Listas1a5_Opto_GABARITO.pdf

1

LISTA 1 – OPTOELETRÔNICA (EN3717) •

Fótons. Efeito Fotoelétrico

1) Mostre que a energia de um fóton, em elétron-volts (eV), é relacionada ao comprimento de onda λ , em nanômetros (nm), através da expressão  E  ph = 1240 λ .

SOLUÇÃO c

Equação de Planck-Einstein:  E  ph = hν  = h  . λ 

Substituindo h = 4.14×10−15 eV⋅s, c = 3×1017 nm/s (= 3×108 m/s) ⇒ hc = 1242 eV⋅nm ∴ Com boa aproximação, podemos escrever  E  ph = 1240 λ 

2) Um transmissor de ondas de radio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW. Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena. Re: 2.16 × 1030 fótons/s

SOLUÇÃO Cálculo da energia do fóton: −34 3 −1  E  ph = hν  =  (6.626 × 10  J⋅s)(700 × 10  s ) −28  E  ph =  4.638 × 10   J/photon

ou 2.895 × 10−9 eV/photon

O número de fótons emitidos pela antena por segundo,  N  =

P  E  ph

=

1000 J s =  2.16 × 1030 fótons por segundo − 28 4.638 × 10 J

3) Em condições ideais, o olho humano é capaz de perceber luz de comprimento de onda 550 nm se a energia captada pelo olho se dá a uma taxa tão pequena quanto 100 fótons por segundo. Qual a potência óptica correspondente? Re: 3.6×10−17 W

SOLUÇÃO Energia do fóton,  E  ph = hν  =

hc

λ 

 = (6.626×10−34 J⋅s)(3×108 m/s)/(550×10−9 m) = 3.61×10−19 J

O número de fótons emitidos por segundo N  =  = 100 fótons/s. Logo a potência, P = NE  ph =  (100 fótons/s)(3.61×10

−19

J) = 3.61×10−17 W (= J/s)

2

4) Um experimento fotoelétrico indica que luz violeta de comprimento de onda λ  = 420 nm corresponde ao máximo comprimento de onda da radiação que provoca emissão de fotoelétrons pela superfície de um fotocatodo multialcalino. a) Qual a função trabalho do fotocatodo, em eV? b) Se radiação UV de comprimento de onda λ  = 300 nm incide no fotocatodo, qual a

máxima energia cinética dos fotoelétrons, em eV? 2

c) Se a radiação UV do item acima tem irradiância de 20 mW/cm

, e os elétrons emitidos

são coletados pela aplicação de uma tensão positiva no eletrodo oposto ao fotocatodo, qual a densidade de fotocorrente, em mA/cm2? Re: a) 2.96 eV , b) 1.18 eV , c) 4.84 mA/cm2

3

5) O metal Césio é utilizado como material de um fotocatodo para emissão de fótons porque os elétrons podem ser facilmente removidos da sua superfície. A função trabalho para o Césio puro é de 1.9 eV. a) Qual o máximo comprimento de onda da radiação incidente que provoca emissão de

elétrons? b) Se radiação azul de comprimento de onda λ  = 450 nm incide no fotocatodo, qual é a

energia cinética máxima dos fotoelétrons, em eV? Qual a voltagem requerida no eletrodo oposto ao fotocatodo para que a fotocorrente no circuito seja nula? c) A eficiência quântica (QE) de um fotocatodo é definida como, QE  =

Número de fotoelétrons emitidos . Número de fótons incidentes

QE  é 100% se cada fóton incidente ejeta um elétron. Considere que luz azul com λ  = 450

nm e irradiância I = 30 mW/cm2 incide em um fotocatodo circular de Césio com 6.0 mm de diâmetro. Se os fotoelétrons são coletados pela aplicação de uma voltagem positiva no anodo (eletrodo oposto ao fotocatodo) e a eficiência quântica QE  = 25%, qual será a fotocorrente? Re: a) 653.9 nm , b) 0.86 eV e − 0.86 V , c) 0.769 mA

4

•

Ondas. Potência e Irradiância Óptica.

6) Uma onda harmônica plana se propaga no espaço livre e tem as componentes do campo elétrico nas direções  xˆ ,  yˆ  e  zˆ  dadas por:  E  x = 10 cos{ 8π  × 1014 [( z c0 ) + t ]}   V/m

e  E  y = E  z = 0 . Considere as dimensões no SI.

Determine: a) A amplitude do campo elétrico da onda; b) A direção e sentido do fluxo de energia; c) A frequência em Hz; d ) O comprimento de onda.

Re: a) E 0 = 10 V/m; b) − z ; c) ν  = 4×1014 Hz; d ) λ  = 750 nm

SOLUÇÃO •



k 



  ω 

  

  Escrevendo  E  x = E 0 cos(k  z + ω t ) = cosω     z + t   identificamos:

a) A amplitude do campo elétrico E 0 = 10 V/m. b) A direção e sentido do fluxo de energia = direção e sentido de propagação = − z . c) A frequência angular ω  = 8π × 10 d ) Identificamos

k 

ω 

=

1 c0

⇒

14

 rad/s ⇒ ν  =

2π 

 = 4×1014 Hz.

2π  2π c0 c0 . Substituindo c0 = 3 × 108  m/s = = ⇒ λ  = λ  c0 ω  ν 

e ν  = 4×1014 Hz ⇒ λ  = 750 nm.

5

7) Um laser emite um feixe de luz com potência óptica de 5 mW. Se o feixe é focalizado em uma área circular de 10 µm de diâmetro, encontre a irradiância e a amplitude do campo elétrico da luz no plano focal. Considere a iluminação uniforme, a velocidade

c0

= 3×108 m/s e a permissividade ε 0  = 8.85×10−12 F/m. Expresse os resultados em unidades SI. Re: E 0 = 2.2×105 V/m

SOLUÇÃO Dados: P = 5 mW, d  = 10 µm, c0  = 3×108 m/s e ε 0  = 8.85×10−12 F/m. P

P

4P

•

A irradiância  I  =

•

Escrevendo I  em função do campo elétrico:  I  = S = (1 2) E 0 H 0 , com  H 0 = c0ε 0 E 0 .

 A

=

π ( d  2) 2

=

π d 2

 : Eq.(1)

Logo  I  = (1 2)c0ε 0 E 02 : Eq.(2) •

Eq.(1) = Eq.(2) ⇒  E 0 =

1

8P ⇒  E 0 = 2.19 × 105 V/m  (= 219 kV/m) d  π c0ε 0

8) Uma aeronave voando a uma distância de 10 km de um transmissor de ondas de radio recebe um sinal de irradiância 10 µW/m2. Qual é a amplitude a) do campo elétrico da onda e b) do campo magnético da onda? c) Se o transmissor radia uniformemente sobre um hemisfério, qual a potência da onda transmitida? Re: a) E 0 = 87 mV/m; b) 230 µA/m; c) 6.28 kW

SOLUÇÃO Dados: d  = 10 km, I  = 10 µW/m2, c0  = 3×108 m/s e ε 0  = 8.85×10−12 F/m. a)

1 2

Irradiância da onda que chega na aeronave  I  =  E 0 H 0  : Eq.(1) A amplitude do campo magnético  H 0 = ε 0 c0 E 0  : Eq.(2) 1 2

Eq.(2) → Eq.(1) ⇒  I  = ε 0 c0 E 02 ⇒  E 0 =

2 I  ε 0 c0

Substituindo os dados ⇒  E 0 = 8.68 × 10 −2  V/m = 86.8 mV/m −4 b)  H 0 = ε 0 c0 E 0  = 2.3×10  A/m = 230 µA/m

4π d 2 = 2π d 2 c) ÁREA DO HEMISFÉRIO:  A = 2

Potência P  =  IA  = 10 µW/m2 × 2π(10×103)2 m2 = 6.28×109 µW = 6.28 kW

6

9) Um laser He-Ne radia luz com comprimento de onda 632.8 nm e potência 3.0 mW. O feixe diverge com um ângulo θ  = 0.17 mrad, como ilustrado na figura abaixo. a) Qual a irradiância do feixe a uma distância d  = 40 m do laser? Considere que o laser é substituído por uma fonte de luz pontual, que emite luz de maneira uniforme em todas as direções. b) Qual potência deveria ter essa fonte para prover a mesma irradiância a 40 m? Re: a) 82.6 W/m2; b) 1.7 MW

SOLUÇÃO Dados: i) Potência P0  = 3.0 mW; ii) Ângulo de abertura do cone θ  = 0.17 mrad a)

Irradiância  I  =

P

r

θ  /2

 A

2

 A = π  r 

d

θ  θ  r  θ  π d 2θ 2 2 ≈ tan = ⇒ r  = d  ⇒ Área  A = π r  = 2 2 d  2 4

Substituindo θ  = 0.17×10−3 radianos e d  = 40 m ⇒ A = 3.63×10−5 m2. Irradiância  I  = b)

P  A

 = 8.26×104 mW/m2 = 82.6 W/m2

Para uma fonte pontual emitindo luz em todas as direções ⇒  A = 4π d 2 A potência P =  IA  = 82.6 W/m2 × 4π(40 m)2 = 1.66×106 W = 1.66 MW

10) Duas ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo elétrico nesse ponto são  E 1  =  E 0 cos t  e  E 2 = E 0 cos(ω t + 50 ) . Escreva a o

expressão do campo resultante (amplitude e fase). Re: E  = 1.81 E 0 cos(ω t  + 25°)

SOLUÇÃO •

 E  = E 1 + E 2 = E 0 exp i t [1 + exp i50

o

] = E 0 exp i t [(1 + cos 50 ) + i sin 50 ] o

(1 + cos 50 ) + i sin 50 = 1.643 + i 0.766 = 1.813 exp i 25 o

o

o

⇒  E = 1.81 E 0 exp i t exp i 25 = 1.81 E 0 exp i( t + 25 ) o

o

∴ Tomando a parte real:  E  = 1.81 E 0 cos( t + 25 ) o

o

7

LISTA 2 – OPTOELETRÔNICA • Polarização

EN3717

1) Um feixe laser de potência óptica P = 100 mW está linearmente polarizado na direção  yˆ .

Esse feixe se propaga na direção  xˆ   e incide em um polarizador linear com eixo de

transmissão formando um ângulo de 30 graus com o eixo  yˆ . Calcule a potência óptica do feixe transmitido pelo polarizador. Considere o polarizador ideal. Re: P = 75 mW

2) Uma onda plana randomicamente polarizada incide perpendicularmente em um polarizador linear. A irradiância da onda incidente  I  = 300 mW/cm2. Calcule a irradiância da luz transmitida pelo polarizador. Considere o polarizador ideal. Re: I  = 150 mW/cm2 3) Um feixe de luz de 10 mW de potência está linearmente polarizado na direção vertical ( yˆ ). Esse feixe passa através de um sistema de dois polarizadores lineares. Com relação à direção  yˆ , o eixo de transmissão do primeiro polarizador faz um ângulo θ 

e o eixo de

transmissão do segundo polarizador faz um ângulo de 90°. Considerando o ângulo θ  variável, qual a máxima potência de luz transmitida pelo sistema? Solução

•

Chamando P0  a potência óptica incidente, a potência na saída do 1º polarizador: P1 = P0 cos 2 θ   : Eq.(1)

Re: PMAX = 2.5 mW  y

P1 θ 

90°−θ 

P2

8 •

A potência na saída do 2º polarizador: P2 = P1 cos 2 (90 − θ ) = P1 sin 2 θ   : Eq.(2)

1 4

Substituindo Eq.(1) em Eq.(2) ⇒ P2 = P0 (sin θ  cosθ ) 2 ⇒ P2 = P0 sin 2 2θ   ( 0 ≤ θ  ≤ 90 ) •

o

Logo, a máxima potência transmitida ocorre para θ  = 45  ( sin 2θ  = 1 ), com o

P2 = P0 4 . Se P0  = 10 mW ⇒ P2  = 2.5 mW.

4) Considere uma lâmina de quartzo de meia-onda para λ 0  = 550 nm. Se a espessura da lâmina d  = 30 µm, determine a birrefringência ∆n. Re: ∆n = 9.2×10−3 Solução d ∆n = λ 0 2 ⇒ ∆n = λ 0 2 d 

∴ ∆n = 9.17×10−3 (≈ 0.0092)

•

Formalismo de Jones

5) Luz com polarização circular esquerda incide em uma placa retardadora de meia-onda. Determine o estado de polarização da luz emergente utilizando o formalismo de Jones. Re: Polarização circular direita.

SOLUÇÃO 1 0  1  1  0 − 1 i  = − i  ⇒ Polarização circular direita     

6) Considere um feixe de luz linearmente polarizado a +45º do eixo  x (direção horizontal) e com irradiância  I 0  = 8.0 mW/cm2. Esse feixe atravessa então a seguinte sequência de polarizadores lineares: um polarizador com eixo de transmissão horizontal, seguido de um polarizador com eixo de transmissão a −45º da horizontal e finalmente um polarizador com eixo de transmissão vertical. a) Escreva a matriz de Jones para o elemento óptico composto por essa sequência de polarizadores; b) Determine a irradiância e o estado de polarização da luz emergente.

9

Re: a)

1  0 0 , b) Polarização linear vertical, com  I  = 1.0 mW/cm2.   2  − 1 0

SOLUÇÃO 0 0 1  1 − 1 1 0 1  0 0  2  − 1 1  0 0  = 2  − 1 0  0 1       

a)  M  = P y P− 45 Px = 

b) Para um vetor incidente de amplitude unitária:

1  0 0 1 1 − 1 0  = 2 − 1 0 2 1 2 2 1

⇒ Polarização linear vertical. ⇒ Lembrando que a irradiância é proporcional ao quadrado da amplitude do campo

elétrico, temos que a irradiância na saída é  I OUT  = (1 2 2 )  I 0 = I 0 8  = 1.0 mW/cm2. 2

•

Moduladores ópticos.

7) Um modulador eletro-óptico de amplitude utiliza um cristal LiNbO3 de comprimento L = 3 cm. Os polarizadores de entrada e saída do modulador estão cruzados, i.e., seus eixos de transmissão são ortogonais. O campo elétrico está aplicado na direção do eixo óptico do cristal e a distância entre os eletrodos é d   = 0.1 mm. Considere o comprimento de onda λ 0  = 633nm, o

d

 L

índice de refração ordinário no = 2.286, o índice extraordinário ne  = 2.200 e os coeficientes eletro-ópticos r 13 = 9.6 pm/V e r 33 = 30.9 pm/V. a) Qual deve ser o ângulo entre a direção do eixo óptico e a direção de polarização do feixe incidente? b) Calcule a tensão de meia-onda do modulador. Re: a) 45°, b) 9.86 V

10

SOLUÇÃO Retardo relativo de meia-onda ⇒  L ( ∆ne − ∆n o ) = λ 0 2 , com λ 0 o comprimento de onda no vácuo. O campo elétrico externo E  = V  / d  , com d  a distância entre os eletrodos. V  V    λ  1 1 1   1 ⇒  L − n e3 r 33 π  + no3 r 13 π   = 0 ⇒ V π  = λ 0 d  2 d    2 ( L d ) no3 r 13 − n e3 r 33   2

Substituindo os dados: ne3 r 33  = 329 pm/V e no3 r 13 =  115 pm/V, ⇒ no3 r 13 − n e3 r 33 = − 214 pm/V

Considerando em módulo: V π  = 633 × 10 3 pm

1 1 = 9.86 V 300 214 pm/V

8) Um modulador eletro-óptico de fase utiliza um cristal LiNbO3 de comprimento  L = 3 cm. O campo elétrico está aplicado na direção do eixo óptico do cristal (eixo  z) e a distância entre os eletrodos é d   = 0.1 mm. O índice de refração ordinário no  = 2.286, o índice extraordinário ne  = 2.200 e os coeficientes eletro-ópticos r 13  = 9.6 pm/V e r 33  = 30.9 pm/V. Considere que o feixe incidente está polarizado na direção  z  e que o comprimento de onda da luz no

 z d

vácuo λ 0  = 870 nm. Determine a tensão que deve ser aplicada para provocar um retardo de fase de π  2 ?

 L

 x

Re: 4.41 V

SOLUÇÃO Um retardo de fase de π  2  equivale a uma variação de caminho óptico de λ 0 4 . ⇒  L∆ne =

V π  2 λ  λ 0 λ 0 1 −1 = 0 ⇒ V π  2 = ⇒ − ne3r 33 d  4 2( L d ) ne3 r 33 2 4 L

Substituindo os dados e tomando em módulo V π  2 =  4.41 V.

11

LISTA 3 – OPTOELETRÔNICA (EN3717) •

Sensores de Imagem. Resolução.

1) Uma câmera fotográfica digital possui um sensor de imagem (CCD) cujos pixels têm dimensão linear de aproximadamente 5.5 µm. Qual deve ser o máximo  f #  ( f-number ) do sistema óptico dessa câmera para que a resolução da imagem seja limitada pelo CCD. Considere o comprimento de onda da luz no centro do espectro visível (λ  = 550 nm). Re: f /4

SOLUÇÃO Para que a resolução seja limitada pelo CCD, o diâmetro do disco de Airy 2 ρ  < 5.5 µm. Logo:  ρ  = 1.22λ  f # <  2.75 µm ⇒  f # < 4.1. ∴ A câmera deve usar uma lente  f /4. •

Discos ópticos.

2) Utilizando um CD e um laser HeNe (λ   = 0.633 µm) em uma montagem como a ilustrada na Fig.1, um estudante mediu uma distância  y1  = 12.5 cm do máximo de 1ª ordem de difração ao máximo central. A distância do CD à tela  D  = 29 cm. Utilize as dimensões especificadas na Fig.2 e estime o comprimento total da trilha em espiral do CD.

12

Re: L ≈ 5.4 km

SOLUÇÃO •

Cálculo do número de voltas/mm (linhas/mm)

O ângulo da 1ª ordem de difração θ 1 = arctan( y1  D ) ⇒ θ 1 = 23.3° Equação da rede: λ  = h sin θ 1 ⇒ h = 1.60 µm ⇒ 1 h  = 625 linhas/mm •

Cálculo do comprimento médio de uma volta completa

OBS.: Para facilitar o cálculo, vamos assumir que cada volta possui um raio constante (em realidade, a trilha é uma espiral de raio variável) O raio mínimo ocupado pela área de programação r m =  50/2 = 25 mm e o raio máximo r  M  =  116/2 = 58 mm.

⇒ O raio médio r  = ( r m + r M  ) 2 =  41.5 mm ⇒ O comprimento médio da trilha em uma volta completa l = 2π r  =  260.75 mm •

Cálculo do comprimento total da trilha

O número total ( N ) de voltas N = 625 linhas/mm × 33 mm = 20625 voltas ⇒ O comprimento total da trilha  L = Nl =  5.38 km

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LISTA 4_5: LASERS Constantes fundamentais: h = 6.626×10

OPTOELETRÔNICA (EN3717)

c0  = 3×10

8

 m/s ;

−34

 J⋅s = 4.136×10−15 eV⋅s ; k  B = 1.381×10−23 J/K = 8.617×10−5 eV/K

 Atenuação e ganho num laser de rubi

1) Considere um cristal de rubi com dois níveis de energia separados por uma diferença de energia correspondente ao comprimento de onda no vácuo λ 0   = 694.3 nm, com uma curva Lorentziana com ∆ν  = 60 GHz. O tempo de vida espontâneo é t sp = 3 ms e o índice de refração do rubi é n = 1,76. A soma  N 1 + N 2 = N a  = 1022 cm-3. a)

Determine a diferença de população  N  = N 2  − N 1 e o coeficiente de atenuação α (ν 0 )  para a

linha central sobre condições de equilíbrio térmico para T = 300 K. b)

Qual o valor da diferença de população para um coeficiente de ganho γ  (ν 0 )= 0.5 cm-1 para a

frequência central? c)

Qual deveria ser o comprimento  L  do cristal para termos um ganho total G (ν 0 ) = 4 ?

Considerar γ  (ν 0 ) = 0.5 cm-1. Re: a)  N  ≈ − N a = −1022 cm−3 e α (ν 0 ) =  2.19×103 cm−1; b) N  = 2.28×1018 cm−3 ; c) L = 2.77 cm

SOLUÇÃO  a) Equilíbrio térmico → A distribuição de Boltzmann é válida

OBS: Em equilíbrio térmico não pode haver ganho, uma vez que não há inversão de população. • ∴

Boltzmann:  N i ∝ exp(− E i k  B T ) , com  N i  a população no nível de energia  E i  N 2  N 1

 − E 21    , com  E 21 =  E 2 − E 1 k  T     B  

= exp

Diferença de população •

Sabe-se que  N 1 + N 2 = N a  = 1022 cm-3

•

 E 21 =  E 2 − E 1 = hν 0 = hc0 λ 0

•

k  B T   = 0.0259 eV (para T  = 300 K)

∴

− E 21 k  BT  = −  69.1 e exp(− E 21 k  BT )  = 9.78×10−31

 = 1.79 eV

14  N 2  N 1

 − E 21   − E 21    − E 21    N   N   ⇒ 1 + 2 = 1 + exp  ⇒ a = 1 + exp  ≈ 1  N 1  N 1   k  B T      k  B T      k  BT   

= exp

⇒  N 1 ≈  N a e  N 2 =  N a − N 1 ≈ 0 ∴  N  =  N 2 − N 1 ≈ − N a  = −1022 cm−3

Coeficiente de atenuação Na ausência de inversão de população ( N  < 0) o meio irá atenuar (ao invés de amplificar) o fluxo de fótons se propagando na direção  z  de acordo com φ ( z ) = φ (0) exp[− α (ν ) z ], onde o coeficiente de atenuação α (ν ) = −γ  (ν ) = − N σ (ν )  (OBS: γ  (ν )  é o coeficiente de ganho e σ (ν ) é a seção de choque da transição na frequência ν  ). OBS: A irradiância  I ( z ) = hνφ ( z ) ;  I ( z ) = I (0) exp[γ  (ν ) z ] . λ 2 O coeficiente de ganho é dado pela expressão γ  (ν ) =  N σ (ν ) =  N  g (ν ) , 8π t sp

Com λ  o comprimento de onda da luz no meio, t sp  é o tempo de vida espontâneo e g (ν ) é a ‘normalized lineshape function’. O coeficiente de ganho na frequência central ν  = ν 0 = ( E 2 − E 1 ) h  fica γ  (ν 0 ) =  N 

λ 2 4π 2 t sp ∆ν 

=  N 

(λ 0 n)2 4π 2 t sp ∆ν 

.

Substituindo os dados: α (ν 0 ) = −γ  (ν 0 )  = 2.19×103 cm−1  b) N = ? para γ  (ν 0 )  = 0.5 cm−1

Utilizando a expressão acima:  N  = γ  (ν 0 )

4π 2 t sp ∆ν 

(λ 0 n )2

Substituindo os dados N  = 2.28×1018 cm−3  c) O Ganho total é definido como G (ν ) = φ (d ) φ (0) =  I (d )  I (0) = exp[γ  (ν )d ] G (ν 0 ) = exp[γ  (ν 0 ) L ] ⇒  L =

Substituindo os dados  L =

1 ln[G (ν 0 ) ] γ  (ν 0 )

1 ln(4)  cm = 2.77 cm 0.5

15  Densidade de fluxo de fótons de saturação para rubi

2) Determine a densidade de fluxo de fótons de saturação, e a correspondente intensidade de saturação, para a transição na frequência central do laser de rubi ν  = ν 0  ( λ 0 = 694.3 nm). Use os parâmetros da tabela abaixo e assuma que τ s ≈ 2t sp . Re: φ s (ν 0 ) ≈ 8.33×1021 fótons/(cm2⋅s) e  I s (ν 0 )  = 2.39 kW/cm2

Repita o item anterior para: o laser de He-Ne ( λ 0  = 632.8 nm), o laser de Nd3+:YAG ( λ 0 = 1064 nm); o laser de Nd3+:glass ( λ 0 = 1060 nm); o laser de Er3+: silica fiber ( λ 0  = 1550 nm); o laser de corante Rhodamina 6G ( λ 0 = 560 nm); o laser de titanio-safira Ti3+:Al2O3 ( λ 0  = 780 nm); o laser de CO2 ( λ 0  = 10600 nm); e, para o laser de Ar + ( λ 0  = 514.5 nm.

SOLUÇÃO Densidade de fluxo de fótons de saturação φ s (ν 0 ) = ? φ s (ν 0 ) =

1 1 ≈ , τ sσ (ν 0 ) 2t spσ (ν 0 )

com τ s  a constante de tempo de saturação. Substituindo os valores do tempo de vida espontâneo t sp = 3 ms e σ (ν 0 )  = 2×10−20 cm2, chegase a φ s (ν 0 ) ≈ 8.33×1021 fótons/(cm2⋅s) (OBS: Os processos de emissão estimulada e de absorção dependem da taxa W i = φσ (ν  ) (densidade de probabilidade) segundo as equações:

16

Intensidade de saturação  I s (ν 0 ) = ?  I s (ν 0 ) = hν 0φ s (ν 0 ) = h

c0

λ 0

φ s (ν 0 )  = 2.39 kW/cm2

Ganho em um amplificador saturado

3) Considerar um meio amplificador laser com comprimento d  = 10 cm e densidade de saturação de fluxo de fótons φ s = 4×1018 fótons/(cm 2⋅s). Se φ (0) = 4×1015 fótons/(cm 2⋅s) produz uma densidade de fluxo de fótons na saída φ ( d )  = 4×1016 fótons/(cm 2⋅s). a)

Determinar o ganho para pequeno sinal (ganho não saturado)

b)

Determinar o coeficiente de ganho γ  0 .

c) Qual é a densidade de fluxo de fótons para a qual o coeficiente de ganho decresce por um fator

de 5? d )

Determinar o coeficiente de ganho quando a densidade de fluxo de fótons é φ (0) = 4×1019

fótons/(cm 2⋅s) Re: a) G = 10 ; b) γ  0  = 0.23 cm−1 ; c) φ   = 16×1018 fótons/(cm2⋅s) ; d ) γ  (ν ) ≈  2.1×10−2 cm−1

SOLUÇÃO  a)

G=

 b)  X  =

φ ( d )  = 10 φ (0) φ (0) φ ( d ) 1 φ s

Em condições altamente saturadas, o fluxo de fótons é aproximadamente constante. De fato, nessas condições Y  ≈  X  + γ  0 d  ⇒ φ ( d ) ≈ φ (0) + γ  0φ s d  O produto γ  0φ s d   = 0.92×1019 fótons/(cm 2⋅s) ⇒ φ ( d ) ≈  4.92×1019 fótons/(cm 2⋅s) ≈ φ (0)

17 Assumindo fluxo ≈ constante, com φ  ≈ φ (0)  = 4×1019 fótons/(cm 2⋅s) e substituindo em γ  (ν ) =

γ  0 (ν ) ⇒ γ  (ν ) ≈  2.1×10−2 cm−1 1 + φ  φ s (ν )

Cavidade ressonante

4) Determinar o espaçamento de frequências e largura espectral dos modos de um ressonador cujos espelhos têm refletâncias de 0.98 e 0.99 e estão separados uma distância de 100 cm. O meio tem índice de refração n = 1 e perdas desprezíveis. Re: ν FSR =  1.5×108  Hz e ∆ν FWHM  =  7.22×105 Hz

SOLUÇÃO c

•

Espaçamento de frequências (Faixa espectral livre: FSR) ν FSR =

•

Largura espectral (Full width at half maximum: FWHM) ∆ν FWHM  =

2d 

=

c0

2nd 

 = 1.5×108 Hz

ν FSR , com ℑ  a finesse ℑ

da cavidade. Quando as perdas da cavidade ressonante são pequenas, a Finesse é grande é dada por, ℑ=

π  α r d 

(= 2πτ  ν  ) (OBS: τ   p

FSR

 p

O coeficiente de perda:

Considerando α s = 0 ⇒ α r  =  1.51×10−4 cm−1 ⇒ ℑ  = 208 ⇒ ∆ν FWHM  =

ν FSR  = 7.22×105 Hz ℑ

=

1  é o tempo de vida do fóton) α r c

18 Oscilação do laser de rubi

5) a) Para a linha central de transição λ 0  = 694.3 nm, o coeficiente de absorção do laser de rubi em equilíbrio térmico para T  = 300 K é α (ν 0 )  = 0.2 cm-1. Se a concentração de íons de Cr3+ responsável pela transição é  N a   = 1.58×1019 cm-1, determinar a seção de choque de transição σ (ν 0 ) . b)

Um laser de rubi usa um cristal de 10 cm de comprimento com índice de refração n = 1.76 e

área de 1 cm2, operando em 694.3 nm. Ambas as faces são polidas e tem refletância de 80%. Assumindo que não há outras perdas, determinar o coeficiente de perdas na cavidade, α r  , e o tempo de vida do fóton, τ  p . c)

Ao ser bombeado, o coeficiente de ganho aumenta (valor inicial −  0.2 cm-1). Determinar o

valor limiar da diferença de população,  N t  , para iniciar a oscilação laser. Re: a) σ (ν 0 ) ≈ 1.27×10−20 cm2 ; b) α r   = 0.023 cm−1 e τ  p  = 2.63 ns ; c)  N t   = 1.76×1018 cm−3

SOLUÇÃO  a)

α (ν 0 ) = −γ  (ν 0 ) = − N σ (ν 0 )

Equilíbrio Térmico a T = 300 K ⇒  N 2