LIVRO Concreto Armado Vol. 3.pdf

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Concreto Armado Volume 3

Dimensionamento à Flexo-Compressão

Edmilson L. Madureira

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5 Apresentação

O trabalho que segue nas páginas adiante é o terceiro da série de três volumes contemplando a cobertura do conteúdo programático da disciplina Estruturas de Concreto Armado I, da grade curricular do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Representa o fechamento de uma proposta original de disponibilizar aos membros do corpo discente, material didático voltado à aquisição de conhecimento, extrato das lições de autores tradicionais versados na ciência e na arte de projetar estruturas de concreto armado, dispensando esses estudantes do rebuscar imediato de conteúdo em fontes dispersas, sem, contudo, demovêlos do compromisso de ampliar horizontes na pesquisa em bibliografia alternativa. Os volumes foram concebidos mediante estrutura gramatical e vocabulário, acessíveis a estudantes do Curso de Engenharia Civil, sem, entretanto, negligenciar o cultivo e usufruto de terminologia técnica e notação científica, adequadas. Este volume compreende cinco capítulos abordando o dimensionamento de membros estruturais de concreto armado solicitados à flexo-compressão.

6 Congratulações aos estudantes da disciplina Estruturas de Concreto Armado I, que, com empenho, lançaram-se no desafio de desbravamento dos dois volumes precedentes, lhes permitindo o acesso ao conteúdo então apresentado em vôo de cruzeiro e calmaria de jornada.

7

Sumário

Capítulo

I

–

Seções

Solicitadas

à

Flexo-Compressão

-

Introdução I.1 – Aspectos Fundamentais

9

I.2 – Recomendações Normativas

16

I.3 – Modelo de Dimensionamento

26

Capítulo II - Flexão composta reta com grande excentricidade – Dimensionamento

II.1 – Armadura Distribuída nos Bordos da Seção Transversal

29

II.2 – Armadura Distribuída no Perímetro dos Estribos

63

II.3 – Exercícios Propostos

73

Capítulo III - Flexão composta reta com pequena excentricidade

III.1 - Dimensionamento

75

III.2 - Exercício Proposto

87

8

Capítulo

IV

-

Flexão

composta

oblíqua

com

grande

excentricidade

IV.1 - Dimensionamento

89

IV.2 - Exercício Proposto

109

Capítulo V - Efeito de Esbeltez V.1 – Preâmbulo

111

V.2 - Dimensionamento

117

V.3 – Exercício Proposto

123

Referências Bibliográficas

125

9 Capítulo I

Seções Solicitadas à Flexo-Compressão - Introdução

I.1 – Aspectos Fundamentais

Uma seção transversal está submetida à flexão composta quando solicitada pela ação combinada e simultânea de esforço normal e momento fletor, denominando-se, particularmente, flexocompressão se o esforço normal for de compressão. Um exemplo desse padrão de solicitação é constatado em colunas submetidas a carregamento transversal, decorrente de impacto lateral, conforme figura I.1.a, como o que se verifica em defensas de rodovias, guarda-corpo de pontes, e pilares de currais e garagens. Outro exemplo, são os pilares que recebem a ação do vento, figura I.1.b, como acontece naqueles de extremidade de estruturas de edifícios. Ressaltem-se, ainda, as colunas que fazem parte de pórticos, sobretudo, quando estão ligadas rigidamente aos elementos horizontais, as vigas, figura I.1.c. Reportem-se, inclusive, as colunas de estruturas de pontes onde as ações de aceleração e frenagem de veículos são exercidas na superfície de rolamento da pista e transmitidas ao topo dos pilares, resultando as condições apresentadas na figura I.2.

10

Figura I.1 – Elementos submetidos à flexo-compressão

Figura I.2 – Solicitações estáticas em pontes rodoviárias Até mesmo a ação do tráfego de veículos contra a ondulação da superfície de rolamento do pavimento das pontes é suficiente para produzir ações horizontais nos pilares. Para as pontes ou viadutos de traçado longitudinal em curva horizontal, Figura I.3, o tráfego natural de veículos a velocidades

11 razoáveis, é capaz de mobilizar ação centrífuga na laje da superestrutura. Tal ação é conduzida ao topo das colunas resultando na solicitação nos pilares ilustrada na figura I.4.

Figura I.3 – Ponte ou viaduto de traçado horizontal em curva

Figura I.4 – Ponte ou viaduto de traçado horizontal em curva

12 Em qualquer situação de coluna solicitada à flexocompressão, o par de esforços, constituído pelo esforço normal e o momento fletor, pode ser transformado em um único esforço equivalente, o esforço normal, apresentando desvio em relação ao centro de gravidade da seção transversal, figura I.5. Isto é possível mediante a aplicação do teorema de Varignon. A medida do desvio “e”, da linha de ação do esforço normal, em relação ao centro de gravidade da seção transversal é denominada de excentricidade.

Figura I.5 – Pilar solicitado à flexão composta A flexão composta pode ser reta ou obliqua. A flexão composta reta, ou flexão composta normal, dá-se quando a seção transversal encontra-se solicitada por momento fletor, cujo vetor apresenta a mesma direção de um de seus eixos principais de inércia, figura I.6.a. Em outras palavras, quando a linha de ação do esforço normal excêntrico intercepta um dos eixos principais de inércia, ou seja: quando a excentricidade se manifesta apenas segundo uma de suas direções principais, figura I.6.b.

13 .

Figura I.6 – Seção transversal solicitada à flexão composta reta Por outro lado, uma seção está solicitada mediante flexão composta oblíqua, quando o vetor momento fletor apresenta-se inclinado em relação aos seus eixos principais de inércia, figura I.7.a, o que equivale a dizer que a linha de ação do esforço normal excêntrico intercepta o plano da seção através de um dos quadrantes estabelecidos por seus eixos principais de inércia. Neste caso, a excentricidade manifesta-se segundo duas direções ortogonais entre si, figura I.7.b.

Figura I.7 – Seção transversal solicitada à flexão composta oblíqua

14 Os

eixos

principais

de

inércia

caracterizam-se

por

representarem a referência para os momentos de inércia de valor extremo maior e menor. Em outras palavras, são os eixos em relação aos quais os momentos de inércia apresentam o valor máximo e o valor mínimo. Assim sendo, se o momento de inércia em relação a dado eixo apresenta seu valor máximo este eixo representa um eixo principal de inércia, e, o outro eixo principal de inércia é aquele que lhe é ortogonal, em relação ao qual o momento de inércia apresenta o menor valor possível. A flexão composta é de pequena excentricidade quando os esforços solicitantes e a distribuição da armadura na seção transversal são tais que resulta, exclusivamente, tensões de compressão em toda a extensão da referida seção. Assim, a linha neutra passa fora ou no máximo tangencia o perímetro de contorno da seção transversal em consideração, figura I.8.a. Por outro lado, quando a linha neutra intercepta a seção transversal analisada, de modo que ela se encontre parcialmente tracionada e parcialmente comprimida, caracterizar-se-á a flexão composta com grande excentricidade, figura I.8.b. Em se tratando de seções de concreto armado os conceitos da Mecânica dos Sólidos não se aplicam diretamente, haja vista, a influência das armaduras e da fissuração. A flexão normal dar-se-á, exclusivamente, em seção que admita pelo menos um eixo de simetria e o plano que contém o carregamento também contém tal eixo, de modo que o vetor

15 momento fletor é perpendicular ao plano de carregamento e ao eixo de simetria, figura I.9. Caso contrário tem-se flexão oblíqua.

Figura I.8 – Seção transversal solicitada à flexo-compressão: a - ) com pequena excentricidade; b - ) com grande excentricidade A flexão composta reta é de abordagem mais simples, tanto pela própria formulação quanto pelo fato de que a direção da linha neutra é conhecida, uma vez que é perpendicular ao plano do carregamento. Para a flexão composta oblíqua, por outro lado, além de a formulação ser mais complexa, a linha neutra apresenta-se inclinada em relação aos eixos principais de inércia com direção desconhecida. Observe-se que a assimetria da armadura, inclusive, pode induzir flexão composta oblíqua.

16

Figura I.9 – Flexão composta reta

I.2 – Recomendações Normativas

I.2.1 - Imperfeições Geométricas Locais

Membros componentes de estruturas reais, por melhores que sejam as técnicas de sua execução, apresentam imperfeições de natureza geométrica. Na verificação do estado-limite último das estruturas reticuladas as imperfeições geométricas de origem construtiva,

17 caracterizadas pelo desvio da configuração retilínea dos eixos longitudinais dos membros estruturais, na condição descarregada, devem ser consideradas. As

imperfeições

geométricas

são

classificadas

em

imperfeições globais e imperfeições locais. Na figura I.10 estão apresentadas as imperfeições geométricas locais mais frequentes.

Figura I.10 – Imperfeições geométricas: a – ) Equívoco no comprimento do elemento de travamento; b – ) Desvio do eixo da condição retilínea; e, c – ) desaprumo Nos casos usuais, segundo a norma, a consideração do desvio da retilineidade por lance de pilar é suficiente. Seus efeitos podem ser avaliados em termos aproximados a partir da adoção de uma excentricidade mínima para o esforço normal de projeto, avaliada mediante a equação:

e1,min = 0,015 + 0,03h

I.1

18 onde “h” é a dimensão da seção transversal na direção considerada.

I.2.2 - Dimensões limite para os pilares

A área da seção transversal de pilares de concreto armado, 2

figura I.11, não deve ser inferior a 360 cm . Suas dimensões não devem, a princípio, ser menores que 19 cm, além do que, a maior dimensão da seção transversal não pode ser superior a cinco vezes a sua menor dimensão.

Figura I.11 – Seção transversal Excepcionalmente, permite-se a adoção de dimensão compreendida entre 14 cm e 19 cm para a seção transversal do pilar desde que as solicitações sejam multiplicadas por um coeficiente majorador dado por:

γn = 1,95 - 0,05b

I.2

19 onde “b” é a menor dimensão da seção transversal, expressa em centímetros.

I.2.3 - Armaduras Transversais

Devem ser constituídas por estribos horizontais, figura I.12, e, quando for o caso, por grampos suplementares, distribuídos ao longo de toda a extensão longitudinal do pilar, incluindo as regiões de cruzamento com vigas e lajes. Têm o objetivo de garantir o posicionamento da armadura longitudinal e impedir a flambagem individual de suas barras, além de promover a efetivação da costura das emendas entre aquelas barras. Em pilares solicitados por esforço cortante têm a função, inclusive, de absorver as tensões cisalhantes correspondentes. As barras ou fios utilizados para a manufatura das peças das armaduras transversais devem apresentar diâmetro mínimo fixado a partir dos critérios:

 t ,min  5 mm e  t, min 

1 L 4

I.3

onde “ ΦL ” é o diâmetro nominal das barras adotadas para a armadura longitudinal.

20 O espaçamento longitudinal representa a distância entre duas peças de estribo consecutivas, tomada segundo a direção do eixo longitudinal do pilar, figura I.12. Seu valor máximo é fixado a partir dos critérios: Smax = 200 mm Smax = Menor dimensão da seção transversal

I.4

Smax = 12 L , para aço CA-50 Pode ser adotado  t   L / 4 , desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento seja limitado ao valor obtido conforme a expressão:  2 Smax  90000 t  L 

 1   f yk 

I.5

Com o limite de escoamento característico do aço expresso em MPa. Nos casos em que houver a necessidade de armaduras transversais destinadas à absorção, inclusive, de esforços de cisalhamento decorrentes de esforços cortantes e momento de torção, os limites ora especificados, devem ser confrontados com os valores mínimos apresentados na seção 18.3, da NBR 6118/2014, adotando-se o limite mais rigoroso.

21

Figura I.12– Detalhe da armadura transversal de pilares Com o propósito voltado para a garantia da ductilidade dos pilares, recomenda-se que os espaçamentos máximos dos estribos sejam reduzidos em 50% para concretos C 55 a C 90, com o

inclinação dos ganchos de pelo menos 135 . A NBR 6118/2014 recomenda em sua seção 18.2.4, que as barras da armadura longitudinal, posicionadas a distância superior a

20Φt do vértice de um estribo, devem ser amarradas mediante grampos suplementares. Tal recurso deve ser adotado, inclusive, a partir da quarta barra posicionada em tal trecho, contada a partir do vértice do estribo.

22

I.2.5 - Armaduras Longitudinais

São constituídas de barras de aço do tipo vergalhão, posicionadas paralelamente ao eixo longitudinal da coluna. Têm a função precípua de absorver, em conjunto com a massa de concreto, os esforços normais solicitantes. A norma prevê a obrigatoriedade de adoção de uma área mínima para a seção transversal da armadura longitudinal, fixada em: As min = 0,15Nd / fyd ≥0,004Ac

I.6

Prevê, inclusive, a obrigatoriedade de adoção de uma área máxima para a seção transversal da armadura longitudinal, dada a partir de:

As max = 0,08Ac

I.7

Tal recomendação concernente à adoção de área máxima de armadura deve ser atendida, inclusive, nas seções de emenda por traspasse. Admitindo-se a necessidade de ligação de cada barra da armadura longitudinal de um lance do pilar, às barras do lance imediatamente inferior, adotando-se emenda por traspasse, figura I.13, deve-se atentar para o fato de que, se nas seções de

23 seu fuste, for adotada taxa máxima de armadura conforme a equação I.13, esse limite poderia ser ultrapassado nas seções de emenda. Convém, portanto, limitar a armadura das seções fora da região da emenda à metade daquele valor.

Figura I.13– Emenda por traspasse Se ”b” é a menor dimensão da seção transversal, o diâmetro das barras deve ser definido atendendo-se aos limites:

ΦL,min = 10 mm e ΦL,max = b / 8

I.8

24 I.2.6

-

Distribuição

da

armadura

longitudinal

na

seção

transversal

As seções transversais circulares devem ser armadas utilizando-se, pelo menos, seis barras de 10 mm de diâmetro nominal, distribuídas uniformemente ao longo do perímetro da peça de estribo, da armadura transversal. As seções transversais de contorno poligonal devem ser providas de pelo menos uma barra de armadura longitudinal por vértice. Conseqüentemente, se a seção transversal do pilar for de formato retangular deverá ser armada mediante a adoção de, pelo menos, quatro barras de diâmetro nominal igual a 10 mm, de modo que seja posicionada uma em cada vértice. Com vistas a permitir a execução racional e adequada do elemento estrutural, e, portanto, para a obtenção de produto final de boa qualidade técnica é necessário garantir o estabelecimento de espaçamento mínimo entre as faces das barras da armadura longitudinal, distância “e” da figura I.14. Segundo norma deve ser fixado para tal espaçamento valor mínimo conforme os critérios expressões:

emin = 20 mm emin = ΦL

emin = 1,2ΦAG

I.9

25 onde “ ΦAG ” é a dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado para a usinagem do concreto.

Figura I.14 – Espaçamento das barras da armadura longitudinal Na hipótese de a operação de adensamento ser realizada através de abertura lateral localizada no fuste da forma do pilar, o espaçamento das barras da armadura deve ser suficiente a permitir a introdução e operacionalidade da agulha e da mangueira do dispositivo adensador. O espaçamento máximo interfaces das barras da armadura longitudinal deve ser igual ao dobro da menor dimensão da seção transversal do pilar e não exceder 400 mm.

26 I.3 – Modelo Dimensionamento

O dimensionamento abordado nessa seção aplica-se, exclusivamente, a pilares comuns, não cintados, com seção transversal de formato retangular. O modelo destinado ao dimensionamento de seções transversais solicitadas á flexão composta é concebido tomando-se por base as hipóteses do modelo de cálculo da flexão simples, formulado na seção I.4 do Volume 2, promovendo-se, entretanto, a inclusão de alguns aspectos que o complementa. Desta forma, sua formulação herda as hipóteses de número 1; 3; 5; 6; 8 do modelo de cálculo da flexão simples, às quais devem ser acrescentadas as hipóteses: I - A deformação das barras de aço deve ser limitada a um valor máximo de 1,0%, enquanto as deformações de encurtamento da massa de concreto na região comprimida devem ser limitadas a um valor máximo de 0,2%, em se tratando de flexão composta com pequena excentricidade. Em elementos dimensionados para o regime de flexão composta com grande excentricidade, tal encurtamento é de 0,35%, se o concreto apresentar fck ≤ 50 MPa. II - As tensões na armadura de aço são obtidas a partir do diagrama tensão-deformação recomendado em norma, sendo limitadas ao seu fyd, para grande excentricidade e ao seu f’s0,2 para pequena excentricidade, com o material apresentando comportamento

27 elástico perfeitamente plástico, onde o f’s0,2 do aço representa a tensão correspondente à deformação de 0,2%.

28

29 Capítulo II

Flexão

composta

reta

com

grande

excentricidade

–

Dimensionamento

II.1 – Armadura Distribuída nos Bordos da Seção Transversal II.1.1 – Armadura Assimétrica Para a presente análise consideraremos inicialmente o caso em que a armadura apresenta distribuição de maneira assimétrica em camadas paralelas ao vetor momento fletor, posicionadas nos bordos da seção transversal do pilar, Figura II.1. Para a verificação da ruína da seção transversal toma-se por referência o estado-limite último. A formulação do dimensionamento fundamenta-se no equilíbrio entre os esforços solicitantes e os esforços resistentes:

N d  Rd  M d  M Rd

II.1

Os parâmetros “Nd” e “Rd”, representam o esforço normal solicitante e o esforço normal resistente de projeto, ao passo que, “Md”, e “MRd” são o Momento fletor solicitante e o Momento fletor resistente de

30 projeto. O esforço normal de projeto, para combinação normal de ações é dado mediante:

N d   g N gk   g N gk   q ( N q1k 



0 j N qjk )   q 0 N qk

II.2

que em estruturas de única ação variável, e, na hipótese de os esforços

devidos

às

ações

indiretas

serem

desprezíveis

considerando-se g = q = f, resume-se à expressão: Nd   f N

II.3

Como estratégia de modelagem, serão observados os equilíbrios em termos de momentos em relação à linha das armaduras de tração e de compressão. Antes

de

tudo,

serão

apresentadas

as

definições

matemáticas de alguns parâmetros pertinentes que aparecem na figura II.1. A distância das linhas das armaduras, tanto de tração quanto de compressão, ao bordo que lhe é contíguo será: d '  h

II.4

sendo “h” a altura da seção transversal. A distância entre a linha de armadura de tração e a linha de armadura de compressão será:

h'  h  2d '  h  2h  (1  2 )h

II.5

A distância da linha neutra ao bordo comprimido será definida pela variável “y”, dada mediante a equação II.6.

31 y   .h    y / h

II.6

A distância da linha neutra fictícia, referente ao diagrama retangular

simplificado

de

tensões

no

concreto,

ao

bordo

comprimido, é dada por:

x  0,8 y  0,8 .h   .h    x / h

II.7

O equilíbrio dos momentos em relação à linha da armadura tracionada será:



M st  0

II.8

Tal somatório deve envolver a contribuição do esforço normal solicitante e das resistências do aço e do concreto em compressão, de modo que:



M st  M ct  M st'  M dt  0

II.9

Onde M dt é o momento associado ao esforço normal de projeto.

M ct e M st' representam, respectivamente, os momentos fletores devidos aos esforços normais absorvidos pelo concreto e pelo aço em compressão. O momento fletor absorvido pelo concreto em compressão, Figura II.1, pode ser dado mediante a equação II.10.

32 M ct  Rc (h  d ' x / 2)  Rc (h  h   .h / 2)  Rc h(1     / 2) II.10 Onde Rc é o esforço normal absorvido na região comprimida do concreto, Figura II.1, sendo dado a partir de:

Rc  f c .b.x  f c .b. .h

II.11

Levando-se II.11 em II.10 resulta:

M ct  Rc h(1     / 2)  f c .b.h.h(1     / 2)

II.12

O momento fletor associado ao esforço normal absorvido pelas barras da armadura comprimida, Figura II.1, pode ser obtido através de:

M st'  Rs' h'  Rs' (1  2 )h

II.13

Onde Rs' representa o esforço normal absorvido nas barras da armadura comprimida podendo ser obtido a partir de:

Rs'  As' . s'

II.14

Para a qual As' é a área da seção transversal da armadura comprimida e  s' é a tensão normal que a solicita. As taxas de armadura comprimida e tracionada podem ser definidas matematicamente a partir das expressões:

33  ' '

f yd fc

e 

f yd fc

II.15

Sendo ρ’ e ρ as porcentagens geométricas de armadura comprimida e tracionada, respectivamente, que são dadas na forma:

' 

As' A'  s Ac b.h

e



As A  s Ac b.h

II.16

Desde que o parâmetro Ac represente a área da seção bruta de concreto. Combinando-se as equações II.15 e II.16, referentes às armaduras comprimidas, e resolvendo a expressão resultante em

As' obtém-se: As'   '

fc .b.h f yd

II.17

De modo que, levando-se II.14 e II.17 em II.13, obtém-se:

f M st'  Rs' (1  2 )h  As' . s' (1  2 )h   ' c  s' (1  2 ).b.h.h f yd

II.18

O momento do esforço solicitante de projeto em relação à linha da armadura tracionada, figura II.1, será dado pela expressão: M dt   N d (e 

h h  2 .h 1  2  d ' )   N d (e  )   N d (e  .h) 2 2 2

II.19

34 Substituindo-se II.12, II.18 e II.19 na equação II.9 vem:

fc .b.h.h(1     / 2 )   '

fc '  s (1  2 ).b.h.h fyd 1  2  Nd ( e  .h )  0 2

II.20

Dividindo-se todos os termos de II.20 por fc.b.h.h, resulta:

fc .b.h.h(1     / 2 ) f .b.h.h   ' c  s' (1  2 ) fc .b.h.h fyd fc .b.h.h 

II.21 1  2 .h ) 2 0 fc .b.h.h

Nd ( e 

Fazendo-se:



1  2 .h) Nd 1  2 2  (e  .h) f c .b.h.h 2 f c .b.h 2

N d (e 

II.22

E efetuando-se as simplificações pertinentes resulta afinal:

(1     / 2)  

(1  2 ) '. s'  0 f yd

II.23

Por outro lado, o equilíbrio de momentos dos esforços em relação à armadura comprimida poderá ser expresso mediante a equação II.24.

35



M sc  0

II.24

A partir de raciocínio idêntico àquele praticado para os momentos relativos à armadura tracionada devemos ter:



M sc  M cc  M sc  M dc  0

II.25

Onde M dc é o momento associado ao esforço normal de projeto.

M cc e M sc representam, respectivamente, os momentos fletores dos esforços normais absorvidos pelo concreto em compressão e pelo aço em tração. O momento fletor absorvido pelo concreto em compressão, Figura II.1, pode ser dado mediante:

M cc  Rc ( x / 2  d ' )  Rc ( .h / 2  h)  Rc h( / 2   )

II.26

Levando-se a expressão de Rc da equação II.11 na equação II.26 obtém-se:

M cc  Rc h( / 2   )   f c .b.h.h. ( / 2   )

II.27

O momento fletor associado ao esforço normal absorvido pelas barras da armadura tracionada, Figura II.1, será dado pela equação II.28.

M sc  Rs h'  Rs (1  2 )h

II.28

36 Onde Rs representa o esforço normal absorvido nas barras da armadura comprimida podendo ser obtido a partir de:

Rs  As . s

II.29

Para a qual  s é a tensão normal que solicita a armadura tracionada e As é a área de sua seção transversal que pode ser dada mediante equação semelhante à II.17, resultando: As  

fc .b.h f yd

II.30

Desde que ω seja sua taxa mecânica. Assim, levando-se II.29 e II.30 em II.28, obtém-se: M sc  Rs (1  2 )h  As . s (1  2 )h  

fc  s (1  2 ).b.h.h f yd

II.31

O momento do esforço solicitante de projeto em relação à linha da armadura comprimida, figura II.1, será:

 h  2 .h  h   Mdc  Nd e    d'   Nd  e   2 2      1  2    Nd  e  .h  2  

II.32

Substituindo-se II.27, II.31 e II.32 na equação II.25 obtém-se a equação:

37  fc .b.h.h. (  / 2   )  

fc  s (1  2 ).b.h.h fyd 1  2    Nd  e  .h   0 2  

II.33

Dividindo-se todos os termos de II.33 por -fc.b.h.h, resulta: fc .b.h.h. (  / 2   ) f .b.h.h   c  s (1  2 )  fc .b.h.h fyd  fc .b.h.h

II.34 1  2   Nd  e  .h  2   0   fc .b.h.h Fazendo-se:

 1  2  Nd  e  .h  2    N d  e  1  2 .h  '    f c .b.h.h 2  f c .b.h 2 

II.35

E efetuando-se as simplificações pertinentes resulta afinal:

( / 2   ) 

(1  2 ) . s  '  0 f yd

II.36

As intensidades das tensões normais nas barras da armadura de aço podem ser obtidas a partir do conhecimento das respectivas deformações que, por sua vez dependem da posição da linha neutra. Tais deformações podem ser deduzidas do desenho da figura II.1. Observe-se que o triângulo otu é semelhante aos triângulos ors e opq de modo que:

38 rs os pq op    tu ou tu ou

II.37

Mas, da figura II.1 pode-se depreender que:

rs   s' ; tu   cu ; os  y  d ' ; ou  y; pq   s ; e, op  h  d '-y

II.38

da primeira das igualdades II.37 obtém-se:

' rs os y  d' y  d'   s    s'   cu tu ou  cu y y

II.39

e, da segunda das igualdades II.37 resulta:

 pq op h  d ' y h  d ' y   s   s   cu tu ou  cu y y

II.40

Figura II.1 – Seção transversal esforços e diagramas Haja vista que x = 0,8y, as equações II.39 e II.40 se transformam em:

39  

 s'  1 

 0,8.d '   . cu  1  0,8. . cu x   

II.41

e

 0,8(1   )   0,8(h  d ' )   1. cu    1. cu x     

s  

II.42

Para definição das tensões nas barras de aço considere-se o diagrama tensão deformação do aço, figura II.2. Deve-se ter em conta de antemão que a norma permite considerar que o padrão de desempenho mecânico em compressão para o aço é idêntico ao seu padrão de desempenho em tração de forma que admite considerar para diagrama em compressão aquele mesmo elaborado a partir de resultados de ensaios em tração. Observe-se que se ocorrer de a deformação da barra ser inferior àquela correspondente ao limite de escoamento de projeto do aço, “εyd” na figura II.2, referindo-se, portanto, a qualquer ponto situado no trecho “OA” da curva tensão deformação, o material permanece no regime elástico de modo que é válida a lei de Hooke. Por outro lado, se ocorrer de a deformação da barra ser superior àquela correspondente ao limite de escoamento de projeto do aço, “εyd” na figura II.2, referindo-se, portanto, a qualquer ponto situado no trecho “AB” da curva tensão deformação, o material está no regime plástico de modo que a tensão que o solicita é igual ao limite de escoamento de projeto do aço, o “fyd”. Tal realidade é representada matematicamente a partir dos critérios formulados nas equações II.43 e II.44 abaixo apresentadas.

40  s'   yd   s'   s' .Es   s'   yd   s'  f yd

II.43

 s   yd   s   s .Es   s   yd   s  f yd

II.44

e:

Figura II.2 – Diagrama Tensão Deformação para o aço Vale ressaltar que a deformação correspondente ao limite de escoamento do aço, conforme a lei de Hooke, será:

 yd  f yd / Es

II.45

Pode-se observar que as equações II.23 e II.36 foram deduzidas em função da posição da linha neutra “x” que, na realidade, constitui incógnita do problema. Para os fins do exercício corriqueiro

do

dimensionamento

é

razoável

adotar-se,

simplesmente, β = 0,4. Em se tratando de casos que, por suas peculiaridades exigirem resultados mais precisos, faz-se necessário

41 uma abordagem mais rigorosa o que leva à adoção de procedimento iterativo. Tal procedimento consiste em arbitrar sucessivas posições para a linha neutra, mediante varredura ao longo da direção paralela à altura da seção transversal e efetuar os cálculos das taxas mecânicas das armaduras com base em cada valor de “β”. Com os sucessivos valores de tais taxas realiza-se análise de tendência para a obtenção da situação mais econômica, consistindo assim em tarefa extremamente laboriosa. Entretanto, ressalte-se a existência de dois valores limites para a posição da linha neutra que, uma vez conhecidos, atenuaria o volume de cálculo. Por um lado, em se tratando de flexão composta de grande excentricidade β < 1,0, por outro lado, deve-se atentar para a prevenção contra a ruptura do aço, e assim sendo sua deformação não pode ultrapassar seu valor limite ultimo, “εsu”, figura II.3. Em tal figura os triângulos “omn” e “opq” são semelhantes de forma a permitir escrever-se a igualdade: om oq  mn pq

II.46

Pode-se ainda deduzir que:

om  yR ; mn   cu ; oq  h  yR  d ' ; e, pq   su

II.47

Levando-se estas expressões na equação II.46 obtém-se:

yR

 cu



h  y R  d'

 su

 cu y   min  R  (1   ) h  cu   su

II.48

42 Conclui-se,

portanto,

que

obtidos

os

valores

apropriados para as taxas mecânicas de armadura obtém-se as áreas das seções transversais das barras de aço da armadura longitudinal mediante as equações II.17 e II.30.

Figura II.3 – Configuração Deformacional Limite da Barra de Aço Exercício II.1: Determinar a armadura para um pilar curto com seção transversal de formato retangular com dimensões b = 25 cm e h = 50 cm, sabendo-se que será moldado em concreto C 20 armado com barras de aço CA-50, que faz parte da estrutura de um edifício residencial construído em área para a qual deve ser prescrita uma classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas cargas características produzem um esforço normal de serviço de 700 kN, que apresenta excentricidade e = 0,25 m. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção “y”, figura A.II.1, e que as ações indiretas são desprezíveis. - Parâmetros Relevantes: - Área da seção transversal

Ac  bxh  25x50  1250 cm 2  0,1250 m2 ;

43   0,07

Figura A.II.1 – Seção transversal de pilar - Parâmetros Relevantes: - Área da seção transversal

Ac  bxh  25x50  1250 cm 2  0,1250 m2 ;

  0,07 - Tensões e Deformações Limite Conforme a tabela III.7 do volume 1 os coeficientes de segurança dos materiais devem ser fixados em  c  1,4 e  s  1,15 , logo:

f f c  0,85 ck  0,85 x20 / 1,4  12 MPa

c

f yd 

f yk

s

 500 / 1,15  434 MPa ;

 cu  0,0035  yd  f yd / Es  434 / 210000  0,00206

44 - Esforço Normal N  700 kN  0,70 MN ;

- Esforço Normal de Projeto Conforme tabela III.3 do volume 1, tem-se  f  1,4 , logo: N d   f N  1,4 x0,70  0,98 MN ;

- Imperfeições geométricas

e1, min  0,015  0,03h  0,015  0,03x0,50  0,03 m ; Uma vez que e1, min  0,03 m  e  0,25 m adotar e1  0,25 m - Momentos Reduzidos

Nd



f c .b.h

2

(e 

1  2 0,98 1  2 x0,07 .h)  (0,25  x0,50) 2 2 2 12 x0,25 x0,50

 1,307 x(0,25  0,215)  0,61

' 

0,98 1  2 x0,07  1  2  .h   (0,25  x0,50) e  2 2 2  12 x0,25 x0,50 f c .b.h  Nd

2

 1,307 x(0,25  0,215)  0,046  0,05

- Armadura Longitudinal mínima

As min  0,15 N d / f yd  0,15 x0,98 / 434  3,39 x104 m 2  3,39 cm 2 As min  0,004 Ac  0,004 x1250  5,00 cm 2 - Armadura Longitudinal máxima

As max  0,04 Ac  0,04 x1250  50,00 cm 2 ; - Posição da linha neutra: Arbitrar β = 0,4, considerando ser desnecessária maior precisão. - Deformações e tensões nas armaduras:

   0,07   s'  1  0,8. . cu  1  0,8. .0,0035  0,0031  0,4  







45  0,8(1   )

s   



  0,8(1  0,07)   1. cu    1.0,0035  0,0031 0,4   

 s   s'   yd   s   s'  f yd  434 MPa Taxas Mecânicas de Armadura

(1     / 2)  

(1  2 ) '. s'  0 f yd

(1  0,07  0,4 / 2)0,4 

(1  2 x0,07) '. f yd f yd

 0,61  0

0,292  0,86 '0,61  0   '  0,37

( / 2   ) 

(1  2 ) . s  '  0 f yd

(0,40 / 2  0,07)0,40 

(1  2 x0,07) . f yd f yd

 0,05  0

0,052  0,86  0,05  0    0,1186  0,12

- Porcentagem geométrica de armaduras:

 '   '. f c / f yd  0,37 x12 / 434  0,0103 , e,

   . f c / f yd  0,12 x12 / 434  0,00332 - Armadura longitudinal:

f 12 As'   ' c .b.h  0,37 .1250  12,79 cm 2 f yd 434

As  

fc 12 .b.h  0,12 .1250  4,15 cm 2 f yd 434

46 - Escolha: Armadura comprimida

1710  13,35 cm 2 ; 1112.5  13,50 cm 2 ; 716  14,01 cm 2 ; e, 5 20  15,71 cm 2 . Armadura de tração

610  4,71 cm 2 ; 412.5  4,91 cm 2 ; 316  6,04 cm 2 ; e, 2 20  6,28 cm 2 . Observe que, para a armadura comprimida, a solução mais econômica é com 17 barras de 10 mm. Mas, a única alternativa que permite distribuição de bordo é com cinco barras de 20 mm. Entretanto, tal opção apresenta diferença razoável em relação à solução

mais

econômica.

Provisoriamente,

adotar-se-á

essa

alternativa, uma vez que até agora não foi abordada outra configuração de distribuição senão a distribuição de bordo. Para a armadura de tração, por sua vez, poder-se-á adotar a solução mais econômica com barras de 10 mm. - Armadura transversal: De acordo com a norma, o diâmetro dos estribos deve ser fixado a partir dos critérios:  t , min  5 mm e  t, min 

1 L 4

47 No presente caso t , min 

1  L  20 / 4  5 mm . Adotando4

se, portanto, fios de 5.0 mm, este critério será devidamente atendido. Para o espaçamento máximo a norma preconiza: -

Smax = 200 mm;

-

Smax = Menor dimensão da seção transversal = 250 mm; e,

-

Smax = 12 L  12 x10  120 mm

De modo que o espaçamento de 10 cm atende às exigências normativas. Conseqüentemente, a distribuição das armaduras na seção transversal deve ser detalhada conforme esquema da figura A.II.2. A partir da utilização de módulo computacional iterativo sobre as equações II.23 e II.36 chegou-se à conclusão que para este caso, na realidade, a posição da linha neutra que resultou em condição mais econômica foi para β = 0,466 com valores para as taxas mecânicas de armadura ω’ = 0,33163 e ω = 0,14646.

Figura A.II.2 – Detalhe da armadura na seção transversal

48 II.1.2 - Armadura Simétrica Para obtenção da área necessária de armadura com distribuição simétrica podem ser realizadas iterações sobre as equações II.23 e II.36 de modo que a varredura da linha neutra tenha como objeto a determinação da posição para a qual se verifique a condição ω ≈ ω’.

Exercício II.3: Resolver o exercício II.1 adotando-se armadura simétrica. Até a etapa de cálculo referente à obtenção dos momentos reduzidos, inclusive, adote-se procedimento idêntico, e, portanto valores idênticos. - Taxa mecânica de armadura: A partir do procedimento iterativo sobre as equações de equilíbrio II.23 e II.36 obteve-se para a posição da linha neutra referente a armadura simétrica β = 0,542, resultando para taxa mecânica de armadura ω’ = 0.29398 e ω = 0.29334, de modo que pode-se considerar ω’ = ω ≈ 0.294 - Armadura longitudinal:

f 12 As  As'   ' c .b.h  0 ,294 .1250  10,17 cm2 fyd 434 As  As'  2 As  2 As'  2 x10,17  20,34 cm2

49 Enquanto no exercício II.1, obteve-se:

As  As'  4,15 cm 2  12,79 cm 2  16,94 cm 2 Registrando-se diferença em torno de 20%, de modo que a armadura

assimétrica

é

bem

mais

econômica.

Entretanto,

raramente, é recomendável o uso de armadura assimétrica, pois, em se tratando de pilares de canto e de extremidade de edifícios a excentricidade do esforço normal que induz momento fletor, e, consequentemente, a flexo-compressão, decorre da ação do vento que pode atuar nos dois sentidos, figura A.II.3. O mesmo se dá para pilares, em geral, passíveis da incidência de impacto lateral. Nos demais casos a armadura assimétrica poderia ser adotada. Entretanto, em estruturas desse tipo, na hipótese de se ter enorme quantidade de colunas, posicionar corretamente a armadura na fase de execução é tarefa passível de enganos que podem trazer transtornos futuros. Diante do exposto apenas em pilares de galpões e hangares isentos da ação do vento justifica-se a adoção da distribuição assimétrica.

Figura A.II.3 – Seção de pilares de edifícios sob a ação do vento Com vistas a esboçar formulação matemática para o cálculo de armadura simétrica com distribuição de bordo pode-se utilizar a mesma filosofia adotada para o desenvolvimento da formulação aplicada

às

armaduras

assimétricas,

entretanto,

nestas

50 circunstâncias, torna-se conveniente tomar os momentos em relação ao centro de gravidade da seção transversal. Considerando-se esta estratégia álgebro-geométrica, as equações de II.20 a II.34 são, também, válidas. Para que haja estabilidade interna, figura II.1, é necessário que:

Rc + Rs' - Rs ≥Nd

II.49

Mc  Ms'  Ms ≥Md

II.50

e

Substituindo-se II.11, II.14 e II.29 em II.49 e reordenando-a, na configuração de equilíbrio ter-se-á:

fc b.x + σ 's As' - σ s As - Nd = 0 Que uma vez dividida por

II.51

f c .b.h resulta:

fc b.x σ 's As' σ s As Nd + =0 fc bh fc bh fc bh fc bh O

esforço

normal

matematicamente, na forma:

reduzido

pode

II.52

ser

definido,

51



Nd f c bh

II.53

Considerando-se as taxas mecânicas de armadura conforme as equações II.15 e as porcentagens geométricas na forma das equações II.16, pode-se deduzir que:

As ' As   e  f c bh f yd f c bh f yd '

II.54

Substituindo-se II.53 e II.54 em II.52 e promovendo-se a devida simplificação do primeiro termo desta última, resulta: x ω'.σ 's - ω.σ s + -ν = 0 h f yd

II.55

Uma vez que ω = ω’, e, considerando-se a equaçãoII.7 a equação II.55 se transforma em:



(  s'  . s ) fyd

  0

II.56

O momento do esforço normal solicitante em relação ao centro de gravidade da seção transversal, figura II.1, é dado por:

Md  Nd .e

II.57

52 Os momentos dos esforços resistentes em relação ao mesmo ponto, figura II.1, são dados mediante:

Mc = Rc ( h - x ) / 2

II.58

Ms'  Rs' ( h - 2d' ) / 2

II.59

Ms = Rs ( h - 2d' ) / 2

II.60

Levando-se II.57, II.58, II.59 e II.60 em II.50, na configuração de equilíbrio resultaria a equação:

Rc ( h - x ) / 2 + Rs' ( h - 2d' ) / 2 + Rs ( h - 2d' ) / 2 - Nd .e = 0

II.61

Levando as equações II.11, II.14 e II.29, na equação II.61 podemos reescrevê-la na forma:

fc b.x( h - x ) / 2 + As' σ 's ( h - 2d' ) / 2 + As σ s ( h - 2d' ) / 2 - Nd .e = 0 II.62 Uma vez dividindo-se a equação II.62 por fc .b.h2 , resulta a forma:

fc b.x( h - x ) / 2 fc .b.h2

A'  ' ( h - 2 d' ) / 2 As s ( h - 2 d' ) / 2  s s  fc .b.h2 fc .b.h2 -

Nd .e fc .b.h2

II.63

0

53 O

momento

fletor

reduzido

pode

ser

definido

pela

expressão:

μ =

Md fc .b.h

2

=

Nd .e fc .b.h 2

II.64

Considerando-se as equações II.54 e II.64 em II.63, e efetuando as devidas simplificações nesta última, resulta: x( h  x ) 2.h 2

 '  ' ( h  2d' )  s ( h  2d' )  s   0 2 h.fyd 2 h.fyd

II.65

E, uma vez que ω = ω’, e considerando-se as equações II.4 e II.7, a equação II.65 assume a forma:

 (1   )  (  s   s' )(1  2 ) 2



2fyd

 0

II.66

Observe-se que as equações II.56 e II.66 formam, conjuntamente, um sistema de duas equações e duas incógnitas, no caso a posição da linha neutra “β” e a taxa mecânica de armadura “ω”. Entretanto, percebe-se, claramente, tratar-se de equações não lineares, ' sobretudo, quando se depreende que as tensões “  s ” e “  s ”

também são funções de “β”. A resolução de tal sistema de equações é de abordagem analítica direta complexa, necessitando-se, portanto, a exemplo do que aconteceu para a formulação de cálculo envolvendo armadura assimétrica, recorrer-se a procedimento iterativo. Para a realização de tal procedimento calculam-se os

54 valores de “ν” de “μ”. Fixa-se, em seguida, valor inicial para “β”. Calcula-se o valor de “ω” a partir da equação II.56. Verifica-se o atendimento à equação II.66. Caso negativo fixa-se novo valor para “β”. Tais etapas são repetidas até que a equação II.66 seja atendida. Os sucessivos valores de “β” são fixados a partir de varredura da linha neutra ao longo da altura da seção transversal desde a condição β = βmin, dado conforme a equação II.48, até a condição na qual β = 1,0, uma vez tratar-se de flexo-compressão com grande excentricidade. Para efeito de cálculo das tensões nas armaduras deve-se recorrer às equações II.41 e II.42 combinadas com os critérios definidos nas equações II.43 e II.44. Procedimento gráfico: A sistemática de cálculo pode ser substancialmente simplificada adotando-se

ábacos

construídos

com

base

em

procedimento iterativo realizado sobre as equações II.56 e II.66. Segundo esta diretriz de cálculo foram elaborados os ábacos II.1 e II.2. O procedimento de cálculo baseado no emprego desses ábacos constitui o método dos diagramas de iteração. Um algoritmo estruturado, como o apresentado abaixo, elaborado em FORTRAN, pode ser utilizado para obtenção de resultados voltados para a construção de tais ábacos. Em seu processamento, são atribuídos valores para “ω” e para “ν”. Daí então é realizada a variação do valor de “β”,

55 progressivamente, promovendo-se varredura da linha neutra ao longo da altura da seção transversal, até que seja encontrado o valor de “β” que, juntamente com os valores de “ω” e “ν” fixados, satisfaça a equação II.56. Utilizam-se então tais valores de “ω” e de “β” na equação II.66, para obtenção do valor de “μ” correspondente. Na tabela II.1 estão apresentados resultados obtidos mediante esta sistemática. Utilizando-se os valores dos parâmetros constantes da tabela II.1, obtém-se os gráficos da figura II.4.

cc

implicit double precision(a-h,o-z) open ( 3, file = 'abacout', status = 'unknown') fc = 12.0 fyd = 434.0 Es = 210000.0 c Defcd = 0.0035 Defyd = fyd/Es cc d'/h = 0,10 c dd = 0.07 tol = 0.001 cc Taxa Mecânica de armadura - w = 0,3 c w = 0.15 ! Para a formulação apresentada este valor representa a taxa por bordo da seção transversal. A taxa total de 0,3 é na verdade equivale a 2w. cc Ciclos sobre o Esforço Normal Relativo de Projeto - v = 0,1 c do 200 j = 1, 14 c v = 0.1*j cc ciclos sobre as posições da linha neutra x/h = 0.01 - 1.0 c do 500 i = 1, 930 c x = dd + 0.001*i cc Stress. c Defc = (1.0 - 0.8*dd/x)*Defcd Deft = (0.8*(1.0 - dd)/x - 1.0)*Defcd c if(Defc.lt.Defyd)then Tc = Defc*Es else Tc = fyd endif if(Deft.lt.Defyd)then Tt = Deft*Es else Tt = fyd endif v1 = x + w*(Tc - Tt)/fyd

56 c

write(3,1000)x,v1 dif = v1 - v dif = abs(dif) if(dif.le.tol)then v2 = v1 xf = x Tc1 = Tc Tt1 = Tt endif c 500 continue c xmi = (xf*(1.0 - xf) + w*(1.0 - 2.0*dd)*(Tc1 + Tt1)/fyd)/2.0 c write(3,1200)xf,v2,xmi 200 continue c stop c 1000 format(/,5x,'x = ',f7.5,2x,'v1 = ',f8.5) 1200 format(/,5x,'xf = ',f7.5,2x,'v = ',f4.2,2x,'xmi = ',f7.5) c end

Pode-se facilmente constatar que, se as três curvas da figura II.4 forem lançadas no ábaco II.3, resultará em boa concordância com as suas correspondentes, constantes naquele ábaco, o que assegura a consistência de sua construção. Tabela II.1 – Valores do parâmetro “μ” para a construção de ábaco ν 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0,3 μ 0,1731 0,2090 0,2342 0,2490 0,2478 0,2287 0,2085 0,1850 0,1578 0,1260 0,0881 0,0435

ω 0,6 μ 0,3020 0,3380 0,3632 0,3780 0,3740 0,3482 0,3224 0,2954 0,2674 0,2382 0,2058 0,1707

1,0 μ 0,4740 0,5100 0,5352 0,5500 0,5447 0,5134 0,4828 0,4523 0,4215 0,3902 0,3581 0,3250

Observe-se que os argumentos de entrada dos ábacos II.1 e II.2 são o momento fletor e o esforço normal reduzidos. O momento fletor reduzido pode ser escrito na forma:

57 

Md fc .b.h

2



Nd .e  .e  fc .b.h.h h

II.67

Momento Reduzido

Ábaco do tipo II.2

w = 0,3 w = 0,6 w = 1,0

Esforço Normal Reduzido

Figura II.4 – Curvas da taxa mecânica de armadura Para a utilização dos ábacos II.1 e II.2 o valor do esforço normal reduzido deve ser marcado no eixo horizontal, ao passo que, o momento reduzido é plotado no eixo vertical. De tais pontos tiramse linhas de chamada vertical e horizontal, respectivamente, em direção ao interior do corpo do ábaco, onde as curvas das taxas mecânicas de armadura encontram-se traçadas. A intercessão dessas linhas de chamada estabelece um ponto cuja posição com

58 referência às curvas das taxas mecânicas, deve ser devida e visualmente avaliada para assim permitir a estipulação do valor de “ω”. Uma vez extraído o valor da taxa mecânica de armadura, dos ábacos II.1 ou II.2, obtém-se o valor da porcentagem geométrica correspondente a partir de:

  .fc / fyd

II.68

A área total da seção transversal de armadura pode ser obtida a mediante:

Ast   .Ac

II.69

Observações: - Os ábacos apresentam legenda elucidativa; - Seus resultados são válidos, a princípio, para a quantidade e distribuição das barras de armadura de aço, e, para o parâmetro d’, que estão indicados nas respectivas legendas.

59 Ábaco II.1

60 Ábaco II.2

61 Exercício IV.2: Resolver o exercício II.1 adotando-se armadura simétrica, a partir do método dos diagramas de interação. - Esforços reduzidos:

 

Nd 0 ,98  .e 0 ,654x0 ,25   0 ,66 e     0 ,33 fc .b.h 12 x0 ,125 h 0 ,50

- Taxa mecânica de Armadura: Utilizando-se o ábaco II.2, tem-se   0,65 , ver figura A.II.4 - Porcentagem geométrica de armadura:

  .fc / fyd  0,65 x12 / 434  0,018 - Armadura longitudinal

Ast   .Ac  0,018x1250  22,50 cm2 - Escolha:

3010  24,00 cm 2 ; 1812.5  22,50 cm 2 ; 1216  24,00 cm 2 ; 8 20  25,20 cm 2 . Das opções para a armadura longitudinal apenas a solução com barras de 20 mm é passível de distribuição de bordo.

62

Figura A.II.4 – Procedimento para obtenção de “   0 ,65 ”

63 Como

exercício,

a

armadura

transversal

pode

ser

determinada facilmente resultando em estribos de 5.0 mm espaçados entre si de 20 cm. Uma vez realizada a distribuição resulta no detalhe apresentado na figura A.II.5.

Figura A.II.5 – Distribuição da armadura na seção transversal

II.2 – Armadura Distribuída no Perímetro dos Estribos

Como foi visto nos exemplos anteriores, a solução com armadura em distribuição de bordo nem sempre permite a adoção da alternativa mais econômica, sem contar que, nas mais das vezes os projetistas de estruturas, por razões diversas, preferem partir da adoção de distribuição da armadura na seção transversal, segundo o perímetro dos estribos, figura II.5, de modo que esta seção será

64 dedicada ao objetivo de dimensionar a seção transversal conforme este padrão de distribuição. Observe-se que a seção objeto de análise é armada considerando-se a distribuição da armadura em n camadas espaçadas, igualmente, de certo valor: S

h  2d' 1  2d' / h  h n 1 n 1

II.70

Por outro lado, a distância do centro de gravidade da armadura da iésima camada em relação ao bordo comprimido é dada mediante:

d i  d' ( n  i )S

Figura II.5 – Seção Transversal Esforços e Diagramas

II.71

65 Considerando-se as equações II.54, a taxa mecânica de armadura da iésima camada pode ser dada a partir de:

i 

Asi bh

fyd fc

II.72

onde “Asi” representa a área total de armadura de aço da camada “i”, a qual, se a armadura for constituída de barras de uma mesma bitola será:

Asi  ni Asu

II.73

desde que ni seja o total de barras de aço da camada “i”, e, “Asu” a área de uma barra de aço da bitola utilizada. A área total de armadura poderá ser obtida a partir da equação:

As  n' Asu

II.74

onde n’ é o total de barras da armadura da seção transversal. Combinando-se as equações II.73 e II.74 resulta:

Asi 

ni As n'

II.75

de modo que a taxa mecânica da armadura expressa mediante a equação II.72 pode assumir a forma:

i 

ni  n'

II.76

66 sendo “ω” a taxa mecânica de armadura total da seção. O esforço absorvido pela massa de concreto será dado mediante a equação II.11. O esforço normal absorvido em cada camada de armadura de aço pode ser obtido mediante raciocínio idêntico àquele do qual resultaram as equações II.14 e II.29, de modo que, assim procedendo ter-se-á:

Rsi  Asi  si

II.77

que, uma vez considerando-se as equações II.72 e II.76, e algumas transformações algébricas pertinentes transforma-se em:

n  Rsi  Asi  si   i si bhfc n' fyd

II.78

A equação de equilíbrio em esforços normais pode ser representada por: n

Rc 



Rsi  Nd

II.79

i 1

Levando-se

a

equação

II.78

na

equação

II.79

e

considerando-se as equações II.11 e II.53, resulta: n

fc bh 

 i 1

ni  si bhfc   .fc .b.h n' fyd

II.80

67 que,

uma

vez

simplificando-se,

e,

promovendo-se

algumas

transformações algébricas, pode apresentar-se na forma:



 n' fyd

n



ni  si    0

II.81

i 1

Tomando-se como referência o ponto no bordo comprimido da seção transversal, a equação de equilíbrio em momentos, conforme a figura II.5, pode ser escrita na forma: n

N d ( e  h / 2 )  Rc x / 2 



Rsi d i  0

II.82

i 1

Levando-se II.11 e II.78 em II.82 e desenvolvendo-se o primeiro termo desta última equação, obtém-se: n

Nd .e  Nd .h / 2  fc .b.x.x / 2 

 i 1

ni  si bhfc d i  0 n' fyd

II.83

Que, mediante manipulações de natureza algébrica assume a forma:

Nd .e  Nd .h / 2  fc .b.x 2 / 2 

2

 n' fyd

n

bhfc



ni  si d i  0 II.84

i 1

Dividindo-se II.84 por fcbh , resulta na expressão II.85.

68 Nd .e fc .b.h2



f .b.x 2 / 2  c fc .b.h2 fc .b.h2

Nd .h / 2





II.85

n



bhfc

n' fyd fc .b.h2

ni  si d i  0

i 1

Ou:

Nd .e Nd x2     fc .b.h.h 2fc .b.h 2 h 2 n' fyd

n



ni  si

i 1

di 0 h

II.86

Considerando-se as equações II.53 e II.67, a equação II.86 transformar-se-á em:



 2



2 2



 n' fyd

n



ni  si

i 1

di 0 h

II.87

Combinando-se II.70 e II.71 resulta em:

d i d' n  i  d'  ni 1  2    1  2     h h n 1  h n 1

II.88

O par de equações II.81 e II.87 assemelha-se em concepção e funcionalidade ao par de equações II.56 e II.66 de modo que podem ser usadas, mediante filosofia idêntica àquela empregada na seção II.1.2, para a geração de tabela semelhante à tabela II.1 e curvas similares àquelas da figura II.4, e, consequentemente, validar

69 ábacos semelhantes aos ábacos II.1 e II.2, a exemplo do ábaco II.3 mostrado a seguir, cuja sistemática de emprego é idêntica. Ábaco II.3

70 A tensão normal em cada camada das barras da armadura de aço devem ser definidas mediante procedimento análogo àquele que conduziu às equações II.41 e II.42, complementado pelos critérios expressos pelas equações II.43 e II.44, devendo-se, entretanto, atentar para o seu sinal, conforme seja a posição da camada relativamente à posição da linha neutra, figura II.5. O procedimento iterativo voltado para o cálculo da armadura será então: •

I – Calculo dos valores de “” e “μ”;

•

II – Fixação de valor inicial para “β”;

•

III - Calculo das deformações e tensões nas barras da armadura;

•

IV - Substituição dos valores de “β”, de “” e das tensões na equação II.81 obtendo-se o valor de “ω”;

•

V – Substituição dos valores de “β” , de “”, de “μ” , de “ω” e das tensões na equação II.87;

•

As etapas III a V devem ser repetidas para sucessivos valores de “β” até que, uma vez realizada a etapa V, resulte a identidade da equação II.87.

O procedimento iterativo voltado para suporte ao ábaco, por sua vez, será: •

Atribuição de valores a “ω” e “”;

•

Variação de “β” ao longo da altura da seção até que seja atendida a equação II.81;

71 •

Obtenção de “μ” da equação II.87, correspondentes aos valores de “” e “ω” e o valor encontrado para “β”.

Exercício II.3: Resolver o exercício II.1 adotando-se armadura simétrica de distribuição ao longo do perímetro dos estribos, a partir do método dos diagramas de interação. - Taxa mecânica de Armadura: Se 

 0 ,66 e   0 ,33 , então   0,85 , ver figura A.II.6.

- Porcentagem geométrica de armadura:

  .fc / fyd  0,85 x12 / 434  0,0235 - Armadura longitudinal

Ast   .Ac  0,0235x1250  29,38 cm2 A área obtida é, então, superior a todas as alternativas de armadura da seção obtida no exercício II.2. Assim sendo, a solução mais econômica acaba sendo mesmo com oito barras de 20 mm com distribuição de bordo, figura A.II.5.

72

Figura A.II.6 – Procedimento para obtenção de “   0,85 ”

73

II.3 – Exercícios Propostos Exercício P.II.1: Um pilar curto bi-rotulado, de seção transversal retangular com dimensões b = 35 cm e h = 60 cm, será executado em concreto C 20, e armadura longitudinal de aço CA 50, em ambiente para o qual deve ser previsto um cobrimento nominal de 25 mm. O pilar será parte integrante de estrutura destinada a edifício residencial para a qual os efeitos decorrentes das ações indiretas são pouco significativos. Será solicitado por uma carga axial de intensidade P = 1000 kN, aplicada com uma excentricidade de 30 cm, manifestada segundo a direção da maior dimensão da seção transversal. Sabendo-se que a direção preferencial de flambagem é segundo a maior dimensão de sua seção transversal, pede-se determinar a área da armadura longitudinal assimétrica, a partir equilíbrio dos esforços em momentos reduzidos e a armadura transversal. Exercício P.II.2: Idem, P.II.1, adotando armadura simétrica. Exercício P.II.3: Idem, P.II.2, adotando armadura simétrica e método dos diagramas de interação.

74

75 Capítulo III

Flexão composta reta com pequena excentricidade

III.1 - Dimensionamento

Para a abordagem de cálculo de seções transversais solicitadas à flexão composta com pequena excentricidade utilize-se como suporte o desenho da figura III.1. Observe-se que na figura III.1.a está representado detalhe de parte de uma coluna em perfil. Uma vez a seção solicitada mediante o Esforço Normal “Nd”, figura III.1.a, o plano da seção, antes posicionado segundo o segmento “qf”, figura III.1.b, assume a posição “nv”. Observe-se que “f” é o ponto do bordo menos comprimido, de sorte que é por onde passaria a linha neutra na condição

limítrofe

entre

a

flexão

composta

com

grande

excentricidade e a flexão composta com pequena excentricidade. Se a linha neutra passasse em ponto da seção pouco acima de “f”, terse-ia flexão composta com grande excentricidade e o diagrama de deformações seria o triângulo “fmq”. Por outro lado, se a linha neutra passasse em ponto da seção pouco abaixo de “f”, ter-se-ia

76 flexão composta com pequena excentricidade e o diagrama de deformações seria o trapézio “fvnq”, que tenderia para o retângulo “fgpq”, caso a linha neutra se posicionasse a distância muito grande abaixo de “f”. As linhas “mf” e “pg” interceptam-se no ponto “o”, distante “op” do bordo mais comprimido da seção transversal. Na transição

da

condição

de

flexão

composta

com

grande

excentricidade para uma condição de flexão composta com pequena excentricidade, as deformações da seção transversal evoluem de forma que a linha “mf”, mediante rotação em torno do ponto “o”, passa a assumir a posição “nv”, com a linha neutra passando no ponto o’. A partir da consideração da semelhança entre os triângulos “omp” e “fmq” chega-se à conclusão de que, para concreto de classe até C 50:

op 

3 h 7

III.1

Considerando-se o equilíbrio em termos de esforços normais ter-se-ia:

Nd  Rc  Rs1  Rs2  0

III.2

onde Rs1 e Rs2 representam os esforços normais absorvidos nas camadas de armadura. Na figura III.1.c, encontra-se ilustrado o diagrama de tensões na massa de concreto. Observe-se que o comprimento do trecho p’r’ de sua parte retangular p’q’t’r’ é igual à distância op. Sua parte parabólica complementar r’t’u’v’ pode ser aproximada por um trapézio, sem maiores prejuízos para a

77 qualidade dos resultados. A área total do diagrama de tensões assim aproximado será:

Adc  ( 5.fc  2. c1 ).

h 7

III.3

A linha de ação do esforço normal resultante absorvido na massa de concreto, Rc, deve passar no centro de gravidade do diagrama de tensões de compressão no concreto, cuja distância em relação ao bordo mais comprimido será:

yc 

79.fc  68. c1 .h 42.( 5.fc  2. c1 )

III.4

Levando-se em conta a validade da hipótese de Bernoulle e considerando-se a semelhança entre os triângulos rso’, oio’, tuo’, e vfo’, figura III.1.b, pode-se deduzir que: rs oi tu vf    so' io' uo' fo'

III.5

Observe-se, figura III.1.b, que:

rs   s2 ; oi   c2 ; tu  s1 ; e, vf   c1

so'  y - d' ; io'  y -

3 h; e, uo'  y - d; e, fo´ y - h 7

Levando-se III.6 e III.7 em III.5 resulta:

III.6

III.7

78  s2

y  d'



 c2 3 y h 7



 s1

y d



 c1

y h

III.8

Desmembrando-se as igualdades III.8 e reordenando as igualdades resultantes tem-se:

 s1 

y d y  d' y h  c2 ;  s2   c 2 ; e,  c1  c2 3 3 3 y h y h y h 7 7 7

III.9

A deformação εc2 é dada conforme seção I.5.8, ver Figura I.4, do volume 1. Uma vez calculadas as deformações nas armaduras de aço as tensões correspondentes podem ser obtidas mediante critérios semelhantes aos descritos nas equações II.43 e II.44. Conforme a deformação no bordo menos comprimido do concreto, εc1, a tensão normal correspondente pode ser obtida do diagrama tensão deformação, Figura I.4, volume 1. O Esforço Normal Absorvido na Massa de Concreto é dado mediante o produto da área do diagrama de tensões, equação III.3, pela largura da seção transversal resultando em:

h b.h Rc  Adc .b  ( 5.fc  2. c1 ). .b  ( 5.fc  2. c1 ). 7 7

III.10

Os esforços normais absorvidos em cada camada de armadura serão:

Rs1  As1. s1  Rs2  As2 . s2

III.11

79 Substituindo-se III.10 e III.11 em III.2 resulta na expressão III.12.

Nd 

1  ( 5  2 c1 ).fc .b.h  As1. s1  As2 . s2  0 7 fc

III.12

Equações semelhantes a II.54 podem ser escritas para as armaduras As1 e As2. Assim procedendo-se vem:

As1 A    1  s2  2  fc bh fyd fc bh fyd As1 

1 fyd

fc bh  As 2 

2 fyd

III.13

fc bh

Levando-se III.13 em III.12 tem-se:

Nd 

 1  ( 5  2 c1 ).fc .b.h  1 fc bh. s1 7 fc fyd   2 fc bh. s 2  0 fyd

III.14

Dividindo-se a equação III.14 por fc.b.h vem: Nd 1     ( 5  2 c1 )  1  s1  2  s 2  0 fc bh 7 fc fyd fyd

III.15

Ou ainda: 1 7

  (5  2

 c1 fc

)

1 s1  2 s2 fyd

0

III.16

80 Que representa a versão adimensional da equação de equilíbrio em esforços normais. Para o equilíbrio em momentos pode ser tomado como referência ponto situado na camada da armadura mais comprimida, resultando:

Nd (

h  e  d' )  Rc ( y c  d' )  Rs1( d  d' )  0 2

III.17

Levando-se III.11 em III.17, obtém-se:

Nd (

h  e  d' )  Rc ( y c  d' )  As1. s1( d  d' )  0 2

III.18

Levando-se III.13 em III.18, resulta:

Nd (

h   e  d' )  Rc ( y c  d' )  1 s1 fc bh( d  d' )  0 2 fyd

III.19

2

Dividindo-se a equação III.19 por fc.b.h , tem-se:

Nd (

h  e  d' ) R ( y  d' ) 1 s1 ( d  d' ) 2  c c  0 fc .b.h.h fc .b.h.h fyd h

III.20

Fazendo-se:

1 

Nd (

h  e  d' ) R ( y  d' ) 2  2  c c fc .b.h.h fc .b.h.h

A equação III.20 se transforma na equação III.22.

III.21

81 1  2 

1 s1 ( d  d' ) fyd

h

  1  2  1 s1 (1  2 )  0 fyd

III.22

Que representa a versão adimensional da equação de equilíbrio em momentos. As equações III.16 e III.22 formam conjuntamente um sistema de duas equações com três incógnitas, a saber, ω1, ω2 e y. Esta última está oculta e sua existência está consubstanciada na dedução deste sistema de equações. O problema, aparentemente indeterminado é solúvel, pois, as incógnitas ω1, e ω2 são interdependentes. Face à dificuldade de solução analítica, a exemplo dos demais casos deste capítulo, o sistema de equações deve se resolvido iterativamente, arbitrando-se valor para a incógnita y na equação III.22 para a obtenção de ω1 e utilizá-lo juntamente com o valor de y na equação III.16 para a determinação de ω2. O procedimento poderia ser tomado como base para a elaboração de ábacos tais como aqueles já apresentados neste capítulo. Entretanto, examinando-se atentamente os diagramas apresentados na figura III.1, observa-se que a solução mais econômica é auferida para a posição o’ da linha neutra infinitamente distante do ponto q. Para tal configuração ocorre:

 c1  fc   s1   s2  fs0 ,2

III.23

onde o parâmetro fs0,2 representa a tensão nas barras da armadura de

aço

correspondente

a

um

encurtamento

de

0,2%.

Consequentemente, as equações III.4 e III.10 se transformam em:

82 yc 

h ∧ Rc  fc bh  fc Ac 2

III.24

E a equação III.18 assume a forma:

Nd (

h h - e - d' ) - fc Ac ( - d' ) - As1.fs0 ,2 ( d - d' )  0 2 2

III.25

Resultando para a área da armadura menos comprimida:

As1 

(1 - 2 ,3e / h )Nd - fc Ac 2fs0 ,2

III.26

Desde que se faça d’ = 0,07h e d = 0,93h. Adotando-se

considerações

semelhantes

àquelas

que

levaram à equação III.26, e levando-se a própria equação III.26 na equação III.12 pode resultar para a área da armadura mais comprimida:

As2 

(1  2 ,3e / h )Nd - fc Ac 2fs0 ,2

III.27

Constata-se a partir do exame das equações III.26 e III.27, que a condição de armadura simétrica, só é consistente se o valor da excentricidade do esforço normal for muito próxima de zero. É evidente, inclusive que, a área obtida para a armadura mais comprimida é sempre maior que aquela correspondente à armadura menos comprimida. Assim, para adotar-se armadura simétrica de forma, convictamente, segura, deve-se considerar como área total

83 valor igual ao dobro da área de armadura mais comprimida, de modo que:

Ast  2 As2 

(1  2 ,3e / h )Nd  fc Ac fs0 ,2

III.28

Figura III.1 – Diagramas de Tensão e de Deformações

Exercício III.1: Determinar a armadura para um pilar bi-rotulado curto de seção transversal retangular com largura b = 25 cm e altura h = 30 cm, em concreto C 20 e barras de aço CA-50, que faz parte de estrutura a ser construída em área de classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações à qual corresponde um esforço normal

84 de projeto de 980 kN, com excentricidade e = 0,05 m. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção “y”, figura A.III.1. - Parâmetros Relevantes: - Área da seção transversal

Ac  bxh  25 x30  750 cm2  0,075 m2 ; - Tensões Limite Por razões já apresentadas em exercícios anteriores, devese adotar para coeficiente de segurança dos materiais  c  1,4 e

 s  1,15 , logo: f fc  0 ,85 ck  0 ,85 x 20 / 1,4  12 MPa

c

fyd 

fyk

s

 500 / 1,15  434 MPa ;

- Esforço Normal de Projeto

Nd  0,98 MN ; - Armadura Longitudinal mínima As min  0 ,15Nd / fyd  0 ,15 x0 ,98 / 434  3 ,39 x10 4 m2  3 ,39 cm2 As min  0 ,004Ac  0 ,004x750  3 ,00 cm2

85

- Armadura Longitudinal máxima

As max  0,04 Ac  0,04 x750  30,00 cm2 ; -Imperfeições geométricas

e1,min  0,015  0,03h  0,015  0,03 x0,30  0,024 m ; Considerando

que

e1,min  0,024 m  e  0,05 m

e1  0,05 m - Armadura longitudinal: Ast 

Ast 

(1  2 ,3e / h )Nd  fc .Ac fs' 0 ,2

(1  2 ,3 x0 ,05 / 0 ,30 )0 ,98  12 x0 ,075  10,87 x104 m2 420

Ast  10,87 cm2 - Escolha:

1410  11,20 cm2 ; 1012.5  12,50 cm2 ; 616  12,00 cm2 ; e, 4 20  12,60 cm2 .

adotar

86 14 barras de 10 mm seria a solução mais econômica, porém, de distribuição inviável. A segunda solução mais econômica é com 6 barras de 16 mm e é viável para a distribuição de bordo, o que representa aspecto fundamental, pois, a equação utilizada para determinar a armadura se refere a este tipo de distribuição. - Armadura transversal: De acordo com a norma, o diâmetro dos estribos deve ser fixado conforme:

t ,min  5 mm e t,min 

No Adotando-se,

presente portanto,

caso fios

de

1 L 4

t ,min  L / 4  16 / 4  4 mm . 5.0

mm

este

critério

está

devidamente atendido. Para o espaçamento máximo a norma preconiza: -

Smax = 200 mm

-

Smax = Menor dimensão da seção transversal = 250 mm

-

Smax = 12L  12 x16  192 mm

Assim o espaçamento de 175 mm atende às exigências e a distribuição das armaduras na seção transversal deve ser detalhada conforme esquema da figura A.III.1.

87

Figura A.III.1 – Detalhe da armadura na seção transversal

III.2 - Exercícios Proposto Exercício P.III.1: Determinar a armadura para um pilar curto birotulado de seção transversal retangular com dimensões b = 20 cm e h = 30 cm, em concreto C 20 e barras de aço CA-50, que faz parte de estrutura a ser construída em área de classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações à qual corresponde um esforço normal de projeto de 850 kN, com excentricidade e = 0,08 m. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção paralela à sua maior dimensão.

88

89 Capítulo IV

Flexão composta oblíqua com grande excentricidade –

IV.1 - Dimensionamento

Para o dimensionamento de seções transversais solicitadas à flexão composta oblíqua, pode-se lançar mão de filosofia análoga àquela adotada nas seções anteriores que trataram da flexão composta normal, fundamentando-se no equilíbrio entre os esforços solicitantes e os esforços resistentes. Para isso tomar-se-á como esquema orientador os elementos da figura IV.1. Observe-se que a linha de ação do esforço normal solicitante de projeto intercepta o plano da seção transversal no ponto “v” de coordenadas (e z, ey) de modo que a linha neutra não é paralela ao eixo dos “z”, formando um ângulo “θ” com este eixo, e, a região comprimida da seção transversal, uma vez adotada a linha neutra fictícia, pode ser representada pelo trapézio rstu. Consequentemente, o plano de flexão não coincide com um plano principal de inércia, e, intercepta o plano da seção transversal segundo o segmento fg. Note-se que o lado menor do trapézio, ru, é dado por:

90 ru  x  b.tg

IV.1

A área da região comprimida é dada por:

Acc  ( x  ru ).

b b b  ( x  x  b.tg )  ( 2 x  b.tg ) 2 2 2

IV.2

O esforço normal absorvido na região comprimida do concreto será:

Rc  Accfc

IV.3

Sua linha de ação intercepta o plano da seção no centro de gravidade do trapézio, ponto “c”, de coordenadas (yc,zc) O esforço normal absorvido em cada barra da armadura longitudinal será:

Rsi  Asi si

IV.4

Onde Asi é a área de uma barra da armadura e σsi é a tensão normal que a solicita. A tensão normal σsi deve ser obtida a partir da deformação εsi determinada do diagrama de deformações da seção transversal, figura IV.1, considerando-se a semelhança entre os triângulos mno e opq. Assim procedendo conclui-se que:

pq mn  oq mo

IV.5

91 e: pq   si ; mn   cu ; mo  y; e oq 

h  yi  y 2

IV.6

Levando IV.6 em IV.5 resulta:

h  yi  y pq mn  si  cu      si  2  cu h oq mo y y  yi  y 2

IV.7

Assim, a tensão normal em cada barra de armadura de aço pode ser determinada com base em critérios semelhantes aos apresentados nas equações II.43 e II.44. Para a área de cada uma das barras da armadura de aço pode-se escrever expressão semelhante à equação II.30, de modo que:

Asi 

i fyd

fc bh

IV.8

Para a qual “ωi” é a taxa mecânica referente a uma barra da armadura. Considerando-se que n é o total de barras da armadura longitudinal, a taxa mecânica total de armadura será:

  ni

e:

i 

 n

 Asi 

 1 n fyd

IV.9

fc bh

IV.10

92 Do equilíbrio em termos de esforços normais resulta:



F 0

IV.11

Da figura IV.1 pode-se deduzir que o somatório dos esforços normais será:



n

F  Nd  Rc 



Rsi

IV.12

i 1

Levando-se IV.12 em IV.11 obtém-se: n

Nd  Rc 



Rsi  0

IV.13

i 1

Levando-se IV.3 e IV.4 em IV.13 vem: n

Nd  Acc fc 



Asi  si  0

IV.14

i 1

Substituindo-se IV.10 em IV.14 tem-se a forma: n

Nd  Acc fc 

 i 1

Ou ainda:

1

n fyd

fc bh si  0

IV.15

93 Nd  Acc fc 

 n

n



fc bh

i 1

si

fyd

0

IV.16

Dividindo-se a equação IV.16 por fc.b.h ela assume a expressão:

Nd  fc bh

Acc fc  fc bh  fc bh n fc bh

n



 si

i 1

A     cc  fyd bh n

n

 i 1

si

fyd

0

V.17

Observe-se que o sinal de σsi depende da posição da barra de aço considerada em relação à linha neutra. Tomando-se o equilíbrio em momentos referentes ao eixo “z” tem-se:



Mz  0

IV.18

Se Mdz Mcz de Mszi são os momentos de Nd, Rc e Rsi em relação ao eixo “x”, figura IV.1, então tal somatório será:



n

M z  Mdz  Mcz 



Mszi

IV.19

i 1

Com base na figura IV.1 pode-se concluir que:

Mdz  Nd ey ; Mcz  Rc y c ; e, Mszi  Rsi y i

IV.20

94 Levando-se IV.20 em IV.19 e o resultado em IV.18 obtém-se a equação IV.21.



n



M z  Nd ey  Rc y c 

Rsi y i  0

IV.21

i 1

Considerando-se as equações IV.3 e IV.4 a equação IV.21 transforma-se em: n

 Nd ey  Acc fc y c 



Asi  si y i  0

IV.22

i 1

Substituindo-se a equação IV.10 em IV.22, e promovendo-se transformações algébricas pertinentes obtém-se:

 Nd ey  Acc fc y c 

 n

n



fc bh

si

fyd

i 1

yi  0

IV.23

Dividindo-se IV.23 por fc.b.h.h ela assume a forma: A f y  fc bh   cc c c  fc bhh fc bhh n fc bhh Nd ey

Ou ainda:

n

 i 1

si

fyd

yi  0

IV.24

95 A y    cc c  h bh h n ey

n

 i 1

si y i  0 fyd h

IV.25

Tomando-se o equilíbrio em momentos referentes ao eixo “y” tem-se:



My  0

IV.26

Se Mdy Mcy de Msyi são os momentos de Nd, Rc e Rsi em relação ao eixo “y”, então da figura IV.1 pode-se deduzir que tal somatório será:



n

M y  Mdy  Mcy 



Msyi

IV.27

i 1

Com base na figura IV.1 pode-se concluir que:

Mdy  Nd ez ; Mcy  Rc zc ; e, Msyi  Rsi zi

IV.28

Levando-se IV.28 em IV.27 e o resultado em IV.26 obtémse:



n

M y  Nd ez  Rc zc 

 i 1

Rsi zi  0

IV.29

96 Considerando-se as equações IV.3 e IV.4, a equação IV.29 transforma-se em: n

Nd ez  Acc fc zc 



Asi  si zi  0

IV.30

i 1

Substituindo-se a equação IV.10 em IV.30, e promovendo-se transformações algébricas pertinentes obtém-se:

Nd ez  Acc fc zc 

 n

n



fc bh

i 1

si

fyd

zi  0

Figura IV.1– Diagramas de Tensão e de Deformações

IV.31

97 Dividindo-se IV.31 por fc.b.b.h ela assume a forma: Nd ez Acc fc zc  fc bh   fc bbh fc bbh n fc bbh

n

 i 1

si

fyd

zi  0

IV.32

Ou ainda:

A z e   z  cc c  b bh b n

n

 i 1

zi 0 fyd b si

IV.33

As equações IV.17, IV.25 e IV.33, formam em seu conjunto um sistema de três equações nas três incógnitas ω, x e θ. O parâmetro ω é incógnita explícita. Os parâmetros Implícitos x e θ, embora não apareçam diretamente nas equações do sistema são também incógnitas do problema, uma vez que algumas variáveis envolvidas em tal sistema dependem deles. Um exame do sistema de equações ora considerado levará o leitor a constatar que ele não é linear, de sorte que sua resolução analítica é complexa, necessitando-se, portanto do recurso iterativo. Procedimento iterativo pode, inclusive, ser utilizado para o traçado de ábacos voltados para o suporte do dimensionamento prático de seções transversais de concreto armado solicitadas à flexão composta oblíqua, a exemplo dos ábacos IV.1, IV.2, IV.3 e IV.4, abaixo apresentados. Examinando-se os referidos ábacos pode-se constatar que os parâmetros de entrada, além do Esforço Normal Reduzido “ν”;

98 incluem as Excentricidades Relativas ou Reduzidas, as quais são dadas a partir de:

y 

ey h

e

z 

ez b

IV.34

Note-se que os ábacos IV.1 e IV.2 referem-se a seções com distribuição de armadura constituída por quatro barras, localizadas uma em cada vértice, e por isso denominada de distribuição de vértice. Os ábacos IV.3 e IV.4, de outra forma, destinam-se a seções com 24 barras de distribuição perimetral. Observe-se que cada ábaco é subdividido em setores onde cada um deles se refere a um valor específico do esforço normal reduzido “ν”. Para sua utilização devem-se marcar os valores dos argumentos, no caso as excentricidades reduzidas, sobre os eixos correspondentes, mutuamente ortogonais. Dos

pontos

assim

determinados tiram-se linhas de chamada horizontal e vertical em direção ao corpo do ábaco, no setor referente ao valor específico do esforço normal reduzido “ν” do problema em resolução. O cruzamento dessas linhas estabelece um ponto cuja posição com referência às curvas das taxas mecânicas, deve ser avaliada para a definição do valor da taxa mecânica de armadura “ω” resultante. Em todos os ábacos adota-se d’ = 0,07h. Os valores do parâmetro “ν” devem ser utilizados com aproximação de 0,1. Caso necessite-se de precisão mais refinada o emprego da interpolação linear conduz a resultados satisfatórios.

99

Ábaco IV.1

100 Ábaco IV.2

101 Ábaco IV.3

102 Ábaco IV.4

Exercício IV.1: Determinar a armadura para um pilar curto birotulado de seção transversal retangular com dimensões b = 35 cm e h = 95 cm, sabendo-se que será moldado em concreto C 20 armado com barras de aço CA-50, que faz parte da estrutura de um edifício residencial construído em área para a qual deve ser prescrita uma classe de agressividade ambiental “II” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas cargas características produzem um esforço normal de serviço de 800 kN, apresentando excentricidades, ez = 0,175 m e ey = 0,665 m. Admitir que os efeitos das ações indiretas são desprezíveis.

103

- Parâmetros Relevantes: - Área da seção transversal

Ac  bxh  35 x95  3325 cm2  0,3325 m2 ; - Tensões Limite Conforme a tabela III.7 do volume 1, os coeficientes de segurança dos materiais devem ser fixados em  c  1,4 e  s  1,15 , logo:

f fc  0 ,80 ck  0 ,80 x 20 / 1,4  11,4 MPa

c

fyd 

fyk

s

 500 / 1,15  434 MPa ;

- Esforço Normal N  800 kN  0,80 MN ;

- Esforço Normal de Projeto Conforme tabela III.3 do volume 1 tem-se  f  1,4 , assim:

Nd   f N  1,4 x0,80  1,12 MN ;

104 - Esforço Normal Reduzido



Nd 1,12  ≈0 ,3 fc Ac 11,4 x0 ,3325

- Armadura Longitudinal mínima As min  0 ,15Nd / fyd  0 ,15 x1,12 / 434  3 ,88 x10 4 m2  3 ,88 cm2 As min  0 ,004Ac  0 ,004x 3325  13,30 cm2

;

- Armadura Longitudinal máxima

As max  0,04 Ac  0,04 x3325  133,00 cm2 ; -Imperfeições geométricas e1y ,min  0,015  0,03h  0,015  0,03 x0,95  0,0435 m ;

e1z,min = 0,015 + 0,03b = 0,015 + 0,03x0,35 = 0,0255 m . - Excentricidades Relativas:

y 

ey h



ez 0 ,175 0 ,665 = = 0 ,5  0 ,70 e ε z = b 0 ,35 0 ,95

- Taxa mecânica de Armadura: O contorno do setor do ábaco IV.1, correspondente ao valor do esforço normal reduzido calculado que é   0,3 , está demarcado em traço vermelho, figura A.IV.1. Para a obtenção da taxa mecânica

105 de armadura lançam-se os valores das excentricidades reduzidas calculadas, no caso  y  0 ,70 e ε z = 0,5 , nos eixos pertinentes. A partir desses pontos sobre os referidos eixos tiram-se as linhas de chamada em tom azul da figura A.IV.1. A intersecção dessas linhas recai em um ponto ao qual, com a aproximação pertimitida, podemos associar o valor   0,55 .

Figura A.IV.1 - Procedimento para obtenção de “   0 ,55 ”

106

- Porcentagem geométrica de armadura:

  .fc / fyd  0,55 x11,4 / 434  0,0145 - Armadura longitudinal

Ast   .Ac  0,0145x3325  48,22 cm2 Conclui-se que, para cobrir a área de armadura calculada, seriam necessárias pelo menos 16 barras de 20 mm o que inviabiliza sua distribuição, exclusivamente, com uma barra em cada vértice, logo, deve-se utilizar o ábaco IV.3. Assim, a partir de procedimento idêntico sobre o ábaco transcrito na figura A.IV.2, obtém-se: - Taxa mecânica de Armadura:

  0,7 - Porcentagem geométrica de armadura:

  .fc / fyd  0,7 x11,4 / 434  0,0184 - Armadura longitudinal

Ast   .Ac  0,0184x3325  61,18 cm2

107 - Escolha:

78f10 → 61,23 cm2 ; 5012.5 → 61,35 cm2 ; 3216 → 64,35 cm2 ; 20 20 → 62,84 cm2

Figura A.IV.2 - Procedimento para obtenção de “   0 ,7 ” Observe-se que apenas a alternativa com barras de 20 mm é viável, pois, nas demais opções resultaram mais de 24 barras que é a

108 quantidade máxima que a distribuição periférica a que se refere o ábaco utilizado comporta. A adoção das 20 barras de 20 mm é satisfatória, com diferença em relação à opção mais econômica de 2,6%. - Armadura transversal: De acordo com a norma o diâmetro dos estribos deve ser fixado conforme:

t ,min  5 mm e t,min 

1 L 4

No presente caso  t ,min 

1  L  20 / 4  5 mm . Adotando4

se, portanto, fios de 5.0 mm este critério é devidamente atendido. Para o espaçamento máximo a norma preconiza: -

Smax = 200 mm

-

Smax = Menor dimensão da seção transversal = 350 mm

-

Smax = 12L  12x20  240 mm

De modo que o espaçamento de 20 cm atende às exigências normativas. Conseqüentemente, a distribuição das armaduras na seção transversal deve ser detalhada conforme esquema da figura A.IV.3.

109

Figura A.IV.3 – Detalhe da armadura na seção transversal

IV.2 - Exercícios Propostos Exercício P.IV.1: Um pilar curto bi-rotulado, de seção transversal retangular com dimensões b = 20 cm e h = 40 cm, será executado em concreto C 30, e armadura longitudinal de aço CA 50, em ambiente para o qual deve ser previsto um cobrimento nominal de 30 mm. O pilar será parte integrante de estrutura destinada a edifício residencial para a qual os efeitos decorrentes das ações indiretas são pouco significativos. Será solicitado por uma carga axial de intensidade P = 300 kN, com excentricidades ey = 0,16 m e ez = 0,04 m. Sabendo-se que a direção preferencial de flambagem é segundo a maior dimensão de sua seção

110 transversal, pede-se determinar a área da seção transversal da armadura longitudinal e a armadura transversal. *******

111 Capítulo V

Efeito de Esbeltez

V.1 - Preâmbulo Conforme os postulados da Mecânica dos Sólidos, colunas descarregadas constituídas de material elástico e dúctil, uma vez carregadas, tem sua configuração indeformada, figura V.1.a, modificada para o modo deformado, figura V.1.b. Em se tratando de colunas esbeltas o esforço normal, ação “V” da figura V.1, interage com o deslocamento produzindo momentos fletores adicionais que, por sua vez, acentuam os deslocamentos transversais, levando o membro estrutural a modos deformacionais diferentes, figuras V.1.c e V.1.d. O fenômeno pode evoluir de modo a que o sistema estabilize em dada configuração final, figura V.1.e. Mas também pode acontecer de a estabilidade não ser atingida, e, em virtude de deformações excessivas a coluna perder sua capacidade para absorver e transmitir esforços. Fenômeno semelhante pode afetar estrutura aporticada cuja configuração inicial indeformada, figura V.2.a, em virtude de carregamento, assumirá o modo deformado, figura V.2.b. Se ela for composta de membros estruturais esbeltos a interação esforços-

112 deslocamentos levará a estrutura a assumir, sucessivamente, as formas das figuras V.2.c e V.2.d podendo ou não estabilizar-se mediante o modo deformacional da figura V.2.e.

Figura V.1 – Flambagem de Coluna O efeito de esbeltez em pilares de concreto armado é diferente do que ocorre em colunas manufaturadas com material dúctil. O comportamento mecânico do concreto é tal que a redistribuição de tensões que ocorre antes do advento das deformações que caracterizariam a flambagem, induz o processo de ruína do material. Na análise da estabilidade de pilares de grande esbeltez, este efeito deve ser considerado, haja vista promoverem interação significativa entre esforços e deslocamentos. O efeito de esbeltez é considerável quando o índice de esbeltez é superior a certo limite previsto em norma.

113

Figura V.2 – Flambagem de Pórtico plano De um modo geral, a configuração de equilíbrio do pilar esbelto é diferente daquela referente ao seu modo inicial na estrutura

indeformada.

Os

esforços

adicionais

da

estrutura

deformada em relação ao campo de esforços da estrutura em sua configuração inicial indeformada são conhecidos como esforços locais de segunda ordem. Eles podem ser desprezados quando o índice de esbeltez do pilar for inferior a certo valor limite dado pela equação:

1 

25,0  12,5 e1 / h

b

, para, 35 ≤1 ≤90

V.1

114

O parâmetro “e1” da equação V.1 representa a excentricidade de primeira ordem do esforço normal, ou seja, aquela excentricidade verificada para o elemento estrutural em sua configuração indeformada no instante do carregamento. “h” é a dimensão da seção transversal do pilar na direção segundo a qual o efeito de esbeltez está sendo analisado. O parâmetro “ αb ” está associado às condições de vinculação do pilar e ao tipo de carregamento. Em pilares biapoiados isentos de cargas transversais: b = 0,6 + 0,4MB/MA com 0,4  b  1,0

V.2

“MA” e “MB” são os momentos nas extremidades do pilar. Em estruturas de nós fixos são os momentos de primeira ordem, e, em estruturas de nós deslocáveis, incluem os efeitos de segunda ordem. São tais que IMAI  IMBI, e, apresentarão o mesmo sinal se alongarem a mesma face do pilar. Em pilares biapoiados solicitados mediante cargas transversais significativas ao longo de sua altura, b = 1,0. Para pilares em balanço: b = 0,8 + 0,2MC/MA onde 0,85  b  1,0

V.3

De modo que “M A” e “MC” são os momentos de primeira ordem na extremidade engastada e a meia altura do pilar, respectivamente. Em pilares solicitados por momentos de intensidade inferior àquela correspondente à excentricidade mínima do carregamento, dada conforme equação I.1, b = 1,0.

115 O Índice de esbeltez de um pilar é dado a partir de:

λ=

Le i

V.4

onde “i” representa o raio de giração da seção transversal na direção em que o efeito de esbeltez está sendo analisado. “L e” representa o comprimento efetivo de flambagem do pilar que para membros engastados na base e livres em seu topo deve ser adotado igual ao dobro do comprimento real da coluna. Nos demais casos deve-se adotar o menor dentre os valores:

Le = Lo + h ∧Le = L

V.5

onde “L” é a distância vertical entre os eixos longitudinais dos membros estruturais horizontais aos quais o pilar está vinculado, “Lo” é a distância vertical do bordo superior da viga horizontal inferior ao bordo inferior da viga horizontal superior às quais o pilar está vinculado, nas imediações da região de ligação entre esses membros, e, “h” é a altura da seção transversal do pilar. Em se tratando de pilar de seção transversal retangular:

λ=

3 ,46Le h

V.6

Na hipótese de acontecer:

λ > λ1

V.7

116 o efeito de esbeltez é significativo devendo ser considerado mediante ampliação da excentricidade do esforço normal adotandose uma excentricidade complementar, prevista no método do pilar padrão com curvatura aproximada, seção 15.8.3.3.2 da norma, dada por:

e2 = αb

L2e 1 . 10 r

V.8

sendo “1/r” a curvatura estimada para a seção crítica do pilar, avaliada como sendo: 1 0 ,005 1 0 ,005 = ∧ ≤ r h( ν + 0 ,5 ) r h

O

método

ora

apresentado

pode

V.9

ser

empregado,

exclusivamente, para pilares de seção transversal constante, provido de armadura simétrica e índice de esbeltez inferior ou no máximo igual a 90. Se acontecer de “” ser superior a 90 deve-se considerar a fluência, o que deve ser realizado conforme o procedimento apresentado na seção 15.8.4 da NBR 6118/14. Na hipótese de resultar em valor de “” superior a 140 deve-se partir para o emprego do método geral que consiste na análise não linear de segunda ordem realizada com discretização adequada da barra que conduza a boa precisão numérica bem como a consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e da não linearidade geométrica.

117

V.2 - Dimensionamento Para a realização das tarefas inerentes ao dimensionamento adota-se procedimento idêntico ao utilizado para o caso de flexão composta isenta de efeito de esbeltez. Assim, à excentricidade de primeira ordem, referente à condição indeformada do pilar tomado individualmente, deve-se acrescentar a excentricidade de segunda ordem obtida a partir das equações V.8 e V.9. Assim, em casos de flexão composta reta a excentricidade total será:

e  e1  e2

V.10

Em se tratando de flexão composta oblíqua deveríamos ter:

eyt  e1y  e2 y

V.11

se a esbeltez se pronunciar apenas na direção “y”, e:

ezt = e1z + e2 z

V.12

se a esbeltez se pronunciar apenas na direção “z”. Caso o efeito de esbeltez seja manifestado nas duas direções coordenadas, as excentricidades em cada uma dessas direções devem ser calculadas conforme as equações V.11 e V.12.

118 Entretanto, há que se ressaltar que, a consideração do seu efeito combinado deve obedecer orientações normativas específicas bem como a análise do efeito do desempenho estrutural conjunto. Exercício V.1: Determinar a armadura para um pilar, sabendo-se que a distância vertical entre os eixos longitudinais dos membros estruturais horizontais aos quais está vinculado é L = 7,25 m, a distância vertical do bordo superior da viga vinculada à sua base ao bordo inferior da viga vinculada aoseu topo é Lo = 6,70 m, a seção transversal é de formato retangular com dimensões b = 25 cm e h = 50 cm, sabendo-se que será moldado em concreto C 20 armado com barras de aço CA-50, fazendo parte da estrutura de um edifício residencial construído em área para a qual deve ser prescrita uma classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas cargas características produzem um esforço normal de serviço de 700 kN, apresentando excentricidade e = 0,25 m. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção “y”, figura A.V.2, e que as ações indiretas tem efeito pouco significativo sobre a estrutura. Comprimento efetivo de flambagem: Têm que ser atendidos os critérios:

Le = Lo + h ∧Le = L Le  Lo  h  6,70  0,50  7 ,20 m Le  L  7 ,25 m Índices de esbeltez:

119 

1 

3 ,46Le 3 ,46 x7 ,25   51 h 0 ,50

25,0  12,5 e1 / h

b



25,0  12,5 x0 ,25 / 0 ,50  31,25 1,0

Fazer então 1  35 Uma vez que   1 o pilar é esbelto, o efeito de segunda ordem deverá ser considerado o que será efetivado mediante a adoção da excentricidade complementar:

e2  ec 

L2e L2 0 ,005 0 ,005 .  e 10 h( 0 ,5   ) 10 h

L2 0 ,005 7 ,25 2 0 ,005 e2  ec  e .  .  0 ,05 m 10 h( 0 ,5   ) 10 0 ,50( 0 ,5  0 ,654 ) L2e 0 ,005 7 ,25 2 0 ,005  .  0 ,0526 m 10 h 10 0 ,50 Adotar então e2 = 0,05 m. - Excentricidade: e  e1  e2  0,25  0,05  0,30 m

- Momento reduzido:

120 

 .e h



0 ,66 x0 ,30  0 ,40 0 ,50

- Taxa mecânica de Armadura: A partir do ábaco II.3, transcrito na figura A.V.1, obtém-se   0,85 . - Porcentagem geométrica de armadura:

   . f c / f yd  0 ,85 x12 / 434  0 ,0235 - Armadura longitudinal

Ast   .Ac  0,0235x1250  29,38 cm2 - Escolha:

3810  30,40 cm2 ; 2412.5  30,00 cm2 ; 1616  32,00 cm2 ; 10 20  31,50 cm2 . Apenas a solução com barras de 20 mm permitem a distribuição de bordo. Utilizando-se o ábaco II.4 obtém-se um ponto que posiciona-se fora do seu campo de validade, de modo que

  1,0 . Na hipótese de tratar-se da condição extrema de validade do ábaco com   1,0 ter-se-ia:

  .fc / fyd  1,0 x12 / 434  0,0277

121 E Ast   .Ac  0,0277x1250  34,63 cm2 Que já representa área superior àquela correspondente a dez barras de 20 mm. Para o problema em resolução resultaria em armadura maior ainda, pois,   1,0 . Deve-se, portanto optar por esta alternativa.

Figura A.V.1- Procedimento para obtenção de “   0,85 ”

122 - Armadura transversal: De acordo com a norma, o diâmetro dos estribos deve ser fixado a partir dos critérios:  t ,min  5 mm e  t,min 

No presente caso t ,min 

1 L 4

1 L  20 / 4  5 mm . Adotando4

se, portanto, fios de 5.0 mm, este critério será devidamente atendido. Para o espaçamento máximo a norma preconiza: Smax = 200 mm; Smax = Menor dimensão da seção transversal = 250 mm; e, S max =

12L  12 x200  240 mm A distribuição final da armadura na seção transversal será, então, conforme a figura A.V.2.

Figura A.V.2 – Detalhe da armadura na seção transversal

123

V.3 – Exercícios Propostos Determinar a armadura para um pilar, sabendo-se que a distância vertical entre os eixos longitudinais dos membros estruturais horizontais aos quais está vinculado é L = 7,00 m, a distância vertical do bordo superior da viga vinculada à sua base ao bordo inferior da viga vinculada aoseu topo é Lo = 6,50 m, a seção transversal é de formato retangular com largura b = 30 cm e altura medindo h = 50 cm, sabendo-se que será constituído de concreto classe C 20 armado com barras de aço CA-50, fazendo parte da estrutura de um edifício residencial construído em área para a qual deve ser prescrita uma classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas cargas características produzem um esforço normal de serviço de 650 kN, apresentando excentricidade e = 0,20 m. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção “y”, figura A.V.2, e que as ações indiretas tem efeito pouco significativo sobre a estrutura. *******

124

125

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