TEORIA DE CONTROL 1 Vicente Peñaranda
[email protected]
MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
Para seguir adelante con el diseño del sistema de control se necesita en primer lugar entender el proceso. Típicamente, el conocimiento del proceso se cristaliza en la forma de un . Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al menos, bastante bien. La función transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo (LTI) se define como el cocienteentre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son nulas.
MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
Como los sistemas considerados son de naturaleza dinámica, las ecuaciones descriptivas son generalmente ecuaciones diferenciales. Por tanto si estas ecuaciones pueden linealizarse, entonces se puede utilizar la transformada de Laplace para simplificar el método de solución. En la practica, por la complejidad de los sistemas y el desconocimiento de todos los factores relevantes, es necesario introducir hipótesis sobre la operación del sistema. Por tanto, a veces será útil considerar el sistema físico, delinear algunas hipótesis necesarias y linealizar el sistema. Luego, empleando las leyes físicas que describen el sistema lineal equivalente, se puede obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales. Obtener la solución usando Laplace
MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
Un sistema es lineal si se aplica el principio de superposición. Es decir que la respuesta producida por la aplicación simultanea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales.
Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son función solo de la variable independiente. Los sistemas que se representan mediante Ec. Dif. Cuyos coeficientes son constantes se llaman Sist. Lineales invariantes en el tiempo. Los sistemas que se representan mediante Ec. Dif., cuyos coeficientes son función del tiempo se llaman Sist. Lineales variantes en el tiempo.
LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES
Es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto en un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada por separado y sumando los resultados. Es posible aproximar un sistema no lineal por un sistema lineal cuando el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio, es decir considerando un rango de operación limitado. Considérese un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t) la relación entre estas se obtiene mediante, y = f(t) Si la condición de operación normal corresponde a (xo , yo ) entonces la ecuación y= g(t) se expande en series de Taylor alrededor de ese punto, así: y =g(t)
Si la variación así:
x-xo es pequeña entonces la ecuación se puede escribir
y = yo + k(x – xo) donde yo=g(xo) y k=(dg/dx) evaluada en x=xo entonces la ecuación queda como y – yo = k(x-xo)
5
Linealización, Análisis Gráfico Dada una función no lineal y = f(x), su linealización en el entorno de un determinado punto de trabajo ( xo, yo) se obtiene de la forma siguiente:
QUE COINCIDE CON LA ECUACIÓN DE LA RECTA DE PENDIENTE IGUAL A LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN NO LINEAL EN EL PUNTO ( XO, YO), Y QUE PASA POR DICHO PUNTO. DEBE OBSERVARSE QUE LA DIFERENCIA ENTRE LA RECTA Y LA FUNCIÓN NO LINEAL INDICA EL RANGO DE VALIDEZ DEL MODELO, ES DECIR, LA TOLERANCIA PERMITIDA DEBE SER MAYOR QUE DICHA DIFERENCIA. 6
Ej. Ec. No lineal y=f(x 1,x2), se puede escribir la serie de Taylor alrededor del punto de operación, x 1* y x2*
EJEMPLO: LINEALIZAR LA SIGUIENTE EC. NO LINEAL Z = XY EN LA REGIÓN 5≤X≤7, 10≤Y≤12. ENCUENTRE EL ERROR SI LA EC, LINEALIZADA SE UTILIZA PARA CALCULAR EL VALOR DE Z CUANDO X=5, Y=10 7
TOMANDO A X* Y Y* COMO 6 Y 11 RESPECTIVAMENTE, YA QUE ESTÁN DENTRO DEL RANGO ESTABLECIDO
