LIOP1_U1_A2_DISR.docx

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones INGENIERIA EN LOGISTICA Y TRANSPORTE

Facilitador del curso de: Roberto Reyes Solis

Materia: Investigación de Operaciones 1

Grupo: LT-LIOP1-1403C-001

Alumno(a): Diego Efraín Servin Rodríguez Matricula: AL12503884

Trabajo: Actividad 2. Relacion de variables

León, Guanajuato., a jueves, 30 de octubre de 2014

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones Ejercicio 1 Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:

Y/X

100

50

25

14

1

1

0

18

2

3

0

22

0

1

2

Se pide: a) Calcular la covarianza. b) Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal. c) Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.

xi · fi

xi2 · fi

yi · fi

yi2 · fi

xi · yi · fi

1

100

10 000

14

196

1 400

18

2

200

20 000

36

648

3 600

50

14

1

50

2 500

14

196

700

50

18

3

150

7 500

54

972

2 700

xi

yi

100

14

100

fi

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones

50

22

1

50

2 500

22

484

1 100

25

22

2

50

1 250

44

968

1 100

10

600

43 750

184

3 464

10 600

Es una correlación negativa débil.

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones Ejercicio 2 En una muestra de 1500 individuos se recogen datos sobre dos medidas antropométricas X e Y. Los resultados que se obtienen son x = 14, y = 100,

sx= 2,

sy= 25, sxy= 45.

Obtener el modelo de regresión lineal que mejor aproxima Y en función de X. Utilizando este modelo calcular de modo aproximado la cantidad Y esperada cuando X = 15. Buscamos la recta ˆ Y = a + b X que mejor aproxima los valores de Y, según el criterio de los mínimos cuadrados, en la nube de puntos que resulta de representar en un plano (X, Y) las 1500 observaciones. Los coeficientes de esta recta son:

(

)(

)

Así, el modelo lineal es: Y = −57.5 + 11.25X. Por tanto, si x = 15, el modelo lineal predice un valor de Y de y = −57.5 + 11.25 (15) = 111.25. En este punto hay que preguntarse como de fiable es esta predicción. Ejercicio 3 Se ha llevado a cabo un ajuste lineal a una nube de puntos formada por observaciones de dos variables X e Y y se ha obtenido un coeficiente de determinación de 0.03. Discutir si las siguientes afirmaciones son ciertas y porque: a) El coeficiente de correlación lineal entre X e Y valdrá 0.173. b) La covarianza entre X e Y puede ser negativa. c) Las variables X e Y son casi independientes. d) El coeficiente de determinación entre −X e Y valdrá -0.03. e) El coeficiente de determinación entre −X y −Y valdrá 0.03. f) Solo el 3% de la variabilidad total de Y queda sin explicar en el modelo. Falso, = √ √ Cierto. Falso, pues la relación entre X e Y puede ser no lineal. Falso, nunca puede ser negativo. En este caso = 0.03. Cierto. Falso, el modelo solo explica un 3% de la variabilidad de Y, por tanto, queda por explicar un 97%.

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones Ejercicio 4 En una empresa de transportes trabajan cuatro conductores. Los años de antigüedad de permisos de conducir y el número de infracciones cometidas en el último año por cada uno de ellos son los siguientes:

Años (X)

3

4

5

6

Infracciones (Y)

4

3

2

1

a) Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

b) c) d) e)

xi

yi

x i ·y i

xi2

yi2

3

4

12

9

16

4

3

12

16

9

5

2

10

25

4

6

1

6

36

1

18

10

40

86

30

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones Ejercicio 5 La tabla siguiente contiene la edad X y la máxima de 10 mujeres: Edad

56

Presión

14.8

42

72

36

12.6 15.9

11.8

63

47

14.9 13.0

55

de la presión sanguínea Y de un grupo 49

38

42

15.1 14.2 11.4

14.1

a) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre las variables y decir que indica. b) Determinar la recta de regresión de Y sobre X, justificando la adecuación de un modelo lineal. Interpretar los coeficientes. c) Valorar la bondad del modelo. d) Hacer las predicciones siguientes, solo cuando creías que tengan sentido: 1) Presión sanguínea de una mujer de 51 años. 2) Presión sanguínea de una niña de 10 años. 3) Presión sanguínea de un hombre de 54 años. Respuestas: Construimos la tabla auxiliar para realizar los cálculos de los apartados a) y b): 56

14.8

3136

219.04

828.8

42

12.6

1764

158.76

529.2

72

15.9

5184

252.81

1144.8

36

11.8

1296

139.24

424.8

63

14.9

3969

222.01

938.7

47

13

2209

169

611

55

15.1

3025

228.01

830.5

49

14.2

2401

201.64

695.8

38

11.4

1444

129.96

433.2

42

14.1

1764

198.81

592.2

500

137.8

26192

1919.28

7029

Las medias son:

Las varianzas y covarianza son:

y el coeficiente de correlación lineal es √

Que indica una dependencia lineal moderada y directa entre X e Y. Cuanto mayor es X mayor tiende a ser Y. La recta de regresión de Y sobre X es Y = a + b X, cuyos coeficientes son:

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones

El coeficiente a es la intersección con el eje de ordenadas, mientras que b es la pendiente de la recta de regresión. c) El ajuste del modelo se mide mediante el coeficiente de determinación , que en el caso del modelo lineal coincide con . Entonces, = 0.892 = 0.79, que indica que un 79% de la variabilidad de Y viene explicada por el modelo de la recta de regresión, mientras que queda sin explicar un 21% de la variabilidad. d) Solo tiene sentido realizar la predicción del apartado (d1). Para un valor de x = 51 el modelo predice un valor de y = 7.95 + 0.12 · 51 = 13.90. Ejercicio 6 En un grupo de 8 pacientes se miden las cantidades antropométricas peso y edad, obteniéndose los siguientes resultados: Resultado de las mediciones X ≡edad 128 10 117 7 1014 Y ≡peso 58 42 51 54 40 39 49 56 ¿Existe una relación lineal importante entre ambas variables? Calcular la recta de regresión de la edad en función del peso y la del peso en función de la edad. Calcularla bondad del ajuste ¿En qué medida, por término medio, varía el peso cada año? ¿En cuánto aumenta la edad por cada kilo de peso?

ya que

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones Por tanto el ajuste lineal es muy bueno. Se puede decir que el ángulo entre el vector formado por las desviaciones del peso con respecto a su valor medio y el de la edad con respecto a su valor medio, , es:

es decir, entre esos vectores hay un buen grado de paralelismo (sólo unos 19 grados de desviación). La recta de regresión del peso en función de la edad es

la recta de regresión de la edad como función del peso es

Que como se puede comprobar, no resulta de despejar en la recta de regresión de Y sobre X. La bondad del ajuste es

por tanto podemos decir que el 88.94% de la variabilidad del peso en función de la edad es explicada mediante la recta de regresión correspondiente. Lo mismo podemos decir en cuanto a la variabilidad de la edad en función del peso. Del mismo modo puede decirse que hay un 100 88.94% = 11.06 % de varianza que no es explicada por las rectas de regresión. Por tanto la varianza residual de la regresión del peso en función de la edad es

y la de la edad en función del peso:

Investigación de operaciones I Unidad 1. Introducción a la investigación de operaciones

Por último la cantidad en que varía el peso de un paciente cada año es, según la recta de regresión del peso en función de la edad, la pendiente de esta recta, es decir, b1=2,8367 Kg/año. Cuando dos personas difieren en peso, en promedio la diferencia de edad entre ambas se rige por la cantidad b2=0,3136 años/Kg de diferencia.