Linguaggi Formali e Automi

LINGUAGGI FORMALI E AUTOMI

Dispensa Universitaria

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Linguaggio Un linguaggio si basa sul concetto di alfabeto che è un insieme  composto da simboli:

={a 1, a 2, a 3, a 4. ... a n }

La giustapposizione di questi simboli permette di generare gli elementi del linguaggio, ossia le parole o stringhe. La giustapposizione è un'operazione tale che avendo due simboli w e z allora w∗z=wz . Di conseguenza l w∗z =l wl  z  . Il prodotto di giustapposizione gode della proprietà associativa ma NON di quella commutativa. ●

Associativa:  x∗y ∗z= x∗ y∗z 

●

Commutativa: x∗ y≠ y∗x

Una parola o stringa è quindi una composizione di simboli dell'alfabeto e la sua lunghezza l w è il numero di simboli che la compongono. Una parola con l w=0 è detta parola vuota ed è rappresentata da  . Un linguaggio L non è altro che un sottoinsieme di TUTTE le possibili parole generabili da un alfabeto  . Tale insieme infinito è chiamato  *. Quindi:

L⊆ * In particolare ∈ *, ma ∉ +.  + è quindi un sottoinsieme di  * contenente tutte le parole possibili esclusa la parola vuota.  è il linguaggio vuoto. Per mezzo del prodotto di giustappozione sono generati casi speciali all'interno di una stessa parola. ●

Prefisso di y è quella stringa x tale che y=xz

●

Suffisso di y è quella stringa x tale che y=zx

●

Fattore di y e quella stringa x tale che y=zxw

Dati due linguaggi si possono applicare le operazioni booleane: Unione, Intersezione, Complemento.

Due importanti nozioni basate sul prodotto di giustapposizione tra linguaggi riguardano inoltre il prodotto, la potenza e la chiusura di Kleene. ●

Prodotto: L1∗L 2 ={xy∣x∈ L1 e y∈ L 2 }

●

Potenza: L0 ={} oppure L3 =L∗L∗L=L2∗L oppure L n =L∗L n−1

●

Chiusura di Kleene: L *= L0 ∪L1 ∪ L2 ∪..... Ln e L += L1 ∪L 2 ∪..... L n

Il prodotto di linguaggi è commutativo solamente su alfabeti unari ossia con un solo elemento eventualmente moltiplicato per se stesso. In conclusione: ●

L * è un linguaggio ottenuto moltiplicando tra loro in tutti i modi possibili tutte le parole del linguaggio L unitamente alla parola vuota ottenendo in questo modo un insieme infinito.

●

L + è lo stesso di L * escludendo la parola vuota.

La fattorizzazione di una parola secondo un dato linguaggio è la scomposizione della stessa in “sottoparole” presenti nel linguaggio. Dato un linguaggio L += {0,10} e una parola 0010100 , la sua fattorizzazione è:

0∗0∗10∗10∗0 In questo esempio in particolare la fattorizzazione è unica, nel senso che non è possibile fattorizzare la parola 0010100 in altro modo. In questo caso abbiamo dunque trovato un codice. ●

Un codice ha dunque la proprietà esistenziale di univoca decifrabilità.

Formalmente: Un linguaggio L in cui ogni parola di L + è decomponibile in un unico modo come prodotto di parole di L è detto codice. ●

Ogni linguaggio prefisso è anche un codice. Viceversa non vale che ogni codice è anche prefisso. Questo semplicemente perchè non avendo alcuna parola composta da altre parole, il modo per decomporla è unico.

●

Ogni linguaggio con parole di lunghezza uguale è sempre un codice prefisso. Questo perchè ogni parola ha una sua composizione specifica diversa una dall'altra assicurata dal fatto che ogni parola ha sempre lunghezza n .

Rappresentazioni I linguaggi L possono essere descritti e quindi rappresentati in due modi. 1. Se il linguaggio è finito, elencando tutti gli elementi 2. Altrimenti in modo intensivo per mezzo di una proprietà P w del linguaggio stesso tale che L={w∣P w=TRUE } . Ci sono due sistemi di rappresentazione intensiva: il sistema riconoscitivo e quello generativo. I linguaggi possono ammettere entrambi o solamente uno di essi.

Riconoscitore Il sistema riconoscitivo funziona in modo da riconoscere se una parola w appartiene o no ad un linguaggio L per mezzo di un algoritmo chiamato riconoscitore che riceve in input la parola w e ritorna 1 se w∈ L e 0 se w∉ L . Non tutti i linguaggi ammettono un riconoscitore. Un linguaggio che ammette un riconoscitore è definito ricorsivo o decidibile. Ci sono due classi di linguaggio ricorsivi, chiamate linguaggi regolari e linguaggi acontestuali. Queste classi ammettono un riconoscitore chiamato rispettivamente automa a stati finiti e automa a pila. Come abbiamo detto non tutti i linguaggi ammettono un riconoscitore. Questi linguaggi vengono chiamati ricorsivamente numerabili. Sono classificati ricorsivamente numerabili i linguaggi che restituiscono 1 se w ∈ L e vanno in loop se w∉ L . ●

I linguaggi ricorsivi sono un sottoinsieme dei linguaggi ricorsivamente numerabili. Questo perchè dato un riconoscitore per un linguaggio ricorsivo è facile, una volta ricevuto l'output relativo al caso w∉ L , costruire una procedura che entra in loop.

●

Il contrario non può essere, perchè è impossibile capire quando un algoritmo è entrato in loop.

Generatore Il secondo modo per descrivere un linguaggio è il sistema generativo. Questo sistema si basa sul concetto di calcolo logico. Un calcolo logico non riconosce se w∈ L , ma ne ricerca la dimostrazione! Quindi un calcolo logico V  x , d  riceve in input un parola x , una dimostrazione d e ritorna in output 1 se w∈ L e 0 se w∉ L . Ossia in altre parole restituisce 1 se la dimostrazione d permette di affermare che la frase/parola x è vera. Il calcolo logico ha tre proprietà fondamentali: ●

La dimostrazione d verifica in un tempo finito se è o no la dimostrazione di una frase f .

●

Se d è la dimostrazione di f allora f deve essere una affermazione vera (correttezza del calcolo logico) ossia f ∈ L .

●

Se f è un'affermazione vera allora deve esserci una sua dimostrazione (completezza del calcolo logico) ossia ∃ d  f ∈ L .

Formalmente un calcolo logico è una funzione V : ∗xU ∗ {0,1} . Il calcolo logico lavora di conseguenza nel campo di  * e in quello di U * che non è altro che l'insieme infinito delle possibili dimostrazioni. Vediamo adesso come mai i linguaggi ricorsivamente numerabili ammettono sempre un calcolo logico corretto e completo. Prendiamo la funzione: function L (x) { n=1 while (V(x,d)=0) n = (n+1) return (1) } Nel caso w∈ L questa la funzione termina, altrimenti va il loop. Siamo quindi pienamente nel caso di linguaggi ricorsivamente numerabili. Dal momento che poi questa funzione o restituisce 1 oppure non termina, il calcolo logico risulta essere corretto e completo perchè V  x , d =1 sempre se w∈ L . Dato un linguaggio L , se un calcolo logico è corretto e completo per L allora per forza di cose L∈{x∣∃ d V  x , d =1} .

Non solamente i linguaggi ricorsivamente numerabili ammettono calcoli logici, però un linguaggio NON ricorsivamente numerabile ammetterà un calcolo logico al più corretto ma incompleto. Se noi ad esempio forziamo l'uscita dal ciclo while ad un certo numero n (questo per rispettare il fatto di lavorare su linguaggi non ricorsivamente numerabili e quindi che non ammettono un loop) avremo un calcolo logico completo perchè effettivamente w ∈ L , ma incompleto in quanto non abbiamo avuto abbastanza tempo da trovare una dimostrazione tale che V  x , d =1 .

Grammatiche Un sistema generativo sono le grammatiche. Una grammatica è una quadrupla

〈 ,Q , P , S 〉 ●

 e Q sono due alfabeti rispettivamente di simboli terminali e di metasimboli.

●

P è l'insieme di regole di produzione

●

S è un simbolo chiamato assioma

Innanzi tutto a differenza dei simboli, i metasimboli o simboli NON terminali sono espressioni atte alla generazione del linguaggio e non sono parole appartenenti al linguaggio. Le regole di produzione sono essenziali per la creazione di un linguaggio in quanto dettano come è possibile articolare un insieme di simboli e metasimboli al fine di ottere un linguaggio più completo e complesso. In generale le regole si produzione sono dichiarate nel seguente modo:

 con  e  due parole di simboli e/o metasimboli tali che

∈ ∪Q ∗e ∈ ∪Q ∗. Infine l'assioma non è altro che il simbolo o il metasimbolo di partenza. La rappresentazione

 ⇒G  indica poi la possibilità di derivare un simbolo  da un simbolo  secondo la grammatica G in un sol passaggio. Mentre

 ⇒G∗ indica che si può derivare  da  con un numero finito di derivazioni. Proprio grazie alla derivazione possiamo notare come le grammatiche siano calcoli logici in cui la dimostrazione d è la derivazione stessa. Per ipotesi un linguaggio L è generato da una grammatica solamente se L è ricorsivamente numerabile, ma allora L è generabile da una grammatica solamente se per L esiste un calcolo logico corretto e completo. Un linguaggio LG  generato da una grammatica di tipo G è l'insieme delle parole sull'alfabeto  derivabili dall'assioma S , ossia:

LG ={w∣w ∈∗e S ⇒G∗w } Con grammatiche equivalenti si intende il caso in cui date due grammatiche G1 e G2 :

LG1= LG2

Classificazione Le regole di produzione sono usate per la classificazione delle grammatiche. A seconda del tipo di regola esiste un tipo di grammatica. Una classificazione importante è l'omonima proposta da Chomsky. 1. Grammatica di tipo 0: qualsiasi tipo di regole di produzione 2. Grammatica di tipo 1: regole di produzione del tipo    con l l  . E' possibile la regola S   purchè S sia l'assioma, ed S non compaia in nessun altra regola. 3. Grammatica di tipo 2: regole di produzione del tipo A   con A rigorosamente un metasimbolo 4. Grammatica di tipo 3: regole di produzione del tipo A   B , A   oppure A   . Dove A e B sono metasimboli e  un simbolo. Una grammatica G genera un linguaggio LG  e per questo motivo, la classificazione delle grammatiche genera a sua volta la classificazione dei linguaggi. Un linguaggio L è di tipo k (con K = 0,1,2,3) se esiste una grammatica di tipo k che lo ha generato, ossia tale che L= LG  . Si indica con Rk la classe di linguaggi di tipo k. In particolare, secondo la classificazione di Chomsky, le classi di linguaggi formano tra loro sottoinsiemi propri nel seguente modo:

R3⊆R2⊆R1⊆R0 Riprendendo alcune definizioni fatte precedentemente sui linguaggi si può dire che: ●

R0 sono tutti i linguaggi ricorsivamente numerabili.

●

R1 sono tutti i linguaggi contenstuali.

●

R2 sono tutti i linguaggi acontenstuali.

●

R3 sono tutti i linguaggi regolari.

Possiamo notare subito come i linguaggi regolari e acontestuali, introdotti per il sistema riconoscitivo, siano linguaggi particolari che ammettono anche un sistema generativo.

Parlando in generale non è sempre detto che un linguaggio sia generato da una sola grammatica. Ci possono essere linguaggi generati da classi di grammatiche più generali. Un esempio di ciò sono le grammatiche di tipo 3 e la grammatica lineare a destra. Una grammatica lineare a destra ha regole di produzione del tipo A  x B , A  y con x , y parole. Una grammatica di tipo 3 è anche una lineare a destra, ma il viceversa non è sempre detto. Dato

infatti

una

grammatica lineare a destra con regole di produzione A   1  2  3 ... m B e A   1  2  3 ... m , possiamo costruire una grammatica equivalente introducendo nuovi metasimboli M 1, M 2, M 3 ... M m e sostituendo con nuove regole del tipo A   1  2  3 ...  m B . Alla fine otterremo una grammatica con regole di produzione A   B , A   , A   e A  B . A causa dell'ultima regola la grammatica non è di tipo 3, ma per ogni derivazione F ⇒G∗H possiamo considerare tutte quelle per cui F ⇒G∗A e B ⇒G∗H aggiungendo la regola F   H . Questo perchè è possibile nella grammatica una derivazione F ⇒G∗A⇒G  B ⇒G∗H che equivale a dire appunto F   H . Aggiungiungiamo poi la regola F   / per ogni F per cui F ⇒G∗A⇒G  / . A questo punto abbiamo una grammatica di tipo 3.

Altri esempi di equivalenza sono dati dalla possibilità di generare un linguaggio di tipo 3 da una grammatica di tipo 3 contenente però solamente regole A   B e A   . Ciò si ottiene introducendo un nuovo metasimbolo M e una nuova regola M   e sostituendo la regola A   con A   M . Quindi: ●

Se L è di tipo 3 allora è generato da una grammatica di tipo 3 con regole del tipo A B e A .

Il contrario, ossia generare una grammatica equivalente con regole solamente del tipo A   B e A   non è sempre detto perchè in generale date queste regole allora ∉ L . Però: ●

Se L è di tipo 3 con ∈ L , allora L=L ' ∪{} dove L ' è generato da una grammatica di tipo 3 con regole del tipo A   B e A   .

Automi a stati Un automa a stati A è un sistema

A=〈  ,Q ,  , q0 , F 〉 dove: ●

Q è un insieme di stati

●

 è un alfabeto finito

●

 è la funzione di transizione

●

q0 è lo stato iniziale

●

F è l'insime degli stati finali

Se l'insieme Q è finito l'automa prende il nome di automa a stati finiti. Un esperimento su questo sistema avviene in due fasi: 1. Viene dato come input un messaggio composta da una parola w∈ *. 2. Si osserva il valore di ouput se questo è 1 allora la parola w è accettata altrimenti scartata. Un sistema simile è conoscibile solamente per mezzo di esperimenti, ossia il comportamento del sistema è descritto dalle parole accettate. Questo sistema è quindi un riconoscitore di linguaggio. Più nel particolare un sistema di questo tipo è composta da un numero finito di stati: 1. Ad ogni istante il sistema si trova su uno stato specifico q∈Q . Per modificare il suo stato si deve mettere in ingresso un nuovo messaggio in modo tale da poter associare il sistema ad un nuovo stato, ossia ad uno stato futuro o prossimo. La legge che descrive questa procedura prende il nome di funzione di transizione  :  x Q Q . Per esempio se il sistema è nello stato q ed arriva un messaggio  la sua funzione sarà q ,   . 2. Inizialmente il sistema si trova sempre in uno stato iniziale q0 ∈Q . 3. L'output del sistema è invece rappresentato dalla funzione di uscita  : Q {0,1} e se il sistema finisce in uno stato q allora q . Il sistema inoltre può uscire solamente da uno stato finale. La totalità di questo stati forma l'insieme degli stati finali F ={q∣q=1} . Il linguaggio L A riconosciuto dall'automa A

L A= { w∣w∈∗e ∗q0 , w }={w∣w∈∗e ∗q0 , w=1} Un automa a stati può essere rappresentato graficamente con un diagramma per mezzo di cerchi (che rappresentano gli stati) e archi (che rappresentano le possibili transizioni tra stato e stato). Lo stato iniziale è rappresentato con una freccia in ingresso, mentre quello finale con un cerchio concentrico.

Esempio: A=〈 S ,Q , , q1 , F 〉 ●

S = {a.b}

●

Q = {q1,q2}

●

F = {q2}

●

 : {a , b}x {q1 , q2} {q1 , q2} descritto dalla tabella: d

a

b

q1

q1

q2

q2

q2

q1

Il diagramma a stati sarà:

a

a q1

b b

q2

In questo esempio possiamo notare come ogni parola dell'alfabeto induca un cambiamento di stato. In particolare le parole accettare saranno quelle che portano da dallo stato iniziale allo stato finale.

Osservabilità Dato un automa a stati si dice che un suo stato q è osservabile se q=q0 , w . Ossia se è possibile che l'automa raggiunga lo stato q avendo in ingresso un input w .

a

a q1

b b

q2

q3 Nell'esempio sopra lo stato q3 è inosservabile! Gli stati inosservabili sono tanto irrilevanti da poter essere soppressi rendendo l'automa osservabile. Infatti se tutti gli stati dell'automa sono osservabili, allora l'automa è definito anch'esso osservabile.

Indistinguibilità Dati due stati q1 e q2 , si definiscono indistinguibili – si scrive q1≈q2 - se

q1 , w=q2 , w Ossia se, dato come ingresso una parola w , gli stati q1 e q2 portano entrambi ad uno stesso stato q3 , allora non è possibile empiricamente conoscere il comportamento dell'automa e quindi gli stati si definiscono indistinguibili. Al contrario, quando

q1 , w ≠q2 , w sono distinguibili! L'indistinguibilità gode delle proprietà: ●

riflessiva: q1≈q1

●

simmetrica: q1≈q1 q2≈q1

●

transitiva: q1≈q2 e q2≈q1⇒ q1≈q3

Dato un automa indistinguibile è possibile costruire un automa distinguibile. Infatti gli stati indistinguibili, tra loro, formano classi di equivalenza. Per esempio se q1≈q2 esiste una classe di equivalenza [q1]≈. La classe comprende q1 , q2 e tutti gli eventuali stati equivalenti. In particolare una generica classe di equivalenza [q1]≈ , può essere vista come un singolo stato. Prendendo quindi ogni classe di equivalenza e usandole come singoli stati otterremo un automa i cui stati sono tutti distinguibili tra loro ottenendo di conseguenza un automa distinguibile.

Sintesi di automa Gli automi pienamente indistinguibili sono quelli più vicini al concetto di automa gigante GL in cui ogni parola ha il suo stato finale. In un automa gigante diverse parole corrispondono a diversi stati. In particolare data una parola w il suo stato si indicherà con [ w ] . Inoltre per quanto riguarda un automa gigante, l'insieme dei suoi stati sarà infinito perchè le parole w∈ * sono infinite. Un automa minimo GM è invece l'esatto contrario ed è un automa distinguibile avente ovviamente più stati per singola parola. ●

In generale dato un automa A che riconosce un linguaggio L , il relativo automa minimo ha un insieme di stati non più numeroso di quello di A .

Per raggiungere l'automa minimo da un automa gigante è necessario effettuare l'operazione vista nel precedente paragrafo, ossia identificare gli stati indistinguibili per poi sopprimerli uno ad uno. Per costruire un GM da un GL si devono eseguire le seguenti operazioni: ●

Considerare un GL

●

Scorrere il GL dalla radice  , visitando l'albero in ampiezza. Quando si arriva ad un generico nodo [ w  ] , cui arriva un arco etichettato  dal nodo [ w ] , se questo è indistinguibile da un nodo [ x ] precedentemente analizzato allora collegare il nodo [ w ] ad [ x ] , con un arco  e sopprimere il nodo [ w  ] .

●

Mantenere il nodo iniziale  e i nodi finali [ x ] se x ∈ L .

ASF e G3 Gli automi a stati finiti sono riconoscitori per grammatiche di tipo 3. Vediamo adesso come da una grammatica 3 sia possibile costruire un automa a stati finiti e il viceversa.

●

Per un linguaggio L riconosciuto da un automa a stati finiti, esiste una grammatica G di tipo di 3 tale che L= LG  .

avendo l'automa:

A=〈Q ,  ,  , q0 , F 〉 si costruisce la grammatica G :

G=〈 S , Q , P , q0 〉 in modo tale che: ●

L'insieme dei metasimboli coincide con gli stati dell'automa

●

L'assioma è lo stato iniziale

●

qk  qj è una regola di produzione se qj=qk , w

●

qk   è una regola di produzione se qk ∈ F

Esempio:

q0

a

q1

a a

q2

Il linguaggio riconosciuto da questo automa è anche generabile dalla grammatica con assioma q0 e con le seguenti regole di produzione: ●

q0  aq1

●

q1 aq2

●

q2  aq1

●

q2  

Al contrario possiamo dire che data una grammatica di tipo 3 è possibile costruire un automa a stati finiti. Prendiamo una grammatica di tipo 3

G=〈 S ,Q , P , S 〉 che supponiamo contenga tali regole: ●

A B

●

A 

Possiamo costruire un grafo associato con: ●

Metasimboli in Q come vertici del grafo.

●

Un arco etichettato  tra A e B se esiste una regola A B .

●

Assioma S .

●

Vertice finale A se esiste una regola A .

Esempio: Abbiamo questa grammatica: ●

q0→aq0

●

q0→aq1

●

q1→bq0

●

q0→e

Costruiamo il nostro grafo associato:

a q1 q0

b a

q1

Interpretando i metasimboli come stati ci accorgiamo che l'automa associato non è un automa a stati finiti. Infatti ci sono due archi etichettati a e quindi non esiste più un unico stato prossimo. Un automa di questo tipo esce dal campo deteministico ed entra in quello probabilistico prendendo il nome di automa non deterministico.

Formalmente: ●

Un automa a stati finiti non determinitico A è un sistema

A=〈Q ,  , R , q0 , F 〉 dove Q è un insieme finito di stati,  è un alfabeto finito, R : Q x  x Q  0,1 è la relazione di transizione, q0∈Q è lo stato iniziale, F ⊆Q è l'insieme di stati finali.

R : Q x  x Q  0,1 è rappresentata dalla relazione R ' ⊆q ,  , q '  sse Rq ,  , q ' =1 Q x xQ R ' è sottoinsieme di Rq ,  , q ' =1 ossia quelli aventi arco  .

ossia

con elementi solamente quelli con

Detto ciò R : Q x  x Q  0,1 è

R ' ' : Qx   P Q  con P Q l'insieme delle parti di Q e

R ' ' :q , ={q '∣Rq , , q ' =1} ossia, dato un messaggio  , la funzione di transizione R ' ' descrive un passaggio ad uno stato appartentente al sottoinsieme sopradescritto R ' . In altre parole un grafo non deterministico può essere rappresentato da un automa etichettato i cui vertici sono gli stati q ed esiste un arco tra q e q ' se e solo se Rq ,  , q ' =1 . Per esempio se Rq1 , , q2=1 allora q2=q1 ,   . In tal caso la relazione R è equivalente alla funzione per l'automa a stati finiti  :  xQ Q . ●

Una qualsiasi parola w è riconosciuta da un automa a stati non deterministico solamente se questa parola induce un qualsiasi cammino dallo stato iniziale ad uno stato finale.

Per ogni linguaggio L riconosciuto da un automa a stati non deterministico esiste un automa a stati finiti che lo riconosce. Per ricavare un automa deterministico da un non deterministico prima di tutto prendiamo in considerazione l'insieme degli stati dell'automa non deterministico. Nell'esempio precedente abbiamo K =q0 , q1 . L'insieme dell parti rappresenta il numero di stati del nuovo automa deterministico in relazione agli stati di quello non deterministico. In questo caso è P  K = , q0 , q1 , q0q1 . L'associazione tra stati è dettata dalle regole di produzione della grammatica. Per esempio si ha q0→aq0 e q0→aq1. Queste due regole vengono tradotte nel nuovo automa deterministico con la regola q0→aq0q1 ossia dallo stato q0 di P(K) si passa a quello q0q1.

In conclusione a questo capitolo: 1. L è generato da una grammatica di tipo 3 2. L è riconosciuto da un automa a stati finiti sono due affermazioni equivalenti tale che 1 implica 2 e 2 implica 1.

Espressioni regolari I linguaggi regolari oltre ad essere generati da grammatiche di tipo 3 e riconosciuti da automi a stati finiti, possono essere denotati da espressioni regolari. Dato un alfabeto  le espressioni regolari sono definite induttivamente: ● ●

∅ ,  , con  ∈ sono espressioni regolari Se p , q regolari

sono espressioni regolari allora

 pq , p∗q , p * sono espressioni

Ad ogni espressione regolare è associato – e si dice denota - un linguaggio, ad esempio: ●

∅ denota il linguaggio vuoto

●

 denota il linguaggio {}

●

 denota il linguaggio { }

Con p , q che denotano L1 , L2 allora: ●

 pq denota L1∪L2

●

 p∗q denota L1∗L2

●

p * denota L *

Le espressioni regolari denotano linguaggi in modo composizionale ossia avendo come linguaggi-base ∅ , {} , { } si possono denotare linguaggi complessi sottoponendoli alle operazioni di unione, prodotto e chiusura. In particolare i linguaggi regolari sono tutti e soli i linguaggi riconosciuti da automi a stati finiti.

Teorema di Kleene ●

L è denotato da una espressione regolare

●

L è riconosciuto da un automa a stati finiti

dicono la stessa cosa! Per dimostrarlo prima di tutto dobbiamo sapere che essendo i linguaggi “denotati” composizionali, le dimostrazioni della generica proprietà P dei linguaggi per mezzo delle espressioni regolari avvengono in modo induttivo, ossia: 1. Essendo ∅ ,  , espressioni regolari che verificano la proprietà P 2. Se i linguaggi A , B verificano P allora A∪B , A∗B , A * verificano P Quindi per dimostrare che la frase 1 implica 2 dobbiamo provare che: 1. ∅ ,  , sono risciuti da automi a stati finiti 2. Se A , B sono riconosciuti da automi a stati finiti, allora A∪B , A∗B , A * sono riconosciuti da automi a stati finiti Per il punto 1 basta vedere che gli automi:

σ riconoscono rispettivamente ∅ ,  , . Per il punto 2 supponiamo che A , B siano riconosciuti da automi a stati finiti. Di conseguenza sono rispettivamente generati, come abbiamo visto, da una grammatica di tipo 3 del tipo

G ' =〈 S , Q ' , P ' , S ' 〉 e G ' ' =〈 S , Q ' ' , P ' ' , S ' ' 〉 Supponiamo inoltre che le regole di produzione siano del tipo ●

qk  qj

●

qk  

e che Q ' , Q ' ' siano insiemi disgiunti. Quindi: ●

A∪B è verificato perchè generato dalla grammatica G1=〈 S , Q1 , P1 , S1〉 in cui Q1=Q ' ∪Q ' ' con un nuovo metasimbolo S2 , P1=P ' ∪P ' ' con S1 S ' e S1  S ' ' come regole nuove aggiuntive.

●

A∗B è verificato perchè generato dalla grammatica G2=〈 S , Q2 , P2 , S ' 〉 in cui Q2=Q '∗Q ' ' con un nuovo metasimbolo S2 , P1=P '∗P ' ' esclusa la regola q '   con la nuova regola q '  S ' in aggiunta.

●

A * è verificato perchè generato dalla grammatica G3=〈 S , Q ' , P3 , S ' 〉 in cui P3=P ' con l'aggiunta della regola q '  S ' .

Alberi di derivazione L'albero di derivazione ha le seguenti proprietà: ●

Le foglie sono simboli terminali

●

I nodi sono metasimboli

●

La radice è l'assioma

●

Se un nodo è etichettato B e i figli, in ordine, B1 , B2 , B3 ... Bn allora B1... Bn è una regola di produzione

●

Leggendo le foglie in ordine prefisso, la sequenza di etichette forma una parola w

Esempio: Data la grammatica: G=〈{ , ,, x , y }, {E }, {E  E E / x / y }, E 〉 e una parola  x y  x  ha la seguente derivazione:

E ⇒ g  E E ⇒ g  E E E ⇒ g  xE E ⇒ g  x y E ⇒ g  x y  x  e il corrispondede albero di derivazione:

Osserviamo che differenti derivazioni possono generare stessi risultati e differenti derivazioni possono generare stessi alberi! Si dicono quindi equivalenti le derivazioni che producono lo stesso albero di derivazione. E' interessante per questo motivo ottenere un elemento rappresentativo di classi equivalenti. Una soluzione è la cosidetta derivazione più a sinistra. ●

Data una grammatica G=〈  ,Q , P , S 〉 di tipo 2 e una parola w∈ *, se la derivazione di w da S è ottenuta applicando una regola di produzione al metasimbolo più di sinsitra, allora viene detta derivazione più a sinistra.

E' interessante osservare come questa particolare derivazione sia semplicemente la vista in profondità dell'albero di derivazione.

Ambiguità Dal momento che poi ogni albero di derivazione ha associata una derivazione più a sinistra e viceversa, ogni derivazione più a sinistra risulta avere una corrispondenza bunivoca con gli alberi di derivazione! Data una grammatica G=〈{ , ,, x , y }, {E }, {E  E E / x / y }, E 〉 che genera un linguaggio LG  possiamo interpretare una parola w∈ LG  come espressione aritmetica. Per farlo basta assegnare ai simboli terminali un valore oppure un operazione binaria. Ad esempio data la parola  x y x possiamo associare ad x , y i valori 3, 5 ottenendo 353=11 . Facendo in questo modo abbiamo associato alla nostra parola un significato! Per avere un significato valido, dobbiamo avere un unico albero di derivazione per singola parola! Ma come abbiamo visto oltre ad esserci varie possibili derivazioni, potrebbero esserci vari possibili alberi di derivazione! In questo caso il nostro significato della parola perde senso e diventa quindi ambiguo! Esempio, data la grammatica:

G=〈{¿ ,, x , y }, {E }, {E  E E / E∗E / x / y }, E 〉 Sono due alberi di derivazione che generano x∗y∗x in una grammatica appropriata. Quindi: ●

Una grammatica G di tipo 2 è detta ambigua se esiste una parola w∈ LG  che ammette due alberi di derivazione. Una grammatica G di tipo 2 è detto non ambigua se la parola w∈ LG  ammette solo un albero di derivazione.

In generale linguaggi generati da grammatiche di tipo 3 ambigue sono sempre riconosciuti da grammatiche equivalenti non ambigue. Per ottenere la grammatica non ambigua è necessario ricavare il riconoscitore per il linguaggio. La grammatica derivata dal riconoscitore sarà non ambigua. Ci sono casi inoltre di linguaggi che richiedono solo grammatiche di tipo 2 ambigue per essere generati. Questo tipo di linguaggio è chiamato inerentemente ambiguo.

Forme normali Due importanti sottoclassi della grammatica di tipo due sono le seguenti: ●

Data una grammatica G di tipo 2, è detta forma normale di Chomsky se le regole di produzione sono del tipo A BC oppure A x , con ABC metasimboli e x simbolo terminale.

●

Data una grammatica G di tipo 2, è detta forma normale di Greibach se le sue regole di produzione sono del tipo A xW con W una parola di metasimboli (eventualmente vuota) e x un simbolo terminale.

Per ogni linguaggio L libero acontestuale privo della parola vuota esiste una grammatica G ' in forma normale di Chomsky e una G ' ' in forma normale di Greibach generanti il linguaggio L .

Pumping Lemma Dato che una derivazione di una grammatica in forma normale di Chomsky genera un albero binario, sappiamo a priori che l'albero binario in questione, avendo n foglie, ha anche un'altezza almeno log 2 n . Da questa certezza otteniamo una condizione necessaria chiamata pumping lemma per la quale possiamo definire un linguaggio acontestuale o no. Per ogni linguaggio acontestuale L esiste una costante H tale che ogni parola z ∈ L con lunghezza ∣z∣H può essere decomposta nella forma z=uvwxy tale che: 1. ∣vx∣1 ossia almeno una parola tra v e x è differente da  2. ∣vwx∣H 3. per ogni k 0 vale che u v k w x k y ∈ L Supponiamo di avere una grammatica G in forma normale di Chomsky che genera un linguaggio L .

h è il numero di metasimoli in G . Abbiamo poi una parola z ∈ L tale che ∣z∣H con H =2h1 . Come abbiamo visto, c'è per z un albero di derivazione con H foglie e altezza log 2  H  . Prendiamo adesso in considerazione il cammino C più lungo e discendente dalla radice ad una foglia. C sarà per forza di cose h1=log 2  H  . Dal momento che G ha h metasimboli, in C sarà per forza presente una ripetizione di un metasimbolo qualsiasi A ! Chiamiamo w la parola composta dalle foglie del sottoalbero del secondo metasimbolo A e vwx la parola composta dalle foglie del primo metasimbolo A . Abbiamo così ottenuto z=uvwxy con u , y opportune parole. Risulta inoltre che: 1. ∣vx∣1 altrimenti le radici sei sottoalberi etichettati A coninciderebbero. 2. ∣vwx∣H in quanto il sottoalbero con radice nel primo metasimbolo A ha altezza al più h1 e di conseguenza possiede al più H =2h1 foglie. 3. per ogni k 0 vale che u v k w x k y ∈ L . Dal momento che:

S ⇒ g∗uAy , A⇒ g∗vAx , A⇒ g∗w allora:

S ⇒ g∗uAy ⇒ g∗uvAxy ⇒ g∗uv 2 Ax 2 y ⇒ g∗u v k A x k y ⇒ g∗u v k w x k y

Automi a pila I linguaggi acontestuali non possono essere riconosciuti da automi a stati finiti dal momento che non possiedono una memoria. Un linguaggio acontestuale:

L={a n b n∣n≥1} non può essere riconosciuto da un automa a stati finiti in quanto non gli è possibile contare il numero di a per confrontarlo al numero di b . E' necessario quindi una memoria teoricamente infinita... la memoria a pila o stack. Per mezzo di una memoria a pila è possibile memorizzare una qualsiasi parola su un alfabeto K e implementare le seguenti operazioni: ●

Controllare se una parola è vuota: ISEMPY  z =0,1 .

●

Leggere il primo simbolo: TOP  z  .

●

Cancellare il primo simbolo: POP  z  .

●

Aggiungere un simbolo in testa: PUSH a , z  .

Per capire il funzionamento dell'automa a pila prendiamo un linguaggio L acontestuale generato da una grammatica in forma normale di Greibach e applicando una derivazione più a sinistra. Applicando una regola X1 aW ad una parola x1x2x3X1X2X3 x1x2x3aWX2X3 . Notare che per effettuare una simile operazione basta:

otteniamo

1. POP  X1 2. PUSH W  Per applicare una regola qualunque A aV serve però prima il riconoscimento del metasimbolo. Questa operazione è effettuata tramite TOP . Infatti TOP  X1X2X3= X1 . Adesso si controlla se X1= A e si applica o meno la regola. Informalmente un automa a pila funziona nel seguente modo: La parola è contenuta in un nastro. Il nastro è letto simbolo per simbolo da un riconoscitore e la memoria a pila contiene una parola di metasimboli. Esempio: pila = X1 X2 X3 riconoscitore = xk l'automa controlla se esiste una regola del tipo X1 xkW e se la trova cancella con POP  X1 e immette con PUSH W  nella memoria a pila. Un automa a pila è di conseguenza generalmente non deterministico perchè in un insieme di regole di produzione non è possibile determinare con sicurezza quale venga adoperata e in che caso.

Più formalmente: Un automa a pila è un sistema

= 〈  , K ,  , S 〉 dove: ●

 è un alfabeto di simboli terminali

●

K è un alfabeto disgiunto da 

●

S è un elemento di  posizionato come simbolo iniziale dentro lo stack

●

 è una funzione da  x K ai sottoinsiemi finiti di  *

a , A={W1 , W2 .... , Wn } funziona in modo che letto un simbolo a e avendo in cima alla pila il metasimbolo A , si cancella A e si inserisce un metasimbolo Wk dell'insieme. Un linguaggio è acontestuale se e solo se è risconosciuto da un automa a pila! Una parola è riconosciuta da un automa a pila se la sua memoria stack alla fine del riconoscimento risulta essere vuota!