BC0103: Física Quântica 1.
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O que é um corpo negro negro e quais são são as características da radiação por ele ele emitida? Um corpo negro é um objeto capaz de absorver a maior parte da radiação incidente sem refleti-la. Um corpo negro ideal absorveria toda a radiação incidente, sem refletir nada. Todo corpo negro, ao absorver radiação, adquire energia que é liberada em forma de emissão de radiação térmica. Por esse motivo, apesar do nome “corpo negro”, ele não é
necessariamente negro, pois a emissão de radiação pode possuir comprimentos de ondas no espectro da luz visível aos seres humanos. Logo, o corpo negro pode absorver a radiação, mas também emite e pode gerar luz.
2.
Qual a origem da catástrofe do ultravioleta? Como este “efeito” está relacionado à hipótese de Planck e ao surgimento da física quântica? A origem da catástrofe do ultravioleta vem da impossibilidade de se prever a radiação em função de um comprimento de onda emitida por corpos negros utilizando a mecânica clássica. Ela levou esse nome pelo fato dos cálculos da fórmula de Rayleigh-Jeans resultarem em que, na medida em que se tomasse comprimentos de onda pequenos, a energia da radiação irradiada pelo corpo negro tenderia ao infinito.
Isso levou a Planck estudar uma alternativa para a mec ânica clássica (a única que possuíam até então). Planck percebeu que o problema estava na energia média por modo , onde, ao tomar que a energia média das cargas oscilantes era uma variável di screta, seus cálculos condiziam com a função empírica. Assim, Planck postulou que essa energia deveria existir apenas em pacotes, que seriam múltiplos inteiros de , onde é a constante de Planck e e a frequência da onda. Assim surgiu a física quântica.
ℎ ℎ
3.
A temperatura da superfície superfície do sol sol é de cerca de 5800 K. Se fizéssemos fizéssemos a suposição suposição de que o sol é um corpo negro radiador, qual seria o comprimento de onda on da do pico de seu espectro (isto é, o comprimento de onda on da em que o Sol irradia mais mai s intensamente)? Em que região do espectro visível ele se situa? Por que então, o sol parece amarelado? De acordo com a lei de deslocamento de Wien:
2,2,89898××−10− · ∴ 2,8985800×10× 10 499,7
De acordo com a figura 1, esse comprimento de onda se encontra na região da luz ciano.
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Figura 1. Espectro eletromagnético. (Fonte: Wikipedia)
Essa faixa se encontra praticamente no meio do espectro visível. Por esse motivo, o sol é amarelado pelo resultado da radiação visível vi sível emitida por ele, que abrange em grande parte todo o espetro visível com máxima correspondendo ao seu centro.
Figura 2. Espectro solar. (Fonte: Arcoweb)
4.
Um corpo corpo negro foi aquecido de temperatura 100°C até 400°C. Determine Determine em quantas vezes mudou a potência total da radiação emitida por este corpo. De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann:
∴ 272722727222 ++ 400401001000 10,6
5.
Mostre que a lei de Stefan-Boltzmann e a lei de deslocamento de Wien podem ser extraídas a partir da fórmula de Planck.
:
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14 ,
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tomando a fórmula (lei) de Planck:
− 8ℎ / 1 , − 8ℎ ∫ ∫ / 1 ℎ ⇒ ℎ − 8ℎ∫ 1 ℎ − 8ℎ∫ 1 ℎ 1 1 [ ℎ ] 8ℎ∫ 1 ℎ ℎ 1 ℎ 8ℎ∫ 1 ℎ 8ℎℎ ∫ 1 2ℎ−− ∫ 1
ao integrarmos sobre todos os comprimentos de onda:
Logo:
Lei de Stefan-Boltzmann
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∎
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Por outro lado, ao maximizarmos a lei de Planck:
0 8ℎ⁄ − 1 0 8ℎ − ℎ⁄ ⁄ 1 0 5−(⁄1)⁄ 1− ⁄ 0 5(1 −⁄) 5 1−− → ∞ ⇒ 5 −1 → 5 ⇒ → 5 → 5 ⇒ 5 1 → 4,9663 ⇒ → 4,9663 ∴ ·5 1ℎ − − 6 , 6 626 ×10 · 2, 9 979×10 → 1,3807 ×10− · 4,9663 → 2,898×10−
Lei de deslocamento de Wien
6.
∎
Mostre que a lei de Planck se reduz à lei de Rayleigh-Jeans para grandes comprimentos de onda. Tomando a lei de Planck:
para quando:
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− 8ℎ ⁄ 1 , →∞ ℎ⁄ → 0
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Logo, pela expansão de Taylor:
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∑ → 0 ⇒ = ! 1+ + 2 +⋯ ≈ 1+ ℎ ∴ ⁄ 1 ≈
− 8 ℎ → ∞ ⇒ → ℎ⁄ ∴ → 8− 7.
Lei de Rayleigh-Jeans
∎
A temperatura de um corpo negro diminui de 1000 K para 750 K. Determine como mudou o comprimento de onda que corresponde ao máximo de emissão do espectro de radiação deste corpo. De acordo com a lei de deslocamento de Wien:
2,898×10− ∴ 1750000 1,33
Logo, o comprimento de onda que corresponde ao máximo de emissão do espectro de radiação do corpo aumentou em 1/3.
8.
Em quantas vezes aumenta a potência total de radiação emitida pelo corpo negro se o máximo de radiação desloca-se da região perto do vermelho λ = 0.70 µm do espectro para região perto do ultravioleta λ = 0. 35 µm?
De acordo com a lei de Stephen-Boltzmann e a lei de deslocamento de Wien :
, 2,898−×10 − ∴ 0,0,730×10 5×10− 16
Logo, a potência total de radiação emitida pelo corpo negro aumenta em 16 vezes.
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9. A medida do comprimento de onda para a qual a distribuição R(λ) é máxima indica que a temperatura da superfície da estrela é 3000 K. Se a potência irradiada pela estrela é 100 vezes maior que a potência irradiada pelo Sol, qual seria o tamanho da estrela? Dado: temperatura da superfície do Sol = 5800 K. Dica: para um corpo negro R = P/A, onde R é a potência irradiada por unidade de área, P é a potência total irradiada e A é a área do corpo, e suponha que as estrelas são corpos negros. Dado que:
, ∗ ∗ ∗ · ∗ , , ∗ ∗ · ∗ ∴ ∗ 10 58003000 37,4
então, assumindo que as estrelas são esféricas:
∗
onde indica a estrela em questão e indica o Sol. Utilizando a lei de Stephen-Boltzmann:
tem-se:
Assim, assumindo que ambas as estrelas são esféricas, a estrela é 37,4 vezes maior que o Sol.
10. Quais características experimentais do efeito fotoelétrico podem ser explicadas classicamente? Quais não podem? Do ponto de vista clássico, experimentalmente no efeito fotoelétrico, o aumento da intensidade da luz incidente aumenta a corrente do circuito.
Por outro lado, o aumento da intensidade da luz incidente também aumenta a amplitude do campo elétrico da luz. Esse campo exerce uma força que aumentaria a energia cinética dos elétrons da placa, o que não condiz com os experimentos.
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Classicamente, o efeito também deveria ocorrer independente da frequência da luz incidente e tal expulsão do elétron deveria acontecer em um dado tempo de acúmulo de energia, dado pelo seu espalhamento na frente de onda, para vencer a sua ligação no material. Para uma luz pouco intensa, esse tempo seria suficientemente grande para que fosse possível sua medição. Nada disso também condisse com os dados experimentais.
11. Quais foram os argumentos de Einstein para introduzir o conceito de fótons e como ele explicava as falhas na teoria clássica? Einstein argumentou que toda energia radiante está quantizada em pacotes concentrados chamados de fótons. Parte do argumento explicava que os efeitos de interferência e radiação eletromagnética observados na luz aconteciam porque os experimentos utilizavam uma quantidade muito grande de fótons, pois retornavam médias de seus comportamentos individuais. Por meio de seu argumento, Einstein explicara que o aumento da intensidade da luz aumentava a quantidade de fótons interagindo os elétrons da placa. Isso aumentaria a probabilidade dos elétrons serem expulsos dos átomos, o que aumentaria a corrente do circuito até um certo limiar de acordo com a quantidade máxima de elétron expostos.
ℎ
Einstein também explicara que cada fóton possui uma energia quantizada de, de acordo com a teoria de Planck, múltiplos inteiros de . Dessa forma, a energia cinética dos elétrons não seria influenciada pela quantidade de fótons incidentes, mas pela magnitude do pacote de energia que é dada pelo comprimento de onda da luz incidente, uma vez que cada elétron poderia interagir apenas com um único fóton por vez. Para tal, cada elemento possuiria uma energia limiar para que seus elétrons pudessem ser removidos, chamada de função trabalho , que fornece a fórmula para a energia cinética do elétron ao absorver um fóton:
ℎ
Quanticamente, como a energia é fornecida em pacotes discretos, não há a necessidade de um tempo de acúmulo de energia pois a absorção do fóton pelo elétron seria imediata, o que emitiria um fotoelétron no mesmo momento caso a energia do fóton fosse maior que a função trabalho do átomo elementar presente na placa.
12. (a) A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é de 2,3 eV. O sódio apresenta efeito fotoelétrico para a luz amarela, com λ = 589 nm? (b) Qual o comprimento de onda de corte para a emissão fotoelétrica do sódio? De acordo com a equação de Einstein:
ℎ ,
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quando a energia cinética máxima de um elétron for igual a zero, temos:
Logo:
ℎ ℎ − 6 , 6 26068 ×10 · 2 , 9 97925 ×10 ∴ 2,3 ·1,602177 ×10− 540
De acordo com a figura 1, o sódio apresenta efeito fotoelétrico na faixa da luz verde de 540 nm, e não para luz amarela.
13. O comprimento de onda limite para o potássio é de 558 nm. Qual é a função trabalho para o potássio? Qual é o potencial de freamento quando é usada luz de comprimento de onda de 400 nm? De acordo com a equação de Einstein:
ℎ , ℎ ⇒ ℎ − 6, 6 26068 ×10 ·2, 9 97925 ×10 − 1, 6 02177 ×10 ∴ 558 ×10− 2,22 ℎ − 6, 6 26068 ×10 · 2 , 9 97925 ×10 ∴ 1,602177 ×10− · 400×10− 2,22 0,880
quando a energia cinética máxima de um elétron for igual a zero, temos:
Assim, a função trabalho do potássio é de 2,33 eV. Para o potencial de freamento (corte)
:
Logo, para um elétron temos:
Dessa forma, o potencial de freamento para a l uz incidente de 400 nm é de 0,880 V.
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14. Incide-se sobre o potássio luz de comprimento de onda igual a 400 nm e intensidade 10−2 W/m2. Estime o intervalo de tempo para a emissão de elétrons esperado classicamente. Suponha que o raio médio do potássio seja da ordem de 10 -10 m e utilize a função trabalho obtida na questão anterior.
ΔΔ Δ Δ Δ ϕ − 2 , 2 2 · 1 , 6 02177 ×10 ∴ Δ 10− · 10− 1,13 ×10 18,8
Como a intensidade é igual a razão entre a potência e área , temos:
Logo:
Como a energia transferida ao elétron para ejetá-lo do átomo é a função trabalho, segue:
Assim, o intervalo de tempo estimado para a emissão de elétrons esperado classicamente é de 18 min 50 s.
15. O molibdênio metálico tem de absorver radiação com a frequência mínima de 1.09 × 1015 s−1 antes que ele emita um elétron de sua superfície via efeito fotoelétrico. (a) Qual é a energia mínima necessária para produzir esse efeito? (b) Qual comprimento de onda de radiação fornecerá um fóton com essa energia? (c) Se o molibdênio é irradiado com luz com comprimento de onda de 120 nm, qual é a possível energia cinética máxima dos elétrons emitidos? De acordo com a equação de Einstein:
ℎ , − ℎ ×10 ∴ 6,1,6626068 02177 ×10− 1,09 ×10 4,51
quando a energia cinética máxima de um elétron for igual a zero, temos:
Assim, a energia mínima necessária para produzir o efeito fotoelétrico é de 4,51 eV.
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2 , 9 97925 ×10 ∴ 1,09×10 275
O comprimento de onda de radiação
para o fóton com essa energia é de:
De acordo com a figura 1, o molibdênio apresenta efeito fotoelétrico na faixa da luz ultravioleta de 275 nm. Se o molibdênio for irradiado com luz com comprimento de onda de 120 nm, a possível energia cinética máxima dos elétrons emitidos é de:
ℎ − 6, 6 26068 ×10 2, 9 97925 ×10 ∴ 1,602177 ×10− 120 ×10− 4,51 5,82
16. Numa experiência fotoelétrica na qual se usa luz monocromática e um foto-catodo de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para λ = 300 nm e de 0,82 V para λ = 400 nm.
Destes dados, determine: (a) O valor da constante de Planck. (b) A função trabalho do sódio em eV. (c) O comprimento de onda limite para o sódio. De acordo com a equação de Einstein:
Logo:
ℎ⁄
ℎ ℎ 1 ℎ Δ1Δ⁄ ℎ 1 1
Dessa forma, o coeficiente angular de inclinação da curva de um gráfico de de . Assim:
Logo:
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1⁄ por
é
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− 1, 6 02177 ×10 0,821 − 6,61×10− · ∴ ℎ 2,997925 ×10 300×101 1−,8 5 400×10
Assim, para esse experimento, a constante de Planck obtida foi de 6,61 x 10 -34 J·s, o que retorna uma precisão de dois algarismos significativos. A função trabalho do sódio é de:
ℎ − 6 , 6 26068 ×10 · 2 , 9 97925 ×10 1 ∴ 1, 66,02177 1, 8 5 − − ×10 300×10 ×10 1 6260681,×10602177− ·×102,997925 − 400×10−0,82 2,28 ℎ − 6 , 6 26068 ×10 · 2, 9 97925 ×10 ∴ 1,602177 ×10− 2,128 544
E o comprimento de onda limite para o sódio é de:
De acordo com a figura 1 e o experimento, o sódio apresenta efeito fotoelétrico na faixa da luz verde de 544 nm.
17. Os comprimentos de onda da luz visível vão de 380 nm a 750 nm, aproximadamente. (a) Qual o intervalo de energias, em eVs, dos fótons de luz visível? (b) Em condições normais, o olho humano é capaz de perceber um clarão se aproximadamente 50 fótons chegarem a córnea. Qual a energia associada a esses 50 fótons se o comprimento de onda for 550 nm? Para os fótons de luz visível, segue:
ℎ 6,6260681,×10602177− ·×102,997925 ×10 1 − 380×10− 3,26 − ℎ 6 , 6 26068 ×10 · 2, 9 97925 ×10 1,602177 ×10− 750×101 − 1,65
Assim, o intervalo de energias dos fótons de luz visível vai de 1,65 eV a 3,26 eV.
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Para o clarão de 50 fótons, sua energia associada com comprimento de onda de 550 nm é de:
50 50 ℎ − 6, 6 26068 ×10 · 2 , 9 97925 ×10 ∴ 50· 1,602177 ×10− 550×101 − 113
18. Os aparelhos de raio X utilizados pelos dentistas funcionam com uma tensão da ordem de 90 kV para aceleração dos elétrons emitidos por um cátodo. Suponha que os elétrons são emitidos com energia cinética inicial desprezível. Determine o comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos por esses aparelhos. Justifique sua resposta explicando como se dá a produção de raios X. A produção de raio X se dá pelo bombardeio de elétrons aceleradas pelo cátodo em um anodo. Esses elétrons desaceleram ao se chocarem com o núcleo dos átomos do anodo devido à interação coulombiana, pois transferem momento para o núcleo. Essa desaceleração submete o elétron a uma perda de energia, o que acaba gerando ondas eletromagnéticas como um fóton de raio X. Como o raio X emitido deve ter energia máxima igual ao do elétron incidente que perde toda a sua energia, de acordo com a equação de Einstein, para um elétron:
ℎ ℎ ℎ − 6 , 6 26068 ×10 · 2 , 9 97925 ×10 ∴ 1,602177 ×10− 90×101 0,14 Å
Para um elétron, segue que:
Logo, comprimento de onda mínimo
para que os elétrons sejam ejetados do anodo é:
19. Calcule o valor de ∆λ para um fóton espalhado a um ângulo de 60 °: (a) por um próton livre. (b) por um elétron livre. (c) por uma molécula de N 2 presente no ar.
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De acordo com a equação de Compton:
onde:
Δ ℎ 1cos , − 1cos60° ≈ 1,105 ×10− · ℎ 1 cos60° 62,,6926068 ×10 97925 ×10 − 1, 1 05×10 Δ 1,672622 ×10− 0,66×10− Å 105 ×10×10−− 0,012 Å Δ 9, 11,09382 − 1, 1 05×10 Δ 2· 14· 1,660539 ×10− 0,24×10− Å
Logo, o deslocamento de Compton em um ângulo de 60° para um próton livre é de:
Enquanto, para o elétron livre é de:
E para uma molécula de N² presente no ar é de:
20. O comprimento de onda de uma certa linha da série de Balmer é 379.1 nm. A que transição corresponde essa linha? De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
tem-se:
1 1 1 , √1⁄ 11 ⁄ 2 √ 1⁄4 11⁄ ∴ √ 1⁄4 1⁄1,0973731×10 · 379,1 ×10− 10 10 2
Logo, para a série de Balmer com
:
Assim, a transição correspondente para o comprimento de onda dado na séri e de Balmer e da camada para a camada .
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21. Um astrônomo descobre uma nova linha de absorção com λ = 164.1 nm na região ultravioleta do espectro contínuo do Sol. Ele atribui a linha à série de Lyman do hidrogênio. A hipótese está correta? Justifique sua resposta. De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
tem-se:
1 1 1 , √1⁄ 11 ⁄ 1 1 √ 1 1⁄ ∴ √ 1 1⁄1,097373 ×101 · 164,1 ×10− 1,5 1 1,5
Logo, para a série de Lyman com
:
Para a série de Lyman, a transição para o comprimento de onda dado corresponderia à camada para a camada , a qual não poderia existir, pois as posições delimitadas possíveis de acordo com o modelo atômico de Bohr são bem definidas uma vez que a energia é quantizada.
22. Em uma amostra que poderia conter hidrogênio, entre outros elementos, quatro linhas espectrais são observadas no infravermelho com comprimentos de onda de 7460 nm, 4654 nm, 4103 nm e 3741 nm. Para se descobrir se há hidrogênio e etc. na amostra pode-se comparar essas linhas com a dos espectros característicos dos elementos. Quais dessas linhas pertencem ao espectro característico do hidrogênio? De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
tem-se:
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1 1 1 , √1⁄ 11 ⁄
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5
Logo, para a série de Pfund, que demandaria menos energia, logo, maior comprimento de onda, com :
√ 1⁄25 11⁄ 74601 √ 1⁄25 1⁄1,097373 ×10 · 7460 ×10− 6 4654 1 √ 1⁄25 1⁄1,097373 ×10 · 4654 ×10− 7 4103 1 √ 1⁄25 1⁄1,097373 ×10 · 4103 ×10− 7,5 3741 1 √ 1⁄25 1⁄1,097373 ×10 · 3741 ×10− 8
Assim, para o comprimento de onda de
:
Para o comprimento de onda de
:
Para o comprimento de onda de
:
E para o comprimento de onda de
:
4654 73741 8
7460 6
5
Assim, apenas as linhas correspondentes aos comprimentos de onda de e , que possuem transições da camada para as camadas e , respectivamente, pertencem ao seu espectro de emissão.
, ,
23. O muón é uma partícula idêntica ao elétron exceto pela massa, que é de 105.7 MeV/c² (cerca de 207 vezes a massa do elétron). Um muón pode ser capturado por um próton formando um átomo muônico. Calcule, para este átomo: a) O raio da primeira orbita de Bohr. b) A energia do estado fundamental. c) O comprimento de onda mais curto e o mais longo para a série de Balmer. De acordo com a mecânica clássica, a força magnética elétron é dada pela fórmula:
de atração do muón ao centro do
4
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Como, pela primeira lei de Newton e desprezando a correção de massa reduzida:
Onde
4 , 4 ℏ ⃗ ×⃗ , ℏ , 4 ℏ ℏ ⇒ 4 1 − 6, 6 26 ×10 1 · 2 − ∴ 4 ·8,854×10 105,7×102,998 · 1,×10602×10 − − ·1· 1 , 6 02×10 2,559 ×10− Å 2,559×10− Å ∞ 1 1 ∫ ∫ 4 4 [ ] ⇒ 4
é a aceleração centrípeta (tomando como modelo o átomo de Bohr), segue que:
onde:
Assim, de acordo com postulado de Bohr:
onde:
tem-se:
Para a primeira órbita do átomo onde
:
Logo, o raio do átomo formado entre um muón e um próton é de
.
Agora, a energia potencial devido a força de atração do núcleo vinda de fora do átomo à uma distância do centro é:
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E a energia cinética do muón devido ao seu movimento translacional é:
12 12 · 4 1 + 2 · 4 4 4 12 1 ⇒ 8 − 1· 1 , 6 02 ×10 ∴ 8 ·8,854×101,602−×10 · 2,−559×10− 2,813 2,813 8 · 4ℏ ⇒ 42ℏ · 1 ℎ 41 4ℏ 1 1 , 1 41 4ℏ 1 1 1 1 1 − 1 1 ⇒ [ ] ,
Logo, a energia total do muón em seu estado fundamental é:
Assim, a energia do estado fundamental do átomo é de
.
Podemos escrever a energia também como:
Pelo postulado de Bohr, segue que a frequência da radiação eletromagnética emitida quando o muón sofre uma transição de estado quântico para :
Como:
temos que:
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onde:
− 4 44ℏ·8,854 − 6, 6 26×10 4 · 2, 9 98 ×10 2 ×10− 105,7×102,998×10 · 1,602×10 − · 1,602×10− ·1 4,40789 Å 2 → ∞ − 1 − 4,40789 ×10 2 0 1,763 − 3 4,40789 ×10− 2 1 31 3,174
Logo, para a série de Balmer, onde acontece quando
, o comprimento de onda mais curto
:
E o comprimento de onda mais longo
acontece quando
:
24. (a) Calcule os três comprimentos de onda mais longos (em Å) da série de Lyman e indique sua posição em uma escala linear horizontal. Indique também o limite da série (comprimento de onda mais curto) nessa escala. Algumas dessas linhas está no visível? (b) Repita este mesmo procedimento para as séries de Pashen e Brackett. (c) Calcule a frequência, comprimento de onda e o número de onda da raia H β , que correspondem a transições de n = 4 para n = 2, da série de Balmer.
De acordo com a dedução do exercício 23, o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron sofre uma transição de estado quântico para é:
1 41 4ℏ 1 1 1 1 − 1 1 ⇒ [ ] , − 1 9, 1 09 ×10 4ℏ − 4 − 6, 6 26×10 4 · 2, 9 98 ×10 2 9,411663·8,854×10×10− − 9,109×10− · 1 · 1,602×10−
onde, tomando a massa do elétron igual a
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e
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:
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1 2 3 4 − 1 1 − 9,11663 ×10 1 2 1 216 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 1 3 1 026 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 1 4 972,4 Å − → ∞ 9,11663 ×10− 1 1 0 911,7 Å 3 4 5 6 − 1 1 − 9,11663 ×10 3 4 18 754 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 3 5 12 820 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 3 6 10 940 Å − → ∞ 9,11663 ×10− 31 0 8 205 Å 4 5 6 7 − 1 1 − 9,11663 ×10 4 5 40 518 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 4 6 26 256 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 4 7 21 659 Å Logo, para a série de Lyman, onde e
, os 3 comprimentos de onda mais longos
acontecem quando
,
E o comprimento de onda mais curto
Para a série de Pashen, onde e
Fernando Freitas Alves
:
, os 3 comprimentos de onda mais longos ,
E o comprimento de onda mais curto
e
, respectivamente:
acontece quando
acontecem quando
Para a série de Brackett, onde
e
e
:
, os 3 comprimentos de onda mais longos ,
,
, respectivamente:
acontece quando
acontecem quando
,
e
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,
, respectivamente:
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− → ∞ 9,11663 ×10− 4 1 0 14 587 Å 2 4 − 1 1 − 9,11663 ×10 2 4 4 862 Å 1 4862 ×101 − 2,057 − 2 , 9 98 ×10 4862 ×10− 61,66
E o comprimento de onda mais curto
Para a série de Balmer, onde
acontece quando
, o comprimentos de onda
:
quando
é:
Seu número de onda e frequência são, respectivamente:
25. (a) Calcule a energia de um elétron na órbita n = 1 do tungstênio, tomando Z −1 como carga efetiva do núcleo. (b) O valor experimental dessa energia é 69.5 keV. Suponha qu e a carga nuclear efetiva é (Z − σ), onde σ é a chamada constante de blindagem, e calcule o valor de σ a partir do resultado
experimental. De acordo com a dedução do exercício 23, a energia de um elétron na órbita de um átomo é:
42ℏ · 1 9, 1 09× − 10 − − 9,4109·8,×10854 ×10 · −74 ·12· 16,,660226×102×10− · 11 11,61 72,48 4 2ℏ · 1 4 2ℏ ⇒ Sabendo que o número atômico , segue:
do tungstênio é 74 e a massa do elétron igual a
Para a constante de blindagem , tem-se:
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69,5 − 6, 6 26 ×10 − 4 ·8, 8 54×10 · 2· · 1 2 74 69,5×10 · 1,602 ×10− 9,109 ×10− · 1,602 ×10− 2,5 Logo, o resultado experimental
indica que a constante de blindagem é:
26. Enuncie e discuta as consequências do princípio da correspondência. No limite de grandes órbitas e altas energias, os resultados quânticos devem coincidir com os resultados clássicos. De acordo com o princípio de correspondência, sejam quais forem as modificações introduzidas na física clássica para descrever o comportamento da matéria em nível submicroscópico, quando esses resultados são estendidos ao mundo macroscópico, devem estar de acordo com as leis da física clássica, que foram exaustivamente testadas em nosso dia a dia.
(Gabriel R. Schleder)
27. Calcule o raio da órbita de Bohr no hidrogênio para n = 100. Use o princípio de correspondência para calcular os comprimentos de onda da radiação emitida por elétrons que decaem para este nível a partir dos níveis n = 101 a 103.
28. Em uma mistura de hidrogênio ordinário e trítio (isótopo que tem um núcleo com massa aproximadamente três vezes maior que H), que separação terão os comprimentos de onda da linhas Hα , que correspondem a transições de n = 3 para n = 2, do dois tipos de hidrogênio?
De acordo com a dedução do exercício 23, o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron sofre uma transição de estado quântico para é:
1 41 4ℏ 1 1 1 1 − 1 1 ⇒ [ ] , 9,109 ×10− 1
onde, tomando a massa do elétron igual a
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e
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4ℏ − 4
− 6, 6 26×10 4 · 2, 9 98 ×10 2 9,411663·8,854×10×10− − 9,109×10− · 1 · 1,602×10− 3 2 − 1 1 [ ] − 1 1 ⇒ 1+ ⁄ [ ] − − 9, 1 09 ×10 1 1 − ∴ 1+ 1 6.02210×10− 9,11663 ×10 2 3 6 567,6 Å − − 9, 1 09 ×10 1 1 − 1+ 3 6.02210×10− 9,11663 ×10 2 3 6 565,2 Å | | 2,4 Å
Logo, o comprimento de onda da radiação emitida pelo elétron quando ele transpassa da camada para , utilizando a correção para massa reduzida, é:
Analogamente, o comprimento de onda sob os mesmos parâmetros para o trítio, utilizando a correção para massa reduzida, é:
Assim, a separação de seus comprimentos de onda será de:
29. Discuta a dualidade onda partícula dos elétrons. De acordo com os experimentos de J.J. Thomson, ao medir a razão entre carga e massa do elétron através de um tubo de raios catódicos, ficou evidente a existência e o caráter corpuscular do mesmo. Esse trabalho lhe rendeu o prêmio Nobel de Física em 1906. No entanto, de acordo com os experimentos de seu fil ho G.P. Thomson, ao se analisar o efeito de difração de elétrons de alta energia em uma substância policristalina, ficou evidente o caráter ondulatório do mesmo. Esse trabalho, controversamente, também lhe rende o prêmio Nobel em 1938. G.P. Thomson conseguiu demonstrar, então, independentemente a relação de de Broglie.
ℎ⁄
ℎ
A relação de de Broglie diz , onde é o comprimento de onda, é a constante de Plank e é o momento. Essa relação, serve tanto para radiação quanto para partículas.
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Dessa forma, aspectos ondulatórios estão relacionados com aspectos corpusculares, onde se pode prever que o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material que tem um momento . Essa é a dualidade onda partícula, o qual foi provada para o elétron por G.P. Thomson.
30. Qual o comprimento de onda de de Broglie para uma bola de futebol de massa m = 0.5 kg se movimentando com uma velocidade de 5 m/s? E para um elétron com energia cinética de 100 eV? E para um objeto muito pequeno, porém macroscópico de massa 10−9 g (a massa do elétron é de 9×10−29 g!) que se move com a velocidade da luz? Baseado nestes resultados, porque não observamos efeitos de difração e interferência para tais objetos utilizando fendas? De acordo com a relação de de Broglie:
tal que:
ℎ , , − 6,6260,5×10· 5 3× 10− Å − 9,109 ×10−6, 6· 26 2×101009,1·109,602×10×10−− 1,23 Å − 6, 6 26 ×10 10− × 10− ·2,998×10 2×10− Å
o comprimento de onda de de Broglie
Para o elétron, seu comprimento de onda
para a bola de futebol é:
é:
Para o objeto que se move na velocidade da luz, seu comprimento de onda
é:
Não podemos observar efeitos de difração para tais objetos utilizando fendas pois não possuímos tecnologia suficiente para se criar tais superfícies. No entanto, para o elétron citado, percebe-se que seu comprimento de onda de de Broglie está em escala atômica, ou seja, é praticamente o tamanho de um átomo. Para tal, podemos utilizar métodos de difração em cristais utilizando a lei de Bragg, onde o espaçamento entre os planos de um cristal específico são tais que, para certos ângulos, é possível mensurar a intensidade múltipla de sua onda devido ao efeito de superposição construtiva da mesma ao se espalhar por entre os planos e ser refletida.
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31. Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 23 kV. Qual é o comprimento de onda dos elétrons? De acordo com a relação de de Broglie:
tal que:
ℎ , , − 9,109×10− ·6, 622623×10×109,109 · 1,×10602−×10− 0,081 Å
o comprimento de onda de de Broglie do elétron acelerado é:
32. Para uma partícula cuja energia cinética é muito maior do que sua energia de repouso, vale a aproximação E = pc. Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um elétron de 100 MeV de energia usando essa aproximação. De acordo com a relação de de Broglie:
tal que:
e:
ℎ , , + ; ≫ ⇒ ≈ ⇒ ≈ − 100 ×106,2,6926×10 98×10 · 1,602 ×10− 1,24×10− Å
o comprimento de onda de de Broglie do elétron é:
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