October 10, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Universidade Federal do Cear´a (UFC) Departamento de Engenharia de Teleinform´a atica tica (DETI) Curso de P´ o os-Gradua¸ s-Gradua¸c˜ cao a ˜o em Engenharia Engenharia de Teleinf eleinform´ orm´ a atica tica (PPGE (PPGETI) TI)
Proce Pro cess ssos os Est Esto o c´ a astic st icos os - TIP 710 Prof. Charles Casimiro Cavalcante
Lista List a de Exerc Exer c´ ıcios ıcio s No 2: Vari´ aveis aveis Aleat´ Alea t´ orias orias 1. Para Para cada cada uma uma da dass fun¸ fun¸cc˜oes ˜oes abaixo, abaixo, determ determine ine a consta constant ntee a tal tal que que as fu fun¸ n¸cc˜oes ˜oes possuam as caracterr´ısticas de fun¸cc˜ao caracte ˜ao de distribui¸cc˜ao ˜ao cumulativ cumulativaa (fdc) de probabilidade. probabilidade. Determine, Determine, em cada caso, a fun¸cc˜ao ˜ao de densidade de probabilidade (pdf) associada a cada uma das fun¸cc˜oes ˜oes e esboce o gr´afico afico das fun¸cc˜oes ˜oes F X (x) e f X (x). (a) Caso 1: F X (x) =
0, para x < 5; a, para x 5.
≥
(b) Caso Caso 2: F X (x) =
(c) Caso 3: F X (x) =
0,
k
1
j =1
(d) Caso Caso 4:
j
0, para x < 5; 1 x 3 , para 5 a, para x > 7 .
≤ ≤ 7;
para x < 1;
, para k
≤
a
F X (x) =
x < k + 1; e k = 1, 2,
···
0, para x 0; 1 exp( ax), para x > 0
−
≤
−
(e) Caso 5: F X (x) =
(f) Caso 6:
0, para x < 0; xa , para 0 x 1, para x > 1 .
≤ ≤ 1;
“√ ” − − 0,
a
F X (x) =
sin
1,
(g) Caso 7:
0,
F X (x) =
(x)
para x < 0; , para 0 x
para x > 1 .
a 1
exp
≤ ≤ 1;
x
2
para x 0 e c uma constante arbitr´aaria, Y (y ).
− √
·
−
15. Encontre F YY (y ) e f YY ( y ) se F X (x) = [1 (a) Y = X
− exp(−2x)] para x > 0, nos seguintes casos:
− 1, para X > 1;
(b) Y = X 2 .
16. A vari´avel avel aleat´oria oria X ´e unifor uniforme me no intervalo ( 1, 1). Encontre Encontre g (X ) tal que se Y = g (X ) ent˜aaoo ( ) = 2 ex exp( p( 2 ) para 0. y y y > f Y Y
−
−
avel X distr distribu´ ibu´ıda ıda uniformemente unifor memente no intervalo ( 2π, 2π ). Encontre f Y 17. Seja a vari´avel Y (y ) para:
−
(a) Y = X 3 ; (b) Y = X 4 ;
Charles Casimiro Cav Cavalcan alcante te
[email protected] http://www.gtel.ufc.br/ charles ∼
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Universidade Federal do Cear´a (UFC) Departamento de Engenharia de Teleinform´a atica tica (DETI) Curso de P´ o os-Gradua¸ s-Gradua¸c˜ cao a ˜o em Engenharia Engenharia de Teleinf eleinform´ orm´ a atica tica (PPGE (PPGETI) TI)
(c) Y = 2 sin(3 sin(3X + + 40 ) ◦
18. Considere uma vari´aavel vel aleat´oria oria X e uma fun¸cc˜˜aaoo Y = g (X )).. (a) Encontre Encontre f YY ( (y ) se g (x) = 2F X (x) + 4. (b) Encontre Encontre g (x) tal que Y seja uniforme no intervalo (8 , 10).
19. Mostre que se Y = aX + b , para a e b constantes arbitr´arias, arias, ent˜aaoo σy = a σx . Encontre Encontre µ y e σy se Y = (X
− µx ) .
||
σx
20. As vari´aveis aveis X e Y s˜ao ao independentes e Z = X + + Y . Encontre f Y Y (y ) se f X (x) = c exp( cx)
·
−
2 e f Z z exp( zc ) Z (z ) = c
· ·
−
para x x,, z > 0.
21. As vari´aveis aveis aleat´orias orias X e Y independentes e Y ´e uniformemente unifor memente distribu distrib u´ıda no intervalo (0, 1). Mostre que, se Z = X + + Y , ent˜aaoo f Z Z (z ) = F X (z )
− F X (z − 1)
22. Mostre que a convolu¸cc˜˜aaoo de duas densidades de probabilidade normais (gaussianas) ´e uma densidade normal. ˜oes 23. Sejam as seguintes fun¸cc˜oes = X cos(φ) + Y sin(φ) W = Z =
·
··
−X · sin(φ) + Y · · cos(φ)
em que X e Y s˜ao ao vari´aveis aveis uniformemente unifor memente distribu´ıdas ıdas entre (0 , 1). Calcule a densidade conjunta f Z,W Z,W (z, w).
24. Sendo o seguinte sistema Z = = X
−Y
W =
X , Y
cc˜ao ˜ao da densidade conjunta f X,Y calcule a densidade conjunta f Z,W X,Y (x, y ). Z,W (z, w) em fun¸
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