Linear Programming

 

BAB I PENDAHULUAN  A. Latar Belakang

Linear Line ar Programi Programing ng merupak merupakan an metode metode matemati matematik k dalam dalam mengalok mengalokasik asikan an sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Linear Programing banyak diterapkan dalam masal mas alah ah ekono ekonomi, mi, indus industri tri,, milite militer, r, sosia sosiall da dan n lain-l lain-lain ain.. Konse Konsep p da dasar sar Linea Linear  r  Programin Prog raming g telah telah ada pada pada jenjang jenjang pendidi pendidikan kan dasar, dasar, yang yang dimulai dimulai pengen pengenalan alan lambang bilangan yang direpresentasikan melalui gambar benda di sekitar siswa, kemudian penjumlahan, pengurangan, perkalian serta membandingkan banyaknya be bend nda. a.

Di

eko ekola lah h

!ene !eneng ngah ah Pert Pertam ama a

"!P "!P##

ko kons nsep ep

dipe diperl rlua uas s

mela melalu luii

pembelajaran materi istem Persamaan Linier atu $ariabel "PL$#, kemudian ditingka diti ngkatkan tkan melalui melalui materi materi istem istem Persama Persamaan an Linier Linier Dua $ariab $ariabel el "PLD$# "PLD$#,, di ekolah !enengah Atas "!A# telah diperkenalkan sistem pertidaksamaan linier  dan materi materi khusus khusus Linear Linear Programin Programing g yang menyajika menyajikan n persoala persoalan n sehari-ha sehari-hari, ri, ke kemu mudi dian an

mene menerj rjem emah ahka kan n

perm permas asal alah ahan an

ke

da dala lam m

mode modell

mate matema mati tika ka,,

menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas, mencari penyelesaian optimum, menjawab permasalahan. !etode yang digunakan adalah ada lah metode metode gra% gra%ik ik dengan dengan menggun menggunaka akan n uji titik titiksudu sudutt dan garis garis selidik. selidik. Pada Pada tingkat uni&ersitas, terdapat mata kuliah khusus Linear Programing yang membahas metode meto de penyele penyelesaia saian n Linear Linear Programin Programing g yang yang tujuanny tujuannya a mencari mencari keuntun keuntungan gan maksim mak simum um dan dan meng mengelu eluark arkan an bia biaya ya minimu minimum. m. !etod !etode e ya yang ng diberi diberikan kan pa pada da uni&ersitas adalah metode gra%ik, metode simpleks, metode analisis dual, metode transportasi. Dengan melihat pengalaman dan kenyataan tersebut, tampak menarik apabila dikaji secara khusus mengenai materi yang berkaitan dengan Linear Programing. Pada kesempatan ini penulis akan membahas pada materi yang berkaitan dengan Linear Programing di satuan pendidikan !A'!A dan materi-materi yang terkait

 

pada Linear Programing pada satuan pendidikan D'!(, !P'!)s, dan Perguruan )inggi.

BAB II PEMBAHASAN

 A. L(*+A PA!(* PA!(* Pemrogra Pemr ograman man Linier Linier disingka disingkatt PL merupak merupakan an metode metode matemat matematik ik dalam dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimu mema ksimumkan mkan keuntung keuntungan an dan meminimu meminimumkan mkan biaya. biaya. PL banyak banyak diterapk diterapkan an dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah %ungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. a. /ormulasi Permasalahan 0rutan pertama dalam penyelesaian penyelesaian adalah mempelajari sistem rele&an dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber  daya yang membatasi, alternati% keputusan yang mungkin "kegiatan atau akti&itas#, batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain. Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam %ormulasi %ormu lasi masalah. masalah. 0ntuk 0ntuk membentu membentuk k tujuan tujuan optimali optimalisasi sasi,, diperluk diperlukan an identi%ik identi%ikasi asi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai. b. Pembentukan model matematik

 

)ahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan op opti tima masi si ad adal alah ah memb membua uatt mode modell yang yang sesu sesuai ai un untu tuk k an anal alis isis is.. Pend Pendek ekat atan an ko kon&e n&ensi nsion onal al ris riset et opera operasio siona nall untuk untuk pemod pemodela elan n ad adala alah h memba membang ngun un model model matemati mate matik k yang yang menggam menggambark barkan an inti permasa permasalaha lahan. n. Kasus Kasus dari bentuk bentuk cerita cerita diterjema dite rjemahkan hkan ke model model matemat matematik. ik. !odel !odel matemati matematik k merupaka merupakan n represe representas ntasii ku kuan antit titat ati% i% tujua tujuan n dan dan sumbe sumberr daya daya ya yang ng memba membatas tasii se seba baga gaii %u %ung ngsi si &a &aria riabe bell keputusan. keputusa n. !odel matematika permasalahan permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. !odel matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. /ungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. )ujuan )ujua n dari suatu usaha bisa lebih dari satu. )etapi )etapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan. Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber  daya day a yang yang memba membatas tasi. i. /ungsi /ungsi pemba pembatas tas bisa bisa be berbe rbentu ntuk k pe persa rsamaa maan n "1 "1## atau atau perti pertida daksa ksama maan an "2 atau atau 3#. /u /ung ngsi si pemba pembata tas s di diseb sebut ut juga juga sebag sebagai ai ko konst nstrai rain. n. Konstan Kon stanta ta "baik "baik sebagai sebagai koe%isie koe%isien n maupun maupun nilai nilai kan kanan# an# dalam dalam %ungsi %ungsi pembatas pembatas maupu mau pun n pada pada tuj tujua uan n dikata dikataka kan n sebag sebagai ai pa param ramet eter er model model.. !ode !odell matem matemati atika ka mempunya memp unyaii beberap beberapa a keuntung keuntungan an dibandin dibandingaka gakan n pendes pendeskrip kripsian sian permasal permasalahan ahan secara &erbal. alah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. 4al ini cenderung membuat struk struktur tur ke kesel seluru uruha han n perma permasal salah ahan an lebih lebih mudah mudah dipah dipahami ami,, da dan n memb memban antu tu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. !odel matematik juga mem%asilitasi yang

berh rhu ubun bungan

dengan gan

perma rmasala salah han

dan

kes keselu luru ruh han ann nya

dan

mempertim memp ertimban bangka gkan n semua semua keterhub keterhubung unganny annya a secara secara simultan simultan.. )erakhir, rakhir, model model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer  kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan. Di si sisi si lain lain,,

mode modell

mate matema mati tik k

memp mempun unya yaii

kele kelema maha han. n. )ida )idak k

semu semua a

ka karak rakter terist istik ik sistem sistem dapa dapatt deng dengan an mud mudah ah dimod dimodelk elkan an mengg menggun unaka akan n %ungsi %ungsi matematik. !eskipun dapat dimodelkan dengan %ungsi matematik, kadang-kadang

 

peny penyele elesai saian annya nya sulit sulit dipe diperol roleh eh ka karen rena a kompl kompleks eksita itas s %u %ung ngsi si da dan n teknik teknik ya yang ng dibutuhkan.

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut 5 /ungsi tujuan 5 !aksimumkan atau minimumkan 6 1 c 787 9 c:8: 9 ... 9 cn8n umber daya yang membatasi 5 a7787 9 a7:8: 9 ... 9 a7n8n 1 '2 ' 3 b 7 a:787 9 a::8: 9 ; 9 a :n8n 1 '2 ' 3 b : ; am787 9 am:8: 9 ; 9 a mn8n 1 '2 ' 3 bm 87, 8:, ;, 8n 3 < imbol 87, 8:, ..., 8n "8i# menunjukkan &ariabel keputusan. =umlah &ariabel keputusan "8i# oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau akti&itas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. imbol c7,c:,...,cn merupakan kontribusi masingmasing masi ng &ariabel &ariabel keputus keputusan an terhada terhadap p tujuan, tujuan, disebut disebut juga koe%isie koe%isien n %ungsi %ungsi tujuan tujuan pada model matematiknya.imbol a77, ...,a7n,...,amn merupakan penggunaan per unit &ariabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koe%isien %ungsi kendala pada model matematiknya. imbol b 7,b:,...,bmmenunjukkan  jumlah masing-masing masing-masing sumber daya yang ada. =umlah %ungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas. Pertidaksamaan Pertidaksa maan terakhir "87, 8:, ;, 8n 3 ,?,; m "ad "ada a m bany banyakn aknya ya kenda kendala, la, k peuba peubah h keput keputusa usan# n# ke kend ndala ala ya yang ng be berbe rbent ntuk uk pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan beberapa cara sebagai berikut

 

"i# Bentuk Bentuk kendala kendala 8 j 2 bi. dapat dapat diubah diubah dengan dengan menyisip menyisipkan kan peubah peubah tambaha tambahan n st pada ruas kiri sedimikian hingga 9 st1 bt dengan st 3 , 8? 3 < sekarang dipeiksa apakah semua kendala utama tersebut memliki peubah dasar yang layakH 

Kendala ke-7 5 memiliki peubah dasar yang layak yaitu 8 >



Kendala ke-: 5 belum memiliki peubah dasar 



Kendala ke-> 5 memiliki peubah dasar tapi tidak layak, karena memuat nilai negati&e untuk -8?

leh karena itu, tabel tabel awal awal simpleks simpleks belum dapat dapat dibuat. dibuat. 0ntuk mendap mendapatka atkan n pemec pemecaha ahan n awal awal ya yang ng layak, layak, maka maka kenda kendala la keke-: : da dan n ke-> ke-> pe perlu rlu di ditam tamba bahk hkan an peubah semu yang bertindak sebagi peubah dasar yang layak. ebaga eb agaii akibat, akibat, timbu timbull syarat syarat perlu supaya soal asli mempuny mempunyai ai penyeles penyelesaian aian optimum ialah bahwa dalam tabel optimum peubah semu harus bernilai nol. Denagn demikian diharapkan bahwa peubah semu segera keluar dari dasar karena koe%isien ongkosnya negati&e besar, sehingga soal menjadi5 )entukan 87, 8:, 8>, 8? tidak negati&e dan

 

!aksimumkan C 1 ?87 9 E8: 9  9  1 :87 9 F8: -8E 1 7G< G87 9 E8: - 8? -8F 1 7F< dan 87, 8:, 8>, 8? , 8E, 8F 3 < sekarang soal sudah siap untuk dimasukan ke dalam tabel simpleks awal

. A*AL(( P(!AL - D0AL etiap persoalan Linear Programing selalu mempunyai dua macam analisis, yaitu 5 analisis primal dan analisis dual yang biasanya disebut analisis primal-dual. Model Umum Persoalan Primal - Dual  Bentuk Primal5 !aksimumkan 5 syarat ikatan 5 2 bi untuk i1 7, :, >, ...,m. dan j 3 , ...,n. i 3