Liping Ma - Conocimiento-y-enseñanza-de-las-matemáticas.pdf

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LIPING MA Universidad de California, Berkeley

CONOCIMIENTO Y ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS ELEMENTALES La comprensión de las matemáticas fundamentales que tienen los profesores en China y los EE.UU.

Editor: Patricio Felmer Aichele Coordinador editorial: Marcela Reyes Azancot

Título original: Knowing and teaching elementary mathemathics Traducción de: Paula Micheli

1ª edición marzo de 2010. Nº de Inscripción: 190861 I.S.B.N.: 978-956-8304-04-1 © 2010 por Academia Chilena de Ciencias. Derechos reservados para todos los países. Editado por Academia Chilena de Ciencias. !"#$%&'()*+&,))-.)/0/))1%&'#%2+34(&'$+5)6(!78+&+)/9:;9/:5 E-mail: [email protected] Santiago de Chile.

!"#$%&'()*+%, ?@@#+&(A)B$CD@%A Diseño de portada: Juan Manuel Neira. Impreso por: B$%D@%&>(AE Santo Domingo 4593. Santiago de Chile.

A Jianfeng, Sushu y John, y a Cathy Kessel, con el más profundo amor y aprecio.

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Contenidos

Prefacio a la edición en español . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XXI Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Resta con reserva: Enfoques para enseñar un tema . . . . . . . . . . . . . . . 11 El enfoque de los profesores norteamericanos: !"#$%&'()*!#+#(!*%,!+-%./01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 El enfoque de los profesores chinos: “descomponer una unidad de mayor valor”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2. Multiplicación con números de varios dígitos: Manejo de los errores de los alumnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 El enfoque de los profesores norteamericanos: Alinear versus separar en tres problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 El enfoque de los profesores chinos: Elaborar el concepto de valor posicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3. Generar representaciones: División por fracciones . . . . . . . . . . . . . . . 71 El desempeño de los profesores norteamericanos en el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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El desempeño de los profesores chinos en el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . !" Las representaciones de los profesores norteamericanos de la división por fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #$" El enfoque de los profesores chinos %&"'()*(+,%-."-/"&%"-(0('(1*"2.3"43%,,(.*/' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !" 4. Explorando nuevos conocimientos: La relación entre área y perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !# Cómo exploraron la idea nueva los profesores norteamericanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Cómo exploraron la idea nueva los profesores chinos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $% 5. Conocimiento disciplinario de los profesores: Comprensión profunda de las matemáticas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & Una imagen del conocimiento de los profesores '()*+,-.-/0.12,-34-5+,-/46.,7-89:;5-4,-,:-,:,/.*').-6./46;/)'.< . . . Paquetes de conocimientos y sus partes claves: Entender la coherencia longitudinal en el aprendizaje . . . . . . . . . . . . Las matemáticas elementales como matemáticas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comprensión profunda de las matemáticas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Comprensión profunda de las matemáticas fundamentales: Cuándo y cómo se logra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #& 89:;*3+-,4-5+>0.-:*.-'+6?04*,)@*-?0+A:*3.-34-5.,-6./46;/)'., A:*3.64*/.54,0:?+,-34-4,/:3).*/4,-.'40'. de los cuatro temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #"

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!"#$%&'()&*#$!+,&-.*-%*/.'*".0%"10(2.' +,&-."%&0./%'3*4 )"!*'%*/!5$.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 78!$-.$9*.*/.*:%;9*%/*2!&!2("(%&0!*-%/*#$!+%'!$*%=!$.$*/.*(&0%$.22()&*%&0$%*%/*%'0,-(!*?,%*@.2%&*/!'*#$!+%'!$%' de las matemáticas y el cómo enseñarlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A%!$(%&0.$*/.*+!$".2()&*#%-.5)5(2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 !"#$%&-%$*%/*#.#%/*?,%*#!-$B.&*-%'%"#%C.$*/!'*".0%$(./%' #%-.5)5(2!'9*(&2/,(-!'*/!'*0%D0!'*%'2!/.$%'9*%&*/.*$%+!$". . . . . . . . . . 182 E&0%&-%$*/.*2/.:%*-%*/.*$%+!$".3* ,./?,(%$.*'%.*/.*+!$".*-% (&0%$.22()&*%&*%/*.,/.9*F'0.*'%*-%8%*%&+!2.$*%&*".0%"10(2.' serias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Índice de autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Índice temático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

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Prefacio a la edición en español Con la traducción de este libro al español, la Academia Chilena de Cien cias pone a disposición de la comunidad educacional un texto de extraor dinario valor, en momentos de crucial importancia para la educación en nuestro país. La calidad de la educación se ha puesto en el centro de la discusión pública y en los próximos años será un sector que concentrará debates y propuestas, y que requerirá de enormes esfuerzos por parte de todo el conjunto de actores educacionales. En este contexto, el sistema de formación de profesores pondrá grandes desafíos al Ministerio de Educa ción y a las universidades formadoras de profesores. El primero deberá !"!#$!%&'&()*+#,-!%&+.&*%!/!0)&12+&3+&4!&5+#-6)&4!,-+#6)&+#&+.&(%)7%!8!& 9#-,-!:& 6+"#-+#6)& +& -8(.+8+#*!#6)& ().;*-,!3& 6+& .!%7)& (.!$):& 12+& (+%8tan mover al sistema de formación de profesores, en un proceso de trans formaciones profundas, hacia la superación de problemas arrastrados ya por muchos años. Las segundas deberán redoblar sus esfuerzos por una %+#)5!,- 16 65< 61DA923 63=;74 29B4>5C4 la importancia del aprendizaje en el ejercicio de la docencia, el aprendizaje 29>72 04728 6;D047>5293; ?48 2=0275296548 E6FD; 2982:48 28>;G EH1< 85I95JK 64 28>2 6;9620>;G E6FD; 82 72812?L2 28>2 07;M?2D4G E28 >1 D;3; D2N;7 29 >;3;8 ?;8 648;8G E0;7 H1< 284 4?1D94 9; 29>52932 D5 2=0?56465F9G E0;7 H1< 4 D58 4?1D9;8 ?28 6128>4 28>;G EO 6FD; 4 D5 9; D2 7281?>4 >1 28>74>2I54G@@@ La constante búsqueda de nuevos conocimientos, de una comprensión más profunda de las matemáticas, del desarrollo de nuevas habilidades, de nueK vas estrategias y metodologías de enseñanza en un mundo cambiante, es crucial y el sistema educacional debe crear los espacios para el crecimiento profesional y estimular a los profesores y profesoras a que los ocupen. Con esta publicación invitamos a los alumnos de pedagogía en educaK 65F9 MP8564 4 72Q2=5;947 O 0720474782 0474 ?;8 3284BR;8 H12 ?4 2982:49C4 32 ?48 D4>2DP>5648 ?28 072829>47P@ S4DM5475;8 O 4 las autoridades de las facultades e instituciones que tienen a su cargo la forK mación de profesores, a leer esta obra y extraer sus conclusiones. La autora ofrece ideas y propuestas que sólo tendrán realidad en las decisiones que 012349 >;D47 ?48 41>;7534328 O ?;8 4643475;8U 4M75293; ?4 posibilidad de llevarlas a la práctica. La edición de esta versión en español, del celebrado libro de Liping Ma está orientada principalmente al medio nacional, pero no nos cabe duda H12 81 59>272D48 B1934D29>4?28 que trata. La realidad chilena no es muy distinta a la de muchos países de ?4 72I5F9 ?4>59;4D2756494 0;7 ?; H12 ;B7262D;8 28>4 ;M74 >4DM5;3;8 aquellos que allí quieren mejorar su propia educación. La edición de este libro ha sido posible gracias al convenio de colaboK ración entre el Ministerio de Educación de Chile y la Academia Chilena de Ciencias y a la colaboración de numerosas personas, entre las que desK tacan Servet Martínez, que como presidente de la Academia Chilena de Ciencias impulsó con fuerza el rol de la Academia en educación escolar, V4?;D< W47>R92C O A2;9;7 X4748U 59L28>5I43;748 29 2? P724 32 D4>2DP>5648 y de educación, por su permanente estímulo para lograr esta publicación y Marcela Reyes, por la coordinación diligente del proceso de edición.

Patricio Felmer, Editor Miembro Correspondiente Academia Chilena de Ciencias Santiago, Marzo de 2010

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Prefacio LEE S. SHULMAN The Carnegie Foundation for the Advancement of Teaching. Stanford, California. EE.UU.

!"#$#!$%&$'()*+$(&,*#-)'#.$/#*+$"01)(2&$#!$(&,*#-)'#1#&"#$34,('$10'(&"#*/*#5 tar sus enseñanzas más importantes. Liping Ma ha llevado a cabo un estu5 dio que compara la comprensión matemática en relación con las prácticas de enseñanza en el aula, entre profesores de enseñanza primaria de EE.UU. 6$78(&09$:;+$:?%2$/+#4',$%&'($6#(#($3#(2%?(,$5!$6AH/6!$!%0'4/3!3$3#5$2%#15'$(#$ acercó a mí y me sorprendió al pedirme que me convirtiera en profesora de la escuela primaria del pueblo, para educar a sus hijos. La mayoría de los campesinos de esa región montañosa eran analfabetos y querían ferviente; mente cambiar el destino de las siguientes generaciones. Hoy, cuando sostengo el manuscrito del libro en mis manos y miro ha; cia el pasado, veo claramente el punto donde comenzó mi carrera, a la niña de Shangai que luchó duramente por enseñar, todos los ramos, a dos cur; sos de niños campesinos. Ha sido un largo viaje con penas y alegrías; todo el valor de este libro, si es que tiene alguno, se ha forjado durante este viaje. No habría sido posible hacer este libro sin haber recibido ayuda a lo lar; go del camino. El texto se dio en dos etapas: la investigación y redacción de mi tesis y, su revisión como libro. Ambas etapas se lograron con la ayuda de numerosas personas e instituciones. Primero que nada, estoy profundamente agradecida de la Fundación Spencer y la Fundación McDonnell por las becas de doctorado y postdoc; torado que apoyaron la escritura y revisión de mi tesis. I(0'G$ #(2#"/!56#&0#$ #&$ 3#%3!$ "'&$ 5!($ !"!3?6/"!($ D.!4'&$ J#/6!&; Nemser, Lynn Paine y sus familias, de la Universidad Estatal de Michigan (MSU) en East Lansing, mi “ciudad natal” en los EE.UU. Mi hogar intelec; 0%!5$@%#$#5$24'G#"0'$KILK$G$'10%9#$#&'46#($1#&#M"/'($3#$6/$4#5!"/:&$"'&$ los miembros del proyecto. Mi trabajo se construye a partir del TELT, tanto /&0#5#"0%!56#&0#$ "'6'$ !$ 04!9?($ 3#5$ %('$ 3#$ 5!($ 24#E%&0!($ N%#$ 3#(!44'55:$ B#1'4!.$O!55$G$5'($3!0'($4#"'2/5!3'($2'4$#55!,$D.!4'&$J#/6!&;P#6(#4,$>#; 44G$L!&/#4,$Q/".#55#$>!4R#4$G$8/".!43$>4!S!0=$-%!&3'$55#E%?$!$5'($II=TT=$ (:5'$0#&F!$)*$3:5!4#($#&$6/$1'5(/55'$G$D.!4'&,$6/$"'&(#C#4!,$(#$#(@'4U:$#&$ ayudarme a encontrar una ayudantía en investigación para que pudiera "'&"#&04!46#$#&$6/$3#(!44'55'$!"!3?6/"'=$D%$('14#(!5/#&0#$!G%3!&0F!$#&$

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enseñanza e investigación, iluminó y seguirá iluminando mi investigación en la formación de profesores, así como a las investigaciones de todos sus otros alumnos. Antes de conocer a la profesora Lynn Paine, por la llamada telefónica en chino que me hizo, no me di cuenta de que era norteamerica na. De ella recibí mi primera y sólida formación para realizar investigación !"#$%$#&'($#)*+$*+,-&#&'.$/*01%*#,+)#$!+2*&(3(*3'+34"(*,+)*&(3'!5*,+* mi tesis en Stanford, la profesora Paine leyó mi trabajo y me dio comenta rios detallados y considerados para mejorarlo. 6$*)#*078*9-+,5*!#34'5$*+$*,+-,#*&($*)(%*:"(;+%("+%**)-%0,%,1,%.,()*/9 Aunque los profesores norteamericanos que el TELT entrevistó se con? 150,():)*%2/(%1/:(,%,-%2(/6,05/=%@/%5*+,*+4%/:+,*,(%3*)%.515A*%6B1%(,2(,? 1,*+)+5.)%0,-%8/*/8565,*+/%C3,%+5,*,*%-/1%2(/D,1/(,1%8E5*/19%F-,3#%-?"6!)!"*("#%'%#151*',%"-&-,!',1+%"2*"(%-"6)%@*-%)*-A"*B!#,1,&2;" -1C'13#!2%"D"#%'*#,1+12!2/"E"6*-!)"2*"*B6!'21)"D"2*-!))%((!)"#%'#*6#1% nes de cuál debería ser el conocimiento disciplinario de las matemáticas que los profesores deben tener, Ball y otros investigadores han estado li mitados por sus datos en el desarrollo de una visión concreta de dicho conocimiento. 0'"*("#!6>,&(%"F"-*"#%51*'G!"!"2*-!))%((!)"*-,*",*5!/"0'"H(;")*+1-%"(!-" distintas comprensiones descritas en los capítulos de datos, discuto a lo I&*" 5*" )*3*)%" 6%)" 5!,*5.,1#!-" @&'2!5*',!(*-" D" (%" I&*" -1C'13#!" ,*'*)" una comprensión profunda de las matemáticas fundamentales (CPMF). Una comprensión así, va más allá de poder calcular en forma correcta y de dar fundamentos para algoritmos de cálculo. Un profesor o profeso ra con una comprensión profunda de las matemáticas fundamentales no sólo está consciente de la estructura conceptual y actitudes básicas de las 5!,*5.,1#!-"1'J*)*',*-"!"(!-"5!,*5.,1#!-"*(*5*',!(*-"-1'%"I&*;",!5$1H'" es capaz de enseñarlas a los alumnos. El profesor de primer grado que !(1*',!"!"(%-"!(&5'%-"!"2*-#&$)1)"I&H",1*'*'"*'"#%5K'"#1'#%"5!'G!'!-;" #1'#%"$(%I&*-"D"#1'#%"'1L%-"D"(%-"!D&2!"!"*B,)!*)"*("#%'#*6,%"2*"F"!"6!) tir de estos distintos elementos, inculca una actitud matemática: usar los números para describir el mundo. El profesor de tercer grado que dirige (!"21-#&-14'"2*"6%)I&H"M"N"O"N"P"Q"9"N"P"Q"8O"'%"6&*2*"*-#)1$1)-*"#%5%"M"N" O"N"P"Q"9"N"8O"!D&2!"!"-&-"!(&5'%-"!"!(#!'G!)"&'"6)1'#161%"$.-1#%"2*"(!-" matemáticas, la igualdad. El profesor que explica a sus alumnos que dado I&*"ORM"B"PR"Q"ORM"B"R"N"ORM"B"PS;"&'%"2*$*"5%+*)"(!"-*C&'2!"#%(&5'!" a la izquierda al usar el algoritmo estándar de la multiplicación, ilustra principios básicos (reagrupar, propiedad distributiva, valor posicional) y &'!"!#,1,&2"C*'*)!("7'%"*-"-&3#1*',*"-!$*)"#45%;"&'%",!5$1H'"2*$*"-!$*)" T*1'J!)2,"D"U#J512,"789:F