LINGKARAN MOHR

TUGAS PAPER LINGKARAN MOHR

Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah : ANALISIS STRUKTUR III

Disusun oleh : Arief Priyono (5095111009)

TEKNIK SIPIL FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA 2011

1

KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya, Sehingga penyusun dapat menyelesaikan tugas paper yang berjudul “ Lingkaran Mohr “ Ini tepat waktu. Proses penyelesaian tugas ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak yang membantu secara lngsung maupun tidak langsung. Oleh kerana itu, pada kesempatan ini penyusun ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Bapak Faqih Ma’arif, S. Pd., M. Eng. selaku dosen mata kuliah pelajaran Analisis

Struktur III yang telah memberikan kesempatan pada saya untuk menyusun paper ini. 2. Tidak lupa juga saya ucapakan kepada semua pihak yang tidak saya sebutkan satu persatu yang telah memberikan saya bantuan baik berupa materiil maupun spirituil. Penyusun menyadari bahwa dalam penyususnan tugas paper ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu penyusun mengharapkan saran dan kritik dari pembaca. Penyusun berharap semoga tugas paper ini dapat bermanfaat. Amin. Terimakasih.

Yogyakarta, 18 Januari 2011

Penyusun

2

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I PENDAHULUAN A.

Latar Belakang

B.

Tujuan

C.

Rumusan Masalah

D.

Manfaat

BAB II PEMBAHASAN A.

Pengertian Lingkaran Mohr

B.

Langkah Menggambarkan Lingkaran Mohr cara grafis a) Cara grafis (lingkaran mohr) tegangan utama/ekstrim.

 Langkah-langkah pembuatan lingkaran mohr.  Menentukan tegangan utama/ekstrim a) Cara grafis (lingkaran mohr) arah bidang tertentu(θ )  Langah-langkah menentukan tegangan oada bidang tertentu (menentukan sx’ dan tx’y’)  Cara grafis (lingkaran mohr) arah bidang tertentu (θ )  Langkah-langkah menentukan arah bidang tertentu (menentukan θ ) a) Mohr's circle for two-dimensional stress states b) Mohr's circle for a general three-dimensional state of stresses BAB III PENUTUP A.

Kesimpulan

Daftar pustaka

3

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar belakang Lingkaran Mohr's adalah metode grafik untuk menentukan pengaruh koordinat rotasi pada kuantitas tensor. Dalam rekayasa menemukan aplikasi dalam pengaruh koordinat rotasi pada stress, strain, momen kedua daerah dan momen inersia. Dalam penelitian ini, Transformasi tegangan, regangan, momen inersia antara sistem koordinat adalah important dalam analisis struktural. Akhir abad terakhir, Mohr memperkenalkan grafis konstruksi untuk membantu proses ini. pendekatan-Nya untuk membangun lingkaran parametrik dengan penyusunan dapat digunakan untuk menemukan nilai-nilai perkiraan untuk mengubah tegangan dan informasi lainnya dan dengan demikian menyelamatkan apa, pada saat itu, akan lebih bagus komputasi usaha. Memang, baru-baru ini tahun 1972, konstruksi's lingkaran Mohr telah dikemas dalam penyusunan terminologi

B. a. b. c. d. e. f. g. h.

Tujuan Model struktur sederhana dan beban atasnya. Membuat perkiraan beralasan beban diterapkan. Hitung gaya dan saat-saat di pesawat bagian dalam anggota dimuat baik di murni ketegangan / kompresi, torsi, membungkuk, atau kombinasi keduanya. Hitung keadaan stres untuk titik tertentu dan sistem koordinat. This includes Ini mencakup pengakuan komponen stres yang nol. Mengidentifikasi bagaimana kondisi tegangan bervariasi dengan sudut transformasi. Kenali fitur-fitur yang membedakan antara yang lingkaran Mohr untuk tegangan uniaksial, murni geser, dan kompresi uniaksial. Mengidentifikasi bagaimana informasi pokok bervariasi (dan karena itu bagaimana perubahan's lingkaran Mohr) sebagai besarnya suatu beban yang diterapkan bervariasi. Memiliki apresiasi dari keparahan potensi beban aksial eksentrik pada panjang anggota.

A. Rmusan Masalah 4

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut: a. memperkenalkan grafis konstruksi untuk membantu proses ini pendekatannya. b. untuk membangun lingkaran parametrik dengan penyusunan dapat digunakan untuk

menemukan nilai-nilai perkiraan untuk mengubah tegangan dan informasi lainnya. c. Menunjukkan lingkaran mohr untuk suatu elemen yang dikenai berbagai bentuk tegangan.

A. Manfaat a. Menggambarkan langkah pembuatan lingkaran morh agar mudah dipahami b. Mengetahui langkah-langkah menentukan tegangan pada bidang tertentu (sx’ dan tx’y’ ) c. Mengetahui langkah-langkah menentukan arah bidang tertentu (q)

BAB II PEMBAHASAN

5

A. Pengertian Lingkaran Mohr Lingkaran Mohr's adalah metode grafik untuk menentukan pengaruh koordinat rotasi pada kuantitas tensor. Dalam rekayasa menemukan aplikasi dalam pengaruh koordinat rotasi pada stress, strain, momen kedua daerah dan momen inersia. Tegangan normal digambarkan disepanjang sumbu horisontal dan tegangan geser digambarkan disepanjang sumbu vertikal. Tegangan-tegangan x , y dan xy diplot dalam skala dan suatu lingkaran digambarkan melalui titik-titik ini dimana pusatnya terletak pada sumbu horisontal. Gambar 1 menunjukkan lingkaran Mohr untuk suatu elemen yang dikenai berbagai bentuk tegangan.

6

Teg. geser h g o b n d eflj normal c k τσσ 2θ τTeg. xy x

p s

7

Gambar 1

B. Langkah Menggambarkan Lingkaran Mohr cara grafis a.

Cara grafis (lingkaran mohr) tegangan utama/ekstrim. 

Langkah-langkah pembuatan lingkaran mohr. • Buat salib sumbu x=s dan y=t • Tentukan pusat lingkaran : C dengan koordinat xC=½(sx+σ y) dan yC=0 • Tentukan titik pada lingkaran : A dengan koordinat xA=σ x dan yA=τ xy • Buat lingkaran dengan pusat di titik C dan melalui titik A (jari-jari lingkaran = CA)

8

Gambar 2



a.

Menentukan tegangan utama/ekstrim • Tegangan normal ekstrim : σ 1=sx’maks = tepi kanan lingkaran, σ 2=σ x’min = tepi kiri lingkaran. • Tegangan geser ekrtrim : tx’y’maks = tepi atas lingkaran, tx’y’min = tepi bawah lingkaran.

Cara grafis (lingkaran mohr) tegangan pada bidang tertentu (σ Diketahui : sx, σ y, τ

xy

x’

dan τ

)

x’y’

dan sudut q

Gambar 3



Langkah-langkah menentukan tegangan pada bidang tertentu (menentukan σ x’ dan τ x’y’) 

yA=txy

Buat lingkaran Mohr, tentukan titik A dengan koordinat xA=sx dan



Tarik garis sejajar bidang (sb.y’) melalui A yang memotong lingkaran di B, atau (AB//y’)



Tarik garis vertikal melalui B yang memotong lingkaran di D, maka koordinat D yaitu xD=σ x’ dan yD=τ x’y 9

Gambar 4



Cara grafis (lingkaran mohr) arah bidang tertentu (θ )  Diketahui : σ x, σ y, τ xy dan tegangan tertentu yaitu σ

x’

dan τ

x’y’

Gambar 5 

Langkah-langkah menentukan arah bidang tertentu (menentukan θ )  Buat lingkaran Mohr, tentukan titik A dengan koordinat xA=σ x dan yA=τ xy serta titik D dengan koordinat xD=σ x’ dan yD=τ x’y’  Tarik garis vertikal melalui D yang memotong lingkaran di B  Tarik garis BA, lalu tarik garis p melalui A tegak lurus garis BA  θ = sudut antara sumbu sx dan garis p

10

Gambar 5

a.

Mohr's circle for two-dimensional stress states

Gambar 6 berlabel lingkaran Mohr

Mengingat unsur tegangan awal, atau stres nilai σx, σy, dan τxy, lingkaran Mohr bisa dibangun. Konvensi tanda-tanda sebagai berikut: ➢ ➢ ➢ ➢

Tegangan tarik (positif) berada di sebelah kanan Tegangan tekan (negatif) yang ke kiri. Searah jarum jam tegangan geser diplot ke atas. Berlawanan tegangan geser diplot ke bawah.

Dalam rangka untuk menarik's lingkaran Mohr pada sistem koordinat Cartesian, sumbu x dan y-sumbu diidentifikasi sebagai σ-τ-sumbu dan sumbu, masing-masing. Dua titik 11

lingkaran untuk plot adalah point 1 (σ x, xy τ) dan 2 titik (y σ, τ xy). Garis yang menghubungkan dua titik adalah diameter lingkaran, mengetahui lingkaran ini sekarang bisa ditarik. Pusat lingkaran terletak di mana diameter memotong σ-sumbu, juga rata-rata tegangan normal (σ avg). Tegangan normal rata-rata dapat dibaca dari sistem koordinat jika tertarik untuk skala atau dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Garis dari pusat lingkaran yang melewati titik 1 akan mewakili sumbu x, ini akan digunakan kemudian untuk berhubungan arah lingkaran Mohr's menekankan ke normal x dan y arah. Titik akhir dua dari diameter horizontal adalah σ 1 dan σ 2. Titik σ 1 mewakili tegangan normal maksimum (σ max) dan titik σ 2 adalah tegangan normal minimum (σ menit). The equations for finding these values are Persamaan untuk mencari nilai-nilai ini:

Diameter vertikal melewati avg σ dan naik ke max τ positif dan ke bawah untuk max τ negatif. Persamaan untuk mencari nilai maks τ adalah:

12

Gambar 7 berlabel unsur stress

Nilai berikutnya adalah untuk menentukan sudut tegangan normal yang bertindak. Sudut ini antara σ positif sumbu-x dan sumbu. Ukuran sudut ditemukan oleh:

Untuk menemukan sudut bahwa tegangan maksimum bertindak pada persamaan berikut digunakan:

2∅'= 〖tan^(-1)-〗〖 ⁡ (σ_x- σ_y)/(2τ_xy )〗. 2 ∅ '= 〖tan ^ (-1) -〗 ⁡ 〖(σ_x-σ_y) / (2τ_xy)〗. Ini sangat penting untuk memperhatikan penggunaan kedua persamaan yang serupa. Hal terakhir yang harus dilakukan adalah untuk menarik elemen tegangan awal seolah-olah tidak diberikan, elemen tegangan normal pada sudut ∅, dan elemen tegangan geser maksimum pada sudut ∅ '.

a.

Mohr's circle for a general three-dimensional state of stresses

13

Gambar 8 Mohr's circle for a three-dimensional state of stress

Untuk membuat Mohr's circle for a three-dimensional state of stress dari tegangan pada suatu titik, nilai-nilai dari tegangan pokok dan arah pokok harus menjadi yang pertama dievaluasi. Mengingat pokok sebagai sumbu sistem koordinat, bukan umum

,,

,,

coordinate system, and assuming that sistem

koordinat, dan dengan asumsi bahwa komponen dari vektor stres

, Maka normal dan geser

, Untuk sebuah pesawat diberikan dengan vektor satuan

, Memenuhi persamaan berikut:

Mengetahui bahwa , Kita bisa mencari Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss yang menghasilkan

14

,,

,,

,

Sejak , and , Dan persamaan ini memuaskan

ini adalah non-negatif, pembilang dari

\

sebagai denominator

dan

sebagai denominator dan as the denominator sebagai denominator dan

Ekspresi ini dapat ditulis kembali sebagai

yang merupakan persamaan lingkaran tiga Mohr untuk stres jari-jari

,

, Dan 15

,

, Dan

, Dengan , Dan

pusat mereka dengan koordinat

,,

,,

Masing-masing. Persamaan untuk lingkaran Mohr yang itu menunjukkan bahwa semua poin yang diterima stres

terletak pada lingkaran

tersebut atau dalam area berbayang tertutup. Persamaan untuk lingkaran outside circle berbaring di atas, atau lingkaran luar memuaskan persamaan untuk lingkaran akhirnya stres poin lingkaran luar

lie on, or

. . Stress points Stres poin

lie on, atau lingkaran di dalam

memuaskan persamaan untuk lingkaran

Dan

lie di atas, atau

.

BAB III PENUTUP

KESIMPULAN Lingkaran Mohr's adalah metode grafik untuk menentukan pengaruh koordinat rotasi pada kuantitas tensor. Dalam rekayasa menemukan aplikasi dalam pengaruh koordinat rotasi pada stress, strain, momen kedua daerah dan momen inersia

16

DAFTAR PUSTAKA

1. 1. PP Benham, RJ Crawford and CG Armstrong, Mechanics of Engineering Materials ,

1996, second edition, Harlow, Addison Wesley Longman. PP Benham, RJ Crawford dan CG Armstrong, Mekanika Bahan Teknik, 1996, edisi kedua, Harlow, Addison Wesley Longman. 2. Beer, Ferdinand Pierre; Elwood Russell Johnston, John T. DeWolf (1992). Mechanics of Materials . Beer, Ferdinand Pierre; Elwood Russell Johnston, John T. Dewolf (1992) Bahan. Mekanika. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-112939-1 . McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-112939-1 . 17

3. Brady, BHG; ET Brown (1993). Rock Mechanics For Underground Mining (Third ed.). Brady, BHG; ET Brown (1993). Rock Mekanika Untuk Pertambangan Underground (Ketiga ed.). Kluwer Academic Publisher. Kluwer Academic Publisher. pp. 17–29. ISBN 0-412-47550-2 . http://books.google.ca/books? id=s0BaKxL11KsC&lpg=PP1&pg=PA18#v=onepage&q=&f=false . hal 17-29. ISBN 0412-47550-2 . http://books.google.ca/books?id=s0BaKxL11KsC&lpg=PP1&pg=PA18 # v = & q = & f onepage = false . 4. Davis, RO; Selvadurai. Davis, RO; Selvadurai. APS (1996). Elasticity and geomechanics . APS (1996). Elastisitas dan geomekanika . Cambridge University Press. Cambridge University Press. pp. 16–26. ISBN 0-521-49827-9 . http://books.google.ca/books? id=4Z11rZaUn1UC&lpg=PP1&pg=PA16#v=onepage&q=&f=false . hal 16-26. ISBN 0521-49827-9 . http://books.google.ca/books?id=4Z11rZaUn1UC&lpg=PP1&pg=PA16 # v = & q = & f onepage = false . 5. Holtz, Robert D.; Kovacs, William D. (1981). An introduction to geotechnical engineering . Holtz, Robert D.; Kovacs, William D. (1981). Suatu pengantar rekayasa geoteknik . Prentice-Hall civil engineering and engineering mechanics series. PrenticeHall teknik sipil dan rekayasa mekanika seri. Prentice-Hall. ISBN 0-13-484394-0 . http://books.google.ca/books?id=yYkYAQAAIAAJ&dq=inauthor:%22William+D. +Kovacs%22&ei=kF-MS5LRKpfCM9vEhIYN&cd=1 . Prentice-Hall. ISBN 0-13484394-0 . http://books.google.ca/books?id=yYkYAQAAIAAJ&dq=inauthor:% 22William + D. + Kovacs% 22 & ei = KF-MS5LRKpfCM9vEhIYN & cd = 1 . 6. Jaeger, John Conrad; Cook, NGW, & Zimmerman, RW (2007). Fundamentals of rock mechanics (Fourth ed.). Jaeger, John Conrad, Cook, NGW, & Zimmerman, RW (2007). Dasar dari mekanika batuan (Keempat ed.). Wiley-Blackwell. Wiley-Blackwell. pp. 9– 41. ISBN 0-632-05759-9 . http://books.google.com/books? id=FqADDkunVNAC&lpg=PP1&pg=PA10#v=onepage&q=&f=false . hlm 9-41. ISBN 0-632-05759-9 . http://books.google.com/books? id=FqADDkunVNAC&lpg=PP1&pg=PA10 # v = & q = & f onepage = false . 7. Jumikis, Alfreds R. (1969). Theoretical soil mechanics: with practical applications to soil mechanics and foundation engineering . Jumikis, Alfreds R. (1969). mekanika tanah Teoritis: dengan aplikasi praktis untuk mekanika tanah dan teknik pondasi . Van Nostrand Reinhold Co.. ISBN 0-442-04199-3 . http://books.google.ca/books? id=NPZRAAAAMAAJ&source=gbs_navlinks_s . Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 0442-04199-3 . http://books.google.ca/books? id=NPZRAAAAMAAJ&source=gbs_navlinks_s . 8. Parry, Richard Hawley Grey (2004). Mohr circles, stress paths and geotechnics (2 ed.). Parry, Richard Hawley Grey (2004). Mohr lingkaran, jalan stres dan geoteknik (2 ed.). Taylor & Francis. Taylor & Francis. pp. 1–30. ISBN 0-415-27297-1 . http://books.google.ca/books?id=u_rec9uQnLcC&lpg=PP1&dq=mohr%20circles%2C %20sterss%20paths%20and%20geotechnics&pg=PA1#v=onepage&q=&f=false . hlm 130. ISBN 0-415-27297-1 . 20circles% http://books.google.ca/books? id=u_rec9uQnLcC&lpg=PP1&dq=mohr% 2C% 20sterss% 20paths% 20and% 20geotechnics & pg = # v PA1 = onepage & q = & f = false . 9. Timoshenko , Stephen P.; James Norman Goodier (1970). Theory of Elasticity (Third ed.). Timoshenko , Stephen P.; James Norman Goodier (1970)). Teori Elastisitas Ketiga (ed.. McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5 . McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5 . 18

10. Timoshenko , Stephen P. (1983). History of strength of materials: with a brief account of the history of theory of elasticity and theory of structures . Timoshenko , Stephen P. (1983):. Sejarah kekuatan bahan dengan uraian singkat tentang sejarah teori elastisitas dan teori struktur. Dover Books on Physics. Dover Buku-buku tentang Fisika. Dover Publications. ISBN 0-486-61187-6 . Dover Publications. ISBN 0-486-61187-6 .

19