Lineas notables y sus propiedades

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LÍNEAS NOT NOTABLES ABLES Y SUS PROPIEDADES Profesor: Enrique Gómez Vértiz MATEMATICA 3ro de Secundaria

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Presentación Dentro de las propiedades del triángulo también se encuentra las Propiedades de Líneas Notables que nos permitirá tener conocimiento mas amplio de los ángulos del Triángulo y resolver ejercicios mas complicado.

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CONTENIDO TEMATICO Recordando el triángulo

 

Clic..

1. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

2. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

3. PROPIEDADES ADICIONALES

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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO Es el segmento que se traza desde un vértice del triángulo al punto medio de su lado opuesto

Todo triángulo tiene tres medianas, las cuales se intersectan en un punto interior llamado BARICENTRO

B

B P

A

M BM es la mediana con respecto al lado AC

C

A

G

M

N

C

Las medianas AN, BM y CP se intersectan en el punto G, llamado BARICENTRO del triangulo ABC

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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO Se llama mediatriz de un lado a una recta perpendicular en el punto medio de dicho lado

B

 l 

Q

C

A L es la mediatriz del lado AC

Todo triangulo tiene tres mediatrices correspondientes a cada lado,. Dichas mediatrices se intersectan en un punto llamado CIRCUNCENTRO

O

P

R

O   CIRCUNCENTRO del triángulo PQR PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO -Es un punto interior si el triangulo es acutángulo -Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo -Es un punto   medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo

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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO Es la bisectriz de cada uno de los ángulos internos

Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores, las cuales se intersectan en un punto interior llamado INCENTRO

B

B E

A

C D BD es bisectriz interior relativa al lado AC

A

F

I

D

C

Las bisectrices AF, BD y CE se intersectan en el punto I, llamado INCENTRO del triangulo ABC

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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO Es la bisectriz de un ángulo exterior  del triángulo.

El punto de intersección de dos bisectrices exteriores y de una bisectriz interior se llamado EXCENTRO

H

B

B

E A

C CH es bisectriz exterior respecto al C

A

C

Las bisectrices BE y CE y CE con la bisectriz interior AE se intersectan en el punto ”E”, llamado EXCENTRO del triangulo ABC

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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO Es el segmento que se traza desde un vértice y en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

Todo triangulo tiene tres alturas, las cuales se intersectan en un punto llamado ORTOCENTRO B

B

I J

A

H

BH es la altura respecto a AC

C

A

R

H

C

Las alturas BH, AI y CJ se intersectan en el punto R, llamado ORTOCENTRO del triangulo ABC

PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO -Es un punto interior si el triangulo es acutángulo -Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo -Es un punto   medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo

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PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 1.

En todo triángulo la medida de un ángulo obtuso formado por las bisectrices interiores de los ángulos, es igual a 90° más la mitad de la medida del tercer ángulo interior 

B  Δ   ABC,

AI y CI son bisectrices interiores de los ángulos A y C, respectivamente

θ 

Φ  x

α  α 

A

 β  β

 x

C

 90  

   2

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Ejemplo:

40°

 x

 x

 90  

 90  

 x

   2 40  2

 x

 90   20 

 x

 110 

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PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 2. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la bisectriz interior de uno de los ángulos y la bisectriz exterior de otro ángulo, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

B θ 

 x

F

 Δ  ABC,

AF es bisectriz interior del ángulo A, CF es bisectriz exterior  del ángulo C.

I α 

A

δ

α 

 β  β

Φ

   Φ

C

 x



2

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Ejemplo:  x 

30°  x

 x 

 x 

   2 30  2 15 

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PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 3. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la bisectrices exteriores de dos ángulos es igual a 90° menos la mitad de la media del tercer ángulo interior. E  x

ω

B

ω

 Δ   ABC,

BE y CE son bisectrices exteriores de los ángulos B y C, respectivamente

 β  β δ

I

A

θ 

α  α 

Φ

C

 x 

Φ

90  

  2

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Ejemplo:  x

 x

 90  

)  x

50°

 90  

   2 50  2

 x

 90   25 

 x

 65 

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PROPIEDADES ADICIONALES B

y

Demostración:

Presionando clic

Los ángulos de la Bisectriz toman el valor de y

y

 Al trazar la altura, sabemos que en el Δ Rectángulo la suma de la medida de los ángulos agudos es 90° 1.  del _   ABH  

90 

   

(  y

 x)

2.  del  _   HBC  90  θ

α

 A

H

   x



 

 

C



(  y

 x)



 x)



    (  y



x)

de la ecuación despejamos  x  2 x      y  y   

nos queda:



2

(  y

Igualando 1 y 2 

M

BH es altura BM es Bisectriz de mostrar que se cumple

    

   x





2

 

→ eliminando  y 

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PROPIEDADES ADICIONALES Demostración:

B

Prolongamos CD

 β

y

Se forma el Δ HBC De la Propiedad: La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interior no adyacentes.

H D                 (

θ

                (

x

 A

α

 y

C



     

del  Δ  AHD se dice que

Demostrar que se cumple:  x 

Presionando clic

       

 x

    

 y

Remplazando  y   x 

       

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