Lineer Cebir - Ankara Üniversitesi Ders Notları (FULL)

ANKARA ÜNIVERSITESI FEN FAKÜLTESİ YAYINLARI No : 140

Matris Metodları ve Lineer Dönüşümler

Doç. Dr. Cevat KART Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi öğretim Üyesi

ANKARA — 1985

ANKARA ÜNIVERSITESI FEN FAKÜLTESI YAYINLARI No : 140

Matris Metodları ve Lineer Dönüşümler

Doç. Dr. Cevat KART Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Öğretim Üyesi

ANKARA - 1985

ANKARA UNIVERSITESI BASIMEVI - ANKARA, 1985

ÖNSÖZ Kazanılan tecrübelerin ışığında £u kitap bir çok amaca yönelik olarak haz ırlanmıştır. Bunlardan birincisi, gerek matematik ve gerekse fizikte ö ğrencinin her an kullanmak durumunda oldu ğu bir çok konu ve kavramı bir arada vermektir İkincisi, öğrencinin ço ğunlukla zor anladığı ancak diğer yönüyle de çok iyi bilmesi gereken kavramlar ı, soyut durumdan çıkararak somut hale getirmektir. Dahas ı öğrencinin sadece ö ğrenmesi de ğil, özümsemesi ve daha ileri a şamalarında onları araç gibi kullanabilmesi amaçlanm ıştır. Özetle amaç, i şlenen bütün konu ve kavramlar ı, gereken yer ve zamanda "keser" gibi kullanabilmeyi sa ğlamaktır. Kitabın birinci bölümünde "Fonksiyonlar", ikinci bölümünde "Skaler ve Vektör De ğerli Fonksiyonlar", üçüncü bölümünde "Topolojik Kavramlar", dördüncü bölümünde "Lineer Uzaylar", be şinci bölümünde "Matrisler ve Lineer Denklem Sistemleri" ve nihayet alt ıncı bölümünde "Lineer Dönü şümler" konular ı işlenmiştir. Bütün bu konular, bir akış içersinde örnekler, uygulamalar ve al ıştırmalarla sanırım zevkli hale getirilmiştir. Ayrıca kitabın sonuna konan "Kaynaklar" listesi yanında temel tanım ve kavramlar ın hemen bulunması bakımından "Dizin" kısmı ile kullanılan gösterimleri belirten "Simgeler" k ısmı eklenmiştir. Uzun zamandanberi verdi ğim ve uygulamaya yönelik olan bu dersin, gerek matematik ve gerekse fizik ö ğrencilerine yararl ı olaca ğı kanısındayım. Bu kitab ın daktilo edilmesinde yard ımcı olan doktora ö ğrencilerimden Aydın Tiryaki ve Haydar Akça ile bu kitab ın Üniversite yayınları arasında basılmasını sağlayan Fen Fakültesi Dekanli ğına ve iyi bir baskıyı temin eden Üniversite Basımevi elemanlarma te şekkürü bir borç bilirim.

Ankara, 1985

Cevat Kart

WNDEK İ LER BÖLÜM

1.

FONKSİYONLAR Sayfa

BÖLÜM

BÖLÜM

1.1.

Giriş

1.2.

Monoton Fonksiyonlar

4

1.3.

Ters Fonksiyonlar

5

1.4.

Parçalı Sürekli Fonksiyonlar

7

1.5.

Mutlak De ğer Fonksiyonu ve E şitsizlikler

9

1.6.

Kapalı Fonksiyonlar

2.

SKALER VE VEKTÖR DE ĞERLI FONKSIYONLAR

2.1.

Giriş

2.2.

Vektör De ğerli ve Integrasyon

13

21 Fonksiyon1arda Limit, Tiirev

2.3. 24

Bazı Temel Özelikler Kinematik Yorum

2.5.

Parametrik ve Parametrik rimler

26 29 31 Olmayan Göste34

2.6.

Doğrultu Türevi ve Gradient

40

2.7.

Bir Vektör Alanının Divergensi

53

2.8.

Bir Vektör Alan ının Rotasyonu

59

3.

TOPOLOJİK KAVRAMLAR

3.1.

Tanım ve Açıklamalar

65

3.2.

Dizilerin Topolojik Incelenmesi

68

3.3.

Cauchy Dizisi

70

3.4. .Tamlık 3.5.

Bir Cümlenin. En küçük Üst S ınırı ve En büyük Alt Sınırı

71 71 V

Sayfa

BÖLÜM

BÖLÜM

3.6.

Cümlenin Maksimum ve Minimumu

73

3.7.

Limit Superior ve LiMit Inferior

73

4.

LİNEER UZAYLAR

4.1.

Metrik ya da Uzakl ık Fonksiyonu

77

4.2.

Cümleler Arasındaki Uzaklık, Çaplar

80

4.3.

Açık Küreler

82

4.4.

Lineer Uzaylar

85

4.5.

Norm Fonksiyonu

91

4.6.

İç Çarpımlar ve Ortogonallik

96

5.

MATRİSLER VE LİNEER DENKLEM SISTEMLERI

5.1. 5.2.

G;r' ş Matris Gösterimi

120 122

5.3.

Matrisler Üzerinde Aritmetik İşlemler

131

5.4.

Transpozisyon

147

5.5.

Bölmeli Matrislerle İşlemler

154

5.6.

Iz ve Determinant

161

5.7.

Satırca E ş değerlik ve Lineer Sistemler

175

5.8.

Elemanter Sat ır işlemleri yardımiyle Matrislerin Bulunmas ı ,

5.9. 5.10. 5.11. 5.12.

BÖLÜM

VI

Ters

AX =K Sistemlerinin Çözümlerinin Yap ısı

184 192

Lineer Ba ğımsızlık, Baz ve Boyut

198

Eş değerlik

216

Bir Matrisin Normu, Genelleştirilmiş Ters Matris, Türev ve Integrasyon

224

6.

Lİ NEER DÖNÜ ŞÜMLER

6.1.

Dönüşümler

234

6.2.

Lineer Dönü şümler

235

6.3.

Bir Lineer tü Cümlesi

Dönüşümün Çekirde ği ve Görün 241

Sayfa 6.4. Aykırı ve Aykırı olmayan Dönüşümler

246

6.5. Lineer Dönü şümler Üzerinde i şlemler

254

6 6 Lineer Dönüşümlerin Matris Gösterimi

264

6.7. Diferensiyel Operatörler

275

6.8. Lineer Fonksiyoneller

290

6.9. Bir Lineer Dönü şümün Transpozesi ve Ad302 jointi KAYNAKLAR

313

D İZİN

314

SIMGELER

319

VII

1. Bölüm

FONKSİYONIAR 1.1. GIRI Ş A ve B keyfi iki cümle olsun. A n ın bir elemanını B nin sadece bir elemamna kar şılık getiren bir ba ğmtı ya da dönü şüme bir fonksiyon denir. Genel olarak A dan B içine bir f fonksiyonu

f

f: A —> B ya da A -› B şeklinde gösterilir. Böyle bir dönüşümde Df = A ile gösterilen A cümlesine f in tanım bölgesi (domain), B cümlesine değer cümlesi (co-domain) denir. Rf ile gösterilen ve A nin elemanlar ının görüntülerinden olu ş an cümleye de f in görüntü cümlesi (range) denir ve

; f (x): x e A } ile gösterilir. Genel olarak görüntü cümlesi, de ğer cümlesinin bir alt cümlesidir. xe.A ve f (x) e B olmak üzere bir fonksiyon ço ğunlukla x

f (x)

şeklinde gösterilir. AXB, A ve B nin kartezyen çarp ımı olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu için daima fcAXB d ır. f ile f (x) arasmda bir ayr ıcahk olduğuna ve buradan f bir fonksiyonu f (x) ise kurala göre özel bir x say ısı için f (x) sayısını ay ırdetti ğine ilgi çekilmelidir. f fonksiyonu, (x, f (x) ) s ıralı ikililerin cümlesidir. Unutulmamalıdır ki matematikte her yap ı (fonksiyon, cisim, grup, halka, lineer uzay, Banach uzay ı, v.b.) kendine özgü şartları sa ğlaması gereken bir cümledir. Bu bak ımdan cümle kavram ına çok iyi sahip olmak gerekir. Tanım cümlesinde her gerçel sayı için görüntü cümlesinde bir gerçel sayı ayırdeden fonksiyonlar gerçel değerli fonksiyonlar adım alır. Başka bir anlatım ile bir fonksiyonun görüntü cümlesi gerçel say ılardan oluşuyorsa fonksiyona gerçel değerli fonksiyon ya da kısaca gerçel fonksiyon denir. Benzer olarak, fonksiyonun görüntü cümlesi karma şık 1

sayılardan olu şuyorsa fonksiyona karmaşık değerli fonksiyon kısaca karmaşık fonksiyon denir.

ya da

A nın farklı elemanına farklı görüntü karşılık getiren bir f: fonksiyonuna bire-bir (one to one =injective) fonksiyon denir. Yani birebir fonksiyonda a f (a) ya ,da f (a) =f (a') ise a=a'dür. a'ise f (a) E ğer f in görüntü cümlesi B ye e şit ise ya da B nin her bEB eleman, herhangi bir aeA n ın bir görüntüsü ise f fonksiyonuna üzerine (onto = sıırjective) bir fonksiyondur denir. Bu durumda Rf = B dır. A dan A üzerine kö şegen AA= (a ,a) : a EA} cAXA ya da xcA olmak üzere x --> x fonksiyonuna özde şlik fonksiyonu denir. Burada (a,b) s ıralı çift anlamındadır. Gör'ülı tü cümlesi sadece bir elemandan olu şan bir fonksiyona sabit fonksiyon denir. Böyle bir fonksiyonda her aeA için f (a)=b o, bo c B ve Rf = {b 0 } dır. Düzlemde her nokta cümlesi bir fonksiyonun grafi ği değildir. Nokta cümlesinin bir fonksiyonun grafi ği olması için gerek ve yeter şart, her dik do ğrunun nokta cümlesini en fazla bir noktada kesmesidir. Eğer x =a do ğrusu, cümleyi kesmezse f (a) tan ımlı değildir. x =a doğrusu cümleyi (a,b) noktas ında keserse f (a)=1) d ır. x =a do ğrusu, nokta cümlesini birden fazla noktada kesti ğinde f (a) yine tala ımh de ğildir. Bu yüzden x2 + y2 = 1 birim çemberi bir fonksiyonun, grafi ği de ğildir. Bu bir bağmtıdır ve { (x,y): x 2 -4- y2 = 1} noktaların ın cümlesidir. Her fonksiyon bir ba ğıntıdır ancak tersi do ğru de ğildir. Bir fonksiyonun grafi ğinin biçimi, fonksiyonun özelliklerini yans ıttığından bir fonksiyon ile onun grafi ği arasında ayının yapmıyoruz. Bir fonksiyonun bire bir, üzerine, özde şlik fonksiyonu olup olmadığı da pratik olarak yatay do ğrularla ayırdedilebilir. Her yatay do ğru, bire bir fonksiyonun grafi ğini en fazla bir noktada, üzerine bir fonk şiyonun grafi ğini en az bir noktada, özde şlik fonksiyonunun grafi ğini bir noktada keser. Özde şlik fonksiyonu hem bire bir hem de üzerine bir fonksiyondur. Ancak her bire bir ve üzerine bir fonksiyon, özde şlik fonksiyonu de ğildir. Örneğin y =f (x) = 2x+1 hem bire bir hem üzerinedir, ancak özde şlik fonksiyonu değ ildir. Hem bire bir hem de üzerine olan bir fonksiyona bire bir ve üzerine (one to one and onto = bijective) fonksiyonu adı verilir. Bir fonksiyonun bize bir ve üzerine olmas ı seçilen arahğa göre değişebilir. Aralık ile ilgili söz etmişken belirtelim ki bir fonksiyonun tek ya da çift olma durumu da orijine göre simetrik bir arahkta söz konusudur. Hatta f ve g gibi iki fonksiyondan f+g, f—g, f.g ve f /g şeklinde elde edilen yeni fonksiyon biçimleri, f ve g nin tan ım

bölgeleri ile ili şkilidir. Gerçekten f-j-g, f-g ve f.g nin tan ım bölgesi, f ve g nin tanım bölgelerinin kesi şimidir. f /g nin tan ım bölgesi de, g (x) =o denklemini sa ğlayan noktalar dışında f ve g nin ortak tan ım bölgesidir. Böylece verilen herhangi iki fonksiyondan, e ğer onların ortak tanım bölgesi yoksa onlardan diyelim f.g gibi yeni bir fonksiyon elde edilemez. Öte yandan f ve g den elde edilen ve f ve g nin bileşimi denen fog fonksiyonu, f ve g nin adi çarp ımı olan f.g den farklıdır. Gerçekten g tanım bölgesi D g ve görüntü cömlesi R g olan bir fonksiyon ve h da tanım bölgesi Dh ve görüntü cümlesi Rh olan bir fonksiyon olsun. g ile h nin bile şimi, f (x) = g (h (x) ) ile tan ımlanan ve Df tan ım bölgesi, h (x) EDg olacak ş ekilde Dh daki x de ğerleri cümlesidir. Bu fonksiyon, g ile h in adi çarpımıııdan farklı olduğu için goh ile gösterilir. goh ın tanım bölgesi, h ın tanım bölgesinin bir alt cümlesidir ve goh ın görüntü cümlesi, g nın görüntü cümlesinin bir alt cümlesidir. goh ın tanımlı olması için h ın görüntü cümlesinin tümü ya da bir k ısmı g nin tanım bölgesinde kapsanmas ı gerekir. Birden fazla de ğişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tan ımlanabilir. S İ , Seve T cümleleri verilsin. S 1xS2 çarpım cümlesinin her bir elemanma T nin bir tek eleman ı karşılık gelirse bu fonksiyon S 1 x S2 nin T içine bir dönüşümü olan iki değişkenli bir fonksiyondur.

ALI ŞTIRMALAR L Aşağıdaki fonksiyonların grafiğinden hareketle bire bir, üzerine ve özde şlik fonksiyonu olup olmadıklarını belirtiniz (a)

(b) x->x 3 -x, (c) x->x2, (d) x->x

2. A cümlesi A= [ - 1,1] şeklinde bir kapalı aralık olarak veriliyor. A dan A ya bir fonksiyon s ırasiyle (a) f (x) =-- Sin (b) g (x) = Sin x (e) h (x) = Sin

x

7Z X

ile tanımlanıyor. Bu fonksiyonlarm bire bir, üzerine v.b. olup olmad ıklarını belirtiniz. 3. y = f (x) =

2x-1 fonksiyonu, ( - co, oc x+4

aralık-

3

larında hangi türdendir. A = [-3,2], B =4-7, ], C = [-8,2) olmak üzere f: A-*B ve f: A--)-C ile tan ımlanan fonksiyonları n hangi türden oldıı klarını açıklayınız. 4. A ş ağıda verilen f ve g fonksiyonlar ından yeni f+g, f-g, f.g, f — ve — fonksiyonlarını elde ediniz ve tan ım bölgelerini belirtiniz: f a) f(x) b) f (x) =

V;c, g(x) == -\/1-x g (x) = x±1

5. g (x) = 1-x, h (x) -=x fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlardan f1 = goh ve f2 = hog ş eklinde yeni bileş ik fonksiyonlar bulunuz ve tanım bölgelerini belirtiniz. 1.2. MONOTON FONKS İYONLAR Bir y = f (x) fonksiyonu: 1) x 1 < x2 olduğunda f (x 1 ) < f (x2) oluyorsa (kuvvetle) artan, 2) x t < x2 olduğunda f (x i ) > f (x 2 ) oluyorsa (kuvvetle) azalan, 3) x 1 < x2 olduğ unda f (xl) > f (x2) oluyorsa artmayan, 4) x 1 < x2 olduğunda f (x 1 ) < f (x2) oluyorsa azalmayan, fonksiyon adın ı alır . Ayrıca bir f fonksiyonuna; (i) ya artan ya da azalan (ikisi birden de ğil) ise kuvvetle monoton fonksiyon,

(ii) ya artmayan ya da azalmayan ise monoton fonksiyon, (ili) fonksiyonun tanımlı olduğu her sonlu aralık, sonlu sayıda aralıklara bölündü ğünde bu aral ıkların her birinde fonksiyon monoton ise fonksiyona parçalı monoton fonksiyon denir. f (x) = x2 fonksiyonu, x0 için artan oldu ğundan böyle bir fonksiyondur. f(x) = sinx de parçal ı monoton fonksiyondur. f(x) = x 3 kuvvetle artan, f (x) = x 2 fonksiyonu, örne ğin [ -3, O] aralığmda kuvvetle azalan, 4

x< 0 f (x) 2-2x, xj0 fonksiyonu artmayan, O,

x 1 !al— 1bl 1

(d)

I a-c 1 < 1 a-b I + I b-c 1

4. Herhangi bir a e ediniz?

I?

için — la I < a < IaI oldu ğunu ispat

5. a < x < b ve a < y < b ise i y—x I < b-a olduğunu gösteririniz ? 6. a < x < b eşitsizliğini, mutlak değer işareti kullanarak yeniden yaz ınız? 7. (a) x sayısı [-4,4 ] aralığına kısıtlandığında x3-2 ifadesinin mutlak değerce alabilece ği bir üst sınırı saptaymız? (b) [-3,2 ] aralığında her x için Ix3-2x2 +3x-4 1 b, d > c ise a > b c—d olduğunu gösteriniz ? (b) (a) dan yararlanarak, x in

,

aralığına kısıtlanması

halinde x+2 i< m x-2 olacak şekilde bir M sayısı bulunuz ? 10. n tane pozitif sayının çarpımı 1 ise, toplamının en az n olduğunu gösteriniz. 11. Ahştırma 10 dan yararlanarak, (a)

x2+2

x2

> 2 (b) 1+x4 < 2 , (c)log ina+logal0 > 2,a>1

,N/ x2+1 eşitsizliklerinin herbirinin do ğruluğunu gösteriniz ?

12. Aşağıdaki eşitsizlikleri geçerli kılan x de ğerler cümlesini bulunuz. (a)

< 4 ve x-1

3 x-2 < 7

(b)

x-2 < 3 ve x+1

3-x 3 için İyn > n -1-1 N/n+1 eşitsizliğinin geçerli olduğunu gösteriniz ? (b) (a) dan yararlanarak 1, N/2, 3 N/3, 4 VL1 .

5

s arlannın en büyüğünü

n

bulunuz ? ex 16. N > a tam sayısı için

xNNN ot

Xoc

eşitsizliğinin var-

lı gını gösteriniz? 17. Ahştırma 16 dan yararlanarak, a şağıdaki eşitsizliklerin her birinin x in hangi x > x o değeri için geçerli olduklarını gösteriniz ? (a)

ex x4

ex < 2 5 , (b)

< 104, (e)

x2 4 lnx < 10

1.6. KAPALI FONKS İYONLAR Genel olarak F (x,y) = 0 ş eklindeki bir denklem x ve y arasında bir ba ğıntı gösterir. Bu denklemi sa ğlayan bir sayı çifti, düzlemde bir noktaya karşılık gelir. Böyle bir denklemi sa ğlayan noktaların tümü, denklemin geometrik yeri adını alır. Bir çok denklem görünü şte çok basit olsa bile bir geometrik yere sahip de ğildir. Örne ğin x2+ 2y2 + 9 =O denklemi geometrik yere sahip de ğildir, çünkü pozitif de ğerlerin toplamı hiç bir zaman s ıfır olamaz. Aynı şekilde (x-1) 2 + (y+2)2 = 0 denklemi sadece x =1 ve y = -2 için sa ğlandığmdan bu denklemin geometrik yeri sadece bir noktad ır. sinx secy = 0 denklemi de ilginç geometrik yere sahiptir. 1 sinx I < 1 ve I secy I > 1 olduğundan denklem sadece sinx =1 ve secy = -1 ya da sinx = -1 ve secy =1 oldu ğu zaman sağlanır. O halde geometrik yer ± 2 m 7Z, n ± 2 n ıc) ve (

3 2

±2m

2n7c 1,m,n 11

ayrık (izole = isolated) noktalardan olu şur. Bu örneklerden ç ıkan sonuç şudur: F (x,y) = 0 denklemini sa ğlayan bir y =f (x) fonksiyonu yoktur. O halde böyle bir denklem veril13

diğinde ilk önemli problem, denklemi sa ğalayan bir y =f (x) fonksiyonunun varlığı problemidir. İkinci önemli problem de, denklemi sa ğlayan bir y =f (x) fonksiyonu varsa, denklemi y ye göre çözmeden ki her zaman çözmek olana ğı yoktur hangi ş artlar altında y =f (x) fonksiyonunun sürekli ve türevlenebilir oldu ğudur. F (x,y) = 0 denklemi çok kar ışık bir geometrik yere sahip olabilir. Böyle bir denklemi sa ğlayan bir y =f (x) fonksiyonunun varl ığı, geometrik yerin ya da e ğrinin yerel durumu (local behavior) ile yani e ğri üzerinde özel herhangi bir noktanm kom şuluğunda geometrik yerin durumu ile ilgilidir. Yerel (local) terimi matematikte teknik bir terimdir ve e ğri üzerinde dikkate alman herhangi bir noktan ın komşulu ğunun sadece yeteri kadar küçük al ınması gerektiğini de ğil aynı zamanda seçilen komşuluğun yeteri kadar büyük olmas ı halinde de yerel teriminin anlamını yitirece ğini ofade eder. Öte yandan birbirine ne kadar yak ın olmas ı önemli olmamakla beraber farkl ı nokta seçilmesi halinde de yerel durum bozulur ve art ık başka bir nokta için yerel durum söz konusudur. Önemli kapah fonksiyon teoremlerini kurmadan önce baz ı gerçekleri anımsamada yarar vard ır: (i) Bir sürekli fonksiyon herhangi iki de ğer aras ındaki bütün ara de ğerleri almak zorundad ır. Bu özelik Weierstrass ara de ğer teoremi olarak bilinir (ii) Çok kere kullanılan ancak bir teorem olarak ifade edilmiyen ikinci bir gerçek vardır ve sürekli bir fonksiyonun yerel durumu ile ilgilidir. Kısaca bir fonksiyon herhangi bir de ğer için pozitif ise, bu de ğer komşuluğunda bütün noktalar için pozitif olmak zorundad ır. Kuşkusuz bölge çok küçük olabilir, ancak böyle bir bölge vard ır. Aşağıdaki teorem çok de ğişkenli fonksiyonlar için bu sonuca genel bir durum getiriyor. TEOREM 1.6.1. f (x 1 , x2,..., x n) fonksiyonunun bir (x io, x20,..., x n0) noktasında sürekli ve f (x ı o, x20,..., x no) > 0 olduğunu varsayalım Bu durumda Ixi— x io I < h, 1x2—x20 <

I xii—x no I < h

komşuluğunda bütün (x 1 , x2 ,..., x n) noktaları için f (x 1 , x2,..., x n ) pozitif olacak ş ekilde, pozitif bir h say ısı vardır. Şimdi ilk kapalı fonksiyon teoremini verelim. TEOREM 1.6.2. F, Fx ve Fy fonksiyonların ın (xo , yo) komşuluğunda sürekli ve

14

0 olduklarını varsayalım. Bu du-

F (xo, yo) = 0, Fy(xo, yo) rumda

(a) ix–x o I < h komşuluğunda her x için F (x,y) = 0 denklemini sağlayan iy-y. j < k komşuluğunda bir tek y olacak şekilde (xo, yo) komşuluğunda bir

Ş ekil

1. 6.1

R: lx-xo I < h, fy-yo I < k dikdörtgenini belirleyen pozitif h ve k say ıları vardır. Yani y, x in bir fonksiyonudur ve y =f (x) yaz ılabilir. f in tan ım cümlesi jx-xo I < h komşuluğunu ve görüntü cümlesi de I y-y o < k kom şuluğunu kapsar. (b) f fonksiyonu ve bunun f' türevi lx-x o < h komşuluğunda süreklidir. Ayrıca lx-xo I < h için Fy [x ,f (x) ]

dy O ve dx

x ()—

Fx [x,f (x) ] Fy [X,f (X)

I

dır. UYARILAR: Bu teoı emin. bir geometrik yorumu ş ekilde görülüyor. Teorem, f türevlenebilir olmak üzere F (x,y) = 0 denkleminin bir parças ı olan y =f (x) yayının içersinde bulundu ğu bir I x-xo < h, jy-yo < k 15

Şekil: I. 6. 2 dikdörtgeninin varlığını ifade ediyor. Ku şkusuz x=x, doğrusu, tüm geometrik yeri çe şitli noktalarda kesebilir. Teorem tamamen yereldir, yani f in geni şletilebilece ği tanım bölgesinin ne kadar geni ş olacağı belirtilmiyor. Bununla beraber (x o, yo) kom şuluğunda dikdörtgen ne kadar küçük seçilirse seçilsin sonuç geçerli kalır. ; (iii) Bu teorem tamamen salt bir varl ık teoremidir, ve bu teorem bizlere f fonksiyonunu bulmada bir yöntem veremez.

(iv) De ğişkenlerin de ğiştirilmesi halinde sonuç geçerlidir. E ğer Fx(xo, yo) 0 ise bu durumda kapalı fonksiyon teorenıi, x in x =g (y) şeklinde yazılmasını sağlar. Keza Fx (xo, yo) 0 ve Fy (xo, yo) 0 ise hem y =f (x) hem de x =g (y) yazmak imkan ı vardır. Her iki koşul sağlanmıyorsa bu durumda (x o, yo) in komşuluğunda ne y, x in ne de x, y nin bir fonksiyonudur.

ÖRNEK 1. F (x,y) = y 3 + 3x2y-x3 + 2x+3y =O denkleminin tüm geometrik yerinin her x için tan ımlı bir fonksiyon oldu ğunu gösteriniz. Her x için Fy = 3y2+ 3x2 +3 > 0 olduğundan F (x,y), her y için y ye göre artand ır. O halde her x için F (x,f (x) ) = 0 olacak şekilde 16

bir tek y =y (x) vard ır. Teoremin şartları sağlandığmdan f fonksiyonu her x için tammlı, sürekli ve türevlenebilir. ÖRNEK 2. F (x,y) = x2 -y2 +4x+2y+3 =0 fonksiyonuna Teorem 1.6.2 yi uygulayınız. Fx = 2x+4, Fy =-2y+2 olduğuna göre y /1 (Fy-t0) olmak üzere geometrik yer üzerinde herhangi bir noktada y, x in bir fonksiyonudur. Keza x-t-2 olmak üzere x, y nin bir fonksiyonudur. Bununla beraber verilen denklem (y+x+1) (y-x-3) = 0 şeklinde yaz ılabilmesi nedeniyle geometrik yer üzerinde (-2,1) noktas ında Fx = Fy = 0 dır ve bu durumda teorem geçerli de ğildir. dy dx

Fx Fy

x+2 1-y

türevi (-2,1) noktas ında belirsizdir. y+x+1=0 ve y-x-3 =O sisteminin ortak çözümü olan (-2,1) noktas ı, geometrik yerin iki katl ı (double) bir noktasıdır. Teorem 1.6.2 çok say ıda değişken için de geçerlidir, TEOREM 1.6.2.T (x i , x2,... xn, y), Fy ve her i=1,2,..., n için Fxi fonksiyonlarının (x i°, x20,..., xn°, yo) komşuluğunda sürekli olduklar ını varsayalım. Ayrıca F (x ı°,

xn°, Yo) = 0, FY(x ı°,

x°n, Yo)

7L

0 olsun.

Bu durumda a şağıdaki ş artlar sa ğlanacak şekilde h ve k sayılan vardır: (a) lxi- xı.0 1 < h, i=1,2,..., n, komşuluğunda her (x i , x2 ,..., xn) için F (x i , x2,..., xn, y) = 0 denklemini sağlayan [y -y. I < k komşuluğunda bir tek y vard ır. (b) f, f (x i , x2,..., xn) = y ile tanımlanırsa bu takdirde n için bütün birinci basamaktan fxitürevleri xı°1 < h komşuluğunda süreklidir ve ayrıca Fy [xı , x2,..., xn, f (xi , x2,..., xn)] fxi=

Fxı [xl,x2,•••, xn, f Fy x2,..., xn , f

O, xn)

x2,..., x n ]

dır. 17

ÖRNEK

3.

Her x,y için f in x-2 1 < h ve ;y-1-1 < h içinde tan ımh, sürekli ve türevlenebilir olmas ı halinde F (x,y,z) = 3x2 -1- 2y2+ z2+ 2xy

2yz

2xz - 9 =O

denkleminin geometrik yerinin bir parças ının z =f (x,y) yüzeyi üzerinde jx - 2 < h, y+1 I < h, lz+1 ; < h kutusu içersinde bulunabilece ği sonucunu ç ıkarabilir miyiz ? z yi x ve y cinsinden çözünüz ve irdeleleyiniz. x0 =2, yo = —1, z o = —1 d ır. Teorem 1.6.2'de (x i , x2 , y) yerine (x,y,z) gelmiş oluyor. -= 2z+2x-H2y, Fz (2,-1,-1) = 0 oldu ğuna göre (2,-1,-1) noktas ı-

sının komşuluğunda z, x ve y cinsinden yaz ılamaz. Gerçekten denklemden z çözüliirse z = — (x+y) ± v 9-2x2—y2 elde edilir. Her iki fonksiyonun tanım bölgesi 0 < 2x2 + y2 G 9 elips bölgesidir ve (2, —1) noktası bu bölgenin sınırı üzerindedir. Böylece ş artları sağlayan kutu yoktur. Uzay analitik geometrideki bilgilerimizden (2, —1, —1) noktas ında F (x,y,z) = 0 yüzeyine te ğet düzlem, z eksenine paraleldir. •

Bu arada önemli baz ı gerçekleri de k ısaca belirtelim: (i) F (u,v) ve G (u,v) bir bölgede türevlenebilir ise F ve G nin u ve v ye göre jakobiyen determinantı ya da kısaca Jakobiyeni

a (F,G) a (u,v)

aF au

aF

F„

F,

av

aG aG au

av

ile tanımlı ikinci basamaktan fonksiyonel determinantlar. Üçüncü ve daha yukarı basamaktan determinantlar benzer şekilde tammlamr. Aş ağıdaki özeliklerde tüm fonksiyonlar ın sürekli türevlenebilir olduklarını kabul edelim. (ii) F (u,v,x,y,z) = 0, G (u,v,x,y,z) = 0 denklemlerinin (örne ğin) u ve v ye göre çözülebilmeleri için gerek ve yeter şart, bir bölgede

a (F,G) a (u,v)

nin özde ş olarak s ıfır olmamasıdır. Benzer sonuç, n de ğişkenli

m denklem için geçerlidir. m < ıı . 18

(iii) x =I (u,v), y =T (u,v) ve u =f (r,$), v -=g (r,$) ise

a (x,y)

a (x,y)

a (u,v) a (u,v) • 8 (r,$)

8 (r,$)

dır. Bu jakobiyenler için zincir kural ı örneğidir. Aynı şekilde x = (I) (u,v,w), y =T (u,v,w) ve u =f (r,$), v =g (r,$), w =h (r,$) ise

a (x,y) a (u,v)

(x,y) a (r,$)

•

a (u,v) a (r,$)

a (x,y) a (v,w) •

a (v,w) a (r,$)

a (x,y) a (w,u) •

a (w,u) a (r,$) ve x= (u,v,w), y =T (u,v,w), z =z (u,v,w) ve u =f (r,s,t), v =g (r,s,t), w =h (r,s,t) ise (x,y,z)

a (r,s,t)

8 (x,y,z) a (u,v,w) •

a (u,v,w) a (r,s,t)

dır. (iv) u =f (x,y) ve v =g (x,y) ise u ile v aras ında (1) (u,v) =O ş eklinde

a (u,v)

ın özde ş olarak a (x Y) n sıfır olmasıdır. Benzer sonuç n de ğişkenli n fonksiyon için geçerlidir.

bağlı:umm olması için gerek ve yeter ko ş ul,

ALI ŞTIRMALAR 1. Yukardaki (iv) özeli ğinin varlığını gösteriniz. x+y l—xy

2.

ve v

arctanx

arctany ise

a (u,v) (x,y) Yi

bulunuz. (b) u ile v aras ında bir fonksiyonel ba ğıntı var midir? Varsa bu bağıntıyı bulunuz. 3. (a) x =f (u,v), y =g (u,v) ve u = 1 (r,$), v

a (x,y) a (r,$)

a (x,y) a (u,v)

(r,$) ise

8 (u,v)

• a (r,$)

olduğunu gösteriniz. 19

(b)

(x,y) a (u,v)

/ 0 olmak üzere

(u,v)

a (x,y)

= 1 olduğunu

gösteriniz. 4. F (xy,z-2x) =-0 ba ğıntısı

x az ax –y

az ay

hangi şartlar alt ında sa ğlar? Bu ş artları bulunuz.

20

— 2x denklemini

2.

Bölüm

SKALER VE VEKTÖR DE ĞERLI FONKSIYONLU 2.1. Gİ RİŞ u (t) ve v (t) gerçel t de ğişkeninin gerçel de ğerli fonksiyonlar ı olmak üzere z (t) =u (t) + iv (t) şeklinde olan fonksiyonlar karma şık değerli fonksiyonlardır. E ğer u (t) ve v (t) fonksiyonlar ı t =to noktasında sürekli ise z (t) fonksiyonu da t =t o noktasında süreklidir. Aynı şekilde u (t) ve v (t) fonksiyonları t =to da türevlenebilir ise z (t) fonksiyonu da t =t o da türevlenebilirdir. z (t) nin türevi bilindi ği üzere (2.1.1)

Z (t) = ü (t) ± iv (t) şeklindedir. Ayrıca z (t) nin mutlak değeri (modül) z (t) I = [u (.02+ v (t)211/2 ile tanımlıdır.

(2.1.2)

Bilindiği üzere her karma şık fonksiyon, bir analitik fonksiyon değildir. u (x,y) ve v (x,y) gerçel fonksiyonlar olmak üzere w =--- f (z) = u (x,y) + iv (x,y)

(2.1.3)

fonksiyonunu gözönüne alal ım. Bir D bölgesinin her z noktas ında f'(z) türevi var ise, f (z) fonksiyonuna D bölgesinde analitik'tir denir ve bu durumda f (z), D bölgesinde analitik fonksiyon olarak adlandırıhr. f'(z) türevinin bütün noktalarında var olduğu bir Iz—z o I < 8 komşuluğu var ise bu durumda f (z) fonksiyonuna bir z,, noktas ında analitik'tir denir. Buradan (2.1.3) ün bir D bölgesinde analitik olmas ı için gerek şart, u ve v nin

au ax

av ay '

au ay

_av ax

(2.1.4)

Cauchy-Riemann denklemlerini sa ğlamasıdır. E ğer (2.1.4) deki parçal türevler D de sürekli ise bu durumda Cauchy-Riemann denklem21

leri, f (z) nin D de analitik olmas ı için yeter şartlardır. u (x,y) ve v (x,y) fonksiyonları çoğunlukla eşlenik .fonksiyonlar olarak adland ırıhr. Bunlardan biri belli olunca, u+iv =f (z) analitik olacak şekilde diğeri bulunabilir. Belirtelim ki f (z) bir D bölgesinde analitik ise onun bütün türevleri D de vard ır ve süreklidir. Bu gerçel de ği şkenli fonksiyonlar için gerekli olarak geçerli olmayan ancak karma şık değişkenli fonksiyon.. lar için geçerli olan ilginç bir özeliktir. Gerçel de ğerli ya da karma şık değerli fonksiyonlar gerçel t de ğiş keninin skaler fonksiyonlar ı (sayı de ğerli fonksiyonlar) ad ını alır. Bu türden fonksiyonlarm görüntü cümlesi, tan ım bölgesinde her nokta için sayılardan oluşur. Görüntü cümlesi vektörlerden olu şan fonksiyonlara vektör değerli fonksiyonlar ya da kısaca vektör fonksiyonlar ı denir. Örne ğin bir vektör fonksiyonunun tan ım bölgesi a < t < b aral ık"ı ise, iki boyutlu uzayda bir t —> v (t) vektör de ğerli fonksiyonu, e l ve e 2 kordinatbmveöloküzr

✓ (t) ---- f (t) e ı + g (t) e 2

(2.1.5)

şeklinde gösterilebilir. Burada f ve g fonksiyonlar ı , [a,b] aralığında tammlı olmak üzere skaler fonksiyonlard ır. Daha fazla boyutlu uzaylarda bu tanım benzer ş ekilde genişletilebilir. (2.1.5) fonksiyonu IR den IR2 ye bir de ğişkenli bir fonksiyondur. Tanım bölgesi IR2de ve görüntü cümlesi de 1R 2de bulunan vektörlerden olu ş an bir vektör fonksiyonu ✓ (x,y)

(2.1.6)

f (x,y) e ı + g (x,y) e 2

gösterimine sahiptir. E ğer görüntü cümlesi üç boyutlu uzayda vektörlerden oluşuyorsa bu vektör fonksiyonu u (x,y) = f (x,y) e ı + g (x,y) ş eklindedir. Aynı şekilde

h (x,y) e 3

u ı (x,y,z) = f (x,y,z) e ı +g (x,y,z) e 2

(2.1.7)

(2.1.8)

ve u2 (x,y,z) = f (x,y,z) e ı +

g (x,y,z) e2-4- h (x,y,z) e 3

(2.1.9)

fonksiyonları sırasiyle u ı : R 3 --> R2 ve u2 : R 3 -* R3 ş eklinde üç de ğşikenli vektör fonksiyonlar ıdır. Keza (2.1.6) ve (2.1.7) iki de ğişkenli vektör fonksiyonland ır. Her vektörün, koordinat birim vektörleri (baz vektörleri) cinsinden bir tek şekilde yazılabileceği açıktır. Buna, vektörün bitim noktas ına 22

karşılık gelen yer vektörü dendiğini biliyoruz. Örne ğin, üç boyutlu uzayda hernagi bir P noktas ının yer vektörü P = OP = v = x le i + x2e2 + x3e 3 (2.1.10) şeklindedir. (x ı , x2 , x3 ) sıralı üçlüsü (O, e 1 , e2 , e 3) koordinat sisteminde P nin koordinatlar ı dır. Iki kil' ve Cf"). gibi yönlü do ğru parçaları aynı büyüklük ve aynı doğrultu ve yöne sahip iseler bunlar eşdeğerdir (ya da dar anlamda --> eşittir) denir ve bu AB CD şeklinde gösterilir. Bir v vektörü, verilen bir büyüklük ve bir do ğrultuya sahip bütün yönlü do ğru parçalarının bir kolleksiyonudur. Koolleksiyonda bir özel yönlü do ğru parçasına, v vektörünün bir örneği ya da ve modeli denir. Örne ğin aynı büyüklük ve ayni yön ve do ğrultuya sahip şekil (2.1.1) deki vektörler, ayn ı bir

Şekil 2.1.1

vektörün beş örneğidir. Ayni vektörün herhangi iki örnek yönlü do ğru parçaları eş değer olduğundan, bir vektörü tan ımlamada kullanılan kolleksiyona bir denklik s ınıfı denir. Buradan bir vektör, yönlü do ğru parçalarının denklik smıfı dır. Bi denklik sınıfı yansıma, simetri ve geçi ş me özeliklerini sa ğlar. Sıfır vektörü, s ıfır uzunluğuna sahip yönlü doğru parçalarının sınıfıdır ve s ıfır vektörü her vektöre ortogonald ır. P ve Q iki farkl ı nokta olsun. Bir X noktas ının P ve Q den geçen do ğru üzerinde bulunmas ı için P, Q ve X noktalarının yer vektörlerinin X =- oc P + (3 Q , 2 + = 1

(2.1.11)

bağıntısını sağlayacak şekilde 2 ve (3 sayıları var olmalıdır. Bu durumda X noktası, PQ yönlü doğru parças ını (3 /2 oranında böler. Gerçekten 23

to

= a

ise lim If(t))1=la id ır. t.to Daha önce görüldü ğü üzere bir vektör fonksiyonunun bile şenleri, seçilen koordinat birim vektörlerine ba ğlı idi. Ancak sıııırhlık,

29

limit, türev, inte ğral bu seçime ba ğlı değildir. Koordinat birim vektörlerini ya da koordinat fonksiyonlarını kapsamayan ancak öncekilere eş değer olarak kavramlarm yeni tan ımlar! verilebir: (v) Bir t -± f (t) vektör de ğerli fonksiyonunun bir aral ıkta sınırlı olması ancak ve ancak t -›- If (t) I skaler fonksiyonunun s ınırlı olması halinde olanaklıdır. (vi) t, noktası komşuluğunda tanımh f (t) fonksiyonu için ancak ve ancak lim If (t) — f (t o) I = O t-›to geçerli ise t, noktas ında süreklidir. (vii) f (t), t o komşuluğunda tanımlı olsun. Bu durumda ancak ve ancak lim If (t) — a = O t,to ise lim f (t) = a t-,to dır. (viü) f (t), t o komşuluğunda tanımlı olsun. Bu durumda ancak ve ancak

lim h-*o h

f (t o + — f (to) } =-- a

ise r(to) = a dır. (ix) E ğer f (t), aGt Gb için sürekli ve sinirli ise fabf (t) dt = F (b) — F (a) geçerlidir. Tek tarafl ı türevler ve limitler, sonsuzda limitler benzer şekilde tanımlanır. UYARMALAR Yukarda sözü edilen "Özelik", "Özellik" sözcükleri ile "ancak ve ancak" deyimiui aç ıklığa kavuşturm ada yarar vard ır: 30

(a) Özelik (property) genel, özellik (peculiarity =feature) özelclir. Her özelik bir özelliktir, ancak her özellik bir özelik de ğildir. (b) "ancak ve ancak" (if and only if =is equivalent to) bir e ş değerlik ifadesidir. Böyle bir ifade de çift gerektirme (biconditional vardır. Bazan da eş anlamlı olarak "gerek ve yeter ko şul" yerine kullanılır. 2.4. Kİ NEMATİ K YORUM f (t) = x (t) e i + y (t)e 2 şeklinde bir vektör fonksiyonu x =x (t), y =y (t) parametrik denklemler çiftine e ş değer oldu ğunu biliyoruz. Böylece düzlemsel C: x=x (t), y =y (t) eğrisi üzerinde hareket eden bir parçac ığın (partikül*) (velocity vector) v (t) =

hız vektörü

df dt = f (t) = x (t)e l -1-iy (t) e 2

dır. Hiz (speed) ise, hız vektörünün mutlak de ğeridir. ivme vektörü de hız vektörünün türevidir; yani a (t) = v (t) = f(t) dır. Aynı şekilde uzayda bir e ğrisel hareket t f (t) = x (t) e l + y (t) e 2 + z (t) e 3 vektör fonksiyonu ile tanımladı". Bilindiği üzere ivme, hareket durumunda bulunan bir şeyin küçük bir zaman içinde h ızında oluşan artırımın bu zamana oran ıdır. Matematik diliyle ivme, hız vektörünün zamana göre türevidir. Kinematik ise, cisimlerin hareketlerini yörünge, h ız ve ivme gibi konular bakımından inceleyen mekanik koludur. Herhangi bir türevlenebilen fonksiyon, ya bir e ğri (geometrik görüntü) ya da bir hareket (kinematik görüntü) tanımladığı düşünülebilir. Keza türev de ya te ğetin e ğimi ya da ani hız olarak dikkate alınabilir. Bu iki kavram birbirini tamamlar. Yürüyen bir noktan ın çizdiği yol yörünge adını alır. Hız vektörü daima yörüngeye te ğettir. Buna göre vektör de ğerli fonksiyonlarm * Partikül: Uzunluğu, genişliği ve kalınlığı olmayan ancak kütlesi olan çok küçük parçacık.

31

kinematik yorumu verilebilir. Gerçekten bir t -* f (t) vektör de ğerli fonksiyonunun, düzlemde ya da uzayda bir noktanın (f (t) yer vektörlü nokta) hareketini tan ırrıladığını düşünebiliriz. Örne ğin, a ve b sabit vektörler olmak üzere f (t) = ta+b, - co < t < co fonksiyonu, bir do ğru boyunca bir noktan ın hareketini tanımlar. t =O da hareketli nokta yer vektörü b olan P noktas ındadır. t =1 zamanında hareketli nokta yer vektörü a+b olan Q noktasmdad ır. Daha genel ---> olarak hareketli nokta, herhangi bir t zaman ında PQ do ğru part çasını — oranında böler. Aynı ş ekilde 1-t f (t) = (cost) e l + (sint) e 2 ,

0 < t < 2 iz

fonksiyonu, t =O da (1,0) noktas ından harekete ba şlayan bir noktanın birim çember üzerinde hareketini tan ımlar. Bir vektör, ba şlangıç ve bitim noktası bir yana uzayda herhangi bir yere yerle ştirilebilir. Bir v vektör fonksiyonunun tanım bölgesinde herbir P noktas ı için tepesi P de olmak üzere V (P) nin örnek (temsilci) yönlü do ğru parçalarını kurabiliriz. Örne ğin düzlemde (2,3) noktasına p = OP = 2e 1 -1- 3e 2

A(4.,-2)

Ş ekil: 2. 4.1 şeklinde bir yer vektörü kar şılık geldiğini biliyoruz. Bu p vektörüne eşit, ancak orijinden geçmeyen sayısız vektör söz konusudur, ancak düzlemde herhangi bir başlangıç noktası almak suretiyle p vektörüne 32

eş:'t bir temsilcinin ba şlangıç noktas ı diyelim (4,-2) ol şun. Bu noktadan geçen ve p vektörüne e şit olan vektör bir tanedir. Yani A (4,-2) oldu ğuna göre B bitim noktas ı da B (x B, yB) olsun. XB-XA = 2, YB- YA 3 ğına göre XB -= 2 XA = 2+ 4 =6, YB =3 I- YA =-3-2 =1 o olac lur. O halde p vektörüne e şit, A (4,-2) noktas ından geçen AB yönlü doğru parças ının bitim noktas ının koordinatlar ı B (6,1) dır. Düzlemde (ya da uzayda) herhangi bir nokta ba şlangıç noktas ı olarak seçilebilece ği için herhangi bir yer vektörünün çok say ıda temsilcisi bulunabilir. Buna göre D tan ım bölgesi bir düzlemsel bölge ve V (P) nin görüntü cümlesi de düzlemde bir vektörler kolleksiyonu ise şekil 2.4.2 de olduğu gibi bir grafik gösterimi yenilebilir. Şekildeki vektörler bir vektör alanı oluştururlar. Daha aç ık bir deyimle, vektör alan ı vektör fonksiyonu

ile eş anlamlıdır. Benzer olarak düzlemde ya da uzayda bir bölgenin herbir noktas ına bir skaler ayırdeden adi ya da say ı değerli fonksiyona bir skaler alan ya da skaler fonksiyon denir. Örne ğin uzayda bir R bölgesinin herbir (x,y,z) noktas ına bir 25 (x,y,z) skalerini kar şılık getiren QS fonksiyonu bir skaler nokta fonksiyonudur ve s25 skaler alanı R de tammlidır denir. Dünyan ın yüzeyi üzerinde ya da içinde belli bir zamanda herhangi bir noktadaki s ıcaklık bir skaler alan tanımlar. Öte yandan her skaler fonksiyon diyelim (x,y,z) = 3x 3y-5z2 + 2 bir skaler alan tan ımlar. Bir skaler alan zamandan ba ğımsız ise kararlı skaler alan (steady-state scalar field =stationary) ad ını alır. Aynı şekilde vektör fonksiyonları da bir çok uygulamalarda kar şımıza çıkarlar. Hareketli bir akışkan içinde belli bir zamanda herhangi bir (x,y,z) 33

noktasmdaki hız vektörü, bir vektör alan ı tanımlar. Keza atmosferde rüzgarın hızı ve uzayda bir nesne üzerine yerçekiminin vektörel kuvveti diğer vektör fonksiyonu örnekleridir. Ayn ı şekilde zamandan ba ğımsız bir vektör alan ı da kararlı vektör alanı adım alır. 2.5. PAAMETRIK VE PARAMETRİ K OLMAYAN GÖSTERİMLER Bir x y =f (t) skaler fonksiyonunun grafi ği, fonksiyon hakkında tüm bilgiyi kapsar. Grafik bilindikten sonra fosksiyon yeniden kurulabilir. Ancak t --> f (t) şeklinde bir vektör de ğerli fonksiyon ile parametrik olarak gösterilen noktalar cümlesi, fonksiyon hakk ında bilginin tümünü değil, bir kısm ını kapsar. İki farklı vektör de ğerli fonksiyon, aynı nokta cümlesini gösterebilir, keza bir nokta ayn ı yörüngeyi farkli şekillerde tanımlayabilir. Örne ğin t — ta, t -> t 3a,

O

(t 2— ) e i + (t 4— ) e2, — o0 < t < Go (b) t -*

lnet e i +

hit e2 , 1 < t < oo

(e) t —>

1—t2e1 +

1+t2e2 , — 1 < t < 1 39

19. Aşağıda deuklemleri parametrik olarak vektör de ğerli fonksiyonlarla verilen yüzeylerin parametrik olmayan denklemlerini bulunuz ? (a) v (s,t) = (s cost)e ı + (s sint) e 2 (b) v (s,t) 0 0, 0 b ve e>0 olsun. Bu durumda >

ian— b j> 4 E ve m> no

no olması

70

la,— a m i= ja n— b+b—am I < b I -F lb—am I < 2 E + E=-- G olmasım gerektirir ki buradan dizisinin bir Cauchy dizisi oldu ğu sonucu çıkar. Her ne kadar yak ınsak bir dizi, Cauchy dizisi ise de ters; do ğru değildir. Yani her Cauchy dizisi yak ınsak değildir. Örne ğin gerçel sayılar doğrusunun X = (0,1] alt uzay ını gözönüne alalım. xn =z ile tanımlanan dizi bu uzayda bir Cauchy dizisidir, ancak yak ınsak değildir Çünkü sıfır noktası uzayın bir noktası değildir. Bu örnekte ortaya ç ıkan durum, yakmsak bir dizi kavramının sadece dizinin kendisinde bulunan bir özlük hakkı olmadığını , aynı zamanda dizinin içersinde bulundu ğu uzaym yapısına da bağlı olduğunu gösterir. Bu nedenle bir yak ınsak dizi, "onun kendisi üzerine" yakmsak de ğildir, dizi belli bir uzayda herhangi bir noktaya yakmsamak zorundad ır. Buradan gerçel say ıların her Cauchy dizisi yak ınsaktır. 3.4. TAMLIK (COMPLETENESS) Bir A gerçel sayılar cümlesine, e ğer A daki noktalar ın her Cauchy dizisi yine A cümlesindeki bir noktaya yak ınsarsa, tamdır denir. ÖRNEK 1. Z = {..., —2, —1, 0,1,2,...} tam sayılar cümlesi tamdır. Çünkü 3.3 deki örnekte görüldü ğü gibi Z deki noktaların bir şeklindedir. Bu dizi bir b EZ noktas ına yakmsar. ÖRNEK 2. Q rasyonel sayılar cümlesi tam de ğildir, çünkü > gibi bir rasyonel sayılar dizisi seçilirse bu dizi V2 irrasyonel sayısına yakınsar. Bu nedenle Q rasyonal sayılar cümlesi tam de ğildir. Öte yandan R gerçel sayılar cümlesi tamdır, yani gerçel say ılarm her Cauchy dizisi bir gerçel sayıya yakınsar. 3.5. B İ R CÜMLEN İN EN KÜÇÜK YÜK ALT SINIRI

ÜST

SINIRI VE EN BÜ-

A bir gerçel sayılar cümlesi olsun. aEA için a 0 için bir dizisinin sonsuz sayıdaki terimi 1-e dan büyük ve sadece sonlu sayıdaki terimi İ + E dan büyük ise 1 sayısıma dizisinin limit superior'u, en büyük limiti (greatest limit) ya da üst limiti (upper limit) denir. dizisinin limit superior'u lim cosuPan ya da limn_.coa n ile gösterilir. E>0 için bir dizisinin sonsuz say ıdaki terimi 1 + E dan küçük ve sadece sonlu sayı daki terimi 1 - E dan dan küçük ise 1 say ısına dizisinin limit inferior'u, en küçük limit (least limit) ya da alt limiti (lower limit) denir. dizisinin limit inferior u lim n_,Goinfa nya da lim n_,ma n ile gösterilir. '

1-E< (sonsuz sayıda terim), 1, T+ E< (sonlu sayı da terim) (sonlu sayıda terim)

V2 = V2

V 1,



V2

V 1,



V n= Vn

Vn_i>

.........

v

.....

Yi

i=1

Yk =

k_i J=1

Yi

X xn } cümlesinin gerdi ği alt uzay, Y = {Y1,Y2,••., y n } nin gerdiği alt uzay ile ayn ıdır. Yani L (X) = L (Y) d ır. Bilindiği üzere L (X) ya da S p (X), X cümlesini kapsayan V iç çarp ım uzayınm en küçük alt uzay ıdır ve X taraf ından gerilen alt uzay adını alır. V iç çarpım uzayında verilen lineer ba ğımsız cümle, uzayın bir bazı ise, bu durumda elde edilecek ortonormal cümle uzay ın ortonormal baz ı olur. Öte yandan bir iç çarp ım uzayında verilen lineer ba ğımsız cümle, sonlu ya da sonsuz elemanh olabilir. Yani ortogonallik ve ortonormallik sadece sonlu sayıda lineer ba ğımsız cümleye özgü bir durum de ğildir. Bir V iç çarp ım uzaymda {v i ,..., v n } bazı, ortonormal u n } bazma dönüştürülürse {vi} baz ından {nı } bazma geçi ş matrisi üçgenseldir, yani i n için u i = %v i

ai2v2

•••

a ı nvn

dır.

ÖRNEKLER 1. /?3 de x ı = (1,1,1), x 2 = (0,1,0), X 3 = (1,1,0) lineer ba ğımsız vektörleri veriliyor. Bu vektörler taraf ından gerilen R3 lineer uzaymm bir ortonormal baz ını bulunuz? Yı =

Y2 =

104

xl

İ

Ilxi

k V3

X2

—

1

1 -\/T

Y ı

11X2 — Y ı it

.vıs.)

1

x2 - < x3, Y ı > Y ı - Y2

-

lix3 - Y ı — Y2 = V2

Y3

✓ı

{yı , y2 , y2 } cümlesi, R3 ün bir ortonormal baz ıdır. {x1} den {y ı } ye geçiş matrisi üçgenseldir. Gerçekten

yı =

(1, 1, 1) + O. (O, 1, O) + O. (1, ', O)

1

Y2 =

(1, 1, 1) + — (0, 1, 0) + O. (1, 1, 0) 1

1

Y3 -

_ V2

V2

0, 1, 0) -I-

2 (

1, 1, 0)

olduğuna göre geçi ş matrisi 1

1

1 V2-\

3

0

1

-V6 0 şeklindedir. 2. İç çarpımı = fl o f (t) g (t) dt ile verilen ve derecesi = x ıY ı

(4.6.5)

xiyi

i- ı

ile tammlıdır. Bu çarp ım, hermitiyen çarp ım özeliklerini Sa ğlar. Örneğin her x,y E Cn için = dır. Gerçekten = x Y ı +.. • --F x nYn = Y ı x -11- • • • + Ynin Y ıx ı + • •

Ynxn =

dır. x e Cn vektöründe her bir x i E C dır. x 0 ise herhangi bir xi 0 ve xizi = iXi > 0 nedeniyle > 0 dır ve dolayısiyle bu çarpım pozitif definittir. 2. V, [a, b] aralığında sürekli karma şık değerli fonksiyonlar uzayı, yani V [a, b], C) olsun. f, g E V ise bu uzayda iç çarp ım

e(



fab f(t) g (t) dt

(4.6.6)

ile tanımhdır. İııtegralin standart özellikleri, bu çarp ımın pozitif dcfinit bir hermitiyen çarp ım oldu ğunu gösterir. Özel olarak [a, b] arah ğı [— 7r, 7r] olarak alınır ve fn(t) = eint ile tannnlan ırsa, rı ve m nin farklı değerleri için fri fm ye ortogonaldir. Ayrıca fn> =

f_nır

einte-in t dt = 2 Tc

ve f e V ise f in f n ye göre Fourier katsay ısı

< f n, fn>

27r

, f(t) e -int dt

şeklindedir. E ğer aralık [a, b] olarak alınırsa bu defa 2 in ır t b-a

fn(t) e ile tanımlanan fonksiyonlar, n ve nı nin farklı değerleri için fn, fm ye ortogonaldir. Bu durumda 109

< fıi ,fri>

.-_

,i13 2 innt a e b-a . e

2 innt b-a dt = — a

ve f in fa ye göre Fourier katsay ısı da



1 b-a a

fb

f(t) e

2 innt b-a dt

şeklinde olur. Teorem 4.6.3 ve onun sonucunun benzeri pozitif definit hermitiyen çarpımlar için ifade edilebilir: TEOREM 4.6.4. V,. pozitif definit hermitiyen çarp ımlı karmaşık sayılar üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. W, V nin bir alt uzayı ve {w ı ,..., wm }, W nin bir ortogonal baz ı olsun. W V ise {w i ,..., wa }, V nin bir ortogonal baz ı olacak şekilde V nin wm+1,•••, w a elemanları vardır. SONUÇ. V, pozitif definit hermitiyen çarp ımh karmaşık sayılar üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. V {0} oldu ğunu varsayalım. Bu durumda V bir ortogonal baza sahiptir. Ispatlar daha önce gerçel durumda verilen şekliyle tamamen aynı olduğundan tekrarlamaya gerek yoktur. Öte yandan pozitif definit hermitiyen çarp ımh karmaşık lineer uzayda norm fonksiyonu, (4.6.4) ile tammland ığı gibidir. Mutlak değer, norm, metrik ve iç çarp ımııı birbirleri ile ilişkisi vardır. x noktası R gerçel sayılar ekseni üzerinde ise bu durumda Ix = d (x, 0) dır. Yani Rn uzayında ancak n = 1 ise mutlak de ğer, norm ve uzaklik aynıdır. n > 2 olmas ı halinde mutlak değer kalkar, norm ve metrik ili şkisi devam eder. Norm fonksiyonu, mutlak de ğer fonksiyonundan daha genel bir kavramd ır. Metrik ile norm aras ında d (u, v) = II ili şkisi vardır ve her boyutlu uzayda geçerlidir. II ya da I 1 2 < I < ile ifade edilen Schwarz e şitsizliği Cauchy-Schwarz e şitsizliği yada Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky e şitsizliği nedeniyle iç çarp ım, norm ve dolayısiyle metrikle Ilu = 1 /2 şeklinde iç çarp ımdan gelen bir norma sahip normlanmış bir V lineer uzay ına iç çarpım uzay ı denir. Bu uzay tam ise Hilbert uzayı adım alir. Hilbert uzayı genel anlamda içerisinde iç çarpımın tammh olduğu tam iç çarp ım uzayı ya da tam lineer uzaydır. O halde bir Hilbert uzay ı yalnız bir iç çarp ım uzayı değil aynı zamanda

110

tam bir iç çarp ım uzayıdır. İç çarpım uzayları normlanmış uzayların özel bir sınıfı ve normlanmış uzaylar da metrik uzaylarm özel bir s ımmfıdır. Sonlu boyutlu normlanmış bir lineer uzay tamdır. Buradan soulu boyutlu bir iç çarp ım uzayı bir Hilbert uzayıdır. Her Hilbert uzayı tam bir iç çarpım uzayı olması nedeniyle bir Banach uzay ıdır, ancak tersi doğru de ğildir. Tam olmayan iç çarp ım uzayları da söz konusudur. Bu türden uzaylar ço ğunlukla pre-Hilbert uzayı adım alır. Bununla beraberaber tam olmayan bir iç çarp ım uzayı, Hilbert uzayı olarak tam yapılabilir.* Bir Hilbert uzayında iç çarpımm, Schwarz e şitsizliğ i nedeniyle x, y nin sürekli bir fonksiyonu oldu ğu kolaylıkla anlaşılır. Yani x n -> x ve y n -> y

--> •

olduğunu ispatlamak için aş ağıdakini görmek yeter:

i — i_ — + 1 ▪

1 — — 1 1 1 --F 1 1

▪ ilxn ii IlYn- Y ii + Hxn— x Sonlu boyutlu Hilbert uzaylar ı özel ilgiye sahiptir. Sonlu boyutlu gerçel bir Hilbert uzay ı bir Öklid uzay ı adını ahr. Sonlu boyutlu bir karmaşık Hilbert uzayı da ço ğunlukla birimli uzay (unitary space) yada karmaşık Öklid uzay ı adını ahr Hilbert uzay ı adı çoğunlukla uzayın sonsuz boyutlu olmas ı halinde kullanılır. Çeşitli Hilbert uzay örnekleri vardır.

ÖRNEKLER co E an2 < co olacak şekilde yani a 1 2 -1- a22 n-2

... serisi ya-

kınsayacak şekilde > şeklinde (gerçel ya da karma şık) bütün sonsuz diziler s ınıfı r) ile gösterilsin. Örne ğin p = ve g = < 1,

>

*Bak. A.E. TAYLOR, General Theory of Functions and İ ntegration, Blaisdell Publishing Co., Massachusetts, 1965.

RG° dur. Öte yandan dizileri için 12 _F 12 + yakııısamadığından p 12 + (2)2 + (1)2 ... serisi yakınsadığından q E IP° dur.

p=

ve

q=

dizileri rp da olmak üzere iç çarp ım

____



akbk

k=1

ile tanımlıdır. Bu uzay 1 2(n) ya da kısaca n sonsuz oldu ğu için 1 2 ile gösterilir. Bu uzay en basit sonsuz boyutlu Hilbert uzay ıdır. Iç çarp ım serisi, p, q E 1 2 olmak üzere 2 Jakbk I < hak J 2 -1- 1bk 2 eşitsizliği nedeniyle mutlak yakınsaktır. Bu uzayda 1 2 normu 1/2

1/2

= E ja k 1 2 ) k=1

ile taıumhdır. Bu norm, Hilbert uzay ında 1 2 metri ğini gerektirece ğinden 1/2

İ

d (p, q) = E

k=1

ak

— bk 1 2 )

ile tanımlanan d fonksiyonu 1 2 metri ğidir. Bu yüzden 1 2 uzayı bir metrik uzayıdır. 1 2 uzaymın tam oldu ğu gösterilebilir. Bu uzay aynı zamanda ayrılabilir Hilbert uzay ı (separable Hilbert space) olarak da adlarıdırılır. 2. Sonlu boyutlu Rn uzayı , iç çarp ım ve norm uygun biçimde tan ımlanmak üzere sonlu boyutlu gerçel bir Hilbert uzay ıdır. Benzer şekilde Cn uzayı da sonlu boyutlu karma şık Hilbert uzayıdır. Bilindiği üzere Öklid uzay ı ve karma şık Öklid uzayı adını alan bu sonlu boyutlu Hilbert uzayları 1 2(n) ve U n (ya da yine 1 2 (n)) ile gösterilir. 3.

I = [a, b aral ığı üzerinde

S' If

(X

) 1 2 dx < cx)

şeklinde karesi integre edilebilen bütün fonksiyonlar uzaya L2 (a, b) ya da kısaca L2 ile gösterilir. Bu uzay da ilgiye de ğer önemli bir Hilbert uzayıdır. Bu fonksiyonlar uzayında iç çarp ım ve norm sırasiyle 112

=

a < u, v i > -I- b olduğunu gösteriniz? 17. u = (x i , x2) ve v = (y i , y2) olmak üzere = x ıY ı — x1Y2 x2Y ı 3 x2y2 çarp ımının R2 de bir iç çarp ım olduğunu gösteriniz ? 18. Aşa ğıda belirtilen iç çarp ımlara göre verilen u, v vektörleri tarafından gerilen R 3 ün alt uzay ı= ortogonal bazlar ını bulunuz? (a) u = (1,1,1), v = (1, —1, 2); = x iyi

2x2y 2

(b) u = (1, ---1, 4), v = (-1, 1, 3); = x ıYı

x3y3

3x2Y2

x 1 y3 -+ yıx3 — x 3y2 — x2y3 19. Aşa ğıda belirtilen iç çarp ımlara göre C üzerinden C 2 uzayı için bir ortogonal baz bulunuz? (a) = x ıYı (b) = xiy2

ix2Y1 x2y i

ixı Y2 — 2x2y2 4xiy i

20. u, v ye ortogonal ise u nun her skaler kat ınm keza v ye ortogonal olduğunu gösteriniz. R 3 de v i = (1,1,2) ve v 2 = (0,1,3) vektörlerine ortogonal bir birim vektör bulunuz? 21. u = (1,2,3, —1, 2) ve v = (2, 4, 7, 2, —1) ile gerilen R3 ün alt uzayı W olsun. W nin Wi ortogonal tümleyeninin bir haz ım bulunuz? 22. C 3 deki adi çarp ıma göre v i = (1, i, 0) ve v2 = (1, 2, 1—i) ile gerilen C 3 ün W alt uzaymın bir ortonormal haz ım. bulunuz? 118

23.

{u / ,..., un } ortonormal cümlesinin lineer ba ğımsız olduğunu ve her v E V için w = v — Uı — U2 — — ur i ye ortogonal oldu ğunu gösteriniz? vektörünhbiu 24. W, V iç çarpım uzayının bir alt uzayı olsun. V nin bir ortonormal hazırım bir parças ı olan W nin bir ortonormal bazınm var olduğunu gösteriniz ? 25. W, pozitif definit iç çarp ımlı bir V iç çarpım uzayınm bir alt uzayı olsun. Bu durumda V = W

W1 olduğunu gösteriniz?

119

5. Bölüm

MATRİSLER VE L İNEER DENKIEM SİSTEMLER İ 5.1. GIRI Ş Bu bölümde matrisler, determinantlar ve bunlar ın lineer cebirsel denklem sistemleri ile olan ili şkileri üzerinde durulacakt ır. Liııeer cebirsel denklem sistemleri bilim ve mühendislikte s ık sık ortaya ç ıkarlar. Bazan bir sistem, bir fiziksel durumu tan ımlayan bir matematiksel modeldir. Örne ğin, ş ekil 5.1.1. de gösterilen yainy ı gözönüne alal ım Böyle bir yap ın ın A noktas ına diyelim 20 tonluk bir yük uygulandığında yapının çeşitli üyelerindeki denge kuvvetlerini arayal ım.

Sekil

5. 1. I

Yapının çeşitli kısımlarındaki yükün dağılımmı incelemek için Şekil 5.1.2 yi kullanal ım: f1 ve f2 kuvvetleri, büyüklükleri s ırasiyle ficos45 ve f2cos30 olan dik bileşenlere sahiptir. Bu iki kuvvet 20 tonluk yükü dengeleyece ğinden f1 ve f2 , f1 cos45 4- f2cos 30 = 20 e şitliğini sağlamak zorundad ır. f2 ve f4 ün dik bileşenleri B noktas ında dengelenmesi gerekir: 120

Al

Ş ekil 5.1.2 f4 = f2co5n Aynı şekilde fı ve f5 in dik bileş enleri noktas ında dengelenmesi gerektiğinden f5 = f1 cos45 dır. Öte yandan f1 ve f2 nin B ve C deki yatay bile şenleri de f3 tarafına., dengelenmesi gerekti ğinden f3 = f1 sin45 f3 = f2sin30 dır. Bu çözümleme sonucunda f 1 ,f2,f3 ,f4 ,f5 kuvvetlerinin a şağıdaki sistemi sa ğlaması gerekti ği anlaşılır: f1cos45

f2cos30 = 20

f2cos30 = 0 f1 cos45 — f5 = 0 f1 sin45 — f3 = 0 f2sin30 — f3 = 0 Bu sistem, bir lineer cebirsel denklem sistemidir. Daha çok üyeli benzer yap ılar, bizleri daha çok bilinmiyen ve daha çok denklem kapsayan sistenılere götürür. Dahas ı lineer sistemler, diferensiyel denklemleri kapsayan bir matematiksel modeli çözmede kar şılaşılan ikinci derece bir problem olarak ortaya ç ıkarlar. Sistem, yakla şıklıklar sonucu olabilir, analitik çö121

zümde zorunlu bir basamak olarak ortaya ç ıkabilir ya da başlangıç şartları sağlanacak biçimde isteksel sabitlerin belirtilmesinde ortaya ç ıkabilir. Böylece sistemler, uygulamalarda çok geni ş biçimde ortaya çıktıklarından onlar için uygun gösterim ve elde edilebilir uygun hesaplama araçlarına sahip olmanın büyük yararları vardır. Bu nedenle matris cebiri ile işe başlanarak, lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümlerini bulmada, çözümlerin ay ırdedici nitelilderini anlamada etkili matris yöntemleri üzerinde durulacakt ır. 5.2. MATRİ S GÖSTERİMİ Matris, yatay sat ır ve dik koloıllarla dizilen elemanlar ın bir dikdörtgensel düzenidir. m satır ve n kolonlu bir matris

an 8.01

a12 a22

• • • • nın • ... a2 n

;m ı

am2 •

A

(I

. . . amn

biçiminde gösterilir. A matrisi, sat ır boyutu daima önce yaz ı lmak üzere mxn basamağına sahiptir denir. Elemanların ikili alt indis gösterimi, genel bir matrisin elemanlarını etkili bir biçimde incelemeye olanak sa ğlar. aij elemanmda alt indisler, s ırasiyle eleman ın bulunduğu satır ve kolonu gösterir. (i, j) s ıralı çifti aii elemanm ın yeri (adresi) adını alır ve aii de A nın (i, j) konumundaki elemanıdır. aii eleman ımn satır indisi i ve kolon indisi j dir. İki matris, ayn ı boyuta ve her bir konumda ayn ı elemana sahip ise eşit matrisler adını alır. Satır ve kolon sayısı ayni olan matris, karesel matristir. Örneğin: 3x3 biçiminde bir karesel matris, üçüncü basamak-

tan karesel matris olarak adland ırılır. Öte yandan, örne ğin M = (5, 1, 2 O) ,

matrisi lx4 basama ğma sahiptir ve dördüncü basamaktan bir satır matrisi olarak tanunlamr. Bir sat ı r matrisinin elemanlarını göstermede genel olarak ikili alt indis kullan ılması gerekmez. n yinci basamaktan bir satır matrisinin do ğal gösterimi R -= (r i , r2 ,..., rn) 122

dir. ri ler R'nin bıleşenleri ve n de R satır matrisiain. boyutu'dur. Bir boyutlu vektörler skaler adını alır ve bunlar analizin do ğal nicelikleridir. Kolon biçiminde, örne ğin —3 C = ( 21 5 \ matrisi 3x1 basama ğına sahiptir ve 3 üncü basamaktan bir kolon matrisi olarak tanımlanır. Satır matrislerinde oldu ğu gibi, m yinci basamaktan bu kolon matrisinin elemanlarını göstermede yine sadece birli alt indisler kullanılır:

TANIM: 5.2.1. Bir A matrisinin köşegen elemanları, eşit satır ve eşit kolon indisli a ii , a 22 , a33 ,... elemanlarıdır. Karesel bir D me.t risi, şegen üzerinde olmayan bütün elemanlar ı sıfır, yani i j için aijkö 0 ise bir köşegen matris adını alır. Bir köşegen matriste köşegen üzerindeki elemanlar genel olarak a n , a22,..., ann ise, bu köşegen matris yer kazanmak bak ımmdan D = pg (a i ı , a22,• • • , ann) ile gösterilir. Alt üçgensel elemanların hepsi sıfır olan bir karesel matrise üst üçgensel matris, üst üçgensel elemanların hepsi sıfır olan bir karesel matrise alt üçgensel matris denir.

Alt üçgensel elemanlar,

4-o'•

Üst üçgensel elemanlar ,

(

Oi , İ < j

a i j , i >j

Ş ekil 5. 2. I 123

Örne ğin,

7 N = (O O

3 0 O M— ( 2 4 O ) —5 0 —2

3 —5 ) 0 —10

matrisleri sırasiyle üçüncü basamaktan bir alt üçgensel ve bir üst üçgensel matrislerdir. Kö şegen üzerindeki ve alt ındaki bütün elemanlar sıfır olan bir karesel matris kuvvetli üst üçgensel matris adını alır. Benzer tanım kuvvetli alt üçgensel matris için geçerlidir. Matrisler büyük harflerle, elemanlar ı küçük harflerle gösterilecektir. Bir matris, bir tek harften daha kar ışık bir ada sahip ise, yani Dg(3,7, —2) biçiminde ise, onun adı daima büyük harf ile ba şlayacakt ır. Bir matrisin biçimini belirtmek gerekli ise, do ğrudan Amxn şeklinde matrisin adının altına yazılacaktn. Bir büyük harf, diyelim A bir matrisi gösterirse bu durumda buna karşılık iki indisli kiiciik harf, A n ın bir elemanını gösterecektir. Karışık adli matrisler içi,. A nın (i, j) komnumundaki elemanım göstermek için entij(A) = aij g.5sterimini kullanmak uygun olacakt ır. Buna göre ilerde gözönüne alınabilecek A (2B -I- 3C) gibi bir matrisin (i, j) konumundaki eleman ı, M = A (2B 3C) olmak üzere entij(A (2B -I- 3C)) = mij ile gösterilecektir. Her eleman ı sıfır olan matris,

sıfır matrisidir ve 0 ile gösterilir.

Verilen bir M matrisinden, M nin belli elemanlarını çıkarmakla elde edilen matrisleri gözönüne almak yararl ı olacaktır. TANIM 5.2.2. M matrisinin bir altmatrisi, M den belli satır ve /ya da kolon.larmı çıkarmakla elde edilen bir matristir. rxc biçiminde bir M matrisinin baz ı önemli altmatris çe şitleri şunlardır: 1. Rowi (M) =--- (mii , mi2,•••, Lut e), M nin i yinci satırı (1/4 mı / M21

2. Colj(M) =

, M nin j yinci kolonu

mri / 124

3. M nin i yinci sat ır ve j yinci kolonunu ç ıkarniakla elde edilen M nin r-lxc-1 biçimindeki altmatrisi, M nin (i,j) konumunun minörü adını alır ve Minii(M) ile gösterilir. Örneğin, 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( 9 0 1 2

A matrisi için

3 Row2 (A)

(5,6,7,8), Col 3 (A) = il 3 4\ , min.34 (A) =

Minn (A)

1 2)

71 ) 2 3\ (5 6 7/

dir. Yukarda karşılaşılan üç özel altmatris çe şidi sık sık karşılaşılan matrisler olmakla beraber bazan bir M matrisini alt matrislere bölme son derece yararl ı olur. Örne ğin, m11 M12 m21 M22 m 31 m32 111 41 m42

1 M 13 I m 14 m15 I m23 E m24 m25 I m33 1 m34 m35 1 m43 I m44 m45

M11 M12 M13) (

M21 M22 M23

gibi. Böyle matrislere bölmeli matrisler ya da blok matrisleri denir. Uygulamalarda s ıkça karşımıza çıkan bölmeli matrislere ilişkin iki özel durum ilgiye de ğer niteliktedir. Örne ğin, (1 2; 0 0 0 B =

7-41000

‘B11

OO1 O0]9411 OO1O20

\O B22/

( 1 2

3 2 -7 , (9 4 11

7 -4

O2O

Dg

Dg (Bil, B22)

ve 125

4 —5 7 j —I 2)

6 2 4

T =

80

O 001 2 —1 OOO! 4 3

i Ti ı Tİ,\

ko

T22 /

(

gibi. B matrisi blok kö şegen ve T matrisi de blok üst üçgensel olarak tammlamr. Şimdi ş öyle bir soru akla gelebilir. Matrisler nerede kar şımıza çıkarlar? Böyle bir sorunun cevab ı modern inceleme bakımından oldukça fazla sahadan verilebilir. Şimdilik bu soruya bu bölümün kapsam ına uygun üç cevap gözönüne alalım: 1. Lineer cebirsel denklem sistemleri 2. Birinci basamaktan lineer diferensiyel denklem sistemleri 3. Analitik geometri ve /ya da vektör cebiri Cebirsel problemlerde s ık sık karşılaşılan, diyelim 2x-3y+ 6z =5 4x-F2y-7z =--12 sistemini gözönüne alalım. Bu sistem, sisteme ili şkin matrisler A

=_-

(2 —3 6 \ k4 2 —7)

Katsayılar matrisi

( 5 K

X

12 )

y

Girdi matrisi

, Çıktı matrisi 2 —3 6 I 5

(A:K) =

, Eklemeli matris 4 2 —7 112 )

olmak üzere AX = K biçimindedir. Yukardakine benzer sistemler, do ğal ve toplumsal bilimlerin tüm alanlarında karşımıza çıkar. Do ğal bilimlerde böyle denklemler genel olarak kararl ı durumları gösterirler. Birinci basamaktan lineer diferesiyel denklem sistemlerine ili şkin bir örnek olarak 126

x 1 '(t) - 3x2'(t) = 4x 1 (t) - 2x 2 (t) 2x 1 '(t)

5x2'(t) = 3x 1 (t)

sin 3t

7x2 (t) + 3

sistemini gözönüne alalım. Bu sistemi ve x 1(0) = 3, x2(0) = 0 başlangıç şartlarını sağlayan x 1 (t), x2(t) fonksiyonlarını ara dığımızda aşağıdaki matrisler kar şımıza çıkar: A =

(4 -2 , B = 3 7

(1 -3

Katsayı matrisleri

2 5

X (t) .= ( xl(t) ) X'(t) -= ( xl:(t) Çıktı matrisi ve çıktı x2 '(t)) matrisinin türevi x2(t) X (0) ( O3 ) F(t) -=

(sin3t)

başlangıç durum matrisi

Girdi matrisi ya da kuvvet fonksiyonlar ı matrisi

3 Buna göre yukardaki sistem BX'(t) = AX (t) + F (t); X (0) = (3,0)T biçiminde bir matris denklemi olarak yaz ılabilir. Birinci basamaktan lineer diferensiyel denklem sistemleri, uygulamalı bilimlerde büyük öneme sahiptir. Örne ğin, fiziksel sistemlerin davranışlarının incelenmesi, kimyasal ve ekonomik bir çok problemler karşımıza bu tür bir sistemi çıkarır. Herhangi basamaktan diyelim 2 ya da 3 üncü basamaktan bir satır matrisi, 2 ya da 3 boyutlu uzayda bir noktamn koordinatlar ı olarak yorumlanabilir. Orijinden ç ıkan vektörlerle, o vektörün uç nok , ı arasında bire bir ilişki olduğundan, örne ğin 3tas=kordinl boyutlu uzayda vektörler ile 3 üncü basamaktan sat ır matrisleri arasında bire bir ilişki vardır. R =(ri, r2, r3) ve S =(s i , s2 , s 3) bu biçimde yorumlanır ve vektör cebirinin bilinen sonuçları kullamlirsa

R+S= (ri -1-

82,

r2+ 8 2, r3 + s 3)

R.S = ro l + r2s2 + r3s 3 127

aR = (ar ı , ar2, ar3) IR = ,N/ R.R = ,\/ r 1 2 + r22+ r32 (gerçekte R nin normu) dır. Satır matrisleri için belirtilen toplam, elemanter fizikte paralelkenar yasası olarak bilinir Vektörlerin toplam ı, nokta gösterimi ile kolaylıkla anlaşılır. Şekil 5.2.2 de görüldü ğü üzere R =(r ı , r 2) ve S =(s 1 , s2) ise karşılık gelen koordinatlar toplanmak üzere

Şekil 5.2.2. T = R

S = (r ı ,

sı,

r2

s2)

t2)

dir.

Uç boyutluya uygulandığında paralelkenar yasas ının incelenmesi, tamamen aynı tür sonuçların geçerli oldu ğunu gösterir.

R=

(rı , r2, r3), S = (s ı , s2, 83)

ise T

t2, t 3) = R + S = (r ı

s1, r2

s2, r3

s3)

dür. Vektörlerin toplam kavram ı , bir vektörü bile şenlerine ayırma düşüncesini ortaya getirir. R = (r ı , r2) , R ı = (r ı , O) , R2 = (O, r2) vektörlerini gözönüne alalım. Burada R 1 , x 1 ekseni üzerinde ve uzunlu ğu I R ı I olan bir vektör, R2 de x2 ekseni üzerinde ve uzunlu ğu R2 I olan bir vektördür Buna göre 128

R = R ı + R2 = (r ı , 0) -I- (0, r2)

(r i , r2)

R 1 ve R2 vektörlerine, koordinat eksenleri boyunca R nin vektör bileşenleri denir. Daha yüksek boyutlu uzaylarda geni şletilebilecek olan bir vektörü, koordinat eksenleri boyunca onun vektör bile şenlerine ayırma kavram ı yerine göre oldukça yarar Sa ğlar. Bir skaler ile çulıma kuralı uygulan ırsa R 1 =(r 1 , 0) = r 1 (1,0),

R2 (0,r2) = = r2(0,1) ve buradan R = (r i , r2) = r 1 (1,0) r 2 (0,1) dır. (1,0) ve (0,1) sırasiyle x ı ve x2 eksenleri üzerinde uzunluklar ı 1 olan vektörlerdir. Bu vektörler birim vektörler ad ını alır ve E 1 , E2 ile gösterilir. r i ve r2 sayıları , R nin x 1ve x2 ekseni boyunca skaler bilesenleri'dir. Benzer olarak üç boyutlu uzayda R =(r 1 , r2 , r3 ) vektörü R =(r 1 , r2 , r3) = r 1 (1,0,0)

r2(0,1,0)

r3(0,0,1)

= rl E i + r2E 2 + r3E 3 biçiminde yazılabilir. Buradan bir düzlemde herhangi bir vektör, E i = (1,0), E2 = (0,1) biçiminde iki birim vektörün ve üç boyutlu uzayda herhangi bir vektör E i = (1,0,0), E2 = (0,1,0), E 3 = (0,0,1) biçiminde üç birim vektörün skaler ile çarp ımlarmın toplamı olarak yazılabilir. R. S iç çarpımı önceden bilinen bir gerçektir. Geometrik görü ş açısından iç çarpım tabii olarak 0, R ile S vektörleri aras ındaki açı , (R , R vektörünün uzunlu ğu olmak üzere R.S = IR ISI cos0 ile tammlamr. R ve S vektörlerinin dik olmas ı, R.S = 0 olması ile eş değerdir. Bundan başka 1 R I = VR.11 analitik geometride bilinen uzunluk formülüdür. a R vektörü de uzunlu ğu a ile çarp ılan ve a > 0 ise R ile aynı yönde a < 0 ise R ile ters yönde olan bir vektördür.

ALIŞTIRMALAR 1.

A=

1 12 ( 4

—2 0 2

3 7 6

5 —3) 17

matrisi gözönüne al ınıyor. (a) Anın basamağı nedir? (b) A nın (2, 3) ve (3, 4) konumundaki eleman]. nedir?

129

(e) -2,6 ve 5 nin adresi nedir? (d) A nın köşegen elemanlar ı nedir? (e) A nın üst üçgensel elemanlar ını belirtiniz? (f) Row2(A), Co13(A), Min22(A), Min24(A), Row ı (min ı3(A)) yı yazınız ? (g) A nın kaç tane 3x3 ve kaç tane 2x2 böçiminde altmatrisi vardır? (h) ent 33 (A), ent 12(A), ent22(A) yi bulunuz? 2.

2 (-2o

A

0 16 9 1 17 3 9 5

7

11 6 -1 4

matrisi içi n Alıştırma 1 deki soruları cevaplay ınız? 3. 4x4 biçiminde kö şegen olmaya n ancak blok kö ş egen olan bir matris yazınız? 4. 4x4 biçiminde üst üçgensel olmayan ancak blok üst üçgensel olan bir matris yaz ınız? 5 Aş ağıdaki matrisleri tam olarak yaz ınız? (a) D 1 = Dg(3, —5, 2, 6)

(b) D2 = - 5 ,

İ2

o\

(1 2

kı

21

0

0 2 1

O O) 2

(

(e) ent 32(D2), ent 55 (D2) yi bulunuz? 6. Aşağıdaki lineer denklem sistemlerini, gerekli matrisleri belirterek bir matris denklemi olarak yaz ımz? (a) x

y + z =-- 4

2x + y — 3z = 6 (b) 3x 1 + 2x2 + 16x3 + 5x4 = 1 2x2 + 10x3 + 8x4 = 4 x ı + x2 + 7x3 + 3x4 = 1 (c) Y ı = 7 Y2 = 12 3 Y1 Y2 + Y3 = 19 —4Y ı 6y ı + 3Y2 + 3y4 = 0 130

(d) 2x i + x2 -I- 5x 3 + x4 = 5 x i + x2 - 3x3 - 4X4 = -1

3X İ

6x2 - 2x3 + X4 = 8

2x i

2x2

(e) Yı i (t) 3y' i(t)

2x3

3x4 = 2

2y' 2 (t) = 12Yi(t) — 5y2(t) 3e- t 2(t) 4e- t 2y' 2(t) = 30y ı (t) — 12y

(f) x' / (t) — 3x' 2(t) = 4x i(t) — 2x2 (t) 2x' ı (t) (g) 3x' i(t)

2x'2(t) x' ı (t)

5x'2(t) = 3x i (t) + 7x2(t) 2x' 2 (t)

15x' 3 (t)

sin3t 3 5x4(t) +e-3t

5x'4(t) = 2x i(t)

10X3(t) + 8X' 4(t) = 4X ı (t) + 2x3(t) x'2(t)

7x'3(t)

sin3t

3x'4 (t) = 8x i (t) — 3x 2(t)

7. Hangi tür katsayı matrisleri için m denklem ve n bilinmiyenden oluşan bir sistemi çözmek daha kolayd ır, açıklaymı z? 5.3. MATRİ SLER ÜZERINDE AR İ TMETİ K I ŞLEMLER Bu kesimde matrislere ili şkin toplam, bir skaler ile çarp ım ve çarpım denen üç aritmetik i şlem üzerinde durulacakt ır. Bu işlemler her ne kadar do ğal aritmetik ile (lx1 durumu) belli özelikleri payla şıyor iseler de ayn ı zamanda belli ayrıcalıkları da içerirler. Matris toplamı çok basit bir i şlemdir. Ayn ı biçimde iki matrisin toplamı, karşılık olarak gelen elemanlar ı toplamakla elde edilir. TANIM 5.3.1. A ve B matrisleri mxn biçiminde ise, onlar ın A+B

toplamı, i = 1,2,..., m ve j = 1,2,..., n için entii(A

b) = entii(A)

entii(B) = aij

bıi

eşitliğini sa ğlayan mxn matrisidir. İlgiye de ğer durumları belirtmede yarar vard ır: 1. Matris toplamı, sadece aynı basamaktan matrisler aras ında tanımhdır ve aynı basama ğa sahiptir. İki matrisin toplam ı tanımh ise, onlar toplama göre uygundur denir. 2. mxn biçiminde iki matrisin toplamı bir diğer mxn matrisidir. Buna göre bütün mxn matrisleri cümlesi toplama göre kapandır denir ya da matris toplam ı, mxn matrisleri cümlesinde bir ikili i şlemdir. 131

3. Paralelkenar yasas ı nedeniyle vektör toplamı , matris toplamı nın özel bir durumudur. Matris toplamı, skaler toplamdakine benzer özeliklere sahiptir. Aşağıdaki teorem bu özelikleri belirten bir teoremdir. Yaz ılan bütün matrislerin toplama göre uygun olduklar ı varsayılıyor. TEOREM 5.3.1. Matris toplam ı aşa ğıdaki özeliklere sahiptir: 1. A + B = B+ A dır. (De ğişme özeliği) 2. A + (B + C) = (A + B) + C d ır. (Birle şme özeli ği) 3. Matris toplamı için bir birim eleman vardır: yani, her bir A matrisi için A + Z = Z + A = A e şitliğini sağlayan bir tek Z matrisi Vard ır. 4. Toplama göre bir ters matris (negatifi) vard ır: yani, her bir A matrisi için A + (—A) == Z e şitliğini sağlayan bir tek —A matrisi vardır. 5. A+ B = A + C ise B = C dir. (Yoketme yasas ı) Ispat. 1. entij (A + B) = antii(A) + entii(B) entii(B + A) = entii(B) + entii(A) dır. Her i ve j için ikinci yanlar e şit olduğundan A + B = B + A d ır. 2. i ve j ye herhangi bir özel ba şvuru yapmaksızı n entii(A +(B + C)) = entiMA + B) + C) olduğu gösterilirse, bu durumda A + (B + C) = (A + B) -I- C olduğu anlaşılacaktır. Tanım 5.3.1. den entii(A + (B + C)) = ent ii (A) + entii(B + C) entii(A) + (entii(B) + entii(C))

ve entii((A

B) + C) = entii(A + B) + entij(C) =--- (entii(A) + entii(B)) + entii(C)

yazılabilir. Son iki gösterim, say ıların toplama göre birle ş me yasasının bir sonucu olarak aynıdır. 132

3. A matrisi mxn biçiminde ise, bu durumda A + Z = A olmas ı , Z nin her bir eleman= o olmas ı ile eş değ erdir. O halde Z = O d ır. (Konuların gelişimi içersinde 0 ın bir matris ya da bir skaler olup olmadığı, karışıklık olmaksızın anla şılacaktır). 4. —A matrisi, elemanlar ı entij(- A) = — entii(A) eşitliğini sa ğlayan matristir. 5. Yoketme yasas ı , diğer özeliklerden anla şılır: A + B = A + C nin her iki yanına —A eklenirse (—A) -F (A + B) = (—A) ± (A +- C) (—A A) + B = (—A -I- A) B =--- C

C (Özellik 2 nedeniyle) (Özelik 3 ve 4 nedeniyle)

elde edilir. Şimdi matrislerin fark'm ın ne anlama geldiği tammlanabilir. A — B = A + (—B) ve buradan entii(A — B) = entii(A) — entij(B) dir. Bir matrisin bir skaler ile çarp ımı, matris toplamı ve fark ından da kolaydır. Tanım az da olsa A + A A = 3A v.b. yazabilme iste ğine açıklık kazandırır. TANIM 5.3.2. b bir skaler ve A mxn biçiminde bir matris ise bu durumda bA skaler ile çarpım ı, entij(bA) = bentii(A) = hali ile tammh mxn matrisidir. TEOREM 5.3.2. A ve B toplama göre uygun matrisler, a ve b isteksel sayılar olsun. Bu durumda skaler ile çarp ım aşağıdaki özeliklere sahiptir: 1. (a

b) A = aA

2. a (A -F B) = aA

bA aB

3. a (bA) = (ab)A 4. 1. A

A

5. o . A = O 133

Ispat. 1 . enti ı ((a entiı (aA

b) A) = (a b) ent iı (A) = aentiı (A) + benti ı (A) bent iı (B) bA) = ent iı (aA) entiı (bA) = aenti ı (A)

2. ent ii(a (A -F B))

B)

a ent iı (A

entıı (B))

a (ent iı (A) entii (aA

aB)

a ent iı (A)

aentiı (B)

ent ıi (aA)

entiı (aB) aeııt ij(B)

= aentiı (A)

3. 3. ent ij(a (bA) = aenti ı (bA) = (ab) enti ı (A) enti ı ((ab)A) = (ab) entij(A) 4. entiı (1A) = 1. enti ı (A) = ent ii (A) 5. entiı (oA) = o. entii(A) = o (Her iki yandaki s ıfı r, sayıdır.) Matrisler üzerinde en önemli i şlem, matris çarp ımıdır. Matris çarpımmın genel tanı mı en iyi şekkilde aş a ğıdaki tanı mda verilen bir satır matrisi ile bir kolon ınatrisi ııin çarpımı cinsinden anlaşılır. Bu çarp ım, daha önce sözü edilen iç çarp ım ile yakından ilgilidir. TANIM 5.3.3. m yinci basamaktan bir sat ır matrisi R = (r 1 ,r2 ,..., r,a) ve m yinci basamaktan bir kolon matrisi el*

oz C=

olsun. RC çarpımı

RC

r ic i

= (r ı )r2)..., rın

r2c2

.• • -1- rmem

E rici i=1

sayısı olarak tammlamr. Bu tanım, a ıx ı

134

a2x2

amxm = k lineer denkleminin,

/

xj X2

(a l ,

a m)

=k

biçiminde matris denklemi olarak yazılmasını mümkün kılar. TANIM 5.3.4. A ve B s ırasiyle mxn ve nxp biçiminde matrisler olsun. AB çarpımı, elemanları entij(AB) = Row i(A) Colj(B)

I bis\ b24 == (ai2, ai2,

alib ij

ain)

ai2b2j

ai nb nj

ile tanımlı mxp biçiminde matris olarak tamml ıdır. Toplam gösterimi kullanılarak bu ba ğıntı entij(AB) = E aikbkj = E eatik(A) entkj(B) k=1

k=1

biçiminde yazılabilir. A ve B nin sırasiyle mxn ve sxp biçiminde olduklarını varsayarak matris çarp ımı hakkında önemli gözlemleri belirtelim: 1. AB çarp ımının tanımlı olması, n = s olması ile eş değerdir, yani ilk çarpaııııı kolon sayısının ikinci çarpanın satır sayısına eşit olması ile eş değerdir. Bu durumda AB çarp ımı mxp niçimindedir. Genel olarak AmxıiB mq, = AB mxp gösterimi kullanılır. AB çarp ımı tanımlı ise A ve B matrislerine çarpıma göre uygundur denir. 2. AB çarp ımı tanımlı ise, BA çarpımı tanımlı olabilir, olmayabilir. Gerçekten BA çarp ımı= tanımlı olması, p = m olması ile eş değerdir. Bu durumda BA, sxn biçimindedir, yani BsxmAmx n = BAsx n 135

dır. Buradan AB ve BA çarp ımları tanımb olsa bile aynı biçimli olmaları gerekmez. Örne ğin, A ve B sırasiyle 2x3 ve 3x2 biçiminde ise AB ve BA tan ımlı olup s ırasiyle 2x2 ve 3x3 biçimindedir. 3. AB ve BA çarp ımlarmın her ikisinin tanımh ve ayva biçimli olması , ın = n = s = p olmas ı, yani A ve B nin aynı basamaktan karesel matrisler olmas ı ile e ş değerdir. 4. A ve B, n yinci basamaktan karesel matrisler olsa bile AB =BA oldu ğu sonucu çıkarılamaz. Bununla beraber, AB ve BA n ın daima farklı olması da gerekmez Örne ğin,

A=

il3

26 )

ve

B=

Ve

BA

(21

—2

İ 14,

28\

ise 0

k-7 —14 İ

dır. AB ve BA ayn ı biçimli ancak AB -7L BA dır. Öte yandan

A

-1

2 —1

= ( 1

—1) 2/

-N, e

B = (-5 5

6 —5

—5) 6

ise 22 AB -= BA = (-21 2l

—21 22 —21

21 —21) 22

dır. Matris kuramında verilen bir A matrisi ile de ğiş me özeliğini sağ layan bütün B matrislerini bulmak zor bir problem olma niteli ğini korumaktadır. AB = BA ise A ve B değişme özeli ğine sahiptir denir. Özel olarak A ve B ayn ı biçimde kö şegen matris iseleı AB ----- BA dır. 5. nxn biçiminde I n = Dg (1, 1,..., 1) köşegen. matrisi AI n -= A. ve Ini de I mA = A özeliğini Sağlar. I n matrisine, n yinci basamaktan birim matris denir. I nın biçimi sözün geli şinden açık ise, alt indisi çoğunlukla yazılmaz. I birim matrisi, ço ğunlukla İ% j Kronecker deha gösterimi

sıı =

o,

i

1,

i= j

olmak üzere I = (,% i ) ile gösterilir.

136

6. Herhangi bir e skaleri için eI = D g (e, c) olmak üzere cA (d) A dı r. cI matrisi, skaler matris adını alır. Skaler matris, kö şegen elemanları aynı olan bir köş egen matristir. 7. Kesim 5.2 de verilen bir lineer cebirsel denklem sisteminin AX = K ve bir lineer diferensiyel denklem sisteminin BX'(t) = AX (t) + F (t) biçiminde bir tek matris denklemi olarak yaz ılabilmesi, matris çarp ımmın bir sonucudur. 8. A ve B matrisleri için A B ve AB çarp ımmın her ikisinin tanımlı olması , A ve B nin aynı bas amaktan karesel matrisler olmas ı ile eşdeğerdir. 9. Karesel matrisler için çarpmaya göre birim eleman vard ır, yani AI = IA = A dır. Ancak s ıfır olmayan her A karesel matrisi için AB = BA = I olacak şekilde çarp ıma göre bir B tersi yoktur. Örne ğin, A =

(_ 21

4\ -2/

için AB = BA

I olacak şekilde bir B matrisi bulunamaz.

10. Matris çarp ımında yoketme yasas ı geçerli de ğildir, yani A 0 olmak üzere AB =AC den genel olarak B =C sonucu ç ıkarılamaz. Örne ğin, ^

1 1 O 3 4 2 O O -1 A = (2 0 2) , B = ( O -2 O) , C = (-2 -1 -1) O 5 5 -1 -3 -1 -5 O O olsun. Buna göre 1 3 1 AC =--BC = ( ( 4 2 2 -15 -20 -10 ) dır. Bununla beraber, e şitliğin her iki yanından C yokedilirse ya da her iki yan sa ğdan C-1 ile çarp ılırsa A =B elde edilir ki bu do ğru de ğildir, çünkü A ve B matrisleri e şit değildir. Bu işlemin do ğru olmayışnun. nedeni, C nin tersinin olmamas ı dır. Ancak daha sonra görülece ği üzere (bak Alırtırma 22) C-1 var ve AC =BC ise A ---=B ve C-1 var ve CA =CB ise A =B dır. 137

Öte yandan s ıfırdan farklı matrislerin çarp ımı sıfır olabilir. Gerçekten yukardaki matrisler için AC =BC geçerli idi. Bu e şitlik AC-BC =O ya da (A-B) C=0 biçiminde yaz ılabilir. Buradan 1 1 1 A—B = (2 2 2) 5 5 5 ve C matrisi d ıfırdan farklı oldu ğu halde (A—B) C =0 dır. Do ğal aritmetikte ise böyle bir durum yoktur, çünkü xy =0 ise ya x =0 ya da y =0 dır. Matrislerde ise durum böyle de ğildir, yani iki matrisin çarp ımı sıfır ise, çarpanlardan birinin s ıfır olmas ı gerekmez. Ancak s ıfırdan farklı iki matrisin çarp ımı sıfır ise, her iki matris ayk ırı dır, yani tersleri yoktur. Gerçekten A / 0 ve B olmak üzere AB =0 oldu ğunu varsayalım. E ğer A nın bir A— ltersi olsaydı bu durumda A-1AB = A-1 0 = 0

IB =O B =O olması gerekir idi. Bu ise yukardaki varsayı ma ters dü ş er. Buradan A -1 varolmz.Benduiçgrl. Her ikisi s ıfırdan farklı ancak çarp ımı sıfır olan iki A ve B matris çifti sıfır bölenleri adını alır. Do ğal aritmetikte ise s ıfır bölenleri diye bir ş ey yoktur. 11. Sıfırdan farklı bir A matrisi için, n > 1 olmak üzere An =O olabilir. Bu türden mat ı isler etkisiz (nilpotent) matris adını alır An =0 özeli ğini gerçekleyen en küçük n tamsay ısnaa A nın etkisizlik derecesi (nilpotentlik derecesi ya da indeksi) denir. Örne ğin,

(

1 -1 0

1 —1 0

2 —2) 0/

1

1

—2

—1

3 6) —3

matrisleri s ırasiyle 2 inci ve 3 üncü dereceden etkisiz matrislerdir. Öte yandan A nxn biçiminde kuvvetli üst ya da alt üçgensel matris ise Alı =0 dır. 12. A bir karesel matris ise A 2 =AA, A3 =AAA, v.b. tammlanabilir. Genel olarak p (x) polinomu P (x) = ao+ a ı x+a2x2 +...+ a kxk biçiminde herhangi bir polinom ise, bu durumda 138

p (A) = a0I a ıA+a2A2 +...+ a kAk biçiminde tan ımlamr. p (A) ya A matrisi için p (x) polinomunun de ğeri denir. Sabit terim yerine a oI yazmanın zormıluluğuna ilgi çekilmelidir. Matris çarpımı= de ğişme özeliğini sa ğlamaması ve çarpmaya göre terslerinin daima olmamas ı, matris çebiri ile skaler cebiri aras ındaki iki büyük farktı r. Bununla beraber, matris çarp ımı skaler ile çarp ımın bazı anlamlı özeliklerini payla şır. Özel olarak, kapsanan matrislerin sadece uygun olduklar ı varsayılırsa birle ş me ve da ğılma yasaları geçerlidir. TEOREM 5.3.3. (Birleş me yasası) A,B ve C, AB ve BC çarp ımları tanımlı olacak şekilde herhangi matrisler ise, bu durumda A (BC) = (AB) C dır. Ispat. A,B,C ınatrislerinin s ırasiyle mxn, nxt ve txs biçiminde olduklarını varsayahm. Bu durumda A (BC) ve (AB) C nin her ikisi mxs biçimindedir ve onlar ın e şit olduklarını göstermek için, her i =1,2,..., m ve j =1,2,..., s için entii(A(BC) ) = entii( (AB)C) olduğunu göstermek yeter. Tan ım 5.3.4 den entii(A(BC) ) = E entik(A) entkj(BC) k-1 t = E k=1

aik ( E

u=ı

bkucuj

dır. Adi çarpımın birleş me ve dağılma yasaları nedeniyle bu e şitlik n

entij(A(BC) ) = E

t

E aik(bkucui) tı--4

eşitliğine indirgenir. Benzer olarak t entii( (AB)C) = E enti u(AB) entuj(C) ıı-ı t

E 11-1

(

n E k=1

a ı kbku )Gul

139

dır. Toplamlar sonlu oldu ğundan toplamm basama ğı Buradan t

entjj( (AB)C) = E

E (a ıkbku) Cui k=1

n

t

k=1

u=1

anchkueui

entjj(A(BC))

dır. Bu e şitlik, i ve j nin her bir seçimi için geçerli oldu ğundan ispat tamamlanır. TEOREM 5.3.4. (Da ğılma yasası) A, B ve C, Al B ve AC tanımlı olacak şekilde herhangi matrisler ise, bir durumda (A+B) C= ACH-BC ve A+B, CA tanımlı ise, bu durumda C (A+B) = CA+CB dır. Ispat. A ve B nin mxn ve C nin nxt biçiminde olduklar ını varsayalım. Bu durumda AC+BC ve (A+B) C nin her ikisi mxt biçimindedir. Bunların eşit olduklarını ispatlamak için her bir i=1,2,..., m ve j=1,2,..., t için entij ( (A+B)C) = entij(AC+BC) olduğunu göstermek yeter. Tanım 5.3.4 ve 5.3.1 den entjj( (A+B)C) = Z ientik(A+B) entki(C) = k=1

(aı k+ bı k) eki

ve aritmeti ğin da ğılma yasası kullanılarak, bu eşitlik n

n

entij( (A+B)C) = E (a ıkeki+ bıkeki) = E k=1

k=1

eşitliğine indirgenir. Yine Tanım 5.3.1 ve 5.3.4 den entij( (A+B)C) = entjj(AC) entjj (BC) = entij(AC+BC) 140

aikek3+

E k=1

bikeki

yazılabilir. Bu eşitlik, i ve j ye bağlı olmadığından (her i ve j için geçerli olduğundan) (A+B) C =AC+ BC dır. Şimdi teremin ikinci kısmının ispatını yapalım C nin mxn ve A, B nin nxt biçiminde olduklar ını varsayalım. Bu durumda C (A+B) ve CA+CB nin her ikisi mxt biçimindedir. Bunlar ın eşit olduklarını ispatlamak için her bir i m ve her bir j =1,2,.., t için entii(C(A+B) ) = entij(CA+CB) olduğunu göstermek yeter. Tanım 5 3 4 ve 5.3.1 den n

entij(C(A+B) ) = E entik(C) entki(A+B) k =1 n

= E

Cik(akj+

k=1 n

E

bkj) n

eikakj+

k=1

eikbki ( k-1

aritmetikte da ğılma yasası ned.)

dır. Öte yandan entii(CA+CB) = entii(CA) + entij(CB) entik(C) entki(B)

= E entik(C) entki(A) k =1

k=1

n

n

= E

eikakj+ E

k=1

Cikbkj

k=1

olduğundan ikinci yanlar her i ve j için e şittir. Ohalde birinci yanlar da eşittir. Buradan entii(C(A+B) ) = entij(CA+CB)

C (A+B) = CA÷CB

dır. Bu kesimde ğözönüne alınan son konu, bir matrisin çarpmaya göre tersi olacaktır. TANIM 5.3.5. A bir karesel matris ve B de AB =BA =I olacak şekilde bir matris ise, bu durumda B matrisi A n ın çarpmaya göre tersi141

dir. A nın çarpmaya göre bir tersi var ise, bu durumda A ya düzgün ya da tersine çevrilebilir matris denir. A nın çarpmaya göre bir tersi yok ise, A aykırı, ya da tersine çevrilemez matris adını alır.

Her matrisin çarpmaya göre bir tersi olmad ığı gibi bir çok matrisin çarpmaya göre tersi vard ır. Bazı örnekler verelim. Bu a şamada iki çarpımı kontrol etmek gerekir. Ancak daha sonra ispatlanacakt ır ki A karesel ve AB =I ise bu durumda BA =I de geçerlidir.

ÖRNEK 1. A=

ki

3İ

ve B -

(-1 1) matrisleri birbirinin çarpmaya göre tersleridir. Gerçekten AB =BA =I dır.

ÖRNEK 2.

T

1OOO 24 O O (1 2 0 O -12 12 0 0 2 1 3 0 nin tersi U = - 12 -4 8 0 1 2 1 4 3 -5 -2 6 /

dır, yani TU =UT =I dır.

ÖRNEK 3. 3 3 3 1 (3 P= — 6 3 1 -5 1 3 1

nin tersi kendisidir,

yani P2 =I dır. Bu özeli ğe sahip matrisler involütif matris adını alır. involütif bir A matrisi için A =A -1 dir. Birleşme yasas ı nedeniyle bir matrisin en fazla bir terse sahip olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Gerçekten AB =BA =I ve AC =CA =I olduğunu varsayalım. Buradan C (AB) =CI =C ve birle ş me özeliği nedeniyle C = C (AB) = (CA) B = IB = B dır. 142

TANIM 5.3.6. Bir düzgün A matrisinin çarpmaya göre tersi tektir ve A-lile gösterilir. Kesinlikle A-1

'

1 — A

— ya da A

böyle bir durumda örne ğin,

B

biçiminde yazdamaz. Çünkü

gösteriminden bunun A -1 B mi yok-

sa BA- lmi olduğu açıkça anla şılamaz. Bu nedenle matrislerde bölme kuralı yoktur. Tersin önemli özelikleri vardır. Bunları bir teorem ile verelim. TEOREM 5.3.5. Çarpmaya göre ters a şağıdaki özeliklere sahiptir: 1. A-1var ise, bu durumda (A -1 ) -1 -= A dır. 2. c_() ve A -1 var ise, bu durumda (cA)-1= — 1 A-1 dir. e 3. A-1 ve B -1 var ise, bu durumda (AB) -1 = B-1 A-1 dir. Ispat. 1. A nın tersi var ve A - lolduğuna göre AA-1 = A-1 A=I dır. Buradan A-lin de tersi vard ır ve A dır. (çünkü A nın tersi B ise, B nin tersi de A dir.) Ohalde (A -1 ) -1 = A dır. 2. (cA) (c-1 A-1 ) = ec-1 (AA-1 ) =

I ve

(c -1A-1) ( cA) = c-ı c (A-1A) -= dır. Buradan c -1A-1 = 1 — A-1 , cA n ın tersidir, yani e

(cA)-1 = 1 A-1 dır. 3. (AB) (B -1 A-1 ) = A (BB -1 ) A-1 = AIA-1 = AA-1 = I ve (B-1A-1 ) (AB) = B-1 (A-1A) B =B -1 IB =B -1 B ----J oldu ğundan AB nin tersi B -1A- 1 dır, yani (AB)-1 = B-1A-1 dir. 143

Şimdiye kadar bir matrisin tersini bulman ın etkili teknikleri üzerinde henüz durulmu ş değildir. Ancak Alıştırma 10 da sadece 2x2 biçiminde matrisler için bir formül veriliyor. Bir ba şka özel durum Alıştırmalarda gözönüne al ınıyor. Bununla beraber, bir matrisirı tersini bulmanın genel teknikleri üzerinde daha sonraki kesimlerde durulacaktır.

ALI ŞTIRMALAR 1 2 3 L A -=-

ve B (4 5 6

1O (2 3) \0 4

veriliyor. AB ve BA yı bulunuz. A+ B tan ımlı midir? 2 —1 5 2. A = ( 3 2 4) , B 8 0 —2

0 1 2 —3 5 6 2) , C = (-1 3 O) 1 —2 1 1 —1 —1

için A (BC) = (AB) C yi gerçekleyiniz ? 1 2 O) N =(-1 5 6 3. M =(

, S = 5 —3 4/

\ 2 O —1)

1 O 1 7 3 5 —2 ( —5 2 4 3 2

için (M+ N)S =MS +NS olduğunu gerçekleyiniz ? S(M+ N) =SM+ SN midir, aç ıklayını z ? (0 2

4. J

21 O O) için J 3-3J 2'+ 41 yı bulunuz? O 0 —1

2 —1 1 5. S = (-1 2 —12) ve m (x) =x 2-5x + 4 için m (S) de ğerini 1 —1 bulunuz ? 6. T

1 2 6 (O —1 4) ve p(x) = x 3-6x2 + 7x-5 için O O 3

p (T) nin değerini bulunuz ? p (T) nin kö ş egen elemanlar ının p (1), p (-1) ve p (3) oldu ğunu gerçekleyiniz ? 7. Tl ve T2, nxn biçiminde üst üçgensel matrisler olsun. T 1 T2 ğunu gerçekleyiniz ? T 1 T2nin köşegen elemanları nideüstçglou nedir? T nxn biçiminde bir üst üçgensel matris ve p (x) herhangi bir polinom olsun. p (T) nin, kö ş egen elemanları p (t ı i ), p (t 22),..., p (t im) olan bir üst üçgnesel matris oldu ğunu gösteriniz ? 144

1

8. A

0

ile de ğişme özeliğini gerçekleyen en genel B matrisini bulunuz? için N 2, N3 , N 4 v.b. hulunuz? Nk ılımını elde Buna göre eN = E k! aç k=0

(O 1 0 0‘ 9. N= 0010 0 001 \O 0 0 0/

ediniz 9 (a

10. ad-be-/-0 olmak üzere A 1 ad-be

(bi C

) ve

d -b)

olsun. Buna göre AB ve BA y ı a hulunuz. 11. Aşağıdaki matris çarpl ınlarını hulunuz? B=

1 0 (a) (0 .0 O 1

O 1)f O

a b (d e e k) g h

(b)

10O a(0 0) OO1

e ( d e f) h i/

100 abc O 1 O) (d e f) (d) (e) ( k 0 1 h i

c) ( ad e gh

1 O O O 1) (O O 1 O

a b c 1OO (e) (d e f ) (O k 0) (f) g h i 001

,a b e e f) ( d g h il

1 0 0 O) 1 (0 k 0 1

12. A matrisi bir sıfır satırma sahip ise, herhangi bir uygun bir B matrisi için AB matrisinin bir s ıfır satırına sahip olduğ unu gösteriniz? Benzer olarak, B matrisi bir s ıfır kolonuna sahip ise, herhangi bir uygun A matrisi için AB nin de bir s ıfır kolonuna sahip oldu ğunu gösteriniz? -3 5 6 A -=-= (-1 2 21 ise A-1 1 -1 -1

0 1 2\\ (-1 3 O) 1 1 -1

ve 3 -1 2 -3 6 3 B = (21 1) ise B-1 = (-1 2 1) 1 -3 0 7 -8 -5 olduklarını gerçekleyiniz? Ayrıca (AB) -1 , (BA) -1 (A2) -1 , (ABA) -1 matrislenbuz? 145

14. D = Dg(d ı t , d22,..., d rı n) köşegen matrisi ne zaman bir terse sahiptir? Var olmas ı durumunda D -1 için bir formül bulunuz? 15. A- Ivo B- lvar ancak (A+B) ayk ırı olacak şekilde 2x2 biçiminde A ve B matrisleri bulunuz? A -1 , B- lye (A+B) -1 var ise (A+B) -1 --= A-1 + B -1 eşitliği do ğru mudur, aç ıklayınız ? 16. Alıştırma 4 ün sonucunu kullanarak J nin J -1 tersini bulunuz ? 17. Alıştırma 5 in sonucunu kullanarak S in S -1 tersini bulunuz? 18. Alıştırma 16 ve 17 nin sonuçlarını genelleştiren bir teorem ifade ediniz ve teoremi ispatlaym ız 9 19. Katsaydar matrisi düzgün olan AX =K matris denkleminin çözümleri hakkında ne söylenebilir, aç ıklaymız 20. A ve B, AB tanımlı olacak şekilde matrisler olsun. Herhangi bir c gerçel sayısı için A (cB) = c (AB) = (cA)B oldu ğunu gösteriniz ? 21. A ve B, Alıştırma 13 deki matrisler olsun. Buna göre Row2 (AB) = — Row ı (B) 2Row2(B) 2Row 3(B) Ve

Co13 (AB) = 2Co1 1 (A) olduğunu gösteriniz ?

Co12(A)

22 . Aşağıdaki yoketme yasalarını gerçekleyiniz 9 (a) A-1 var ve AB = AC ise B = C d ır, (b) A-1 var ve BA = CA ise B = C dir.

M—

1 -1 0 1 2 -2 1

5

O

2 1 5 I 2

I

1

( M 11 M12) \ M21 M22/

Ve

(N1 1 N2 İ

N ı2) N22

olsun. Buna göre do ğrudan bir işlem ile

MIIN ıı

MN = (

olduğunu gerçekleyiniz ? 146

M12N21

M21N11 M22N2 ı

M22N12 Mi2N22)

M21N12 M22N22

24. (2 O)

O)

JP P

nin sadece P ayk ırı ve J = \0 2

1

2

için geçerli oldu ğunu gösteriniz? 25. A-1 var ve AB -= 1 ise, bu durumda BA = I oldu ğunu gösteriniz? 5.4. TRANSPOZ İ SYON Matris toplantı ve matris çarp ımı , ikili matris işlemi örnekleridir, yani verilen iki matristen yeni bir matris üreten i şlemlerdir. Bu nedenle ikili matris i şlemi, çoğunlukla iki matris değişkenli bir matris de ğerli fonksiyon olarak dü şünülebilir. Bu kesimde bir tek matris de ğişkenli bir matris de ğerli fonksiyondan sözedilecektir, yani bir tek matrise ilişkin bazı önemli işlemler üzerinde durulacakt ı r. TANIM 5.4.1. A bir mxn matrisi ise, bu durumda A nın AT ile gösterilen transpozu, entii(AT) = entii(A) = aji ile tanım!! nxm matrisidir. AT matrisi, satır ve kolonlarını değiştirmekle A dar elde edilen bir matris olarak dü şünülebilir. ÖRNEK 1. 1

5 -3 \ _2

A = (

ise 4

6)

1 4 AT = ( 2 -51 -3 6

dır. Köşegen elemanları, yer değiştirmede aynı kalır. ÖRNEK 2.

1 C = (-2

kolon matrisi için CT = (1, -2, 3, 0)

0

3

)

biçiminde bir sat ır matrisidir. Bir kolon matrisi, yer kazanma ve daktiloya kolaylık sağlaması bakımından ço ğunlukla bir satır matrisinin transpozu olarak yaz ıhr. 147

Bir matrisin transpozunun tan ımı, matrisin elemanlar ının yapısıbağlı olarak anlam kazan ır. Elemanları karma şık sayılar olan matrisler için uygulamalarda yararl ı olan bir kavram vard ır. z = a + ib bir karmaşık sayı ise, z nin karmaşı k e şleniği z = a — ib dir. Kesim 4.6 da belirtildiği üzere yararl ı olaca ğı düşüncesi ile karma şık sayılarm kolaylıkla gerçeklenebilen baz ı özeliklerinden sözedelim• 1. Herhangi bir z karma şık sayısı için 2 = z dir. 2. Herhangi iki z ı ve z 2 karma şı k sayıları için _z ı + z 2 = z ı + z2 ve z ı z 2 = z ı z 2 dir. 3. z = a + ib ise zi = a 2

b2 =

z 2 > 0 dir.

4. Bir z = a + ib karma şık sayısının gerçel olmas ı

z

z

olması ile ve tamamen sanal olmas ı

z = —z olmas ı ile eş değerdir. TANIM 5.4.2. A bir mxn karmaşık matris ise, bu durumda A n ın

eşleniği, enti ı (k) = ent ij(A) = aij ile tanımlı mxn biçiminde karma şık A matrisidir. A nın Hermitiyen e şleniği, A* =AT = A.T ya da entii(A*) = ent ii(A) = aii ile tanımla nxm biçiminde karma şık A* matrisidir. AT = AT yerine A* gösterimi Ostrowski'ye aittir. ÖRNEK 3. 3 5+6i A = ( 2 3i 2+3i 2-i ise = dır. 148

5-6i 3 —3i ) 2 2-3i 2+i

3

2

2-3i

ve A* = \5-6i -3i 2 + i

Transpoze ve Hermitiyen e şleniğin özelikleri birbirine çok benzer. Gerçekten, A sadece gerçel elem anlara sahip ise A* = AT dır. Bu durumda Hermitiyen e şlenik ile gerçel rnatrislerin transpozu hakk ında söylenenler ayni olma özeli ğini korur. .

TEOREM 5.4.1. Transpoze a şağıdaki özeliklere sahiptir: 1. Her A matrisi için (AT)T = A d ır. 2. A + B tanımlı ise (A + B)T = AT + BT dir. 3. Herhangi bir a skaleri ve herhangi bir B matrisi için (aB)T = aBT dir. 4. AB çarp ımı tanımlı ise (AB)T = BTAT dir. Ispat. 1. Bir matrisin transpozumm tan ı mı nedeniyle entii(AT)T = entj i(AT) = ent i i(A) olduğundan AT = A d ır. 2.

Matris toplamı ve transpozun tan ımı nedeniyle

entıj((A

B))T = ent ji(A + B) = ent j i(A)

entii(B)

entis(AT)

ent ii(BT) = cntii(AT 4- BT) r. nedeniyle (A + B)T = AT + BT di 3. entii(aB)T) = ent ii(aB) = a ent j i(B) = a entij(BT) = entij(aB)T nedeniyle (aB)T = aBT 4. A ve B nin s ırasiyle mxn ve nxs biçiminde oldu ğunu varsayal ım. Bu durumda AB, mxs ve (AB)T, BTAT matrislerinin her ikisi sxm biçimindedir. Transpoze ve matris çarp ımının tanım ı nedeniyle

n entij((AB)T) = entii(AB) = E entjk(A) ent ki(B) k=1

= E

entkj(AT) ent ik(BT)

k=1

149

= E

entik(BT) entkj(AT)

k=1

= ent ii (BTAT) olduğundan (AB)T = BTAT dır. Hermitiyen e şleni ğin özelikleri, transpozeninkilere oldukça benzer. TEOREM 5.4.2. Hermitiyen e şlenik a ş a ğıdaki özeliklere sahiptir: 1. Her karma şık A matrisi için (A*)* = A d ır. 2. A

B tanımh ise (A --F B)* = A* --F B* dir.

3. Herhangi bir a skaleri ve herhangi bir B matrisi için (aB)* = ü B* dır. 4.

AB çarp ımı tan ı mlı ise (AB)* = B*A* d ır.

Ispat. 1. Bir matrisin Hermitiyen e şleniğinin tanımı nedeniyle entii((A*)*) = ent j i(A*) = enti i (A) = ai i oldu

ğundan (A*)* = A dır. 2.

Matris toplam ı

v e Hermitiyen eşleniğin tanımı nedeniyle

ent i MA B)*) = entii(A = entii(A) = entii(A*) entii(A* nedeniyle (A 3.

B) enti i (B) entij(B*) B*)

B)* = A* -H B* dır.

entii((aB)*) = entii(aB) = â ent i i(B) = â ent ij (B*) = ent iPB)*

olduğundan (aB)* = ü B* d ır. 4. A ve B nin sırasiyle mxn ve nxs biçiminde Olduğunu varsayalım. Bu durumda AB, mxs ve (AB)*, B*A* In her ikisi sxm biçimindedir. Hermitiyen e şlenik ve matris çarp ımı nedeniyle entij((AB)*) = ent i i(AB)

150

n

n

= E ent i k(A) entki(B) = E entik(A) ent ki(B) k=1

k=1

= E ent kj (A*) entik(B*) k=1

= E entik(B*) entki(A*) k=1

entii(B*A*) olduğundan (AB)* -= B*A* dır. Transpoze ve Hermitiyen e şlenik, dört önemli özel türde karesel matrisleri tanımlamada kullan ılır. TANIM 5.4.3. AT = A ise A gerçel matrisi simetrik,

BT = — B ise B gerçel matrisi ters simetrik, H* = H ise H karmaşık matrisi Hermitiyen, S* = — S ise S karma şık matrisi ters Hermitiyen matris adını alır. Örne ğin, A = (-2 3

O 6) ve 5 6

B=(2 O 5) –3 –5 O

matrisleri s ırasiyle simetrik ve ters simetrik matrislerdir. Bir ters simetrik matrisin kö şegen elemanları sıfır olmak zorundadır. Simetrik matris de gerçel elemanl ı Hermitiyen matristir. Öte yandan,

H=

0 3+i —2i 0 3+i —2i 3—i 1 —4 ) ve S = (-3+i 2i 4 ( 2i --4 7 —3i —2i —4

matrisleri de s ırasiyle Hermitiyen ve ters Hermitiyen matrisleridir. Bir Hermitiyen matrisin kö şegen elemanları gerçel oldu ğu halde bir ters Hermitiyen matrisin kö ş egen elemanları sanal olmak zorundadır. 151

Simetrik ve Hermitiyen matrisler, uygulamalarda s ık sık karşılaşılan türden matrislerdir. Simetrik matrislerin bir uygulamas ı , kuadratik formlar denen çok de ğişkenli ikinci dereceden polinomlar ı incelemektir. İ kinci dereceden ve x ı ,x2 ,..., x n değişkenli bir kuadratik form Q (x i ,x2 ,...,x n)

E

i=1

auxixi = a11x1 2

a l.x2x j a nix nx j

a1 2xix2 + • • . + ainxixn

a22x2 2 a n2x nx2

• • • + a2nx2xn • • • + annxn 2

biçimindedir. xixj ve xjxi nin ajj ve aji katsayılarını eşit varsaymak genelliği bozmaz. (E ğer de ğilse, onların ortalamas ı alınabilir, yani 3x ix2 5x2x i = 4x ix2 4x i x2 gibi.) Bu varsayım ile Q nün terimleri yeniden düzenlenirse

Q = E xj E aijxj = (x j , 1=1

XTAX

Xn A

biçiminde yazılabilir. Burada XT = (x l ,x2 ,..., x n ) ve A tek olarak belirlenen bir simetrik matristir. Böylece ispatlanan a şağıdaki teoreme varılmış olur. TEOREM 5.4.3. XT = (xı ,x2,..., x n) ve A simetrik olmak üzere n

her Q = E auxixj kuadratik polinomu, Q = XTAX olarak tek bir ii=1

biçimde yazılabilir. ÖRNEK 4. Q (x i , x2 , x 3 ) = 3x ı 2 + 6x32

7x ıx 3 + 1 2x2 2— 8x2 x3

kuadritik polinomunu Q =XTAX biçiminde yazal ım. Q(x1, x 2 , x3) = 3x ı 2+ 8x ix2— 7x 1x3 + 12x22— 8x2x3 + 6x32 1 2 + 4x ix2—

7

x ix 3 +

4X2X1+ 12x2 2- 4X2X3+

152

3x

7 —'

4x 3x2 + 6x3 2 7 1 -1- 4x2- -2- x3 4x 1 + 12x2- 4x 3

(x1, X29 X3

( 3x 27- x 1 - 4x2+ 6x 3

x2, x3)

.._

3

4

74

12

-2? \ x2 x3

-4

XTAX

-4 °) ALI Ş TIRMALAR 1 2 İ l -1 2 \ 1. A -= ( 2 O) ve B =--1 1 k2 1 Ol için (AB)T , BTAT , ATBT, ATA, BBTyı bulunuz? 2-3i 2. C =

4+2i

-2

-2 +i

) ve D=

(3-2i ( 3i 5 için (CD)*, D*C*, C*D*, C*C, DD* i bulunuz?

4+2i

3. (A l A2A3)T = A 3TA2TA 1 Toldugunu gösteriniz? Bu özeli ği bir sonlu çarpıma genelle ştiriniz? T, * ile değiştirilirse bu özelik yine geçerli midir, açıklayınız? 4. (a) A simetrik ise, bu durumda PTAP nin de simetrik oldu ğunu gösteriniz? (b) H Hermitiyen ise, bu durumda R* HR nin de Hermitiyen olduğunu gösteriniz? 5. A simetrik olmak üzere aşağıdaki kuadratik polinomları XTAX biçiminde yaz ınız? (a)

Q (x ı , x2) = 2x 1 2 + 24 x 1x2 + x22

Q (x,y,z) = 3x 2- 8xy+2y 2 + 6xz-3z2 (e) Q (x1, x2 , x 3) = 3x 1 2- 5x 1x2 + 7x22 + 4x 1x 3- 6x2x3 + x3 2 (b)

153

6. Aş ağıdaki özeliklerin geçerlili ğini gösteriniz? (a)

Ters simetrik bir matrisin kö şegen elemanlar ı sıfırdır.

(b)

Bir Hermitiyen matrisin kö şegen elemanları gerçeldir.

(e) Bir ters Hermitiyen matrisin kö ş egen elemanları sanaldır. 7. Herhangi bir mxn biçiminde gerçel A matrisi için, ATA n ın köşegen elemanları negatif olmayan simetrik matris oldu ğunu gösteriniz ? 8. Alıştırma 7 yi karma şık matrisler için genelle ştiriniz ve ileri sürülen özeli ği ispatlaymız?. 9. Herhangi bir nxn biçiminde gerçel A matrisinin, bir simetrik ve bir ters simetrik matrisin toplam ı olarak yaz ılabilece ğini gösteriniz ? Buna göre

A

1 4 —2 4 6 2) = (7 1 3

matrisinin simetrik ve ters simetrik k ısımlarını bulunuz? 10. Alıştırma 9 u karmaşık matrisler için genelle ştiriniz ve ispat ını yapmız. Bir örnek veriniz ? 11. A düzgün bir matris ise ATnm düzgün oldu ğunu gösteriniz? 12. A düzgün bir karma şık matris ise A*In düzgün oldu ğunu gösteriniz ? 13. W, nxl biçiminde herhangi bir karma şık matris olsun. H 1-2WW* ın bir Hermitiyen matris oldu ğunu gösteriniz? W n ın aşağıdaki durumlarında H yı bulunuz? (a) W=(1,2,3)T, (b) W=(1-1-43,2—i)T 5.5. BÖLMELİ MATRİ SLERLE I Ş LEMLER Bu kesimde bölmeli matrislere ili şkin bazı yararlı yöntemler üzerinde durulacaktır. A ve B matrislerinin çarp ıma göre uygun olduklar ını ve aşağıdaki gibi bölündüklerini varsayalım:

A

A ıı (

154

A21

I

Al2 B =

I A22

12 (BnB I B 21

I

I B22 I

B 13 ) B23

Altmatrisleri sayılar gibi düşünerek AB çarp ımmın AB — ( Al ı Bl ı + Al2B21 I A l1B12+ Al2B22 I Al1B13+ Al2B23 A21 B 11+ A22B21 l A21 13 12+ A22B22 I A21B13+ A22B23

biçiminde yazılabilmesi için, belirtilen bütün çarp ım ve toplamlarm tanımlı olması gerekir. Bu durum bir çok ko şulun geçerli olmas ını gerektirir. Ancak bu şartlar, ilk çarpanda dik bölme çizgisi ile ikinci çarpanda yatay bölme çizgisinin benzer yerde bulunma şartuaa e şdeğerdir. Bu tek ş art, AB çarp ımında bütün çarp ım ve toplamları tammlı kılar. A nın mxn, B nin nxt biçiminde oldu ğunu varsayahm. Bu durumda , Al ı m 1xn 1 ve B 11 , n 1xt 1 dir. Matris çarp ımınm tanımından ent ıı (AB) =Row ı (A)Col ı (B) = - - (Rw ı (Ali) I Rnwi (Al2) ) = E a libi l

Coli(R ıı Col ı (R21 /

1=

ni = E a libi ı + E a libi l 1=2 ı-n +1

= Row ı (AII) Colı (B II) + Rowı (Al2) Col ı (B2ı ) = ent ı ı (A 11 13 11 ) + erıt ı ı (A l2B21 ) ent ıı (A l ı B ı l + Al2B 21 ) elde edilir AB nin diğer durumları için benzer işlemler, çarp ı mm geçerliliğini ortaya koyar. A şağıdaki teorem, bu açıklamalara kesinlik kazand ırıyor. ispat ı doğrudan önceki işleme dayanır TEOREM 5.5.1. m =m ı + m2 +... + ms , n=--n ı + n2+ + npve t =t 1 + t2 +...+ tuolmak üzere A, mxn ve B de nxt biçiminde olsun. A = (4) ve B =(B ij ) nin, Ali mixnj ve Bij nixtj olacak şekilde A ve B nin bölmeleri oldu ğunu varsayahm. Bu durumda P Cij = E AikBkj k=1

olmak üzere AB, sxu biçiminde C -=-(C ii) bölmeli matrisidir. Bu teoremin, ayr ı ayrı belirtmeğe değer çe şitli özel durumları vardır. Eğer B sat ırlarına bölünmüş ve A bölünmemiş ise, bu durumda 155

Rowi(AB) nin işlemi, sadece Rowi(A) daki elemaAlar ı kapsar. İlgi bu elemanlar üzerinde toplan ı rsa Row ı (B)'\

AB

ai i ai t • • • ain

Row 2 (B)

iiowi(AB)

Rown(B) yazılabilir. Buradan Teorem 5.5.1 in a ş ağı daki sonucuna varılır. SONUÇ 5.5.1. Rowi(AB)=a il Row l (B)-Fa i2 Row2

Rown

(B) = Rowi (A) B dır. Bu sonuç, AB nin i yinci sat ırının, katsayıları A nin i yinci satırmdan gelmek üzere B nin sat ırlarının bir lineer kombinasyonu oldu ğunu gösterir. Benzer olarak, A kolonlarına bölünmüş ve B bölünmemiş ise, bu durumda Colj(AB) nin i şlemi, sadece Col i (B) deki elemanlar ı kapsar. İlgi bu elemanlar üzerinde toplan ırsa bij..

b21

(...Coli(A13)...)

(Col i (A), Co1 2 (A),..., Col n(A) b nj

a

. yazılabilir. Bu gözlem de bizleri, Teorem 5.5.1 in a şağıdaki ikinci sonucuna götürür. SONUÇ 5.5.2. Coli(AB) =Col1(A)bli+C 012(A)b2J+ •••+Coln(A)bni AColj(B) dır. Bu sonuç da, AB nın j yinci kolonunun, katsay ıları B nin j yinci kolonundan gelmek üzere A nin kolonlar ının bir lineer kombinasyonu olduğunu gösterir. Toplama göre uygun iki bölmeli matrisin blok biçimli toplanabilmesinin, onların özde ş bölmeli olmaları ile eş değerli olduğu açıktır. Ayrıca, A karesel bölmeli bir matris ise, bu durumda A 2 + 3A gibi 156

matris polinomlarının blok biçimli bulunabilmesi, A n ın bütün köşegen blokları karesel olacak şekilde bölünmüş olması ile eş değerlidir. Düzgün bir matrisin tersinin bulunmas ına ilişkin ilgiye değer özel bir yöntem, bölmeli matris kavram ı ile tersinin bulunmas ıdır. TEOREM 5.5.2. A n , A İ 2 , A2 1 , A22 sırasiyle sxs, sxm, mxs, mxm (n =m+s) biçiminde altmatrisler ve A 22-1 var olmak üzere (Al ı A ı 2)

A

A21

A22

biçiminde bölnieli matris olsun. Bu durumda B ii , B 12 , B21 , B22 sırasiyle sxs, sxm, mxs, mxm biçiminde olmak üzere A n ın = (B

ıl

B 21

B 12 B22)

biçiminde A ile ayn ı ş ekilde bölünen bir tersi vard ır. Ispat. A22 nin bir tersi var oldu ğuna göre A 22 1in bilindiğini varsayalım Bu durumda AA-1 = I nedeniyle (A11

A 21

Al2) A22

(B i İ.

Bit

\B 21

B22

(

ıs o

',al

yazılabilir. Buradan bilinmiyen B 11 , B 12 , B 2 1, B22 altmatrisleri için dört eşitlik elde edilir: Al ı B ı l+ A„B2, Al ',Bu+ A l2B 22 = 0 A21 13 /1 + A22B2 İ = 0

A21 B 12+ A22B22 = Im Üçüncü eşitlikten bulunan

(i)

B 21 = - A22 1 A21 B ı l değeri birinci e şitlikte yerine konursa A l ı Bil - A l2 A-1 22 A21 B 11 = Is ya da tersin tan ımı nedeniyle Bii

= (An - A ı 2 A22 A21 )

(ii)

elde edilir Dördüncü e şitlikten

B 22

= A22 -1 -A22 -1 A21 B 12

ve ikinci eşitlik ile (üi) den yararlanılarak bulunan 157

A ll B 12 + A l2 eşitliği düzenlenirse

1 - A22-1 A21 B 12) = 0

(A11-Al2A22 -1 A21) B ı 2=-- - A l2 A22-1 ve(i)dnyarl ılarak (iv)

B12= - B11Al2A22-1

elde edilir. Buna göre B11, Biz, B 2 ı , B22 için dizisel olarak çözülebilen dört eşitlik elde edilir. A22 1 var oldu ğundan B il , B 12 , B 21 , B22 altmatrisleri vard ır. Buradan A22-1 var ise bütün işlemler yapılarak aranan altmatrisler bulunabilir. A nın yüksek basamaktan olmas ı halinde B 11i bulmak zor olabilir. Ancak bu zorluk da bölmelemeyi iki ya da çok say ıda yapmakla aşılabilir. Bu teoremden üzerinde durmaya de ğer bazı özel sonuçlar ç ıkarılabilir: 1. A2 1 =O ise bu durumda A 11 -1 ve A22 1 var olmak üzere

(A 11 - 1 O

-A l IA/2 A22-1 -1

A2

biçimindedir. 2. A l2 -= 0 ise bu durumda A 11 -1 ve A221 var olmak üzere A-1 =

0

( A 11-1 - A22-1 A 2 1 A1 1-1

A22-1 /

biçimindedir. 3. A l2 = 0 ve A21 = 0 ise bu durumda A=D g(A /1 , A22) dır ve A 11 -1 , A221var olmak üzere

A-1 -=- Dg(AH- 1, A22-1) biçimindedir. 4. A ll = I ve A21 = 0 ise A22 1 var olmak üzere A-1 =

-A İ2A22-1 ) A22-1

biçimindedir. 158

ÖRNEK.

2 ( 1 0 A =

3 I 0 5 7 ( 6 4

biçimindee bölmeli matrisin tersini bulunuz ? A22 =

4 dır. Buna göre C

B il = (An -A-12A22-1A21)-1

1 /6 \

( 1 /5

0 ,

= (2_,(1,0) (-2 /15 1 /6 \ /3 \ \ -1 0 , k7

1/5 (

= (2 — (-2 /15, 1 /6)

B12 =

-2 /15

olduğuna göre A-1 =

5)

73

-2 /15 (1 ,0) 37 ( 1 /5 (-2 /15

B 2 1 = - A22-1 A21B11 =

1 /5

3 30

)) -1 1 /6

30

B11A12A22-1 = —

4

5\ k't' ..- 37 ,

0

1 /6

30 — /-23 k7 ,

O

k-18 /37,

37

/15 1 /6/15 1 /6 B22 = A22 1 - A22-1 A2113 12 =

k

1/5 0

ii

/k

1/5 O ,k7

\ 37 /

-8 /37 10 /37 \ (

5 /37 3 /37,

olduğuna göre

A-1 =

( 30 /37 -23 /37 -18 /37

4 /37 -8 /37 5 /37

-5 /37 10 /37 3 /37

30 4 -5 \ 1 37

-23 -8 10 -18 5 3/ (

biçiminde bulunur. ALIŞTIRMALAR 1. (

A=

1

2

4 0 2 -5

3 1 -4 B —5 1 0 2 3

3 -1 2) 159

olmak üzere AB yi önce do ğrudan ve daha sonra belirtilen bölme ile bulumiz? 2.

1 1 0 O

O\

O 0

01000 C=00231 0 0 5 0 2 0 0 4 1 2/

0 O () O O 0 O 0 00100 0001 OI 00001/

D=

olmak üzere etkili bir bölme kullanarak CD yi bulunuz? 3. matrisi veriliyor.

p(x) = (x2 -- 4x — 2) ( x 2 — 7) olmak üzere 3A 3 — 6A2 -H 31 ve p(A) yı bulunuz. Kesim 5.3 Al ıştırma 10 ve Teorem 5.5.2 yi kullanarak A-1i bulunuz? 4. Kesim 5.3 Alıştırma 10 ve Teorem 5.5.2 yi kullanarak a şağıdaki matrislerin terslerini bulunuz ?

fl

(a)

3

2 () -1 3

4 0

o

0

l\ 2 2

(b)

(d) D g ((

1

O

-2 1 )'

O (1

01) CO

A22 karesel matrisler olmak üzere

A11

= (

A , 12 ) ise, herhangi p(x) polinomu için

A21 I -t1-22

p(A) =

0

olduğunu gösteriniz? 160

Karışık

P(A11)

\

I

p(A22)

i))

6. A1 2 )

An

A -=

ise AT yı bulunuz.

(A2 1 A22

7. A-1 ın, K nin n farkl ı seçimi için AX = K sistemini çözmekle bulunduğunu gösteriniz? 8.

AX = Y nin X

(A Y) (

) = 0 ya da (A 1)

0

a eş değer oldu ğunu gösteriniz? 9. A =

Al2)

(A11

matrisi düzgün ve A 11 düzgün olacak

\ A21 A22

şekilde bölünmüş ise, X = A ii- 1 Al2, Y — A21All 1 ve C =- A22 -- YAl2 = A22 - A2 1 X = A22 - A'1A11-11Al2 olmak üzere, do ğrudan bir çarpı m ile A-1

(A11 -1

XC- 1Y

1

—XC-1 C-

olduğunu gerçekleyiniz?

Buna göre A 11 , 2x2 biçiminde olmak üzere A =

4 -1 2 3 4 1) matrisinin tersini bulunuz? (-2 -2 4

5.6. IZ VE DETERMINANT Şimdiye kadar matris de ğerli fonksiyonlardan sözedildi. Öte yandan matrisler üzerinde çe şitli skaler de ğerli fonksiyonlar vard ır. Bu kesimde böyle fonksiyonlardan sadece karesel matrisler için tan ımb iz fonksiyonu ve determinant fonksiyonu üzerinde durulacakt ır.

izi

TANIM 5.6.1. Herhangi bir nxn biçiminde A matrisi için A n ın (trace), izA = tr(A) = i=1

aii = E en.tii(A) 1=1

ile tammlıdır. 161

Bu tanıma göre, iz, A n ın köşegen elemanlarının toplamıdır. Buna . göre 1 2 5 A = (7 6 83) ise tr(A) = 1 + 4 + 8 5 4

13

dür. Daha sonra çe şitli ilişkiler içersinde kullanılacak olan iz fonksiyonunun temel özeliklerini gözönüne alal ım. TEOREM 5.6.1. A ve B n yinci basamaktan karesel matrisler ve a, b skaler ise, bu durumda a şağıdaki özelikler geçerlidir: 1. tr (aA + bB) = atr(A) + btr(B) 2.

tr(AT) = tr(A)

3.

tr(AB) = tr(BA)

ispat, 1. tr(aA bB) = E entii(aA + bB) = E (aentii(A) + i=1 bentii(13)) = a E entii(A) ± b E entk i(B) = atr(A) + btr(B) 2. en.tii(AT) = entii(A)

nedeniyle açıktır.

3. tr(AB) = E entii(AB) = E ı=ı i=1

= E k=1

n E entik(A) entki(B) k=1

E entki(B) entik(A) 1=1

n

E

entkk(BA) = tr(BA)

k=1

Bu teoremde birinci özelik, özellikle önemlidir. Bu özelik, izin bir lineer fonksiyon olduğunu gösterir ve daha sonraki bölümde üzerinde durulaca ğı üzere di ğer bir çok fonksiyon tarafından payla şılan bir özeliktir. 162

Okuyucu, determinant kuram ının klasik incelenmesinin bir k ısmı ile haberdar oldu ğu düşünülerek burada verilecek olan tan ım esas olarak tüme varımsaldır ve bir dereceye kadar klasik görü şten farkl ıdır. Aş a ğıdaki tanım, daha önce Tanım 5 2 2 de verilen Min.ii (A) altmatrisleriııi kapsar. TANIM 5.6.2. Bir matris bir tek elemandan olu şuyor ise, matrisin determinantt o elemana e şittir. E ğer A, ıl > 2 yinci basamaktan bir karesel matris ise A nın determinantt, genel olarak ail elemaıumn kofaktörü ya da A nin (i, j) konumunun kofaktörü cofıi(A)

(-1)i+j det(Min ii (A))

olmak üzere

det(A) =

f ı k(A)

k=1

= a11cof11(A)

a i2cof12 (A)

a incofin(A)

ile tammlıdır. Bu tanım, det (A) n ın değerini, birinci sat ıra göre basama ğı A nınkinden daha az matrisleriıı determinantları cinsinden veren tan ımdır. Bu tanıma göre ikinci basamaktan

A =

(a l a2 ı

a i2) a22

matrisinin determinantı det(A) = a ı 1(-1 ) 171-I det (a22)+ a i2(-1) 1 +2det (a 21 ) = al ı a22—a12a21 ve üçüncü basamaktan B

a21. (a21 a31 matrisinin determinant ı det(B) = a11( -1 ) 1+1 det

a 13 (-1) 1 +3det

a12

a13

a22 a 32

a23 a33

(a22

a32 (a21 a 31

a23 a 33

a12(-1 )

14-2det

a 21

a23)

a31

a22

a22) a 32

163

- 11( -22-„ 33

a23a 32)

a 12( a21 a 33

a 23a 31) + a 13( a21 a 32 -a22a3i)

a 11 a22a 33 a12a23a31 4- a 13 a 21 a32 — (a n , 3a32 a 13a 22a 31) biçimiudedir.

a 12 a 21 a 33

B matrisinin determinant ı

0

21

32 biçiminde Sarrus kurala denen bir yöntemle de bulunabilir. Ancak bu yöntem sadece 3x3 biçiminde matrislerin determinant ı için geçerlidir. Tanı m 5.6.2. 4x4 biçiminde bir matrise uyguland ığmda her biri 4 sayının çarpımı olan 4.6 = 24 = 4! terim, 5x5 biçiminde bir matrise uygulandığında her biri 5 sayının çarp ımı olan 5.24 = 120 = 5! terim elde edilir. nxn biçiminde bir matrise uyguland ığında her biri n sayının çarpımı olan n! terim elde edilir. Hatta az çok büyük say ılabilecek n için bile n! sayısı oldukça büyüktür ve i şlem elle yap ılmas ı durumunda ömür tüketebilir! O halde determinant fonksiyonu uygulamada kullanılmas ı gerekiyorsa determinant ın de ğerinin hesabı için daha etkili yolların bulunması gerekir. Şimdi det (A) nın hesabında daha etkili yolları bulmada yararl ı olan determinant fonksiyonunun baz ı özeliklerini ortaya ç ıkaralım. ÖZEL İ K 1. Herhangi bir A karesel matris için, det (AT) = det (A) dır. Bu özelik, determinantlar hakk ında herbir sat ır yerine bir kolon benzerli ğini kurmada kullanılabilir. Örne ğin, bu özelik nedeniyle Min i, / (A)

(Min i k(AT) )T oldu ğundan

det (A) =-.--. E a kl cofkl (A) k=1

yazılabilir. Deterninant ın bu ifadesi, Tanım 5 6 2 den ayrıcalı k gösteir. Bu gösteri"; ilk sat ırın elemanları yerine ilk kolonun elemanlar ını ve onların kofaktörlerini kapsar. E ğer Co1 1 (A) da Row 1 (A) dan daha çok s ıfır eleman' var ise bu formülün, tanımdakinden daha etkili olaca ğı açıktır, 164

...,t ım olan bir ÖZELİ K 2. T matrisi, kö şegen elemanlar ı üçgensel matris ise det (T) =t 11 t29...t nn dir. Bu öze ltilkb, 122 " ııin alt üçgensel, üst üçgensel ve kö şegen olması durumlarında geçerlidir. ÖZELİK 3. Bir B matrisi, Row i (A) yı Rowi(A) ile de ğiştirerek A dan elde ediliyorsa (111 Ri), bu durumda det (B) = det (A) d ır. Benzer olarak, B matrisi, Coli(A) ile Coli(A) y ı de ğiş tirmekle A dan elde ediliyorsa (C iR3 0 0 0 1 -2 1 -2 5R4+ R, O \O 0 0 1 4 -2R4 + R i 0 2 4 0 0 1 -24 O 1 0 0 1 27 OO 1 0 1 6 00 O 1 1 4

4 1 O O

1 O -4R2 + R 1 0 1 0 0 1 /2R 1 O 0

3 O (-6 -1 O f 21 1 0 j 6 O 1 4 0 0 1-66\ 0 0 j 27 6 1 0 0 1 1 4/

Daha ileri bir sadele ştirme sözkonusu de ğildir. Son eklemeli matrise ilişkin sistem xi = - 66 x2= 27 3 - 6x x4 = 4 biçimindedir ve buradan çözüm belirgindir. 178

ÖRNEK 2.

A

2 4 3) K = 5) = ( -1 -2 6 -7

olmak üzere AX =K sistemi veriliyor. AX =K sistemi ile buna ili şkin AX =0 homogen sisteminin genel çözümünü bulunuz ?

-

1 2 -1 I 4

1 2 -1 14

( 2 4 3 I 5) -2R 1 -F- R2 (O 0 5 I -3) R 1 -1- R3 O 0 5 I -3 -1 -2 6 I -7

(A IK)

-> -R2+ R3

1 2 0 17 /5 (0 0

-3 /5)

0001

--I /5R2

(B III)

O

R2+ Ri olduğuna göre BX =H sistemi

17 5

2x2 -=

X3

3 = - Ç

dir ve buradan genel çözüm, e isteksel olmak üzere ( 17 5

biçimindedir. AX =O homogen sistemi için eklemeli matris (A 10) oldu ğuna göre (A 1K) yı (B IH) ye indirgemede kullan ılan aynı işlemler (A 10) ı (B 10) a indirger. Burada BX =0 sistemi Xi + 2X2 = 0 X3 = 0

ve genel çözümü -2c

X

Xh (X 2) ""=-X3

2

=e (

O)

(

O 179

biçimindedir. Buna göre AX =K homogen olmayan sisteminin ge lel çözümü / 17

I —2

5

X

=

17 5—

Xh+ Xp

e 3

biçiminde yazılabilir. Burada Xh, AX =O homogen sisteminin genel çözümü ve Xp de AX =K sisteminin bir özel çözümüdür. Örnek 2 nedeniyle bir lineer denklem sisteminin birden fazla çözüme sahip olabilece ği açıktır. Bu durum 3 boyutlu geometri ile uyumludur, çünkü m =n =3 durumunda her bir denklem bir düzlem gösterir ve çözümler, arakesit noktalar ı= koordinatlar ıdır. Geometrik olarak uzayda üç düzlem ya bir noktaya ya sonsuz say ıda ortak noktaya sahiptir ya da ortak noktalar ı yoktur. Örnek 2 aynı zamanda her karesel matrisin bir kö şegen matrise sat ırca indirgenemiyece ğini gösterir. Matrislerin sat ırca indirgemesini irdelemede yarar sa ğlayan tanımı verelim. TANIM 5.7.1. A ve B mxn biçiminde iki matris olmak üzere B, sonlu sayıda elemanter sat ır işlemleri dizisi ile A dan elde ediliyorsa, A. ve B matrislerine satırca eşdeğerdir. (A 'k' B) denir. Satırca eş değerlik, matrisler aras ında eşitliğe göre daha az kısıtlayıcı bir ilişkidir, ancak eşitliğin temel özeliklerini Sa ğlar: Her Amatrisi için A

k' B dır. (Yansıma özeliği)

A R B ise B Z' A dır. (Simetri özeliği) A 1":£ B ve B R C ise A j'j, C dır. (Geçi şme özeliği) Bu kesimin irdelenmesi a şağıdaki teoremde özetleniyor. TEOREM 5.7.1. (A I K) ve (B H) eklemeli matrisleri sat ırca eşdeğer ise AX =K ve BX =H sistemleri tamamen ayn ı çözümlere sahiptir. 180

Bu teoremin tersi kesinlikle do ğru de ğildir, çünkü iki sistem e şdeğer olabilir, ancak ayn ı sayıda denkleme sahip olmayabilir. Bu durumda eklemeli matrisler ayn ı sayıda satırlara sahip olmazlar. Bu kesimin son teoremi, bir matrisin elemanter sat ır işlemleri ile nasıl tamamen basit bir şekle getirilebilece ğini açıklıyor. TEOREM 5.7.2. Her mxn biçiminde bir A matrisi, a şağıdaki özeliklere sahip bir tek E matrisine sat ırca eşdeğerdir: 1. Her bir sat ırın sıfırdan farklı ilk elemanı 1 dır ve onun gözüktüğü kolon birim matrisin bir kolonudur. 2. E nin sıfır satırları , eğer var ise en sonra gelir. 3. Sıfırdan farklı satırlarda temel 1 ler (1, c i ), (2, c 2),..., (r,c r) konumlarında gözüküyorsa, bu durumda c i < c2 < < cr dir. Bu teoremde verilen üç ko şulu sağlayan bir matrise satır indirgemeli eşelon biçimindedir denir. E ş elon biçiminde bazı matris örnekleri, Örnek 1 ve 2 de elde edildi. Di ğer böyle bir matris

120400 7 0 01200-2 000010 000001 3 000000 (

biçimindedir. Bu matris için s ıfırdan farklı satırlarda temel 1 ler, (1,1), (2,3), (3,5) ve (4,6) konumlarındadır, yani c l = 1, c2 = 3, e 3 = 5 ve c4 -= 6 dır. Colc ı (E) = Col ı (I), Col e2 (E) = Co12(I), Cole3(E) = Co1 3 (I) ve Col" (E) =Co14(I) dır. Teorem 5.7.2 nedeniyle herhangi bir A matrisi bir tek E matrisine satırca eşdeğerdir. Bu E matrisi, satır indirgemeli eşelon matrisi ya da A nın satır kanonik biçimi adını alır. A karesel ise, bu durumda E e şelon matrisi üst üçgenseldir ve E bir sıfır satıra sahip olmadığı sürece E =I d ır (bak. Örnek 1 ve 2). AX =0 homogen sisteminin A katsay ılar matrisi karesel ve A I ise, bu durumda AX =0 sistemi tek X =0 çözümüne sahiptir. E eşelon matrisi I değilse, bu durumda E bir s ıfır satırma sahiptir ve homogen sistemin sıfırdan farklı çözümü vardır. AX = K sistemini, (A l K) eklemeli matrisin e şelon formuna indirgeyerek çözmeye Gauss-Jordan yoketme yöntemi denir. Örnek 1 de olduğu gibi, bir üst üçgensel matrise vard ıktan sonra satır indirgeme 181

durdurularak çözüm geriye do ğru konumla elde edilirse bu yönteme de Gauss yoketme yöntemi denir. Genel olarak Gauss yoketme yöntemi,

Gauss-Jordan yoketme yönteminden daha az say ısal işlem gerektirir.

ALIŞTIRMALAR Eklemeli matrisi e şelon biçimine sat ırca indirgeyerek a şağıdaki sistemlerin her birinin genel çözümünü bulunuz? 1. 3x i- x2 + 2x3 =-- - 4 2x 1 + x2 + x3 = - 1 xi + 3x2 = 2 3• xi- x2- x 3- x4 = 5 x i + 2x2 + 3x3 + x4 = - 2 3x i + x2+ 2x4 - 1

2. x 1 -x 3 = 3 x2 + 3x3 = 1 x i + 2x2 = 7 4. 3x1 + 2x2 + 16 x3 + 5x4 =0

2x2 10x3 + 8x4 = 0 xi + X24- 7x34- 3x4 = 0

2x1 + 2x3+ 3x4 = 3 5. 7x 1- 8x2 + 8x3 = - x l 1- 16x2- 18x3 — - x29x 1 + 11x2 + 13x3 = -5x - x3

6. x i + 4x3 = 3x1 5x2 + 4x 3 = 3x2 -4x 1 + 4x2 + 3x 3 = 3x 3

7. (A:K) 7z; (B !H) ise' bu durumda A 7t, B ve K R H olduğunu gösteriniz. Bunun tersi do ğru mudur, aç ıklaymız? 3-12100 B = (2 1 1 0 1 O) 8. 1-30001 matrisi için satır indirgemeli e şelon matrisini bulunuz? 9.

A

1 2 3 2 4 5) olmak üzere (A IK I IK2 'K3) matrisini sa= ( 3 5 6 tırca indirgeyerek a ş ağıdaki üç sistemi

aynı anda çözüniiZ? (a) AX -=K = (1) (b) AX =K 2 = (-3 ) (e) AX=K 3 = 2) -2 2/ 10.

A 182

1 3 3 0 1 0 1 3 4) olmak üzere AX = (0) , AY = (1) , AZ = (0) = (1 4 3 1 0 0

biçiminde verilen üç sistemi ayn ı anda çözünüz ? B =(X,Y,Z) ise AB ve BA yı bulunuz ? 11.

3x1— x2+ 2x3 = 2 2x2 +

X2+

x3 + 3X2

X3 = 1 =2

sistemini, eklemeli matrisi sat ırca indirgeyerek çözmeye çal ışınız. Ortaya çıkan durumun geometrik anlam ı nedir, açıklaymız ? 12. Aşağıdaki sistemin uyumlu olmas ı için h ın alabileceği değer ya da değerleri bulunuz ? xi + 2x2+ 3x3 + X4 = 3 3x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 7 2x2+ 4X3+ X4 = 1 ,_ xi+ x2 + x3 + x4 = h 13. Bir matris üzerinde her elemanter sat ır işleminin aynı bir elemanter sat ır işlemi ile geri alınabileceğini gösteriniz ? 14. Aşağıdaki işlemler dizisinin A üzerindeki etkisi nedir? Ri+ Ri, -Ri+ Ri, Ri+ Rj —Ri ,

15. E matrisi, r (r < m) s ıfırdan farklı satırlı bir mxn eşelon matrisi olsun. Buna göre a 1 Row 1 (E) + a2 Row2(E) +...+ arRow,(E) = 0 ise a l = a2 =... = ar =0 olduğunu gösteriniz 16. A ve B, A R B olmak üzere karesel matrisler olsun. S ıfırdan farklı herhangi k i skaleri için det (A) = k 1 det (B) olduğunu ve ayrıca B nın aykırı olmasının, A nın aykırı olması ile eşdeğer bulunduğunu gösteriniz. 17. A "k' B ise bu durumda B nin satırlarmın, A nin satırlarının lineer kombinasyonları olduğunu gösteriniz ? 18. Eirinci basamaktan Y' (t) = AY (t) lineer diferensiyel denklem sistemi gözönüne al ın ıyor. A katsayılar matrisi basit (kö şegen ya da üçgensel) ise, çözüm kolayl ıkla bulunabilir. Buna göre a şağıdaki durumlarda r(t):=AY (t) sisteminin çözümünü bulunuz ?

183

(a) A 3/ (b)

,

-1 0 A = ( O OO -1

Y (0) \ 2/ O ,

3 Y (0) = 8)

-3 (e)

-1 3 -2 0 = O 3 2) Y (0) = (1 ) O O -1 O

5.8. ELEMANTER SATIR I Ş LEMLERI YARDIMIYLE TERS MATRİ SLERİN BULUNMASI Bu kesimde nxn biçiminde düzgün bir A matrisi ııiıı tersini bulmada satır indirgeme tekniklerinin nas ıl kullan ılacağı görülecektir. Herhangi bir K için AX =K sistemi bir tek çözüme sahip olacak ş ekilde A nın I ye sat ırca eş de ğer olduğunu varsayahm. Özel olarak, K =(1,0,0,...,0)T = Co1 1 (I), K =--(0,1,0,...,0)T = Co1 2(I),..., K =(0,0,0,...,1)T = Col n(I) için sistem, Gauss yoketme yöntemi ile rahatl ıkla çözülebilir. Bu ıı sistem, birlikte Col n(I) ) (A 1Col ı (I) I Co12 (I) matrisini sat ırca indirgemekle çözülebilir.

(A II)

A ?'{, I olduğundan bu sat ır indirgeme ile, P nin kolonları yukardaki n. sistemin çözümleri, yani ACol 1 (P) = Col 1 (I), ACo1 2(P) = Co1 2(I),..., ACol n(P) = Col n (I) olmak üzere (I IP) matrisine var ılır. Bu rı eşitlik, bir tek AP =I e şitliğine e ş değerdir. Öte yandan A I olduğundan det (A) / 0 (bak. Kesim 5.7, Al ıştırma 16) ve Sonuç 5.6.1 nedeniyle de A-1 vardır. Buna göre AP =I soldan A -1 ile çarpılarak P-1 =A-1 AP —A-1 I =-A-1 olduğ u sonucuna vardır. Bu irdeleme a şağıdaki teoremde özetleniyor. TEOREM 5.8.1. A nxn biçiminde ve (A II) 'it' (I IP) ise P =A -1 dır. Bu teoremin sonucu, bir matrisin tersini bulmada son derece etkili bir yöntem verir. Bu yöntemin, Kesim 5.6 da irdelenen adjoint formülü kullanmaya göre daha az aritmetik i şlem gerektirece ği açıktır. 184

ÖRNEK 1.

(A

-1 -1

2 0

3 2

1

-11 3

-1 83

A ---

1 2 4 \1

(1 2

-1 -1

2 O

1 1

1 9

-Il 3

-1 83

2 -4 -19 1

:3 I -4 1 -13 I 80

-2 -4 1 13

-1 -4 I 7 I 92 I

-2 6 5

1 -5 -3

O 1 0

0 0, 1/

13 I 11 24 , 22 6 '7 I -73 1

-9 -19 r-5 62

92

O\ 0 I O) 1

ise

A-1 i bulunuz?

1 O

O 1

0 O

O) O

0 0

0 0

1 0

0 1

1

0

O

O

-2 -4 -1

1 0 O

0 1 0

0 0 1

3 1 2 1

I)

/1

-1

-2R 1 + R,

0

1

R, -R 1 -1- R

O

5 3

0

ı. +-3R2 + R4

0

ı,

0 \O

0 0

.

0 o\

N

il

0

2R,-1- R ; 4R,-1- R .-2 -13R,-1- R .;

0 0 ‘O \

1 0 0

00 1 O_

> -7R 4 + R, -24114 1- R2 -13R4 + R i

il 1 0

0 1

0 0

01 01

\00 \0

0

1

01

0

0

1I

960 1774 517 -73

-815 -1507 -439 62

1 -13 171 316 92 -13

-13 -24 -7 1

=

(I 1 A-1

)

oldu ğuna. göre

A-1

960 -815 171 -13 1774 -1507 316 -24 517 -439 92 -7 62 -13 -73 (

dır. Görüldüğü üzere bir matris sadece tamsay ı elemanlarma sahip ise, bu durumda Teorem 5.8.1 ın yöntemi kullanılarak kesirli herhangi bir işlem yapmaksızın, onun tersi bulunabilir. Daha çok el i şlemleri için önerilen yöntem a ş a ğıdaki örnekte veriliyor. 185

ÖRNEK 2.

B

3 2 (1

=

2

-1 1 -3

ise B -1 i bulunuz.

11 0

3 -1 (B II) = (2 1 1 -3

2

1

1

0

0 O

0 1 O

-> 1 -3 -21t 1 + R2 (O 7

8

0 1 1 1 2 1

0 O 1

O 1 1 -3 01 O -> 1 -2 (O -1 -1 I -1 0 -3 ) -R3 + R2 \ O 8 2 I 1

1 -3 (O 1 O 8

O 1 1 I 2 1

O 1 1

-31t 1 + R3 O

- R2

-R3 6Rİ 26R

6 (O \O

1 /6R i (I 1 1 /6R2 1 /6R3

0 18 6 6 O 6

O O) R R3 1

1 -3 O 1 (2 1 1 1 3 -1 2 1

O

O 1

O

1 1 o) O Ol

O

1)

1

1

O -3

O 1 -> 1 O 3 I 3 -3 -2 -1 -1) 3R2+ R ı (O 1 1 I 1 -1 -1) 0 -3 -8R2 + +R3 O 0 -6 I -7 8 5

18 -18

6 -6 7 -8

12 -> 6 -6) -R 3 + R2 (O -5 -3R3 + 7O

O 6 O

O I -3 6 3 O 1 -1 2 -1) 7 -8 -5 6

1

6

\ 7 -8 -5/ /

olduğuna göre

B-1=

61

C-31 26 -31) 7 -8 -5

dır. Şimdi elemanter satır işlemleri ve matris çarpımı arasmdaki önemli ve yararlı bir ili şkiyi belirten bir teoremden sözedelim. Bu ili şki matris tersleri hakkında önemli gerçekleri ortaya ç ıkarmada yararl ı olacaktır. Daha önce Kesim 5.3 de Alıştırma 11 olarak verilen matris çarp ımları bu teoremiıı bazı özel durumlarını içermektedir.

TEOREM 5.8.2. Bir A matrisi üzerinde bir elemanter sat ır işlemi, A matrisini üzerinde belirtilen i şlemin yapıldığı bir birim matris ile soldan (ya da A dan önce) çarpmakla elde edilebilir, yani A ER O = (IER0) A dır, ya da açık olarak 186

Tür I = (IB,1Rj) A AR,v(->Rj Tür II Akil.' = (IkRi) A Tür III AkR1+ Rj = (IkRi+Rj) A dır. Ispat. Bu teoremin ispat ıııda kullanılacak temel araç, Sonuç 5.5.1 dır, yani Rowi(EA) = (Rowi(E) ) A ve bunun özel bir durumu olan Rowi(A) = (Rowi(I) ) A dır. Buna göre iki yandaki matrislerin e şit satırlara sahip oldukları gösterilirse matrislerin e şit oldukları sonucuna varılacaktır. Tür I. i ymcı satır için Rowi( (IRj*-->Rj) A) -= (Rowi(IRIRj) ) A =Rowi(I) A = Rowj(A) = Rowi(AR“-->Ri) Benzer olarak j y ıncı satır için Rowj( (IRi e-->Rj) A) = (Rowi(IRI Rj) ve h

i,j olmak üzere h yıncı satır için Rowb( (IRi4-4Rj)A) = (Rowh(IRigi matrisleri e şit satırlara sahip olduklarından e şittirler. ^

Tür II. Herhangi bir j ymc ı satır için Rowi(IkRiA) = (Rowj(IkRi) ) A (Row j(I) A Rowj(A) = Rowj(Ak ıtı) ve j =i ymcı satır için Rowi(IkRiA) = (Rowi(IkRi) ) A = k. Row i(I) ) A = kRowi(A) = Rowi(AkR ı) olduğundan AkRi ve (I kRi) A eşit satırlara sahiptirler ve e şittirler. Tür III. Herhangi bir ij sat ırı için A) = (Row4kRı +Rj) ) A = Rowi(I) A = Rowi(A) = Rowt(AkR ı+RJ) ve i =j yıncı satır için Row ı(

Rowj( (I kRi+Rj ) A) -= (Rowi(IkRi+Rj) ) A [kRowi(I)+ Rowj(I) I A =kRowi(1) A+ Rowi(I) A = kRowi(A)+Rowj(A) =- Rowi(Aut ı-I-Ri) 187

olduğundan AkRi+Rj ve (IkRi+Rj) A matrisleri e şit satırlara sahip olduklarından e şittirler. Bu teoremde gözüken IR1Rj, IkRi, IkRi +Rj matrisleri, matris kurammm gelişiminde son derece önemlidir. TANIM 5.8.1. Bir tek elemanter sat ır işlemi ile birim matristen elde edilen matrise bir elemanter matris denir. Buna göre IRI4-)Rj, IkRi +Rj matrisleri s ırasiyle birinci, ikinci ve üçüncü türden elemanter matrislerdir. Aşağıdaki özeliklerin do ğruluğu Teorem 5.8.2 yi kullanarak ya da doğrudan gösterilebilir: (IgiRJ)-1 = IRiHRj

(IkB,i) -1 = I ı Ri, k0 k

(IkRı+Ri)-1 = I-kR i +Ri Bu yüzden bir elemanter matris diizgündiir ve onun tersi ayn ı türden bir elamenter matristir, Örne ğin, 3x3 biçiminde elemanter matrisler için O0

(IRIR3) -1

(ı kR2 )-- i

1 )1

—( o o o ı lo

ı 0 o -İ —

o 0 1 — (o ı0o) o ı

= I R İ R3

1 0 0

O k O) = (O 1 /k O) O O 1 O O 1

= I iir-R2

(

1 0 O

( I kR2+R3) -1

=

-1

1

(o ı o ) = (o ,0 k i/ \o

0 k ı

O

1/)

i_ kR2+R3

dır. Satırca e şdeğerlik, Teorem 5.8.2 yı kullanarak matris çarp ımı cincinden ayırdedilebilir. TEOREM 5.8.3. A R B ise, PA =B olacak ş ekilde elemanter matrislerin çarp ımı olan düzgün bir P matrisi vard ır. Tersine olarak, P düzgün bir matris olmak üzere PA=B ise, bu durumda A 'ft,' B dır. Ispat. A 7c, B ise E l , E2,..., Et, A yı B ye indirgeyen elemanter satır işlemlerine karşılık elemanter matrisler olsun. Teorem 5.8.2 nedeniyle 188

Et(... (E 2(E İA) )...) = (EtEt_ 1 ... E2E 1 ) A=B dır. Böylece P =E tEt_ İ ... E2E 1 alınabilir. Bunun tersini ispatlamak için, P düzgün ise P Z' I olaca ğından Teorem 5.8.3 ün ilk kısmı nedeniyle P elemanter matrislerin çarp ımıdır. Yukardaki ispat düzenindeki basamaklar geri alınarak ikinci kısmın ispatı tamamlanabilir. P =PI=(EtE t _İ ... E2E 1 ) I olduğundan, elemanter sat ır işlemleri A yı B =PA ya indirgiyor ise bu durumda do ğal olarak I üzerinde ayn ı işlemler dizisinin de P yi verece ği anlaşılır. Böylece şu sonuca varıhr. SONUÇ 5.8.1. (A II) Z (B IP) ise bu durumda PA =B d ır. Bu sonucun özel bir durumu B =I olmak üzere PA =I d ır ve bu da Teorem 5.8.1 ın ba ğımsız bir ispatmı verir. Şimdi bu kesimde elde edilen sonuçlar, matrislerin terslerinin varl ığı hakkında bazı yararh gerçekleri kurmada kullan ılabilir. TEOREM 5.8.4. nxn biçiminde bir A matrisi için a ş ağıdaki anlatımlar eşdeğerdir: 1. A 'it' I dır. 2. A elemanter matrislerin çarp ımıdır. 3. A-1 vardır. 4. A bir sol terse sahiptir. (PA =I olacak şekilde P matrisi vardır.) 5. AX =0 ise X =O dır. 6. det (A)

0 dır.

Ispat. 3 ve 6 anlat ımlarmm eş değer olduğu bilindiğinden aşağıdaki gerektirmeler zincirini kurmak yetecektir: 1- 2 -> 3 --> 4 -> 5 --> 1 1-*2. Teorem 5.8.3 ve Sonuç 5.8.1 den, Ei elemanter matrisler olmak üzere A -1 = (EtEt_1 ... E2E1) dıır. Teorem 5.3.5 den A =(EtEt_ İ ... E2E 1 )-1 = E İ-1 E2-1 ... E t_İ lEt-ldır. Tanım 5.8.1 i izleyen uyarıda belirtildi ği üzere bir elemanter matrisin tersi de bir elemanter matristir. Teorem 5.3.5 ve yukarıdaki uyarıdan bütün elemanter matrislerin düzgün oldu ğu sonucuna vardır. 189

3-4. Belirgindir. 4->5. AX =0 sistemi soldan A n ın tersi ile çarp ılırsa X =0 olduğu anlaşılır. 5->1. A 'j; I oldu ğu doğru değil ise, bu durumda A nın satır indirgemeli biçimi bir sıfır satırma sahip olaca ğından AX =0 sistemi sıfırdan farkh çözümlere sahip olur. Matris tersi, kuramsal görü ş açısından temel öneme sahiptir. A-1-

ın elemanlarına açık olarak pek seyrek gereksinim duyuldu ğu halde çoğunlukla verilen herhangi bir B matrisi için A -1 B çarpımıııa gereksinim duyulur. Böyle bir çarp ım en etkili biçimde (A IB) ERO (I IP) den P =A-1 B olarak bulunur. ALI ŞTIRMALAR Teorem 5.8.1 i kullanarak aşağıdaki matrislerin terslerini bulunuz ? 1

LA

3. C

=

=

7. G

9. J

190

2. B (3

e

(3 -,2/

0 1 O 1 1 1 3

5\

=

4/

1 (3 1 1 -1 2 1

S. E

2

2

1 O O

4. D

=

2 0 1 1

1 1 O O 1 4 16 64

8. H

=

O 0 O 3

10. K

=

1

1

1

1 1

2

3

1

4 9 8 27

3 1 O O

0 3 1 O

0 O 4 1

6. F

=

4 (O ‘2

1 1 O

4 t) 3'

1 -1 1 -1

3 4 2 1 2 3 -1 1 2 1 -1 1

1 2 4 8

0 1 1 1 -1 O 4 1 0 12 -1 0

1 3 (-4 2

0 2 1 3

0 O 3 5

0 O O 4

11. A simetrik ise, A-1 in var olmak koşulu ile A-1 in de simetrik' olduğunu gösteriniz ? 12.

A =

1 2 -1 B = (-1 1 21 2 -1 1

2 3 4 4 3 1) (1 2 4

ise PA =B olacak şekilde düzgün bir P matrisi bulunuz. A n ın tersinin varlığını gerektirmeyen bir yöntem türetebilirmisiniz, aç ıklayınız ? 13. A =BC ve A düzgün olacak şekilde A,B,C karesel matrisler ise, bu durumda B ve C nin de düzgün olduğunu gösteriniz ? (Bilgi: özelik 10 dan değil Teorem 5.8.4 den yararlan ınız.) 4 1 2 6 14. A = ( 1 2 4 1 O -1 -2 1 O 6 12 O

ise PA e şelon biçiminde olacak şekilde düzgün bir P matrisi bulımuz. P tek midir?

15. Ahştırma 1 ve 3 ün A ve C matrislerini, elemanter matrislerin çarpımı olarak yazınız ? 16. Bir elemanter matrisin transpozunun da bir elemanter matris olduğunu gösteriniz? 17. E bir elemanter matris ise det (EA) = det (E) det (A) oldu ğunu gösteriniz? 18. Teorem 5.8.4. ve Alıştım-la 17 nin sonuçlarını kullanarak, A düzgün ise det (AB) = det (A) det (B) oldu ğunu ispatlaymız ? Daha sonra Ahştırma 13 ve Teorem 5.8.4 ün 6 ıncı anlatımından yararlanarak bütün durumlarda det (AB) = det (A) det (B) oldu ğunu gösteriniz? 19. P,A-1 e bir yaklaşıkhk olsun (PA, I den sadece bir kaç yerde farkediyor). P ve PA dan A -1 in nasıl bulunaca ğını gösteriniz? 20. A ve B nin k yineı kolon dışında benzer ve A-1 ın bilindiğini varsayahm. B -1 ın A-1 den nasıl bulunacağını gösteriniz ? 21. Satırca eş değerliğin, bir eş değerlik bağıntısı olduğunu, yani yansıma (A it A), simetri (A 'k' B ise B Z, A) ve geçi şme (A "it B ve B 'ir, C ise A `İ ', C) özeliklerini sa ğladığını gösteriniz? 22. Aşağıdaki matris çarp ımlarım bulunuz ? 1 2 \ -1 (2 5 \ (a) 3 4 1 \3

-2)

(b)

1 0 1 -1 4 1 4 (O 1 O) (3 1 O) 2 0 3 1 0 O 191

10 -3-3 23. P = ( -8 ) 2ve A = -3 1 1

17 12 18 -) -16 -9 24 ( -5 -4 -4

ise (P-1 A) P yi bulunuz ?

5.9. AX =X SISTEMININ ÇÖZÜMLERİ Nİ N YAPISI Bu kesimde AX =K sisteminin çözümlerinin varl ığı ve tekli ği üzerinde durulacaktır. Bu konudaki sonuçlar ço ğunlukla a şağıda tanımlanan bir matrisin rank kavramına dayanır TANIM 5.9.1. Herhangi bir A mxn matrisi için, A ya sat ırca eş değer bir tek satır indirgemeli e şelon matrisi E olsun rank (A) ile gösterilen A nın rank ı, E nin sıfırdan farkh sat ırlarmın sayısı olarak tammlamr. İki matrisin sat ırca eşdeğer olması, onların aynı eşelon matrisine satırca eşdeğer olması ile eşanlamh olduğundan aşa ğıdaki teorem verilebilir. TEOREM 5.9.1. Sat ırca e şdeğer matrisler e şit ranka sahiptir. Bu noktada belirtelim ki Tan ım 5.9.1, rank (A) nın klasik tanımı değildir. rank (A) nın klasik tanımı, A nın sıfırdan farkh determinantl ı en büyük karesel altmatrisinin basama ğı olarak verilen tammd ır. Bu iki tanım eşdeğerdir, ancak uygulamada A nın rankı hemen hemen doğrudan klasik tan ımdan gidilerek bulunmaz. Rankın belirtilen tammma göre, her matrisin tamamen belirli ve tamsayı olan bir rankı vardır. Bir matris sıfır matrisi de ğilse en azından determinantı sıfırdan farklı birinci basamaktan bir altmatris kapsar ve bu durumda rankı 1 dır. Sıfır matrisinin rank ı 0 olarak kabul edilir Herhangi bir A nxn matrisi için A R I olmas ı , A-1 ın var olması ile eş değer oldu ğundan, A-1 ın var olmasının rank (A) = n olmas ı ile e ş değer olacağı açıktır. Bu koşul, Teorem 5.8.4 de verilen A -1 ın varlığına e şdeğer şartlar listesine eklenebilir. AX =K sistemine, eğer en az bir çözüme sahip ise uyumludur denir. Sistemdeki herhangi bir uyu ş mazlık, eklemeli matris satır indirgemeli oldu ğunda su üstüne çıkar. Uyarı işareti, indirgemenin herhangi bir basamağıııda son kolon dışında sıfır olan bir satım ortaya çıkışında görülür. Buna göre verilen sisteme ili şkin (A IK) eklemeli matrisi sat ırca indirgenerek (B III) matrisi bulunur. Buradan 192

rank (A) = rank (B) = B nin s ıfırdan farklı satırlarının sayısı < (B 111) ın sıfırdan farkl ı satırlarının sayısı = rank (B ILI) = rank (A 1K) dır. Eğer hiç bir zorluk ortaya ç ıkmıyorsa, s ıfırdan farklı r satıra sahip (B IH) sat ır indirgemeli e şelon matrisine vard ır ve bu durumda r=rank (A) = rank (A 1K) = rank (B 1H) dır. Bu durumda BX =H sistemi r denkleme sahiptir ve ve bu denk emler r bilinmiyeni, geri kalan n-r bilinmiyen cinsinden belirtir. ÖRNEK 1. Satır indirgemeli eşelon matrisi olmak /1

—2 0 5 0 0 0 3 013-1002

0 B 11)

(A K)

0 000 0103 0 0 0 0 OO1 o

ko

o o o o o 0 o

üzere AX =K sistemini gözönüne alal ım Buna göre BX =H sistemi xl--2x2 +5x4 = 3 x3 +3x4—x5 = 2 x6 x7

x i = 3+2x2--5x4 ya da x3 =- 2-3x4 -Lx5

3

x6 =3

=--- O

x7 — O_

=

biçimindedir. Buna göre x 2, x4 ve x5 isteksel, yani x2 = c i , x4 = c2, x5 = c3 olmak üzere AX =K sisteminin genel çözümü • 3 +2c1-3c2 el '

—3c,--1--c

x

ç2

C2

c3 3 O 3

2° cı

-

h-

0

0 (3

biçimindedir. 193

Doğal kullanış bakımından bu sistem 3 serbestlik derecesine sahiptir. rank (B) = 4 ve serbestlik derecesi say ısı, bilin.miyen sayısı ile B nin rankı farkına eşittir. TEOREM 5.9.2. A r ranklı bir mxn matrisi olsun. Buna göre AX =K sisteminin uyumlu olması, r =rank (A) = rank (A 1K) olmas ı ile eşdeğ erdir. Bu durumda genel çözümde n—r serbestlik derecesi (ba ğımsı z isteksel sabitler) vard ır. AX =K sisteminin genel çözümü, normal olarak belli isteksel sabitler kapsar, Genel çözümde isteksel sabitlere belli de ğerler vermekle özel çözümler elde edilir. Lineer diferensiyel denklendere gelince durum aynıdı r. AX =K sistemi, K =0 durumunda homogen sistemdir. Bu durumda X =O, daima AX=_ O sisteminin bir çözümü oldu ğundan uyuşmazlık diye bir sorun yoktur. Homogen durumda önemli sorun, s ıfırdan farklı çözümlerin var olup olmamas ıdır. A, n yinci basamaktan bir karesel matris ve rank (A) = n ise, bu durumda det (A) 0 ve A -1 vardır. Kuş kusuz bu durumda tek çözüm olarak X = 0 elde edilir A mxn biçiminde herhangi bir matris ise, tabii olarak (A 10) eklemeli matrisi sat ırca indirgenir. Her ERO son kolonu de ğiştirmiyeceğinden, B eş elon biçiminde olmak üzere sat ır indirgemeli (B 10) matrisine vard ır. r .----rank (A) = rank (B) = B nin sıfırdan farklı satırlar= sayısı olsun. r< n ise, yukarda olduğ u gibi r bilinmiyen, değerleri isteksel olmak üzere geri kalan n-r bilinmiyen cinsinden çözülebilir. r =n ise, bu durumda tek çözüm X =0 dır. TEOREM 5.9.3. A mxn biçiminde olsun. AX =0 homogen sisteminin sıfırdan farkh çözümlere sahip olmas ı, r =rank (A) < n olması ile eşdeğerdir. Bu durumda genel çözümde n-r serbestlik derecesi (ba ğımsız isteksel sabitler) vard ır. Teoremin ko şulları m V2, C:V2 ---> V 3 ve E:V3 — V4 olduğuna göre E (CA) ve (EC)A çarpımlarmm her biri Vi den V4 e bir lineer dönü şümdür. Gerçekten E (CA) (x) = E (CA (x)) = E (C (A (x))) (EC) A (x) = EC (A (x)) = E (C (A (x))) elde edilir İkinci yanlarm e şitliğinden (i) nın doğruluğu göterilmiş olur.

ÖRNEKLER 1. A belli bir V lineer uzay üzerinde bir lineer dönü şüm yani A: V --> V ise A nın kendisi ile sonlu sayıda çarpımı oluşturulabilir. Böylece A nı n kuvvetleri olarak bilinen V üzerinde bir lineer dönü şümler dizisi elde edilir Operatör çarp ımının birleş me özeliğini sağlaması , bu kuvvetlerin her birinin kendi çarpanlarm ın gruplar olu şturmasmda bağımsız olduğunu gösterir ve buradan ku ş kuya yer vermeksizin, n bir pozitif tamsayı olmak üzere bu kuvvetler An ile gösterilir. Böylece Al = A , A2 = AA, A3 = AA2, dır. Ao, V üzerinde özde şlik dönüşümü gösterir, yani Ao = I dır. Ayrıca sıfır olmayan bütün m ve n tamsay ıları için AmAn = AnAm=Aln+n, dıır. 2. D, 6Pİ, polinomlar uzayında (derecesi n den küçük polinomlar den kendisi içine bir lineer uzayı) türev operatörü olsun. O halde D, dönüşümdür ve bunun kuvetleri kısaca ikinci, üçüncü, v.b. basamaktan türevlerdir. Türev i şlemi, sıfırdan farklı her polinomun derecesini bir 258

A(x) = x1 (cc ııwı +•••+(xmlwm)+•••+xn(cc ı n w ı +•••+ocınnwm) = (ixux ı +•••+a ı nxn)wı +•••+(ocmixi+•••+amnxn)wm dır. Bu ifade de kolon vektörü olarak CWK1+•••+ 2 1nXn

C(21X 1 -1- *** -1- CC2nXn

A(x)

(6.6.4)

e'raixi+ • • • +a ınnxn şeklindedir. Buradan V2 deki baza göre yaz ılan A(x) E V2 vektörü, kolonları A(vj) vektörleri olan C( 11 tX12 • . . « in CC 21 °C22 •

• •

'2 211,

(6.6.5) 0:1111

am2 • • • anı n /

(

matrisi ile V i deki baza göre x in koordinat vektörünün çarp ımıdır. i < m, 1 6R2 dönüşümü, orijin etrafında pozitif yönde 0 aç ısı kadar dönme gösteren bir lineer dönü şüm ve e1,e2 de R2 için tabii baz olsun. Bu durumda x' = xcos0 —ysin0 y' = xsin0 +ycos0 dönme deıddemleri nedeniyle

Ş ekil 6.6.1 A(x,y) = (x',y') = (xcos0—ysin0, xsin0-1-ycos0) yazdabilir. Buradan 267

A(e1) =A(1,0) =(cos0,sin0) =(cos0)e 1 +(sin0)e2 A(e2) =(0,1) =(—sin0,cos0) =—(sin0)e (cos0) e2 dır. Buna göre A nın e 1 ,e2 bazma göre matrisi icos0

—sin0

sin0

cos0

şeklindedir. 4. A:V–>V lineer dönüşümü A(v) = av ile tan ımlansın. a eK ve v EV olmak üzere bu dönü şüm bir skaler dönü ş ümüdür. {vi,•..,vn} vektörler cümlesi V için herhangi b;r baz ise A(v j) =avi dır ve buradn bu baza göre A n ın matris gösterimi, kö şegeni üzerinde elemanları a olan nxn kö şegen matrisidir. Gerçekten x =X1V1+X2V2 +.••+XILVn

ve dolayısiyle (A(x) =x1A(v1)± • —+ xn(v n)

eşitliğinden A(v i) =ocv ı =av ı + 0.v2+•••+ 0.v n A(v2) =ocv2 --.----0.vi+ocv2+ • • • O•vn

A(v.) =av n =0.v1 + 0.v2+•••-1--ccvn nedeniyle A dönü şümünün {v 1 ,v2 ,....,v n } bazma göre matrisi (O ' O.

4. O.

.

.

.

'

•

•

.

O . )

X

şeklindedir. Bu matris aI n gösterimine sahiptir. Bu örnekte bazen keyfi olduğuna ve V için bir baz nas ıl ahnırsa alınsın dönüşümün o baza göre matris gösteriminin yine bu şekilde olaca ğına ilgi çekilmelidir. 5. I(x) = x ile tan ımlanan V üzerinde özde şlik dönüşümünün herhangi bir baza göre matris gösterimi Örnek 4 e benzer olark I. şeklindedir. Gerçekten {v 1 ,v2,....,vn } cümlesi V için herhangi bir baz ise x EV için x =x iv i +x2v2 + ... +xnv, ve I(X) =x1I(V İ)+X2I(V2)+•••+XnI(Vn) E V

dır. Buradan 268

I(Vİ) =Vi

=1 .V i+O.V2+ . ••+ 0 •VI1

•

I((v n) =vn =-- 0.v1+0.v2+•••+Lvn nedeniyle I özde şlik dönüşümünün {v 1 ,v2,...,vn } bazma göre matris gösterimi 1

0

(O

I

O

O.

o)

şeklindedir. I:V-.V özdeşlik dönüşümünde V nin farklı iki bazma göre özde şlik dönüşümünün matris gösterimi birim matris olmayabilir. Gerçekten deki doğal baza B i = {e l , e2 } ={(1,0),(0,1)} ve 6R 2 deki ikinci baza B2 ={e 1 ',e'2 } [(cos0, sin0), (-sin0,cos0)} diyelim. R2 deki özdeşlik dönüşümü, B 1 bazlı R2 uzaymdan B2 bazlı 6R2 uzayma bir dönü şüm olarak dikkate almabilir. B 1 ve B2 farklı olduğundan bu dönüşümün matris gösterimi [1:B 1 ,B2 ] ile gösterilir. Şimdi bunu bulmaya çalışalım. xe R2 için x =(x i,x2) = x 1e 1 +x2e2 olmak üzere özde şlik dönüşümü I(x)=x 1I(e 1)-Fx2I(e2) formülü ile elde edilir. Buradan I(e 1)=e i =cos0(cose,sin0)—sin0(—sine,cos0), I(e2) =e2 =sin0 (cose, sin0) cos0 (—sinO, cos0) olduğuna göre dönüşümün matrisi cos0 [1:13 1 ,B2] =

—sin0

sin0)

12

cos0

dır. [1:B 2,B] matrisi; [I:B İ ,B 2 ] matrisinden farkl ıdır ve bunlardan biri diğerinin tersidir. 6. 0(x) = 0 ile tanımlanan 0: VI V2 sıfır dönüşümünün matrisi, dimVi =n, dimV2 =m ise mxn sıfır matrisidir. Gerçekten {v ı ,v2,•••,vn} ve{w 1,w2,...,wm } sırasıyle V i ve V2 için herhangi bazlar olsun.ffuna göre x eV t için x=x 1v 1 +x2x2 +...+xiivn ve 0(x) =x 1 0(v i)+x20(v2)+ . . . -1-x,10(vn) dır. Buradan 269

O (v i) = 0 =

0.w2

...

0.wm

O (v2) = O = 0.w i

0.w2

...

0.wm

0 (v i') = 0 = 0.w i

0.w2

...

0.wm

olduğuna göre 0 sıfır dönüşümünün matris gösterimi

(O O

o

OO

o

o.

o)

şeklinde mxn sıfır matrisidir. 7. D: Tn Tn lineer dönü şümünü gözönüne alalı m. B = xn-1 } eümlesi Pn uzayında doğal baz olsun. Bu dönü şümün matrisini bulmaya çalışalım. f E Tn için f = a l -I- a2x an xn-1 ve D (f) = a i D(1) -I- a2D (x)

anD (xn-1 )

dır. Buradan

D (1) = 0 = 0.1

0.x

0.xn-2

0. xn-ı

D(x) = 1 = 1.1

0.x

0.xn-2

0. xn-ı

D (x2) = 2x = 0.1 + 2.x

0.xn-2

D(xn-1) = (n-1) xn-2 = 0.1 + 0.x

0. xn- ı (n-1) xn-2 o. xn-ı

olduğuna göre D dönüşümünün B bazına göre matris gösterimi

[D:13

O 1 0 O 0 2

0 0

O 0 0 O 0 O

(ıı-1)

o

/

şeklinde nxn türünde bir matristir. 8. A:T3 --> f's dönüşümü 993 de her p(x) için A (p (x)) = (2x 2 = 3). p(x) ile tanımlansm. B i = {1,x,x2 } ve B2 = {1,x,x2,x3,x4 } sırasiyle 1)3 ve Ps de doğal bazlar olsun. Buna göre p(x) E T 3 için p(x) = a l a2x a 3x2 ve A (p(x)) = a iA(1) a2 A (x) a3A (x2) dır. Buradan 270

3=

0.x3

0, x4

A(x) = 2x3 — 3x = 0.1 — 3.x 0.x2 2.x3

0.x4

A(1) = 2 x2

-I- 0.x + 2x2

A(x2) = 2x4 — 3x2 = 0.1 + 0.x — 3.x2 0.x 3

2.x4

olduğuna göre dönüşümün matrisi (-3 0 0 0 -3 0 [A:B 1 ,B2 1 = 2 0 •-3 0 2 0 0 0 2

\1/4

şeklinde 5x3 türünde bir matristir. Şimdi A:V (K) -›- W (K) ve B: W (K) -› X (K) şeklinde iki lineer dönüşüm gözönüne alalım. {v b v2,..., {w ı , w2,..., wm } ve LXl , X2,..., xr } sırasiyle V,W ve X için bazlar olsun. Verilen (aii), (b ij) ve (ei.j ) sırasiyle A,B ve C =BA nın matris gösterimleri ise bu durumda A (Vj) = E akiwx e j= ,2,..., n k=1

B (wk) = E bikxi k 1=1 dır. Buradan C (vj )

= BA (vj) m

= E a kj B

k

k=1

Cii

= E b ı kakj k=1

dersek, C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösterimi, B ve A matrisleriııin çarpımıdır. Benzer olarak iki lineer dönü şümün toplamı, onların matris göşterimlerinin toplamına, bir lineer dönüşümün bir skalerle çarpımı, onun matris gösteriminin bir skaler ile çarp ımıııa karşılık gelir. 271

9 . A : R2 : B : R2_>.6R2 ile tanımlanan lineer dönü şümler sırasiyle A(x 1 , x2) =(y ı , r,)=(x i— 2x2, 2x1 +x2) ve B(y1, y2) = (z i, z2) = (yı + Y2, — Yı + Y2) ş eklinde olsun. Bu iki lineer dönüşüme ilişkin C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösteriminin, B ile A nın matris gösterimlerinin çarpımı olduğunu gösterelim. B i = le l , e2 } cümlesi uzaynıda tabii baz olsun. Buna göre A,B ve C =BA dönü şümleriııiıı matris gösterimlerini bulal ım x=(x i, x2) ER2 için (x i, x2) = x i e i + x2e2 ve A (x l , x2) = x /A. (e l ) + x2A (e 2) dır. Buradan A (el) = A (1,0) = (1-2.0,2.1+1.0) = (1,2) A (e2) = A (0,1) = (0-2.1,2.0+1.1)

(-2,1)

olduğuna göre [A:B 1 ] = (21 —21) dır. Benzer şekilde B (e 1 ) = B (1,0) = (1+0,— 1+0) = (1,-1) B (e2) -= B (0,1) = (0+1,0+1.) = (1,1) olduğuna göre [B:B 1 ] =

1 1 \ —1 1,

dır. Buradan C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösterimi C =BA = [B:B İ ] [A:B ] = (-1 1) ( 21 —21) şeklindedir. Öte yandan C =BA çarp ım dönüşümü

-

( 31 3)

C (x i , x2) = BA (x i , x2) = B (A (x ı , x2)) = B (x 1 — 2x2, 2xi-1- x2) = ( 3x1— x2, x ı + 3x2) şeklindedir. Bu dönü şümün, aynı B i bazına göre matris gösterimini bulalım. C (e 1) = C (1,0) = (3.1-1.0,1.1+3.0) = (3,1) C (e2) = C (0,1) = ( 3.0-1.1,1.0+3.1) = (-1,3) olduğuna göre 272

1 3 -1\ C =BA = k 1 3 şeklindedir.

ALI Ş TIRMALAR 1. Aşağıdaki F dönüşümlerinin lineer olup olmadıklarını gösteriniz ? (i) F (x,y) = xy (ii) F (x,y) = (x+1, 2y, x+y) (iii) F (x,y,z) = ( lx 1,0) iv) F (x,y) = (r,O) = (,\/ x2+ y2, arctan y) (v) F (p,0,9) = (x,y,z) = (p sin 9 cos 0, p sin cp sin 0, p cos 2. V, K üzerinden nxn karesel matrislerin lineer uzay ı ve N de V de keyfi bir matris olsun. AEV olmak üzere T:V -* V dönü şümü T (A) = AN+NA ile tan ımlanıyor. T nin lineer oldu ğunu gösteriniz? v n }, V nin bir bazı 3. V ve U, K üzerinden lineer uzaylar; ve u 1 ,..., un U da keyfi vektörler olsun. F (v 1) = u 1 , F (v2) = u2, ..., F (vn) = u n olacak şekilde bir tek F : V U lineer dönü şümünün var olduğunu ispatlaymız? 4. T: R2-> R lineer dönüşümü, T (1,1) = 3, T (0,1) = - 2 olacak şekilde tanımlanıyor. T (a,b) yi bulunuz? 5. F: V -> U lineer olsun ve vn eV vektörlerinin F (v ı ),..., F (vn) görüntülerinin lineer ba ğımsız olduklarını varsayalim. v 1 ,..., v n vektörlerinin de lineer ba ğımsız olduklarını ispatlayınız? 6. T: R 3 ->

lineer dönüşümü

T (x,y,z) = (x+2y-z, y+z, x+y-2z) ile tanımlanıyor. (i) T nin U görüntü cümlesinin bir haz ım ve boyutunu bul-M:tuz? (ii) T nin W çekirdeğinin bir hazım ve boyutunu bulunuz?

R3

7. Görüntü cümlesi (1,2,0,-4) ve (2,0,-1,-3) ile gerilen bir F: 24 lineer dönüşümünü bulunuz?

8. F: R3 -> R2 ve G: R2 ->R2 dönüşümleri F (x,y,z) = (2x,y+z) ve G (x,y) = (y,x) ile tan ımlanıyor. GF ve FG dönü şümlerini tammlayan formülleri bulunuz? 273

9. T: R2 -R2 lineer dönüşümü T (x i , x2 )= ‘ IY ı , Y2) = (2x 1 +x2, -x l + 2x2) ile tanımlanıyor. (i) Ters dönü şümün varlığını gösteriniz ve ters dönü şümü bulunuz? (ii) (x i, x2) çifti 1: x2 + 2 =O doğrusu üzerinde olmak üzere bütün T (x i , x2) = (y ı , y2) noktalarından oluşan T (1) görüntüsünün denklemini bulunuz? 10. F lineer dönüşümü F (x,y) =

y2

x2

F altında — 8

16

ile tanımlanıyor.

1 elipsinin görüntüsünü bulunuz?

11. R1 uzaymı kendi içine (ya da üzerine) dönü ştüren bütün lineer dönüşümleri bulunuz? 12. a l , a2 , (3 1 ,

p,

gerçel sayılar olmak üzere

A (x i , x2) = (a ix i + a2x2 , (3 ixi + (3 2x2) ile tanımlanan A: R2---> R2 dönüşümü veriliyor. A nın lineer olduğunu ispatlayınız ve A nın tersine çevrilebilir olmas ı için a l , 0(2, f3 ı ,P2 cinsinden gerek ve yeter ko şulları bulunuz? 13. Aşağıda verilen baz çiftlerinin her birine göre verilen lineer dönüşümün matris gösterimini bulunuz? (i) A: R 3 GR 3 ; A (x ı , x2, x3)

(x ı + x2, x ı + x3 , O)

B ı = Standart baz, B2 = 1 (1,1,0), (1,0,1), (0,0,1) } (ii) A: R 3 -> R2 ; A (x i , x2 , x 3 ) = Bı

2 (1,1, w ), (2,-1,-1), (3 2 9

x2, 2x2- 3x3) 2

)

9

B2 - (3 1) (1 5 ) -

9

2

(iü) A: T3--> R l ; A (p (x) ) = jp(x) dx o (a) B i = 1,x,x2 } , B2 = {1} (b) B 1 = {1,x-1,x (x-1) }, B2 = {2} (iv) A: T3 -> T4 ; A (p (x) ) = (x 2-1) p'(x) B ı = {1,x,x2 } , B2 =

(x-1) 2, (X-1) 3 }

14. A: Vi -} V2 lineer ve [A:B 1 , B2] = (a ıi) olarak verildiğine göre V1 de herhangi bir x için A (x) in de ğerini bulunuz? 274

15. A:V3 (R) --> V2(R) lineer dönüşümü A (cc i , a.2, a 3 ) = (0c2, oc3) ile tammlanayor. (i) V3 ve V2 deki standart bazlar ei ve e'l ile gösterilirse bu • bazlara göre dönü şümün, A i matris gösterimini bulunuz? V3(R) deki (2,3,5) vektörünün görüntüsünü bulunuz? (iii) V3deki bir baz B i = { (1,2,0), (-1,1,3),(0,2,4) } ve V 2deki bir baz B2= (1,1), (0,1) olarak al ınırsa bu defa bu bazlara göre dönüşümün A2 matris gösterimini bulunuz ? (iv) (2,3,5) vektörünün, bu defa (iü) deki durumu gözönünde bulundurarak görüntüsünü bulunuz ? 16. Alıştırma 15 de V3(R) deki standart baza B lve V3 (R) deki ikinci baza B2 diyelim. (i) B2 bazh V 3(R) uzayından B / bazlı V3 (R) uzayına özde şlik dönüşümün ilişkin [I: B2, Bi] matris gösterimini bulunuz ? (1,1), B' i = (1,0), (0,1) } bazl ı V2(R) uzaymdan B' 2 = ] matris (0,1) } bazh V 2(R) uzayına özdeşlik dönüşümünün [I: B' i, B' 2 gösterimini bubinuz. [I: B' i, B'2 ] ile [I: B' 2, B' i ]-1 matris gösterimleri arasındaki ilişkiyi belirtiniz ve [I: B' 2, B' i matrisini bulunuz ? (iü) Â, B i bazlı V3 (R) den B' i bazh V2 (R) ye olan dönüşümün matris gözterimi olmak üzere, B2 bazh V 3 (R) den B'2 bazl ı V2 (R) uzayına olan A dönü şümünün matris gösteriminin A = [ I: B' / , B'2] Â

B29 B11

şeklinde üç dönü şümün çarpımı olduğunu gösteriniz? 6.7. D İ FERENS İ YEL OPERATÖRLER

D türev ya da diferensiyel operatörü, 6.2 de görüldü ğü üzere türevlenebilir bir f fonksiyonunu Df=f' şeklinde onun türevi üzerine dönü ştürür. f, [a,b] üzerinde bir kez sürekli türevlenebilir bir fonksiyon, yani fe e l [a,b] ise re e [a,13] olmak üzere D türev operatörü D: el [a,b -* e[a,b] şeklinde bir lineer dönüşümdür. Genel olarak Dn operatörü, Dn: e [a,b ] şeklinde [a,b ] üzerinde n kez sürekli türev lenebilir fonksiyonlar uzay ın' e [a,b ] uzayı içine dönüştüren bir lineer dönüşümdür. Benzer durum D ye göre polinomlar için de do ğrudur. Örne ğin, a2 (x) D 2 -I- a l (x) D ao (x) operatörü de e 2 [a,b ] uzayın' 275

[a,b] uzayı içine dönüştüren bir lineer dönüşümdür. D ve onun kuvvetlerini kapsayan bu türden lineer dönü şümler, lineer diferensiyel operatörler adını alır. Bizleri tabii olarak lineer diferensiyel denklemler kuramma götüren bu çe şit operatörler a şağıda genel olarak tammlanacaktır. f, x in herhangi bir fonksiyonu olmak üzere, örne ğin (a2 D 2 Ha i D a o ) f (x) lineer diferensiyel ifadesinde D 2, D operatörleri, f e 62 [a,b ] fonksiyonu ile çarp ılacak nitelikleri de ğil, bu fonksiyona uygulanacak iş lemleri (türevleri) gösterir. f, x in bir df —d2f, Df = dx , D2f , Dkf dx2 '•.•

dkf • , Dof = lf = f dxk

dır. I, gerçel do ğru üzerinde keyfi bir aral ık olsun. Negatif olmayan her bir n tamsayısı için en(I), I aralığı üzerinde n yinci basamaktan türeve sahip bütün gerçel de ğerli fonksiyonlar uzaynu göstersin. Daha önceden bilindiği üzere bu uzayda vektör toplam ı ve skaler ile çarp ım, I de her x için (f+g) (x) = f (x) + g (x) , (af) (x) = af (x) eşitlilderi ile tanımhdır. ec°(I) c ... e2(i) 61(I) edelim. Kabul nedeniyle 6 0(i) = e dır.

e(i) olduğuna dikkat

(I) TANIM 6.7.1 Bir L: en(I) --> e )(I) lineer dönü şümüne; ao(x),...,

an(x) katsayıları I üzerinde sürekli ve I üzerinde a n(x) 0 olmak üzere (6.7.1) L =an(x) Dn+ a n _ 1 (x) Dn-1 +...+ a l (x) D+ a, o(x) şeklinde ifade edilmesi halinde, I üzerinde n yinci basamaktan lineer diferensiyel operatör denir. Yukarda tanımlanan lineer diferensiyel operatör alt ında 6'1(4 de f fonksiyonunun görüntüsü, dn Lf (x) = a n(x) — f (x) dxn

ao(x) f (x) f (x) a ı (x) d (6.7.2)

ya da kısaca, y =f (x) fonksiyonunun ilk ıı türevi y',...,y(n) olmak üzere Ly = an(x) y (n) +—+ al(x)

e

ao(x) y

(6.7.3)

özdeşliği ile tanındı (I) deki fonksiyondur. (6.7.2) nin birinci yan ı belli bir x noktas ında Lf in de ğ eridir. Lf hazan L (f) ile gösterildi ğinden 276

belli bir x noktas ındaki değeri de (L (f) ) (x) ile gösterilir. Lf (x), ço ğunlukla belli bir f (x) fonksiyonuna uygulanan L lineer dönü şümü olarak adlandırıhr. (6.7.1) lineer dönüşümünde katsayılar x in fonksiyonları olduğundan L dönüşümü, I üzerinde n yinci basamaktan değişken katsay ılı lineer diferensiyel operatör'dür. Katsayılar sabit olmas ı halinde lineer dönüşüm, n y ıncı basamaktan sabit katsayık lineer diferensiyel operatör adını alır. Bu durumda Tanım 6.7.1 de sözü edilen I aralığı , gerçel doğrunun tümüdür. I aralığı üzerinde n yinci basamaktan lineer diferensiyel denklem Ly =b (x) (6.7.4) biçiminde bir operatör denklemdir. (6.7.4) de b, I üzerinde sürekli ve L de I üzerinde n yinci basamaktan bir lineer diferensiyel operatörtördür. (6.7.4) denklemi açık olarak an(x) dx + a n _ 1 (x) d x n .13; + ± ai(x) dx + ao(x) y =b (x) (6.7.5) biçimindedir, b, I üzerinde özde ş olarak sıfır ise (6.7.4) denklemi homogen lineer, aksi halde homogen olmayan lineer diferensiyel denklem adını alır. a n(x) katsayısına L operatörünün temel katsay ısı denir. a n(x), I üzerinde s ıfırdan farklı ise denklem, normal lineer denklem ad ını alır. Sonuç olarak bir y(x) fonksiyonunun (6.7.4) denkleminin bir çözümü olması, y (x) een(I) fonksiyonun I üzerinde denklemi özde ş olarak sağlaması ile eşdeğerlidir. Lineer operatör için basamak tan ımı olduğu gibi, bu operatöre ilişkin diferensiyel denklem için de basamak tan ımı verilebilir: Bir diferensiyel denklemde kapsanan en yüksek basamaktan türeve, o diferensiyel denkkmin basamağı denir. Örneğin, y"+ 5y' + 3y -= 0 , y (4) 4- x2y (3) x 3y =5xex denklemleri sırasiyle ikinci ve dördüncü basamaktand ır. Her ne kadar genel olarak t iirev ya da diferensiyel kapsayan bağıntılara diferensiyel denklem deniyorsa da, örne ğin d ( ain x) d , dv du = cosxesinx — (u v) = u +v dx e dx dx dx 277

gibi türev özdeşlikleri diferensiyel denklemler s ınıfına dahil de ğildir. Esasen bu türden ba ğmtıların da çözümlere ihtiyac ı yoktur. Bu türden ifadele ı de parantez içine herhangi bir fE C'(I) fonksiyonunu yazar ve türevini aldıktan bir tarafa çekersek, elde edilecek dönü şüm eı(i) de her fonksiyonu sıfır fonksiyonu üzerine götürür. ÖRNEKLER 1. n yinci basamaktan D" türev operatörü, keyfi bir I aral ığı üzerinde n yinci basamaktan en basit bir lineer diferensiyel operatör örne ğidir. n =O oldu ğunda D° özdeşlik dönü şümü olur. Genel olarak D", D lineer dönüşümünün n yinci kuvveti olarak düş ünülebilir. 2. Gerçel katsay ıh n yinci dereceden D ye göre herhangi bir polinom, gerçel do ğru üzerinde her aral ıkta n yinci basamaktan lineer bir diferensiyel operatördür. 3. ao(x), I üzerinde sürekli ve özde ş olarak sıfır olmamak üzere I üzerinde s ıfırıncı basamaktan bir lineer diferensiyel operatör L =a0(x) biçimindedir. f,

e (I) de herhangi bir fonksiyon ise Lf (x) = a o(x) f (x)

dönüşümü, tamamen a ove f fonksiyonlarının çarpımıdır. L = ao(x)D° (I) de bir fonksiyon de ğil, bir operatördür. şeklinde yaz ıhrsa a o (x), Belirtelim ki a o(x) f (x) gerçekte üç farkl ı yorum kabul eder: a o(x) ve f (x) fonksiyonlarının çarpımı ya da f (x) fonksiyonuna uygulanan a o(x) operatörünün de ğeri ya da a o(x) ve f (x) operatörlerinin çarp ımı olarak düşünülebilir. Bununla beraber seçilen özel yorumun burada bir önemi yoktur.

e

4. xD 2 + 3 Vx D-1 lineer diferensiyel operatörü, [O, co) ya da bunun herhangi bir alt arah ğı üzerinde ikinci basamaktand ır. Öte yandan (x lx I) D 2— Vx+1 D+ ln (x+1) operatörü (-1,1) üzerinde ikinci ğı üzerinde x+ lx1 in özde ş olarak basmktn,c(—10]alrh sıfıra gitmesi nedeniyle birinci basamaktand ır. Ohalde bir lineer diferensiyel operatörün basama ğı, operatörün cebirsel gösterimine ba ğlı olmakla beraber seçilen aral ığa da bağlıdır. Tamm nedeniyle bir lineer diferensiyel operatör bir lineer dönüşümdür ve uygun ko şullar altında böyle iki operatörün çarp ımı hakkında konuşulabilir. Her ne kadar onların tanım bölgesi ve basama ğı hakkında 278

çok şey söylemek mümkün de ğil ise de böyle çarpı mlar yine lineer diferensiyel operatörlerdir. Genel olarak bu türden operatörlerin çarp ımı değişme özeli ğini sağlamadığmdan üzerlerinde rahat bir şekilde oynamaz. Örne ğin (xD+2) (2xD+1) gibi bir çarp ım, xD+2 ve 2xD+1 ifadelerini cebrin do ğal kurallarına göre çarpmakla bulunamaz. cebrin kurallarına göre işlem yaparsak (xD+2) (2xD+1) = 2x2D2 + 5xD+2 şeklinde elde edilen sonuç do ğru de ğildir. Doğru cevap, a şağıdaki işlemlerden görülece ği üzere 2x 2D 2 + 7xD+2 dar: (xD+2) (2xt+1)y= (xD+2) (2xy'+y) xD (2xy'+y) -I- 2 (2xy'+y) x (2xy"+3y') 4xy'+2y 2x2y"-F 7xy' 2y Bununla beraber sabit katsayık operatörlerin çarp ımı, operatörler D türev i şlemine göre polinomlar olsa da cebrin tabii kurallar ına uyar. Bu durum gerçel sabit katsay ıh bütün lineer diferensiyel denklemleri rahatlıkla çözebilmemizi mümkün kılar. (6.7.5) lineer diferensiyel denkleminde, ba ğımlı değişken y ve onun çeşitli türevlerinin sadece birinci dereceden ve katsay ılarm sadece x in fonksiyonu olduklarına ilgi çekilmelidir. Bu şartlar sa ğlanmadığı takdirde operatör lineer olmayan operatör ve bu operatöre ili şkin denklem de lineer olmayan diferensiyel denklem adını ahr. Lu bir lineer olmayan operatör ise Lu =h (x) bir lineer olmayan denklemdir. Lu bir lineer operatör olmas ı halinde sıırasiyle homogen ve homogen olmayan Lu=0 ve Lu,=h (x) denklemlerini incelemek kural gere ğidir. Lineer olmayan denklemler için homogen terimi kullanılmaz. Bu zaman Lu =0 denklemi sıfır denklem (null equation), Lu =h (x) denklemi de tam denklem (complete equation) ad ım alır. L=

d2

dx2

2

operatörü lineer oldu ğu halde L =(

d ) operatörü linedx 2

er olmayan bir operatördür. Gerçekten Lu = (dx d ır. Buradan dx

2 L (au+bv) = E (au+bv) dxd

1

adu dx

bdv 1 dx

2

279

a2

2

/du

2ab

du dv

dx dx

/dv b2crx–

aLu + bLv oldu ğundan lineer Bir operatörde A (u,v) = L (u+v) – [ L (u) + L (v) ]

(6.7.6)

farkına L operatörünün lineer sapman denir. Buna göre yukardaki 2

d dx

L=

operatörünün lineer sapması

u,v = 2

du dv dx dx

dır. Çok karşılaşılan bir ya da daha fazla de ğişkenli lineer olmayan operatör örnekleri verelim: du dx -4- Q (x) u+R (x) u2, = —

Lu

d2u 1u ıd dx2 dx

■2

du f (x) dx

g (x) u '

b

Lu = K(x,$) u (s) u (s+x) ds,

Lu

1 du u dx + A (x) B (x) u + f K (x,$) u (s) ds, — a

i ou

L==

2

b b

K (x,y;s,t) u 2(s,t) dsdt,

Lu = u (x,y) + a

Lu =

280

azu 82u 82u ay2 + ax2 + —

Keu

Lu =h (x) lineer olmayan denklemini sa ğlayan bir u (x) fonksiyonu varsa denldem bir özel çözüme sahiptir denir. Daha fazla fonksiyon denklemi sağlarsa denklem çe şitli çözümlere sahiptir. dy Örneğin (x2+ v2) = xy lineer olmayan bir denklemdir. Bu denk.' dx km çözüm olarak, 2y2lncy—x2 =--0 kapal ı fonksiyonu ile tanımlanan y fonksiyonuna sahiptir. 2 3 [(d d -7: ) 4- İ = r2

(ddx'r 22

)

lineer olmayan denklemi bir özel çözüm olarak (x—a) 2 -F- (y—b)2 = r2 şeklinde iki parametreli çember ailesine sahiptir. Denklem ayr ıca y = ix aykırı çözümlere sahiptir. Bu fonksiyonlar diferensiyel denklemin tüm çözümleriııi oluşturur. Bu yüzden bir diferensiyel denklemin tüm çözümleri daima bir tek formül ile elde edilemez. Ancak lineer diferensiyel denklemler, kapsad ığı operatörün lineer olmas ı nedeniyle, bu aç ıklamanın dışında özel durumlara sahiptir. Operatörler üzerine dururken derece kavrammdan da söz etmek gerekiyor. Operatörlerin derece ile ili şkisi olduğu gibi diferensiyel denklemlerin de derece ile ili şkisi vardır. Bir diferensiyel denkkmin derecesi diye, bilinmiyen fonksiyon ve onun türevlerine göre bir polinom olarak yaz ılabilen diferensiyel denklemin kapsadığı en yüksek basamaktan türevini kuvvetine denir. Örneğin (y")3+ 3y (y')7 -F y3612 =

3x '3Ni(dx 2Y2) 2 =

(cIfc ) 2

denklemleri sırasıyle üçüncü ve dördüncü derecedendir. İkinci denklemin 3

İ d2y 4

kdX2i

[1+

(d d ı x- )2]

şeklinde yazılabileceğine ilgi çekilmelidir.

Bir diferensiyel denklem basama ğına göre sımflandırdabildiği halde derecesi ile s ınıflandırılamaz. Örne ğin

ey

d2v

dv + 2 .1 = 1 dx2 dx

denkleminin derecesi yoktur. Çünkü bu denklem eY teriminden dolay ı bilinmiyen y fonksiyonu ve onun türevlerine göre bir polinom olarak yazılamaz. Bunun gibi 281

xy"+ x2y'-- (sinx) = x2- x+1, y (4) 4_ xy" '+ x2y"-xy' + siny =O, sin İ dy \ = dy + x + 5 kx dx f d denklemleri sırasiyle

V37,

siny ve sin

) den dolayı derecesiz

denklemlerdir. Sonuç olarak iki operatörün e şitliğ inden söz edelim: x in herhangi bir u (x) fonksiyonuna uygulandığı zaman aynı sonucu veren iki operatöre eşit operatörler denir, Örne ğin, D2- (a+b) D+ab = (D-a) (D-b) = (D-b) (D-a) 2x2D2+ 7xD + 2 = (xD + 2) (2xD + 1) = (2xD + 1) (xD + 2) D2- (x2+ x) D- (2x-x 3) = (D-x) (D-x 2) (D-x2) (D-x) x2D2+ (5x-x2) D + (3-2x) = (xD+1) (xD+3-x) (xD+3-x). (xD+1) gibi. M,N x in fonksiyonları olmak üzere x2D2+ x (M+N+1) D+ (MN+xN') (xD+M) (xD+N) # (xD+N). (xD+M) dır. Örneğin, x2D2+ x2D- (x+2) = (xD-2) (xD+x+1) M, N x in fonksiyonları ve c bir sabit ise MD2 + (Mc+N) D+cN = (MD+N) (D+c) # (D+c) (MD+N) dır. Örneğin, x3D2+ (x3- x2) D-x2 = (x3D-x2) (D+1) M, N x in fonksiyonları olmak üzere M2D 2+ (MM' + 2MN) D+ (MN'±N 2) = (MD+N) (MD+N) dır. Örneğin, D2- 6x2D+ (9x4- 6x) = (D-3x 2) (D_3 x2) M, N, R x in fonksiyonları olmak üzere RD2+ (R'+N+MR) D+ (N'+MN) = (D+M) (RD+N) (RD+N) (D+M) dır. Örne ğin, 282

xD2 + (3x3 + 4) D-F9x2 = (D+3x2) (xD+3). Bu örnekler, verilen lineer diferensiyel operatöriin çarpanlar ına ayrılmasma ilişkin özel durumlard ır. Gerçekten i 1, i2,..., in; 1,2,...,n sayılarmm bir permütasyona ve j i j 2,..., j n de aynı sayıları diğer bir permütasyonu olmak üzere L 1 , L2,..., Ln sabit katsayılı lineer diferensiyel operatörler ise Li ı Li2..• Lin = Lj ı Lj2... Lin

(6.7.7)

dır. Ancak operatörlerden bir tanesi değişken katsay ıh olması halinde (6.7.7) eşitliği daima doğru değildir. Çünkü de ğişken katsayılı bir lineer diferensiyel operatörü, verilen operatörü verecek biçimde her zaman çarpanlarma ay ırmak mümkün değildir. Çarpanlarma ayırmak mümkün olsa bile değişken katsayılı lineer diferensiyel operatörlerin çarp ımı genel olarak de ğişme özeliğine sahip değildir. a ıxD-Fao şeklinan sabitler olmak üzere a nxnDn+... de yazdabilen bir lineer diferensiyel operatöre eş boyutlu (equidimensional) ya da Euler operatörü denir. Euler operatörü daima çarpanlarma ayrılabilir ve çarp ım değişme özeliğini sağlar. İki lineer diferensiyel operatörün eşitliği başka bir anlat ım ile aşağıdaki şekilde verilebilir: m L i = E a k(x) Dk ve L2 = E bk(x) Dk k=1

k=1

operatörleri, I arah ğı üzerinde lineer diferensiyel operatörler olsun. L ı = L2 olması, m =n ve her k için ak(x) = b k(x) olması ile eşdeğerlidir. Diferensiyel denklem kurammdan bilindi ği üzere, önemli uygulamalara sahip olan Euler operatörüne ili şkin (xnpn+ an_ixn- ı D n-1-1-

a ixD

ao) y =b (x)

(6.7.8)

Euler denkleminin çözümü, zincir kural ın kapsayan basit i şlemler sonucunda bulunabilir ise de, ilginç bir yol olarak dönü şüm kapsayan farklı bir görü ş yardımiyle de bulunabilir. TANIM 6.7.2. en(-- °o, oo) lineer uzay ından en(0, co) lineer uzay ına olan N dönüşümü N : e n(_ 00 , co) en(0, 00) g ---> Ng (Ng) (x) = g (lnx) ile tanımlanan bir dönüşüm olsun. 283

örne ğin, N (2x) = 21nx =1nx 2 N (e- 3x) = e-31nx = e ın(x-3) = N (sin3x) = sin (31nx) = sin (lnx 3) N dönüşümü arzulanan baz ı özeliklere sahiptir. TEOREM 6.7.1. N dönüşümü lineerdir ve tersine çevrilebilir. Ispat. 00 olduğunda a 1 (x) D+1 ve b, (x) D -I- 1 lineer diferensiyel operatörlerinin çarpımmı bulunuz ve böyle iki operatörün çarp ımının basama ğınm, çarpanlarm basamaklar ı toplamı olup olmadığı hakkında ne söyleyebilirsiniz? (b) Bir I aralığı üzerinde tanımlı iki lineer diferensiyel operatörün çarpımmın aynı aralık üzerinde tammh olmas ı gerekmeoli ğine ilişkin bir örnek veriniz? 6. (a) a ve b sabitler olmak üzere (aDm) (bDn) = (bD") (aDm) = abDm+n olduğunu gösteriniz? (b) a (x) in gerekli bütün türevlerinin var ve sürekli oldu ğunu varsayarak Dm (a(x) D") çarp ımırıı, D ye göre bir polinom (standart form) olarak yazmak suretiyle m+n yinci basamaktan bir lineer dirensiyel operatör oldu ğunu gösteriniz?

7. Aşağıdaki lineer diferensiyel operatör çiftlerinin L1+ L2 toplamı:tl bulunuz? (a) L 1 = 2xD+3 , L2 = xD-1 (b) Li =exp2+ D , L2 =e—xD2_D (c) L1 =xD+1

, L2 =Dx

8. Aşa ğıdaki sabir 'katsayıh lineer diferensiyel operatörlerin her birini, daha alt basamaktan indirgenemeyen çarpanlarm çarp ımına ayınnız? (a) D 3-3D 2+4

(d) D 4-1

(b) 4D4+4D 3-7D 2 +D-2 (e) D 4-4D 3 +14D2-20D+25 (c) D 4+1

(f) D 5-1

9. Aşağıdaki değişken katsayıh lineer diferensiyel operatörlerin her birinin, çarp ım verilen operatörü verecek biçimde daha alt basamaktan çarpanlar ına ayırmız 288

(a) x2D 2—xD+1 (b) x2D2 +(4x+x2)D+2±2x (e) x2D2 + (4x3 + x)D+ (4x4 + 4,2) (d) x2D2 + (5x+ 2x3)D + (6 x2+ 3) (e) xD2 +(3-2x2)D-4x (f) x3D 2 +(5x3—x2)D+(6x 3_2x 2) 10. Aşağıdaki eşitliklerin varlığını gösteriniz ? (a) D2 f(x)g(x) = f" (x)g(x)+21"(x)g'(x)+f(x)g"(x) (b) D 3 f(x)g(x) = f" '(x)g(x)+3f"(x)g'(x)+3f'(x)g"(x)+f(x)g"'(x) Da f(x)g(x) hakk ında ne söyleyebilirsiniz ? 11. Alıştırma 10 u kullanarak a şağı daki lineer diferensiyel operatörlerin her birini a n(x) Da+ ... a 1 (x) D+ao (x) standart formunda yazınız ? (a) D 3(xD)

(e) D5(xD2+ex)

(b) Dm(xD)

12. D ve L,

e- [a,b] de her y için x

D (y) = dx y , L (y) =

y (t) dt

şeklinde eccla,b I üzerinde s ırasiyle türev ve integral alma i şlemlerini göstersin. n negatif olmayan tamsay ı olmak üzere LaDa ve DnLn nin değerlerini bulımuz ? 13. Herhangi negatif olmayan k ve m tamsay ıları için k m!

xk-m

k

olduğunu ispatlaynuz ? 14. (a) Herhangi k gerçel say ısı için (xmDm) xk = k (k-1) ... (k— +1) olduğunu ispatlay ınız

,(k

(b) an, al, a2 sabitler ve k herhangi bir gerçel sayı olmak üzere (a2x2D2+ a1 xD+ao) xk = fa ,,k (k--1) + a 1k+ao ] xk olduğunu ispatlaynuz ? 289

(e) (xD) (x 3D 3)

(x3D 3) (xD) olduğunu ispatlayınız)

(d) k keyfi bir gerçel say ı ve L Euler operatörü olmak üzere Lxk n ın de ğerini bulunuz ? 15. *, Sr, t ye göre türevler ve x (t) = (x (t), y (t) ) olmak üzere = y, y = — x lineer sistemini; (a) A (t) katsay ılar matrisi olmak üzere i =A (t) x şeklinde yazınız ? (b) D türev operatörü ve J (D) matris operatörü olmak üzere (D) x =0 şeklinde yazımz? (e) j (D) matris operatörünün lineer dönü şüm olduğunu gösteriniz ? 16. x (t) = (x 1 (t), x2(t) olMak üzere

x n(t) ) n boyutlu vektör fonksiyonu

a nx i + a 12 x2+ ••• ainXn a21x i + a22x2 + + a2nx,

xn = an ixı + a n2x2+

annx n

lineer sistemini; (a) x = A (t) x şeklinde yazınız?. (b)

j (D) x =0 şeklinde yazınız ?

(e)

k

(D) nın lineer dönü şüm olduğunu gösteriniz ?

17. N dönüşümünü kullanarak aşağıdaki Euler denklemlerinin genel çözümierini bulunuz ? (a) (x2D 2+ a txD+ao) y =O

(genel olarak)

(b) (x2D 2— 3xD+7) y =O (e) (x3D 3— 2x2D2— 17xD-7) y =0 (d) (x 3D 3 + 4x2D2+xD+ 1) y =x 6.8. Lİ NEER FONKS İYONELLER V, K skaler sistemli bir lineer uzay olsun. Bir cp : V --> K lineer dönüşümii, V üzerinde bir lineer fonksiyonel ( ya da lineer form) adını 290

alir. K kendisi üzerinden bir boyutlu lineer uzayd ır. Her cp: V —> K dönüşümünün bir lineer fonksiyonel olmayaca ğı açıktır. Ancak cp dönüşümü bir lineer dönü şüm ise cp bir lineer fonksiyoneldir. V üzerinde keyfi lineer dönüşümler için bütün teorem ve sonuçlar bu özel durum için geçerlidir. Bununla beraber bu özel dönü şümler, genel duruma uygulanmayan yeni kavram ve sonuçlara neden oldu ğundan bu önemi nedeniyle ayrıca inceleniyor. "Fonksiyonel" sözcü ğünün kökeni integral denklemler kuramma dayan ır. Bu yüzden fonksiyonel sözcü ğü, eleman ter anlamda sayılar cümlesi üzerinde tan ımlanan bir fonksiyon ile fonksiyonlar cümlesi üzerinde tan ımlanan fonksiyonel kavramlar ı arasındaki ayrıcahğı vurgulamak için kullan ılmıştır. Buradan her skaler değerli (sürekli) fonksiyon bir fonksiyoneldir. Ancak her fonksiyonelin de bir lineer fonksiyonel olmas ı gerekmediğine ilgi çekilmelidir. Lineer fonksiyonel kavram ı, sadece integral kurammm incelenmesinde değil aynı zamanda sonlu boyutlu uzaylar ın irdelenmesinde, çeşitli matematiksel yap ıların gösterim kurammda kullanışlı temel araçlardan biridir. Ayr ıca çe şitli sonsuz boyutlu uzaylarda da lineer fonksiyonel kavram ı söz konusu olmakla birlikte baz ı temel kavramları da beraberinde getirir. V den K içine bütün lineer dönüşümlerin cümlesi (qo i + cp2) ( (v) = cp i(v)

cp2(v) ve (kcp) (v) = k cp (v)

ile tanımlanan toplama ve skaler ile çarpmaya göre K üzerinden yine bir lineer uzayd ır. Bu uzaya V nin eşlenik uzayı (V nin dual uzaya ya da V nin cebirsel eşleniği) denir ve V* ile gösterilir. V* m elemanlar ına V üzerinde lineer fonksiyonel denir. c,o, V * ın ve v de V nin bir eleman olsun. cp (v) yi simgeleri ile göstermenin büyük yararları vardır. cp i, c,o2 e V*ise (cp i + cp2) (v) = cp i(v) 92(v) ve kEK ise (kcp) (v) = kcp (v) d ır. Başka bir deyimle = = k yazılabilir. Ayrıca v i, v2 EV ise

(6.8.1)

= +- kv> = k

(6.8.2)

dır. (6.8.1) özelikleri V*m bir lineer uzay ve (6.8.2) de cp nin bir lineer fonksiyonel oldu ğunu gösterir. Böylece simgesinde iki bile şenin 291

farklı uzaylarda bulunmas ı ayrıcalığı ile iç çarp ımda olduğu gibi aynı gösterimi kullanmış oluyoruz.

ÖRNEKLER 1. cp: K dönüşümü q> (x l ,..., x„) = x 1 ile tanımlanan izdü şüm dönüşümü olsun. u, veKn içiıı cp (au+bv) = au j +bvi = a cp(u)+bcp(v) nedeniyle cp, Kn üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Benzer biçimde her bir i = n için cp, (x 1 ,..., xn) = x, ile tanımlanan i yinci cpi izdüşüm dönüşümü de Kn üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. 2. V, K üzerinden iç çarp ımlı bir lineer uzay ve v o eV olsun. Bu durumda v ---> dönüşümü bir lineer fonksiyoneldir. Gerçekten u, veV ve a,bEK için cp (au+bv) = -=

a b = a (u) bqı (v)

dır. 3. V, n > 1 olmak üzere Wn ya da Cn olsun. V üzerinde bir lineer fonksiyonel bir lin.eer dönüşüm olduğundan onun görüntü cümlesi, V nin Wn ya da Cn olmasına göre bir boyutlu /? ya da C -uzayıdır. Her cpcV* lineer fonksiyoneli, a n skalerler ve v = (x 1 ,..., xn) olmak üzere

cp

(v)

= a lx,+...+ anxn

gösterimine sahiptir. Bu lineer fonksiyonel, K ıl (Rn ya da Cn) de s ıralı standart baz ve K (y? ya da C) 11} bazma göre (a 1 ,..., a n) matrisi ile gösterilen lineer fonksiyoneldir. Gerçekten v=(x i,..., xn) ve v=x j.e i x2e2 x ne n dır. Buradan cp (v) =x i cge,) xn9 (en), j =1,..., n. için cp (ei) = aj= aj. 1 d ır. Herhangi a l ,..., a n skalerleri için Kıl de her lineer fonksiyonel bu biçimdedir. Yani cp (ei) = aj olarak tanımlar ve lineerlik kullarahrsa cP (v) = cp (x j ,..., x n ) = cP (

xjej) = E xicp (ei) = E ajx j

şeklinde aynı lineer fonksiyonel elde edilir 4. V, [0,1] arah ğı üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonları lineer uzayı olsun. Yani V= e ( [0,1], R) dır. feV için (f) = 292

o

f 1 f(t) dt

formülü ile tanımlanan dönüşüm V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Eğer fo, V nin belli bir elemanı ise L (f) =

oJ

fo(t) f (t) dt

ile tanımlanan dönüşüm de V üzerimde bir lineer fonksiyoneldir. V= e [a,lı ], R) olmak üzere feV için (

L (f) =

aJ

f (t) dt

ile tanımlanan dönüşüm, e [a,13 ] üzerinde bir lineer fonksiyoneldir ve matematikte son derece önemli lineer fonksiyoneldir. 5. V= e ( [0,1], R ) olsun. s: V dönüşümü 8 (f) = f (0) ile tanımlansın. 8 dönüşümü fı, f2eV ve a,beR için b 8 (f2) (afi bf2) = (afı bf2) (0) = afı (0) bf2 (0) = a 8 (fı) olduğundan lineer fonksiyoneldir. Bu lineer fonksiyonel Dirac fonksiyoneli olarak bilinir 6. V, karmaşık sayılar üzerinden bir lineer uzay olsun ve V nin bir hermitiyen çarp ıma sahip olduğunu varsayalı m. Buna göre v .-> ya da qi (v) = dönüşümü bir lineer fonksiyoneldir. Bununla beraber v dönüşümü, u, veV ve a,beC için cp (au+bv) = = b = (u) 13 cp (v) olduğundan bir lineer fonksiyonel de ğildir. Bu fonksiyonele ters lineer ya da yara lineer fonksiyonel denir. 7. V, K üzerinden nxn karesel matrislerin lineer uzay ı olsun. A= (ajj) ve AeV olmak üzere T: V --> K iz dönüşümü n

T (A) = trA = a ı i + a22+ ••• a nn = E aıı i=1 şeklinde bir A matrisine, onun kö şegen üzerindeki elemanlar ının toplamını karşılık getiren bir dönü şümdür. Bu dönü şüm tr

(OLA

± 13B) =

i=i

phii) 293

= a Z ai i 4-

pE

b il = atrA

PtrB

olduğundan lineerdir. 0 halde iz fonksiyonu, Knxn ile gösterilen nxn karesel matrislerin lineer uzay ı üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. TEOREM 6.8.1. V, K üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. Bu durumda V* e şlenik uzayı da sonlu boyutludur ve dimV = dimV* dır. Ispat. v n }, V nin bir baz ı olsun. Buna göre V* in bir babulaca ğız. zmı Kesim 6.2 ve Kesim 6.6 da Al ıştırma 3 nedeniyle her bir i = 1, n için

1, i =j - = ci cdpn, Vi> = ci K dönü şümü v (cp) = cp (v) ile tammland ığma göre öncelikle v dönü şümünün lineer oldu ğunu gösterece ğiz. a, b e K, u, v e V ve herhangi bir cp e V* iineer fonksiyoneli için av+bw (9) = 9 (av H- bw) = a cp (v) + b 9 (w) = av (9) + bw (9) = (av + bw) (9) İ\ dır. Her cp e V* için av+bw (9) = (av bw) (cp) oldu ğundan aVI-bw = av bw dır. O halde v-v dönüşümü, V den V** içine bir lineer dönüşümdür. v 0 olmak üzere v e V oldu ğunu varsayalım. Bu durumda cp (v) 0 olacak şekilde bir cp E V* lineer fonksiyoneli vard ır. Buradan 'V (9) = 9 (v) / 0 ve böylece V' # 0 dır. v 0 olması 'v 0 olmasını gerektirdiğinden v "v dönü şümü düzenlidir. Öte yandan V sonlu boyutlu olduğundan dimV = dimV* = dimV** dır. Buradan bu dönüşüm tersine çevrilebilir. Ohalde v -> v dönü şümü V nin V** üzerine bir şekil benzerliğidir. v -* v dönüşümüne V nin V** içine tabii dönü şümü denir. V sonlu boyutlu de ğilse bu dönüşüm kesinlikle V** üzerine de ğildir, ancak daima lineerdir ve bire birdir. Şimdi lineer fonksiyoneller ile alt uzaylar ı arasındaki ilişkileri irdeleyelim. 9 sıfırdan farklı bir lineer fonksiyonel ise, cp nin görüntü cümlesi skaler alanın sıfırdan farklı alt uzayı olduğundan cp nin rankı 1 dır. V sonlu boyutlu ise dimKer 9 = dimV — 1 d ır. n boyutlu bir lineer uzayda ii-1 boyutlu bir alt uzaya bir hiper uzay denir. Böyle uzaylar çoğunlukla hiper düzlemler olarak adland ırılır. Yani V sonlu boyutlu 298

olmak üzere V nin bir hiper düzlemi, V üzerinde s ıfırdan farklı bir lineer fonksiyonelin çekirde ği ya da sıfır uzayı olarak tanımlanır. Buradan her hiper uzay, bir lineer fonksiyonelin s ıfır uzayıdır. Aşağıda görece ğiz ki n boyutlu bir uzayın her bir r boyutlu alt uzay ı, (n—r) lineer fonksiyonelin s ıfır uzaylarının kesişimidir. TANIM 6.8.1. S, V nin bir alt cümlesi (bir alt uzay olmas ı gerekmez) olmak üzere her v e S için 9(v) = = 0 yani c,o(S) -= {O} oluyorsa cp lineer fonksiyonelinc S ye ortogonaldir ya da cp, S in bir sıfırlayant (annihilator) dır. S ye ortogonal cp E V* elemanlar ının ciimlesine S in ortogonal tümleyeni ya da S in sıftrhyan ı denir. S-L ya da S° ile gösterilen bu cümle S-L = S° = {cp E V* : Her v e S için cp(v) = 0} ş eklindedir. S in her eleman ı, S ile gerilen. V nin alt uzayına ortogonaldir ve S cümlesi V* ın bir alt uzay ıdır. Gerçekten 0 E S-L d ır. Öte yandan y ı , qı2 E S-L olmak üzere herhangi a, b E K ve herhangi v e S için (a cp ı

cp2) (v) = a (v)

b cp2(v) = a .0 -F b 0 = O

olduğundan acp ı b cp 2 e S-L dır ve bu yüzden S-L , V* in bir alt uzayıdır. S sadece sıfır vektöründen olu şuyorsa Sl = V* dır. S = V ise bu durumda S-L , V* in s ıfır alt uzayıdır. V sonlu boyutlu ise bunun böyle olduğunu anlamak son derece kolayd ır. Tanım 6.8.1 de belirtildi ği üzere S, V nin bir alt uzayı olması gerekmez, ancak S, V nin bir alt uzay ı ise S ile Sl aras ında önemli bir ilişki vardır. TEOREM 6.8.5. V, K üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay ve W de V nin bir alt uzayı olsun. Bu durumda (i) dimW

dimW-L = dimV

(ii) W-L-L = W dır. Burada WLL = tv e V: Her cp e W-L için sc.(v) = 0} ya da WI nin bir alt uzayı olarak dü şünülmek üzere = (W-L d ır.

'L ,

V

Ispat. (i). dimV = n ve dimW = r < n oldu ğunu varsayan'''. Buna göre wr } badimWi = n — r olduğunu göstermek gerekir. W nin bir zını seçelim ve bu bazı V nin bir v ı ,..., v n_r } bazma geni ş299

letelim. İ ,•••, cPr, (1) 1,•••, On__r} e şlenik hazım gözönüne alalım. Eşlenik bazın tanımı nedeniyle (I) lerin her biri, her bir wi yi s ıfırlar. Buradan (I:o n...s E W-1- dır. Şimdi j(I)j} nin W' nin bir baz ı olduğunu göstermemiz gerekiyor. V* in bir bazının parçası olduğundan lineer ba ğımsızdır. Şimdi de j(1)i} nin Wl yi gerdi ğini gösterirsek (i) nin ispatı tamamlanmış olacak. Ğ E W-L. olsun. Teorem 6.8.2 nedeniyle (1)(w i ) 9 1 + • • • + D(w r ) (Pr P(v ı ) D 1 + • • • + 0(vn_r) ('n-r = O. cp i 4- ... 421)(v n_r ) On_r 0.cpr eto(v i ) (D i (I)(v ı )

41)(v ii_r)

dır. Ohalde cümlesi W-Lyi gerer ve dolay ısiyle bu cümle W-L nin bir baz ıdır. Buradan dimW-1- = n — r = dimV dimW dır. (ii). dimV = n ve dimW = r olsun. Bu durumda dimV* = n ve (i) nedeniyle dimW = n — r dır. Wl, V* ın bir alt uzay ı olduğundan yine (i) nedeniyle dimW- L dimV* dır. Buradan dimW.u. = n — (n. — r) = r olmas ı nedeniyle dimW = dimW'-' d ır. W, in bir alt uzayı olduğundan (Ahştırma 10) W = Wı-L. dır. SONUÇ 1. W, n boyutlu bir V lineer uzay= r boyutlu bir alt uzayı ise bu durumda W, V de (n—r) hiper uzay ın kesişimidir. Ispat. Bu sonuç, kendi anlatımmın dışında Teorem 6.8.5 in ispatınm bir sonucudur. Teoremin. ispatmda W, j = 1,2,..., n—r için (10,i (w) = 0 olacak şekilde w vektörlerinin cümlesidir. Buradan r = n —1 ise W, 413. 1 ın sıfır uzayı, r = n — 2 ise W, (Il i ve 11) 2 nin sıfır uzaylarının kesişimidir. SONUÇ 2. W 1 ve W2, sonlu boyutlu bir lineer uzayın alt uzayları ise W 1 = W2 olması W i = W2 olması ile eş değerlidir. Ispat. W2 = W2 ise W ij" = W2i olacağı açıktır. W 1 W2 ise bu durumda iki alt uzayın biri diğerinde olmayan bir vektör kapsar. Bir a vektörünün W2 de bulunduğunu ancak W 1 de bulunmadığını varsayalım. Bu durumda Teorem 6.8.5 ve dolayısiyle Sonuç 1 nedeniyle W 1 şekilde bir y lineer fonk-dehr[3içny(P)=0ackpol siyoneli vardır. Buradan cp, W2-1- de olmayıp VI; dedir ve dolayısiyle W'L

W.L dır. 2

Bir sıfırlıyan kavramı, bir homogen lineer denklem sisteminin bir diğer yorumunu vermemize imkan verir: 300

a ux ' + a 12x2 + a ı nx, = O a21x 1 + a22x2 + • • . a2nxn = O. am1x1

am2x2 + • • • + amnx n = O

A = (aii) katsayılar matrisinin her bir (a it , ai2,•••, ai n) satırı Kn in bir eleman ve her bir cp = (x 1 ,..., x,i) çözüm vektörü de e şlenik uzayın bir eleman olarak dü şünülebilir. Bu nedenle (*) in S çözüm uzay ı, A nin satırlarmın sıfırlıyamdır ve buradan A n ın satır uzayının sıfırlı yamdır. Sonuç olarak Teorem 6.8.5 nedeniyle bir homogen lineer denklem sisteminin çözüm uzayının boyutuna ilişkin dimS = dimKn — dim (A nın satır uzayı) = n — rankA sonucu yeniden elde edilir. ainxn Öte yandan i=1,2,..., m için cp i(x ı,..., xn) = a i ıx ı + ile tanımlanan cpi fonksiyonelleri Kil üzerinde fonksiyonellerdir. i =1.2 m ve her acKn için cpi(a) = 0 olacak biçimde K" ın alt uzayı, çözüm uzayıdır. cp ı ,..., ıpm ile sıfırlanan bu alt uzay S=

oceKn: oceKn için cpi(oc) = 0}

şeklindedir. cp lineer fonksiyonelinin a vektörü ile gösterildi ğine ilgi çekilmelidir. Kaysayılar matrisinin satır kanonik formuna indirgenmesi bizlere bu alt uzay ı bulmada bir yöntem verir. Çözüm uzaym ın; cp 1 ,..., cpm tarafından s ıfırlanan K" nin bir alt uzayı olduğu açıktır.

ÖRNEK 1 (x ı ,x2,x3,x4 )= x ı + 2x2 + 2x3 + x4

2(x 1 ,x2,x3,x4)=--- 2x 2 ±x4

cp

cp 3 (x 1 ,x2,x3,x4) — –2 x ı-4x3 + 3x4 şeklinde R 4 üzerinde üç lineer fonksiyonel veriliyor. y ı , cp2, cp 3 tarafından sıfırlanan alt uzayı (çözüm uzayı) bulalım. Alt uzay, katsayılar matrisini satır indirgemeli eşelon matrisine indirgemekle bulunabilir: A

1 2 2 1 (O O 2 0 -4 3

1 0 2 O O)

(olo

-O 0 0 1

olduğuna göre g ı (x ı ,x2,x3,x4) = x ı +2x3 g2(x 1 ,x2,x3 ,x4) = x2 3(x ı ,x2,x3,x4) = x4 g

301

lineer fonksiyonelleri (V)* ın aynı alt uzayını gerer ve 9 ı , 92, cp 3 tarafından sıfırlanan 6R 4 ün aynı alt uzayını sıfırlar. Buradan s ıfırlanan alt uzay S=

x 3 ER }

ş eklindedir. dimS =dim V–rank A 1=4-3 =1 dır.

6.9. B İ R Lİ NEER DONÜStIM İ.S TRANSPOZES İ VE ADJOİNTİ V ve U, K üzerinden lineer uzaylar ve T de T:V -* U şeklinde keyfi bir lineer dönü şüm olsun. Bu durumda T, a şağıda olduğu gibi U*dan V*içine bir lineer dönü şüm ortaya çıkarır. 9, U üzerinde bir lineer fonksiyonel yani cpeU*olsun. Bu durumda cpoT bile şimi ya da cpT çarpımı, V den K içine bir lineer dönü ş ümdür. Ba şka bir anlatım ile cpT, V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir, yani 9TEV*d ır: V

T

U cpT

--> K

Böylece cp --> cpT kar şılık olma durumu U*dan V*içine bir dönüşümdür, yani cpTeV*dır. TT ile gösterilen bu dönüşüme T nin transpozesi denir. Ba şka bir deyimle TT: U* --> V*dönü şümü TT(9) = cpT ile tan ımlıdır. Böylece her 9 EU*ve her veV için (TT(9) ) (v) = cp (T (v) ) d ır. TT ile tanımlanan transpoze dönü şümü lineerdir. Gerçekten herhangi a,beK skalerleri ve herhangi 9 1 , c,92 elf*lineer fonksiyonelleri için (TT(a9 1 + bcp2) ) (v) = (acp ı + bcp2) T (v) a91(T (v) ) 4- 1392(T (v) ) aTT(9 1 ) (v) + bTT(92) (v) olduğundan TT(a9 1 + bcp2) = aTT(9 1 ) +- bTT(cp 2) dır, yani TT bir lineer dönü şümdür. Açıklanan bu durumlar a şağıda oldu ğu gibi özetlenebilir: V ve U, K üzerinden lineer uzaylar olsun. V den U ya her bir T lineer dönüşümü için, her veV ve her cpeU* için (TT (9) ) (v) = 9 (T (v) ) olacak şekilde U*dan V*içine bir tek TT lineer dönü şümü vardır. TEOREM 6.9.1. T:V - U lineer ve A da V ve U nun s ırasıyla yin } ve un } bazlarma göre T nin matris gösterimi olsun. Bu 302

durumda ATnin matris gösterimi, ılıi} ve -crj} ye e şlenik olan bazlara göre TT: V*lineer dönü şümünün matris gösterimidir.

İspat. T (v i) = a nu i + a 1 2u2+...+ a ı nun T (v2) = a 21 n2 + a22u2 +...± a2nui,

(1)

T (vm) amiu2 + am2u2+...+ amnun olduğunu varsayahm. Buna göre jcpi} ve {:»j} sırasıyle Iııı } ve tvj} ye eşlenik olah bazlar olmak üzere TT(91) = a ıı (D ı + a21 021- •••+ am1Im TT(92) a22 (1) 2+•••+ am2Onı

(2)

TT(yn ) = a ı n 0 1+ a2n02+•••+ amnOm olduğunun gösterilmesi gerekiyor. v e V olsun ve v =k ıy ı + k2v2+...-F kmvm olduğunu varsayalım. Bu durumda (1) nedeniyle T (v) = k ıT (v ı ) + k2T (v2) +...+ kmT (vm) = ki(a ilu i + a i2u2+•••+ a ı nun) + k2(a2111 14- a22u24- •••+ a2nun) +...+ km(amilli+ am2u2+,- -Famalln)

= (k ia ii + k2a2i +...+ kmami) u i + . ..+

( ki a i n + k2a2 n +.kman)u

= E (k ia i ı + k2a21+...+ kmamı dır. Buradan j =1,2,..., n için

(TT(cpi) ) (v) = 9s(T (v) ) = (R1(

(k la ii+ k2a2ı -F • ..+ kmamı)

= kia ıı + k2a2j+...+ kınami

(3)

Öte yandan j =1,2,..., ıı için (a i i(1) 1 + a2ı 02+•••+ amjPm) (v) = (a iı (D ı + a2i 0 2+•••+ a mjPm).

(k iv i + k2v2+••• -i- kmvm) = k ı a ii + k2a2j +...+ kmamj

(4)

dır. veV keyfi oldu ğundan (3) ve (4) den 303

TT(cpi) = a ii(1) 1 + a2i 02 +...+ anij eD ni , j =1,2,..., n sonucuna varılır ki bu da (2) den ba şka bir şey de ğildir. V bir iç çarpım uzayı olsun. Her bir ueV, û (v) = ile tanımlanan bir V -* K dönü şümü belirtir. Herhangi a,beK ve herhangi v i, v2 EV için û (av ı + bv2) = a b = = aû. (v i ) bû (v2) olduğundan û, V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Bunun tersi de sonlu boyutlu uzaylar için do ğrudur ve bu önemli bir teoremdir. TEOREM 6.9.2. Sonlu boyutlu bir V iç çarp ım uzayı üzerinde bir bir lineer fonksiyonel 9 olsun. Bu durumda her veV için cp (v) = olacak ş ekilde bir tek ueV vektörü vard ır. ispat.

e n } , V nin bir ortonormal baz ı olsun. u = (P (e1) e1+ (P (e2) e2+...+ (P (en) en

olsun. û dönüşümü, her veV için V üzerinde û (v) = ile tammlanan lineer fonksiyonel olsun. Bu durumda i =1,2,..., n için il (ei) = = = 9 (ei) dır. Buradan her bir baz vektörü üzerinde ıl ve 9 aym oldu ğundan û= 9 dır.

Şimdi varsayalım ki her veV için u', 9(v) = ya da K lineer fonksiyoneli cp (f) = f (0) 304

ile tammlansm, yani 9, f (t) yi sabit terime dönü ştürsün. Her f (t) polinomu için 9 (f) = f (0) =

f (t) h (t) dt (1) o olacak şekilde bir h (t) polinomunun var oldu ğunu varsayalım 9 nin tf (t) polionmunu s ıfıra dönii ştürece ği açıktır. Buradan (1) nedeniyle her f (t) polinomu için

0

f

tf (t) h (t) dt = 0

(2)

dır. Özel olarak (2), f (t) = th (t) için geçerli olmak zorundad ır, yani

t2h2(t) dt = 0 o d ır. Bu integral, h (t) yi s ıfır polinomun.a götürür, buradan her f (t) polinomu için cp (f) = = 0 d ır. Bu durum 9 nin sıfır lineer fonksiyoneli olmadığı gerçe ği ile çelişir. Buradan her fEV için cp (f) = olacak şekilde bir h (t) polinomu yoktur. TEOREM 6.9.3. Sonlu boyutlu bir V iç çarpım uzayı üzerinde bir lineer operatör T olsun. Bu durumda her u,vEV için olacak ş ekilde V üzerinde bir tek T* lineer operatörü vard ır. Ayrıca A, V nin {ei } ortonormal bazına göre T nin matris gösterimi ise, bu durumda A nın A*eşlenik transpozesi {ei} baz ına göre T*In matrisidir. Ispat. İlk olarak T*dönü şümünü tanımlayalım. v, V nin keyfi ancak belli bir eleman ı olsun. u -› dönü şümü V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Buradan Teorem 6.9.2 nedeniyle, her u EV için = V dönü şümü T*(v) = v' ile tammla ıasm. Bu durumda her u,veV için =- d ır. Şimdi T*m lineer olduğunu gösterelim Herhangi u, vieV ve herhangi a,bEK için = = â

+b<

T (u), v2 > 305

=



dır. Bu eşitlik her ucV için do ğru oldu ğundan T*(av i + bv2 )

aT * (v ı ) bT * (v2) dır ve dolayısiyle T*lineerdir. Al ıştırma 15 nedeniyle {ei } bazına göre T ve T* ı gösteren A =(ati) ve B =(bjj) matrisleri alj=- ve bli = ile veriliyor. Buradan bjj = = = dır. Böylece B =A*dır. Eğer baz ortonormal de ğilse T ve T*ı gösteren matrisler aras ında hiç bir yahu ilişki yoktur. Bu durum ortonormal bazların önemli bir özeliğidir. Bir V iç çarpım uzaymda her u,vEV için oluyorsa V üzerinde bir T lineer operatörüne bir T*adjoint operatörüne sahiptir denir. V sonlu boyutlu ise her T operatörü bir adjointe sahiptir. V sonlu boyutlu değilse 6.9.3 teoremi geçerli de ğildir.

ÖRNEK. T, C 3 üzerinde T (x,y,z) (2x+iy,y–Siz, x+ (1–iy)+3z) ile tanımlanan lineer operatör olsun. T nin T* adjoint operatöriinü bulalım C 3 ün B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } do ğal bazma göre T operatörünün matris gösterimi 2

i

0 1 —5i) 1–i 3

[T : B] = (O 1

şeklindedir. Tabii baz ın ortonormal oldu ğuna ilgi çekilmelidir. Teorem 6.9.3 nedeniyle B baz ına göre T* ın matris gösterimi [T:B ] matrisinin eşlenik transpozesidir:

2

0

[T*: B ] O

5i

1 1-bi

3)

Buradan T*(x,y,z) = (2x+z, –ix+y+ (1±i) z, 5iy+3z) şeklindedir. V üzerinde T ve T*operatörleri = ili ş kisini sağlar. Gerçekten u=(u j,u2,u3) E C 3, v-=(v j , v2, v3) e C 3 oymak üzere 306

2 i T (u) = (O 1 1 1—i

O ( u i) —5i) u2 = 3 u,

2u 1 + iu2 u2- 5iu 3

u2+ 3u 3

1+

ve < T (u), v> = (2u 1 + iu2 ) v i + (u2-5iu 3) v2 + [ui + (1—i) u 2 +3u3 ]v 3 ır. Öte yandan d 2 0 T*(v) --= ( (—i 1 O 5i

1 1+i) 3

( 2v 1 + v 3

(v i)

v2 v3

= -iVı + v2+ (1+i) v3) 5iv2+ 3v3

ve = u i (2v i + v3 ) + u2 [—iv 1 + v2 + (1+i) v3 ]

u3(5iv2+ 3v3)

u i(2v i + v3 ) + u2 [ivi + v-2 + (1—i) v3 ] + u3 (-5iv2 + 3; 3 ) = (211 1 + iu2) v i + (u2-5iu 3)

• [u i +(1—i)u2 +3u3 ]v 3

olduğ undan = oldu ğu gerçeklenir. Adjoint operatörü önemli özeliklere sahiptir. S ve T, V üzerinde lineer operatörler ve keK. olsun. Bu durumda ( i) (S+T)* = S" T*

(iii) (ST)* = T*S*

(ii) (kT)* -= kT*

(iv) (T*)*--- T

geçerlidir. V üzerinde bir T lineer operatörü kendi T*adjointine e şit ise yani T* = T ise, T operatörüne self-adjoint operatör denir. Bu durumda her u, veV için = d ır. Bir self-adjoint T operatörü, K cismi gerçel ise simetrik, K cismi karmaşık ise Hermitiyen operatörü adını ahr. T* -= — T ise T lineer operatörü, ters adjoint operatör ve temel cismin gerçel ya da karma şık olmasına göre de ters simetrik ya da ters Hermitiyen operatör ad ını alır. T, sonlu boyutlu bir V iç çarp ım uzayı üzerinde bir lineer operatör olmak üzere T* = T -1 ya da eşdeğer olarak TT* = T*T=-I ise T, temel cismin gerçel ya da karma şık olmasına göre ortogonal ya da birimli operatör adını alır. Bu operatörler, a şağıdaki gibi bir diğer biçimde ayırdedilebilirler. Gerçekten T üzerindeki a şağıdaki ş artlar e şde ğerdir: ,

( i) T* = T-1 yani TT*=--- T*T =I dır. 307

(ii) T, iç çarp ımları aynen korur, yani her v, wEV için = dır. (üi) T, uzunluklar ı aynen korur, yani her v EV için T (v) d ı r.

ÖRNEKLER 1. T: R3 -> R3 operatörü, z ekseni etraf ı nda her vektörü belli bir 0 açısı kadar döndüren lineer operatör olsun:

Ş ekil 6.9.1 T (x,y,z)

(xcos0 - ysin0, xsin0

ycos, z)

Bu operatör, T altmda uzunluklar ı (orijinden olan uzaklıkları) aynen korur. Diğer şartlar da sa ğlanır. Böylece T bir ortogonal operatördür. 2. V, 1 2 uzayı (Hilbert uzayı) olsun. T:V -› V operatörü, T (a i ,a2,...) =-- (0,a i ,a2,...) ile tanımlanan lineer operatör olsun. T operatörü iç çarpımları ve uzunlukları aynen korur. Ancak örne ğin (1,0,0,...), T nin görüntü cümlesinde bulunmad ığından T, üzerine de ğildir ve dolayısiyle tersine çevrilemez. Ohalde yukardaki özeliklerin e ş değerliği, sonsuz boyutlu uzaylerda geçerli de ğildir. Bir iç çarpım uzayından bir di ğer iç çarp ım uzayına bir şekil benzerliği, bir iç çarp ım uzayının üç temel özeli ği olan vektör toplam ı, skaler ile çarp ım ve iç çarp ımları koruyan bire bir ve üzerine dönü şümdür. Böylece yukardaki dönü şümler (ortogonal ve birimli) keza V nin 308

kendi içine şekil benzerlikleri olarak ay ırdedilebilirler. Böyle bir T dönüşümü, !IT (v) - T (w) II = IIT (v-w) II = ilv-w II nedeniyle de uzunluklar ı korur. Bu yüzden T ye bir izometri (isometry) denir. Karmaşık elemanh bir A matrisinin. (bir ortonormal baza göre) bir birimli operatör göstermesi, A* = A -1 olması ile eş değerlidir. Öte yandan K cismi gerçel ise A* = AT d ır. Buradan gerçel elemanh bir A matrisinin (bir ortonormal baza göre) bir ortogonal T operatörü göstermesi, AT = A-1 ile eş değerlidir. A* = A-1 ya da eş değer olarak AA* = A*A -=I özeli ğini sağlayan karmaşık elemanlı bir A matrisi birimli matris ve AT = A -1 ya da eşdeğer olarak AAT = ATA =I özeli ğini sağlayan gerçel elemanh bir A matrisi de ortogonal matris adını alır. Bir A matrisi için a ş ağıdaki şartlar eşdeğerdir: (i) A birimli (ya da ortogonal) d ır. ii) A nın satırları bir ortonormal cümle olu şturur. (iü) A nin kolonları bir ortonormal cümle olu şturur.

ALI ŞTIRMALAR 1. y ı : R2--

ve 92 : R2-->

K dönüşümü (Da(f (t) ) = f (a) ile tan ımlanıyor. Buna göre (i) (Da nın lineer olduğunu gösteriniz ? (ii) a#b ise (Da: O n olduğunu gösteriniz ? 6. v ı ,..., v n, K üzerinden bir V lineer uzayın elemanları olsun. a iı EK olmak üzere w ı a l ı-y ı +

a ı nv n

W 2 = a21V 1+ a22V2+•••+ az nv n Wn = aniVi+

annVn

olsun. Ayrıca P =(a ıi) de katsayıların karesel matrisi olsun. (i) P nin tersine çevrilebilir oldu ğunu varsayahm. Buna göre {wı } ve {vi} cünıleleri aynı uzayı gerdiğini ve buradan {w ı } nin bağımsız olması, {vi} nin bağımsız olması ile eşdeğerli olduğunu gösteriniz ? (ii) P nin tersine çevrilemedi ğini varsayahm Bu durumda {w i } nin bağımlı olduğunu gösteriniz ? (iü) {wı } nin bağımsız olduğunu varsayahm. Bu durumda P nin tersine çevrilebilir oldu ğunu gösteriniz ? 7. (a) R2 nin iki bazı {e ı = (1,0), e2 = (0,1) } ve jfı =- (1,1), f2 = (— 1,0) } olsun. {el} den {f ı } ye geçişi veren katsayılar matrisinin transpozesi olan P geçiş matrisi ile, {fı } den jet} ye geçi şi veren katsayılar matrisinin transpozesi olan Q matrisini bulunuz ve PQ =I oldu ğunu gösteriniz ? 310

(b) v=(a,b)e/P için P ğunu gösteriniz?

[v]f

= [v] e ve buradan [v]r = P -1 [v ] e oldu

8. €DeV*, V nin bir S alt cümlesini s ıfırlıyorsa, P nin S deki vektürlerinin bütün lineer kombinasyonlarnun L (S) cümlesini s ıfırladığnu gösteriniz? 9. W, v i = (1,2,-3,4) ve v 2 =.(0,1,4,-1) ile gerilen 4 ün , alt uzayı olsun. W nın sıfırlıyanuum bir bazinı bulunuz? 10. S, V nin herhangi bir alt cümlesi ve S 1 c S2 ise (i) s c soo olduğunu gösteriniz?

S2 °c S i °

üzerinde (I) (x,y) = x - 2y ile tan ımlanan lineer fonksiyonel olsun. R 2 üzerinde a ş ağıdaki T lineer operatörlerinin her biri için (TT( D) ) (x,y) transpoze lineer dönü şümü bulunuz? (i) T (x,y) = (x,0), (ii) T (x,y) = (y,x+y), (iü) T (x,y) = (2x-3y, 5x+2y) 12. T:V -› U lineer ve TT: U*-> V*de T nin transpozesi olsun. TT nin çekirde ğinin T nin görüntü cümlesinin s ıfırlıyanı, yani Ker TT = (R (T) )° olduğunu gösteriniz? 13. V ve U nun sonlu boyutlu ve T:V U lineer oldu ğunu varsayahm. Bu durumda rank (T) = rank (TT) oldu ğunu gösteriniz? 14. T:V -> U lineer ve V nin sonlu boyutlu oldu ğunu varsayahm Buna göre R (TT) = (KerT)° oldu ğunu gösteriniz? 15. e2,..., en}, V nin bir ortonormal baz ı olsun. Buna göre aş a ğıdakileri ispatlay ınız? (i) Herhangi u E V için u = e i + e2+...+ e n . (ii) = a ıi3 1+

a2b2+.. .+

anfin (iü) Herhangi u, veV için = (iv) T: V -› V lineer ise bu durumda , göre T yi gösteren A matrisinin ij y ıncı bileşenidir.

bazına

311

16. (a) T,C 3 üzerinde T (x,y,z) = (2x-F(14) y, (34-2i) x-4iz, 2ix+ (4-3i) y-3z) ile tan ımlanan lineer operatör olsun. T*(x,y,z) yi bulunuz? (b) T: R 3 —> R 3dönüşümü T (x,y,z) = (x+2y,3x-4z,y) ile tan ımlanıyor. T* (x,y,z) yi bulunuz? 17. V üzerinde aş ağıdaki lineer fonksiyonellerin her biri için, her veV için cp(v) olacak ş ekilde bir ueV vektörü bulunuz? (i) cp : R 3—>

dönüşümü cp (x,y,z) =x+2y-3z

(ii) cp : C 3 —> C dönüşümü cp (x,y,z) = ix+(2+3i) y+(1-2i)z

312

KAYNAKLAR 1. MURRAY H. PROTTER and CHARLES B. MORREY, JR., Modern Mathematical Analysis, Addison-Wesley, Publishing Co., Reading, Massachusetts, 1964 2. LIPMAN BERS, Calculus, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1969 3. MICHAEL C. GEMIGNANI, Elementary Topology, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, 1967 4. SERGE LANG, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, 1972 5. KENNETH HOFMAN and RAY KUNZE, Linear Algebra, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1971 6. SEYMOUR LIPSCHUTZ, Linear Algebra, McGraw-Hill Book Co., New Yirk, 1968 7. G. HADLEY, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, 1974 8. MURRAY R. SPIEGEL, Advanced Calculus, McGraw-Hill Book Co., New York, 1968 9. ANGUS E. TAYLOR, İntroduction to Functional Analysis, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1968 10. GEORGE F. SIMMONS, Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 1963 11. ANGUS E. TAYLOR, General Theory of Functio ııs and Integration, Blaisdell Publishing Co., Waltam, Massachusetts, 1965 12. DAVID A. SANCHEZ, Ordinary Differential Equations and Stability Theory, W.R. Freeman and Company, San Francisco, 1968 13. NORMAN B. HAASER and JOSEPH A. SULLIVAN, Real Analysis, Van Nostrand Company, New York, 1971 14. H.H. ROSENBROCK, Mathematics of Dynamical Systems, Nelson, London, 1970 15. DONALT L. KREIDER, ROBERT G. KULLER, DONALT R. OSTBERG, FRED W. PERKINS, An İntrOduction to Linear Analysis, Addison Wesley Publishing Co., Reading. Massachusetts, 1966 16. CHARLES G CULLEN, Linear Algebra and Differential Equations, Prindle, Weber and Schmidt, Boston, 1979 17. RICHARD BELMAN, Introduction to Matrix Analysis, McGraw-Hill Book Co., Nork, 1970 18. JACK K. HALE, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, New York, 1969 19. W.A. COPPEL, Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, D.C. Heath an Co. Boston, 1965

313

D İ Z İ N (Rakamlar sayfa numaras ıdır) A

Bire- bir ve üzerine fonksiyon, 2

Açık aralıkta parçal ı süreklilik, 7 Açık bağlantılı cümle, 66

Birim matris, 136

Açık cümle, 65

Birim vektör, 99

Birim normal vektör, 49 Birimli matris, 309

Açık küre, 82 Adjoint operatör, 306

Birimli operatör, 307

Alt dizi, 70

Birindi uzay, 111

Alt matris, 124

Blok kö şegen matris, 126

Alt metrik uzay, 79

Blok üst üçgensel matris, 126

Alt üçgensel matris, 123

Boyut, 89, 198

Ancak ve ancak, 31 Aş ağıdan sınırlı fonksiyon, 7 Aykırı dönüşüm, 246

Bölmeli matris, 154

Aykırı olmayan dönüşüm, 246 Ayrık nokta, 13 Ayrılabilir Hilbert uzay ı, 112

C Cauchy dizisi, 70 Cebirsel e şlenik, 291 Ciimlenin maksimumu, 73 Cümlenin minimumu, 73

R• Ç

Banach uzay ı, 94 Basamak, 277

Çarpmaya göre ters, 141

Baz, 89, 198

Çarpmaya göre uygun, 135

Belirgin metrik, 78

Çekirdek, 241, 243

Bessel e şitsizliği, 102

Çıktı matrisi, 126

Bir bölgede analitik fonksiyon, 21

Çözüm ciimlesi, 250

Bir cümlenin çapı, 80

Çözüm uzayı, 210, 251

Bir dönü şümün bir skaler ile çarp ımı, 255 Bir fonksiyonun grafi ği, 2

Değer cümlesi, 1

Bir nokta ile bir cümle aras ındaki uzaklık, 80

Değişken katsay ılı operatör, 277

Bir noktada analitik fonksiyon, 21 Bir noktada süreklilik, 21, 27

Değişme özeliği, 136 Dejenere olmayan iç çarp ım, 97

Bir noktada türevlenebilme, 21, 27

Denklik sınıfı, 23

Bir vektör alanının divergensi, 53

Derece, 281

Bir vektör alanının rotasyonu, 59

Determinant, 163

Bire bir dönü şüm, 239

Determinantm türevi, 231

Bire bir fonksiyon, 2

Diferensiyel operatör, 53, 275

Bire bir ve üzerine dönü şüm, 239

Dizi, 68

314

D

Dizinin limiti, 69 Doğrultu türevi, 40 Dual uzay, 291

Hermitiyen çarpım, 108

Düzgün matris, 142

Hermitiyen eşlenik, 148 E

Hermitiyen kolon işlemleri, 167 Hermitiyen matris, 151

Eklemeli matris, 126, 177

Hermitiyen operatör, 307

Ekmatris, 168

Hermitiyen satır işlemleri, 167

Elemanter kolon i şlemleri (ECO), 166

Hilbert uzayı, 110

Elemanter matris, 188

Hiper düzlem, 298

Elemanter satır işlemleri (ERO), 166 En büyük alt sınır (inf), 71

Hiper uzay, 298

En küçük üst sınır (sup), 71 Eş biçimli, 91, 239

Homogenlik özeliği 236

Hız vektörü, 31 Homomorfizm, 256

Eşdeğer sistemler, 176 Eşdeğerlik, 218 Eşit matrisler, 122

TÇ

Eşit operatörler, 282

çarpım, 96, 110

iç çarpım uzayı, 110

Eşitsizlik, 10 Eşlenik fonksiyon, 22

iç içe aral ık özeliği, 72

Eşlenik matris, 148

iç nokta, 65

Eşlenik uzay, 291

İki cümle arasındaki uzaklık, 80

Etkisiz dönüşüm, 259 Etkisiz matris, 138

Tki cümlenin do ğrudan toplamı, 87

Etkisizlik derecesi, 138, 259

İki dönüşümün bileşimi, 235 İki dönüşümün çarpımı , 235, 256

Euler operatörü, 283 F Fonksiyon, 1

Iki cümlenin toplamı, 87

İki dönüş.mün toplamı, 255 Tki fonksiyonun bileşimi, 3 İki katlı nokta, 17

Fowler katsayısı, 100 G Gauss-Jordan yoketme yöntemi, 181 Gauss yoketme yöntemi, 182 Genelleştirilmiş metrik, 80 Genelleştirilmiş ters, 226 Geometrik görüntü, 31 Geometrik yer, 6, 13 Gerçel değerli fonksiyon, '1 Gerçel fonksiyon, 1 Gerçel lineer uzay, 85 Gerek ve yeter ko şul, 31 Gerilen alt uzay, 87, 207 Geriye doğru konum, 177 Girdi matrisi, 126

İki Tki İki Tki

matrisin çarp ımı, 135 matrisin farkı, 133 matrisin toplamı, 131 operatörün e şitliği, 283

İki yanlı ters, 262 Ikili işlem, 131 İkinci derecede matris normu,.255 Ikinci eşlenik uzay, 297 involütif matris, 142 ivme, 31 Ivme vektörü, 31 iz, 161 iz dönüşümü 293 izdiişiim, 100 Izometri, 309

Görüntü ciimlesi, 1

J

Gradient, 46, 53 Gradient vektörü, 46

Jakobiyen, 18

Gram-Schmidt yöntemi, 102

Jakobiyen determinant ı, 18

315

Lineer form, 290 Lineer kombinasyon, 87 Kapalı aralıkta parçalı süreklilik, 7 Kapalı cümle, 66

Lineer manifold, 86

Kapalı fonksiyon, 13

Lineer operatör, 257

Kararlı skaler alan, 33 Kararlı vektör alanı, 34

Lineer sapma, 280

Lineer olmayan operatör, 2 9

Lineer uzay, 85

Karesel matris, 122 Karışık çarp ım, 60 Karmaşık değerli fonksiyon, 2 Karmaşık eşlenik, 108, 148 Karma şık fonksiyon, 2

M Maksimal bağımsız alt cümle, 89 Matris fonksiyonunun integrali, 231 Matris fonksiyonunun türevi, 230

Karmaşık lineer uzay, 86 Karmaşık Oklid uzayı, 111 Kinematik, 31 Kinematik , görüntü, 31

Metrik, 77, 110 Metrik uzay, 77 Minkovski eşitsizli ği, 101 Minor, 125

Kofaktör, 163

Monoton dizi, 70

Kolon matrisi, 123

Monoton fonksiyon, 4

Kolon rankı, 209

Mutlak değer, 21, 108, 110

Kolon uzayı, 208

Mutlak değer fonksiyonu, 9

Komşuluk 67 Koordinat fonksiyonları, 25 Koordinat vektör, 89 Korunumlu kuvvet alanı, 56 Köşegen elemanları, 123 Köşegen matris, 123

Mutlak eşitsizlik, 10 N Norm fonksiyonu, 91, 224 Normal denklem, 205, 277 Normlanmış lineer uzay, 92

Kritik nokta, 42

Nulite, 244

Kuadratik form, 152 Kuvvetle monoton fonksiyon, 4

O

Kuvvetli üst üçgensel matris, 124 Oktahedral norm, 92

Kübik norm, 92 Küresel komşuluk 82

Operatör denklemi, 250

Küresel koordinatlar, 58

Ortogonal baz, 98

Küresel norm, 92

Ortogonal lineer fonksiyonel, 299 Ortogonal matris, 309 L

Lagrange ara de ğer formülü, 213 Laplace denklemi, 57 Legendre polinomlar ı, 107 Limit inferior, 73

Ortogonal operatör, 307 Ortogonal tümleyen, 98, 299 Ortogonal uzay, 98 Ortogonal vektörler, 61, 98 Ortonormal baz, 60, 99

Limit superior, 73 Lineer alt uzay, 86 Lineer bağımlılık, 88, 198

Oklid normu, 92

Lineer ba ğımsızlık, 88, 198

Oklid uzayı, 111

Lineer diferensiyel operatör, 276

Ozdeşlik dönüşümü, 238

Lineer dönüşüm, 236

Ozdeşlik fonksiyonu, 2

Lineer dönüşümün matris gösterimi, 265

Özelik, 30

Lineer fonksiyonel, 290

Özellik, 30

316

P

Skaler fonksiyon, 22 Skaler ile çarp ım, 133

Paralelkenar yasas ı, 99, 128 Parametrik gösterim, 24, 34 Parametrik olmayan gösterim, 34 Parçacık (partikül), 31 Parçal türevler vektörü, 27

Skaler matris, 137 Skaler üçlü çarp ım, 60 Sol ters, 226, 262 Sonlu boyut, 89, 209 Sonsuz boyut, 89, 208

Parçalı düzgün fonksiyon, 7

ş

Parçalı monoton fonksiyon, 4 Parçalı sürekli fonksiyon, 7

Şartlı eşitsizlik, 10

Polinomun bir matris için de ğeri, 139

Şartlı ters, 226

Polinomun sınıfı, 259

Şekil benzerli ği, 239, 308

Potansiyel fonksiyonu, 56

T

Pozitif definit, 97, 108 Tabii dönüşüm, 298 R

Tabii metrik 78 Tam denklem, 279

Rank, 192, 244

Tam diferensiyel, 61 S Sabit fonksiyon, 2 Sabit katsayılı operatör, 277 Sağ ters, 226, 262 Satır indirgemeli eşeloıı matrisi, 181 Satır kanonik biçim, 181 Satır matrisi, 122 Satır rankı, 209 Satır uzayı, 208 Satı •ca e şdeğerlik, 180 Schwarz e şitliği, 101 Sıfır bölenleri, 138 Sıfır denklem 297

Tam metrik uzay, 79 Tamlık, 71 Tamm bölgesi, 1 Teklik problemi; 253 Temel katsayı, 205, 277 Ters bağıntının dalları, 6 Ters fonksiyon, 5 Ters Hermitiyen matris, 151 Ters Hermitiyen operatör, 307 Ters lineer, 293 Ters simetrik matris, 151 Ters simetrik operatör, 307 Tersine çevrilebilir dönüşüm, 262 Tersine çevrilebilir matris, 142

Sıfır dönüşümü, 238 Sıfır iç çarpım, 115

Tersine çevrilemez matris, 142

Sıfır matrisi, 124 Sıfır uzayı, 115, 210, 241

Toplamaya göre uygun, 131

Sıfirliyan, 299 Sınırlı cümle, 80, 85, 93 Sınırlı dizi, 70 Sımrh fonksiyon, 7, 27, 30 Sınırsız cümle, 80 Sikloit, 35 Silindirik koordinatlar, 58 Simetrik komşuluk, 67 Simetrik matris, 151 Simetrik olmayan komşuluk, 67 Simetrik operatör, 307 Skaler alan, 33 Skaler bileşenler, 129

Toplamaya göre kapalı, 131 Topolojik uzay, 68 Transpoze, 147, 302 Türetilen cümle, 65 Türetilen metrik, 93 Türetilen norm, 225 Türev vektörü, 27 Türevlenebilme, 21, 51 U Uzaklık fonksiyonu, 77

Ü Üst üçgensel matris, 123 UstiiSte gelme kural ı, 243

317

Üzerine dönü şüm, 239

Vektör fonksiyonunun üç katl ı integrali, 28

Üzerine fonksiyon, 2

Vektör uzayı, 86 V

Vandermonde matrisi, 171, 212 Varlık problemi, 253

Wronskiyen, 205 Wronksiyen matrisi, 204

Vektör, 23 Vektör alanı, 33 Vektör bileşenleri, 129 Vektör de ğerli fonksiyon, 22 Vektör fonksiyonu, 22 Vektör fonksiyonunun e ğrisel integrali, 28 Vektör fonksiyonunun iki katl ı integralı, 28 Vektör fonksiyonunun integrali, 27 Vektör fonksiyonunda limit, 27

318

Y Yarı lineer, 293 Yer vektörü, 23 Yerel durum, 14 Yığılma noktası, 65, 69 Yörünge, 31 Yukardan sınırlı fonksiyon, 7 Yüzeyin normali, 49

SIMGELER Df

f in tanım bölgesi, 2

Rf

f in görüntü cümlesi 1

fog

f ve g nin bile şimi, 3, 235

f- ı GJk

1

f in ters fonksiyonu, 5 [a, b] üzerinde k y ıncı basamaktan sürekli türevlenebilir fonksiyonlar uzayı, 7, 203, 260

[a,b ]

Rn

n boyutlu oklid (Euclidean) uzay ı, 27, 112

Daf

a doğrultusunda f in do ğrultu türevi 41

dof gradf

0 açısı doğrultusunda f in do ğrultu türevi, 42 f

DaW(P)

f in gradienti, 46, 47 Bir W vektör alan ının P noktasında ve a do ğrultusunda do ğrultu türevi, 51

grad=v

gradient operatörü, 53

v.W divW

W vektör alammn divergensi, 53

vaW---rotW

W vektör alanının rotasyonu, 59

Ebed ]

b,e,d vektörlerinin skaler üçlü çarp ıntı (karışık çarpun), 60 n boyutlu birimli uzay, 67, 112



dizi gösterimi, 68 dizinin görüntü cümlesi, 68

(X,d)

d metrikli metrik uzay, 77

e[0,1]

[0,1] üzerinde sürekli fonksiyonlar uzayı, 78

d(p,A)

p den A nın noktalarına olan uzakl ıklarm en büyük alt s ınırı, 80

d(A,B)

A daki noktalardan B deki noktalara olan uzakhklarm en büyük alt

d(A)

A daki noktalar aras ındaki uzaklıkların en küçük üst s ınırı, 80

Sd(p,8)

d metriğine göre p'den 8 uzaklığı içindeki noktalar cümlesi, 82

sımn, 80

sp(S)=span(S)=L(S)

S deki vektörlerin lineer kombinasyonlar ı cümlesi, 87, 207

U+V

U ve V cümlelerinin toplamı, 87

U(:)V

U ve V cümlelerinin doğrudan toplamı, 87

dim V

V uzaymın boyutu, 89

5. (X,R)

X üzerinde tamml ı gerçel de ğerli fonksiyonlar cümlesi, 89

e (a,b)]

[a,b ]üzerinde sürekli fonksiyonlar uzayı, 90

319

L {F(t)}

F(t) nin Laplace dönüşümü, 90

II Ile

Oklid ya da küresel norm, 92, 224

II. Ile

Kübik norm, 92, 224

II • II°

Oktahedral norm, 92

e(X,R)

X metrik uzayı üzerinde s ınırlı sürekli gerçel fonksiyonlar cümlesi, 94

C(X,C)

X metrik uzayı üzerinde sınırlı sürekli karma şık fonksiyonlar cümlesi, 94



v ve w nin iç çarp ımı, 96

= S°

Sl

S cümlesinin ortogonal tümleyeni, 98, 299

12

kareler toplamı yakmsayan sonsuz dizilerin Hilbert uzayı, 112

1, 2 aij= entii(A)

karesi integre edilebilen fonksiyonlarm Hilbert uzay ı, 112 A matrisinin i yıncı satır ve j yıncı kolondaki elemam,122

Dg(dt ,d 2 ,...,dn)

Köşegen matris, 123

Rowi(M)

M matrisinin i yıncı satırı, 124

Colj(M)

M matrisinin j yıncı kolonu, 124

Minii(M)

M matrisinin (i,j) konumunun minörü, 125

8 ii

Kronecker deltas ı, 136

A-1

A matrisinin tersi, 138, 143

AT

A matrisinin transpozesi, 147, 302 karmaşık A matrısinin eşleniği, 148

A*

A matrisinin Hermitiyen e şleniği, 148

izA= tr(A)

A matrisinin izi, 161

det(A)

A matrisinin determinantı, 163

cofii(A)

A matrisinin (i, j) konumunun kofaktörü, 163

R

B

A ve B satırca eşdeğerdir, 180

IEno

elemanter matris, 186

rank (A)

A matrisinin rankı, 192

61;)

gerçel katsay ılı sonlu dereceli polinomlar cümlesi, 201, 210

e(I)

I arahğı üzerinde sürekli fonksiyonlar uzay ı, 203

e (-co

(—cX),00) arah ğuada sürekli fonksiyonlar uzay ı, 204

,

00)

%MU,

mxn biçiminde gerçel matrisler cümlesi, 199, 208

NS(A)

A matrisinin sıfır uzayı, 210

n A••-• CB B

derecesi n den az polinomlar cümlesi, 211 A ve B kolonca eşdeğerdir, 218

A