Livro - Estruturas de Concreto - FUSCO

donde A,, = A,

- A,

= 9,45 - 1,60 = 735 cm4

Dcsse modo, pade ser calculada a parcentagem de amadurn loop,

=

As,

=

bd

100 x 7.85 = ,,4m 12 X 46

resultando

2.' Tenfarivn. Camo no cntorno de 100 p, = 1.26 o valor procurado de k,t pouco sensivel a variaqbes e a! = 1 ,MI. wba-se kc = 2.4 resultando

tern-SGpara

M b o valor miximo achkdvel tic

M,- M d . r + A M d = I Q M + 2 9 2 0 = 13500kN.cm resultando o vulor

b. E x ~ m p l o5,

Determimr o momeom u&mo

gue pode ser aplicado a sgAo do Exernplo 3

(caw c dos excmplos de dimemionamtnto), usando-se Aqo CA-SOB,

Dados: AGO CA-SOB

A: = 2

12.5

-

2,5Q cm'

Tenraliva. Adisando a tabtla referenre ao AGO CA-SOB, verifica-se que nas proximidadcs de fil, t?m-se

IH

-0.1w

1kN -I(IDLgP-O.ld 1kW.m-JMl~.m=O,Itbrn tkN.cm=J0O~.cm-O.ld.cm

-

1 MPa = 1 MNtrnl 10 kpflcrnr I kWm = 1M Wrn 0-1 t€/m

IkNlm'-100Wrnt-0,Itllm' IkN13=IW~m'=O,1iflm'

I

t

e. para 6

lg

' = d'ld = 4146 = 0.09 3 0.10.

023 = 0.90 logo k; = -0L - = 0.026 0-9

Desse rnodo, sendo

obtim-sc

0 valor 100 p , = 1.3 1% correspnde a

para o qua1 a = 0.90, concluindu-se que h i a necessidadc de uma segunda tentatit pois nesta primein tentativa foi adotado o valor a! 2 1.0.

dunde A,, = A,

-

A: = 9.45

l o o p , = 100 A,, bd

=

- 2.50 = 6,90cm4

lm x 6.90 = j .2j% 12 X 46

corwspond~ate a

k, = 2,6

u = 0,w

fl = 0.91

(6' = 0,lO)

Ntssas condkks. dm-se

logo

O b s ~ w 6 oStria espontheo que a condi~goA, = A; tivesse sido adotada logo na I Tentativa- Essa hip6tese foi intenciondmente evitada apenaspara st: mostrar que o problem e sempre resolvido no rniximo corn duas tentahas-

-

1.2 -9

SEC AO SUBMETI DA A

MOMENTOS DESENTIDOS CONTRARIOS.EXEMPLO

.

Dad;l a w$io

.

da Fig. 2.2 .P1. calcular.os mementos limite~que podem ser aplicados. e s e sucessivamente cada uma das armduras como sendo a de tragh.

resultando A,, = A,

-

Ap

= 18,W

- 9.45

= 9.45 cml

Ualcutlindo o valor de

pcia l'abcla 6 (CA-SOA). para fCk= 13,5 MPa c 8'

= 0 , ] 0 . obtim-sc

ficando confirmda a validade da hipbtese de que arnbas as arrnaduras estejarn em

escoamento, Desse modo. resulta

bd2 + M,,= M,.p + AM, = k,

Neste caso. tzm-se

-4: (d

- d') k;

d

= 45 cm* =45-4,5=40Jcm = 4-5/45 = 0.10

d-d1 6'

Sendo A; > A,, i evidente que deveri ser /3 < 1.0. pois este coeficiente mede a reislo

aufd.

Neste exemplo particular, sendo A: = 2A.. necessariamente dcvera ser @ < 0.5. Consultando a Tabela 6, verifka-se que, para 8' = 0.10, o valor de P cai rapidamertte, para valores de 6 rro entornu de 4 = 0.16. I .* Ienfutiva. Admire-se o valor

= 0,34 correspondenre a

resul tando ent20

& * A,

- A,,

= 9,45

-

3,24 = 6.21

A soluf50 seri verdadeira se for satisfeita a condir;iio

Cum os valares admitidos, 1Cm-se

estando portanto satisfeita a c a n d i ~ bde validade do valor f l escolhido. Jksse

m d o . de

M, =

M,/.+ AM,

.

obttrn-se. corn k',

=

bd' + A:

(d

kc

=

0.2310,34,

logo C'

M,

=

5 841

+ 11 315 = r 1 156 kN.cm

- d') k;

2.3 FLEXAO SIMPLES Fl~xciusimplesiaflexiio n50 acompanhada de f o p normal.

E FLEXAOCOMPOSTA

Flemio composra c o m g r a n d e e x c e n t r i c i d a d e e a f l e x ~ a c o ~ a n h a d a d t f ~ p w mal, havendo na pega urn banzo comprirnidoe outro tracionado.

COM GRANDE EXCENTRICI DADE ( D O M ~ N I O S2-3-4-4a) 2 -3. f CON D I C ~ E SDE Redu~goa urn caso Msico linico. I M e N

em valores absolutes.)

EQUIL~BRIO

FLEXO-TRACA o F,

= R, -

F, e,

- R; - t'x) + R;(d - d')

R,

= R,(d

FLESAO SIMPLES

F,= R,- K , - R ; = O N, e, = M, = R,(d - fx)

+ R;(d

FLEXO-COMPHESsAu F, =

R, + R; - R,

F, e,

=

R,(d - f'x)

+ R;(d

- d')

- dr)

'

-

Comparand+se as equgiks de quilibrio da flexo-trqEo, da flexgo simptes e da flexo-compress80, verifica-se que elas podem tomar-se identicas desde que na flexo-

seja feita F < 0. Desse modo, os tres problemas ficam reduzidos a urn finico, tomandwe o caso da flexecompressio como caso bkico. As e q u a ~ h de s equilibria. tanto na flexo-compresdo quanto na flex30 simpla e na flexo-tra~so.podem pois ser escritas sob a farma

ri

corn F, > O de compresslo e F, < 0 de tra@o, sendo

No caso de fledo simples, tern-se N, = 0,sendo

Observe-= que a equa~5ode cquilibrio de momentos seri sempre referida ao rpnlrn dc gravid~deda "armuduru de 1raci0" (armadura mais tmcionada ou menus comprirnjda).

2.3.2 PROPRIE DADES Cnnsidm-se a seguir as propriedades bisicaj das seees rcmngulares. tendo em BASICAS D A S S E ~ ~E Svista a form do diagrma dt tens6es de compscssio e a posi~aoda linha neulra, nos HETA N G ULARES Cbmilli0~2, 3, 4 c h. Os elemcntos basicos de no&g50 estho indicados na Fig. 2.3.2-1.

Conforme ji foi visto anteriormente. o dominio 2 pode ser dividido em dois subdominim, indicadas respctivamente par Za e 2b. A diferenqaessential enrre essee subdominirrs reside no fatode we. embora em ambos nio se possafalarem ruptura do concrete, no stlbdominio 2b jP h i umafanca pseudoplarrtificaqSo por rnicmfissura~o Jr, concreto comprimido, enquanto em 2a esse fenbmeno pmticamente ainda nio se

t1 'i

4

iniciou. Conforme 6 mostrado na Fig. 2.3.2-2.no dominio b existe urn encuttamento maxima do concreto erld':2%. chegando-se, portanto. ae estado limite dlfirno corn crcld < u r d = 0.85 fd. ou wja. chega-se ao estado limite liltimo corn a hipotese de que o ooncreto aiada niio se tenha rompido, Observe-se que no dominio 2a nio existe possibilidade dc emprego eficiente de armaduras de compressio. pois E: = 0. No dominie 2b, a encurtamento mixirno E , , ~do concretojb supera o valor de 2%. que 4 o Iimite para 0 qua1 se admite o inicia da pseudoplastific~~odo cuncreto. Desse modo. no trechu em que 2 % ~gCId s 3.3%., a t ensHo no concrcto&constante e igual a o,,~ =

= 0.85 fd

Conforme fai visto em 8 1.3, t2m-se

rtn,1tm = 011667 C

8 I I

a %d = -fed

. L

-

I

a$$*

1

- / P -- . 1 =.kq$y 4

---------3,sY.

Fig. 2.3.22 SgsO rctanglar

- Dorninio 2.

De rnwfo geral, a resultante das tensks de cornpresGo no concreto pode ser escrita

R,=abxud

ou en-

R, = 0,85 at bx fd o d e o cmficiente de Moco a d5 o vdor da tendto m

I'or

dm= a ud ou seja vrpl= 0.85 u fd

a de wmpres& u&,,

CMLf~fme~mtB mW M Y& 2.3.2-3 domini063.404a. A Fi.23 2-3 m t r a 0sit&'#

a do-

dm d c k n t e s a e

2e

Fig, 23.24

a n fun*

ptlra

da pos*

w da

lmhamtradadaporE,sedo

idade x da Linha neutm possa ser uma o dhgmma de tens& de compress50

I . . .

--

1

35

J

fi #1

x l'U*

I

Rg. 2.324 Dominius W a

- Resultante dc comprtssAo.

De fato, embora x possa ter qualquer valor para o qual

6 9 [r,

rra =

072593 4

a resultante das t t n e s de compresdo pode scr escrita

R , = 0 , 8 5 f d . b -3 x + - 2- 8 S f d 7 3

I

b 4- x

1

7

logo

R, = 0,85 fd (-3

7

+ -2 - 7 3

. b ~

..*- - h s s c modo, para os doalnios 3 . 4 e 4s. obtdm-sqp vdm copswte L

u=

PARA BOiA

0 0 P~ Rg. 2.3-25

vidadt.

R, 0,85 fd bx

:

I

= 0,8095

De mantira adqga, cp&cendo-se a p o w do centro de gravida& de segment0 de pariibola do 2.O g r w , Fig. 2.3.2-5, tern-se

GRAY

p i = $ [ o ~ s & . -3n . - n3+ 0 , 8 5 h - 7

Pas* & c e n t m dc gra-

14

2 . 4- x &3 n + g - b ] 3 7 7 4 0 7

.. -

donde resulta,com.&= ga8q5.085>f bx,o 3alorconstante -

I

-..0;41'6

. , ~ . , . r . , f ~ r ~ - n ~ ~ r ~ t . , ,

L

L

-A

2.3.3 E Q U A C ~ E S~ c & ~ o q u c f o i v i s t o t 2 3 . l , t d o s o t a s o s d e f k x i o c o m ~ n d c e x ADIMENSIOWAIS DE dade W&.m ser tratados ghbahcnte, tomandew as e x p m s k s (2.3.1-1) e EQUIL~BRIO carno:bqUv - s d~&piI&rio, as quais, wgundo a Fig. 2.3.1-1, -#& escritas

FuxR,+K-R,

-

d

(2-33-11

-

'

F.e. = % d - i t x ) + Wd--d3

! I

,

&%%a

em d&d&i

0

- =Fig. mark

2b.3edj

~ i . m w . m

2.34-1, ttm-se as srguinks~mdi@md.

a rum-itaa ns Q I B ~frrrmn d i m m a i n h a l .

e8TSmlms m E w m , w A m

I

-

*

'

42.-3

-

- , a

.

lj

d conhecido o domini# cormgondentee jB.A' esb% ..--..determinados os valares das o u t m m v e i s que corn* m g l nas whdigp$c-patibilidadc expressas por (2.3.431, bem coma as tendcs que agem no C O C I C ~ ~e~nO a s d u m . Esses resultados estga apresentsdos de forma sintitica na tawla seguiate. C

8~

=3 , s

w

0

a =d

f

6'

.m

h

-

= 0,416 0

wd -c 0 (compress&)

'I

2.4

FLEXAO

1MPOSTA COM GRANDE NTRICIDADE.

ULO PRATICO nos problem de fix50 c o m p t a , do momento Md & d o O > @ 2.4.1 VARIAVEIS A consid+, a ~DMEN21ONAIS. centro de hvidade da armadura de t@io em ] u p do 'momento & refa-6'hge.m principal de perm& GO DE TABELAS centro de ghvidade:da @o transversal da -'I=& UNIVERSAIS a resolu* desses pmblemsts como se fqssem problemas de flexgo simpha empregandwse as mesmas tabelas j B antelio&menteanalisadas. A Fig, 2.4.1-1 ilusm a *So dm prqbjemas de flex& composta a proble trarados como se fossem de fiexiio simples. A.demonstrafiio formal da vdidde dm raciod~osilustdos pela F ig.Z4rdnf pxfe serfdta a partir dm B Q C I ~ ~ & Sde equilibrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do ) 2.3.1 partir: dag ~ i k ~ ~ n s i o ndea equitIbrip,(2,3.3=~1) i s e (2.3.3-12) do O 233Qtizllquer que seja o d n h o escolhido,.quado scadmite annadura s h p b , @ e q e c r de equilibrio de mementos, a qual determina a posim da Iinha neutmij&

'I

aatamente a rnesma, quer w trate de flcx5orsimpIes quer de fltxSo cornposh. Baz fato dearre de se admitir o momento M M e ~o o momento &. Atnda considcrando armadura utiiiateral,a armadura de tm$o A, i deter@&@ pela equMo de quilibrio de foryas, a qud exige que a resultante R,das ten&& wrnadura d+ liwk equWre aresdtanze % ctas tens& de compre-o no cx- Wendo 6l,wartockbda forga nsmnal PI, qumdo de trqao, ou subtd&&&" norm4 N,qua& da oompmsb. 7h hsse,m&, Qamya@mdemoment- resultaeposi@o d a b neutrae, @@i JJS En,. mde ser e r n n d a a armadura simdes. sendo

A

= m B E - * - e m

ARMADU RA

ARMADURA

.

31 MPLES

W PLA

'i

onde, tanto & tmgh quanta para a eomprtssh, 6 F@o N > 0. Por mmo I&, 4a armarkrra simples lev= tr supramadas, o problema C novamaw w i d 0 p l a ad-Q de amdurn &@la. Fwnda-se novmemk, coma no caso da flsimples, My = M ,c + A& (2.4.1-3)

rr

onde Md. ,t a -la rssistiaa por uma s q h eom armd3fa &@es resiatida por urna'G50 metiihca, tern-se

e AM& a parcela

-

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