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Testes Matemática A

10.º Ano de Escolaridade

Índice de conteúdos

Teste de Diagnóstico ------------------------------------------------------------------------------------ 20 Teste 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 27 Tema 1 – Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos o

Proposições

o

Condições e conjuntos

Tema 2 – Álgebra o

Radicais

o

Potências de expoente racional

Teste 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 33 Tema 1 – Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos o

Proposições

o

Condições e conjuntos

Tema 2 – Álgebra o

Radicais

o

Potências de expoente racional

o

Polinómios

Tema 3 – Geometria analítica o

Geometria analítica no plano

Teste 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 41 Tema 2 – Álgebra o

Polinómios

Tema 3 – Geometria analítica o

Geometria analítica no plano

o

Cálculo vetorial no plano

o

Geometria analítica no espaço

o

Cálculo vetorial no espaço

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Teste 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 49 Tema 3 – Geometria analítica o

Geometria analítica no plano

o

Cálculo vetorial no plano

o

Geometria analítica no espaço

o

Cálculo vetorial no espaço

Tema 4 – Funções reais de variável real o

Generalidades acerca de funções

o

Generalidades acerca de funções reais de variável real

o

Monotonia, extremos e concavidade

Teste 5 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 57 Tema 4 – Funções reais de variável real o

Generalidades acerca de funções

o

Generalidades acerca de funções reais de variável real

o

Monotonia, extremos e concavidade

o

Estudo elementar das funções quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica e módulo e de funções definidas por ramos

o

Resolução de problemas

Teste 6 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 64 Tema 4 – Funções reais de variável real o

Estudo elementar das funções quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica e módulo, e de funções definidas por ramos

o

Resolução de problemas

Tema 5 – Estatística o

Características amostrais

Teste Global ----------------------------------------------------------------------------------------------- 71

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Matriz Teste de Diagnóstico

Itens 1.

Domínios

Conteúdos / Metas Curriculares

OTD5

Tratar conjuntos de dados.

OTD6

Organizar e representar dados.

OTD7

Medidas de localização.

ALG9

Resolver inequações do 1.º grau.

NO9

Definir intervalos de números reais.

3.

ALG9

Proporcionalidade inversa.

4.1.

GM7

Calcular medidas de quadriláteros.

FSS7

Definir funções.

FSS9

Interpretar graficamente soluções de equações do 2.º grau.

4.2.

GM9

Identificar lugares geométricos.

5.1.

GM6

Relacionar circunferências com ângulos, retas e polígonos.

GM8

Teorema de Pitágoras.

5.2.

GM8

Vetores, translações e isometrias.

6.

ALG7

Operar com raízes quadradas e raízes cúbicas racionais.

7.

ALG8

Reconhecer e operar com polinómios.

ALG9

Equações do 2.º grau.

ALG7

Expressões algébricas.

ALG8

Potências de expoente inteiro.

9.1.

GM9

Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos.

9.2.

GM9

Definir distâncias entre pontos e planos, retas e planos e

2.

8.

entre planos paralelos. 9.3.

GM9

Comparar e calcular áreas e volumes. Definir e utilizar razões trigonométricas de ângulos agudos.

10.

NO9

Operar com valores aproximados de números reais.

ALG8

Resolver sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas.

11.

NO9

Definir intervalos de números reais.

12.

GM9

Definir e utilizar razões trigonométricas de ângulos agudos.

13.1.

GM9

Conhecer propriedades de ângulos, cordas e arcos definidos numa circunferência.

13.2.

GM7

Identificar e construir figuras congruentes e semelhantes.

13.3.

OTD9

Probabilidade.

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Neste teste é permitido o uso de calculadora.

Teste de Diagnóstico

Na resposta aos itens de escolha múltipla, seleciona a opção correta. Escreve na folha de respostas o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. O número de livros lidos nas férias de verão pelos alunos de uma turma de 10.º ano distribui-se de acordo com o gráfico circular seguinte.

Sabe-se que o número de alunos dessa turma é um número ímpar. Quais são, respetivamente, a média e a mediana do número de livros lidos nas férias de verão pelos alunos dessa turma? (A) 3,33 e 3

(B) 3,33 e 4

(C) 3 e 3

(D) 3 e 4

2. Resolve em ℝ a inequação seguinte. Apresenta o conjunto-solução na forma de intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

𝑥 3 2𝑥 − 3 ( − ) ≤ 2 2 5 3. A mãe da Helena resolveu fazer queques para o aniversário da sua filha. Para confecionar todos os queques que precisava, colocando 12 de cada vez no forno, demorou 7 horas. Quantos queques teria de meter no forno, de cada vez, se quisesse demorar apenas 3 horas? (A) 18

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(B) 24

(C) 28

(D) 36

4. No referencial cartesiano da figura estão representadas partes dos gráficos de duas funções, 𝑓 e 𝑔, e um trapézio isósceles [ABCD].

Sabe-se que: 

a função 𝑓 é definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 ;



a função 𝑔 é definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 ;



os pontos A e B pertencem ao eixo das abcissas;



o ponto A coincide com a origem do referencial;



os pontos A e D pertencem ao gráfico da função 𝑓;



os pontos A e C pertencem ao gráfico da função 𝑔;



o ponto D tem abcissa 1.

4.1. Determina a medida da área do trapézio [ABCD]. Mostra como chegaste à tua resposta. 4.2. Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente de A e de D?

(A) Mediatriz do segmento de reta [AD].

̅̅̅̅. (B) Circunferência de centro A e raio 𝐴𝐷

̅̅̅̅. (C) Círculo de centro A e raio 𝐴𝐷

(D) Bissetriz do ângulo ABD.

5. Na figura está representado um hexágono regular inscrito numa circunferência de centro O e ̅̅̅̅. Sabe-se que a medida do lado do hexágono é 8 cm. raio 𝐴𝑂

5.1. Determina o comprimento do apótema do hexágono. 5.2. Completa de forma a obteres uma afirmação verdadeira. ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = _____ 𝐴𝐵

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6. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais maiores do que 1. Qual das expressões seguintes é equivalente à expressão √𝑎 × √𝑎𝑏? 4

(A) √𝑎2 𝑏

(B) 𝑎 + √𝑏

(C) 𝑎√𝑏

(D) 𝑎2 √𝑏

7. Resolve a equação seguinte. Apresenta todos os cálculos que efetuares. (𝑥 − 2)2 = 3 − 2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 8. Recorrendo sempre que possível às regras operatórias das potências, simplifica a seguinte expressão. −1

3 2 [(− ) ] 2

3 −1 × ( ) + (2−2 − 30 ) 2

9. Na figura está representado um sólido que pode ser decomposto em dois prismas retos: um prisma cujas bases são os quadrados [ABFE] e [DCGH] e um prisma cujas bases são os triângulos retângulos [CID] e [GJH].

Sabe-se que: 

̅̅̅̅ = 𝐵𝐹 ̅̅̅̅ = 3 cm 𝐴𝐵



̅̅̅̅ = 7 cm 𝐵𝐶



̂ 𝐼 = 30° 𝐶𝐷

9.1. Identifica, usando as letras da figura, uma reta não complanar com a reta AB. 9.2. Qual é a distância entre o plano ABF e a reta DH? 9.3. Determina o volume total do sólido. Apresenta o resultado em centímetros cúbicos, aproximados às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

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10. Resolve o sistema seguinte. Apresenta todos os cálculos que efetuares. 3𝑥 − 4 = −2𝑦 1−𝑦 { 𝑥− =5 2 11. Considera os conjuntos 𝐴 = ]−∞, 2𝜋[ e 𝐵 = [√5, 8[. Qual é o maior número inteiro pertencente ao conjunto 𝐴 ∩ 𝐵?

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

5

12. Sabe-se que tan α = 2, sendo α a amplitude de um ângulo agudo. Mostra que: sen α × cos α =

10 29

13. Na figura estão representados uma circunferência, os triângulos [ABE] e [EDC] e dois círculos inscritos nestes triângulos.

Sabe-se que: 

[AB] e [CD] são cordas paralelas de uma mesma circunferência, de raio 14 cm;



AD e BC intersetam-se no ponto E;



os círculos sombreados estão inscritos nos triângulos [ABE] e [EDC], sendo que os seus diâmetros medem, respetivamente, 4 cm e 12 cm.

13.1. Justifica que a amplitude do arco de circunferência AC é igual à amplitude do arco de circunferência BD. 13.2. Justifica que os triângulos [ABE] e [EDC] são semelhantes. 13.3. Escolhendo ao acaso um ponto da figura, determina a probabilidade de o ponto escolhido pertencer à zona sombreada da figura. Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. - FIM -

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Cotações 1.

...................................................................................................................

5 pontos

2.

......... ...................................................................................................................

15 pontos

3.

......... ...................................................................................................................

5 pontos

4.

......... ...................................................................................................................

20 pontos

5.

4.1.

...................................................................................

......... 15 pontos

4.2.

.................... ...................................................................................

5 pontos

.................... ................................................................................................................... 5.1.

...................................................................................

......... 15 pontos

5.2.

.................... ...................................................................................

5 pontos

20 pontos

6.

.................... ...................................................................................................................

5 pontos

7.

......... ...................................................................................................................

15 pontos

8.

......... ...................................................................................................................

15 pontos

9.

......... ...................................................................................................................

30 pontos

9.1.

...................................................................................

......... 5 pontos

9.2.

.................... ...................................................................................

10 pontos

9.3.

.................... ...................................................................................

15 pontos

10.

.................... ...................................................................................................................

15 pontos

11.

......... ...................................................................................................................

5 pontos

12.

......... ...................................................................................................................

15 pontos

13.

......... ...................................................................................................................

35 pontos

13.1.

...................................................................................

......... 10 pontos

13.2.

.................... ...................................................................................

10 pontos

13.3.

.................... ...................................................................................

15 pontos

....................

TOTAL

................................................................................................................. ..

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200 pontos

Soluções

1. Opção (B)

 

2

2. C.S. =   ,

5 

3. Opção (C) 4. 4.1.

8 u.a.

4.2.

Opção (A)

5.1.

4 3 cm

5.2.

Por exemplo, AC .

5.

6. Opção (C)

 

7. C.S. = 1,

7

3



8.

49 108

9. 9.1. Por exemplo, EH. 9.2. 7 cm 9.3. 70,8 cm3 10. (18, –25) 11. Opção (D) 12. Ao cuidado do aluno. 13. 13.1. Ao cuidado do aluno. 13.2. Ao cuidado do aluno. 13.3.

10 49

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Matriz Teste 1 Domínios LTC10

Conteúdos Proposições Valor lógico de uma proposição. Princípio de não contradição. Operações sobre proposições: negação, conjunção, disjunção, implicação e equivalência. Prioridades das operações lógicas. Relações lógicas entre as diferentes operações. Propriedade da dupla negação. Princípio do terceiro excluído. Princípio da dupla implicação. Propriedades comutativa e associativa, da disjunção e da conjunção, e propriedades distributivas da conjunção em relação à disjunção e da disjunção em relação à conjunção. Leis de De Morgan. Implicação contrarrecíproca. Resolução de problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições. Condições e conjuntos Expressão

proposicional

ou

condição;

quantificador

universal,

quantificador existencial e segundas Leis de De Morgan; contraexemplos. Conjunto definido por uma condição. Igualdade entre conjuntos; conjuntos definidos em extensão. União (ou reunião), interseção e diferença de conjuntos e conjunto complementar. Inclusão de conjuntos. Relação entre operações lógicas sobre condições e operações sobre os conjuntos que definem. Princípio de dupla inclusão e demonstração de equivalências por dupla implicação. Negação de uma implicação universal; demonstração por contrarrecíproco. Resolução de problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos.

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ALG10

Radicais Monotonia da potenciação; raízes de índice 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2. Propriedades algébricas dos radicais: produto e quociente de raízes com o mesmo índice, potências de raízes e composição de raízes. Racionalização de denominadores. Resolução de problemas envolvendo operações com radicais. Potências de expoente racional Definição e propriedades algébricas das potências de base positiva e expoente racional: produto e quociente de potências com a mesma base, produto e quociente de potências com o mesmo expoente e potência de potência. Resolução de problemas envolvendo operações com potências.

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Neste teste não é permitido o uso de

Teste 1 calculadora.

GRUPO I  Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.  Escreve, na tua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item.  Não apresentes cálculos nem justificações.  Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1.

Sabendo que 𝑝 ⇔ 𝑞 é uma proposição verdadeira, qual das seguintes proposições é necessariamente verdadeira? (A) 𝑝 ∨ (~𝑞)

2.

(B) (~𝑝) ∧ 𝑞

(C) (~𝑝) ∧ (~𝑞)

(D) (~𝑝) ∨ (~𝑞)

Considera a proposição ∀𝑥, 𝑝(𝑥) ⟹ 𝑞(𝑥). Qual das seguintes proposições é equivalente à negação desta proposição? (A) ∃𝑥: 𝑝(𝑥) ∧ [~𝑞(𝑥)]

(B) ∃𝑥: [~𝑝(𝑥)] ⇒ [~𝑞(𝑥)]

(C) ∀𝑥, [~𝑝(𝑥)] ⇒ [~𝑞(𝑥)]

(D) ∀𝑥, 𝑝(𝑥) ∧ [~𝑞(𝑥)]

3. Considera a condição: Se um triângulo é isósceles, então não tem ângulos internos retos. Indica qual das seguintes proposições é equivalente à contrarrecíproca da proposição anterior. (A) Se um triângulo não tem ângulos internos retos, então não é isósceles. (B) Se um triângulo tem ângulos internos retos, então não é isósceles. (C) Se um triângulo tem ângulos internos retos, então é isósceles. (D) Se um triângulo não tem ângulos internos retos, então é isósceles. 4. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais positivos. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) √𝑎 + √𝑏 = √𝑎 + 𝑏

(B) √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 + 𝑏

(C) √√𝑎 = √𝑎 × √𝑎

4

(D) √√𝑎 = √𝑎

1

5. Considera a expressão 5

− (2𝑥 2 𝑦 −1 ) 4 1

(8𝑥 −1 𝑦 2 )−2

3

(A) 2−4 𝑥 1 𝑦 −4

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. Uma expressão equivalente à dada é:

7

3

(B) 2−4 𝑥1 𝑦 −4

5

5

(C) 24 𝑥 −1 𝑦 4

1

3

(D) 22 𝑥 1 𝑦 2

GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.

1. Considera as proposições 𝑝, 𝑞 e 𝑟: 𝑝: a Margarida leu o "Memorial do Convento"; 𝑞: a Margarida leu a "Mensagem"; 𝑟: a Margarida leu "Os Lusíadas". 1.1. Traduz, em linguagem simbólica, as seguintes proposições. 1.1.1. A Margarida não leu o "Memorial do Convento" ou leu a "Mensagem". 1.1.2. Se a Margarida leu a "Mensagem", então leu "Os Lusíadas" ou o "Memorial do Convento". 1.2. Traduz em linguagem corrente a negação de 𝑝 ∨ 𝑞. 1.3. Determina quais são os livros que a Margarida leu, sabendo que é verdadeira a proposição (~(𝑝 ⇒ 𝑞)) ∧ (~(~𝑟)). 2. Considera o conjunto 𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) as seguintes condições: 𝑝(𝑥): 𝑥 − 2 ≥ 0

𝑞(𝑥): 3 < 𝑥 ≤ 4

2.1. Determina o valor lógico das seguintes proposições. 2.1.1. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝(𝑥)

2.1.2. ∃𝑥 ∈ 𝐴: 𝑞(𝑥)

2.2. Prova que 𝑝 ∨ (~𝑞) é uma condição universal em 𝐴. 2.3. Sejam 𝑃 e 𝑄 os conjuntos-solução das condições 𝑝 e 𝑞, respetivamente, em ℝ. Determina: 2.3.2. 𝑃̅ ∪ 𝑄̅

2.3.1. 𝑃 ∩ 𝑄

2.3.3. 𝑃\𝑄

3. Averigua se √20 é solução da equação 𝑥(3√5 − 𝑥) = 10. 4. Simplifica a expressão

5√6−2√54 . √3−√2 3

1

1

3

5. Representa a expressão 2−2 + 2−2 + 22 + 22 na forma 𝑘√2, sendo 𝑘 ∈ ℝ.

6. Na figura estão representados um pentágono regular [ABCDE], inscrito numa circunferência de centro H e de raio √2 cm, e um quadrado [ABFG]. Sabe-se que a medida do comprimento da diagonal do quadrado [ABFG] é √6 cm. Determina a medida da área do pentágono. - FIM -

Cotações © Expoente10 • Dossiê do Professor, Edições ASA

GRUPO I ............................................................................................................. Cada resposta certa

.......................

10 pontos

Cada resposta errada

.......................

0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada

.......................

0 pontos

50 pontos

GRUPO II ......................................................................................................... 150 pontos 1.

................................................................................ 1.1.

2.

1.1.1.

....................

5 pontos

1.1.2.

....................

5 pontos

10 pontos

1.2.

.....................................................

15 pontos

1.3.

.....................................................

15 pontos

................................................................................ 2.1.

TOTAL

.....................................................

.................................................. 2.1.1.

..................

5 pontos

2.1.2.

..................

5 pontos

..................................................

10 pontos

2.3.

..................................................

30 pontos

................

10 pontos

2.3.2.

................

10 pontos

2.3.3.

................

10 pontos

50 pontos

10 pontos

2.2.

2.3.1.

40 pontos

3.

................................................................................

10 pontos

4.

................................................................................

15 pontos

5.

................................................................................

15 pontos

6.

................................................................................

20 pontos

..............................................................................................................

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200 pontos

Soluções

GRUPO I 1. Opção (A) 2. Opção (A) 3. Opção (B) 4. Opção (D) 5. Opção (C)

GRUPO II 1. 1.1. 1.1.1. ~ p  q 1.1.2. q   r  p  1.2. A Margarida não leu o "Memorial do Convento" nem a "Mensagem". 1.3. A Margarida leu o "Memorial do Convento" e "Os Lusíadas". 2. 2.1. 2.1.1. Proposição falsa. 2.1.2. Proposição verdadeira. 2.2. Ao cuidado do aluno. 2.3. 2.3.1. P  Q  ]3, 4] 2.3.2. P  Q  ]  , 3]  4,  2.3.3. P \ Q  [2, 3]  ]4, [ 3. É solução. 4. 3 2  2 3 5.

15

2

4

6.

5

15 cm2

4

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Matriz Teste 2

Domínios

Conteúdos

LTC10

Proposições Valor lógico de uma proposição. Princípio de não contradição. Operações

sobre

proposições:

negação,

conjunção,

disjunção,

implicação e equivalência. Prioridades das operações lógicas. Relações lógicas entre as diferentes operações. Propriedade da dupla negação. Princípio do terceiro excluído. Princípio da dupla implicação. Propriedades comutativa e associativa, da disjunção e da conjunção, e propriedades distributivas da conjunção em relação à disjunção e da disjunção em relação à conjunção. Leis de De Morgan. Implicação contrarrecíproca. Resolução de problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições. Condições e conjuntos Expressão

proposicional

ou

condição;

quantificador

universal,

quantificador existencial e segundas Leis de De Morgan; contraexemplos. Conjunto definido por uma condição. Igualdade entre conjuntos; conjuntos definidos em extensão. União (ou reunião), interseção e diferença de conjuntos e conjunto complementar. Inclusão de conjuntos. Relação entre operações lógicas sobre condições e operações sobre os conjuntos que definem. Princípio de dupla inclusão e demonstração de equivalências por dupla implicação. Negação

de

uma

implicação

universal;

demonstração

por

contrarrecíproco. Resolução de problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos.

ALG10

Radicais Monotonia da potenciação; raízes de índice 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2.

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Propriedades algébricas dos radicais: produto e quociente de raízes com o mesmo índice, potências de raízes e composição de raízes. Racionalização de denominadores. Resolução de problemas envolvendo operações com radicais. Potências de expoente racional Definição e propriedades algébricas das potências de base positiva e expoente racional: produto e quociente de potências com a mesma base, produto e quociente de potências com o mesmo expoente e potência de potência. Resolução de problemas envolvendo operações com potências. Polinómios Divisão euclidiana de polinómios e regra de Ruffini. Divisibilidade de polinómios. Teorema do Resto. Multiplicidade da raiz de um polinómio e respetivas propriedades. Resolução de problemas envolvendo a divisão euclidiana de polinómios, o Teorema do Resto e a fatorização de polinómios. Resolução de problemas envolvendo a determinação do sinal e dos zeros de polinómios. GA10

Geometria analítica no plano Referenciais ortonormados. Fórmula da medida da distância entre dois pontos no plano em função das respetivas coordenadas. Coordenadas do ponto médio de um dado segmento de reta. Equação cartesiana da mediatriz de um segmento de reta. Equações e inequações cartesianas de um conjunto de pontos. Equação cartesiana reduzida da circunferência. Definição de elipse e respetiva equação cartesiana reduzida; relação entre eixo maior, eixo menor e distância focal. Inequações cartesianas de semiplanos. Inequações cartesianas de círculos. Resolução de problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do plano. Resolução

de

problemas

envolvendo

equações

e

inequações

cartesianas de subconjuntos do plano.

Teste 2

Neste teste não é permitido o uso de calculadora. © Expoente10 • Dossiê do Professor, Edições ASA

GRUPO I  Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.  Escreve, na tua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item.  Não apresentes cálculos nem justificações.  Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Considera que A é um subconjunto de B e que B é um subconjunto de C. Considera também que

1 ∉ 𝐴, 2 ∉ 𝐵, 3 ∉ 𝐶, 4 ∈ 𝐴, 5 ∈ 𝐵

e

6 ∈ 𝐶.

Qual

das

seguintes

afirmações

é

necessariamente verdadeira? (A) 1 ∉ 𝐵

(B) 2 ∈ 𝐴

(C) 3 ∉ 𝐵

(D) 4 ∈ 𝐶

2. De um triângulo [ABC] sabe-se que:  é retângulo em B;  ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = (6 − 2√2) cm; ̅̅̅̅ = (6 + 2√2) cm.  𝐵𝐶 Qual é a medida do comprimento do segmento de reta [AC]? (A) 2√22 cm (B) 88 + 48√2 cm (C) 88 cm (D) 72 cm 3. Na divisão de um polinómio 𝑃(𝑥) pelo binómio 𝑥 − 3 obtém-se o quociente 8𝑥 4 − 2𝑎𝑥 3 + + 2𝑥 2 + 4𝑥 + 6 e o resto 1. Então, na divisão de 𝑃(𝑥) pelo binómio 2𝑥 − 6, obtém-se: 1

(A) quociente 8𝑥 4 − 2𝑎𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥 + 6 e resto 2. 1

(B) quociente 4𝑥 4 − 𝑎𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 e resto 2. (C) quociente 16𝑥 4 − 4𝑎𝑥 3 + 4𝑥 2 + 8𝑥 + 12 e resto 1. (D) quociente 4𝑥 4 − 𝑎𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 e resto 1.

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4. Considera, num referencial o.m. 𝑥𝑂𝑦, a circunferência de centro (0, 0) e área 9π, inscrita num quadrado [ABCD], cujos vértices se situam nos eixos coordenados, como está representado na figura.

Quais são as coordenadas dos vértices do quadrado? (A) 𝐴(−3√2, 0), 𝐵(0, 3√2), 𝐶(3√2, 0) e 𝐷(0, −3√2) (B) 𝐴(−6, 0), 𝐵(0, 6), 𝐶(6, 0) e 𝐷(0, −6) (C) 𝐴(−3, 0), 𝐵(0, 3), 𝐶(3, 0) e 𝐷(0, −3) (D) 𝐴(−3√3, 0), 𝐵(0, 3√3), 𝐶(3√3, 0) e 𝐷(0, −3√3)

5. Considera a região a sombreado na figura.

A condição que define esse conjunto de pontos é: (A) 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 4 ∧ (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≤ 4 ∧ 𝑦 ≥ 0 (B) 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4 ∧ (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≥ 4 ∧ 𝑥 ≥ 0 (C) 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4 ∧ (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≥ 4 ∧ 𝑦 ≥ 0 (D) 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 4 ∧ (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≥ 4 ∧ 𝑥 ≥ 0

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GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.

1. Considera a proposição: 𝑝: ~𝑎 ∨ (𝑏 ⇒ ~𝑎) 1.1. Sabendo que a proposição 𝑝 é falsa, determina os valores lógicos de 𝑎 e de 𝑏. 2.

1.2. Escreve ~𝑝 na forma mais simplificada possível. 2. Na figura está representado um cubo [ABCDEFGH], com 1000 cm3 de volume.

Sabe-se que P é o ponto médio da aresta a que pertence. 2.1. Mostra que ̅̅̅̅ 𝐸𝐺 = 10√2 cm e que ̅̅̅̅ 𝐸𝑃 = 5√5 cm. 2.2. Calcula a medida da área do triângulo [EGP]. Apresenta o resultado na forma 𝑎𝑏 𝑝 , onde 𝑎 e 𝑏 são números naturais e 𝑝 é um número racional. 3. Considera o polinómio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 2, onde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. 3.1. Determina os valores de 𝑎 e de 𝑏 de modo que o polinómio 𝑃(𝑥) seja divisível por 𝑥 − 1 e quando dividido por 𝑥 + 1 dê resto −3. 3.2. Supõe que 𝑎 = −5 e 𝑏 = 1. 3.2.1. Sabendo que 𝑃(1) = 0, decompõe o polinómio 𝑃(𝑥) num produto de fatores de grau não superior ao primeiro. 3.2.2. Resolve a inequação 𝑃(𝑥) ≤ 0. Apresenta o conjunto-solução na forma de intervalo ou união de intervalos de números reais.

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1

4. Determina o polinómio 𝐴(𝑥), de quarto grau, que admita os zeros simples −2, − 2 , 1 e 3 e cujo resto da divisão por 𝑥 + 1 é igual a 8. 5. Na figura está representada, num referencial o.m. 𝑥𝑂𝑦, a elipse definida pela equação

𝑥2 9

+

𝑦2 25

= 1.

Sabe-se que:  os vértices do retângulo [ABCD] pertencem à elipse;  a reta AB tem equação 𝑦 = 3.

5.1. Determina as coordenadas dos focos da elipse.

5.2. Determina as coordenadas de todos os vértices do rectângulo [ABCD]. 6. Na figura está representada, num referencial o.m. 𝑥𝑂𝑦, a circunferência de centro 𝐶(3, 2) e raio 3.

Os segmentos de reta [AD] e [BC] são paralelos ao eixo 𝑂𝑥 e o segmento de reta [AC] é paralelo ao eixo 𝑂𝑦. Escreve uma condição que defina a região representada a sombreado, incluindo a fronteira. 7. Considera, num plano munido de um referencial o.m. 𝑥𝑂𝑦, os pontos de coordenadas 𝐴(−1, 2), 𝐵(−3, 6) e 𝐶(2, −3). 7.1. Determina uma equação da mediatriz de [AC]. Apresenta a resposta na forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. 7.2. Escreve uma equação da circunferência de centro no ponto médio de [AB] e que passa pelo ponto 𝐶. - FIM -

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Cotações

GRUPO I .............................................................................................................

GRUPO II

Cada resposta certa

............................

10 pontos

Cada resposta errada

............................

0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada

............................

0 pontos

............................................................................................................ 1.

2.

3.

4. 5.

TOTAL

............................................................................ 1.1.

..........................................

10 pontos

1.2.

..........................................

10 pontos

50 pontos

150 pontos

20 pontos

............................................................................... 25 pontos 2.1.

..........................................

10 pontos

2.2.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 30 pontos 3.1.

..........................................

10 pontos

3.2.

..........................................

20 pontos

3.2.1.

.....................

10 pontos

3.2.2.

.....................

10 pontos

............................................................................ 15 pontos ............................................................................ 5.1.

..........................................

10 pontos

5.2.

..........................................

15 pontos

25 pontos

6.

............................................................................

15 pontos

7.

............................................................................

20 pontos

7.1.

..........................................

10 pontos

7.2.

..........................................

10 pontos

...................................................................................................

200 pontos

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Soluções

GRUPO I 1. Opção (D) 2. Opção (A) 3. Opção (D) 4. Opção (A) 5. Opção (C)

GRUPO II 1. 1.1. a e b são verdadeiras. 1.2. a  b 2. 2.1. Ao cuidado do aluno. 1

2.2. 25  6 2 cm2 3. 3.1. a  

7

e b

2

1 2

3.2. 3.2.1. P(x) = (2x + 1)( x – 1)(x – 2)

 

1

3.2.2.  ,    [1, 2] 2



4. A(x) = –2x4 + 3x3 + 12x2 – 7x – 6 5. 5.1. (0, 4) e (0, –4)

 12 , 5

5.2. A 

 

 12   12   12  , 3 , C   ,  3 e D  ,  3 5   5   5 

3 , B  

6. [(x – 3)2 + (y – 2)2  9  x  3  y  2]  [(x – 3)2 + (y – 2)2  9  0  x  3  2  y  5] 7. 7.1. y 

3 5

x

4 5

7.2. (x + 2)2 + (y – 4)2 = 65

Matriz Teste 3

Domínios ALG10

Conteúdos Polinómios Divisão euclidiana de polinómios e regra de Ruffini. Divisibilidade de polinómios. Teorema do Resto. Multiplicidade da raiz de um polinómio e respetivas propriedades. Resolução de problemas envolvendo a divisão euclidiana de polinómios, o Teorema do Resto e a fatorização de polinómios. Resolução de problemas envolvendo a determinação do sinal e dos zeros de polinómios.

GA10

Geometria analítica no plano Referenciais ortonormados. Fórmula da medida da distância entre dois pontos no plano em função das respetivas coordenadas. Coordenadas do ponto médio de um dado segmento de reta. Equação cartesiana da mediatriz de um segmento de reta. Equações e inequações cartesianas de um conjunto de pontos. Equação cartesiana reduzida da circunferência. Definição de elipse e respetiva equação cartesiana reduzida; relação entre eixo maior, eixo menor e distância focal. Inequações cartesianas de semiplanos. Inequações cartesianas de círculos. Resolução de problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do plano. Resolução de problemas envolvendo equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano. Cálculo vetorial no plano Norma de um vetor. Multiplicação por um escalar de um vetor; relação com a colinearidade e o vetor simétrico. Diferença entre vetores. Propriedades algébricas das operações com vetores. Coordenadas de um vetor.

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Vetor posição de um ponto e respetivas coordenadas. Coordenadas da soma e da diferença de vetores; coordenadas do produto de um vetor por um escalar e do simétrico de um vetor; relação entre as coordenadas de vetores colineares. Vetor diferença de dois pontos; cálculo das respetivas coordenadas; coordenadas do ponto soma de um ponto com um vetor. Cálculo da norma de um vetor em função das respetivas coordenadas. Vetor diretor de uma reta; relação entre as respetivas coordenadas e o declive da reta. Paralelismo de retas e igualdade do declive. Equação vetorial de um reta. Sistema de equações paramétricas de uma reta. Resolução de problemas envolvendo a determinação de coordenadas de vetores no plano, a colinearidade de vetores e o paralelismo de retas do plano. Geometria analítica no espaço Referenciais cartesianos ortonormados do espaço. Equações de planos paralelos aos planos coordenados. Equações cartesianas de retas paralelas a um dos eixos. Distância entre dois pontos no espaço. Equação do plano mediador de um segmento de reta. Equação cartesiana reduzida da superfície esférica. Inequação cartesiana reduzida da esfera. Resolução de problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do espaço. Resolução de problemas envolvendo equações e inequações cartesianas de subconjuntos do espaço. Cálculo vetorial no espaço Generalização ao espaço dos conceitos e propriedades básicas do cálculo vetorial. Equação vetorial da reta no espaço. Resolução de problemas envolvendo cálculo vetorial no espaço.

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Teste 3

Neste teste não é permitido o uso de calculadora.

GRUPO I  Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.  Escreve, na tua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item.  Não apresentes cálculos nem justificações.  Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Sejam 𝐷(𝑥) um polinómio de grau 3 e 𝑃(𝑥) um polinómio do grau 5. Sejam 𝑄(𝑥) e 𝑅(𝑥) dois polinómios tais que 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) × 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥). Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) 𝑄(𝑥) e 𝑅(𝑥) são ambos polinómios de grau 1. (B) 𝑄(𝑥) é um polinómio de grau 2 e 𝑅(𝑥) é um polinómio de grau 1. (C) 𝑄(𝑥) é um polinómio de grau 2 e 𝑅(𝑥) é um polinómio de grau inferior a 3. (D) 𝑄(𝑥) é um polinómio de grau 1 e 𝑅(𝑥) é o polinómio nulo. 2. Considera, num referencial o.m. 𝑥𝑂𝑦, o ponto 𝑃(𝑘, 𝑘 − 1), 𝑘 ∈ ℝ. Sejam 𝐴(1, 2) e 𝐵(−2, −2). Qual é o valor de 𝑘 de modo que a distância entre 𝐴 e 𝑃 seja igual à distância entre 𝐵 e 𝑃? 5

(A) 14

5

(B) − 14

1

(C) − 2

3. Na figura está representado um hexágono regular [ABCDEF]. Considera as seguintes afirmações: ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸 I. 𝐴 + 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ II. 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 III. 𝐹 − 2𝐷𝐸 Acerca destas afirmações, pode dizer-se que: (A) são todas verdadeiras. (B) apenas II e III são verdadeiras. (C) apenas I e II são verdadeiras. (D) apenas I e III são verdadeiras.

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1

(D) 2

4. Considera as retas 𝑟 e 𝑠 definidas no plano por: 𝑟: (𝑥, 𝑦) = (1, 2) + 𝑘(2, 4), 𝑘 ∈ ℝ 𝑠: 2𝑥 − 𝑦 = 3 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) As retas 𝑟 e 𝑠 são concorrentes. (B) O ponto (3, 2) pertence à reta 𝑟. (C) As retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas. (D) O ponto (3, 2) pertence à reta 𝑠. 5. Considera, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, os pontos 𝐴(1, 2, −1) e 𝐵(2, 1, 1) e o vetor 𝑢 ⃗ (𝑎, 𝑏, 1). Quais ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑢 deverão ser os valores de 𝑎 e de 𝑏 de forma que os vetores 𝐴𝐵 ⃗ sejam colineares? 1

1

(A) 𝑎 = − 2 e 𝑏 = 2 1

1

(B) 𝑎 = 2 e 𝑏 = − 2 (C) 𝑎 = 2 e 𝑏 = −2 (D) 𝑎 = −2 e 𝑏 = 2

GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.

1. Considera os polinómios: 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6 e 𝑄(𝑥) = 𝑥 5 − 2𝑥 4 + 𝑥 3 1.1. Determina, usando o Teorema do Resto, o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 1. 1.2. Determina as raízes de 𝑃(𝑥) e fatoriza este polinómio. 1.3. Fatoriza o polinómio 𝑄(𝑥) e resolve a inequação 𝑄(𝑥) > 0. Apresenta o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.

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2. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, a circunferência definida pela equação (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 8, circunscrita ao quadrado [AOBC]. Sabe-se que:  os vértices A e B do quadrado pertencem aos eixos coordenados;  a reta AB é paralela à bissetriz dos quadrantes pares e passa pelo centro da circunferência;  [ADEB] é um trapézio isósceles;  D é o ponto médio de [AC]. 2.1. Determina as coordenadas de todos os vértices do quadrado.

2.2. Determina uma equação vetorial da reta AB.

2.3. Escreve uma condição que defina a região do plano a sombreado, incluindo a fronteira. 3. Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um prisma quadrangular [ABCDEFGH], cuja base é um retângulo. Sabe-se ainda que:  os pontos 𝐴(3, 0, 0) e 𝐵(0, 2, 0) são dois dos vértices da base;  o centro da base é a origem do referencial;  a altura do prisma é 8. 3.1. Define por uma condição: 3.1.1. o plano ACE; 3.1.2. a aresta [FB]. 3.2. Identifica e indica as coordenadas de: ⃗⃗⃗⃗⃗ 3.2.1. 𝐵 + 𝐶𝐻 3.2.2. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐶 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐹 3.3. Determina uma equação do plano mediador do segmento de reta [AF]. Apresenta a resposta na forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, com 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ. ⃗⃗⃗⃗ ‖, sendo 3.4. Define analiticamente o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto 𝐸 é igual a ‖𝐴𝐽 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐻𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). 𝐽 = 𝐴 + (𝐴𝐹

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4. Na figura está representado um paralelogramo [ABCD]. O ponto E é o ponto de encontro das diagonais do paralelogramo. O ponto M é um ponto qualquer do plano.

Prova que: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐷 = 4𝑀𝐸

- FIM -

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Cotações

GRUPO I

GRUPO II

.......................................................................................................... Cada resposta certa

............................

10 pontos

Cada resposta errada

............................

0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada

............................

0 pontos

.......................................................................................................... 1.

2.

3.

............................................................................ 1.1.

..........................................

10 pontos

1.2.

..........................................

15 pontos

1.3.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 2.1.

..........................................

10 pontos

2.2.

..........................................

10 pontos

2.3.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 3.1.

3.2.

4.

TOTAL

.......................................... 3.1.1.

......

5 pontos

3.1.2.

......

10 pontos

.......................................... 3.2.1.

......

5 pontos

3.2.2.

......

5 pontos

150 pontos

40 pontos

35 pontos

55 pontos

15 pontos

10 pontos

3.3.

..........................................

15 pontos

3.4.

..........................................

15 pontos

............................................................................

20 pontos

.................................................................................................

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50 pontos

200 pontos

Soluções

GRUPO I

1. Opção (C) 2. Opção (A) 3. Opção (B) 4. Opção (C) 5. Opção (B)

GRUPO II 1. 1.1. Resto = 0 1.2. P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) 1.3. ]0, 1[  ]1, +[ 2. 2.1. A(0, 4), O(0, 0), B(4, 0) e C(4, 4) 2.2. (x, y) = (0, 4) + k(4, –4), k  ℝ 2.3. (x  0  y  0  y  – x + 4)  (x  4  y  4  y  – x + 6) 3. 3.1. 3.1.1. y = 0 3.1.2. x = 0  y = 2  0  z  8 3.2. 3.2.1. E(3, 0, 8) 3.2.2. HD (0, 0, –8) 3.3. –6x + 4y + 16z – 59 = 0 3.4. (x – 3)2 + y2 + (z – 8)2 = 65 4. Ao cuidado do aluno.

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Matriz Teste 4

Domínios GA10

Conteúdos Geometria analítica no plano Referenciais ortonormados. Fórmula da medida da distância entre dois pontos no plano em função das respetivas coordenadas. Coordenadas do ponto médio de um dado segmento de reta. Equação cartesiana da mediatriz de um segmento de reta. Equações e inequações cartesianas de um conjunto de pontos. Equação cartesiana reduzida da circunferência. Definição de elipse e respetiva equação cartesiana reduzida; relação entre eixo maior, eixo menor e distância focal. Inequações cartesianas de semiplanos. Inequações cartesianas de círculos. Resolução de problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do plano. Resolução de problemas envolvendo equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.

Cálculo vetorial no plano Norma de um vetor. Multiplicação por um escalar de um vetor; relação com a colinearidade e o vetor simétrico. Diferença entre vetores. Propriedades algébricas das operações com vetores. Coordenadas de um vetor. Vetor posição de um ponto e respetivas coordenadas. Coordenadas da soma e da diferença de vetores; coordenadas do produto de um vetor por um escalar e do simétrico de um vetor; relação entre as coordenadas de vetores colineares. Vetor diferença de dois pontos; cálculo das respetivas coordenadas; coordenadas do ponto soma de um ponto com um vetor. Cálculo da norma de um vetor em função das respetivas coordenadas. Vetor diretor de uma reta; relação entre as respetivas coordenadas e o declive da reta. Paralelismo de retas e igualdade do declive.

Equação vetorial de um reta. Sistema de equações paramétricas de uma reta. Resolução de problemas envolvendo a determinação de coordenadas de vetores no plano, a colinearidade de vetores e o paralelismo de retas do plano.

Geometria analítica no espaço Referenciais cartesianos ortonormados do espaço. Equações de planos paralelos aos planos coordenados. Equações cartesianas de retas paralelas a um dos eixos. Distância entre dois pontos no espaço. Equação do plano mediador de um segmento de reta. Equação cartesiana reduzida da superfície esférica. Inequação cartesiana reduzida da esfera. Resolução de problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do espaço. Resolução de problemas envolvendo equações e inequações cartesianas de subconjuntos do espaço. Cálculo vetorial no espaço Generalização ao espaço dos conceitos e propriedades básicas do cálculo vetorial. Equação vetorial da reta no espaço. Resolução de problemas envolvendo cálculo vetorial no espaço.

FRVR10

Generalidades acerca de funções Produtos cartesianos de conjuntos. Gráficos de funções. Restrições de uma função. Imagem de um conjunto por uma função. Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Composição de funções. Função inversa de uma função bijetiva. Generalidades acerca de funções reais de variável real Funções reais de variável real; funções definidas por expressões analíticas. Propriedades geométricas dos gráficos de funções. Paridade; simetrias dos gráficos das funções pares e das funções ímpares. Relação geométrica entre o gráfico de uma função e o da respetiva inversa. Relação entre o gráfico de uma função 𝑓 e os gráficos das funções 𝑎𝑓(𝑥), 𝑓(𝑏𝑥), 𝑓(𝑥 + 𝑐) e 𝑓(𝑥) + 𝑑, com 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reais, 𝑎 e 𝑏 não nulos.

Monotonia, extremos e concavidade Intervalos de monotonia de uma função real de variável real; caso das funções afins e caso das funções quadráticas. Vizinhança de um ponto da reta numérica; extremos relativos e absolutos. Sentido da concavidade do gráfico de uma função real de variável real.

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Teste 4

Neste teste não é permitido o uso de calculadora.

GRUPO I  Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.  Escreve, na tua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item.  Não apresentes cálculos nem justificações.  Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Qual dos seguintes conjuntos de pontos do plano (indicados a sombreado) pode ser definido pela condição (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 ≤ 4 ∧ (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≥ 1 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥?

2. Considera, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, a esfera de diâmetro [AB], em que 𝐴(−1, 2, 3) e 𝐵(2, 3, 5). Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) O centro da esfera é o ponto (−1, 2, 4) e o seu raio 1 5

(B) O centro da esfera é o ponto (2 , 2 , 4) e o seu raio

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√14 . 2 √14 . 2

(C) O centro da esfera é o ponto (−1, 2, 4) e o seu raio 3√10. 1 5 2 2

(D) O centro da esfera é o ponto ( , , 4) e o seu raio 3√10. 3. Indica qual dos seguintes gráficos pode ser o de uma função ímpar e bijetiva.

4. Considera a função 𝑓 representada abaixo.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) A função 𝑓 tem um máximo absoluto igual a 3 e um mínimo absoluto igual a −3. (B) A função 𝑓 tem um máximo absoluto igual a 3 e um mínimo absoluto igual a −4. (C) A função 𝑓 não tem máximo absoluto e tem um mínimo absoluto igual a −4. (D) A função 𝑓 não tem máximo absoluto e tem um mínimo absoluto igual a −3.

5. Seja 𝑓 a função de domínio ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥. Qual deverá ser a expressão analítica da função 𝑔 de modo que (𝑔 ∘ 𝑓)(1) = 5?

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(A) 𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 3

(B) 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1

(C) 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3

(D) 𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 1

GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.

1. Num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, considera os pontos 𝐴(1, 3) e 𝐵(2, −1) e o vetor 𝑢 ⃗ (−2, 6). 1.1. Escreve as equações paramétricas da reta 𝑟 que passa em 𝐴 e é paralela a 𝑢 ⃗. 1.2. Determina 𝑘 de modo que o vetor 𝑣 (−2𝑘, 4𝑘 − 2) seja colinear com o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵. 1.3. Identifica e define analiticamente o conjunto dos pontos do plano cuja soma das medidas 2

⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ − 7. das distâncias aos pontos (−4, 0) e (4, 0) é igual a ‖𝐴𝐵 2.

Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um prisma quadrangular não regular [ABCDEFGH]. Sabe-se que:  o ponto 𝐴 tem coordenadas (1, 5, 8);  o ponto 𝐵 tem coordenadas (3, 8, 14);  o ponto 𝐷 tem coordenadas (−5, 3, 11);  o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸 tem coordenadas (−1, −4, −8). 2.1. Define analiticamente o plano que contém o ponto A e é paralelo ao plano 𝑥𝑂𝑧. 2.2. Escreve uma equação vetorial da reta FB. 2.3. Determina as coordenadas dos pontos E e C.

3. Considera a função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 e a função 𝑔: ℝ → ℝ definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4. 3.1. Justifica que 𝑓 é bijetiva e determina uma expressão para 𝑓 −1 (𝑥). 3.2. Mostra que 𝑔 é uma função par. 3.3. Define a função 𝑔 ∘ 𝑓. 3.4. Sabe-se que o ponto 𝐴(1, −3) pertence ao gráfico da função 𝑔. Determina as coordenadas de 𝐴′, imagem de 𝐴 pela translação segundo o vetor 𝑢 ⃗ (−1, 2). © Expoente10 • Dossiê do Professor, Edições ASA

3.5. Indica uma expressão analítica da função ℎ, cujo gráfico é simétrico do gráfico de 𝑓 relativamente à origem do referencial. 4. De uma função real de variável real 𝑓, de domínio ℝ, sabe-se que:  𝑓(0) = 0;  𝑓 é par;  𝑓 é estritamente decrescente em [0, 10];  𝑓 é estritamente crescente em [10, +∞[. Das seguintes afirmações apenas uma é necessariamente verdadeira. Indica qual e apresenta uma razão para rejeitar cada uma das outras afirmações. I. 𝑓 tem um máximo absoluto em 𝑥 = 0. II. 𝑓 não tem zeros. III. 𝑓 é estritamente decrescente em [−10, 0]; IV. 𝑓 é estritamente decrescente em ]−∞, −10].

- FIM -

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Cotações

GRUPO I

.......................................................................................................... Cada resposta certa

............................

10 pontos

Cada resposta errada

............................

0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada

............................

0 pontos

GRUPO II .......................................................................................................... 1.

2.

3.

4.

TOTAL

............................................................................ 1.1.

..........................................

10 pontos

1.2.

..........................................

10 pontos

1.3.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 2.1.

..........................................

10 pontos

2.2.

..........................................

10 pontos

2.3.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 3.1.

..........................................

15 pontos

3.2.

..........................................

10 pontos

3.3.

..........................................

15 pontos

3.4.

..........................................

10 pontos

3.5.

..........................................

10 pontos

............................................................................

150 pontos

35 pontos

35 pontos

60 pontos

20 pontos

.................................................................................................

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50 pontos

200 pontos

Soluções

GRUPO I 1. Opção (B) 2. Opção (B) 3. Opção (D) 4. Opção (C) 5. Opção (D)

GRUPO II 1.

 x  1  2k

1.1. 

 y  3  6k

1.2. k = 

,kℝ

1 2

1.3. Elipse,

x

2



y

25

2

1

9

2. 2.1. y = 5 2.2. (x, y, z) = (3, 8, 14) + k(1, 4, 8), k  ℝ 2.3. E(0, 1, 0), C(–3, 6, 17) 3. 1 3.1. f ( x ) 

1

x

2

3 2

3.2. Ao cuidado do aluno. 3.3. D = ℝ, (g f)(x) = 4x2 – 12x + 5 3.4. A’(0, –1) 3.5. h(x) = 2x + 3 4. Afirmação IV.

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Matriz Teste 5

Domínios FRVR10

Conteúdos Generalidades acerca de funções Produtos cartesianos de conjuntos. Gráficos de funções. Restrições de uma função. Imagem de um conjunto por uma função. Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Composição de funções. Função inversa de uma função bijetiva. Generalidades acerca de funções reais de variável real Funções reais de variável real; funções definidas por expressões analíticas. Propriedades geométricas dos gráficos de funções. Paridade; simetrias dos gráficos das funções pares e das funções ímpares. Relação geométrica entre o gráfico de uma função e o da respetiva inversa. Relação entre o gráfico de uma função 𝑓 e os gráficos das funções 𝑎𝑓(𝑥), 𝑓(𝑏𝑥), 𝑓(𝑥 + 𝑐) e 𝑓(𝑥) + 𝑑, com 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reais, 𝑎 e 𝑏 não nulos. Monotonia, extremos e concavidade Intervalos de monotonia de uma função real de variável real; caso das funções afins e caso das funções quadráticas. Vizinhança de um ponto da reta numérica; extremos relativos e absolutos. Sentido da concavidade do gráfico de uma função real de variável real. Estudo elementar das funções quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica e módulo de funções definidas por ramos Extremos, sentido das concavidades, raízes e representação gráfica de funções quadráticas. Funções definidas por ramos. Estudo da função 𝑥 → 𝑎|𝑥 − 𝑏| + 𝑐, 𝑎 ≠ 0.

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3

As funções 𝑥 → √𝑥 e 𝑥 → √𝑥 enquanto funções inversas. Domínio e representação gráfica das funções definidas analiticamente 3

por 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 − 𝑏 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 e 𝑎 √𝑥 − 𝑏 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0. Estudo de funções definidas por ramos envolvendo funções polinomiais, módulos e radicais. Resolução de problemas Equações e inequações envolvendo as funções polinomiais, raiz quadrada e raiz cúbica e a composição da função módulo com funções afins e com funções quadráticas. Resolução de problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de variável real. Resolução de problemas envolvendo as funções afins, quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo, funções definidas por ramos e a modelação de fenómenos reais.

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Teste 5

Neste teste não é permitido o uso de calculadora.

GRUPO I  Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.  Escreve, na tua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item.  Não apresentes cálculos nem justificações.  Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Considera, em ℝ, as funções 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 2. Quais poderão ser os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑎) = 25, 𝑓 −1 (𝑏) = 9 e 𝑔−1 (𝑐) = 10? (A) 𝑎 = −1, 𝑏 = 81 e 𝑐 = 28

(B) 𝑎 = −5, 𝑏 = 3 e 𝑐 = 4

(C) 𝑎 = −5, 𝑏 = 81 e 𝑐 = 28

(D) 𝑎 = −1, 𝑏 = 8 e 𝑐 = 4

2. Considera

a

função

𝑓,

de

domínio

[−4, 4]

e

contradomínio [0, 4], representada graficamente na figura. Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) + 1?

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3. Na figura está representado o gráfico de uma função quadrática 𝑓, de domínio ℝ. Qual das seguintes expressões pode definir a função 𝑓? (A) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5

(B) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 + 5

(C) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 5

(D) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 + 5

4. Considera as funções 𝑓 e 𝑔 representadas graficamente por uma parábola e por uma reta, respetivamente. Qual das seguintes afirmações é falsa? (A) ∀𝑥 ∈ ]−𝑎, 𝑏[, (𝑓 × 𝑔)(𝑥) > 0 𝑓

(B) ∃𝑥 ∈ ]−𝑎, 𝑎[: (𝑔) (𝑥) = 1 (C) ∃𝑥 ∈ ]𝑎, +∞[: (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 0 (D) ∀𝑥 ∈ ]−𝑎, 𝑎[, 𝑔(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥) 5. Sendo 𝑥 um número real, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) Se 𝑥 > 0, então √𝑥 2 = −|𝑥|.

(B) Se 𝑥 > 0, então √𝑥 2 = −𝑥.

(C) Se 𝑥 < 0, então √𝑥 2 = 𝑥.

(D) Se 𝑥 < 0, então √𝑥 2 = −𝑥. GRUPO II

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato. 1. Considera uma função 𝑓, de domínio [−5, 6[, cujo gráfico é o representado na figura.

1.1. Indica um intervalo onde a função seja crescente e negativa. 1.2. Comenta a afirmação: "A função 𝑓 é injetiva no intervalo [2, 4]". 1.3. Indica os valores de 𝑘 de modo que 𝑓(𝑥) = 𝑘 tenha exatamente três soluções. 1.4. Sabendo que 𝑓 é uma função definida por ramos, escreve uma sua expressão analítica.

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2. Um modelo de um foguetão é lançado verticalmente do cimo de um prédio e a sua altura ℎ, em metros acima do solo, é dada, em função de 𝑡, tempo em segundos após o lançamento, por: ℎ(𝑡) = −5𝑡 2 + 20𝑡 + 25 2.1. Qual é a altura do modelo no instante em que foi lançado? 2.2. Escreve a expressão dada na forma ℎ(𝑡) = 𝑎(𝑡 − 𝑏)2 + 𝑐 e indica a altura máxima atingida pelo modelo. 2.3. Quanto tempo esteve o modelo a uma altura superior a 25 metros? 2.4. Ao fim de quanto tempo o modelo atingiu o solo? 3. Na figura estão representadas, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦: 

parte do gráfico da função 𝑓, de domínio ]−∞, 2], definida por 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥 ;



parte do gráfico da função 𝑔, de domínio ℝ, definida por 𝑔(𝑥) = |𝑥|;



os pontos 𝐴 e 𝐵 são os pontos de interseção das duas funções e o ponto 𝐶 é o vértice da função 𝑔.

3.1. Determina a área do triângulo [ABC]. 3.2. Resolve analiticamente a inequação 𝑓(𝑥) > 3 e apresenta o conjunto-solução na forma de intervalo ou união de intervalos de números reais. 3.3. Considera a função ℎ, de domínio ℝ, definida por ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥 + 1) − 2. 3.3.1. Indica o domínio e o contradomínio de ℎ. 3.3.2. Determina os zeros de ℎ. 3.3.3. Define ℎ sem usar o símbolo de módulo. 4.

Mostra que se uma função 𝑓, de domínio ℝ, é par, então não tem inversa.

- FIM -

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Cotações

GRUPO I

.......................................................................................................... Cada resposta certa

............................

10 pontos

Cada resposta errada

............................

0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada

............................

0 pontos

GRUPO II .......................................................................................................... 1.

2.

3.

4.

TOTAL

............................................................................ 1.1.

..........................................

5 pontos

1.2.

..........................................

10 pontos

1.3.

..........................................

10 pontos

1.4.

..........................................

20 pontos

............................................................................ 2.1.

..........................................

5 pontos

2.2.

..........................................

15 pontos

2.3.

..........................................

10 pontos

2.4.

..........................................

10 pontos

............................................................................ 3.1.

..........................................

15 pontos

3.2.

..........................................

10 pontos

3.3.

..........................................

30 pontos

3.3.1.

......

10 pontos

3.3.2.

......

10 pontos

3.3.3.

......

10 pontos

............................................................................

50 pontos

150 pontos

45 pontos

40 pontos

55 pontos

10 pontos

.................................................................................................

200 pontos

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Soluções

GRUPO I 1. Opção (A) 2. Opção (B) 3. Opção (C) 4. Opção (D) 5. Opção (D)

GRUPO II 1. 1.1. [4, 5[, por exemplo. 1.2. Afirmação falsa. 1.3. [0, 3[  ]3, 5[

 5 x  25 se x   5,2 3 3   1.4. f ( x )   3 se x   2, 2  2 x 2  16 x  30 se x  2, 6   2. 2.1. 25 metros 2.2. h(t) = –5(t – 2)2 + 45; 45 metros 2.3. 4 segundos 2.4. 5 segundos 3. 3.1. 2 u. a. 3.2. ]–, –7[ 3.3. 3.3.1. D = ℝ e D’ = [–2, +[ 3.3.2. {–3, 1}

 x  1 se x  1  x  3 se x  1

3.3.3. h( x )  

4. Ao cuidado do aluno.

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Matriz Teste 6

Domínios FRVR10

Conteúdos Estudo elementar das funções quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica e módulo de funções definidas por ramos Extremos, sentido das concavidades, raízes e representação gráfica de funções quadráticas. Funções definidas por ramos. Estudo da função 𝑥 → 𝑎|𝑥 − 𝑏| + 𝑐, 𝑎 ≠ 0. 3

As funções 𝑥 → √𝑥 e 𝑥 → √𝑥 enquanto funções inversas. Domínio e representação gráfica das funções definidas analiticamente por 3

𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 − 𝑏 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 e 𝑎 √𝑥 − 𝑏 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0. Estudo de funções definidas por ramos envolvendo funções polinomiais, módulos e radicais. Resolução de problemas Equações e inequações envolvendo as funções polinomiais, raiz quadrada e raiz cúbica e composição da função módulo com funções afins e com funções quadráticas. Resolução de problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de variável real. Resolução de problemas envolvendo as funções afins, quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo, funções definidas por ramos e a modelação de fenómenos reais.

EST10

Características amostrais Sinal de somatório; tradução no formalismo dos somatórios das propriedades associativa e comutativa generalizadas da adição e distributiva generalizada da multiplicação em relação à adição. Variável estatística quantitativa como função numérica definida numa população e amostra de uma variável estatística. Média de uma amostra; propriedades da média de uma amostra. Variância e desvio-padrão de uma amostra; propriedades da variância e do desvio-padrão de uma amostra. Percentil de ordem 𝑘; propriedades do percentil de ordem 𝑘. Resolução de problemas envolvendo a média e o desvio-padrão de uma amostra. Resolução de problemas envolvendo os percentis de uma amostra.

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Teste 6

Neste teste é permitido o uso de calculadora.

GRUPO I  Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.  Escreve, na tua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item.  Não apresentes cálculos nem justificações.  Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial 𝑓 de domínio ℝ. A função 𝑓 tem apenas dois zeros: 𝑎 e 𝑏.

Seja 𝑔 a função definida por 𝑔(𝑥) = √𝑓(𝑥). Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função 𝑔? (A) ]−∞, 𝑏]

(B) ]−∞, 𝑎]

(C) [𝑎, 𝑏]

(D) ℝ ∖ {𝑎, 𝑏}

2. Sabe-se que o ponto 𝑃(−7, −1) pertence ao gráfico da função 𝑓 definida por: 𝑓(𝑥) = 2 3√𝑥 + 𝑎 + 3, onde 𝑎 ∈ ℝ Qual é o valor de 𝑎? (A) −2

(B) 2

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(C) −1

(D) 1

50

50

3. Sabendo que Ʃ (5 + 𝑖) = 10k + Ʃ 𝑖, qual é o valor de 𝑘? i=1

i=5

(A) 3

(B) 6

(C) 25

(D) 26

4. Numa turma de 30 alunos há 12 rapazes. As médias das classificações obtidas no último teste de Matemática foram 16,2 e 15,3, para as raparigas e para os rapazes, respetivamente. O valor da média das classificações da turma é: (A) 15,84 (B) 15,75 (C) 15,66 (D) 15,50

5. A média e o desvio-padrão dos salários dos trabalhadores de uma empresa são, em euros, 𝑥̅ = 900,5 e 𝑠 = 52. O dono da empresa resolveu aumentar todos os salários em 6%. Após o aumento, quais são os valores da média e do desvio-padrão? (A) 𝑥̅ = 906,5 e 𝑠 = 53,06 (B) 𝑥̅ = 906,5 e 𝑠 = 58 (C) 𝑥̅ = 954,53 e 𝑠 = 83,2 (D) 𝑥̅ = 954,53 e 𝑠 = 55,12

GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.

1. Seja 𝑓 a função, de domínio ℝ, definida por:

√3 − 𝑥 − 2 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 − 1 |𝑥 − 4| + 1

se 𝑥 < −1 se − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 se 𝑥 > 2

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolve as duas alíneas seguintes. 1.1. Determina o conjunto dos números reais que são solução da condição 𝑓(𝑥) = 1.

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1.2. Resolve, em ]2, +∞[, a condição 𝑓(𝑥) ≥ 2. Apresenta o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais. 2. Na figura estão representadas, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, as retas 𝑟, 𝑠 e 𝑡. Os pontos 𝐴 e 𝐵 são, respetivamente, os pontos de interseção das retas 𝑟 e 𝑠 com a reta 𝑡 e o ponto 𝐶 é o ponto de interseção das retas 𝑟 e 𝑠. Sabe-se que:  a reta 𝑟 é definida pela equação 𝑦 = 10;  a reta 𝑠 é definida pela equação 𝑦 = 𝑥 + 1;  a reta 𝑡 é definida pela equação 𝑥 = 2.

Considera que um ponto 𝑃 se desloca ao longo do segmento de reta [BC], nunca coincidindo com o ponto 𝐵 nem com o ponto 𝐶, e que um ponto 𝑄 se desloca ao longo do segmento de reta [AC], acompanhando o movimento do ponto 𝑃, de forma que a abcissa do ponto 𝑄 seja sempre igual à abcissa do ponto 𝑃. Seja 𝑥 a abcissa do ponto 𝑃. 2.1. Mostra que a área do trapézio [ABPQ] é dada, em função de 𝑥, por: 𝐴(𝑥) = −

𝑥2 2

+ 9𝑥 − 16 (𝑥 ∈ ]2, 9[)

2.2. Sem recorrer à calculadora, determina os valores de 𝑥 para os quais a área do trapézio [ABPQ] é superior a 12. Apresenta a tua resposta usando a notação de intervalos de números reais. 2.3. Considera a função 𝑓, de domínio ℝ, definida por: 𝑓(𝑥) = −

𝑥2 + 9𝑥 − 16 2

A função 𝑓 pode ser definida por uma expressão do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde 𝑎, ℎ e 𝑘 são números reais. Determina os valores de 𝑎, ℎ e 𝑘.

3. Para uma cer t a am ostr a

𝑥 ~

= (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥10 ), sabe - se q ue d 1 = 1, d 2 = –3, d 4 = –5,

d 6 = –4, d 8 = –5, d 1 0 = 0, d5 = d9 = 2d3 e d7 = 3d3, onde 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥̅ . 3.1. Determina os valores de 𝑑3 , 𝑑5 , 𝑑7 e 𝑑9 . 3.2. Admite que 𝑑3 = 3, 𝑑5 = 3, 𝑑7 = 4 e 𝑑9 = 6. 3.2.1. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos, calcula o desvio-padrão da amostra. Apresenta o resultado arredondado às unidades. 3.2.2. Sabendo que 𝑥1 = 20, identifica os três primeiros elementos da amostra calcula o valor da respetiva média. © Expoente10 • Dossiê do Professor, Edições ASA

e

4. Um pediatra registou numa tabela a idade, em meses, em que surgiu o primeiro dente a 30 dos seus pacientes. Idade (meses)

Número de crianças

3

3

4

4

5

2

6

4

7

1

8

7

9

1

10

4

11

1

12

3

4.1. Para este conjunto de dados, sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos, determina: 4.1.1. a média (apresenta o resultado aproximado às décimas); 4.1.2. o desvio-padrão (apresenta o resultado aproximado às décimas); 4.1.3. o percentil 30. 4.2. Determina a que percentil pertence uma criança cujo primeiro dente tenha surgido aos 11 meses.

- FIM -

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Cotações

GRUPO I

.......................................................................................................... Cada resposta certa

............................

10 pontos

Cada resposta errada

............................

0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada

............................

0 pontos

GRUPO II .......................................................................................................... 1.

2.

3.

4.

............................................................................ 1.1.

..........................................

20 pontos

1.2.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 2.1.

..........................................

15 pontos

2.2.

..........................................

15 pontos

2.3.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 3.1.

..........................................

10 pontos

3.2.

..........................................

20 pontos

......

10 pontos

3.2.2.

......

10 pontos

............................................................................ 4.1.

4.2.

TOTAL

3.2.1.

.......................................... 4.1.1.

......

10 pontos

4.1.2.

......

15 pontos

4.1.3.

......

5 pontos

..........................................

150 pontos

35 pontos

45 pontos

30 pontos

40 pontos

30 pontos

10 pontos

.................................................................................................

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50 pontos

200 pontos

Soluções

GRUPO I 1. Opção (A) 2. Opção (C) 3. Opção (D) 4. Opção (A) 5. Opção (D)

GRUPO II 1. 1.1. {–6,

2 , 4}

1.2. ]2, 3]  [5, +[ 2. 2.1. Ao cuidado do aluno. 2.2. ]4, 9[ 2.3. a = 

1

, h = 9, k =

2

49 2

3. 3.1. d3 = 2, d5 = 4, d7 = 6, d9 = 4 3.2. 3.2.1. sx  4 3.2.2. x1 = 20, x2 = 16, x3 = 22, x = 19 4. 4.1. 4.1.1. x  7,3 4.1.2. sx  2,8 4.1.3. P30 = 5,5 4.2. P87, P88 e P89

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Matriz Teste Global

Itens

Domínios

Objetivos

I. 1

LTC10_10.1

Operar com proposições.

I. 2

ALG10_10.2

Definir e efetuar operações com potências de expoente racional.

I. 3

I. 4

ALG10_10.4

Efetuar operações com polinómios.

ALG10_10.5

Resolver problemas.

FRVR10_10.1

Definir a composição de funções e a função inversa de uma função bijetiva.

I. 5

EST10_10.2

Utilizar as propriedades da média de uma amostra.

EST10_10.3

Definir e conhecer propriedades da variância e do desvio-

EST10_10.4

-padrão de uma amostra. Definir e conhecer propriedades do percentil de ordem k.

II. 1

LTC10_10.1

Operar com proposições.

II. 2

ALG10_10.1

Definir e efetuar operações com radicais.

ALG10_10.3

Resolver problemas.

GA10_10.1

Definir analiticamente conjuntos elementares de pontos do plano.

GA10_10.2

Resolver problemas.

GA10_10.3

Operar com vetores.

GA10_10.5

Conhecer propriedades dos vetores diretores de retas do plano.

II. 3

GA10_10.6

Resolver problemas.

ALG10_10.1

Definir e efetuar operações com radicais.

ALG10_10.3

Resolver problemas.

GA10_10.7

Definir referenciais cartesianos no espaço.

GA10_10.8

Definir analiticamente conjuntos elementares de pontos do espaço.

GA10_10.9

Definir vetores do espaço.

GA10_10.10

Operar com coordenadas de vetores no espaço.

GA10_10.11

Resolver problemas.

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II. 4

LTC10_10.2

Relacionar condições e conjuntos.

LTC10_10.3

Resolver problemas.

FRVR10_10.2

Relacionar propriedades geométricas dos gráficos com propriedades das respetivas funções.

FRVR10_10.5

Estudar funções elementares e operações algébricas sobre funções.

FRVR10_10.6 II. 5

Resolver problemas.

EST10_10.2

Utilizar as propriedades da média de uma amostra.

EST10_10.3

Definir e conhecer as propriedades da variância e do desvio-padrão de uma amostra.

EST10_10.4

Definir e conhecer as propriedades do percentil de ordem k.

EST10_10.5

Resolver problemas.

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Teste Global

Neste teste é permitido o uso de calculadora.

GRUPO I  Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.  Escreve, na tua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item.  Não apresentes cálculos nem justificações.  Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Considera a proposição: 𝑝: ~(~(𝑎 ∧ ~𝑏) ∨ (𝑎 ⇒ 𝑏)) Quais os valores lógicos de 𝑎 e de 𝑏 de modo que a proposição 𝑝 seja verdadeira? (A) 𝑎 é verdadeira e 𝑏 é verdadeira. (B) 𝑎 é verdadeira e 𝑏 é falsa. (C) 𝑎 é falsa e 𝑏 é verdadeira. (D) 𝑎 é falsa e 𝑏 é falsa. 1

2 5

2. Sejam 𝑥, 𝑦 e 𝑧 números reais positivos. Qual das seguintes expressões é equivalente a 𝑥 2 𝑦 3 𝑧 6 ? 3

(A) √𝑥𝑦 2 𝑧 3 6

(B) √𝑥𝑦 2 𝑧 5 6

(C) √𝑥 3 𝑦 2 𝑧 5 6

(D) √𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5

3. O polinómio 𝑃(𝑥) = 6𝑥 2 + 𝑥 + 7 tem o mesmo resto quando dividido por 𝑥 − 𝑎 e por 𝑥 − 2𝑎, onde 𝑎 ≠ 0. Qual é o valor de 𝑎? 1

(A) 𝑎 = − 6 1

(B) 𝑎 = − 18 (C) 𝑎 = −

7 6 7

(D) 𝑎 = − 12

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4. Na figura está representada, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, parte dos gráficos de duas funções reais de variável real 𝑓 e 𝑔, de domínio ℝ.

Qual é o valor de 𝑓 −1 (6) + (𝑓 ∘ 𝑔)(2)?

(A) 0

(B) ̶ 1

(C) 3

(D) 6

5. Considera as seguintes afirmações. I. É sempre possível determinar a média dos valores de uma amostra qualquer. II. O desvio-padrão é uma medida de dispersão que se exprime na mesma unidade dos valores da amostra. III. Os percentis de uma amostra são sempre valores observados. O que se pode dizer quanto ao seu valor lógico? (A) Apenas I é verdadeira. (B) Apenas II é verdadeira. (C) Apenas III é verdadeira. (D) São todas falsas.

GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.

1. Mostra que, para quaisquer proposições 𝑝 e 𝑞, se tem: (𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑝) ⇔ (𝑞 ∨ ~𝑝)

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2. Na figura estão representados, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, a circunferência de equação (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 4 e o trapézio [ABCD]. Sabe-se que:  𝐶 é o centro da circunferência;  a reta AB tem equação (𝑥, 𝑦) = (2√2, 5) + 𝑘(1, −1), 𝑘 ∈ ℝ.

2.1. Determina a equação reduzida da reta CD.

2.2. Escreve uma condição que defina a região a sombreado, incluindo a fronteira.

2.3. Mostra que os pontos médios dos lados de qualquer trapézio são os vértices de um paralelogramo. 3. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, o prisma hexagonal regular [ABCDEFGHIJKL], cuja base está contida no plano 𝑥𝑂𝑦. Sabe-se que:  a medida da aresta da base do prisma é 4 cm;  a medida da sua altura é igual à medida do perímetro da sua base;  o vértice E coincide com a origem do referencial, o vértice F pertence ao eixo 𝑂𝑥, o vértice C pertence ao eixo 𝑂𝑦 e o vértice K pertence ao eixo 𝑂𝑧. 3.1. Escreve uma condição que defina o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto F é igual ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖. a ‖𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ é colinear com 𝐴𝐻 3.2. Identifica e indica as coordenadas do ponto 𝑃 da figura tal que 𝐸𝑃

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⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐽 ⃗⃗⃗⃗ ‖. 3.3. Determina ‖𝐸𝐴 4. Considera as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 6, 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 3 e ℎ(𝑥) = |𝑥 − 2| e seja 𝐴 = ℝ+ . Usando métodos exclusivamente analíticos, resolve os quatro itens seguintes. 4.1. Indica o domínio e o contradomínio da função 𝑔(𝑥 − 1) + 1. 4.2. Determina o valor lógico de ∃𝑥 ∈ 𝐴: 2𝑔(𝑥) = ℎ(−2). 4.3. Determina os valores de 𝑥 ∈ 𝐴 tais que 𝑓(𝑥) ≤ 6. 4.4. Mostra que ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥) ≤ 0 ∨ 𝑔(𝑥) ≥ 2 é uma condição universal.

5. As classificações dos 30 alunos de uma turma num determinado teste foram, em valores arredondados às unidades, as seguintes: 7 12 13 16 18

7 12 14 16 18

8 12 15 16 18

10 13 15 16 19

11 13 15 17 19

11 13 15 17 20

5.1. Determina os percentis de ordem 20 e 75.

5.2. Se a todas as classificações se subtrair um valor, qual é a relação entre os valores da média e do desvio-padrão dos novos dados e dos dados apresentados acima?

- FIM -

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Cotações

GRUPO I

.......................................................................................................... Cada resposta certa

............................

10 pontos

Cada resposta errada

............................

0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada

............................

0 pontos

GRUPO II .......................................................................................................... 1.

............................................................................

10 pontos

2.

............................................................................

40 pontos

3.

4.

5.

TOTAL

2.1.

..........................................

10 pontos

2.2.

..........................................

15 pontos

2.3.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 3.1.

..........................................

10 pontos

3.2.

..........................................

10 pontos

3.3.

..........................................

10 pontos

............................................................................ 4.1.

..........................................

10 pontos

4.2.

..........................................

10 pontos

4.3.

..........................................

15 pontos

4.4.

..........................................

15 pontos

............................................................................ 5.1.

..........................................

10 pontos

5.2.

..........................................

10 pontos

150 pontos

30 pontos

50 pontos

20 pontos

.................................................................................................

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50 pontos

200 pontos

Soluções

GRUPO I 1. Opção (B) 2. Opção (D) 3. Opção (B) 4. Opção (D) 5. Opção (B)

GRUPO II 1. Ao cuidado do aluno. 2. 2.1. y = –x + 5 2.2. (x – 2)2 + (y – 3)2  4  y  –x + 5 + 2 2  y  3 –

2

2.3. Ao cuidado do aluno. 3. 3.1. (x – 4)2 + y2 + z2 = 16 3.2. J(– 3 , 2 3 , 12) 3.3. 4 13 cm 4. 4.1. D = [–2, +[, D’ = [1, +[ 4.2. Afirmação verdadeira. 4.3. ]0, 3] 4.4. Ao cuidado do aluno. 5. 5.1. P20 = 11,5, P75 = 17 5.2. A média será a anterior menos um valor e o desvio-padrão será igual.

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