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Lista de Exerc´ıcios ıcios 8

F´ısica ısica I – IME

Rottac¸ ao Ro a˜ o de Corpos Cor pos R´ıgidos ıgi dos

2013

E9.1

a) Calcu Calcule le o angulo aˆ ngulo em radianos subentendido por um arco de 1,50 m  de comprimento ao longo de uma circunferˆ circunferˆencia encia de raio igual a  2,  2 ,50 m. Qual e´ esse angulo aˆ ngulo em graus?  14 ,0 cm  suben b) Um arco de comprimento igual a  14, tende um ˆ um  ˆangulo angulo de  128 em um c´ c´ırculo. ırculo. Qual ´ Qual  ´e o raio da circunfer encia eˆ ncia desse c´ c´ırculo? ırculo? c ) O angulo aˆ ngulo entre entre dois raios de um c´ırculo ırculo de raio igual a 1,50 m e´ de  0, Qual e´ o compri 0 ,700 rad. Qual mento do arco sobre a circunfer encia eˆ ncia desse c´ c ´ırculo ırculo compreendido entre esses dois raios?

 b) Qual e´ a raz˜ao ao da velocidade tangencial m´axima axima da roupa quando a velocidade angular ´e m´ maxima a´ xima e quando a velocidade angular e´ m´ınima? ıni ma? c) Calcule Calcule a velocidade velocidade tangencial tangencial m´axima axima da roupa e a aceler ac elerac ac¸ ao a˜ o radial m´axima axima em func fu nc¸ ao a˜ o de  g .

◦

rev /min. e´ lice de um avi˜ao ao gira a  1900 rev/ E9.2 A h elice

a) Calcule Calcule a velocidade velocidade angular angular da h´elice elice em  rad/  rad/s.  b) Quantos segundos a h´elice elice leva para girar a  35 ? ◦

E9.15  Um volante de alta velocidade em um motor est´a girando a  500 rpm  quando subitamente ocorre uma falha no forneciment fornecimento o de energia. energia. O volante possui possui massa de 40, ametro de 75, energi giaa el´etrica etrica 40,0 kg   e diˆametro 75,0 cm. A ener fica desligada por  30, per ´ıodo ıodo o volante di 30 ,0 s  e nesse per´ minui a velocidade em func¸ ao a˜ o do atrito nos seus mancais. Enquanto Enquanto a energia energia est´ esta´ desligada, o volante faz  revolu lucc¸ oes ˜ completas. 200  revo

a) Qual Qual e´ a taxa t axa de rotac¸ ao a˜ o do volante quando a energia retorna?  b) Quanto tempo apos o´ s o in´ıcio ıcio da falta de energia teria levado para o volante parar, caso a energia n˜ao ao tivesse retornado, e quantas revoluc¸ oes o˜ es o volante teria feito nesse per´ p er´ıodo? ıodo?

E9.37  Uma barra uniforme possui duas pequenas bolas coladas ` das  `as as suas extremidades. A barra possui comprimento L  = 2,0 m  e massa  M  = 4,0 kg , enquanto as bolas possuem massa  m  = 0,500 kg  cada uma e podem ser tratadas como pontos de massas. Ache o momento de in´ercia ercia desse sistema si stema em relac¸ ao a˜ o a cada um dos seguintes eixos:

a) um eixo perpendicular a` barra barra e que passa pelo seu centro;  b) um eixo perpendicular a` barra e que passa por uma das bolas; c) um eixo eixo paralel paralelo o a` barra e que passa por ambas as  bolas; d) um eixo paral paralel elo o a` barra e a uma distˆancia ancia de 0,500 m  dela. ¸a e´ feita como indicado na Figura E9.39   Uma roda de carroc¸a  0 ,300 m  e o aro possui E9.39. E9.39. O raio da da roda e´ igual a  0,  1 ,40 kg . Cada um dos seus oito raios, dismassa igual a  1, distribu´ıdos ıdos ao longo de diˆ di ametros, aˆ metros, possuem comprimento  0,300 m  e massa igual a  0,  0,280 kg . Qual e´ o momento de  0, de in´ercia ercia da roda em relac¸ ao a˜ o a um eixo perpendicular ao plano da roda e passando passando pelo seu centro? centro? (Use as formulas o´ rmulas indicadas na Tabela 9.2.) Figura E9.30

Usando dados dados de astron astronomi omiaa do Apˆendice endice F, juntamente juntamente E9.21 Usando com o fato de que a Terra gira em torno do seu eixo uma vez por dia, calcule a) a velocidade escalar escalar angular orbital da Terra Terra (em rad/ rad/s) em func¸ ao a˜ o do seu movimento em torno do Sol,  b) sua velocidade escalar angular (em rad/ rad/s) em func¸ ao a˜ o do seu giro axial, c) a velocidade velocidade escalar tangencial tangencial da Terra Terra em torno do Sol (supondo-se uma orbita o´ rbita circular), d) a velocidade velocidade escalar tangencial tangencial de um ponto na linha do Equador na Terra em func¸ ao a˜ o do giro axial do planeta e e) os componentes radial e tangencial da acelerac¸ ˜ao ao do ponto no item (d). cicl os de rotac¸ ao a˜ o de uma m´aquina aquina de lavar possuem E9.31 Os ciclos rev /min e  640 rev/ rev /min. duas velocidades angulares,  423 rev/  0,470 m. O diˆametro ametro interno do tambor e´ igual a  0, a) Qual Qual e´ a raz razao a˜ o entre a forc¸a ¸a radial m axima a´ xima sobre a roupa quando a velocidade angular e´ maxima a´ xima e a forc¸a ¸a radial radial quando quando a velocidade velocidade angular ´e m´ınima ıni ma??

8 de novembro de 2013

volantee de mot motor or a gasoli gasolina na deve deve fornec fornecer er uma enerenerE9.45 Um volant gia cin´ cinetica e´ tica igual a  500 J , quando sua velocidade angurev/min  para  520 rev/ rev /min. Qual ´ lar diminui de  650 rev/ Qual  ´e o momento de inercia e´ rcia necess ario? a´ rio? energia em um volante de  70,  70,0 kg E9.47 Desejamos armazenar energia que possui forma de um disco macic¸o ¸o uniforme uniforme com raio R = 1,20 m. Para Para impedir impedir danos danos estrutur estruturais ais,, a acelera ace leracc¸ ao a˜ o radial m´axima axima de um ponto na sua periferia e´ igual a  3500 m/ etica m axima a´ xima m/s2 . Qual e´ a energia cin´etica que pode ser armazenada no volante? E9.59  Uma barra delgada e uniforme de massa  M  e comprimento L e´ encurvada no seu centro, de modo que os dois segmentos passam a ser perpendiculares um ao outro. tro. Ache Ache o mom moment ento o de in ercia e´ rci a em relac rela c¸ ao a˜ o a um eixo perpendicular ao seu plano e que passe a) pelo ponto onde os dois segmentos se encontram e b) pelo ponto na metade da linha que conecta as duas extremidades.

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F´ısica I (IME)

Lista de Exerc´ıcios 8

P9.71  A correia de uma m´aquina de lavar a v´acuo e´ enrolada ligando um eixo de raio igual a  0,45 cm  com uma roda de raio igual a  2,0 cm. O arranjo envolvendo a correia, o eixo e a roda ´e semelhante ao descrito na Figura 9.14 envolvendo a corrente e as rodas dentadas de uma bicicleta. O motor faz o eixo girar com  60,0 rev/s e a correia faz a roda girar, que por sua vez est a´ ligada a outro eixo que empurra a sujeira para fora do tapete que est a´ sendo lavado a va´ cuo. Suponha que a correia n a˜ o deslize nem sobre o eixo nem sobre a roda. a) Qual  ´e a velocidade de um ponto sobre a correia? b) Qual  ´e a velocidade angular da roda em  rad/s? P9.77 Foi aventado que as usinas hidrel´etricas devem aproveitar as horas fora do pico (como tarde da noite) para gerar energia mecˆanica e armazen´a-la para atender a` demanda em hor´arios de pico, como no meio do dia. Uma sugest˜ao ´e armazenar a energia em grandes volantes que giram sobre mancais praticamente livres de atrito. Considere um volante feito de ferro (densidade  7800 kg/m3 ) no formato de um disco uniforme de  10,0 cm  de espessura.

a) Qual deve ser o diˆametro desse disco para armazenar 10,0 MJ  de energia cin´etica ao girar a  90,0 rpm em torno de um eixo perpendicular ao disco, no seu centro?  b) Qual ser´a a acelerac¸a˜ o centr´ıpeta de um ponto na  borda, quando o disco gira nessa taxa? P9.83  Uma r´egua de um metro e massa igual a  0,160 kg  possui um pivoˆ em uma de suas extremidades de modo que ela pode girar sem atrito em torno de um eixo horizontal. A r´egua e´ mantida em uma posic¸a˜ o horizontal e a seguir e´ libertada. Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule

a) a variac¸a˜ o da energia potencial gravitacional ocorrida;  b) a velocidade angular da r e´ gua; c) a velocidade linear na extremidade da r´egua oposta ao eixo. d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade de um objeto caindo de uma altura de 1,0 m a partir do repouso. P9.85  A polia indicada na Figura P9.85 possui raio R  e momento de in´ercia I . A corda n˜ao desliza sobre a polia e esta gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cin´etico entre o bloco  A  e o topo da mesa ´e  µ c . O sistema e´ libertado a partir do repouso, e o bloco B  comec¸a a descer. O bloco  A  possui massa mA  e o bloco  B  possui massa mB . Use m´etodos de conservac¸ a˜ o da energia para calcular a velocidade do bloco B  em func¸a˜ o da distˆancia d que ele desceu. Figura P9.85

P9.89   Dois discos met´alicos, um com raio R1 = 2,50 cm e massa  M 1 = 0,80 kg  e outro com raio  R 2 = 5,0 cm  e massa  M 2 = 1,60 kg , s˜ao soldados juntos e montados em um eixo sem atrito passando pelo centro comum (Figura P9.89).

a) Qual e´ o momento de in´ercia dos dois discos?  b) Um fio fino e´ enrolado na periferia do disco menor, e um bloco de 1,50 kg  ´e suspenso pela extremidade livre do fio. Se o bloco e´ libertado do repouso a uma distˆancia de  2,0 m  acima do solo, qual ´e sua velocidade no momento em que atinge solo? c) Repita c´alculo do item (b), desta vez com o fio enrolado na borda do disco maior. Em qual caso a velocidade escalar final do bloco e´ maior? Explique por quˆe. Figura P9.89

E10.9 A pec¸a de uma m´aquina tem o formato de uma esfera macic¸a e uniforme com massa de  225 g e diˆametro de 3,0 cm. Ela est a´ girando em torno de um eixo com atrito desprez´ıvel que passa pelo seu centro, mas em um ponto no seu equador ela est a´ roc¸ando contra uma parte met´alica, resultando em uma forc¸a de atrito de  0,0200 N nesse ponto. a) Ache a acelerac¸ a˜ o angular. b) Quanto tempo levar´a para a velocidade escalar rotacional ser reduzida em  22,5 rad/s? E10.10   Uma corda e´ enrolada em torno da periferia de uma roda macic¸a e uniforme de raio igual a  0,250 m  e massa de  9,20 kg . A corda e´ puxada por uma forc¸a constante horizontal de 40,0 N  para a direita e tangencialmente a` roda. A roda est´a montada sobre mancais com atrito desprez´ıvel sobre um eixo horizontal que passa pelo seu centro.

a) Calcule a acelerac¸a˜ o angular da roda e a acelerac¸ a˜ o da parte da corda que j´a foi puxada para fora da roda.  b) Ache o mo´ dulo, a direc¸ a˜ o e o sentido da forc¸a que o eixo exerce sobre a roda. c) Qual das respostas nos itens (a) e (b) sofreria variac¸ a˜ o, caso a forc¸a de puxar fosse de baixo para cima em vez de horizontal? E10.14  Um balde de  15,0 kg  ´e suspenso por uma corda enrolada em torno de um sarilho, constitu´ıdo por um cilindro so´ lido com diˆametro de 0,300 m  e massa igual a  12,0 kg . O cilindro ´e pivotado sobre um eixo sem atrito passando em seu centro. O balde e´ libertado a partir do repouso no topo de um poc¸o e cai  10,0 m  at e´ atingir a a´ gua no fundo do poc¸o. Despreze o peso da corda. a) Qual e´ a tens˜ao na corda enquanto o balde est a´ caindo? b) Com que velocidade o balde atinge a  ´agua? c) Qual ´e o tempo de queda? d) Enquanto o balde est´a caindo, qual e´ a forc¸a exercida pelo eixo sobre o cilindro?

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F´ısica I (IME) E10.19   Um aro de 2,20 kg e  1,20 m  de diˆametro est´a rolando da esquerda para a direita sem deslizar, sobre um piso horizontal a constantes  3,0 rad/s.

a) Comque velocidade o seu centroest´a se movendo?  b) Qual e´ a energia cin´etica total do aro? c) Ache o vetor velocidade de cada um dos seguintes pontos, do ponto de vista de uma pessoa em repouso sobre o ch˜a o: i) o ponto mais alto do aro; ii) o ponto mais baixo do aro; iii) um ponto do lado direito do aro, a meio caminho entre o topo e a base. d) Ache o vetor velocidade para cada um dos pontos no item (c), s o´ que do ponto de vista de algu e´ m que se move com a mesma velocidade do aro. E10.23 Uma bola macic¸a e´ liberada do repouso e desliza para  baixo pela encosta de uma colina com inclinac¸ a˜ o de 65,0 com o plano horizontal. ◦

a) Qual valor m´ınimo deve ter o coeficiente de atrito est´atico entre as superf ´ıcies da colina e da bola para que nenhum deslizamento ocorra?  b) O coeficiente de atrito calculado no item (a) ´e suficiente para impedir que uma bola oca (como uma  bola de futebol) deslize? Justifique sua resposta. c) No item (a), por que usamos o coeficiente de atrito est´atico e n˜ao o coeficiente de atrito cin´etico? E10.24  Uma bola de gude homog eˆ nea rola para baixo a partir do topo da lateral esquerda de uma tigela sim´etrica, partindo do repouso. O topo de cada lateral est a´ a uma distˆancia  h 0  do fundo da tigela. A metade esquerda da tigela e´ a´ spera o suficiente para fazer a bola de gude rolar sem deslizar, mas a metade direita n˜ao possui nenhum atrito porque est´a coberta de o´ leo.

a) A que altura da lateral lisa a bola de gude subir´a, se medida verticalmente a partir do fundo?  b) A que altura a bola de gude iria se ambos os lados fossem t˜ao a´ speros quanto o lado esquerdo? c) A que vocˆe atribui o fato de que a bola de gude sobe mais com o atrito do lado direito do que sem atrito? E10.31  As extremidades dos dentes de carboneto de uma serra circular esta˜ o situadas a uma dist aˆ ncia de  8,6 cm  do eixo de rotac¸a˜ o.

a) Quando a serra n˜ao est´a cortando nenhum objeto, sua velocidade angular ´e de 4800 rev/min. Por que sua potˆencia ´e desprez´ıvel quando ela n a˜ o est´a cortando nenhum objeto?  b) Quando ela est´a cortando t a´ buas, sua velocidade angular se reduz para  2400 rev/min  e a pot eˆ ncia de sa´ıda ´e igual a  1,9 HP . Qual ´e a forc¸a tangencial que a madeira exerce sobre as extremidades dos dentes de carboneto?

Lista de Exerc´ıcios 8 E10.39   Sob determinadas circunstˆancias, uma estrela pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto extremamente denso, constitu´ıdo principalmente por n ˆeutrons e chamado estrela de nˆeutrons. A densidade de uma estrela de nˆeutrons e´ aproximadamente  10 14 vezes maior do que a da mat´e ria comum. Suponha que a estrela seja uma esfera macic¸a e homog eˆ nea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela era de 7,0×105 km ( compar´avel com o raio do Sol); seu raio final ´e igual a  16 km . Supondo que a estrela original completava um giro em  30  dias, ache a velocidade angular da estrela de n eˆ utrons. E10.40  Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito possui massa de  0,0250 kg . Ele est´a preso a uma corda sem massa que passa atrav´es de um buraco na superf´ıcie (Figura E10.40). No in´ıcio, o bloco est ´a girando a uma distˆancia de  0,300 m  do buraco com uma velocidade angular de  1,75 rad/s. A seguir a corda e puxada por baixo, fazendo com que o raio do c´ırculo se encurte para  0,150 m. O bloco pode ser considerado uma part´ıcula.

a)  b) c) d)

O momento angular e´ conservado? Qual ´e a nova velocidade angular? Calcule a variac¸a˜ o da energia cin´etica do bloco. Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda? Figura E10.40

´ grande possui forma de disco com E10.43  Uma mesa girat oria raio de  2,0 m  e massa igual a  120 kg . A mesa girat´oria est´a inicialmente a  3,0 rad/s  em torno de um eixo vertical que passa em seu centro. Repentinamente, um p´ara-quedista de  70 kg  pousa suavemente em um ponto pro´ ximo da periferia da mesa. a) Ache a velocidade angular da mesa girat oria ´ depois do pouso do pa´ raquedista. (Suponha que o pa´ ra-quedista possa ser considerado uma part´ıcula.)  b) Calcule a energia cin´etica do sistema antes e depois do pouso do pa´ ra-quedista. Por que essas energias cin´eticas s˜ao diferentes? E10.47 Uma barra de metal delgada e uniforme que tem  2,0 m de comprimento e pesa 90,0 N est´a suspensa verticalmente do teto por um pivˆo com atrito desprez´ıvel. De repente, ela e´ atingida num ponto que est´a 1,50 m abaixo do teto por uma pequena bola de 3,0 kg, movendo-se inicialmente, no sentido horizontal a  10,0 m/s. A bola rebate na direc¸ a˜ o contr´aria com uma velocidade escalar de 6,0 m/s.

a) Calcule a velocidade escalar angular da barra logo ´ a colis˜ao. apos  b) Durante a colis˜ao, por que o momento angular se conserva, mas o momento linear n˜ao?

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F´ısica I (IME)

Lista de Exerc´ıcios 8

E10.49   O rotor (volante) de um girosc´opio de brinquedo possui massa  M  = 0,140 kg . Seu momento de in´ercia em relac¸a˜ o ao seu eixo e´  I  = 1,20×10 4 kg m2 . A massa ´ do suporte ´e  m = 0,0250 kg . O girosc opio ´ e suportado em um ´unico pivoˆ (Figura E10.49) e seu centro de massa ˆ O giest´a situado a uma dist aˆ ncia  h  = 4,0 cm  do pivo. rosc´opio possui movimento de precessa˜ o em um plano horizontal, completando uma revoluc¸ a˜ o em t p  = 2,20 s .

Figura P10.63

−

a) Ache a forc¸a de baixo para cima exercida pelo pivˆo.  b) Ache a velocidade angular com a qual o rotor gira em torno de seu eixo, expressa em  rev/min. c) Fac¸a um diagrama, desenhando vetores para mostrar o momento angular do rotor e o torque que atua sobre ele. Figura E10.49

P10.57  Uma barra delgada e uniforme de 3,80 kg e 80,0 cm de comprimento possui uma bola muito pequena de 2,50 kg   grudada em cada extremidade (Figura P10.57). Ela ´e sustenta da horizontalmente por um eixo fino, horizontal e com atrito desprez´ıvel, que passa pelo seu centro e e´ perpendicular a` barra. Subitamente, a bola do lado direito se descola e cai, mas a outra permanece grudada na barra.

a) Ache a acelerac¸a˜ o angular da barra logo ap´os a  bola cair.  b) A acelerac¸a˜ o angular permanecer´a constante enquanto a barra continua a oscilar? Em caso negativo, ela vai aumentar ou diminuir? ´ ela c) Ache a velocidade angular da barra logo ap os oscilar pela sua posic¸ a˜ o vertical. Figura P10.57

P10.63   Um grande rolo de papel de 16,0 kg   com raio R = 18,0 cm  est´a em repouso contra uma parede e ´e mantido no lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu centro (Figura P10.63). A barra pode girar sem atrito no suporte, e o momento de in´ercia do papel em torno do eixo do rolo e´ igual a 0,260 kg m2 . A outra extremidade da barra est´a presa a` parede por uma articulac¸a˜ o sem atrito de modo que a barra faz um aˆ ngulo de  30,0 com a parede. O peso da barra e´ desprez´ıvel. O coeficiente de atrito cin´etico entre o papel e a parede e´  µ c = 0,25. Uma forc¸a constante vertical F  = 40,0 N  ´e aplicada ao papel, e o papel desenrola.

P10.69

O Iˆ  oiˆ  o.  Um

ioiˆo e´ feito usando-se dois discos uniformes, cada um com massa m e raio R ligados por um eixo leve de raio r. Um fio leve e fino e´ enrolado diversas vezes em torno do eixo e a seguir mantido fixo enquanto o ioiˆo e´ libertado do repouso, caindo verticalmente `a medida que o fio desenrola. Calcule a acelerac¸ a˜ o linear e a acelerac¸a˜ o angular do ioi oˆ e a tens˜ao no fio.

P10.71 A Figura P10.71 mostra trˆes ioiˆos idˆenticos que est˜ao inicialmente em repouso sobre uma superf´ıcie horizontal. Para cada ioiˆo, o fio e´ puxado conforme indicado. Em cada caso existe atrito suficiente para cada ioiˆo rolar sem deslizar. Desenhe um diagrama do corpo livre para cada ioiˆo. Qual e´ o sentido da rotac¸ a˜ o de cada ioiˆo? (Tente fazer essa experiˆencia!) Explique suas respostas. Figura P10.71

P10.83   Um cilindro homogˆeneo de massa  M  e raio  2R  est´a em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio e´ ligado por meio de um suporte duplo preso `as extremidades de um eixo sem atrito passando atrav´es do centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo. O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa  M   e raio  R  montada em um eixo sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa  M  e´ suspenso na extremidade livre do fio (Figura P10.83). O fio n˜ao desliza sobre a superf ´ıcie da polia, e o cilindro rola sem deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o m odulo ´ da acelerac¸a˜ o do bloco quando o sistema e´ libertado a partir do repouso. Figura P10.83

◦

a) Qual e´ m o´ dulo da forc¸a que a barra exerce sobre o papel enquanto ele desenrola?  b) Qual ´e a acelerac¸a˜ o angular do rolo?

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P10.91  Um p´assaro de  500,0 g  est´a voando a  2,25 m/s, quando inadvertidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo-a  25,0 cm  abaixo do topo (Figura P10.91). A  barra homogˆenea com 0,750 m de comprimento e massa de  1,50 kg  est´a presa por uma dobradic¸a na sua base. A colis˜ao atordoa o p´assaro, que cai ao ch˜ao em seguida. Qual e´ a velocidade angular da barra a) logo ap os ´ ser atingida pelo p a´ ssaro e b) assim que atinge o solo? Figura P10.91

E13.35   Um rel´ogio d´a quatro tiques a cada segundo; cada tique corresponde a` metade do per´ıodo. A roda catarina do rel´ogio consiste em uma fina camada circular com raio de  0,55 cm  conectada ao conjunto da roda por meio de raios com massas desprez´ıveis. A massa total da roda e´ igual a  0,90 g. a) Qual e´ o momento de in´ercia da roda em torno do eixo central? b) Qual ´e a constante de torc¸ a˜ o da mola capilar? E13.50  Desejamos suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilac¸a˜ o completa com aˆ ngulo pequeno a cada 2,0 s. Qual deve ser o valor do raio do aro? E13.53  Dois pˆendulos possuem as mesmas dimens˜oes (comprimento  L ) e massa total ( m). O pˆendulo  A e´ uma esfera  bem pequena oscilando na extremidade de uma barra uniforme de massa desprez´ıvel. No p ˆendulo B , metade da massa pertence a` bola e a outra metade a` barra uniforme. Encontre o per´ıodo de cada p eˆ ndulo para ˜ pequenas. Qual dos dois p eˆ ndulos leva mais oscilac¸oes tempo para completar uma oscilac¸a˜ o?

P13.88  Dois cilindros homogˆeneos de raio  R  e massa total M  s˜ao conectados ao longo de seu eixo comum por uma  barra leve e curta, e est˜ao em repouso sobre uma mesa horizontal. Uma mola cuja constante ´e k  possui uma extremidade presa na mesa por uma brac¸adeira e sua outra extremidade e´ ligada a um anel sem atrito no centro de massa dos cilindros (Figura P13.88). Os cilindros s˜ao puxados para a esquerda esticando a mola at e´ uma distˆancia x, e a seguir s a˜ o libertados. Existe entre o topo da mesa e os cilindros um atrito suficiente para fazer os cilindros rolarem sem deslizar a` medida que eles oscilam na extremidade da mola. Mostre que o movimento do centro de massa dos cilindros ´e um MHS, e calcule o seu per´ıodo em termos de  M  e de  k . (Sugest˜ao: O movimento e´ harmˆonico simples quando a acelerac¸a˜ o  a x  e o deslocamento  x  s a˜ o relacionados mediante a Equac¸ a˜ o (13.8) e o per´ıodo por  T  = 2π/ω . Apli e´ ent˜ao dado que as relac¸ o˜ es τ z = I cm αz  e F x = M acmx  para os cilindros a fim de obter uma relac¸ a˜ o entre  a cmx  e o deslocamento x  dos cilindros de sua posic¸ a˜ o de equil´ıbrio.] Figura P13.88

P13.91  Uma barra met´alica delgada e homogˆenea de massa  M  possui um pivˆo em seu centro por onde passa um eixo perpendicular a` barra. Uma mola horizontal cuja constante e´  k  possui uma extremidade presa na parte inferior da barra e sua outra extremidade est´a rigidamente presa a um suporte. Quando a barra e´ deslocada formando um pequeno aˆ ngulo θ   com a vertical (Figura P13.91) e libertada, mostre que a oscilac¸ a˜ o e´ um moviˆ mento harmonico angular e calcule seu per´ıodo. (Sugest˜ao: Suponha que o ˆangulo θ seja suficientemente pe˜  sen θ ≈ θ  e  cos θ ≈ 1  sejam queno para que as relac¸oes aproximadamente v´alidas. O movimento e´ harmˆonico simples quando d2 θ/dt2 = −ω 2 θ  e o per´ıodo e´ ent˜ao dado por  T  = 2π/ω .) Figura P13.91

E13.55 Cada um dos dois pˆendulos mostrados na Figura E13.55 consiste em uma s´olida esfera uniforme de massa M   sustentada por uma corda de massa desprez´ıvel, por ´em a esfera do pˆendulo  A e´ muito pequena, enquanto a esfera do pˆendulo  B e´ bem maior. Calcule o per´ıodo de cada pˆendulo para deslocamentos pequenos. Qual das esferas leva mais tempo para completar uma oscilac¸ a˜ o? Figura E13.55

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Lista de Exerc´ıcios 8

P13.93  Duas hastes delgadas, cada uma delas com massa  m  e comprimento L , s a˜ o conectadas perpendicularmente de modo a formarem um objeto em forma de L. Esse ob jeto e´ equilibrado no topo de uma aresta aguda (Figura P13.93). Quando o objeto em forma de L e´ deslocado ligeiramente, ele oscila. Ache a frequˆencia da oscilac¸ a˜ o. Figura P13.93

P13.94   Vocˆe deseja construir um pˆendulo com um per´ıodo de 4,00 s  em um local onde g = 9,80 m/s2 . a) Qual e´ o comprimento de um pˆendulo simples com esse per´ıodo?  b) Suponha que o pˆendulo deve ser montado em uma caixa que n˜ao possui mais do que  0,50 m  de altura. Vocˆe pode imaginar um pˆendulo que tenha um per´ıodo de 4,0 s  e que satisfac¸a a essa condic¸ a˜ o?

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