Lineas de Espera

LINEAS DE ESPERA

1

ÍNDICE 1

INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN. .................................................................... 3

2

ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA ..... .......... .......... ...... 4 2.1

ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA..............................5

2.2

ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA..............................6

2.3

ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA..............................7

3

2.4 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA..............................8 N SERVIDORES UNA COLA. ............................................................................................... 9

4

ANÁLISIS DE COSTO ............. ................ ............... ................ ............... ............... ..............10 4.1

5

ANÁLISIS DE COSTO

..............................................................................................................11

N SERVIDORES N COLAS. ............................................................................................... 12

6 CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE LÍNEAS DE ESPERA. ........ .......... .......... ......... 13 7 CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE LÍNEAS DE ESPERA. ........ .......... .......... ......... 14 SUMAS DE VARIABLES ALEATORIAS DE POISSON 8

9

............................................................ 14

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL ....................................................................................................15 APLICACION DE MODELOS DE DECISION EN LINEAS DE ESPERA. ........ .......... ......... 16 8.1

APLICACION DE MODELOS DE DECISION EN LINEAS DE ESPERA.......................... 17

8.2

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN.

.............................................................................................18

8.3

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

.............................................................................................. 19

CONCLUSIÓN ............... ............... ................ ............... ................ ............... ................ ........ 20

10 FUENTES BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................ 21

2

Líneas de esperas

1

INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN.

Las líneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los análisis de colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.). Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente. Las "colas" son un aspecto de nuestra vida moderna que normalmente podemos encontrar en nuestras actividades diarias. Como ejemplos podríamos mencionar: el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., este fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. El estudio de las colas es de suma importancia ya que proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. 3

2 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA La teoría de colas es el estudio de los sistemas de líneas de espera en sus distintas modalidades. El estudio de estos modelos sirve para determinar la forma más efectiva de gestionar un sistema de colas. • •

Demasiada capacidad de servicio => Excesivos gastos Poca capacidad de servicio => Mal servicio

Objetivo: Encontrar un balance adecuado entre el coste del servicio y los tiempos de espera.

Fuente de entrada: (población de clientes potenciales). Se dice que es limitada o ilimitada según si su tamaño es finito o infinito. Usualmente se asume que es ilimitada (el caso finito es más difícil analíticamente) Clientes: entran al sistema cada cierto tiempo y se unen a una cola. Se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual los clientes entran al sistema. Proceso de llegada: La suposición habitual es que los clientes acceden al sistema según un proceso de Poisson, lo que significa que los clientes que llegan en un intervalo determinado de tiempo siguen una distribución Poisson, con tasa media fija y sin importar cuántos clientes ya están en el sistema. Una suposición equivalente es que los tiempos entre dos llegadas consecutivas (tiempo entre llegadas) es exponencial. Cola: cuando los clientes entran al sistema se unen a una cola. La cola es donde los clientes esperan a ser servidos. Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. La suposición de una cola infinita es más fácil de manejar analíticamente que la de una cola finita. También pueden considerarse otras suposiciones acerca del comportamiento de los clientes cuando llegan al sistema, como por ejemplo que un cliente rehúse acceder al servicio porque la cola es demasiado larga. Disciplina de la cola: En un determinado momento se selecciona un miembro de la cola, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. La disciplina derecibir servicio se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes de la cola para el servicio. – FIFO (más común) – Aleatorio – LIFO – Sistema de prioridades 4

2.1 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA

Mecanismo de servicio: cuando un cliente es tomado de la cola, accede al mecanismo de servicio, que consiste en una secuencia de instalaciones de servicio en serie que el cliente debe pasar para completar el servicio. Cada instalación de servicio estará formada por varios canales de servicio paralelos, llamados servidores. Se debe especificar el número de instalaciones de servicio en serie y el número de servidores paralelos en cada una de ellas. Los modelos más comunes suponen una única instalación con uno o varios servidores disponibles. Proceso de servicio: En cada instalación, el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio hasta su fin en dicha instalación se llama tiempo de servicio. El modelo de colas debe especificar la distribución de probabilidad del tiempo de servicio de cada servidor, y quizás de cada tipo de cliente, aunque lo común es que todos los servidores sigan la misma distribución. La suposición más habitual es que este tiempo de servicio es exponencial. Otras distribuciones de servicio importantes son la degenerada y la Erlang.

5

2.2 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA

UN SERVIDOR UNA COLA. Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola, ejemplos de ellos son los bancos, restaurantes, hospitales, pizzerías, etc. La línea de espera trata de cuantificar el fenómeno de espera formando colas mediante medidas representativas de eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella y la utilización promedio de las instalaciones. La teoría de líneas de espera o también llamada teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares. El srcen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada. Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: • •

La cola La instalación del servicio

llegadas El proceso entre de entrada se denomina por lo regular, proceso de llegadas. Las llegadas se llaman clientes. En todos los modelos que se estudian se supone que no más de una llegada ocurre en un instante dado. En el caso de un restaurante es una suposición irreal. Si hay más de una llegada en un instante dado se dice que se permiten las llegas en masa. Las llegadas pueden ser: • • •

Personas Automóviles Maquinas que requieren reparación, etc.

Se supone por lo común que el número de clientes presentes en el sistema no afecta el proceso de llegadas. Hay dos situaciones comunes en las cuales el proceso de llegadas podría depender de la cantidad de clientes presentes. La primera se presenta cuando se extrae de una pequeña población su ponga que hay solo cuatro barcos en un astillero, si los cuatro barcos están en reparación entonces ningún barco puede estropearse en un futuro cercano, por otro lado, si los cuatro barcos están navegando existe una probabilidad muy alta de una 6

2.3 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA descompostura en un futuro cercano. Los modelos en los cuales las llegadas se toman de una pequeña población reciben el nombre de modelos de srcen finito. Otra situación en la cual el proceso de llegadas depende de la cantidad de clientes presentes ocurre cuando la razón a la cual llegan los clientes a cierta instalación disminuye cuando esta está llena. El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (). El tiempo esperado entre llegadas es 1/ . Además, es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas, generalmente se supone una distribución exponencial, esto depende del comportamiento de las llegadas. La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños, en general se considera que las llegadas son aleatorias, la última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente.

La cola El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio, el número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio. La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola, generalmente se supone que la cola es infinita, aunque también la cola puede ser finita. Para describir por completo un sistema de líneas de espera, se debe describir también la disciplina de las líneas de espera y el modo en el cual los clientes forman las líneas de espera. La disciplina de las líneas de espera explica el método usado para determinar el orden con el cual se atienden a los clientes. La disciplina más común es primero en llegar primero en ser atendido (PEPS) o sus siglas en inglés (FCFS), en el cual se atienden en el orden en que llegan. En la disciplina del (LCFS) el último en llegar y el primero en ser servido o UEPS, un ejemplo claro de esta disciplina es en el elevador. El SIRO, el servicio en orden aleatorio, cuando una persona que llama a una aerolínea se le hace esperar, la suerte determina con frecuencia quien será la siguiente persona en ser atendida por un operador. Se considera por ultimo las disciplinas de prioridad en las colas. Una disciplina de prioridad clasifica cada llegada en una categoría, cada categoría recibe luego un nivel de prioridad y dentro de cada nivel de prioridad los clientes entran en el servicio de acuerdo al FCFC. Las disciplinas de prioridad se usan a menudo en salas de urgencia con el objeto de determinar el orden en el cual los pacientes reciben atención. 7

2.4 ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE LINEA DE ESPERA

Servicio El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples, el tiempo de servicio varía de cliente a cliente, el tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ( ).El tiempo esperado de servicio equivale a 1/. Para representar todo lo mencionado aquí se encuentran unos modelos básicos de los sistemas de colas. Ejemplo:

8

3

N SERVIDORES UNA COLA.

Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. La operación de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema de dos canales al abrir un segundo canal de servicio. La siguiente figura muestra un diagrama de la línea de espera de dos canales de Burger Dome.

9

4

ANÁLISIS DE COSTO

Una de las decisiones habituales en el uso de este modelo puede serlo el de definir la cantidad de servidores necesarios. Por ejemplo, la cantidad de ascensores en un edificio, la cantidad de escritorios para un equipo de trabajo, etc. La decisión se deberá basar en una relación entre dos costos básicos: el costo de proveer servidores adicionales versus el costo de demorar o no prestar el servicio. Se asume que el costo de demorar el servicio es un monto definido por cliente, por unidad de tiempo insumida en el sistema. Si bien es relativamente sencillo conocer el costo de un servidor, el costo hacer esperar a un aclarar cliente puede veces, intangible y generalmente difícil dede establecer. Hay que que losresultar, costos apor la espera existen y en ciertos casos pueden ser muy significativos, por lo que deben ser estimados, si es que se desea realmente diseñar un sistema de colas inteligente y controlable. Los costos a los que nos acabamos de referir deben estar presentados por unidad de tiempo, a los efectos de realizar cálculos comparables. Si por ejemplo, el costo de un servidor consiste en el salario que debe pagarse a quien lo atiende, deberá anualizarse, para incluir aguinaldo, vacaciones, etc., y luego convertirlo en la misma unidad de tiempo que se use para determinar el tiempo de servicio o de espera. Si se define: Cd = Costo de demora por cliente por unidad de tiempo Cs = Costo por unidad de tiempo para agregar otro servidor L = Número promedio en el sistema El costo total por unidad de tiempo para una estación con c servidores es: L Cd + c Cs A medida que c aumenta, la capacidad adicional incrementará la velocidad del servicio y L irá disminuyendo. Por consiguiente, una información útil que debe brindar el sistema es el número de servidores que minimice el costo total.

10

4.1 ANÁLISIS DE COSTO En el caso que la sala de espera tenga una capacidad limitada, surgen otros análisis posibles. Así, se relacionan el costo de servidores adicionales versus el costo de perder el negocio con clientes que se retiran antes de ser atendidos, más el costo de la demora para

Los clientes atendidos Definiendo:

Cr = Costo de no brindar el servicio a un cliente A = Tasa de llegadas P = Probabilidad que un cliente se vaya de la cola sin ser atendido El costo total será

L Cd + c Cs + p A Cr

11

5

N SERVIDORES N COLAS.

El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separación no sería válida.

12

6

CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE LÍNEAS DE ESPERA.

Sistemas de colas: las llegadas - distribución de poisson La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. Propiedades. La función de masa de la distribución de Poisson es:

Donde: k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). es unparámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con = 10×4 = 40.Es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...).

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en

cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor

esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el npésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n. La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un no entero es igual a, el mayor de los enteros menores que (los símbolos representan la función parte entera). Cuando es un entero positivo, las modas son y − 1.

13

7

CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE LÍNEAS DE ESPERA.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles. La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro

es

Intervalo de confianza Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de

, se

propone en Guerriero (2012).1 Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:

Entonces los límites del parámetro

están dadas por:

.

Sumas de variables aleatorias de Poisson La suma cuyo de variables aleatorias de Poisson independientes es srcinales. otra variable aleatoria de Poisson parámetro es la suma de los parámetros de las Dicho de otra manera, si son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces 14

.

Sistema de colas: Distribución binomial La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y de una distribución binomial tienden a infinito y a cero de manera que se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson. Aproximación normal

Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de , una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.

Distribución exponencial Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro

t. Entonces,

los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.

15

8

APLICACION DE MODELOS DE DECISION EN LINEAS DE ESPERA.

La teoría de colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera". El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. también el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Las llegadas se describen por su distribución estadística. si las llegadas ocurren con una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo "poisson”.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. La teoría de colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera".

16

8.1 APLICACION DE MODELOS DE DECISION EN LINEAS DE ESPERA

Objetivos de la teoría de colas Dada la función de costes anterior, los objetivos de la teoría de colas consisten en: 

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.



Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.



Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones



Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la

cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

17

8.2 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN.

Características operativas. - Medidas de desempeño para una línea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc. Operación de estado estable. - Operación normal de la línea de espera después de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones de estado estable. Tasa media de llegada. - Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado. Tasa media de servicio. - Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una instalación de servicio en un periodo dado. Línea de espera de canales múltiples . - Línea de espera con dos o más instalaciones de servicio paralelas. Bloqueado. - Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la línea de espera debido a que el sistema está lleno. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir una cuando no se permiten tienen capacidad finita. las líneas de espera o cuando las líneas de espera

Población infinita. - Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un límite superior especificado. Población finita. - Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor fijo y finito.

18

8.3 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar: P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos). Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera. W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio. Todas estas características operativas de estado estable se obtienen mediante fórmulas que dependen del tipo de modelo de línea de espera que se esté manejando. Para calcular éstas, se necesitan los siguientes datos: λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de

llegadas) μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de

servicio).

19

9

CONCLUSIÓN

Como conclusión podemos decir que la teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. Esta información se deriva a través de un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva. Dicho así, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes. La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

20

10 FUENTES BIBLIOGRÁFICAS

Bibliografía: Eumed.net. (2017). Líneas de espera- teoría de colas - Libro 969 TOMA DE DECISIONES A TRAVÉS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. [online] Available at: http://www.eumed.net/librosgratis/2011b/969/lineas%20de%20espera%20teoria%20de%20colas.html Bibliografía: Eumed.net. (2017). L íneas de espera- teoría de colas - Libro 969 TOMA DE DECISIONES A TRAV ÉS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. [online] Available at: http://www.eumed.net/librosgratis/2011b/969/lineas%20de%20espera%20teoria%20de%20colas.html Bibliografía: Catarina.udlap.mx. (2017). Citar un sitio web - Cite This For Me. [online] Available at: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/garduno_a_f/capitulo2.pdf LIBRO: INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES_ Hillier and Lieberman Páginas: 708 712 721 LIBRO: Investigación de operaciones_ 9na_Edición_Hamdy A_Taha Páginas: 600 LIBRO: ADMINIDTRACIOIN DE LAS OPERACIONES _Roberto Carro Paz_Daniel Gonzales Gomez Páginas: 11

21