: y
v
plano xy C2
plano w (u0 , v0 )
C20
C1
C10
(x0 , y0 )
x
u
Figura 14.1: Transformações Conformes
Definição 14.1. Seja Ψ : D ⊂ R2 7→ R2 uma transformação de um aberto D de R2 em R2 tal que Ψ leva o ponto (x0 , y0 ) do plano xy no ponto (u0 , v0 ) do plano uv. Se dada duas curvas C1 e C2 do plano xy que se interceptam em z0 são levadas na curvas C10 e C20 que se interceptam em (u0 , v0 ) (ver figura 14.1) então se Ψ é tal que o ângulo entre as curvas C1 e C2 em (x0 , y0 ) é igual ao ângulo entre C10 e C20 em módulo e sentido, dizemos que Ψ é uma transformação conforme em (x0 , y0 ).
194
Variáveis Complexas
AULA
Vamos examinar a mudança de direção de curvas no plano com-
14
plexo z, passando pelo ponto z0 sob a transformação w = f (z) quando a função em questão é holomorfa em z0 e além disso f 0 (z0 ) 6= 0. Para isso enunciamos e provamos o seguinte teorema: y
v
plano z
plano w
z0 + ∆z
w0 + ∆w C0
C
z0
θ0 + a
θ0
w0
x
u
Figura 14.2: Transformações Conformes
Teorema 14.1. Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C, w = f (z) uma transformação holomorfa em z0 ∈ D tal que f 0 (z0 ) 6= 0 então a tangente a qualquer curva C passando por z0 é girada de um ângulo igual a arg(f 0 (z0 )). PROVA: Quando um ponto se move de z0 a z0 + ∆z ao longo da curva C no plano z (ver figura 14.2) sua imagem através de f (z) move-se ao longo de C 0 , no plano w, de w0 até w0 + ∆w. Se parametrizarmos a curva C usando o parâmetro t então o caminho z(t) (x = x(t) e y = y(t)) em C corresponde ao caminho w(t) (u = u(t) e v = v(t)) em C 0 tal que: z0 = z(t0 ) e w0 = w(t0 ) = f (z(t0 )). dz dw As derivadas e representam os vetores tangente nos pontos dt dt correspondentes de C e C 0 . Daí, então, da regra da cadeia, temos: dw dw dz = . dt dz dt dz = f 0 (z). dt
(14.201)
195
Transformações Conformes Em particular fazendo t = t0 em eqn 14.201 temos: dz dw = f 0 (z(t0 )). dt t=t0 dt t=t0 Que é equivalente a: dw dz 0 = f (z0 ). dt w=w0 dt z=z0
(14.202)
dw Levando em conta que f (z) é holomorfa em z0 . Escrevendo = dt w dz w0 = f0 eı φ0 , f 0 (z0 ) = R0 eı α e = r0 eı θ0 e substituindo em dt z=z0 eqn 14.202 temos: f0 eı φ0 = R0 eı α .r0 eı θ0
(14.203)
= R0 .r0 eı (α+θ0 ) Finalmente, de eqn 14.203 temos: φ0 = θ0 + α = θ0 + arg(f 0 (z0 )). OBS 14.1. Notem que nos pontos críticos (pontos para os quais f 0 (z0 ) = 0) α é indeterminado. Teorema 14.2. Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C, w = f (z) uma transformação holomorfa em z0 ∈ D tal que f 0 (z0 ) 6= 0 então, o ângulo entre duas curvas C1 e C2 passando por z0 é preservado pela transformação w = f (z) em módulo e direção. PROVA: Pelo teorema 14.2 cada curva gira do ângulo arg(f 0 (z0 )) assim, o ângulo entre as curvas não se altera pela transformação w = f (z) tanto em módulo quanto em sentido. OBS 14.2. Em outras palavras o teorema acima diz que uma aplicação holomorfa é uma transformação conforme. Para concluir, vamos enunciar, sem demonstrar um importante teorema sobre transformações conformes. A saber:
196
Variáveis Complexas
AULA
Teorema 14.3. Seja C uma curva simples fechada, contorno de
14
uma região simplesmente conexa então existe uma transformação biunívoca w = f (z) holomorfa em C e seu interior, que mapeia C na borda do disco unitário no plano w e o interior de C no interior do disco unitário. OBS 14.3. A demonstração deste teorema de enunciado simples é bastante técnica e foge ao escopo deste texto. Porém, se os caros alunos quiserem aprofundar o assunto tem uma demonstração em TIMONEY na leitura complementar.
14.3
Exemplos de Algumas Transformações Conformes
Veremos nesta seção alguns exemplos de algumas transformações conformes. y
v
plano z
plano w
z0
f (z0 )
x
1
u
Figura 14.3: Transformações Conformes
Exemplo 14.1. Como primeiro exemplo, vamos mostrar que a z − z0 transformação w = f (z) onde f (z) = eθ0ı , z0 é um ponto do z − z¯0 semiplano superior e θ0 ∈ R transforma o semiplano superior no plano z no disco unitário no plano w (ver figura 14.3).
197
Transformações Conformes y
plano xy
|z
−
z0
|
z
|z −
z¯0 |
z0
x z¯0
Figura 14.4: Transformações Conformes SOLUÇÃO: Da figura 14.4 se z pertence ao semiplano superior temos |z − z0 | ≤ |z − z¯0 | ocorrendo a igualdade se z pertence ao eixo real. Daí, temos: z − z0 |w| = eθ0ı z − z¯0 |z − z0 | = |eθ0ı |. |z − z¯0 | ≤1 pois, |eθ0ı | = 1 e |z − z0 | ≤ |z − z¯0 |. OBS 14.4. Observamos também que f (z0 ) = 0 e que o eixo real é mapeado na borda do disco unitário.
14.3.1
Transformações de Möbius
Veremos agora um tipo especial de transformação conforme denominada de transformação de Möbius. Definição 14.2. Uma transformação fracionária w = f (z) =
az + b cz + d
tal que ad − bc 6= 0 é dita uma transformação de Möbius.
198
(14.204)
Variáveis Complexas
AULA
Uma das propriedades das transformações fracionárias, em par-
14
ticular as transformações de Möbius, é que a composição de duas transformações fracionária é uma transformação fracionária. sejam az + b αz + β f (z) = e g(z) = . Daí, temos: cz + d γz + δ αz + β +b γz + δ (f ◦ g)(z) = f (g(z)) = αz + β c +d γz + δ aαz + aβ + bγz + bδ γz + δ = cαz + cβ + dγz + dδ cβ + dδ (aα + bβ)z + (aβ + bδ) = (cα + dγ)z + (cβ + dδ) a
Tirando eqn 14.204 da forma de fração temos: Azw + Bz + Cw + D = 0
(14.205)
que é linear em z linear em w e bilinear em z e w. Por outro lado podemos inverter eqn 14.204 e temos: z = f −1 (w) =
−dw + b cw − a
Se c = 0 deixa de ser uma transformação fracionária e passa a ser uma transformação linear. Caso c 6= 0 podemos reescrever eqn 14.204 na forma: w = f (z) =
a bc − ad 1 + c c cz + d
e portanto a condição ad − bc 6= 0 garante que eqn 14.204 não é a transformação constante.
14.3.2
Pontos fixos de uma Aplicação
Imaginemos sobrepor o plano w no plano z de modo que os eixos coordenados coincidam. Desta forma teremos essencialmente um
199
Transformações Conformes único plano. E, podemos encarar uma transformação w = f (z) como uma aplicação que leva pontos do plano em outros pontos do plano. Assim faz sentido a seguinte definição: Definição 14.3. Seja f : C 7→ C uma transformação. Dizemos que z ∈ C é um ponto fixo de f (•) se, somente se z = f (z). Vejamos um exemplo: Exemplo 14.2. Determine os pontos fixos da seguinte transfor2z − 5 mação fracionária: f (z) = . z+4 SOLUÇÃO: Da definição de ponto fixo temos: z = f (z) =
2z − 5 z+4
Daí, desfazendo a fração temos: z 2 + 2z + 5 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau temos: √
22 − 4.1.5 √2 −2 + −16 = 2
z1 =
−2 +
= −1 + 2ıı √ −2 − 22 − 4.1.5 z2 = √2 −2 − −16 = 2 = −1 − 2ıı. Ficaremos por aqui.
200
Variáveis Complexas
14.4
AULA
14
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que funções holomorfas são transformações conformes i.e. transformações que preservam o ângulo entre vetores.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 14 constam os seguintes tópicos:
Transformações Conformes Definição: Seja Ψ : D ⊂ R2 7→ R2 uma transformação de um aberto D de R2 em R2 tal que Ψ leva o ponto (x0 , y0 ) do plano xy no ponto (u0 , v0 ) do plano uv. Se dada duas curvas C1 e C2 do plano xy que se interceptam em z0 são levadas na curvas C10 e C20 que se interceptam em (u0 , v0 ) (ver figura 14.1) então se Ψ é tal que o ângulo entre as curvas C1 e C2 em (x0 , y0 ) é igual ao ângulo entre C10 e C20 em módulo e sentido, dizemos que Ψ é uma transformação conforme em (x0 , y0 ). Teorema 1: Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C, w = f (z) uma transformação holomorfa em z0 ∈ D tal que f 0 (z0 ) 6= 0 então a tangente a qualquer curva C passando por z0 é girada de um ângulo igual a arg(f 0 (z0 )). Teorema 2: Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C, w = f (z) uma transformação holomorfa em z0 ∈ D tal que f 0 (z0 ) 6= 0 então, o ângulo
201
Transformações Conformes entre duas curvas C1 e C2 passando por z0 é preservado pela transformação w = f (z) em módulo e direção. Definição: Uma transformação fracionária w = f (z) =
az + b cz + d
tal que ad − bc 6= 0 é dita uma transformação de Möbius. Definição: Seja f : C 7→ C uma transformação. Dizemos que z ∈ C é um ponto fixo de f (•) se, somente se z = f (z).
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos algumas aplicações das transformações conformes. Em particular veremos aplicações ao escoamento potencial de fluidos.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
z − z¯0 , z − z0 z0 é um ponto do semiplano superior e θ0 ∈ R transforma o semiATIV. 14.1. que a transformação w = f (z) onde f (z) = eθ0ı
plano superior no plano z no exterior do disco unitário no plano w .
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
exemplos acima, eles lhes servirão de guia.
202
Variáveis Complexas z+a uma transformação fracionária. z+b Qual a relação entre a e b garante que a transformação tem apenas
ATIV. 14.2. Seja f (z) =
AULA
14
um ponto fixo?
Comentário:
Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
exemplo de ponto fixo, ele lhe servirá de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008 FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006. TIMONEY, Richard M. Riemann Mapping Theorem. http://www. maths.tcd.ie/ richardt/414/414-ch7.pdf. Acessado em 01/06/2011.
203
AULA
15
Transformações Conformes: Aplicações META: Aplicar transformações conformes. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Aplicar transformações conformes na determinação da distribuição
de velocidade em alguns escoamentos estacionários laminares planos. PRÉ-REQUISITOS Aula14 de Variáveis Complexas.
Transformações Conformes: Aplicações
15.1
Introdução
Caros alunos concluímos aqui nosso curso de “Variáveis Complexa” com “Algumas Aplicações das Transformações Conformes”. Em particular faremos aplicações ao escoamento laminar, não viscoso e potencial de fluidos.
15.2
Problemas de Dirichlet e de Neumann
Vários problemas da Física e da Engenharia são modelados matematicamente por equações diferenciais parciais às quais são associadas condições adicionais denominadas condições de contorno. Denominamos “Problema de Valor de Contorno” ao problema de determinar uma solução que satisfaça ao mesmo tempo as equações diferenciais e as condições de contorno. Estaremos interessados basicamente na solução de problemas cuja modelagem recaiam em equações de Laplace bi-dimensional i.e. Problemas onde desejamos determinar uma função u(x, u) que satisfaça a equação de Laplace: ∂u ∂u + =0 ∂x ∂y no interior de uma região B sujeita a certas condições na fronteira ∂B. Os problemas de Dirichlet e de Neumann podem ser resolvidos em uma região B simplesmente conexa que, através de aplicações conformes, possam ser transformadas na região limitada pelo semi-plano superior ou o círculo unitário. Neste caso é muito útil o teorema da transformação de Riemmann enunciado sem demonstração na aula anterior. As idéias por trás da solução de tais problemas são:
206
Variáveis Complexas i) Usar uma aplicação conforme que leve a região B no semi-
AULA
15
plano superior ou o círculo unitário. ii) Resolver o problema no semi-plano superior ou no círculo unitário. Uma vez resolvidos a tarefa principal recai em determinar a transformação conforme adequada citada no ítem anterior. iii) Usar a solução obtida (semi-plano ou círculo unitário) para resolver o problema original na região B usando a inversa da aplicação conforme. O processo descrito baseia-se nos seguintes teoremas: Teorema 15.1. Seja B uma região simplesmente conexa e f : B 7→ C holomorfa tal que f 0 (z) 6= 0∀z ∈ B então existe uma única função f −1 : Img(f ) 7→ B. OBS 15.1. Este teorema assegura que tanto f (•) quanto f −1 (•) são aplicações conformes. Sua demonstração não será feita aqui. Os interessados poderão busca-la em outras referências ou adaptar o teorema da função inversa no caso especial de R2 , para o plano complexo. Teorema 15.2. Sejam Bz e Bw abertos simplesmente conexos dos plano z e plano w respectivamente e f : Bz 7→ Bw uma aplicação conforme tal que f 0 (z) 6= 0∀z ∈ Bz então se Φ é harmônica em Bw , Φ ◦ f é harmônica em Bz . A demonstração deste teorema segue imediatamente do seguinte teorema:
207
Transformações Conformes: Aplicações Teorema 15.3. Sejam w = u + vıı = f (z) = f (x + yıı) analítica onde f 0 (z) 6= 0 então: ∂2Φ ∂2Φ + = |f 0 (z)|2 ∂x2 ∂y 2
∂2Φ ∂2Φ + ∂u2 ∂v 2
PROVA: Podemos escrever x = x(u, v) e y = y(u, v) desta forma Φ(x, y) = Φ(x(u, v), y(u, v)). Usando a regra da cadeia temos: ∂Φ ∂Φ ∂u ∂Φ ∂v ∂Φ ∂Φ ∂u ∂Φ ∂v = + e = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Para a segunda derivada, usando a regra da cadeia a derivada de um produto, temos:
∂Φ ∂ 2 u ∂ ∂2Φ = + 2 2 ∂x ∂u ∂x ∂x
∂Φ ∂u
∂u ∂Φ ∂ 2 v ∂ + + 2 ∂x ∂v ∂x ∂x
∂Φ ∂v
∂v ∂x
∂2Φ ∂Φ ∂ 2 u ∂u ∂ ∂Φ ∂u ∂ ∂Φ ∂v = + + ∂x2 ∂u ∂x2 ∂x ∂u ∂u ∂x ∂v ∂u ∂x ∂u ∂ ∂Φ ∂u ∂ ∂Φ ∂v ∂Φ ∂ 2 v + + + ∂v ∂x2 ∂x ∂u ∂v ∂x ∂v ∂v ∂x ∂Φ ∂ 2 u ∂u ∂ 2 Φ ∂u ∂ 2 Φ ∂v = + + ∂u ∂x2 ∂x ∂u2 ∂x ∂v∂u ∂x ∂Φ ∂ 2 v ∂u ∂ 2 Φ ∂u ∂ 2 Φ ∂v + + + ∂v ∂x2 ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂2Φ temos: ∂y 2 ∂2Φ ∂Φ ∂ 2 u ∂u ∂ 2 Φ ∂u ∂ 2 Φ ∂v + = + ∂x2 ∂u ∂y 2 ∂y ∂u2 ∂y ∂v∂u ∂y ∂Φ ∂ 2 v ∂u ∂ 2 Φ ∂u ∂ 2 Φ ∂v + + + ∂v ∂y 2 ∂y ∂u∂v ∂y ∂v 2 ∂y
Do mesmo modo, calculando
Somando
208
∂2Φ ∂2Φ com temos: ∂x2 ∂y 2
AULA
Variáveis Complexas
15 ∂2Φ ∂2Φ ∂Φ + = ∂x2 ∂y 2 ∂u
∂2u ∂2u ∂Φ ∂ 2 v ∂2v + + + ∂x2 ∂y 2 ∂v ∂x2 ∂y 2 " # " 2 # ∂2Φ ∂u 2 ∂u 2 ∂2Φ ∂v 2 ∂v + + + + 2 2 ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y ∂ 2 Φ ∂u ∂v ∂u ∂v +2 + ∂u∂v ∂x ∂x ∂y ∂y
Como w = u + vıı = f (z) é analítica temos que u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann: ∂u ∂v ∂v ∂u = e = − . Daí, temos: ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂ ∂v + = − ∂y = 0. O que elimina a última ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x v ∂x parte da equação acima e temos:
∂2Φ ∂2Φ ∂Φ + = ∂x2 ∂y 2 ∂u
∂2u ∂2u ∂Φ ∂ 2 v ∂2v + + + ∂x2 ∂y 2 ∂v ∂x2 ∂y 2 " # " 2 # ∂2Φ ∂u 2 ∂v ∂u 2 ∂2Φ ∂v 2 + + + + 2 2 ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y
Por outro lado, u e v são também são harmônicas logo: ∂2v ∂2v ∂2u ∂2u + = 0 e + = 0, o que elimina os dois primeiros ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 termos da equação e temos:
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ + = 2 2 ∂x ∂y ∂u2
"
∂u ∂x
2
+
∂u ∂y
2 #
∂2Φ + ∂v 2
Usando as equações de Cauchy-Riemann
"
∂v ∂x
2
+
∂v ∂y
2 #
∂u ∂v ∂v ∂u = e =− ∂x ∂y ∂x ∂y
temos: ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂ ∂v + = − ∂y = 0. O que elimina a última ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x v ∂x
209
Transformações Conformes: Aplicações parte da equação acima e temos:
∂u ∂x
2 2 2 2 2 2 ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v + = + = + = |f 0 (z)|2 ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x
E a equação acima toma a forma: ∂2Φ ∂2Φ + = |f 0 (z)|2 ∂x2 ∂y 2
∂2Φ ∂2Φ + ∂u2 ∂v 2
Teorema 15.4. Sejam Bz e Bw abertos simplesmente conexos dos plano z e plano w respectivamente e f : Bz 7→ Bw uma aplicação conforme tal que f mapeia ∂Bz em ∂Bw então se Φ satisfaz: Φ(u, v) = c, ∀(u, v) ∈ Bw ou
∂Φ (u, v) = 0, ∀(u, v) ∈ ∂Bw ∂~~n
Φ ◦ f satisfaz: (Φ◦f )(x, y) = c, ∀(x, y) ∈ Bz ou
15.2.1
∂(Φ ◦ f ) (x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ ∂Bz ∂~~n
Problemas de Dirichlet
Vejamos a definição: Definição 15.1. O problema de Dirichlet consiste em determinar uma função Φ(x, y) contínua com derivadas parciais contínuas que satisfaçam: ∂Φ + ∂Φ = 0 , (x, y) ∈ B ∂x ∂y Φ(x, y) = c , (x, y) ∈ ∂B onde c ∈ R.
15.2.2
Problemas de Neumann
Vejamos a definição:
210
(15.206)
Variáveis Complexas
AULA
Definição 15.2. O problema de Neumann consiste em determinar
15
uma função Φ(x, y) contínua com derivadas parciais contínuas que satisfaçam: ∂Φ ∂Φ + = 0 , (x, y) ∈ B ∂x ∂y ∂Φ (x, y) = 0 , (x, y) ∈ ∂B ∂~~n
(15.207)
onde ~n é a normal unitária a ∂B orientada para fora de B e
∂Φ a ∂~~n
derivada direcional de Φ na direção da normal.
15.2.3
Aplicações ao Escoamento de Fluidos
Muitos problemas de hidráulica, dinâmica dos fluidos ou aerodinâmica dos fluidos podem ser resolvidos por métodos de variáveis complexas, em especial com aplicações conformes, como veremos nesta subseção. Para este fim são necessárias algumas considerações que simplificaram tremendamente a nossa tarefa. As hipóteses básicas são as seguintes: i) O escoamento é bi-dimensional. As características básicas do escoamento de fluidos são as mesmas independente do plano en consideração. Isso permite aplicação dos teoremas na solução de problemas de escoamento en redor de objetos. ii) Escoamento estacionário. A velocidade do fluido depende apenas das coordenadas espaciais (x, y) e não do tempo. iii) Fluido não viscoso. O fluido não tem viscosidade, escoa sem atrito. iv) Escoamento potencial. A velocidade do fluido deriva de um campo potencial i.e. se vx e vy são as componentes da velocidade na direção x e na direção y respectivamente, existe uma
211
Transformações Conformes: Aplicações função Φ(x, y) tal que: ∂Φ vx = ∂x ∂Φ vy = ∂y
(15.208)
v) Fluido incompressível. Equivale a dizer que a densidade do fluido é constante e o campo de velocidade satisfaz: ∂vx ∂vy + ∂x ∂y
(15.209)
OBS 15.2. Substituindo eqn 15.208 e eqn 15.209 temos: ∂2Φ ∂2Φ + ∂x2 ∂y 2
(15.210)
logo o potencial de velocidade Φ é uma função harmônica. Se Ψ é a harmônica conjugada de Φ definimos o potencial complexo Ω por: Ω(z) = Φ(x, y) + Ψ(x, y)ıı. Daí, temos: dΩ dz ∂Φ ∂Ψ = + ı ∂x ∂x ∂Φ ∂Φ = − ı ∂x ∂x
Ω0 (z) =
(15.211)
= vx − vyı OBS 15.3. As famílias de curvas a um parâmetro: Φ(x, y) = α Ψ(x, y) = β
(15.212)
onde α e β são constante são denominadas curvas eqüipotenciais e curvas de fluxo respectivamente. Em escoamentos estacionários curvas de fluxo representam trajetória reais das partículas do fluido.
212
AULA
Variáveis Complexas
15.2.4
15
Escoamento em Torno de Obstáculos
Um problema importante em dinâmica dos fluidos é determinar como um fluido, inicialmente escoando com velocidade constante v0 , é perturbado pela introdução de obstáculos. A intenção é obter um potencial complexo da forma:
Ω(z) = v0 z + G(z)
(15.213)
tal que lim G(z) = 0 garantindo que longe do obstáculo a veloci|z|→∞
dade tem módulo constante. y
w
plano z
a
plano w
x
Figura 15.1: Transformação f (z) = z +
u a2 z
Exemplo 15.1. Estudar o potencial complexo de escoamento Ω(z) = a2 v0 z + . z SOLUÇÃO: Pela figura 15.1 a transformação conforme f (z) = a2 z+ leva o exterior do semi-círculo de raio a centrado em z0 = 0 z do semiplano superior do plano z no semiplano superior do plano w. Portanto podemos usa-la para descrever o escoamento de um fluido incompressível, não viscoso, estacionário em torno do semicírculo. Daí, fazendo z = reθıı podemos reescrever o potencial
213
Transformações Conformes: Aplicações complexo na forma: Ω(z) = Φ + Ψıı a2 = v0 reθıı + θıı re 2 a2 a cos(θ) + v0 r − sin(θ)ıı = v0 r + r r De eqn 15.214 temos: a2 cos(θ) Φ(r, θ) = v0 r + r a2 Ψ(r, θ) = v0 r − sin(θ) r
(15.214)
(15.215)
Então as curvas Ψ(r, θ) = β (ver figura 15.2) representam as linhas de corrente i.e. as trajetórias reais das partículas do fluido. y
x
Figura 15.2: Linhas de corrente Por outro lado, derivando o potencial complexo Ω para obter a velocidade complexa temos: V = Ω0 (z) = v0 1 − = v0 1 − = v0 1 −
214
a2 z2 a2 reθıı a2 v0 a2 cos(θ) − sin(θ)ıı 2 r2
(15.216)
Variáveis Complexas
AULA
distante do semi-círculo, lim V = v0 i.e. o fluido está escoando
15
r→∞
na direção do semi-eixo real positivo com velocidade constante v0 .
15.3
Conclusão
Na aula de hoje, vimos que é possível usar aplicações conformes para resolver alguns tipos de problemas de escoamento de fluidos.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 15 constam os seguintes tópicos:
Problemas de Dirichlet e de Neumann A solução de problemas de Dirichlet e de Neumann baseia-se nos seguintes teoremas: Teorema 1: Seja B uma região simplesmente conexa e f : B 7→ C holomorfa tal que f 0 (z) 6= 0∀z ∈ B então existe uma única função f −1 : Img(f ) 7→ B. Teorema 2: Sejam Bz e Bw abertos simplesmente conexos dos plano z e plano w respectivamente e f : Bz 7→ Bw uma aplicação conforme tal que f 0 (z) 6= 0∀z ∈ Bz então se Φ é harmônica em Bw , Φ◦f é harmônica em Bz . Teorema 3: Sejam Bz e Bw abertos simplesmente conexos dos plano z e plano w respectivamente e f : Bz 7→ Bw uma aplicação conforme tal que
215
Transformações Conformes: Aplicações f mapeia ∂Bz em ∂Bw então se Φ satisfaz: Φ(u, v) = c, ∀(u, v) ∈ Bw ou
∂Φ (u, v) = 0, ∀(u, v) ∈ ∂Bw ∂~~n
Φ ◦ f satisfaz: (Φ◦f )(x, y) = c, ∀(x, y) ∈ Bz ou
∂(Φ ◦ f ) (x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ ∂Bz ∂~~n
Definição: Problema de Dirichlet O problema de Dirichlet consiste em determinar uma função Φ(x, y) contínua com derivadas parciais contínuas que satisfaçam: ∂Φ + ∂Φ = 0 , (x, y) ∈ B ∂x ∂y (15.217) Φ(x, y) = c , (x, y) ∈ ∂B onde c ∈ R. Definição: Problema de Neumann O problema de Neumann consiste em determinar uma função Φ(x, y) contínua com derivadas parciais contínuas que satisfaçam: ∂Φ ∂Φ + = 0 , (x, y) ∈ B ∂x ∂y (15.218) ∂Φ (x, y) = 0 , (x, y) ∈ ∂B ∂~~n onde ~n é a normal unitária a ∂B orientada para fora de B e
∂Φ a ∂~~n
derivada direcional de Φ na direção da normal.
PRÓXIMA AULA
Caros alunos esta é nossa última aula portanto, não haverá próxima aula pois, esta é a última aula do nosso curso de “Variáveis Complexa”. Espero que este curso tenha dado bons frutos.
216
Variáveis Complexas
AULA
Ele é apenas um introdução ao maravilhoso mundo das “Variáveis
15
Complexas”. A Leitura complementar fornece material adicional para quem desejar mais informações.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 15.1. Considere o potencial complexo de escoamento Ω(z) = a2 v0 z + e determine os pontos de estagnação do fluido. z Comentário:
Lembre-se que os pontos de estagnação em um
escoamento são pontos onde a velocidade complexa é nula. ATIV. 15.2. Considere o potencial complexo de escoamento Ω(z) = a2 v0 z + e mostre que as curvas aeı t , t ∈ [0, π], t, t ∈ (−∞, −a] z e t, t ∈ [a, ∞) são linhas de corrente. Comentário: Volte ao exemplo e estude a equação das linhas de corrente.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Variables and Applications Editora McGraw Hill, 2008.
217
Transformações Conformes: Aplicações FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.
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