linierisasi(1)

Saya sudah paham 100% tentang penentuan solusi suatu sistem persamaan linier.

Hmm… kalau persamaannya tak-linier bagaimana ya ?

LINIERISASI

• Telah dibaha dibahas s penentuan penentuan solusi solusi sistem persamaan persamaan linier. linier.

• Bagaimana Bagaimana dengan dengan solusi solusi sistem sistem persamaan persamaan tak-linie tak-linierr ?

atau

• Solusi Solusi sistem persamaan persamaan tak-linie tak-linierr dapat diselesaika diselesaikan n melalui pendekatan model linier (sistem persamaan linier). Dalam hal ini, persamaan-persam persamaan-persamaan aan tak-linier tersebut terlebih dahulu dilinierkan.

1. Tentukan solusi dari sistem persamaan :

Bentuk linier : Solusi :

2. Tentukan solusi dari sistem persamaan : Bentuk linier : Solusi :

1. Tentukan solusi dari sistem persamaan :

2. Tentukan solusi dari sistem persamaan :

n 1 Sebuah fungsi dapat didekati dengan : (lihat Kalkulus)

harga pendekatan dari

Persamaan dengan 1 variabel :

atau :

Persamaan dengan 2 variabel :

atau :

Garis lengkung didekati dengan sebuah garis lurus dengan gradien :

 garis lurus

= penyimpangan

Agar proses pendekatan dapat  dilakukan secara iteratif 

Bentuk linier :

Superskrip “o ” menyatakan nilai pendekatan

Bentuk linier :

Dari Kalkulus :

dan

sudut horisontal = selisih dua sudut jurusan

Bentuk linier :

Sebuah sistem persamaan linier sebagai berikut :

dengan

Dapat ditulis dalam notasi matriks dan vektor sebagai :

Matriks Jacobi

Untuk apa sih saya belajar aljabar linier ?

BEBERAPA APLIKASI ALJABAR LINIER

1 Pada penentuan posisi dengan GPS, diukur jarak-jarak dari empat satelit ke titik P di permukaan bumi. Adapun keempat persamaan jarak tersebut dapat ditulis sebagai :

• Linierkan keempat persamaan tersebut ! • Tulis dalam notasi matriks dan vektor !

• Topik : Penentuan posisi dengan GPS (Teknik Point Positioning) • Data : Koordinat satelit dan data ukuran  jarak akan diberikan oleh Asisten.

2 • Diberikan : koordinat titik 1 dan 2 • Diukur : sudut jurusan  jarak datar  • Tentukan koordinat titik P !

Jawab : • Akan kita tuliskan :

• Dalam hal ini :

• Sekarang, terdapat dua persamaan dengan dua variabel. Kedua  persamaan tersebut adalah tak-linier 

2 • Bentuk linier :

• Dalam notasi matriks dan vektor, sistem persamaan linier di atas dapat ditulis sebagai :

• Atau :

• Dalam hal ini akan ditentukan solusi

2 • Bila matriks Jacobi (matriks bujur sangkar) tak-singular, maka solusi sistem persamaan linier tersebut dapat ditentukan melalui :

• Adapun koordinat titik P diperoleh melalui :

• Meskipun demikian, , untuk itu  prosedur hitungan dilakukan secara iteratif sehingga :

1 Langkah pertama adalah menentukan nilai koordinat pendekatan titik P :

2 Hitung jarak dan sudut jurusan pendekatan : (satuan radian)

3 Hitung elemen-elemen matriks Jacobi (koefisien) :

4

Hitung vektor yang elemen-elemennya merupakan selisih antara nilai ukuran dengan harga pendekatannya :  Dalam hal ini, satuan

dalam radian

 Konversi :

5

Hitung solusi

 pada sistem persamaan linier berikut :

atau

Sistem persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan cara : • Eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan • • Dekomposisi LU, dan lain-lain. • Apakah cara Dekomposisi Cholesky dapat digunakan ?

6 Tentukan koordinat titik P melalui : 7

Koordinat titik P yang diperoleh dari langkah 6 , selanjutnya digunakan sebagai nilai pendekatan koordinat titik P yang baru :

8 Lakukan kembali prosedur hitungan dari langkah 2

sampai dengan

langkah 7 secara berulang (iteratif) sehingga diperoleh :

• Apakah sistem persamaan linier tersebut well-condition ? • Kapankah sistem persamaan linier tersebut ill-condition ? • Bila ill-condition, bagaimana cara mengatasinya ? Pada contoh ini, kapan matriks Jacobi berupa matrik singular ?

• Diberikan : Koordinat titik 1 : Koordinat titik 2 : • Diukur : Sudut jurusan : Jarak datar : • Tentukan : Koordinat titik P !

3 Koordinat titik A dapat dinyatakan sebagai : • sistem koordinat kartesia pq : • sistem koordinat kartesia xy :

Bila diberikan koordinat titik A pada sistem xy, maka koordinat titik A  pada sistem pq dapat ditentukan melalui (lihat textbook) :

Transformasi konform 2-D

3 • Untuk dapat mentransformasikan koordinat satu titik dari satu sistem koordinat ke satu sistem lainnya, terlebih dahulu harus diketahui empat  buah parameter, yaitu : • Dengan demikian, sebelum transformasi koordinat dilakukan, terlebih dahulu harus ditentukan keempat parameter transformasi tersebut. • Keempat parameter transformasi dapat ditentukan berdasarkan data titik sekutu (common point ). Titik sekutu adalah titik yang koordinatnya diketahui pada kedua sistem koordinat.

• Dalam hal ini, paling sedikit diperlukan dua buah titik sekutu. Dari (minimal) dua titik tersebut dapat dibentuk empat buah persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan 4 parameter transformasi.

3 • Dari dua buah titik sekutu, dapat ditulis empat buah persamaan : Koordinat titik sekutu :

Titik 1 : Titik 2 : • Dapat ditulis pula sebagai :

dengan :

• Sistem persamaan di atas telah linier dengan variabel atau parameter :

Tidak perlu dilakukan linierisasi !

3 • Dalam notasi matriks dan vektor :

• Keempat parameter  dapat ditentukan sebagai solusi dari sistem persamaan linier di atas. • Adapun parameter rotasi dan faktor skala ditentukan dari : dan • Selanjutnya, titik-titik ke-n dapat ditransformasikan dari sistem xy ke sistem pq melalui :

• Koordinat titik-titik berikut ini terdefinisi pada sistem xy akan dinyatakan dalam sistem pq :

• Adapun koordinat titik-titik  sekutu adalah :

• Hitung koordinat titik-titik tersebut sehingga terdefinisi pada sistem pq !

4 • Bila tinggi titik A adalah , pada pengukuran sipat datar berikut ini akan ditentukan tinggi titik-titik 1, 2, 3, dan 4 :

• Dari hasil pengukuran beda tinggi  persamaan sebagai berikut :

dapat ditulis empat buah

Variabel-variabel dari sistem persamaan di atas adalah :

4 • Karena tinggi titik A telah diketahui, sistem persamaan tersebut dapat ditulis kembali sebagai :

• Sistem persamaan di atas telah linier. Dalam notasi matriks dan vektor :

• Tinggi titik-titik 1,2,3, dan 4 adalah solusi dari sistem persamaan linier  di atas. • Apakah sistem persamaan linier tersebut mempunyai solusi tunggal ? • Kapan sistem persamaan linier tersebut akan ill-condition ? • Bagaimana apabila tinggi titik A tidak diketahui ?

Diberikan :

Hasil pengukuran beda tinggi :

Hitung :

Tinggi titik-titik 1,2,3,4, dan 5 !