Linealizacion

Aproximaciones lineales de Sistemas Físicos 

Aproximaciones lineales de Sistemas Físicos

Sistema Lineal: 





Se define en términos de su s u excitación y respuesta



1

Aproximación Lineal de Sistemas Matemáticos No Lineales





y = mx+b

No satisface la propiedad de superposición No cumple principio de homogeneidad

I ng. Gabri ela Ortiz L.

2

Aproximación Lineal de Sistemas Matemáticos No Lineales

Método 



Superposición Homogeneidad

I ng. Gabri ela Ortiz L.





Ejemplos y = x2



Un sistema lineal satisface las propiedades de: 

Sistemas No Lineales



Series de Taylor para obtener aproximación Considerando Considerando un sistema dinámico donde:  x(t): excitación  y(t) : respuesta Las variables se relacionan por

Considerando Considerando que en el rango de interés la función es continua, por tanto puede emplearse una expansión en Serie de Taylor en el punto de operación x0:

 y =  f ( x) =  f ( x0 ) +

df  dx  x = x

( x − x0 ) + 0

1 d 2 f  2! dx 2

( x − x0 ) 2 + ...  x = x0

 y(t)=f(x(t)) 

Punto de operación normal



 x0 , y0 I ng. Gabri ela Ortiz L.

3

 x-x0) es pequeña, es posible no Si la variación ( x-x considerar los términos de orden superior de ( x-x0)

I ng. Gabri ela Ortiz L.

4

1

Aproximación Lineal de Sistemas Matemáticos No Lineales 

Aproximación Lineal de Sistemas Matemáticos No Lineales

Además la pendiente en el punto de operación está dada por:

k  =



Aproximación lineal cerca del punto de operación se puede representar como:

df 

 y − y0 = k ( x − x0 )

dx  x = x

0



Entonces la expansión se reduce a:



 y =  y0 + k ( x − x0 ) Ing. Gabriela Ortiz L.

5

Ing. Gabriela Ortiz L.

Sistema No Lineal cuya salida es función de 2 entradas 

Una aproximación lineal es exacta si es aplicable la hipótesis de pequeña señal.

Sistema No Lineal cuya salida es función de 2 entradas

Considere  y=f(x1 ,x2 ) donde  x1 y x2 son entradas



Expansión en series de Taylor alrededor del punto de operación normal 

 x1  x2

Sistema

 y =  f ( x10 , x20 ) + 

( x1 − x10 ) +

1

10

2

20



Punto de operación normal  x10,  x20

Ing. Gabriela Ortiz L.

∂ f 

 ∂ x1  x = x   x = x

y

+



6

1  ∂ 2 f 

2!  ∂ x12



7



∂ f  ∂ x2

 x1 = x10  x2 = x20

( x2 − x20 )  +

 

2

 x1 = x10

( x1 − x10 ) 2 + 2

 x 2 = x20

Ing. Gabriela Ortiz L.

∂ x1∂ x2

   

2

∂  f   x1 = x10  x2 = x20

( x1 − x10 )( x2 − x20 ) +

∂  f  2

∂ x2

 x1 = x10

( x2 − x20 ) 2 + K

 x2 = x20

8

2

Sistema No Lineal cuya salida es función de 2 entradas 

Linealización utilizando ecuaciones de estado

Trabajando cerca del punto de operación:



 y − y0 = k 1 ( x1 − x10 ) + k 2 ( x2 − x20 ) 

Donde

k 1 =

k 2 = Ing. Gabriela Ortiz L.

d x(t ) =  f [x (t ), r (t )] dt 

∂ f  ∂ x1





Donde x(t  = ector de estado de nx1

 x1 = x10  x2 = x20

r (t ) = ector de entrada x1

∂ f  ∂ x2

 f [ x(t  , r (t  ] = ector función de nx1  x1 = x10 9

 x2 = x20

Linealización utilizando ecuaciones de estado 

Un sistema con p-entradas y n-variables de estado se representa por:

Ing. Gabriela Ortiz L.

10

Linealización utilizando ecuaciones de estado

Trayectoria de operación 

x0(t) :entrada nominal



r0(t) : estados iniciales



Hacemos

 x& 0i =  f ( x 0 , r0 )

Expansión de la serie de Taylor alrededor de x0(t) y despreciando los términos de orden superior

 x&i =  fi ( x 0 , r0 ) +

+ Ing. Gabriela Ortiz L.

 p

∂ f i (x, r )

 j =1

∂r   j

∑

n

∂ f i (x, r )

 j =1

∂ x j

∑

∆ x&i =  x&i − x&i 0

( x j − x j 0 ) +

∆ x j =  x j − x j 0

 x0 , r 0

∆ r  j = r  j − r  j 0

(r  j − r  j 0 )  x0 , r 0

Donde i=1,2,…n

11

Ing. Gabriela Ortiz L.

12

3

Linealización utilizando ecuaciones de estado 

La ecuación se describe entonces como:

∆ x&i =



Linealización utilizando ecuaciones de estado

n

∑  j =1

∂ f i ( x, r ) ∂ x j

 p

∆ x j +  x0 , r 0

∑  j =1

∂ f i ( x, r ) ∂r  j



∆r  j  x0 , r 0

Matricialmente

& = A∆x + B∆r ∆x Ing. Gabriela Ortiz L.

13

Donde

 ∂ f 1  ∂ x  1  ∂ f 2 A =  ∂ x 1  M  ∂ f n   ∂ x1

∂ f 1 ∂ x2 ∂ f 2 ∂ x2

M ∂ f n ∂ x2

Ing. Gabriela Ortiz L.

L L L L

 ∂ xn   ∂ f 2  ∂ xn  M  ∂ f n   ∂ xn  ∂ f 1

 ∂ f 1  ∂r   1  ∂ f 2 B =  ∂r 1  M  ∂ f   n  ∂r 1

∂ f 1 ∂r 2 ∂ f 2 ∂r 2

M ∂ f n ∂r 2

L

∂ f 1 

 ∂r   p 

L L L

∂ f 2 

 ∂r   p 

M  ∂ f n



∂r   p   14

Referencias [1]

Kuo, Benjamín C. Sistemas de Control Automático . Prentice Hall, 7 edición, 1996, México.

[2]

Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna . Prentice Hall, 4 Edición, 2003, México

Ing. Gabriela Ortiz L.

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