lista de algebra 1

´ ALGEBRA I Uma Introdu¸c˜ cao ˜ ao ` a Teoria de N´ umeros ume ros e aos An´eis eis de Polinˆ omios omios Prof. Prof. Christina Christina Waga

UERJ - Rio de Janeiro Setembro.2015

Sum´ ario Introdu¸c˜ ao

1

1 Anel dos Inteiros

2

1.1 1.1

Defin Defini¸ i¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Anel Bem Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. 1.4.11

Rela Rela¸c˜ c¸oes o˜es Bin´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. 1.4.22

Elem Elemen entos tos Not´ Not´ aveis em um Poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. 1.4.33

A estr estrut utur uraa Z, , ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. 1.4.44

A Rela Rela¸c˜ c¸a˜o de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.5

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5 1.5

1.6 1.6

1.7

 r ` ¨ ďs   .

Indu Indu¸c˜ c¸˜ao Finita

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5. 1.5.11

Demon Demonst stra¸ ra¸ c˜ c˜ao ao por Indu¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5. 1.5.22

Defin Defini¸ i¸c˜ ca˜o p or Recorrˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.3

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Divi Divis˜ s˜ ao Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.1

O Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6. 1.6.22

Algor Algoritm itmoo da Divi Divis˜ s˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.3

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Ma´ximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7. 1.7.11

Defin Defini¸ i¸c˜ ca˜o e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7. 1.7.22

Algo Algori ritm tmoo Eu Eucl clid idia iano no e Algo Algori ritm tmoo Eu Eucl clid idia iano no Este Estend ndid idoo

. . . . . . .

20

1.7. 1.7.33

Equa Equa¸c˜ c¸o˜es Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.7.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2

Sum´ ario Introdu¸c˜ ao

1

1 Anel dos Inteiros

2

1.1 1.1

Defin Defini¸ i¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Anel Bem Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. 1.4.11

Rela Rela¸c˜ c¸oes o˜es Bin´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. 1.4.22

Elem Elemen entos tos Not´ Not´ aveis em um Poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. 1.4.33

A estr estrut utur uraa Z, , ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. 1.4.44

A Rela Rela¸c˜ c¸a˜o de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.5

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5 1.5

1.6 1.6

1.7

 r ` ¨ ďs   .

Indu Indu¸c˜ c¸˜ao Finita

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5. 1.5.11

Demon Demonst stra¸ ra¸ c˜ c˜ao ao por Indu¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5. 1.5.22

Defin Defini¸ i¸c˜ ca˜o p or Recorrˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.3

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Divi Divis˜ s˜ ao Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.1

O Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6. 1.6.22

Algor Algoritm itmoo da Divi Divis˜ s˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.3

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Ma´ximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7. 1.7.11

Defin Defini¸ i¸c˜ ca˜o e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7. 1.7.22

Algo Algori ritm tmoo Eu Eucl clid idia iano no e Algo Algori ritm tmoo Eu Eucl clid idia iano no Este Estend ndid idoo

. . . . . . .

20

1.7. 1.7.33

Equa Equa¸c˜ c¸o˜es Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.7.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2

´ nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Primos Primos e Teorema eorema da da Fator Fatora¸ a¸ c˜ cao a˜o U

1.9 1.9

1.8.1

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.8. 1.8.22

Crivo Crivo de Erat´ Erat´ ostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Dicas Dicas para para solu solu¸c˜ c¸˜ao de alguns exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.9.1

Prop 1.11 item 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.9.2

Prop 1.12 item 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.9.3

Eudoxius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.9.4

Prop 1.14 item 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.9.5

Stifel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.9.6

Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.9.7

Ex. 1. 1.7.4 item 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.9.8

Ex. 1. 1.8.1 item 3 / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2 Anel Anel dos dos In Inteir teiros os M´ M´ odulo odulo n

31

2.1 2.1 Revend Revendoo Rela¸ Rela¸c˜ co˜es de Equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 2.2

2.3

2.4

2.5 2.5

25

31

2.1.1

Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1.2

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

A Rel Relac˜ c¸˜ao ao de Congruˆ Congr uˆencia encia M´ odulo odulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1

Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.2

Crit´erios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.3   Tratando Express˜ Tratando  Express˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Fermat, Wilson e Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.1

Fermat e Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3. 2.3.22

Fun un¸c˜ c¸˜oes Especiais  oes  Especiais   e Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.3

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Congruˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4.1

Congruˆencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4. 2.4.22

Sistem tema de Cong ngru ruˆˆenci ncias Lineares ares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.4.3

Um Exemplo Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.4.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Anel An el dos dos Int Intei eiros ros M´ odulo odulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5.1

47

Definindo o Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.6

2.7

2.5.2

Elementos Invert´ıveis do Anel Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.5.3

Demonstrando os Teoremas de Wilson e de Euler . . . . . . . . . . .

51

2.5.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Alguns N´ umeros Especiais  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.6.1

N´ umeros Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.6.2

Fibonacci e Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.6.3

Mersenne e Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.6.4

N´ umeros Perfeitos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Dicas para solu¸c˜ao de alguns exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3 Polinˆ omios em uma Vari´ avel 3.1

55

Anel de Polinˆ omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2 Divisibilidade e Divis˜ ao de Polinˆomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3

Anel de Polinˆ omios sobre um Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.3.1

M´aximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.3.2

63

3.3.3

Polinˆomios Irredut´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Fatora¸ ca˜o Unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.3.4

Crit´erios de Irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.3.5

Corpo Algebricamente Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.5

Solu¸ca˜o de Equa¸co˜es Alg´ebricas por Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.5.1

Grau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.5.2

Grau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.5.3

Grau 5

72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Introdu¸c˜ ao O ob jetivo do curso ´e apresentar as propriedades b´ asicas dos n´ umeros inteiros, a aritm´etica modular, os sistemas de congrˆencias linearese as propriedades dos polinˆ omios. Programa: •

•

N´umeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos.  Anel dos Inteiros: Algoritmo da divis˜ao, divisibilidade, n´ umeros primos e fatora¸ca˜o, m´aximo divisor comum, algoritmo euclidiano estendido.

•

  Aritm´etica modular: Rela¸ca˜o de equivalˆencia, inteiros modulares com as opera¸c˜oes de adi¸ca˜o e multiplica¸c˜ao. Congrˆencias lineares. Pequeno Teorema de Fermat, Teoremas de Euler e de Wilson.

•

 Anel de polinˆomios: Algoritmo da divis˜ao, m´aximo divisor comum, algoritmo euclidiano estendido, irredu´ ´ tibilidade, Teorema da Fatora¸ca˜o Unica, Teorema Fundamental da Algebra.

Algumas referˆencias bibliogr´ aficas: 1. Coutinho, S.C., N´  umeros Inteiros e Criptografia RSA, Cole¸c˜ao Matem´ atica e Aplica¸co˜es, IMPA, 2007 ´  2. Hefez, A.,   Curso de  Algebra, atica Universit´ aria, IMPA, Volume 1, Cole¸ca˜o Matem´ 2010. 3. Santos, J . P. O., Introdu¸c˜  ao a` Teoria dos N´  umeros , Cole¸c˜ao Matem´ atica Universit´ aria, IMPA, 2009.

1

Cap´ıtulo 1 Anel dos Inteiros 1.1

Defini¸c˜ ao

Considere Z  o conjunto dos n´ umeros inteiros, as opera¸c˜oes bin´arias usuais de adi¸c˜a o e de multiplica¸c˜ao e as seguintes propriedades (axiomas):

 `) Para quaisquer  x, y, z P  Z, px ` yq ` z  “ x ` py ` z q. A2.   (Comutativa da `) Para quaisquer x, y P Z, x ` y “ y ` x. A3.  (Elemento Neutro da `) Existe um elemento c P Z tal que para todo x P Z, c ` x “ x ` c “ x. Nota¸ca˜o: c “ 0 A4.  (Elemento Sim´etrico) Para todo x P Z existe x P Z tal que x ` x “ x ` x “ 0. Nota¸ca˜o: x “ ´x x ` p´y q “ x ´ y A5.   (Associativa da ¨) Para quaisquer  x, y,z  P Z, px ¨ y q ¨ z  “ x ¨ py ¨ z q. A6.   (Distributiva da multiplica¸ca˜o em rela¸c˜ao a` adi¸c˜ao) Para quaisquer  x, y, z P   Z, x ¨ py ` z q “ px ¨ y q ` px ¨ z q e px ` y q ¨ z  “ px ¨ z q ` py ¨ z q. A1.   (Associativa da

1

1

1

1

 r ` ¨s ´e um  anel.

Se esses axiomas s˜ ao satisfeitos dizemos que a estrutura Z, ,

Um anel ´e denominado  comutativo  quando vale tamb´em o axioma:

A7.   (Comutativa do ) Para quaisquer x, y

 ¨

 P Z, x ¨ y “ y ¨ x.

E ´e um anel  com unidade  quando: 2

P Z, d ‰ 0 tal que para todo x P Z, d ¨ x “ x ¨ d “ x.

A8.  (Elemento Neutro da ) Existe um elemento d

 ¨

Nota¸ca˜o: d

“1

Um anel comutativo com unidade ´e um dom´ınio de integridade  quando:

A9.   (Integridade) Para quaisquer x, y

 P Z, se x ¨ y “ 0 ent˜ao x “ 0 ou y “ 0.

Diz-se, nesse caso, que o conjunto Z n˜ao admite  divisores de zero.

Observe que a estrutura Z, ,   ´e um dom´ınio de integridade denominado   anel dos inteiros.

 r ` ¨s

1.2

Propriedades

Considere o anel Z, , .

 r ` ¨s

˜ PROPOSIC¸AO 1.1  O elemento neutro da adi¸c˜  ao ´e unico. ´ 

Prova: (RAA) Supor que existem dois elementos neutros 0 0

` e “ 0 e e ` 0 “ e, por A3. 0 ` e “ e ` 0, por A2. 0 “ e, pela transitividade da igualdade.

‰ e P Z.

Contradi¸c˜ao!

Logo, o elemento neutro ´e unico. ´ ˜ PROPOSIC¸AO 1.2  O elemento neutro da multiplica¸cao ˜  ´e unico. ´ 

˜ ´  PROPOSIC¸AO 1.3 O elemento sim´etrico ´e unico.

˜ PROPOSIC¸AO 1.4  Para todo x

P Z, x0 “ 0x “ 0.

Prova: 0

` 0 “ 0, por A3. xp0 ` 0q “ x0. x0 ` x0 “ x0, por A6. x0 ` x0 “ x0 ` 0, por A3. ´px0q ` px0 ` x0q “ ´ px0q ` px0 ` 0q, por A4. 3

p´px0q ` x0q ` x0 “p´px0q ` x0q ` 0, por A1. 0 ` x0 “ 0 ` 0, por A4. x0 “ 0, por A3. ˜ PROPOSIC¸AO 1.5   Para quaisquer  x, y

 P Z,

1.

p´1qx “ xp´1q “ ´x 2. ´p´xq “ x 3. ´px ` y q “ p ´xq`p´y q 4. ´pxyq “ p ´xqy “ xp´y q 5. xy “ p´xqp´y q Prova:

1.  Considere o elemento

 p´1qx ` x P Z. p´1qx ` x “ p´1qx ` 1x “ p´1 ` 1qx “ 0x “ 0 Assim, p´1qx  ´e o elemento sim´etrico de x. Pela unicidade Prop.1.3, p´1qx “ ´x. Por A2, p´1qx “ xp´1q. 3.  Considere o elemento p´xq`p´y q P Z. p´xq`p´yq “ p´1qx ` p´1qy “ p´1qpx ` yq “ ´px ` yq A8

A6

item1

  Prop.1.4

A4

A6

item1

˜ PROPOSIC¸AO 1.6   Para quaisquer   x, y,z  Z, x y

p ´ z q “ xy ´ xz .

 P

˜ PROPOSIC¸AO 1.7  (Lei do cancelamento ou Lei do corte para a adi¸cao) ˜ 

Para quaisquer   x, y,z  Z, se  x

 P

` y “ x ` z  ent˜ ao y “ z .

Prova:

` y “ x ` z , por hip´otese. p´xq ` px ` yq “ p ´xq ` px ` z q, por A4. pp´xq ` xq ` y “ pp´xq ` xq ` z , por A1. 0 ` y “ 0 ` z , por A4. y “ z , por A1. x

˜ ˜  PROPOSIC¸AO 1.8  (Lei do cancelamento ou Lei do corte para a multiplica¸cao)

Para quaisquer   x, y,z  Z, x

 P

‰ 0 , se  xy “ xz  ent˜ ao y “ z . 4

Prova:

 “ xz , por hip´otese. p´xyq ` xy “ p´xyq ` xz , por A4 e A3. 0 “ p´xy q ` xz , por A4. 0 “ xp´y q ` xz , pelo item 4 da Prop.1.5. 0 “ xpp´y q ` z q, por A6 p´yq ` z  “ 0, por A9 e pela hip´otese. p´yq ` z  “ p´yq ` y, por A4. z  “ y , pela lei do corte. ao a ` x “ b  possui solu¸c˜  ao em  Z. P 1.9   Sejam  a, b P Z. A equa¸c˜  xy

˜ ROPOSIC ¸ AO

Prova:

`x“b p´aq ` pa ` xq “ p ´aq ` b, por A4. pp´aq ` aq ` x “ p´aq ` b, por A1. 0 ` x “ p´aq ` b, por A4. x “ p´aq ` b. a

1.3

Exerc´ıcios

1. Indique se as opera¸co˜es bin´arias s˜ao associativas, comutativas e possuem elemento neutro. (a) Em N, x y

˚  “ mintx, yu. (b) Em Z , px , y , z  q ˚ px , y , z  q “ px x , y y , z  z  q. (c) Em Z, x ˚ y “ x. (d) Em R, x ˚ y “ x ` y ´ 2x y . (e) Em R, x ˚ y “ . 3

1

1

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1 2

2

x`y 2

2. Considere a seguinte tabela incompleta . Classifique a opera¸ca˜o bin´aria associada.

˚ a

b c d e a a b c d e b b e a c c c b d d a e e

3. Demonstre as proposi¸ c˜oes. 5

1.4

Anel Bem Ordenado

1.4.1

Rela¸c˜ oes Bin´ arias

Uma rela¸ca˜o bin´aria em um conjunto n˜ao vazio A   ´e qualquer subconjunto R A A A  pertence a` rela¸c˜ Quando um par ordenado x, y ao R  usamos a nota¸c˜ao x, y ou xRy . A rela¸ca˜o bin´aria R  pode ser classificada como:

Ď  ˆ A.  p q P R

 p q P ˆ

Reflexiva:   Para todo x

P A, px, xq P R. Sim´ etrica:   Para quaisquer x, y P A, se px, y q P R  ent˜ao py, xq P R. Anti-sim´ etrica:   Para quaisquer x, y P A, se px, y q P R e py, xq P R  ent˜ao x “ y . ao px, z q P R. Transitiva:   Para quaisquer  x, y, z P   A, se px, y q P R e py, z q P R  ent˜ ultiplo. Exemplo:   Rela¸co˜es bin´arias em Z:  “ , ‰, ď, ą, ´e m´

Uma rela¸c˜ao bin´aria R em A ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia quando ´e reflexiva, sim´etrica e transitiva. Nota¸c˜ao: x

«y

Um rela¸c˜ao bin´aria ´e uma  rela¸c˜ ao de ordem em A  quando ´e reflexiva, anti-sim´etrica e a parcialmente ordenado  ( poset). transitiva. Diz-se, nesse caso, que o  conjunto A  est´ Nota¸c˜ao: x ă y Quando x ă y em A, diz-se que o elemento x  predece  o elemento y  ou que y  sucede x.

a totalmente ordenado (toset) quando: Um  conjunto A  est´ Total:  Para quaisquer x, y

 P A, x ă y ou y ă x.

ca˜o de menor ou igual ( ). Exemplo:  O conjunto Z ´e totalmente ordenado pela rela¸

ď

1.4.2

Elementos Not´ aveis em um Poset

Considere um conjunto parcialmente ordenado A  pela rela¸ca˜o •

•

•

1

ă

e A1

Ď A n˜ao vazio.

1

P A ´e um limite superior de A se para todo x P A , x ă L. aximo ou  maior elemento de A se para todo x P A , x ă M . M  P A ´e um m´ s  P A  ´e um  supremo de A se s  for o m´ınimo (caso exista) do conjunto de limites L

1

1

1

1

superiores de A1 .

•

•

1

1

1

 P A ´e um  elemento maximal de A se n˜ao existir x P A , x ‰ P  tal que P  ă x.  P A  ´e um  limite inferior de A se para todo x P A ,  ă x. P 

1

1

6

•

•

1

1

1

P A ´e um  m´ınimo  ou  menor elemento de A se para todo x P A , m ă x. aximo (caso exista) do conjunto de limites inferiores i P A ´e um ´ınfimo de  A se i  for o m´ m

1

de A1 .

•

p

1

PA

´e um  elemento minimal de A1 se n˜ao existir x

˜  1.10   Sejam  A, ă   um poset e  A1 PROPOSIC¸AO (m´ınimo) de  A1 ent˜  ao ele ´e unico. ´ 

r

1

Prova: (RAA) Sejam M  M 1

1

s

Ď

1

P A , x ‰  p  tal que x ă  p.

A n˜  ao vazio. Se existe um m´  aximo

1

 ‰ M  m´aximos de A .

1

P A 6 M  ă M . M  P A 6 M  ă M  . ao) M  “ M  , pela anti-simetria. (Contradi¸c˜ 1

1

1

Logo, o m´aximo ´e u ´nico.

1.4.3

A estrutura Z, , ,

 r ` ¨ ďs

A rela¸c˜ao de menor ou igual ´e uma rela¸c˜ao de ordem em Z e tal que:

ď com `) Para quaisquer x, y , z P  Z, se x ď y ent˜ao x ` z  ď y ` z . A11.  (Compatibilidade do ď com  ¨ ) Para quaisquer  x, y, z   P Z, se x  ď y e 0  ď z   ent˜ao x ¨ z  ď y ¨ z . A10.   (Compatibilidade do

Assim, o anel dos inteiros ´e um anel ordenado . Nota¸c˜ao: x

ă y  quando x ď y e x ‰ y. Z  “ tx P Z; 0 ď xu `

˜  1.11   Para quaisquer   x, y , z , t PROPOSIC¸AO

P Z,

1. Se  x

ď 0 ent˜ ao 0 ď ´x. 2. Se 0 ď x  ent˜  ao ´x ď 0. 3. 0 ď x . 4. 0 ă 1. 5. Se  x ď y  ent˜  ao ´y ď ´x. 6. Se  x ` z  ď y ` z  ent˜  ao x ď y . 7. Se  x ď y e  z  ď t  ent˜  ao x ` z  ď y ` t. 2

7

8. Se  x

ď y e  z  ď 0 ent˜ ao yz  ď xz .

9. (Lei dos Sinais) (a) Se  0

ď x e  0 ď y  ent˜ ao 0 ď xy. (b) Se  0 ď x e  y ď 0 ent˜  ao xy ď 0. (c) Se  x ď 0 e  0 ď y  ent˜  ao xy ď 0. (d) Se  x ď 0 e  y ď 0 ent˜  ao 0 ď xy . 10. Se  xz  ď yz  e  0 ă z  ent˜  ao x ď y . 11. Se  x ď y , z  ď t e  0 ď y, z  ent˜  ao xz  ď yt . 12. Se 0 ď x ď y ă z  ent˜  ao 0 ď y ´ x ă z . Prova: 1. x

A4,A3

A10

ď 0 ùñ x ` p´xq ď 0 ` p´xq ùñ 0 ď ´x 3. (a) Se 0 ď x ùñ 0x ď xx ùñ 0 ď x (b) Se x ď 0 ùñ 0 ď ´x ùñ 0 ď p´xq ùñ 0 ď x 5. x ď y ùñ ´x ` x ´ y ď ´x ` y ´ y ùñ ´y ď ´x 7. x ď y e z  ď t ùñ x ` z  ď y ` z  e y ` z  ď y ` t ùñ x ` z  ď y ` t A11

  item1

  Prop.1.4

2

3paq

2

  Prop.1.5item5

2

A4,A3

A4

A10

  Trans.

´ poss´ıvel agora definir a fun¸c˜ao  valor absoluto E

" | |“

 | | : Z Ñ Z tal que:

x se 0 x x   caso contr´ ario

x

ď

´

˜  1.12   Para quaisquer  x, y PROPOSIC¸AO

 P Z,

1. 0

ď |x|. 2. |x| “ | ´ x|. 3. ´|x| ď x ď |x|. 4. |xy | “ |x||y |. 5. |x ` y | ď |x| ` |y |. 6. |x| ´ |y | ď |x ´ y | ď |x| ` |y |.

8

Prova: 3. Se 0

ď x 6 |x| “ x 6 ´|x| “ ´x ´x ď 0, Prop.1.11 item 2. ´x ď x, Prop.1.11 item 7. ´x “ ´|x| ď |x| “ x. Se x ď 0, a demostra¸ca˜o ´e an´aloga. 5.  ´| x| ď x ď |x| e ´|y | ď y ď |y |, item 2. ´|x| ´ |y| ď x ` y ď |x| ` |y|, Prop.1.11 item 7. Se |x ` y | “ x ` y  ent˜ao |x ` y | ď |x| ` |y |, item 2. Se |x ` y | “ ´ px ` y q ´p|x| ` |y|q ď x ` y ď ´|x ` y|, item 2 e hip. |x ` y| ď |x| ` |y|, Prop.1.11 item 5 e transitividade.  r ` ¨ ďs ´e bem ordenado  pois:

O anel Z, , ,

A12. (Princ´ıpio da Boa Ordena¸ca˜o:) Todo subconjunto n˜ ao vazio de Z limitado inferiormente possui um menor elemento. ˜  1.13   Sejam  x, y PROPOSIC¸AO

 P Z.

1. Se 0

ď x ď 1 ent˜ ao x “ 0 ou  x “ 1. 2. Se  x ă y  ent˜  ao x ` 1 ď y . 3. Se  y ‰ 0 ent˜  ao |x| ď |x y|. 4. (Propriedade Arquimediana) Se  y ‰ 0 ent˜  ao existe  n P Z tal que  x ď ny . ny ď x ă pn ` 1qy 5. (Teorema de Eudoxius) Se  y  ‰ 0 ent˜  ao existe  n P Z tal que  ny ď x ă pn ´ 1qy

"

Prova: 1. (RAA) Supor que existe um inteiro 0

ă x ă 1.

“ tx P Z; 0 ă x ă 1u n˜ao ´e vazio. Pelo PBO, existe k P Z que ´e o menor elemento de A. 0 ă k ă 1 6 0 ă k ă k , por A11. k ă 1 por transitividade. ˜o. k P A  e ´e menor do que o menor elemento de A. Contradi¸ca O conjunto A

2

2 2

Logo, n˜ao existe nenhum inteiro entre zero e um. 9

se  0 se  y

ăy .  ă 0

4. x

ď |x| ď |xy| “ |x||y|, pelo item 3 e pela Prop.1.12 item 2, 3 e 4. Se 0 ă y , n “ |x|  pela Prop.1.11 item 9. Se y ă 0, n “ ´|x|  pela Prop.1.11 item 9.

1.4.4

A Rela¸c˜ ao de Divisibilidade

Sejam x, y Z. O elemento x  divide y ou x  ´e divisor de y ou x  ´e fator de y ou y  ´e m´ ultiplo de x ou y  ´e divis´ıvel por x  quando existe k Z tal que y kx .

 P

 P

Nota¸c˜ao: x y

|

 “

˜  1.14   Sejam   x,y,z,t,y , . . . , yn PROPOSIC¸AO 1

 P Z. Ent˜ ao,

1. x 0.

|

2.

˘1 | x.

3. (Reflexiva) x x

|

4. (Transitiva) Se  x y e  y z  ent˜  ao x z .

|

 | | 5. Se  x | y e  x | z  ent˜  ao x | y ` z . 6. Se  x | y e  z  | t  ent˜  ao xz  | yt . 7. Se  x | y ` z  e  x | y  ent˜  ao x | z . 8. Se  x | y , . . . , x | y  ent˜  ao x | k y ` ¨ ¨ ¨ ` k y , para quaisquer  k , . . . , k  P Z. 9. Se  x | y e  y ‰ 0 ent˜  ao |x| ď |y |. 10. Se  x | y e  y | x  ent˜  ao x “ y ou  x “ ´y . n

1

1

n n

1

1

Prova:

| 6 y  “ x , . . . , y  “ x , com   P Z, i “ 1, . . . , n. y k  “ px qk , . . . , y k  “ px qk , k  P Z, i “ 1, . . . , n. y k  “ xp k q, . . . , y k  “ xp k q y k ` ¨ ¨ ¨ ` y k  “ xp k q ` ¨ ¨ ¨ ` xp k q “ xp k ` ¨ ¨ ¨ `  k q x | k y `¨¨¨`k y

8. x y1 , . . . , x yn

|

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

n n

1

1

n

1

n n

n

n n

n n

1

1

n

n

i

i

n n

n n

10

1

1

n n

n

1.4.5

Exerc´ıcios

1. Dado o conjunto, classifique a rela¸ca˜o. Se for de ordem, indique se ´e parcial ou total. (a) A

“ tH, tau, tbu, tcu, ta, bu, ta, cu, tb, cu, ta,b,cuu e X R Y   quando X  Ď Y  . (b) A “ N ˆ N e pa, bq R pc, dq  quando c  ´e m´ ultiplo de a e b ď d. (c) A “ C ˆ C e a ` b i R c ` di  quando a ď c  e b ď d. (d) A “ C ˆ C e a ` b i R c ` di  quando a ă c  ou pa “ c e b ď dq. 2. Dado o poset a seguir, indique os elementos. 36 18

12 4

6 2

9 3

1

A

1

LimSup M´ ax Sup Maxal LimInf Min

t18u t3, 6u

t2, 4, 6u t2, 9, 36u 3. Complete as demonstra¸co˜es.

11

Inf

Minal

1.5

Indu¸c˜ ao Finita

Princ´ıpio da Indu¸c˜ ao Finita  ou da  Indu¸c˜ ao Matem´ atica

Ď N tal que (I1) 0 P A e

Seja A

(I2) Para todo x Ent˜ao A

“ N.

P N, 0 ď x, se x P A  ent˜ao x ` 1 P A.

‰ N 6 N ´A ‰ H. N ´e bem ordenado 6  existe um menor a P N ´A. Por I1, a ‰ 0 6 1 ď a 6 a ´ 1 R N ´A 6 a ´ 1 P A. Por I2, pa ´ 1q ` 1 “ a P A 6 a P A. (Contradi¸ca˜o) Logo, A “ N. Prova: (RAA) Supor A

1.5.1 •

Demonstra¸ c˜ ao por Indu¸c˜ ao

 Primeiro Princ´ıpio da Indu¸ca˜o Generalizado

P N e P  uma propriedade un´aria sobre o conjunto N tal que: (base  da indu¸ca˜o) b  goza da propriedade P , isto ´e, P pbq ´e verdade. (passo  de indu¸c˜ao) Para todo k P N, b ď k , se P pk q ´e verdade (hip´ otese de indu¸c˜ ao) ent˜ ao P pk ` 1q ´e verdade. Ent˜ ao para todo n P N, b ď n, P pnq ´e verdade. Seja b

Exemplos: 1. 1

`2`3`¨¨¨`n “ (base) 1 “ .

npn`1q 2

, para todo n

1p1`1q

ě 1.

2

kpk`1q

(passo) (HI) Supor que 1

, 1 ď k. ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` k “ Vale 1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` k ` pk ` 1q “ ? 1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` k ` pk ` 1q “ ` pk ` 1q “ “ 2. 2 ă n!, para todo n ě 4. (base) 2 “ 16 ă 4! “ 24. (passo) (HI) Supor que 2 ă k !, 4 ď k . Vale 2 ă pk ` 1q! ? 2 “ 2 ¨ 2 ă 2 ¨ k! Pela reflexividade, k ! ď k ! e pela hip´otese, 2 ă k ` 1 2

pk`1qppk`1q`1q 2

HI  kpk`1q 2

n

4

k

k`1

k`1 def 

k

HI 

12

kpk`1q2pk`1q

pk`1qpk`2q

2

2

.

def 

Pela compatibilidade, 2 k ! k 1 k 1! Pela transitividade, 2k`1

¨ ă p ` q ¨ k! “ pk ` 1q! ăp ` q

•

Segundo Princ´ıpio da Indu¸c˜ao Generalizado

P N e P  uma propriedade un´aria sobre o conjunto N tal que: (base  da indu¸ca˜o) b  goza da propriedade P , isto ´e, P pbq ´e verdade. (passo  de indu¸c˜ao) Para todo k P N, b ď k ă m, otese de indu¸c˜ ao) se P pk q ´e verdade (hip´ ent˜ ao P pmq ´e verdade. Ent˜ ao para todo n P N, b ď n, P pnq ´e verdade. Seja b

•

 Princ´ıpio de Indu¸ca˜o Finita Estendido para o conjunto Z Considere a

P Z e o conjunto I   “ tx P Z; a ď xu. Seja A Ď I   tal que: (I1’) a P A e (I2’) Para todo k P Z , a ď k , se k P A  ent˜ao k ` 1 P A . Ent˜ ao A “ I  . a

a

a

Assim, o Primeiro e o Segundo Princ´ıpios de Indu¸ca˜o Finita Generalizados s˜ao v´alidos em Z.

1.5.2

Defini¸c˜ ao por Recorrˆ encia

Considere o anel Z, , , seguinte forma:

 r ` ¨ ďs, a P Z.

Define-se o n -´ esimo m´ ultiplo de a  com n

$& “% `p ´ q p´ qp´ q 0

na

a

1a

n

n

˜  1.15   Para quaisquer   a,b,n,m PROPOSIC¸AO

a

P Z,

1. na

` ma “ pn ` mqa 2. npa ` bq “ na ` nb 3. npa bq “ pnaqb 4. npmaq “ pn mqa 5. p´nqa “ np´aq “ ´ pnaq

13

“0 1ďn nă0 n

 P Z da

Prova: 2. Caso n

ă 0: npa ` bq “ p ´nqp´pa ` bqq“p´nqpp´aq`p´bqq. Mas 0 ă p´nq, recai-se no caso positivo. Ent˜ ao, p´nqpp´aq`p´bqq“p´nqp´aq`p´nqp´bq “ na ` nb. Caso 0 ď n: Prova por indu¸c˜ao em n. (base) Para n “ 0, 0pa ` bq “ 0 e 0a ` 0b “ 0 ` 0 “ 0. Assim, 0pa ` bq “ 0a ` 0b. (passo) (HI) Vale a propriedade para 1 ď k , isto ´e, k pa ` bq “ ka ` kb . Vale para pk ` 1q, isto ´e,  pk ` 1qpa ` bq “ pk ` 1qa ` pk ` 1qb ? pk ` 1qpa ` bq “ pa ` bq` kpa ` bq “ a ` b ` ka ` kb “ a ` ka ` b ` kb “ pk ` 1qa `pk ` 1qb Logo, npa ` bq “ na ` nb  para quaisquer  a, b, n P Z. Define-se a n -´ esima potˆ encia de a  com n P Z  como sendo: `

"“

n

a ˜  1.16  Para todo a, b PROPOSIC¸AO

1

¨

a a

n´1

n n

“0 ě1

P Z e para quaisquer  n, m P Z

`,

n`n

1. an am

¨ “a 2. pa q “ a 3. pa bq “ a b n m

nm

n

n

n n

4. (Binˆ  omio de Newton) a

` ˘ ř ` ˘“` ˘`` ˘ n i“0

 p ` bq “

dica: Use a F´  ormula de Stifel 

n an´i bi i n n i´1 i

n`1 i

Prova: Por indu¸ca˜o em m com n  fixo. n

1. (base) Para m

n

0

n`0

n

“ 0, a ¨ a “ a ¨ 1 “ a “ a . (passo) (HI) Considere que a ¨ a “ a com k ě 1. “a Vale que a ¨ a ? a ¨a “ a ¨ pa ¨ aq “ pa ¨ a q ¨ a “ a ¨ a “ a Logo, a ¨ a “ a para quaisquer n, m ě 0. 2. (base) Para m “ 0, a “ a “ 1 “ pa q . (passo) (HI) Considere que pa q “ a com k ě 1. Vale que pa q ? “a p a q “ pa q ¨ a “ a ¨ a “ a “ a Logo, pa q “ a para quaisquer n, m ě 0. n

n

n

k`1

n

n

m

k

k`1

n

n`pk`1q

n 0

0

n k

n pk`1q

n k

n m

n`k

k

n`m

n0

n k`1

n`k

k

n

nk

n

nk

npk`1q

nk`n

npk`1q

nm

14

pn`kq`1

“a

n`pk`1q

Define-se o  fatorial de n , n

PZ

`  como

n!

1.5.3

"“

sendo:

1

n 1! n

¨ pn ´ q

n

“0 ě1

Exerc´ıcios

1. Complete as demonstra¸co˜es. 2. Mostre que: 2

(a) 1

` 3 ` 5 ` ¨ ¨ ¨ ` p2n ´ 1q “ n , 1 ď n. (b) 1 ` 2 ` 3 ` ¨ ¨ ¨ ` n “ , 1 ď n. (c) 1 ` 2 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` 2 “ 2 ´ 1, 1 ď n. (d)  `  ` ¨ ¨ ¨ `  “ , 1 ď n. (e) n ă 2 , 1 ď n. (f) 3n ă n , 4 ď n. (g) 2 ă 3 , 1 ă n. (h) 3n ` 3n ` 1 ă 2n , 3 ď n. (i) 3 | 2 ´ 1, 1 ď n. (j) 8 | 3 ` 7, 1 ď n. (k) 64 | 7 ` 16n ´ 1, 1 ď n. (l) Em um pol´ıgono com n ě 6 lados, o n´ umero de diagonais ´e maior do que n. 2

2

2

2

npn`1qp2n`1q 6

1 1¨3

1 3¨5

n`1

n

2

1

n

p2n´1qp2n`1q

2n`1

n

2

n`1

n

2

3

2n 2n

2n

15

1.6

Divis˜ ao Euclidiana

1.6.1

O Teorema

Teorema da Divis˜ao Euclidiana (TDE) Sejam a, b Prova:

P Z e b ‰ 0 ent˜ao existem u´nicos q, r P Z tais que a “ qb ` r  com 0 ď r ă |b|.

(Existˆencia) Pelo Teorema de Eudoxius existe q  Z tal que:

 P Se 0 ă b  ent˜ao qb ď a ă pq  ` 1qb “ qb ` b 6 0 ď a ´ qb e a ´ qb ă b “ |b|. Se b ă 0 ent˜ ao qb ď a ă pq  ´ 1qb “ qb ´ b 6 0 ď a ´ qb e a ´ qb ă ´b “ |b|. Considere r “ a ´ qb  tal que 0 ď r ă |b|. (Unicidade) (RAA) Supor a existˆencia de q  ‰ q  e r ‰ r tais que: a “ bq  ` r  com 0 ď r ă |b| e a “ bq  ` r com 0 ď r ă |b|. a “ bq  ` r “ bq  ` r 6 pbq  ` rq ´ pbq  ` r q “ 0 6 bpq  ´ q  q “ r ´ r Supor, sem perda de generalidade que, r ď r 6 0 ď r ´ r ă |b|. Assim, 0 ď r ´ r “ bpq  ´ q  q ă |b| 6 0 ď |b||q  ´ q  | ă |b| 6 0 ď |q  ´ q  | ă 1 6 |q  ´ q  | “ 0. Ent˜ao, q  “ q  e r “ r  (Contradi¸c˜ao!) 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Logo, q  e r s˜ao u ´nicos.

1.6.2

Algoritmo da Divis˜ ao Algoritmo 1.1   Algoritmo da Divis˜ ao  Entrada: a, b P Z` e b ‰ 0; Sa´ıda: q, r P Z  tais que a “ bq  ` r com  0 ď r ă |b|; In´ıcio q  Ð 0; r Ð a; Enquanto b ď r fa¸ ca r Ð r ´ b; q  Ð q  ` 1; Fim.

16

1

1

Exemplo:  Aplicando o algoritmo para a

“ 17 e b “ 3.

a

b

q

r

17 3 0 17 1 14 2 11 3 8 4 5 5 2 Assim, 17

1.6.3

“ 3 ¨ 5 ` 2 com 0 ď 2 ă 3.

Exerc´ıcios

1. Releia a demonstra¸c˜ao do TDE e apresente as justificativas. 2. Fa¸ca algoritmos para os casos: (a) 0 ď a  e b ă 0, (b) a ď 0 e 0 ă b  e (c) a ď 0 e b ă 0. 3. Calcule o quociente e o resto na divis˜ao euclidiana para: (a) a “ 1234 e b “ 54 (b) a “ 25 e b “ ´7 (c) a “ 6789 e b “ 754 4. Mostre que a soma de dois n´umeros pares ´e um n´umero par e que o produto de dois ´ımpares ´e um ´ımpar. 5. Considere que a “ 7q  ` 4. Indique o resto da divis˜ao de a2 ` 2a ` 1 por 7. 6. Quais s˜a o os n´ umeros inteiros que divididos por 4 d˜ao resto igual a` metade do quociente? 7. Mostre que todo x P Z, x: (a) x2 “ 3k ou x2 “ 3k ` 1 com k P Z. (b) x2 “ 4k ou x2 “ 4k ` 1 com k P Z. (c) x2 “ 6k ` r  com 0 ď r ă 6 e r ‰ 2, 5. 8. Considere trˆes inteiros consecutivos. Um deles ´e m´ultiplo de 3? 9. Sejam  a, n, m  P  Z `  tais que 1  ă  m  ă  n . Quantos inteiros divis´ıveis por a  existem entre 1 e n  ? 10. Determine todos os n´umeros de 3 algarismos divis´ıeis por 8, 11 e 12. 11. Se n, m P Z s˜ao ´ımpares ent˜ao 8 | n2 ´ m2 . 12. Para que valores de n P Z` , 2n ` 1 ´e um cubo ?

17

1.7

M´ aximo Divisor Comum

1.7.1

Defini¸c˜ ao e Propriedades

 P Z. O elemento d P Z ´e um m´aximo divisor comum de x e de y  quando:

Sejam x, y

Mdc1. d x e d y.

|

|

Mdc2.  Se existe c

P Z tal que c | x e c | y  ent˜ao c | d.

Nota¸ca˜o: mdc x, y  representa o m´ aximo divisor comum  positivo de x  e de y .

p q

 P Z. Se mdcpx, yq “ 1 ent˜ao x e y s˜ao ditos  primos entre si  ou  coprimos.

Sejam x, y

˜  1.17   Para quaisquer   x, y,z  Z, PROPOSIC¸AO

 P 1. mdcpx, mdcpy, z qq “ mdcpmdcpx, y q, z q “ mdcpx , y , zq  2. mdcpx, y q “ mdcpy, xq 3. mdcpx, ˘1q “ 1 4. mdcpx, 0q “ |x| 5. mdcpx, xq “ |x| 6. mdcpx, y q “ mdcp|x|, |y |q 7. Se  x | y  ent˜  ao mdcpx, y q “ |x|. 8. mdcpx, x ` 1q “ 1 Prova: 1. mdc x, mdc y, z 

p qq “ mdcpx, d q “ d 6 d | x e d | d . d  | y e d  | z  6 d | y e d | z . Assim, d | x , y , z.  Considere mdcpmdcpx, y q, z q “ mdcpd , z q “ d . Analogamente, d | x,y,z . Mas, d | d e d | d 6 d “ d . O conceito de m´aximo divisor comum pode ser estendido para n ě   2 elementos. elemento d P Z ´e um m´ aximo divisor comum de x , . . . , x  P Z quando: p

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

Mdc1. d x1 , . . . , d xn

|

n

| Mdc2.  Se existe c P Z tal que c | x , . . . , c | x  ent˜ao c | d. 1

n

18

O

˜  1.18   Sejam  a, b PROPOSIC¸AO com  0 r b.

ď  ă | |

 P Z, b ‰ 0.

Ent˜  ao mdc a, b

p q “ mdcpb, rq   sendo a “ qb ` r

“ mdcpa, bq 6 d | a e d | b 6 d | bq , com q  P Z. Ent˜ao, d | a ´ bq  6 d | r . Prova: Seja d

Assim, d  ´e um divisor comum de b e r.

P Z tal que c | b e c | r 6 c | bq , com q  P Z. Ent˜ao, c | bq  ` r 6 c | a. Mas d “ mdcpa, bq 6 c | d. Logo, d “ mdcpb, r q. Seja c

encia  do m´aximo divisor comum. ConsiCom essa proposi¸ca˜o temos a garantia da  existˆ dere a sequˆencia obtida por aplica¸ c˜oes do TDE:

“ ` 0 ď r  ă |b| 0 ď r  ă r “ ` 0 ď r  ă r  “ ` ...  “ ` r 0 ď r  ă r  “ 0“r Observe que, se  r  ‰ 0, o conjunto t|b|, r , r , . . . u Ď Z n˜ao seria limitado inferiormente e n˜ao teria menor elemento, contrariando o PBO. Como r  | r , mdcpr , r q “ r e mdcpa, bq “ mdcpb, r q “ ¨ ¨ ¨ “ mdcpr , r q “ r . a q 1 b r1 b q 2 r1 r2 r1 q 3 r2 r3 ... rn´2 q n rn´1 rn´1 q n`1 rn

1

n

2

1

3

2

n

n´1

n`1

n`1

1

2

n

n´1

1

n´1 n

n´1

n

n

n

mdc a, b e Temos a   unicidade   do m´aximo divisor comum, pois caso existissem c ao de divisibilidade d mdc a, b  tais que c d, c d e d c  e, pela anti-simetria da rela¸c˜ em Z` , c d  (Contradi¸ca˜o).

 “

p q “

 ‰

˜  1.19   Sejam  a, b PROPOSIC¸AO

 |

“

 |

P Z. Ent˜ ao existem  k,  P Z tais que  mdcpa, bq “ ka ` b.

Prova: Considere mdc a, b

p q“r . n

Vamos mostrar usando o segundo esquema de indu¸ c˜ao em n base: r1

p q

ě 1.

 “ a ` p´q  qb 6 k “ 1 e  “ ´q  . passo: (HI) Para todo i P N, 1 ď i ă n, existem k ,   P Z tais que r  “ k a `  b. r  “ r ´ q  r  “ pk a `  bq ´ q  pk a `  bq “ pk ´ q  k qa ` p ´ q   qb Assim, k  “ k ´ q  k e   “  ´ q   . Ent˜ao, para quaisquer a, b P Z existem k,  P Z tais que mdcpa, bq “ ka ` b. 1

n

n´2

n´2 n

1

n n´1

n´2

n n´1

n´2

n´2

n´2

n n´1

i

i

n

n´1

n n´1

n

n´2

19

n n´1

i

n´1

i

i

P Z e  d “ mdcpa, bq ‰ 0. 1. d |k | “ mdcpak, bkq, para todo k P Z. 2. d “ mdcpa, b ` ak q, para todo k P Z. 3. mdcp , q “ 1. 4. Se  a | bc e  d “ 1 ent˜  ao a | c. 5. Se  a | c, b | c, c ‰ 0 e  d “ 1 ent˜  ao ab | c.

˜  1.20   Sejam   a,b,c PROPOSIC¸AO

a d

b d

Prova:

“ mdcpa, bq 6 d | a e d | b 6 a “ dk e b “ d com k,  P Z. d “ mdcpa, bq “ mdcpdk, dq “ dmdcpk, q 6 mdcpk, q “ 1. k “ e  “ 6 mdcp , q “ 1. 4. 1 “ ka ` b 6 c “ cpka ` bq “ cpka q ` cpbq “ cka ` bc “ cka ` ma “ pck ` mqa. Assim, a | c. 3. d

a d

1.7.2

b d

a d

b d

Algoritmo Euclidiano e Algoritmo Euclidiano Estendido

A Proposi¸c˜ao 3.15 nos fornece o  algoritmo euclidiano  para a determina¸c˜a o do m´ aximo divisor comum positivo de dois inteiros.

Algoritmo 1.2   Algoritmo Euclidiano  Entrada: a, b P Z; Sa´ıda: mdcpa, bq; In´ıcio x Ð a; y  Ð b; Seja x “ yq  ` r com  0 ď r ă |y|; Enquanto r ‰ 0 fa¸ ca x Ð y; y  Ð r; Seja x “ yq  ` r com  0 ď r ă |y|; mdcpa, bq Ð y ; Fim.

20

Exemplo:  Aplicando o algoritmo para a x

y

“ 17 e b “ 3.

q r

17 3 5 2 3 2 1 1 2 1 2 0

ou

5 1 2 17 3 2 1 2 1 0

Temos que, mdc 17, 3

q “ 1.

p

Baseado na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.19 temos o seguinte esquema para o c´ alculo do m´aximo divisor comum, de k e de , denominado   algoritmo euclidiano estendido . r a b r1 r2 r3 ... rn

0

q

k

´ ´

 “  “  “  “



1 0 1 q 1 0 0 q 2k1

´ ´ ´ ´ ´

 “  “  “  “

0 1 0 q 1 1 1 q 21

´ ´ ´ ´ ´

q 1 k1 1 q 2 k2 2 q 3 k3 k1 q 3 k2 3 1 q 3 2 ... ... ... q n kn kn´2 q n kn´1 n n´2 q n n´1 q n`1

Exemplos: 1. mdc 10395, 2145

p

q “ 165 “ 6 ¨ 10395 ` p´29q ¨ 2145 pois: r

q

k



10395 2145 1815 330 165 0

´ ´

1 0

0 1 4 1 1 4 5 5

4 1 4 0 1 0 1 1 5 1 5 1 2

´ ¨ “1 0´ ´ ¨ “ ´1 1 ´ ´ p´ q “ 6 ´4 ´ ´ 2. mdcp198, 23q “ 1 “ 5 ¨ 198 ` p´43q ¨ 23 j´a que:

¨ “ ´4 p´ q “ 5 ¨ “ ´29 ´

r

q

k



198 23 14 9 5 4 1 0

´ ´

1 0

0 1 1 8 9 17 26

8 1 1 1 1 4

1 8 0 1 1 1 1 1 2 1

0 ´ 8 ¨ “ ´8 ´ ¨0“1 ´ ¨ 1 “ ´1 1 ´ 1p´ q “ 9 ´ p´1q “ 2 ´8 ´ 1 ¨ “ ´17 ´ ´ ¨ 2 “ ´3 9 ´ 1p´ q “ 26 ´ p´3q “ 5 ´17 ´ 1 ¨ “ ´43 ´ ´ 21

3. mdc 10395, 2145, 198

p

´

q “ mdcpmdcp10395, ´2145q, 198q “ mdcp165, 198q r

q

k



1 0

0 1 1 1

198 165 33 1 1 0 5

´ ´

´ 1 ¨ 0 “ 1 0 ´ ¨ “ ´1 ´ ´ Assim, mdcp165, 198q “ 33 “ 1 ¨ 198 ` p´1q ¨ 165 Ent˜ ao, mdcp10395, ´2145, 198q “ 33 “ 1 ¨ 198 ` p´1q ¨ 165 “ “ 1 ¨ 198 ` p´1q ¨ p6 ¨ 10395 ` p´29q ¨ 2145q “ “ 1 ¨ 198 ` p´1q ¨ p6 ¨ 10395 ` 29 ¨ p´2145qq “ “ 1 ¨ 198 ` p´6q ¨ 10395 ` p´29q¨p´2145qq. 1.7.3

Equa¸c˜ oes Diofantinas

ao A equa¸ca˜o  ax by c  com  a, b, c Z coeficientes e x  e  y  inc´ognitas ´e denominada  equa¸c˜ diofantina linear em duas vari´ aveis . O par x0 , y0 Z Z ´e uma  solu¸c˜ ao  da equa¸ca˜o quando ax0 by0 c.

`  “ P  p q P ˆ `  “ Exemplo:   Os pares p6, 0q, p4, 1q, p´6, 6q e p10, ´2q s˜ao solu¸c˜oes da equa¸ca˜o 3x ` 6y “ 18, mas p1, 1q n˜ao ´e. ao ax ` by  “ c com   a,b,c  P Z  possui solu¸c˜  ao se e somente se  P  1.21   A equa¸c˜  mdcpa, bq | c. ˜ ROPOSIC ¸ AO

Prova:

pÑq  Sejam x , y  P Z tais que ax ` by  “ c. d “ mdcpa, bq 6 d | a e d | b 6 d | ax ` by 6 d | c. pÐq d “ mdcpa, bq 6 d “ ka ` b d | c 6 c “ m d 6 m d “ m pka ` bq 6 c “ pm k qa ` pm qb Considere x  “ m k e y  “ m . C  1.22 Se  mdcpa, bq “ 1  ent˜  ao para todo c  P Z, a equa¸c˜  ao ax ` by  “ c   possui  0

0

0

0

0

0

0

0

´ OROLARIO

solu¸c˜  ao.

Exemplo:  A equa¸ca˜o 27x

´ 13y “ 54 possui solu¸c˜ao j´a que mdcp27, 13q “ 1 | 54.

Para obtermos uma solu¸c˜ao aplicamos a algoritmo euclidiano estendido. r

q

k

27 1 13 0 1 2 1 0 13

´ ´



0 1 2

´ ´ ´

22

Assim, 1

“ 1 ¨ 27 ` p´2q13 “ 1 ¨ 27 ` 2p´13q 6 54 “ 54 ¨ 27 ` 108p´13q Ent˜ao, x  “ 54 e y  “ 108. 0

0

˜  1.23   Seja  x , y Z Z uma solu¸c˜  ao da equa¸cao ˜  ax by c. Ent˜  ao para  PROPOSIC¸AO 0 0 todo t Z, x0 t mdcbpa,bq , y0 t mdcapa,bq  tamb´em ´e solu¸c˜  ao da equa¸c˜  ao e qualquer outra  solu¸c˜  ao tem esta forma.

 p

´  `

 P

qP ˆ  ´

`  “

¯

Prova:

´

`

ax0

` by

1) a x0

¯` ´ ´ ¯“ ´ ¯ `  ´ “

t mdcbpa,bq

0

t mdcapa,bq

b y0

t a mdcbpa,bq

b mdcapa,bq

ax0

ax0

` at

b mdcpa,bq

 ` by ´ bt 0

a mdcpa,bq

 “

` by ` t 0 “ ax ` by  “ c 0

0

0

2) Considere x1 , y1  outra solu¸ca˜o.

 p

q

Assim, ax0

` by  “ ax ` by  “ c 6 apx ´ x q “ bpy ´ y q. Seja d “ mdcpa, bq 6 a “ dk e b “ d. dk px ´ x q “ dpy ´ y q 6 k px ´ x q “ py ´ y q 6 k | py ´ y q. Mas, mdcpk, q “ 1 6 k | y ´ y 6 y ´ y  “ k m 6 y  “ y ´ k m. Ent˜ao, y  “ y ´  m “ y ´  m . Substituindo y ´ y  “ k m em k px ´ x q “ py ´ y q  temos que: k px ´ x q “ pk mq 6 x ´ x  “  m.  m . Assim, x  “ x `  m “ x ` 1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

a d

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

a mdcpa,bq

1

0

1

1.7.4

0

1

0

0

1

0

0

b mdcpa,bq

Exerc´ıcios

1. Complete as demonstra¸co˜es. 2. Para quaisquer  x, y , k

 P Z, k ‰ 0, x | y  se e somente se xk | yk ?

3. Calcule o mdc  indicando  k,,m, n  quando for o caso. (a) 35 e 14 (b) 180 e 252 (c) 198 e

 ´51

(d) 1234, 54 e 23 (e)

´6643, ´2873, 143 e 83. 4. Considere a ą 1 e b P Z. Mostre que ou indique um contra-exemplo: 23

(a) mdc a, 2a

p ` 1q “ 1 (b) mdcp2a ` 1, 3a ` 1q “ 1 (c) mdcpa! ` 1, pa ` 1q! ` 1q “ 1 (d) mdcpa ˘ b,abq “ 1 (e) mdcpa ` b, a ` b q “ 1 ou 2 (f) mdcp2a ` b, a ` 2bq “ 1 ou 3 5. Considere a, b P Z, a ‰ b. Existem infinitos k P Z   tais que mdcpa ` k, b ` k q “ 1? 2

2

6. k e   da Proposi¸ca˜o 1.19 s˜ao u ´ nicos? Justifique. 7. Defina m´ınimo m´ultiplo comum e mostre que para quaisquer a, b

p q

PZ

`,

p q “ a b.

mdc a, b mmc a, b

8. Indique as solu¸c˜oes: (a) 56x

` 72y “ 40 (b) 84x ´ 438y “ 156 (c) 27x ´ 13y “ 54 9. Indique as solu¸c˜oes positivas: (a) 5x

´ 11y “ 29 (b) 58x ´ 87y “ 290 (c) 30x ` 17y “ 300 10. Determine o menor inteiro positivo que dividido por 8 deixa resto 6 e dividido por 15 deixa resto 13. 11. Exprimir o n´ umero 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que a primeira parcela seja m´ ultipla de 7 e a segunda m´ ultipla de 11.

24

´ Primos e Teorema da Fatora¸ c˜ ao Unica

1.8

O elemento p Z, p 1 ´e um  n´ ´ nicos divisores s˜ao umero primo  quando seus u umero composto. Caso contr´ ario, ´e denominado n´

P

‰˘

 ˘1 e ˘ p.

˜  1.24   Seja  p PROPOSIC¸AO

P Z um primo e  a, b P Z. 1. Se  p | ab  ent˜  ao p | a ou  p | b. 2. mdcp p, aq “ 1 ou  p.

Prova: 1. p    a 6 mdc  p, a

p q “ 1 6  p | b.

´ Teorema Fundamental da Aritm´etica ou Teorema da Fatora¸c˜ ao Unica (TFU) Todo inteiro a Z, a 0 e a 1 pode ser escrito de forma u´nica como um produto a  pn  sendo n 1 e p1  p2  pn n´ 1  p1  p2 umeros primos.

P ‰ “ ˘ ¨ ¨ ¨¨¨¨¨

‰˘ ě

 ď  ď ¨ ¨¨ ď

Prova: A existˆencia da fatora¸c˜ao pode ser demonstrada usando-se o segundo esquema de indu¸ca˜o. (base) a

“ ˘1 p  ´e um primo, n˜ao h´a o que provar. 1

(passo) (HI) Supor que vale a proposi¸ca˜o para qualquer 1 Seja a

“ k  ´e um n´umero composto.

ă x ă a.

Por (HI) tanto k  quanto   possuem fatora¸c˜oes primas.

 “ ˘1 ¨ p ¨ p ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  p  “ ˘1 ¨  p ¨ p ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  p a “ ˘1 ¨  p ¨  p ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  p ¨  p ¨  p ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  p . k

k1

k2

kn

k1

k2

kn

1

2

m

1

2

m

Ap´os uma reordena¸c˜ao dos fatores, obtemos o resultado desejado. (Unicidade) Supor que existam duas fatora¸c˜oes distintas com n, m

ą 1.

“ ˘1 ¨ p ¨ p ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  p  “ ˘1 ¨ q  ¨ q  ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ q  .  p  | q  ¨ q  ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ q  6  p  | q  , para algum  i , 1 ď i ď m. Como  q   ´e primo,  p  “ q  e q   ď  p . Analogamente, q   “  p , para algum j , 1 ď  j ď n  e p  ď q  . Assim, p  “ q  e p ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  p  “ q  ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ q  . Repetindo o processo, n “ m e p  “ q   (Contradi¸c˜ao). Outra forma de enunciar o TFU ´e: todo inteiro a P Z, a ‰ 0 e a ‰ ˘1 pode ser escrito como a “ ˘1 p p   . . . p a

1

1

1

2

1

n

2

1

m

1

1

 j

2

1

m

2

i

i

1

n

m

2

i

i

e1 e2 1

25

2

en n

1

1

i

1

1

sendo p1

 ă  p  ă ¨¨ ¨ ă  p n´umeros primos e e  ą 0, i “ 1, . . . , n Considere b “  p p   . . . p   . Podemos rever as defini¸co˜es de mdc e de mmc. n

2

i

h1 h2 1

hn n

2

minte1 ,h1 u

p q “  p

mdc a, b

1

 

maxte1 ,h1 u

p q “  p

mmc a, b

 P Z

LEMA  1.25   Seja  p menor ou igual a  p.

`   um

ten ,hn u . . . pmin n

 

1

ten ,hn u . . . pmax n

primo. Ent˜  ao 2 3

 p ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  pq ` 1 n˜ ao possui um fator primo

Prova: (RAA) Supor que existe um primo q   p  tal que q 

 ď  | p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  pq ` 1. p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  pq ` 1 “ qk 6 qk ´ p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  pq “ 1. ˜o). q  | qk e q  | p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ q  ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  pq 6 q  | qk ´ p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  pq “ 1 6 q  “ 1 (Contradi¸ca

umeros primos. Teorema de Euclides : Existem infinitos n´ Prova: (RAA) Supor que existe um n´ umero finito de primos. Ent˜ao, existe um certo primo p  maior do que todos os outros. Considere a

“ p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨  pq ` 1, a ‰ 0 e a ‰ ˘1.

Pelo Lema 1.25, a n˜ao possui divisor primo menor ou igual a p. Como p  ´e o maior primo, a n˜ao tem fatores primos. Contradi¸c˜ao com o TFU. ˜  1.26 Se  n PROPOSIC¸AO e  p2 n.

ď

 ą 1  ´e um n´ umero composto ent˜ ao existe um primo p  tal que  p | n 2

Prova: n

“ ab  com 2 ď a ď b ă n e n “ ab ě a . ?  Se p  ´e um divisor primo de a 6  p | a 6  p ď a ď n 6  p ď n p6  p ď nq. ?  ao n  ´e primo. C  1.27 Se  n ą 1 n˜  ao ´e divis´ıvel por nenhum primo p ď n  ent˜  2

2

2

2

2

´ OROLARIO

1.8.1

Exerc´ıcios

Mostre que: 1. Sejam  a, b, k

 P Z e mdcpa, kq “ mdcpb, kq “ 1. Ent˜ao mdcpab,kq “ 1.

2. Todo n´ umero racional n˜ ao nulo se escreve de forma u´nica como entre si e b 0.

ą

26

a b

com a e b  primos

 ? a.

3. Se a  ´e composto ent˜ao a  possui um fator primo menor ou igual a 4. 7 ´e o u´nico primo da forma n3 5.

? 2 ´e um n´umero irracional.

1.8.2

´ 1, n ą 0.

Crivo de Erat´ ostenes

O Crivo de Erat´ ostenes (grego, 285-194 a.C.), ´e um algoritmo bem simples e pr´ atico que nos permite determinar todos os n´ umeros primos positivos menores ou iguais a um inteiro positivo n  fixado, descrito a seguir: 1. Listamos todos os n´ umeros naturais ´ımpares de 3 a n. N˜ao listaremos os pares pois o u ´nico natural par que ´e primo ´e o 2. Como exemplo faremos n

“ 91.

3 21 39 57 75

5 23 41 59 77

7 25 43 61 79

9 27 45 63 81

11 29 47 65 83

13 31 49 67 85

15 33 51 69 87

17 35 53 71 89

19 37 55 73 91

2. Consideremos a lista p1 , p2 ,...,pm  de todos os n´ umeros primos positivos que s˜ ao menores ou iguais a n.

 ? 

No nosso exemplo, como

? 91 – 9, temos a lista 2, 3, 5 e 7.

3. Dos n´ umeros listados no Item 1, em primeiro lugar eliminamos todos os m´ ultiplos de p 1 exceto p1 . Em segundo lugar, todos os m´ ultiplos de p2  exceto p2, e, assim por diante, at´e pm . No exemplo, devemos eliminar, em primeiro lugar, todos os m´ ultiplos de 3 exceto 3, todos os m´ ultiplos de 5 exceto 5 e, finalmente, todos os m´ ultiplos de 7 exceto 7. 3 / 21 / 39 / 57 / 75

5 23 41 59 /77

7 /25 43 61 79

/9 /27 /45 /63 /81

11 29 47 /65 83

13 31 /49 67 /85

/15 /33 /51 /69 /87

17 /35 53 71 89

19 37 /55 73 /91

Os n´ umeros n˜ ao eliminados s˜ao exatamente os n´ umeros primos positivos menores ou iguais a 91. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89

27

1.9

Dicas para solu¸c˜ ao de alguns exerc´ıcios

1.9.1

Prop 1.11 item 12

Considere 0

ď x ď y ă z . x ď y 6 x ` p´xq ď y ` p´xq 6 0 ď y ´ x y ă z  e ´x ď 0 6 y ` p´xq ă z  ` 0 6 y ´ x ă z . Ent˜ ao, 0 ď y ´ x ă z . 1.9.2

Prop 1.12 item 6

|x ´ y| “ |x ` p´yq | ď |x| ` | ´ y| “ |x| ` |y| Observe que, x “ px ´ y q ` y 6 |x| “ | px ´ y q ` y | ď |x ´ y | ` |y | Assim, |x| ´ |y | ď |x ´ y |. 1.9.3

Eudoxius

Considere 0

ă x, y. Seja A “ tky  | 1 ă k e x ă ky u 6 y  R A 6 1 ă x. A ‰ H, pois x ă px ` 1qy . Como e o sucessor de algum n´ umero inteiro, considere pn ` 1qy  o menor elemento de A. Mas, x  ´ n ă n ` 1 6 ny ă pn ` 1qy 6 ny R A. Como a rela¸c˜ ao de ordem ´e total, ny ď x. 1.9.4

Prop 1.14 item 10

| 6 y “ xk com k P Z e y | x 6 x “ y com  P Z. x “ pxkq “ xpk q 6 k “ 1 6 k “  “ 1 ou k “  “ ´1 Ent˜ ao x “ y ou x “ ´y . Se x y

1.9.5

Stifel

` ˘`` ˘“ n

n k

k´1

1.9.6

n! pk´1q!pn´k`1q!

 `

n! k!pn´kq!

 “

k n!`pn´k`1q!n! k!pn´k`1q!

“

pn`1q!n! k!pn´k`1q!

Newton n

pa ` bq “

ř `˘ “ ř `˘ n i“0

n i

an´i bi

Indu¸ca˜o em n (base) n

1:

1

i“0

n i

an´i bi

“

` ˘ `` ˘ 1 0

a1 b0

1 1

28

a0 b1

“a`b

 “

pn`1q! k!pn´k`1q!

` “ ˘ n`1 k

ř `˘ p ` q “ p ` qp ` q “ p ` q ` p ` q p ` q “ př ` ˘ q “ ř ` ˘ “ “ ` ˘ `` ˘ `¨¨¨`` ˘ `` ˘ p ` q “ př ` ˘ q “ ř ` ˘ “ “` ˘ `` ˘ `¨¨¨`` ˘ `` ˘ p ` q ` p ` q “ř ` ˘ `ř ` ˘ “ “ ` ˘ ` p` ˘ ` ` ˘q ` ¨ ¨ ¨ ` p` ˘ ` ` ˘q ` ` ˘ “ `` ˘ `¨¨¨`` ˘ ` “ ` ˘ `` ˘ `¨¨¨`` ˘ `` ˘ “ř ` ˘ k i“0

k

(passo) (HI) a

 p ` bq “ a

a a

b

k

k i“0

a

k 0

b a

b

k

b

k 0

k`1

k

a

b a

k i“0

k i“0

k

1

k

a a

b

k

b a

b

k

(1.1)

ak´i`1 bi

k k´1

ak´i bi

ak b

b

k i

ak b

1

k i

ak´i bi

ak´i bi

ak`1 k i“0

b

k i

k i

k i

k k

a2 bk´1

abk

ak´i bi`1 k k´1

ak´1 b2

k k

abk

bk`1

Substituindo na equa¸ca˜o 1.1, a a

b

k

b a

b

k i“0

k

k

k i

ak`1

0

k`1

ak`1 k`1 0

1

1.9.7

k

k

0

1

1

k`1 i

k i

ak´i bi`1

k k´1

ak b

k`1 k

ak b

k`1

ak`1

k `1 i“0

k i“0

ak´i`1 bi

abk

k k

bk`1

bk`1

abk

k`1 k

ak b

k k

abk

k`1 k`1

bk`1

apk`1q´i bi

Ex. 1.7.4 item 5

Observe que, k 1 mdc 3, 4 mdc 3, 5 mdc 3, 6 mdc 3, 7

p q q“1 q“2 q“1 q“2

mdc a, b mdc 2, 3 mdc 2, 4 mdc 2, 5 mdc 2, 6 ...

p p p p

p p p p

 “

q“1 q“1 q“3 q“1

k 2 mdc 4, 5 mdc 4, 6 mdc 4, 7 mdc 4, 8

p p p p

 “

q“1 q“2 q“1 q“4

k 3 mdc 5, 6 mdc 5, 7 mdc 5, 8 mdc 5, 9

p p p p

 “

q“1 q“1 q“1 q“1

k 4 mdc 6, 7 mdc 6, 8 mdc 6, 9 mdc 6, 10

p p p p

 “

q“ q“ q“ q“

k 5 1 mdc 7, 8 2 mdc 7, 9 3 mdc 7, 10 2 mdc 7, 11

p p p p

Todos os pares poss´ıveis s˜ ao obtidos a partir da primeira coluna. Vamos analisar a Seja p

“ 2 e b ą 3.

ą 1 um primo tal que p ą 2 e p    b ´ 2. Assim, mdcp2 ` p p ´ 2q, b ` p p ´ 2qq “ 1.

Mas, existem infinitos primos nestas condi¸c˜oes. Por exemplo, para a

1.9.8

“ 2 e b “ 4 6  p P t3, 5, 7, 11, . . . u.

Ex. 1.8.1 item 3 / 4

 ?  ă  ?  ă ? a? a “ a. “  ą  ? 

3. Considere d a 6 a dk com k 1. Se a d e a k 6 a dk Contradi¸ca˜o. Logo, a  possui um fator primo menor ou igual a a.

|

“

 ą

29

 “

q“1 q“1 q“1 q“1

...

4. Considere n n3

ą 0. ´ 1 “ pn ´ 1qpn ` n ` 1q. Se n ´ 1 ´e primo sua fatora¸c˜ao ´e trivial ent˜ao n ´ 1 “ 1, caso 2

3

contr´ ario obter´ıamos n´ umeros negativos. Como, n

2

3

´ 1 “ 1 6 n “ 2 6 n ` n ` 1 “ 7. Logo, 7 ´e o u´nico primo da forma n ´ 1.

30

Cap´ıtulo 2 Anel dos Inteiros M´ odulo n 2.1

Revendo Rela¸co ˜es de Equivalˆ encia

ca ˜o de A A  ´e uma   rela¸ Considere o conjunto A n˜ao vazio. Uma rela¸c˜ao bin´aria equivalˆencia em A  quando ´e reflexiva, sim´etrica e transitiva. A classe de equivalˆ encia do elemento a A  ´e o conjunto

 « Ď ˆ

P

¯ a

“ ras “ tx P A; x « au.

O conjunto de todas as classes laterais

{  “ ta¯; a P Au

A

«

´e denominado o conjunto quociente de A  pela rela¸c˜ao

 «.

2.1.1

Propriedades

Considere

 « uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em A. P 2.1  Para todo a P A, a¯ ‰ H. Prova: a « a, pois « ´e reflexiva. Ent˜ao a P a ¯. ˜ ROPOSIC ¸ AO

˜ PROPOSIC¸AO 2.2   Sejam  a, b

P A. S˜ ao equivalentes:

1. a

«b 2. a P ¯b 3. b P a ¯ 4. a¯ “ ¯b 31

Prova:

p1 Ñ 2q a « b 6 a P ¯b. p2 Ñ 3q a P ¯b 6 a « b 6 b « a 6 b P a¯. p3 Ñ 4q b P a¯ 6 b « a 6 a « b. ¯ 6 x « a 6 x « b 6 x P ¯b 6  ¯a Ď ¯b. xPa Analogamente, ¯b Ď a ¯. Ent˜ao, a¯ “ ¯b. p4 Ñ 1q a P a¯ e b P ¯b. Seja x P a ¯ 6 x « a e a « x. Mas, x P ¯b “ a ¯ 6 x « b. Assim, a « b. ˜ PROPOSIC¸AO 2.3   Sejam  a, b

1. a¯ 2.

“ ¯b ou  a¯ X ¯b “ H  ¯a “ A

Ť

2.1.2

P A. Ent˜ ao:

aPA

Exerc´ıcios

1. Complete as demonstra¸co˜es. 2. Complete as tabelas abaixo, justificando. R1 Y R2 R1 X R2 R1 ´ R2 R1

Rela¸c˜ao Bin´aria sim sim sim sim

Rela¸c˜ao de Ordem

 Y  X ĺ1  ´ ĺ1

ĺ2

ĺ1

ĺ2

Rela¸c˜ao de Equivalˆencia

«1  Y «2 «1  X «2 «1  ´ «2 «1

ĺ2

ĺ1

3. Enumere todas as rela¸co˜es de equivalˆencia poss´ıveis em A

“ ta,b,cu.

4. Verifique se as rela¸co˜es s˜ao de equivalˆencia nos conjuntos indicados. (a) N: x

« y  quando x ` y “ 10 (b) N: x « y  quando mdcpx, y q “ 1 (c) N ˆ N:  p x, y q « pz, tq  quando x ` y “ z  ` t (d) Z ˆ Z :  p x, y q « pz, tq  quando xt “ yz  (e) Q: x « y  quando x ´ y P Z (f) C: x ` yi « z  ` ti  quando y “ t 5. Seja f  : A Ñ B  uma fun¸c˜ao do conjunto A  no conjunto B , A rela¸c˜ao R Ď A ˆ A tal que xRy  quando f pxq “ f py q. ˚

32

(a) Mostre Mos tre que ´e de equivalˆ equ ivalˆencia. enc ia. 2

(b) Para f  : R

Ñ R  tal que f pxq “ x ´ 5x ` 6, indique o conjunto quociente R {R. 6. Considere Considere a rela¸c˜ c˜ao ao de equi eq uivalˆ valˆenci en ciaa em C tal que x ` yi « z ` ti quando x ` y “ z  ` t . Indique Indiqu e a classe class e de d e equivalˆ e quivalˆencia encia 1 ` i. 7. Seja A “ tx P Z; |x| ď 5u e R Ď A ˆ A  tal que xRy  quando x ` 2x “ y ` 2y . 2

2

2

2

2

2

(a) Mostre Mos tre que ´e de equivalˆ equ ivalˆencia. enc ia. (b) Determine Determine o conjunto quociente quociente A R.

{

2.2

A Relac˜ c¸˜ ao ao de Con Congruˆ gr uˆ enc nciia M´ odulo odulo n

Considere Z Considere  Z,, n Z,  n 2 e a rela¸c˜ cao a˜o bin´aria aria  R Z Z  tal que aRb  quando n a b. Esta rela¸c˜ c˜ao ao ´e denominada deno minada rela¸c˜ cao a˜o de  cong ao  co ngruˆ ruˆencia enc ia m´ odulo odulo n em Z  e os elementos a e b s˜ao ongruos ongruos m´ odulo odulo n. ditos cˆ

P

Nota¸c˜ c˜ao: ao: a

2.2. 2.2.1 1

ě

Ď ˆ

| ´

” bmodn

Prop Propri ried edad ades es

Considere o anel Z, ,  e a rela¸c˜ cao a˜o de congruˆ congr uˆencia encia m´ odulo odulo n em Z.

 r ` ¨s

˜ RO POSIC ¸ AO PROP 2.4   Sejam   a,b,c,d,m,p

P Z, m, p ě 2 e  p  primo.

1. A rela¸c˜  c˜  ao de congruˆencia enci a m´  odulo n  ´e de equiv equ ival alˆˆenci en ciaa. 2. a

” bmodn  se e somente se  a a e  b  possuem o mesmo resto na divis˜ ao euclidiana por  n. 3. Se  a ” bmodn  ent˜  ao a ˘ c ” b ˘ cmodn. 4. Se  a ` b ” cmodn  ent˜  ao a ” c ´ bmodn. 5. Se  a ” bmodn  ent˜  ao ac ” bcmodn. 6. Se  a ” bmodn  ent˜  ao ´a ” ´bmodn. 7. (Compatibil (Compatibilidade idade da rela¸ c˜  c˜  ao de congruˆencia encia com a opera¸ cao c˜  ˜  de adi¸c˜  cao) ˜  Se  a

” bmodn e  c ” dmodn  ent˜ ao a ˘ c ” b ˘ dmodn.

8. (Compatibil (Compatibilidade idade da rela¸ c˜  c˜  ao de congruˆencia encia com a opera¸ cao c˜  ˜  de multiplica¸c˜  cao) ˜  Se  a

” bmodn e  c ” dmodn  ent˜ ao ac ” bdmodn. 9. Se  a ” bmodn  ent˜  ao a ” b modn. 10. Se  a ” bmodn e  m | n  ent˜  ao a ” bmodm . m

m

33

11. Se  a

” bmodn e  c ą 0  ent˜ ao ac ” bcmodnc. 12. Se  a ” bmodn, c ą 0, c | a, c | b e  c | n  ent˜  ao  ”  mod 13. Se  ac ” bcmodn e  mdcpc, nq “ 1  ent˜  ao a ” bmodn. 14. Se  ac ” bcmodn e  mdcpc, nq “ d  ent˜  ao a ” bmod . 15. Se  ac ” bcmodp e  p    c  ent˜  ao a ” bmodp. a c

b c

n c

.

n d

Prova: 1.

(refl.) n x

| ´ x “ 0 6 x ” xmodn. (sim.) x ” ymodn 6 n | x ´ y 6 x ´ y “ kn com k P Z 6 p´1qpx ´ yq “ p ´1qkn 6 y ´ x “ p´k qn 6 n | y ´ x 6 y ” xmodn. (trans.) x ” ymodn e y ” z mod mod n 6 n | x ´ y e n | y ´ z  6 x ´ y “ kn  e y ´ z  “  “ n com k,  P Z 6 px ´ y q ` py ´ z q “ kn ` n 6 x ´ z  “ mod n.  “ pk ` qn 6 n | x ´ z  6 x ” z mod 2.

pÑq a ” bmodn 6 n | a ´ b 6 a ´ b “ kn com k P Z 6 a “ kn ` b. Pelo TDE, b “ n ` r  com 0 ď r ă n 6 a “ kn ` pn ` rq “ pk ` qn ` r com 0 ď r ă n. pÐq a “ kn ` r e b “ n ` r  com 0 ď r ă n. a ´ b “ pkn ` rq ´ pn ` rq “ pk ´ qn 6 n | a ´ b 6 a ” bmodn. 3. a ” bmodn 6 n | a ´ b 6 a ´ b “ kn com k P Z 6 a “ kn ` b. a ` c “ pkn ` bq ` c 6 a ` c “ kn ` pb ` cq 6 pa ` cq ´ pb ` cq “ kn 6 n | pa ` cq ´ pb ` cq 6 a ` c ” b ` cmodn. Analogamente, a ´ c ” b ´ cmodn. 13. ac ” bcmodn 6 n | ac ´ bc 6 n | pa ´ bqc e mdcpc, nq “ 1 6 n | a ´ b 6 a ” bmodn. 14. ac ” bcmodn 6 n | ac ´ bc 6 n | pa ´ bqc 6 pa ´ bqc “ kn mdcpc, nq “ d 6 c “ d e n “ dm 6 pa ´ bqd “ kdm 6 pa ´ bq “ km 6 m | pa ´ bq. Como mdcp, mq “ 1, m | a ´ b 6 a ” bmodm “ . n d

15. Corol´ario ario do item 13.

34

2.2.2 Seja  a •

Crit´ erios erios de Divisibilidade

PZ

`.

Considere  a

“ 1a

m

10m am´110m´1 . . . a1 10 a0  com  co m a i

`

` `

`

 P Z

` ,  i

“ 1, . . . , m.

 Para o 2 Como, 10

” 0 mod 2, 10 ” 0 “ 0 mod 2, i ě 2, x 10 ” x 0 “ 0 mod 2, x P Z  e x ” xmod 2. i

i

i

Temos que,

am 10m

” 0 mod 2 10 a ” 0 mod 2 ... a 10 ” 0 mod 2 a ” a mod 2 ` . . . ` a 10 ` a  ” 0 ` 0 ` . . . ` 0 ` a  mod 2. m´1

m´1

1

0

Ent˜ ao, ao, am 10m

m´1

0

` a 10 Desta forma, a ” a  mod 2. Se a  ” 0 mod 2 ent˜ ao ao a ” 0 mod 2 caso contr´ ario ario a ı 0 mod 2. Logo, a ” 0 mod 2 quando a  P t0, 2, 4, 6, 8u, isto ´e, a ´e multiplo u ´ltiplo de 2 quando o algarismo m´1

1

0

0

0

0

0

da unidade for um n´ umero umero par.

•

 Para o 3 Como, 10

” 1 mod 3, 10 ” 1 “ 1 mod 3, i ě 2, x 10 ” x 1 “ xmod 3, x P Z  e x ” xmod 3. i

i

i

Temos que,

am 10m

” a mod 3 a ” a mod 3 10 ... a 10 ” a mod 3 a ” a mod 3 Ent˜ ao, ao, a 10 ` a 10 ` . . . ` a 10 ` a  ” a ` a ` . . . ` a ` a  mod 3. Desta forma, a ” a ` a ` . . . ` a ` a  mod 3. Se a ` a ao a ” 0 mod 3 ` . . . ` a ` a  ” 0 mod 3 ent˜ao caso contr´ ario ario a ı 0 mod 3. Logo, a ” 0 mod 3 quando a soma de seus algarismos for um m´ ultiplo ultiplo de 3. m´1

m

m´1

m´1

1

1

0

m

m

m´1

m´1

m

m´1

1

m´1

m

1

0

0

1

0

0

35

m

m´1

1

0

•

 Para o 11 Como, 10

” ´1 mod 11, para todo i ě 2, se i  ´e par ent˜ao 10 ” 1 mod 11 sen˜ao 10 ” ´1 mod 11, para todo i ě 2, se i  ´e par ent˜ao x10 ”“ xmod 11 sen˜ao x10 ” ´xmod 11 e x ” xmod 11. i

i

i

i

Temos que,

am 10m

m

mod 11 ” p´1q a 10 a ” p´1q a mod 11 ... a 10 ” ´a mod 11 a mod 11 ” a a 10 ` a ` . . . ` a 10 ` a  ” p´1q a `p´1q a ` . . . ´ a ` a  mod 11. 10 Desta forma, a ” p´1q a ` p´1q a ` . . . ´ a ` a  mod 11. Ent˜ ao, a ” 0 mod 11 quando p´1q a ` p´1q a ` . . . ´ a ` a  ” 0 mod 11. m m´1

m´1

m´1

1

1

0

m

m

m´1

m´1

0

1

m

m´1

m

0

m´1

m

m

m´1

1

m´1

m

m´1

m

m´1

1

0

0

m´1

1

0

2.2.3   Tratando   Express˜ oes •

 A quest˜ao “10200

” 1 mod 11?”pode ser respondida afirmativamente pois: 10 ” ´1 mod 11 6 10 ” p´1q “ 1 mod 11. 200

•

 A quest˜a o “712 545 Como, 7

17

`8

200

´e divis´ıvel por 3?”pode ser respondida negativamente pois:

12

” 1 mod 3 6 7 ” 1 mod 3, 54 ” 5 ` 4 “ 9 ” 0 mod 3 6 54 ” 0 mod 3 e 8 ” ´1 mod 3 6 8 ” p´1q “ ´1 mod 3. Assim, 7 54 ` 8 ” 1 ¨ 0 ` p´1q “ ´1 ” 2 mod 3. Ent˜ ao, o resto da divis˜ a o de 7 54 ` 8 por 3 ´e igual a 2. Logo, 7 54 ` 8 n˜ao ´e divis´ıvel por 3. 5

17

12

5

17

17

12

12

2.2.4

5

5

17

17

Exerc´ıcios

1. Complete as demonstra¸co˜es. 2. Quantos s˜ ao os inteiros 0

ď x ď 100 tais que x ” 5 mod 8? 3. Indique o menor inteiro positivo para que x ” 6 mod 10. 4. Para todo m ě 4, 1 ` 2! ` 3! ` . . . ` m! ” 9 mod 12? 35

36

5. Estabele¸ ca crit´erios de divisibilidade para 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 12. 6. Indique o valor do resto euclidiano para cada um dos itens. r 10

3 42

5

8

`6 ” 5 ” 10 ” 6 ” 7 ” 13 ” 3 ” 2 ´1” 2 ” 20

135 35

1001 221 64

20

130

mod 5 mod 7 mod 7 mod 10 mod 11 mod 19 mod 31 mod 41 mod 263

7

7. Indique o algarismo da unidade de 7p7 q .

2.3

Fermat, Wilson e Euler

2.3.1

Fermat e Wilson

LEMA 2.5   Sejam   a,b,p

P Z com  p   primo. Ent˜ ao, 1. p | , 1 ď i ď  p ´ 1. 2. pa ` bq ” a ` b modp.

`˘  p i

 p

 p

 p

Prova:

` ˘“

1. Se i

 p

p!

1

1!p p´1q!

“16  “  p e p |  p. Se 1 ă i ď  p ´ 1 6 . “  “ Como P Z, o denominador dessa fra¸c˜ ao deve ser todo cancelado por certos fatores do numerador. Mas i ď p ´ 1 ent˜ ao p   i!. Assim, o fator p   do numerador n˜ ao ´e cancelado. Logo, p | . a b. 2. Pelo Binˆ omio de Newton, pa ` bq “ a ` b `  p | a b 6 pa ` bq “ a ` b ` a b ” a ` b ` 0 “ a ` b modp.

`˘  p i

ř `˘  p´1  p i“1 i

`˘ `˘  p i

pp p´1q...p p´i`1q i!

p! i!p p´iq!

 p i

 p´i i

 p

 p

 p

 p

 p

` ˘ ř ř `˘  p

 p´1  p i“1 i

37

 p´1  p i“1 i

 p´i i

 p´i i  p

 p

 p

 p

TEOREMA 2.6  (Teorema de Fermat) Seja  a, p

 p

P Z com  p  primo ent˜ ao a ” amodp.

Prova:  p

Caso a

ě 0:   (base) 0 “ 0 ” 0 modp. (passo) (HI) a ” amodp . pa ` 1q ” a ` 1 “ a ` 1 ” a ` 1 mod p. Caso a ă 0: ´a ą 0 6 p´aq ” ´amodp . Se p  ´e ´ımpar ent˜ ao p´aq “ ´a ” ´amodp 6 a ” amodp . Se p “ 2 ent˜ ao p´aq ” ´amod 2 6 ´pp´aq q”´p´aq mod 2 6 a ” a mod 2.  p

 p

 p

 p

 p

 p

 p

 p

 p

2

2

2

´ COROLARIO 2.7  (Pequeno Teorema de Fermat)

Seja  a, p

 p´1

P Z com  p ą 0 primo e  p    a  ent˜ ao a ” 1 modp.

Prova: a p

 p´1

” amodp 6 a

a

 p´1

” 1 a modp e mdcpa, pq “ 1 6 a ” 1 modp.

Exemplo: 347 23  47 6 322

” 4 mod 23 pois: ” 1 mod 23 6 p3 q “ 3 ” 1 “ 1 mod 23 6 3 ¨ 3 “ 3 ” 1 ¨ 27 ” 4 mod 23. 22 2

44

2

TEOREMA 2.8  (Teorema de Wilson) Seja  p

44

3

47

P Z primo ent˜ ao p p ´ 1q! ” ´1 modp.

A proposi¸c˜ao a seguir ´e a rec´ıproca do Teorema de Wilson e ´e um dos crit´erios ou testes de primalidade. ˜ PROPOSIC¸AO 2.9   Seja  n

P Z tal que  pn ´ 1q! ” ´1 modn  ent˜ ao n  ´e primo.

Prova: (RAA) Supor que n n˜ao ´e primo. Ent˜ao n de n 1 ! 6  p n 1 !.

“  pq   com 1 ă  p ă n  primo e  p  ´e um fator

 p ´ q | p ´ q pn ´1q! ” ´1 modn 6 n | pn ´1q! `1 6 pn ´1q! `1 “ nk 6 nk ´pn ´1q! “ 1 6  p | 1 6  p “ ˘1 (Contradi¸c˜ao).

2.3.2

Fun¸co ˜es   Especiais  e Euler

Considere  n  pα1 pα2 . . . pαk k ,  α i 0,  i 1, . . . , k , a fatora¸ca˜o em primos distintos. A seguir algumas fun¸c˜oes para contagem de elementos.

“

1

2

¨

Fun¸ca ˜o Omega: ω : Z

 ě

“

ÑZ

`

umero de fatores primos distintos de n  (do TFU). ω n ´e o n´

pq ω pnq “ k

38

Fun¸ca ˜o Pi: π  : Z`

 Ñ Z

`

π n ´e o n´ umero de primos positivos p

pq

Fun¸ca ˜o Tau: τ  : Z

ď n.

ÑZ

`

umero de divisores positivos n. τ  n ´e o n´

pq 2 n  primo τ pnq “ pα ` 1q . . . pα ` 1q cc Fun¸ca ˜o Sigma: σ : Z Ñ Z σ pnq ´e a soma dos divisores positivos n. n`1 n  primo σ pnq “ ... cc

"

k

1

`

# $& p q“% p´ q pq " p q“ ´ α

`1

 p1 1 ´1  p1 ´1

α

`1

pk k ´1  pk ´1

Fun¸ca ˜o de M¨ obius: µ  : Z˚` 0 1 1

µ n

 Ñ Z

p2 n  para algum primo p n 1 n  p1 . . . pk

| “ “

k

Fun¸ca ˜o Fi de Euler ou Fun¸c˜ ao Totiente: φ : Z` φ n

 Ñ Z ´e o n´ umero de elementos x ď n  tais que mdcpx, nq “ 1. n 1 n 1

φ n

`

n  primo

1

1

 p1

 pk

p ´ q . . . p1 ´ q

cc

TEOREMA  2.10  (Teorema de Euler) Seja  a, n

2.3.3

φpnq

P Z com  n ą 0. Se  mdcpa, nq “ 1 ent˜ ao a ” 1 modn.

Exerc´ıcios

1. Considere p  primo, indique x: 310 425

8

`6

200

10 2100 53 370 20

270 2100000 215 1 220 1 31000 11 p´1 6 7 8 9 8 9 10 11 12 13 6  p 4 ! 2 26!

` ´ ´

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ p ´ q ¨ 39

” xmod

5 11 11 13 13 17 31 41 101  p

5 7 p

ě5

29

2. Sendo p

ą 0 primo, indique: (a) mdcp p!, p p ´ 1q! ´ 1q (b) mdcp p!, p p ´ 1q! ` 1q 3

3. Determine α e β   para que n

α β

“ 2 5 7 tenha 84 divisores. 4. Se n  ´e par ent˜ao φp2nq “ 2φpnq. 5. Mostre que, se mdcpn, mq “ 1 ent˜ ao µpnmq “ µpnqµpmq. 6. Sejam a, n P Z, a, n ą 1 tais que mdcpa, nq “ mdcpa ´ 1, nq “ 1 ent˜ ao ” 0 mod n? 1 ` a ` ... ` a φpnq´1

2.4

Congruˆ encias

2.4.1

Congruˆ encia Linear

Considere a rela¸ca˜o de congruˆencia m´ odulo n em Z. Um conjunto de n   inteiros forma odulo n  se quaisquer dois elementos distintos s˜ao um   sistema completo de restos m´ incˆongruos m´ odulo n   1. O conjunto 0, 1, . . . , n 1  ´e denominado  sistema completo de res´ıduos m´ odulo n  ou um sistema completo de restos m´ınimos positivos m´ odulo n.

 ą

 t

´ u

Exemplo: 0, 1, 2, 3 e

 t

u  t´4, 1, 10, ´1u s˜ao sistemas completos de restos m´odulo 4.

˜  2.11 Se  r , . . . , rn   ´ PROPOSIC¸AO e um sistema completo de restos m´  odulo n 1 para todo a Z, existe um ´  unico x r1 , . . . , rn  tal que  a xmodn.

 t

P

u

Pt

u

”

 ą 1, ent˜ ao

ą 1, a, b P Z, a ‰ 0 e x  um s´ımbolo de vari´avel. A express˜ao ax ” bmodn encia linear . O elemento x P Z   ´e uma   solu¸c˜ ao da con´e denominada uma   congruˆ gruˆ encia linear  quando ax ” bmodn. Seja x P Z uma solu¸ca˜o de ax ” bmodn. Ent˜ ao x “ nq  ` x  com 0 ď x  ă n. Assim, ax “ apnq  ` x q “ anq  ` ax 6 ax ” anq  ` ax  ” ax  mod n 6 ax  ” bmodn Considere n

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

Todas as solu¸co˜es cˆ ongruas a  x 0 , isto ´e, todos os  x 1 uma u ´ nica solu¸c˜ao da congruˆencia.

40

0

0

0

1

P Z tais que x ” x  mod n, constituem 0

˜  2.12   A congruˆ encia linear  ax PROPOSIC¸AO somente se  mdc a, n b.

p q|

 ”   bmodn, a ‰ 0   admite solu¸c˜ ao em  Z se e 

Prova: Tanto na ida quanto na volta, basta lembrar que cada congruˆencia linear est´ a associada a uma equa¸ca˜o diofantina e vice-versa.

” bmodn 6 n | ax ´ b 6 ax ´ b “ ny,  para algum y P Z . Al´em disso, a diofantina ax ´ ny “ b  tˆem solu¸ca˜o quando mdcpa, nq | b. ax

Exemplo: Considere a congruˆencia linear 6x

” 15 mod 21.

21 6x

| ´ 15 6 6x ´ 15 “ 21y 6 6x ´ 21y “ 15 e pelo AEE r

q

k



21 6 3 3 0 2

1 0 1

0 1 3

´ ´

´ ´ ´ mdcp6, 21q “ 3 “ 21 ¨ 1 ` 6p´3q “ 6p´3q`p´21qp´1q 3 | 15 6 15 “ 6p´15q`p´21qp´5q 6 6p´15q ” 15 mod 21 Assim, x “ ´15 e x  “ 6, j´a que ´15 ” 6 mod 21. Os elementos do conjunto t6 ` 21,  P Zu  representam a mesma solu¸ca˜o para a congrˆencia. 1

0

´ COROLARIO  2.13 Se  x0  ´e uma solu¸cao ˜  de  ax  b mod n e  d mdc a, n  ent˜  ao o conjunto de todas as solu¸c˜  oes incongruentes m´  odulo n  da congruˆencia linear ´e 

 ”

" Prova: Se x0 , y0

 p

x0 , x0

`

n , x0 d

`

2n d

 , . . . , x0

 “

p q

` pd ´d 1qn

*

.

q P Z ˆ Z ´e solu¸ca˜o da equa¸c˜ao ax ´ ny “ b  ent˜ao para todo t P Z, n a x ` t ,y ´ t d d

´

tamb´em ´e solu¸ca˜o.

0

0

¯

n d

” bmodn  ´e x ` t , t P Z. t “ dq ` r  com 0 ď r ă d 6 x “ x ` t  “ x `pdq ` r q  “ x ` dq  ` r  “ x ` qn ` r x “ x ` qn ` r  ” x `   modn  com 0 ď r ď d ´ 1. (RAA) Supor que x ` r  ” x ` r  mod n  com 0 ď r ă r ă d. Ent˜ao r  ” r  mod n. Como mdcp , nq “ , r  ” r mod n. (Contradi¸c˜a o). Logo, as solu¸co˜es s˜ao incongruentes Assim, a solu¸c˜ao geral da congruˆencia linear ax n d

0

n d

0

0

m´odulo n.

n d

n d

n d

0

1

0

0

0

n d

0

n d

n d

n d

0

rn d

1 n

1

d

41

n d

1 n d

Exemplo:  Considere novamente a congruˆencia 6x

” 15 mod 21. O conjunto das solu¸co˜es incongruentes m´ odulo 21 ´e 6, 6 `  , 6 `



2¨21 3

21 3

(“t

6, 13, 20 .

u

˜  2.14 Considere a congruˆ PROPOSIC¸AO encia linear  ax  b mod n  tal que  d Ent˜  ao ax   bmodn  ´e equivalente `a congruˆencia  x kbd mod nd   sendo a n nd d e  d ka n com  ad , bd , nd , k ,  Z.

 ”

“

“ `

 ”

P

 “ mdc pa, nq | b.  “ a d, b “ b d,

 ”

Prova: Primeiro vamos provar que  ax

d

d

” bmodn ´e equivalente a` congruˆencia a x ” b  mod n . Como ax ”  b mod n sse a dx ” b dmodn d sse a x ” b  mod n , o conjunto solu¸c˜ao ´e o d

d

d

d

d

d

d

d

d

mesmo.

Agora, vamos mostrar que ad x

” b  mod n  ´e equivalente a` congruˆencia x ” kb  mod n . Observe que, d “ ka ` n 6 d “ ka d ` n d 6 d “ dpka ` n q 6 1 “ ka ` n . Ent˜ao, 1 ” ka  mod n . d

d

d

d

( ) ad x

Ñ

” b  mod n

d

d

d

d

d

d

d

d

” kb  mod n 6 x ” kb  mod n Assim, toda solu¸ca˜o de a x ” b  mod n  ´e tamb´em solu¸ca˜o de x ” kb  mod n . (Ð)   Seja x   uma solu¸ca˜ o de x  ” kb  mod n 6 x ” kb  mod n 6 1x ” kb  mod n ka x  ” kb  mod n . Como mdcpk, n q “ 1, a x  ” b  mod n . Desta forma, toda solu¸ca˜o de x ” kb  mod n  ´e solu¸ca˜o de a x ” b  mod n . d

d 6

ka d x

d

d

d

d

d

d

d

0

d 0

d

d

d

d 0

d

d

d

0

d 6

d

d

d

d

d

d

” bmodn  ´e equivalente a` congruˆencia x ” kb  mod n . d

Exemplo: 6x

2.4.2

d

0

d

d

d

Logo, ax

d

d

” 15 mod 21 ´e equivalente a` x ” p´3q5 “ ´15 ” 6 mod 7.

Sistema de Congruˆ encias Lineares

Dados k 2, n1 , n2 , . . . , nk congruˆencias lineares  ´e

ě

ą 1, a , a , . . . , a ‰ 0 e b , b , . . . , b P Z, um   sistema de 1

$’& ’%

k

2

1

” b  mod n ” b  mod n ... a x ” b  mod n a1 x a2 x k

1

1

2

2

k

k

2

k

ca ˜o do sistema  quando ´e solu¸ca˜o simultaneamente de cada uma O inteiro  x 0  ´e uma  solu¸ das congruˆencias lineares que o comp˜ oem. Considere que cada uma das congrˆencias que comp˜ oe o sistema tenha solu¸c˜ao  x0 , . . . , x0k , 1 n1 1 , 1 Z, . . . , x1k x0k nk 2 , 2 Z, respectivamente. As solu¸co˜es gerais s˜ ao x1 x0 isto ´e, x11 x0  mod n1 , . . . , x1k x0k mod nk . 1

 ”

1

 ”

 “

42

1

`

 P

 “  `

 P

Podemos reescrever o sistema, sem perda de generalidade, da seguinte forma:

Exemplo:

"

6x 3x

$’& ’%

” x  mod n ” x  mod n ... x ” x  mod n x x

01

1

02

2

0k

k

” 15 mod 21 , x  “ 6 e x  “ 2 6 ” 1 mod 5 01

02

˜  2.15 O sistema de congruˆ PROPOSIC¸AO encias 

se  mdc n1 , n2

p

q| b ´b . 1

2

"

x x

Al´em disso, se  x0  ´e uma solu¸c˜  ao do sistema e  m solu¸c˜  ao geral do sistema.

"

” 6 mod 21 ” 2 mod 5

x x

” b  mod n ” b  mod n 1

1

2

2

tem solu¸c˜  ao se e somente  1

“ mmcpn , n q  ent˜ ao x ” x  mod m  ´e a  1

2

0

Prova:

( ) Se x0  ´e uma solu¸ca˜o do sistema ent˜ ao existe t

P Z tal que: x  “ b ` n t e b ` n t ” b  mod n 6 n t ” b ´ b  mod n sse mdcpn , n q | b ´ b . (Ð) Se mdcpn , n q | b ´ b  ent˜ao a congruˆencia linear n y ” b ´ b  mod n  admite uma solu¸c˜ao y . Assim, b ` n y  ” b  mod n . E, b ` n y  ” b  mod n . Logo, b ` n y ´e Ñ

0

1

1

1

1

2

1

2

0

2

2

1

2

1

1

1

2

1

1

0

2

2

1

1

1

2

0

1

1

2

2

1

2

1

1

1

0

solu¸c˜ao do sistema.

Al´em disso, se x0  ´e uma solu¸c˜ao do sistema, m mmc n1, n2 e x1 indica uma solu¸ca˜o qualquer, ent˜ao x0 b1 mod n1 e x1 b1 mod n1 6 x0  x 1 mod n1 6 n1 x0 x1 . Analogamente, n2 x0 x1 . Assim, m x0 x1 6 x0 x1 modm.

 ”

 | ´

Exemplo: mmc 21, 5

"

x x

| ´

” 6 mod 21 ” 2 mod 5

 “

”

 ”

p

 ”

, mdc 21, 5

q

 | ´

q “ 1 | 6 ´ 2 “ 4, x  “ 27 ´e solu¸ca˜o do sistema e

p

0

q “ 105 . Assim, x ” 27 mod 105 ´e a solu¸c˜ao geral. p

1

$’& ’%  “

” b  mod n ” b  mod n tem solu¸c˜ ao se e somente  C  2.16  O sistema de congruˆencias  ... x ” b  mod n se  mdcpn , n q | b ´ b   para quaisquer  i, j 1, . . . , k com  i ‰ j . Al´ em disso, se  x   ´e uma  solu¸c˜  ao do sistema e  m “ mmcpn , n , . . . , n q   ent˜  ao x ” x  mod m  ´e a solu¸c˜  ao geral do ´ OROLARIO

i

 j

i

 j

1

2

k

sistema.

43

x x

1

1

2

2

k

k

0

1

0

TEOREMA  2.17  (Teorema Chinˆes do Resto) Sejam  n1, n2 , . . . , nk  1  tais que  mdc ni , n j  1, i, j  1 , . . . , k , i e  x1 , . . . , xk , respectivamente, solu¸c˜  oes das congruˆencias lineares 

 ą

p

m y n1

q“

 ‰ j ; m “ n n  . . . n

 “

1

2

k

 ” 1 modn , . . . , nm y ” 1 modn .

O sistema 

$’& ’%

geral dada por:

” b  mod n ” b  mod n ... x ” b  mod n x x

1

1

2

2

k

k

k

1

k

P Z  com solu¸cao ˜ 

tem solu¸c˜  ao para quaisquer  b1 , b2 , . . . , bk

” nm x b ` . . . ` nm x b  mod m.

x1

k k

1 1

k

1

Prova: Pelo Corol´ ario 2.16, o sistema tem solu¸ca˜o. m i ni

Como mdc ni , n j

q “ 1, i ‰  j, temos que mdcpn , q “ 1. Assim, cada congruˆencia linear y ” 1 mod n  tem solu¸c˜ao x , i “ 1, . . . , k . p

m ni

m xi ni

Se i

m nj

‰  j, ” 0 modn

i

 ” 1 modn

m i 6 nj x j b j

i

m xi bi ni

i 6

 ” b  mod n i

i

 ” 0 modn . i

Desta forma, para todo i m x1 b1 n1

Ent˜ao, x0

 “

“ 1, . . . , k, ` . . . ` mn x b ` . . . ` nm x b  ” 0 ` . . . ` b ` . . . ` 0 “ b  mod n .

m x b n1 1 1

i i

k k

i

i

i

i

k

` ... `

m x b nk k k

 ´e solu¸ca˜o do sistema

Novamente, pelo Corol´ ario 2.16, a solu¸ca˜o geral ´e x1 x1

$’& ’%

” b  mod n ” b  mod n ... x ” b  mod n x x

k k

1 1

k

44

1

2

2

k

k

” x  mod m, isto ´e, 0

” nm x b ` . . . ` nm x b  mod m. 1

1

.

2.4.3

Um Exemplo Completo

Considere o sistema

CL1: 2x

$& %

2x 4x 5x

” 1 mod 5 ” 1 mod 7 . ” 9 mod 11

” 1 mod 5 6 mdcp2, 5q “ 1 | 1 6 2x ´ 5y “ 1 6 2p´2q ´ 5p´1q “ 1 Mas, ´2 ” 3 mod 5 ent˜ ao 2 ¨ 3 ” 1 mod 5 6 3 ´e solu¸c˜ao. Como d “ 1, 3 ´e a unica  ´    solu¸ca˜o em um sistema completo de restos m´odulo 5. CL2: 4x ” 1 mod 7 6 mdcp4, 7q “ 1 | 1 6 4x ´ 7y “ 1 6 4 ¨ 2 ´ 7 ¨ 1 “ 1 4 ¨ 2 “ 8 ” 1 mod 7 6 2 ´e a unica  ´    solu¸ca˜o. CL3: 5x ” 9 mod 11 6 mdcp5, 11q “ 1 | 9 6 5x ´ 11y “ 1 6 5p´2q ´ 11p´1q “ 1 6 5p´18q ´ 11p´9q “ 9. Mas, ´18 ” 4 mod 11 6 5 ¨ 4 “ 20 ” 9 mod 11 6 4 ´e solu¸c˜ao.

$& %

” 3 mod 5 ” 2 mod 7 ao sistema original tem solu¸ca˜o pois: O sistema equivalente ” 4 mod 11 mdcp5, 7q “ 1 | 3 ´ 2,mdcp5, 11q “ 1 | 3 ´ 4 e mdcp7, 11q “ 1 | 2 ´ 4. Pelo TCR, m

x x x

“ 5 ¨ 7 ¨ 11 “ 385 e considere as congruˆencias lineares:

385 y 5

385 y “ 55y ” 1 mod 7 e y “ 35y ” 1 mod 11.  “ 77y ” 1 mod 5, 385 7 11

Pelo AEE,

$& %

77 55 35

¨ p´2q ´ 5p´31q “ 1 ¨ p´1q ´ 7p´8q “ 1 ¨ p´5q ´ 11p´16q “ 1

e e e

´2 ” 3 mod 5 ´1 ” 6 mod 7 ´5 ” 6 mod 11

sendo 3, 6 e 6 as solu¸co˜es respectivas.

6 6 6

Assim, a solu¸c˜ao geral do sistema ´e:

” 3 ¨ 3 ¨ 77 ` 2 ¨ 6 ¨ 55 ` 4 ¨ 6 ¨ 35 mod 385 ” 693 ` 660 ` 840 mod 385 ” 308 ` 275 ` 70 mod 385 ” 268 mod 385 268 ” 3 mod 5 6 2 ¨ 268 “ 536 ” 1 mod 5 268 ” 2 mod 7 6 4 ¨ 268 “ 1072 ” 1 mod 7 268 ” 4 mod 11 6 5 ¨ 268 “ 1340 ” 9 mod 11 x x x x

De fato,

$& %

45

77 3 55 6 35 6

¨ “ 231 ” 1 mod 5 ¨ “ 330 ” 1 mod 7 ¨ “ 210 ” 1 mod 11

2.4.4

Exerc´ıcios

1. Se mdc a, n ax

p q “  1 qual a cardinalidade do conjunto de solu¸co˜es da congruˆencia linear

” bmodn?

2. Indique o conjunto solu¸ca˜o. (a) 5x

” 2 mod 26 (b) 20x ” 7 mod 15 (c) 6x ” 15 mod 21 (d) 5x ” ´38 mod 7 3. Resolva os sistemas. (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

$& %$ &% $& %$ &% $& %

x 1 mod 3 x 2 mod 5 2x 3 mod 7

” ” ” x ” 3 mod 11 x ” 5 mod 19 x ” 10 mod 29 x ” 3 mod 10 x ” 11 mod 13 x ” 15 mod 17 x ” 5 mod 7 x ” ´1 mod 9 x ” 6 mod 10 7x ” 4 mod 5 7x ” 4 mod 8 7x ” 4 mod 9

4. Ache o menor inteiro a

ą 2 tal que 2 | a, 3 | a ` 1, 4 | a ` 2 e 5 | a ` 3.

46

2.5 2.5.1

Anel dos Inteiros M´ odulo n Definindo o Anel

Considere o anel Z, , , n 1 e a rela¸c˜ao de congruˆencia m´ odulo n. A classe de equivalˆencia do elemento a Z ´e o conjunto

r ` ¨s ą

P a ¯ “ tx P Z; x ” amodnu “ tx P Z; n | x ´ au “ tx P Z; x ” amodnu.

O conjunto quociente de Z  pela rela¸ca˜o de congruˆencia m´ odulo n  ´e Z

{

 “ Z  “ ta¯; a P Zu

”mod n

n

´e denominado  conjunto dos inteiros m´ odulo n. ˜  2.18  O conjunto dos m´  ultiplos de  n  ´e denotado por  nZ OBSERVAC¸AO

Assim, nZ

` k “ tnk ` k; k P Zu com  k P Z.

EXEMPLO  2.19   Seja  n

“ tnk; k P Zu.

“7 ´13 ´7 ´6 ´5 ´4 ´3 ´2 ´1 .

0 7 14 21

Z7

“ “ “ “

.

.

.

.

.

1 2 8 9 15 16 22   .

3 10 17

4 11 18

5 12 19

6 13 20

.

.

.

.

..., ..., . .. , ...,

6¯ 1 7k 6; k Z 7Z 6

0¯, 1¯, t t 7¯, 15, t t7k; k P Zu, t7k ` 1; k P Zu, 7Z, 7Z ` 1, t

u ´ u t `  P u u ` u

ao m´ odulo n. Podemos definir duas opera¸co˜es bin´arias em Zn , de  adi¸c˜

`  : n

Zn Z n ¯, ¯ x y

ÑZ p q Ñ Þ x¯ ` y¯ “ x ` y ˆ

n

n

˜o m´ odulo n. e de   multiplica¸ca

¨  : n

Zn Zn ¯, ¯ x y

ÑZ p q Ñ Þ x¯ ¨ y¯ “ x ¨ y ˆ

n

n

47

EXEMPLOS  2.20 1. Considere Z4  e as tabelas das opera¸c˜oes.

`

4

¯0 ¯1 ¯2 ¯3

0¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯

1¯ 1¯ 2¯ 3¯ 0¯

2¯ 2¯ 3¯ 0¯ 1¯

3¯ 3¯ 0¯ 1¯ 2¯

¨

4

4¯ 4¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯

¨

5

¯0 ¯1 ¯2 ¯3

0¯ 0¯ 0¯ 0¯ 0¯

1¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯

2¯ 0¯ 2¯ 0¯ 2¯

3¯ 0¯ 3¯ 2¯ 1¯

0¯ 0¯ 0¯ 0¯ 0¯ 0¯

1¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯ 4¯

2¯ 0¯ 2¯ 4¯ 1¯ 3¯

3¯ 0¯ 3¯ 1¯ 4¯ 2¯

2. Seja Z5  e as tabelas das opera¸co˜es. 0¯ 0¯ 1¯ 2¯ 3¯ 4¯

`

5

¯0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4

1¯ 1¯ 2¯ 3¯ 4¯ 0¯

2¯ 2¯ 3¯ 4¯ 0¯ 1¯

3¯ 3¯ 4¯ 0¯ 1¯ 2¯

¯0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4

4¯ 0¯ 4¯ 3¯ 2¯ 1¯

˜  2.21  Considere o conjunto Z n  dos inteiros m´  PROPOSIC¸AO odulo n  e as opera¸c˜  oes de adi¸cao ˜  e de multiplica¸cao. ˜ 

1.

`  possui as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e elemento sim´etrico. 2. ¨  ´e associativa, comutativa, tem elemento neutro. 3. ¨  ´e distributiva em rela¸c˜  ao a`  ` . 4. ` e  ¨ s˜  ao   bem definidas ou   independem da escolha de representa¸ c˜  ao, isto ¯  ¯ ´e, para quaisquer   x, y , z , t P Z, se  x¯ “ z¯  e  y¯ “ t  ent˜  ao x¯ `  ¯y “ z¯  ` t e  x¯ ¨ y¯ “ z¯  ¨  ¯t. n

n n

n

n

n

n

n

n

n

Prova:

1.   Para quaisquer  x, y , z   Z,

 P (assoc.) x¯ `  py¯ ` z¯ q “ x¯ ` y ` z  “ x ` py ` z q “ px ` yq ` z  “ x ` y ` z¯  “ px¯ ` y¯q `  ¯z  (comut.) x¯ ` y¯ “ x ` y “ y ` x “ y¯ `  ¯x (EN) x¯ `  ¯0 “ x ` 0 “ x¯ (ES) x¯ `  n ´ x “ x ` pn ´ xq “ x ´ x ` n “ 0 ` n “  ¯n “ ¯0 Assim, ´x¯ “ n ´ x. 4.   (para ` ) ¯ “ z¯  6 x ” z mod n 6 n | x ´ z  6 x “ kn ` z , com k P Z. x y¯ “ t¯ 6 y “ n ` t, com  P Z. ¯ ` y¯ “ x ` y “ pkn ` z q ` pn ` tq “ kn ` n ` z  ` t “ pk ` qn ` z  ` t “ x “ pk ` qn ` z¯  `  ¯t “ ¯0 ` z¯  `  ¯t “ z¯  `  ¯t n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

48

n

 “ t¯0, ¯1, . . . , n ´ 1u  ´e o conjunto das  classes

Como as opera¸co˜es est˜ ao bem definidas, Zn residuais m´ odulo n. ´ COROLARIO  2.22 Zn , inteiros m´  odulo n.

r ` , ¨ s   e´ um anel comutativo com unidade n

n

denominado   anel dos

Observe que, o anel dos inteiros ´e um dom´ınio mas o anel dos inteiros m´ odulo  n , em geral, n˜ao ´e. Em Z12 , 2¯ 12 ¯6 ¯0 com 2¯ ¯0 e 6¯ ¯0.

¨ “

‰

‰

˜  2.23  Considere o anel  Zn , PROPOSIC¸AO

 r ` , ¨ s e  x¯, ¯y, ¯z   P Z . n

n

n

1. O elemento neutro da adi¸c˜  ao ´e unico. ´  2. O elemento neutro da multiplica¸c˜  ao ´e unico. ´  3. O elemento sim´etrico ´e unico. ´  4. x¯ n  ¯0

¨ “ ¯0 ¨ x¯ “ ¯0. 5. ´1 ¨ x¯ “ ´x “ ´x¯. 6. ´p´x¯q “ x¯. 7. ´px¯ ` y¯q “ p ´x¯q ` p´y¯q. 8. ´px¯ ¨ y¯q “ p ´x¯q ¨ y¯ “ x¯ ¨ p´y¯q. 9. x¯ ¨ y¯ “ p´x¯q ¨ p´y¯q. 10. x¯ ¨ py¯ ` p´z¯ qq “ x¯ ¨ y¯ ` x¯ ¨ p´z¯ q. 11. Se  x¯ ` y¯ “ x¯ ` z¯  ent˜  ao y¯ “ z¯ . 12. Sejam  a¯, ¯b P Z . A equa¸c˜  ao a¯ ` x¯ “ ¯b  possui solu¸c˜  ao em  Z . n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Prova: 5.

 ´1 ¨ x¯ “ p´1qx “ ´x Mas, x¯ ` ´x “ x ` p´xq “ ¯0. Assim, ´x “ ´x¯. y q “ ´ px ` y q “ n ´ px ` y q “ n ´ x ´ y “ pn ´ xq`p´y q “ pn ´ xq` ´y “ 7.  ´p x¯ `  ¯ “ p´x¯q ` p´y¯q. n

n

n

n

n

49

2.5.2

Elementos Invert´ıveis do Anel Zn

 ‰ 0¯ ´e invert´ıvel  ou possui   elemento

Considere o anel Zn , n , n . O elemento x¯ Zn , x ¯ inverso em Zn  quando existe y¯ Zn  tal que

 r ` ¨ s

 P

 P

x ¯

¨ y¯ “ y¯ ¨ x¯ “ ¯1. n

n

Nota¸ca˜ o: x¯´1 O conjunto de todos os elementos invert´ıveis em Zn ´e Inv Zn ou U  n . Um elemento invert´ıvel x¯  ´e  auto-inverso  quando x¯´1 x¯. ˜ PROPOSIC¸AO

p q

“  2.24   Sejam  x¯, ¯ y,  ¯ z   P Z , x ¯ ‰ ¯0.

pq

n

1. Se  x¯  ´e invert´ıvel ent˜  ao seu inverso ´e unico. ´  2. Se  x¯  ´e invert´ıvel e  x¯

 “ z¯ . 3. Seja  a¯, ¯b P Z com  a¯  invert´ıvel. A equa¸cao ˜  a¯ ¨  ¯x “ ¯b  possui solu¸cao ˜  em  Z . P  2.25  O elemento x¯ P Z , x¯ ‰ ¯0, ´e invert´ıvel se e somente se  mdcpx, nq “ 1. ¨ y¯ “ x¯ ¨ n

n

ao y¯ z¯   ent˜ 

n

n

˜ ROPOSIC ¸ AO

n

n

Prova: ( ) Se x¯  ´e invert´ıvel ent˜ ao existe y¯ Zn  tal que: x ¯ n y¯ ¯1 6 xy 1 modn 6 n xy 1 6 xy

Ñ

 P ¨  “  ” | ´ ´ 1 “ kn com k P Z 6 xy ´ kn “ 1. Ent˜ ao, mdcpx, nq | 1 6 mdcpx, nq “ 1. (Ð) Se mdcpx, nq “ 1 ent˜ ao existem k,  P Z tais que: xk ` n “ 1 6 xk ` n “ ¯ “¯ “¯ 1 6 xk ` n “ ¯1 6 x¯ ¨ k¯ ` n ¯ ¨  ¯ 1 6 x¯ ¨ k¯ ` ¯0 ¨  ¯ 16 x ¯ ¨  ¯k `  ¯0 “ ¯1 6 x¯ ¨  ¯k “ ¯1 6 x¯  ´e invert´ıvel em Z . n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

´ COROLARIO  2.26

1. Inv Zn

| p q| “ φpnq.

2. Se  n  ´e primo ent˜  ao todos os elementos de  Zn

ą 1 primo. O anel  rZ , ` , ¨ s  ´e um corpo com  p  elementos.  2.27 Os unicos ´  auto-inversos em  Z s˜  ao 1¯ e  p ´ 1.

3. Considere  p ˜ PROPOSIC¸AO

´t¯0u  tˆem inverso.

 p

 p

 p

 p

Prova:

P Z  ´e auto-inverso ent˜ao a¯ ¨ a¯ “ ¯1 6 aa “ a ” 1 mod p 6  p | a ´ 1 “ pa ` 1qpa ´ 1q. Como p  ´e primo, p | a ` 1 ou p | a ´ 1. Se p | a ` 1 6 a ` 1 ” 0 mod p 6 a ” ´1 ”  p ´ 1 modp 6  ¯a “  p ´ 1. Analogamente, a ” 1modp 6  ¯a “ ¯1. Se a¯

2

 p

 p

50

2

2.5.3

Demonstrando os Teoremas de Wilson e de Euler

(Teorema de Wilson) Seja  p Prova:

P Z primo ent˜ ao p p ´ 1q! ” ´1 modp.

Se p

“ 2 ou p “ 3 6 1 ” ´1 mod 2 e 2 ” ´1 mod 3. Seja p ě 5, o corpo Z  e o subconjunto A “ t¯2, ¯3, . . . , p ´ 2u. Para todo x¯ P A, x¯ P A  com x¯ ¨ x¯ “ ¯1 e xx ” 1 mod p. 2 ¨ 3 ¨ . . . ¨ p p ´ 2q ” 1 modp 6 2 ¨ 3 ¨ . . . ¨ p p ´ 2q ¨ p p ´ 1q ” 1p p ´ 1q modp. Assim, p p ´ 1q! ”  p ´ 1 ” ´1 modp.  p

´1

´1

n

(Teorema de Euler) Sejam  a, n

´1

φpnq

P Z com  n ą 1. Se  mdcpa, nq “ 1 ent˜ ao a ” 1 mod n.

Prova: Seja A

“ tx , x , . . . , x u  com 1 ď x  ď n ´ 1 e mdcpx , nq “ 1, i “ 1, . . . , k. Seja a P Z tal que mdcpa, nq “ 1 e o conjunto aA “ tax , ax , . . . , a x u 1

k

2

i

i

1

2

k

Os elementos do conjunto aA s˜ao congruentes aos elementos do conjunto A, j´a que:

p

mdc axi , n

q “ 1, i “ 1, . . . , k .

Elementos distintos de aA  correspondem a elementos distintos de A, pois: se axi

 ” ax  mod n  ent˜ao x  ” x  modn, i, j “ 1, . . . , k .  j

1

Assim, ax1

i

1

 j

1

1

 ” x  mod n, ax  ” x  mod n, . . . , ax  ” x  mod n, sendo x  P A, i “ 1, . . . , k. ax ax  . . . ax  ” x x  . . . x  mod n 6 a x x  . . . x  ” x x  . . . x  mod n 6 Mas, mdcpx x  . . . x , nq “ 1 e k “ φpnq. Logo, a ” 1 modn. 1

k

1

k

2

1

2

1

k

2

1

1

1

1

1

2

2

k

2

k

k

k

2

φpnq

2.5.4

Exerc´ıcios

1. Complete as demonstra¸co˜es.

ą 1, InvpZ q ‰ H? 3. Indique Inv pZ q,Inv pZ q e Inv pZ q. 2. Para todo n

n

6

10

12

4. Indique os inversos: (a) 5¯ em Z6 (b) 2¯, ¯3 e 5¯ em Z7 51

k

i

(c) 3¯, ¯5 e 7¯ em Z8 (d) 199 em Z991 (e) 1951 em Z2431 5. Determine as solu¸co˜es da equa¸c˜ao x¯2

“ ¯1 em Z .  p

6. Mostre que todo corpo ´e um dom´ınio. 7. Resolva, usando inverso, as congruˆencias lineares: (a) 3x

” 7 mod 23 (b) 5x ” 3 mod 19 8. Ache a solu¸ca˜o: (a) 2142 (b) 14

¨

238

“ 442

“ 21 9. Um elemento a¯ P Inv pZ q  ´e uma   raiz primitiva de Inv pZ q  quando todo elemento de Inv pZ q ´e igual a uma potˆencia de a¯. Quantas ra´ızes primitivas Inv pZ q  possui ? ¨

77

x ¯

x ¯

n

n

n

2.6 2.6.1

7

Alguns N´ umeros  Especiais N´ umeros Triangulares

S˜a o os n´ umeros da forma T n

 “

npn`1q 2

.

pq

n T  n

1 2 3 4 5

2.6.2

1 3 6 10 15

Fibonacci e Lucas

A sequˆencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .  ´e denominada sequˆencia de Fibonacci e seus termos s˜ ao os n´umeros de Fibonacci. Os n´ umeros de Fibonacci podem ser definidos por recorrˆ encia da seguinte forma:

"  “

F n

1 F n´1

` F 

n´2

n n

“ 1 ou n “ 2 ě3

J´a a sequˆencia 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, . . .  ´e denominada sequˆencia de Lucas e seus termos s˜a o os n´ umeros de Lucas que podem ser definidos por: 52

$&  “ %

Ln

2.6.3

Ln´1

n n n

`L

n´2

“1 “2 ě3

Mersenne e Fermat

P Z, n  ą 0. F pnq “ 2 ` 1. Seja n

1 3

O n-´esimo n´ umero de Mersenne ´e M  n

n

p q “ 2 ´ 1 e o de Fermat ´e

2n

n

pq

pq

M  n

F  n

1 1 5 2 3 17 3 7 257 4 3 5 65537 5 31 641 6700417 6 32 7 274177 67280421310721 ... 7 127 8 3 5 17 ...

¨ ¨ ¨ ¨

2.6.4

¨

¨

N´ umeros Perfeitos

Um n´ umero n Z, n  0, ´e  perfeito  quando ´e igual a` metade da soma de seus divisores, isto ´e, σ n 2n. Uma caracteriza¸c˜a o, um n´ umero par n   ´e perfeito se e somente se n  p´1  p  p 2 2 1  sendo 2 1 um n´ umero de Mersenne com p  primo.

 P p q“ p ´ q

 ą ´

 “

 p

P erf eito

2 6 3 28 5 496 7 8128 13 33550336 17 8589869056

2.7 •

Dicas para solu¸c˜ ao de alguns exerc´ıcios  Ex. 7 da Subse¸ca˜o 2.2.4 2

7

3

4

” 7 mod 10, 7 ” 9 mod 10, 7 ” 3 mod 10 e 7 ” 1 mod 10 Assim, 7 ” 7, 9, 3, ou 1 mod 10 conforme k ” 1, 2, 3, ou 0 mod 4. 7 ” 3 mod 4 e 7 ” 1 mod 4. Assim, 7 ” 1 ou 3 mod 10 conforme   par ou ´ımpar. Como 7 ´e ´ımpar, 7 ” 3 mod 4. k

2



7

53

7

Ent˜ ao, 77

” 3 mod 10.

Logo, o algarismo da unidade ´e 3. •

 Ex. 1 da Subse¸ca˜o 2.3.3

“ 5: 6p p ´ 4q! “ 6 ” 1 mod 5 Pelo Teorema de Wilson, p p ´ 1q! ” ´1 modp ą 5 6 p p ´ 1qp p ´ 2qp p ´ 3qp p ´ 4q! ” p p ´ 1q modp 6 p p ´ 2qp p ´ 3qp p ´ 4q! ” 1 modp 6 p p ´ 5 p ` 6qp p ´ 4q! ” 1 modp Mas, p p ´ 5 p ` 6q ” 0 ` 0 ` 6 “ 6 modp 6 p p ´ 5 p ` 6qp p ´ 4q! ” 6p p ´ 4q! ” 1 modp.

 p

2

2

2

54

Cap´ıtulo 3 Polinˆ omios em uma Vari´ avel 3.1

Anel de Polinˆ omios

Considere A, , um anel comutativo com unidade e  x  um s´ımbolo de vari´avel denominado indeterminada.

r ` ¨s

Um  polinˆ omio sobre A  em uma indeterminada x  ´e uma express˜ao na forma m

p q “ a ` a x ` ... ` a x ` ... onde para todo i, a  P A  e para todo j ą m, a  “ 0. Os elementos a  P A s˜ao denominados os  coeficientes  do polinˆomio f pxq. Nota¸ca˜o: f pxq “ a ` a x ` . . . ` a x Dois polinˆomios f pxq “ a ` a x ` . . . ` a x e g pxq “ b ` b x ` . . . ` b x s˜ao  iguais quando a  “ b em A, para todo i. omio constante. Em particular, o O polinˆomio f pxq “ a ` 0x ` . . . ` 0x ´e o   polinˆ polinˆ omio 0 “ 0 ` 0x ` . . . ` 0x ´e o  polinˆ omio identicamente nulo  sobre A. Seja f pxq “ a  ` a x ` . . . ` a x um polinˆomio n˜ao nulo com a ‰   0 e para todo i ą m, a  “  0. O  grau de f pxq  ´e m. O coeficiente a  ´e denominado  coeficiente l´ıder ou dominante de f pxq. Se a  “  1, diz-se que f pxq  ´e um  polinˆ omio mˆ onico. Observe que, f  x

0

m

1

i

0

 j

m

1

0

i

i

m

m

1

m

0

n

1

n

i

m

0

m

0

m

1

m

m

i

m

m

n˜ao est´ a definido o grau do polinˆ omio nulo. Nota¸c˜ao: f  x

 B  p q “ grf pxq Considere A rxs  o conjunto de todos os polinˆ omios sobre A   em uma indeterminada x, f pxq “ a ` a x ` . . . ` a x e  g pxq “ b ` b x ` . . . ` b x . Podemos definir duas opera¸co ˜es 0

1

m

m

0

1

n

n

bin´arias.

Adi¸c˜ ao de polinˆ omios

` : A rxs ˆ A rxs Ñ A rxs pf pxq, gpxqq ÞÑ f pxq ` gpxq “ c ` c x ` . . . ` c x 0

55

1

k

k

com k

 “ maxtm, nu e c  “ a ` b  P A. i

i

i

Multiplica¸ca ˜o de polinˆ omios

¨ : A rxs ˆ A rxs Ñ A rxs pf pxq, gpxqq ÞÑ f pxq.gpxq “ c ` c x ` . . . ` c x 0

k

1

k

com k

 “ m ` n e “ “ “ ... “ ... “

c0 c1 c2 ck cm`n

a0 b0 a0 b1 a0 b2 a0 bk

`a b `a b `a b ` a b ` ... ` a 1 0 1 1

2 0

k´1

1

k´1 b1

` a b  “ k 0

am bn

ř

k i“0 ai bk´i

˜ ˜  de adi¸cao ˜  e de multiplica¸cao ˜  PROPOSIC¸AO 3.1  Considere o conjunto A x  e as opera¸coes de polinˆ  omios.

rs

1.

` possui as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e elemento sim´etrico. 2. ¨  ´ e associativa, comutativa, tem elemento neutro. 3. ¨  ´e distributiva em rela¸cao ˜  a`   `. Prova: Para quaisquer a x

m

p q “ a ` a x ` ... ` a x , bpxq “ b ` b x ` . . . ` b x e cpxq “ c ` c x ` . . . ` c x P A rxs. 0

m

1

0

1

n

0

1



n



1. (assoc.)   Seja t

“ maxtm,n,u. apxq ` pbpxq ` cpxqq “ apxq`ppb ` c q ` pb ` c qx ` . . . ` pb ` c qx q “ “ pa ` pb ` c qq`pa ` pb ` c qqx ` . . . ` pa ` pb ` c qqx “ “ ppa ` b q ` c q`ppa ` b q ` c qx ` . . . ` ppa ` b q ` c qx “ “ ppa ` b q ` pa ` b qx ` . . . ` pa ` b qx q ` cpxq “ “ papxq ` bpxqq ` cpxq (comut.)   Seja t “ maxtm, nu. apxq ` bpxq “ pa ` b q ` pa ` b qx ` . . . ` pa ` b qx “ pb ` a q ` pb ` a qx ` . . . ` pb ` a qx “ bpxq ` apxq (EN) apxq ` 0 “ pa ` 0q ` pa ` 0qx ` . . . ` pa ` 0qx “ apxq (ES)   Considere ´apxq “ ´a ´ a x ´ . . . ´ a x . apxq`p´apxq q “ pa ` p´a qq`pa ` p´a qqx ` . . . ` pa ` p´a qqx “ 0 0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

t

1

t

t

0

t

m

0

m

1

0

1

56

t

t

t

t

t

1

0

t

t

t

t

t

t

t

1

1

t

t

1

t

0

t

1

1

1

0

0

1

0

m

m

1

m

m

m

3.   Seja t

“ maxtn, u e r “ maxtm ` n, m ` u. apxqpbpxq ` cpxqq “ apxqppb ` c q ` pb ` c qx ` . . . ` pb ` c qx q “ dpxq  sendo 0

0

1

ÿ  “ p

t

1

t

t

k

dk

ai bk´i

i“0

` c q, k “ 0, . . . , m ` t k´i

p q p q ` apxqcpxq “ epxq ` f pxq “ gpxq

a x b x

ÿ  “  “ ÿ  “  “ ÿ ÿ ÿ `  “ `  “ p ` k

ek

ai bk´i , k

0, . . . , m

`n

ai ck´i , k

0, . . . , m

`

i“0 k

f k

i“0

k

 “ e

gk

k

f k

k

k

ai bk´i

i“0

ai ck´i

i“0

ai bk´i

q  “ 0, . . . , m a x tm ` n, m ` u

ck´i , k

i“0

Como max m

t ` n, m ` u “ m ` maxtn, u “ m ` t, g  “ d . k

l

k

´ COROLARIO 3.2 A x , ,

r r s ` ¨s ´e um anel comutativo com unidade denominado  anel dos po-

linˆ omios sobre A  em uma indeterminada  x.

˜ PROPOSIC¸AO 3.3   Seja  A   um anel comutativo com unidade, o anel de polinˆ  omios  A x e  m n ao nulos tais que  f  x a0 a1 x . . . am x e  g x b0 b1 x . . . bn x A x n˜  f  x m e  g x n.

p q “  ` ` ` B  p q “  B  p q “

p q “  `

` `

P rs

1. f  x

p q ` gpxq “ 0 ou  Bpf pxq ` gpxqq ď maxtm, nu. 2. Bpf pxq ` g pxqq “ maxtm, nu  quando m ‰ n. 3. f pxqg pxq “ 0 ou  Bpf pxqg pxqq ď m ` n. 4. Se  A  ´e um dom´ınio de integridade ent˜  ao: (a)

Bpf pxqgpxqq “ m ` n. (b) Inv pArxsq “ Inv pAq. (c) Arxs  ´e um dom´ınio de integridade.

Prova:

ř

m i“0

2.  Considere que m

ą n e f pxq ` gpxq “ hpxq “  c . c  “ a ` b  “ a ` 0 “ a  ‰ 0 e para todo i ą m, c  “ 0. Assim, Bpf pxq ` g pxqq “ m “ maxtm, nu m

m

m

m

m

57

i

i

rs

e um polinˆ omio constante 4. (b) Inv A Inv A x , pois todo elemento invert´ıvel de A  ´ em A x  que tamb´em ´e invert´ıvel.

p q Ď p r sq rs Seja f pxq P Inv pArxsq 6  existe g pxq P Arxs  tal que f pxqg pxq “ 1. Bpf pxqgpxqq “ B 1 6 B f pxq ` B gpxq “ 0 6 B f pxq “ B gpxq “ 0 6 f pxq P A e gpxq P A. Como f pxqg pxq “ 1, f pxq P Inv pAq e Inv pArxsq Ď Inv pAq. l

p q ‰ InvpZ rxsq, pois o polinˆomio 2¯x ` ¯1 de grau

Exemplo:  Considere o anel Z4 x . Inv Z4 1 ´e invert´ıvel.

rs

3.2

4

Divisibilidade e Divis˜ ao de Polinˆ omios

p q p q P Arxs. O polinˆomio apxq  divide o p q “ apxqcpxq.

Seja A  um anel comutativo com unidade e a x , b x polinˆ omio b x  quando existe c x A x  tal que b x

pq Nota¸c˜ao: apxq | bpxq

p qP r s

˜ PROPOSIC¸AO 3.4   Sejam  a x , b x , c x

p q p q p q P Arxs. Ent˜ ao,

1. (Reflexiva) a x

p q | apxq. 2. (Transitiva) Se  apxq | bpxq e  bpxq | cpxq  ent˜  ao apxq | cpxq. 3. Se  apxq | bpxq  ent˜  ao apxq | bpxqf pxq, para todo f pxq P Arxs. 4. Se  apxq | bpxq e  apxq | cpxq ent˜  ao  apxq | bpxqf  pxq`cpxqf  pxq, para quaisquer  f  pxq, f  pxq P Arxs. 1

2

1

2

p q p q P Arxs s˜ao   associados  quando existe cpxq P InvpArxsq tal

Dois polinˆomios a x e b x a x cx . que b x

p q“ p q p q

˜ ao associado ´e de equivalˆencia. PROPOSIC¸AO 3.5   A rela¸c˜ 

Prova: Sejam a x , b x , c x

p q p q p q P Arxs. Ent˜ao, (reflexiva) apxq ´e associado a apxq, pois apxq “ apxq 1. (sim´ etrica) Se apxq ´e associado a bpxq 6 bpxq “ apxqf pxq com f pxq P Inv pArxsq. bpxqf pxq “ apxqf pxqf pxq “ apxq 1 “ apxq 6 bpxq ´e associado a apxq. (transitiva) Se apxq  ´e associado a bpxq e bpxq   ´e associado a cpxq 6 bpxq “ apxqf pxq e cpxq “ bpxqg pxq com f pxq, g pxq P Inv pArxsq. cpxq “ bpxqg pxq “ papxqf pxqqg pxq “ apxqpf pxqg pxqq, mas  p f pxqg pxqq P Inv pArxsq. Ent˜ ao apxq ´e associado a cpxq. l ´1

´1

58

˜ omios e  PROPOSIC¸AO 3.6   Sejam  A  um anel comutativo com unidade, A x  o anel de polinˆ  n m 0 a x a0 a1 x . . . an x e  b x b0 b1 x . . . bm x A x   tal que  b x e o coeficiente l´ıder de  b x   ´e invert´ıvel em  A. Ent˜  ao existem unicos ´  polinˆ  omios  q  x e  r x A x  tais que 

p q “  ` p qP r s

`

`

p q “  `

pq

rs P rs

` `

pq‰ pq

p q “ bpxqq pxq ` rpxq

a x

com  r x

p q “ 0 ou  B rpxq ă B bpxq.

Prova: (exist.) Se a x

p q “ 0 ent˜ao q pxq “ rpxq “ 0. Considere B apxq “ n e B bpxq “ m. Se n ă m  ent˜ao q pxq “ 0 e r pxq “ apxq. Se m ď n  ent˜ao considere o polinˆ omio a b

´1 n´m

n m

x

P Arxs 6

´1 n´m

p q “ bpxqa b x ` r pxq ´ a b b  qx ` . . . ` pa ´ a b b  qx ` . . .. com r pxq “ pa Se r pxq “ 0 ou B r pxq ă m  ent˜ao q pxq “ a b x e rpxq “ r pxq. Caso contr´ ario, repita o processo para r pxq e bpxq. Considere r pxq “ c ` c x ` . . . ` c x com B r pxq “  e m ď  ď n ´ 1 P Arxs 6 r pxq “ bpxqc b x ` r pxq. e o polinˆomio c b x a x ´1

n´1

1

1

n m´1 m

n m

n´1

1

´1

n´m

n´m

n 0 m

´1 n´m

n m

1

1

1

1

0



1

´1 ´m

 m



1

´1 ´m

 m

1

2

Assim,

´1 n´m

´1 ´m

p q “ bpxqpa b x ` c b x q ` r pxq. ` c b x e rpxq “ r pxq. Se r pxq “ 0 ou B r pxq ă m  ent˜ao q pxq “ a b x Caso contr´ ario, repita o processo para r pxq e bpxq. Como B apxq ą B r pxq ą B r pxq ą . . ., ap´os k  repeti¸c˜oes obtemos r pxq “ 0 ou B r pxq ă m. E, r pxq “ r pxq. (unic.) (RAA) Sejam q pxq ‰ q  pxq e rpxq ‰ r pxq  tais que apxq “ bpxqq pxq ` r pxq “ bpxqq  pxq ` r pxq a x

2

n m

 m

´1 n´m

´1 ´m

n m

2

2

 m

2

2

1

k

2

k

k

1

1

1

1

com r x

1

1

p q “ 0 ou B rpxq ă B bpxq e r pxq “ 0 ou B r pxq ă B bpxq. Ent˜ao, bpxqpq pxq ´ q  pxqq “ r pxq ´ r pxq Se q pxq ´ q  pxq ‰ 0 6 Bpr pxq ´ rpxqq“Bpbpxqpq pxq ´ q  pxqqq. Como b  P Inv pAq, Bpbpxqpq pxq ´ q  pxqqq“B bpxq`Bpq pxq ´ q  pxqq. Assim, Bpr pxq ´ r pxq q ą Bb pxq. Contradi¸c˜ao, pois Bpr pxq ´ rpxqq ď maxtB r pxq, B r pxq u ă B b pxq. 1

1

1

1

1

1

m

1

1

1

1

59

l

´ omios e  a x , b x COROLARIO 3.7   Sejam  A  um corpo, A x  o anel de polinˆ  0. Ent˜  ao existem unicos ´  polinˆ  omios  q  x e  r x A x  tais que  b x

rs

p q‰

p q p qP r s apxq “ bpxqq pxq ` rpxq

p q p q P A rxs  tal que 

com  r x

p q “ 0 ou  B rpxq ă B bpxq.

EXEMPLOS 3.8 5

1. Usando o algoritmo para calcular o quociente e o resto da divis˜ ao de  f  x 3 2 3 2 5x 1 por g x x x x x em Z x , obtemos:

` `

p q“ ´ `

2x5

4

3

2

4

3

2

rs

x3 x2 x 2x2 3x 4

` x ´ 5x ` x ` 1 3x ´ 7x ` x ` 1 ´4x ´ 2x ` 1 ´6x ` 4x ` 1 3

4

p q “ 2x ` x ´

´ ` ` ´

2

2

Assim, 2x5

4

3

2

3

2

2

2

` x ´ 5x ` x ` 1 “ px ´ x ` xqp2x ` 3x ´ 4q`p´6x ` 4x ` 1q. 2. Usando o algoritmo para calcular o quociente e o resto da divis˜ ao de  f pxq “ x ´ 1x ´ 1x ` 1 por g pxq “ x ` 3x ´ 5 em Z rxs, obtemos: 3

2

x3

7

2

´ 1x ´ 1x ` 1 ´4x ` 4x ` 1

x2 3x x 4

2

2x

Ent˜ ao, x3

2

2

`2

` ´5 ´

2

´ 1x ´ 1x ` 1 “ px ` 3x ´ 5qpx ´ 4q ` p2x ` 2q.

a0 a1 x . . . an xn e um elemento a A. Denomina-se Considere o polinˆomio f  x valor que  f  x assume em  a  ou  valor de  f  x quando se substitui  x  por  a  ao elemento f  a a0 a1 a . . . an an A.

p q“ ` ` ` P pq pq p q“ ` ` ` P omio f pxq em A  quando f paq “ 0. Um elemento a P A  ´e uma  raiz do polinˆ

˜ PROPOSIC¸AO 3.9   Seja  A  um dom´ınio e  f  x somente se, x a f  x .

 p ´ q | p q

p q P Arxs. Ent˜ ao a P A  ´e uma raiz de  f pxq  se, e 

Prova:

pÑq  Seja a P A  uma raiz de f pxq. f pxq “ px ´ aqq pxq ` r pxq  com rpxq “ 0 ou B rpxq ă B px ´ aq “ 1. Assim, B rpxq “ 0 6 r pxq “ 0 ´e um polinˆ omio constante. Substituindo  a  na equa¸c˜ao acima,  f paq “ pa ´ aqq paq` r paq 6 0 “ 0q paq` rpaq 6 rpaq “ 0. 60

Portanto, f  x

p q “ px ´ aqq pxq 6 px ´ aq | f pxq. pÐqpx ´ aq | f pxq 6 f pxq “ px ´ aqgpxq, gpxq P Arxs 6 f paq “ pa ´ aqgpaq “ 0gpaq “ 0.l Diz-se que a  ´e uma raiz de  multiplicidade m  1 quando x a m ´e a maior potˆencia de x a  que divide f  x . Uma raiz ´e  simples  quando m 1 e m´ ultipla se m 1.

 p ´ q

 ě

pq

“

 p ´ q

ą

˜  3.10   Seja  A   um dom´ PROPOSIC¸AO ınio. Todo polinˆ  omio n˜  ao nulo f  x m´  aximo f  x n  ra´ızes em  A.

p q P Arxs   tem no

 B  p q “

Prova: (indu¸c˜ao em n) (base) Se n

“ 0, o a proposi¸ca˜o ´e imediata e o polinˆomio n˜ao admite raiz em A. (passo) (HI) Supor que a proposi¸c˜ao vale para todo polinˆ omio n˜ao nulo de Arxs  de grau n ´ 1 ě 0. Se f pxq n˜ao possui raiz em A, est´a provado. Seja b P A  uma raiz, ent˜ ao existe g pxq P Arxs  tal que f pxq “ px ´ bqg pxq. Qualquer outra raiz de f pxq ´e tamb´em raiz de g pxq, pois: ‰ b, f pcq “ 0 6 f pcq “ pc ´ bqgpcq “ 0 6 gpcq “ 0 Como B gpxq “ n ´ 1 e pela (HI), o n´ umero de ra´ızes de g pxq ´e menor ou igual a n ´ 1. l Ent˜a o o n´ umero de ra´ızes de f pxq ´e menor ou igual a n ´ 1 ` 1 “ n. c

EXEMPLO  3.11  Seja o anel comutativo com unidade  Z

ˆ Z com as opera¸c˜ oes  pa, bq ` pc, dq “ pa ` c, b ` dq e  pa, bq ¨ pc, dq “ pac, bdq. O polinˆ  omio f pxq “ p1, 0qx possui infinitas ra´ızes, pois qualquer elemento do conjunto tp0, aq, a P Zu  ´e raiz de  f pxq em  Z ˆ Z. 2

´ COROLARIO  3.12   Seja  A  um dom´ınio infinito e  f  x , g x somente se  f  a g a , para todo a A.

p q“ p q

p q p q P Arxs. Ent˜ ao f pxq “ gpxq se e 

P

Prova:

pÑq  Pela defini¸ca˜o de igualdade de polinˆomios. pÐq  Seja hpxq “ f pxq ´ gpxq 6 hpaq “ 0, para todo a P A 6 hpxq “ 0 e f pxq “ gpxq.

l

˜  3.13   Polinˆ  OBSERVAC¸AO omios e fun¸coes ˜  polinomiais.

Para cada  p x que  f  p a  p a  p x  sobre A.

pq

m

p q “ a ` a x ` . . . ` a x P Arxs  ´e poss´ıvel definir a fun¸c˜ ao f  : A Ñ A tal  ˜  polinomial definida por  p q “ p q “ a ` a a ` . . . ` a a denominada   fun¸cao 0

0

1

1

m

m

 p

m

61

Pelo Corol´  ario 3.12, se  A  ´e um dom´ınio infinito ent˜  ao existe uma correspondˆencia biun´ıvoca, isto ´e, uma bije¸cao ˜  entre o conjunto dos polinˆ  omios e o conjunto das fun¸coes ˜  polinomiais.  x 5 Observe que, para o corpo finito Z5  e o anel  Z5 x , o polinˆ  omio p x e o polinˆ  omio nulo est˜  ao associados a` fun¸c˜  ao polinomial nula, j´  a que  f  p : Z5 5 5 5 ¯ f  p a  p a a a amod 5 6 a a 0 mod 5. ¯ ¯ ¯ ¯ 0 pois  a

p q“ p q“ ´ “

3.3

p q “ ´ x  de grau 5   Ñ Z   tal que 

rs ´ ”

”

5

Anel de Polinˆ omios sobre um Corpo

Nessa se¸ca˜o vamos considerar K  um corpo e o anel de polinˆomios K  x .

rs

3.3.1

M´ aximo Divisor Comum

p q p q P K rxs. O polinˆomio dpxq P K rxs ´e um m´aximo divisor comum de apxq

Sejam a x , b x e b x  quando:

pq

Mdc1. d x

p q | apxq  e dpxq | bpxq. Mdc2.  Se existe cpxq P K rxs  tal que cpxq | apxq e cpxq | bpxq  ent˜ao cpxq | dpxq. ˜  3.14  Quaisquer m´  aximos divisores comuns s˜  ao associados. PROPOSIC¸AO

O polinˆomio mˆonico dentre os m´ aximos divisores comuns associados de a x e de  b x ´e deomios notado por  mdc a x , b x . Se  mdc a x , b x 1 ent˜ ao  a x  e b x  s˜ao ditos  polinˆ primos entre si ou  co-primos.

p p q p qq

p p q p qq “

pq

pq pq

pq

˜  3.15   Considere  K   um corpo, o anel de polinˆ  omio K  x e  f  x , g x , h x PROPOSIC¸AO K  x  polinˆ  omios n˜  ao nulos. Ent˜  ao:

rs

rs

p q p q p qP

1. mdc f  x , g x por  g x .

p p q p qq “ mdcpgpxq, rpxqq, sendo rpxq  o resto da divis˜ ao euclidiana de  f pxq pq 2. Existem  k pxq, k pxq P K rxs  tais que  mdcpf pxq, g pxqq “ k pxqf pxq ` k pxqg pxq. 3. Se  f pxq | g pxqhpxq e  mdcpf pxq, g pxqq “ 1 ent˜  ao f pxq | hpxq. 1

2

1

2

Prova:

3.  Pelo item 2, existem k1 x , k2 x

p q p q P K rxs  tais que 1 “ k pxqf pxq ` k pxqg pxq 6 hpxq “ k pxqf pxqhpxq ` k pxqg pxqhpxq. f pxq | f pxq 6 f pxq | k pxqf pxqhpxq e f pxq | g pxqhpxq 6 f pxq | k pxqg pxqhpxq. Logo, f pxq | k pxqf pxqhpxq ` k pxqgpxqhpxq 6 f pxq | hpxq. 1

2

1

1

1

2

2

2

62

l

EXEMPLO  3.16 mdc x4

3

2

4

3

3

2

2

p ` x ´ 1, x ` 1q “ 1 “ xpx ` x ´ 1q`p´x ´ x ` x ` 1qpx ` 1q em  Rrxs. pq ` ´ ` ´

pxq p q kpxq 1 0 ´ ´ 0 1 ` ´ 1 1 ´x ´ x ` 1 x ´ ´x ´ x ` x ` 1

r x q  x 3 1 x x 2 x 1 x x2 x 1 x 4

3.3.2

2

3

2

Polinˆ omios Irredut´ıveis

Um   polinˆ ao constante ´e  irredut´ıvel sobre K   ou ´e   irredut´ıvel em omio p x K  x n˜ K  x   quando para quaisquer f  x , g x K  x   tais que p x f  x g x   ent˜ ao f  x ou 0 , isto ´e, f  x ou g x ´e um polinˆomio constante. g x Inv K  x K 

p qP r s pq pqP rs p r sq “ ´ t u pq pq

rs p qP

pq“ pqpq

pq

Um polinˆomio n˜ao constante e n˜ ao irredut´ıvel, chama-se  redut´ıvel ou  composto.

EXEMPLOS  3.17

´ 2 ´e irredut´ıvel sobre  Q, mas redut´ıvel sobre  R, pois  x ´ 2 “ px ´ ? 2qpx ` ? 2q. 2. x ´ 4 ´e redut´ıvel sobre  Q j´  a que  x ´ 4 “ px ´ 2qpx ` 2q. 3. x ´ 1 ´e redut´ıvel sobre  R, pois  x ´ 1 | x ´ 1. 4. x ` 1 ´e irredut´ıvel sobre  R, mas redut´ıvel sobre  C. ?  ?  5. 8x ` 4 “ 4p2x ` 1q “ 4p 2x ` iqp 2x ´ iq  ´e redut´ıvel sobre o dom´ınio Z, irredut´ıvel  1. x2

2

4

4

2

3

2

3

2

2

2

sobre  R e redut´ıvel sobre  C.

6. x2 7. x2

` ¯1 “ px ` ¯1q ´e redut´ıvel sobre  Z . ` ¯2x ` ¯2 P Z rxs  ´e irredut´ıvel pois n˜ ao possui ra´ızes em  Z . Observe que, x  x ` ¯2x ` ¯2 ¯0 0¯ ` ¯0 ` ¯2 “ ¯2 ¯1 1¯ ` ¯2 ` ¯2 “ ¯2 ¯2 1¯ ` ¯1 ` ¯2 “ ¯1 2

2

3

3

2

˜  3.18 PROPOSIC¸AO

1. Todo polinˆ  omio de grau 1 ´e irredut´ıvel sobre  K . 2. Seja  p x K .

p q P K rxs  irredut´ıvel sobre  K  e  u P K , u ‰ 0. Ent˜ ao uppxq  ´e irredut´ıvel sobre 

K  x com  p x  irredut´ıvel sobre  K . Se  p x 3. Sejam  p x , g x , h x  p x g x ou  p x h x .

p q p q p qP r s p q| p q p q| p q

pq

63

p q | gpxqhpxq  ent˜ ao

Prova:

3.   Supor que p x    g x

p q p q 6 mdcp ppxq, gpxqq “ 1 6 1 “ kpxq ppxq ` pxqgpxq 6 hpxq “ k pxq ppxqhpxq ` pxqg pxqhpxq, mas ppxq | k pxq ppxqhpxq e ppxq | pxqg pxqhpxq 6  ppxq | hpxq. l

3.3.3

´ Fatora¸ c˜ ao Unica

˜  3.19   Todo polinˆ  PROPOSIC¸AO omio f  x

p q P K rxs n˜ ao constante pode ser escrito na forma  f pxq “ up pxq . . . p pxq onde  u P K , u ‰ 0 e  p pxq  ´e irredut´ıvel sobre  K , i “ 1, . . . , m. Al´ em disso, essa express˜  ao ´e  unica ´  a menos da constante  u  e da ordem dos polinˆ  omios  p pxq, . . . , p pxq. Prova: (exist.) Se f pxq ´e irredut´ıvel ent˜ao a fatora¸ca˜o ´e trivial. Seja B f pxq “ n  e vamos fazer indu¸c˜ao em n. (base) Se n “ 1 ent˜ ao, pela Proposi¸ca˜o 3.18 Item 1, o polinˆomio ´e irredut´ıvel. (passo) (HI) Supor que a propriedade ´e v´ alida para os polinˆ omios de grau 1 ď k ă n. Como f pxq ´e redut´ıvel, f pxq “ g pxqhpxq com gpxq, hpxq P K rxs e 1 ď B g pxq, B hpxq ă n. Pela (HI), g pxq “ u  p pxq . . . p pxq  e hpxq “ u  p pxq . . . p pxq com u , u  P K  ´ t0u  e p pxq  irredut´ıveis sobre K , i “ 1, . . . , t ` s. Assim, f pxq “ u  p pxq . . . p pxqu  p pxq . . . p pxq “ “ u u  p pxq . . . p pxq p pxq . . . p pxq “ “ up pxq . . . p pxq p pxq . . . p pxq com m “ t ` s. (unic.) (RAA) Supor f pxq “ up pxq . . . p pxq “ u q  pxq . . . q  pxq com u, u P K  n˜ao nulos e p pxq, q  pxq P K rxs  polinˆomios irredut´ıveis em K , i “ 1, . . . , t e j “ 1, . . . , s. Se t “ 1 6 s “ 1 e p pxq ´e associado a q  pxq. Se t ą 1, p pxq | q  pxq . . . q  pxq 6  p pxq | q  pxq com k “ 1, . . . , s. Como p pxq e q  pxq s˜ao irredut´ıveis, s˜ao associados 6 q  pxq “ u  p pxq  com u  P K  ´ t0u. up pxq . . . p pxq “ u q  pxq . . . q   pxqu  p pxqq  pxq . . . q  pxq. up pxq . . . p pxq “ u q  pxq . . . q   pxqu q  pxq . . . q  pxq “ u u q  pxq . . . q   pxqq  pxq . . . q  pxq. Repetindo o processo, u “ u u  . . . u q  pxq . . . q  pxq. Assim, 1 “ vq  pxq . . . q  pxq com v P K  ´ t0u. Ent˜ao,  t “ s  e os fatores irredut´ıveis s˜ ao os mesmos a menos da ordem e de constantes de m

1

i

m

1

1

1

1

2

t`1

t

t`s

i

2

t

1

1

1

2

2

t

1

t`s

t`1

t`s

t`1

t

1

t`1

m

i

1

t

1

1

s

1

 j

1

1

1

s

1

k

1

k

1

1

t

2

t

k

1 1

1

k´1

1

1

1

k´1

1

k`1

1

t`1

1

k`1

s

s

64

1

1

s

s

t t`1

1

1

1 1

k´1

k`1

s

K 

´ t0u.

l

EXEMPLOS  3.20

´ 2 “ px ´ ? 2qpx ` ? 2q  ´e uma fatora¸c˜ ao em irredut´ıveis em  Rrxs. 2. x ´ 4 “ px ´ 2qpx ` 2q n˜  ao ´e uma fatora¸c˜  ao em irredut´ıveis em  Rrxs. 3. x ´ 1 “ px ´ 1qpx ` x ` 1q  ´e uma fatora¸c˜  ao em irredut´ıveis em  Rrxs. ?  ?  4. 8x ` 4 “ 4p2x ` 1q “ 4p 2x ` iqp 2x ´ iq, a primeira fatora¸cao ˜  n˜  ao ´e em irredut´ıveis  em  Crxs, mas a segunda ´e. 5. x ` ¯1 “ px ` ¯1q ´e uma fatora¸c˜  ao em irredut´ıveis em  Z rxs. 1. x2 4

2

2

3

2

2

2

2

2

2

3.3.4

Crit´ erios de Irredutibilidade

˜  3.21   Seja  f  x PROPOSIC¸AO K  x  tal que  f  x K  se e somente se  f  x  tem raiz em  K .

 B  p q “ 2 ou  3. Ent˜ ao f pxq  ´e redut´ıvel sobre 

p qP r s

pq

Prova:

pÑq Se f pxq  ´e redut´ıvel sobre K   ent˜ao f pxq “ gpxqhpxq com gpxq, hpxq P K rxs e 1 ď B gpxq, B hpxq ă B f pxq “ 2 ou 3. Assim, g pxq ou hpxq  tem grau 1. Supor g pxq “ a x ` a 6 a g pxq “ a pa x ` a q “ x ` a a . Ent˜ao, a gp´a a q “ ´a a ` a a “ 0 6 g p´a a q “ 0. Logo, f pxq  tem raiz em K . pÐq Seja a P K   uma raiz de f pxq. Pela Proposi¸c˜ao 3.9, x ´ a | f pxq 6 f pxq “ px ´ aqgpxq. l Logo, f pxq ´e redut´ıvel sobre K . 1

´1 1

0

0

´1

´1

1

1

´1

0

1

´1

1

1

0

0

´1

0

0

1

´1 1

´1 1

EXEMPLO  3.22 Observe que, o crit´erio apresentado na proposi¸ cao ˜  anterior n˜  ao ´e adequado para polinˆ  omios com grau  4. 4

2

2

2

p q “ x ` 3x ` 2 “ px ` 1qpx ` 2q  redut´ıvel sobre  R, n˜ ao possui ra´ızes 

O polinˆ  omio f  x em  R.

O Lema de Gauss simplifica a an´alise da irredutibilidade em Q x  para a da irredutibilidade em Z x . Seja f  x Q x , existe a Z tal que af  x Z x . Se af  x  ´e irredut´ıvel sobre Z  ent˜ao af  x ´e irredut´ıvel sobre Q e, consequentemente, f  x ´e irredut´ıvel sobre Q.

rs

pq

p qP r s

rs p qP r s pq

 P

˜  3.23   (Lema de Gauss) Se  f  x PROPOSIC¸AO irredut´ıvel sobre  Q.

pq

p q P Zrxs  ´e irredut´ıvel sobre  Z, ent˜ ao f pxq ´e  65

p q P Zrxs  um polinˆomio irredut´ıvel sobre Z mas redut´ıvel sobrre Q. f pxq “ g pxqhpxq com g pxq, hpxq P Qrxs  com 1 ď B g pxq, B hpxq ă B f pxq. Existe a P Z tal que af pxq “ g pxqh pxq “ c x

Prova: (RAA) Supor f  x

ÿ

m`n

1

1

k

k

k“0

m

n

p q “ a ` a x ` . . . ` a x P Zrxs  e h pxq “ b ` b x ` . . . ` b x P Zrxs. Seja p P Z primo tal que p | a 6 a “  pk com k P Z. A ideia ´e mostrar que p  divide todos os coeficiente de g pxq  ou todos os de h pxq. (RAA) Se existe a  tal que p    a  e existe b  tal que p    b com i “ 1, . . . , m e j “ 1, . . . , n com g1 x

0

m

1

1

0

n

1

1

i

i

 j

1

 j

sendo os menores poss´ıveis ent˜ ao

|

 “ a b ` . . . `a b ` . . . ` a

 p ci` j

i` j b0 6  p

loo o mo o on loo o mo o on 0

i` j

i  j

 p|

|ab

i  j 6  p

|a

i

ou p b j

|

 p|

Contradi¸c˜ao. Logo, p ai ou p b j , i

|

|

Supor que p ai , i

“ 1, . . . , m e j “ 1, . . . , n.

| “ 1, . . . , m. Assim, g pxq “  pg pxq com g pxq P Zrxs. af pxq “ g pxqh pxq 6  pkf pxq “  pg pxqh pxq 6 kf pxq “ g pxqh pxq Como o n´ umero de fatores primos de a  ´e finito, temos f pxq “ g pxqh pxq com  g pxq, h pxq P Zrxs. 1

2

1

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

Contradi¸c˜ao.

p q P Zrxs ´e irredut´ıvel sobre Z  e irredut´ıvel sobre Q.

Logo, f  x

3

omio f  x EXEMPLO  3.24   Considere o polinˆ 

l

2

p q “ x ´ x ´ x ´ 1. Se  f pxq  ´e redut´ıvel em  Zrxs, temos que  x ´ x ´ x ´ 1 “ pax ` bqpcx ` dx ` eq. Assim, ac “ 1 e  be “ ´1 6 a, b “ ˘1 6 ˘1 deve ser raiz de  f pxq. Mas, f p1q “ f p´1q “ ´2 ‰ 0. Contradi¸c˜  ao. Logo, f pxq  irredut´ıvel sobre  Z e irredut´ıvel sobre  Q. 3

2

2

O Crit´erio de Eisenstein trata da irredutibilidade em Z x .

rs

˜  3.25   (Crit´ PROPOSIC¸AO erio de Eisenstein) Seja  f  x Suponhamos que exista um primo p  tal que:

n

p q “ a  ` a x ` . . . ` a x P Zrxs.

1. p    an 2. p a0 , a1 , . . . , an´1

|

66

0

1

n

3. p2    a0. Ent˜  ao f  x  ´e irredut´ıvel sobre  Z (e sobre  Q).

pq

Prova: (RAA) Supor f  x  redut´ıvel sobre Z, isto ´e, f  x e1 g x , h x n.

p q “ gpxqhpxq com gpxq, hpxq P Zrxs

pq

ď B  p q B  p q ă g pxq “ b ` b x ` . . . ` b x P Zrxs com B g pxq “ r e hpxq “ c ` c x ` . . . ` c x P Zrxs com B hpxq “ s. Assim, n “ r ` s e a  “ b c . Por hip´otese, p | a  “ b c 6  p | b ou p | c e p    a . 0

1

r

0

1

s

0

r

s

0 0

2

0

0 0

0

0

0

Ent˜ao p  deve dividir apenas um dos inteiros b0 ou c0 . Supor p b0 e p    c0 .

|

Por hip´otese, p   an br cs 6 p   br e p b0 . Ent˜ ao, existe 1 primeiro coeficiente de g x  tal que p    bi .

 ď i ď r ă n  tal que b

 “  | pq Mas, a  “ b c ` b c ` . . . ` b c ` b c . E, p | b , b , . . . , b , p    b e p    c . Ent˜ao p    a , com 1 ď i ď r ă n. Contradi¸ca˜o. Logo, f pxq ´e irredut´ıvel sobre Z. i

0

0

i

i´1

1

i´1

1

i´1 1

i

i

´e o

i 0

0

i

l

EXEMPLOS  3.26 1. Seja  p x erio de Eisenstein se aplica para o primo p x3 2x 10. O Crit´ portanto p x  ´e irredut´ıvel sobre  Q.

p q“ ` `  “ 2, pq 2. Seja  ppxq “ x ´  p, com  p  um primo qualquer e  n ě 1. Ent˜  ao o pr´  oprio primo p se  aplica ao Crit´ erio de Eisenstein, e portanto ppxq  ´e irredut´ıvel sobre  Q. P  3.27   Sejam  f pxq “ a ` a x ` ... ` a x P Zrxs, p  um n´  umero primo e o corpo Z  “ t¯0, ¯1,...,p ´ 1u. Seja  f ¯pxq “ a ` a x ` ... ` a x , com  a , a ,...,a  P  Z . Se  p   a e  e irredut´ıvel sobre  Z  ent˜  ao f pxq  ´e irredut´ıvel sobre  Q. f ¯pxq  ´ Prova: (RAA) Supor f pxq  redut´ıvel sobre Q. Pelo Lema de Gauss, f pxq ´e redut´ıvel sobre Z. f pxq “ g pxqhpxq com  g pxq “ b ` b x ` ... ` b x P Zrxs e  h pxq “ c ` c x ` ... ` c x P Zrxs com B g pxq “ r, B hpxq “ s, 1 ď r, s ă n. ¯ pxq  com g¯pxq, h ¯ pxq P Z rxs. f ¯pxq “  ¯g pxqh  p    a  “ b c 6  p    b e p    c 6 b  ‰ ¯ 0 e c  ‰ ¯0 em Z . ¯ pxq “ s. Assim, B g¯pxq “ r, B h Ent˜ao, f ¯pxq ´e redut´ıvel sobre Z . Contradi¸c˜ao. Logo, f pxq ´e irredut´ıvel sobre Q. l n

˜ ROPOSIC ¸ AO

0

 p

n

1

0

n

n

1

n

0

n

1

 p

n

 p

0

r

1

r

0

 p

n

r s

r

s

r

s

 p

 p

67

1

s

s

4

3

2

p q “ x ` 10x ` 15x ` 5x ` 12 P Zrxs e  p “ 5.

EXEMPLO  3.28   Seja  f  x 2 e  5  1. f ¯ x x4 ¯

p q“ ` f ¯pxq n˜  ao possui ra´ızes em  Z . 5

x  ¯0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4

` ¯2 0¯ ` ¯2 “ ¯2 1¯ ` ¯2 “ ¯3 1¯ ` ¯2 “ ¯3 1¯ ` ¯2 “ ¯3 1¯ ` ¯2 “ ¯3 x4

Al´em disso, f ¯ x n˜  ao pode ser fatorado como dois polinˆ  omios de grau 2. Ent˜  ao, f ¯ x  ´e irredut´ıvel sobre  Z5 . Logo, f  x  ´e irredut´ıvel sobre  Q.

pq

3.3.5

pq

pq

Corpo Algebricamente Fechado

Um corpo  K  ´e chamado algebricamente fechado  quando todo polinˆomio  f  x constante admite pelo menos uma raiz em K .

p q P K rxs n˜ao

´  TEOREMA  3.29   (Teorema Fundamental da  Algebra) C ´e algebricamente fechado. ´ COROLARIO  3.30   Seja  K  um corpo algebricamente fechado e  f  x K  x tal que  f  x n.  u x a1 . . . x an com  u  K , u  0 e  ai  K , i  1 , . . . , n, s˜  Ent˜  ao f  x ao as ra´ızes  de  f  x em  K .

pq

p q“ p ´ q p ´ q

 P

 ‰

p qP r s  P  “

B  p q “

p q P Rrxs  de grau 2. Se  α P C ´e raiz de  f pxq  ent˜ ao α¯  tamb´em ´e.

˜  3.31   Seja  f  x PROPOSIC¸AO

EXEMPLOS  3.32 1. R n˜  ao ´e algebricamente fechado pois  x2

` 1 n˜ ao tem ra´ızes em  R.

2. Um corpo finito K  0, 1, a3 , . . . , at n˜  ao ´e algebricamente fechado pois o polinˆ  omio f  x x x 1 x a3 . . . x at 1 n˜  ao tem ra´ızes em  K .

 “ t u p q “ p ´ qp ´ q p ´ q `

3.4

Exerc´ıcios

1. Complete as demonstra¸co˜es. 2. Quantos polinˆ omios de grau 4 existem em Z3 x ?

rs

3. Existe p x

2

3

p q P Rrxs  tal que ppxq “ x ` x ` 1? 4. Sendo A  um anel com unidade e a, b P Inv pAq. Mostre que: 68

(a) Se o elemento inverso existir, ´e u´nico. (b) Para quaisquer x, y (c) a´1

 P A, se ax “ ay  ent˜ao x “ y.

´1

p q “ a. (d) pabq “ b a . 5. O polinˆomio  ppxq “ x n˜ao ´e invert´ıvel qualquer que seja o anel comutativo com unidade ´1

´1 ´1

(dom´ınio ou corpo) A?

6. Indique o conjunto Inv Z4 x .

p r sq

7. Encontre um polinˆ omio invers´ıvel n˜ao constante em Z8 x .

rs 8. A fun¸ca˜o polinomial f  : Z  Ñ Z  tal que f pu¯q “ u¯ ´ u¯ ` ¯1 est´a associada um u´nico 5

2

5

polinˆ omio ?

9. Determine n  para que x2

` ¯2 | x ´ 10x ` 12 em Z rxs. 5

n

10. Determine:

` ¯3 | ¯4x ´ ¯6x ` a¯ em Z rxs. (b) a, b e c  para que x ´ 5x ` 6x | 3x ` ax ` 6x ` bx ` c em Qrxs. (c) a e b  para que px ´ 1q | x ` ax ` bx ` bx ` 10x ` 1 em Rrxs. 11. Determine q pxq e rpxq  para: (a) apxq “ x ` x ´ 1 e bpxq “ x ´ 1 em Zrxs. (b) apxq “ x ´ x e bpxq “ x ` x ` ¯4x ` x em Z rxs. (c) apxq “ 4x ´ 6x ` 2 e bpxq “ x ´ 1 em Rrxs. 12. mdcpx ´ 1, x ´ 1q “ x ´ 1 em K rxs? 13. Determine todos os m´ aximos divisores comuns de x ` ¯1 e de x ` x em Z rxs. 14. Determine mdc, k pxq e pxq  para: (a) apxq “ x ´ x ` ¯1 e bpxq “ x ` x ` x ` ¯1 em Z rxs. (b) apxq “ x ` x ` x ` 1 e bpxq “ 2x ` 2 em Qrxs. 15. Determine todos os polinˆ omios irredut´ıveis de grau 2 de Z rxs. 3

(a) a¯  para que x

7

3

2

2

3

4

5

2

3

4

3

2

2

2

10

4

3

2

17

4

m

2

mdcpm,nq

n

2

3

3

4

2

3

2

5

4

3

2

16. Fatore, se poss´ıvel, os polinˆomios: (a) x2 (b) x4 (c) x4 (d) x4 (e) x4

3

` 1, x ´ x ` 1 em Z rxs. ´ x ´ x ´ x ´ 1 em Z rxs. ´ 5x ` 6 em Qrx? s. ´ 5x ` 6 em Qr 2srxs. ´ 5x ` 6 em Rrxs. 3

3

2

3

2 2 2

69

17. Seja α

n

P K , ppxq “ a  ` a x ` ... ` a x P K rxs   e a divis˜ao euclidiana ppxq “ px ´ αqq pxq ` rpxq. Ent˜ao rpxq “ f pαq. 18. (Briot-Ruffini) Para a quest˜ ao anterior, indique os coeficientes do polinˆ omio q pxq. 19. Dados elementos α , . . . , α  P K , dois a dois distintos, e elementos quaisquer β  , . . . , β    P K . Determinar um polinˆ omio  f pxq  de grau menor ou igual a n ´ 1 tal que f pα q “ β  , para i “ 1, . . . , n. Solu¸ca˜o: Queremos um polinˆ omio f pxq “ a ` a x ` . . . ` a x com f pα q “ β  . Ent˜ ao temos um sistema com n  equa¸co˜es e n  inc´ognitas  a , a , . . . , a  que possui pelo menos uma solu¸ca˜o e esta solu¸ca˜o ´e u´ nica, pois se g pxq  ´e outro polinˆomio com essa propriedade,  f pxq´ g pxq tem grau menor ou igual a  n ´ 1 e  n  ra´ızes α , . . . , α . Assim, ao f pxq “ gpxq. f pxq ´ g pxq “ 0. Ent˜ Para j “ 1, . . . , n, vamos definir os polinˆomios de grau n ´ 1: px ´ α q . . . px ´ α q . . . px ´ α q f  pxq “ pα ´ α q . . . pα ´ α qpα ´ α q . . . pα ´ α q O s´ımbolo px ´ α q  significa que o termo px ´ α q  deve ser omitido. Ent˜ ao, f  pα q “ δ  Sendo δ   o s´ımbolo de Kronecker: δ   “ 0 se i ‰  j e δ   “ 1, caso contr´ ario. O polinˆomio  f pxq “ β  f  pxq` . . . `β  f  pxq ´e denominado  polinˆ omio de interpola¸ca ˜o de Lagrange, sendo que B f pxq ď n ´ 1 e f pα q “ β  . 0

n

1

n

1

0

n´1

1

0

n´1

 {

 j

1

 j

 j ´1

 j

1

{

i

i

i

n

n

 j `1

 j

 j

i

n´1

1

1

 j

n

1

 j

n

 j

 j

ij

i

ij

ij

1

1

ij

n n

i

i

Exemplificar:

20. Determinar em Z13 x  o polinˆomio f  x  de grau menor ou igual a 5 tal que f  1 0, f  3 3, f  4 7 e f  5 6. f  2

pq p q “ 2, p q“ p q“ 21. Os polinˆomios irredut´ıveis em Rrxs s˜ao os de grau 1 e os de grau 2 com discriminante rs p q“ p q“

negativo?

22. Determine quais dos seguintes polinˆ omios sobre os seguintes corpos K  s˜ao irredut´ıveis: (a) x7 (b) x3 (c) x4 (d) x3 (e) x4

3

2

` 22x ` 11x ´ 44x ` 33, K  “ Q. ´ 7x ` 3x ` 3, K  “ Q. ` ¯5, K  “ Z . ´ ¯5, K  “ Z . ` ¯7, K  “ Z . 2

17 11 17

23. Determine quais dos seguintes polinˆ omios s˜ao irredut´ıveis sobre Q: (a) x4 (b) x7 (c) x6

3

2

` 2x ` 2x ` 2x ` 2. ´ 31. ` 15. 70

(d) x3 (e) x4 (f) x4 (g) x3 (h) x3 (i) x4 (j) x3 (k) x4 (l) x4 (m) x4

3.5

2

` 6x ` 5x ` 25. ` 8x ` x ` 2x ` 5. ` 10x ` 20x ` 30x ` 22. ´ x ` 1. ´ 2x ` x ` 15. ´ 2. ` 2x ` 10. ` 2. ´ x ` 1. ` 5x ` 2x ´ 12x ` p113! ` 1q. 3

2

3

2

2

3

2

Solu¸c˜ ao de Equa¸co ˜es Alg´ ebricas por Radicais

ao alg´ebrica  ou  equa¸c˜ ao polinomial sobre um corpo  K  ´e uma equa¸c˜ao da Uma  equa¸c˜ forma f  x g x com f  x , g x K  x .

p q“ p q

3.5.1

p q p qP r s

Grau 2

Considere a2 x2

` a x ` a  “ 0. 1

0

A solu¸c˜ao ´e dada por

 ´a ˘ x“ 1

3.5.2

a  ´ a21 2a2

4a2 a0

.

Grau 3

Considere a3 x3

2

` a x ` a x ` a  “ 0 e a mudan¸ca de vari´avel: x “ y ` k a py ` k q ` a py ` k q ` a py ` k q ` a  “ 0 6 a y ` p3a k ` a qy ` p3a k ` 2a k ` a qy ` pa k ` a k ` a k ` a q “ 0 2

3

3

3

3

1

0

2

2

3

2

2

1

3

0

2

2

Anulando o termo de grau 2, temos: 3a3 k Dividindo toda a equa¸c˜ao por a3,

y3

1

3

3

2

` a  “ 0 6 k “ ´ 2

a2 3a3

2

1

0

.

` a1 p3a k ` a qy ` a1 p3a k ` 2a k ` a qy ` a1 pa k ` a k ` a k ` a q “ 0 2

3

3

2

2

3

3

2

1

3

3

3

71

2

2

1

0