linea piezometrica ejercicios importantes para practicar sobre el desarrollo...
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
Toda la teoría que se utiliza en la resolución de los siguientes ejemplos, está basada en el Capítulo 8, del libro del Ing. Fernando Silva. Por lo tanto, se recomienda su lectura previa antes de seguir adelante con la comprensión de los ejemplos.
Ejemplo A. Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e=0,046 mm). La cañería tiene un diámetro de 63mm y una longitud de 25m. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. calcular la altura en A si la velocidad en la cañería es de 2 m/s c. dibujar la línea piezométrica
-6
A
válvula exclusa
zA=?
válvula exclusa
B
10m
El.10 m
H G
C
E
D
Eje de referencia
F
D=152mm L2=210 m L1=20m Datos:
Sección de la cañería
V := 2
L3=20 m
m
ε := 0.046mm 0.046 mm
D := 152mm 152mm
zB := 0m
zC := 0m
zD := 0m
zF := 0m
zG := 10m 10m
zH := 10m 10m
L1 := 20m 20m
L2 := 210m 210m
L3 := 20m 20m
LB_G := L1 + L2 + L3
LB_G = 250 m
A :=
s
π⋅D
2
A = 0.0181 m
4
2
2 N − 6 m γ agua := 9810⋅ ν := 1.011⋅ 10 ⋅ 3
s
m
zE := 0m
Caudal en la cañería
Q := V⋅ A
Q = 0.0363
m
3
s
a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Longitud total cañería
LB_G = 250 m
Longitud promedio entre pérdidas localizadas
Lprom :=
Longitud de comparación
D⋅ 500 = 76 m
Cantidad de pérdidas localizadas
LB_G
n := 4
Lprom = 62.5 m
n
Conclusión: como Lprom es < que D*500 entonces sí tenemos tenemos en cuenta las pérdidas localizadas
b) Cálculo de la altura en A: zA
V
Ecuación de la energía entre A y F
Q − Weje = ρ ⋅ Q⋅
Como en nuestro caso:
VA = VH = 0
Dividiendo m. a m. por g, resulta:
zA = zH +
Por la ecuación de Darcy-Weisbach, podemos poner
uH − uA g
2
H
2
− VA
2
+ ( uH − uA) + ( zH − zA) ⋅ g +
pA = pH = 0
ρ
Weje = Q = 0
uH − uA g
[1]
= ∆HA_H = ∆Hfricción + ∆Hlocaliz
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
pH − pA
2 4 LB_G V2 Vi = f ⋅ ⋅ + Ki ⋅ D 2⋅ g 2g i =1
Actualizazión: 06/09/2011
∑
[2]
Pág. 1 de 9
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
2 L 4 2 Vi B_G V Reemplazando [2] en [1], zA = zH + f ⋅ ⋅ + Ki ⋅ resulta: 2g D 2⋅ g i =1
∑
[3]
Estamos ante el primero de los tres casos típicos planteados en el Capítulo 8, punto 8.9 --------------- -------->
Evaluaremos ahora las entrada de depósito a caño Ke := 0.5 pérdidas localizadas salida de caño a depósito (datos sacados de la Ks := 1 tabla del Capítulo 8.8 Kv del libro del Ing. Silva) válvula esférica de paso total =3 f t_152mm
Planteo ecuación de la energía en la instalación f t_152mm := 0.015 Kv := 3⋅ 0.015
2
∆Hlocaliz := ( Ke + Ks + 2⋅ Kv) ⋅
h( f ) := −
1
Kv = 0.05
2g
[4]
= 0.32 m
V⋅ D
Re :=
Calculo el factor de fricción con el diagrama de Moody o la fórmula de Colebrook-White (si es agua, se puede utilizar Hazen y Williams)
f := root( h( f) , f )
f = 0.0173
2
∆Hfricción := f ⋅
Reemplazando [4] y [5] en [3], resulta:
LB_G V ⋅ D 2g
[5]
∆Hfricción = 5.81 m
zA := zH + ∆Hfricción + ∆Hlocaliz ∆Hlocaliz
Se reemplaza el factor de fricción f en la ecuación de DarcyWeisbach
zA = 16.13 m
(∆Hfricción + ∆Hlocaliz) = 6.13 m
= 5.58 %
∆Hfricción
Como el factor de fricción es función de: f=F(ε/D;Re), calculo: ε/D y Re
Re = 300692
ν
ε + 2.51 − 0.86⋅ ln ⋅ f Re⋅ f D 3.7
f := 0.01
Calculo las pérdidas por la ecuación de DarcyWeisbach
2
2⋅ g
ε Calculo los datos = 0.0003 necesarios para D encontrar los factores de fricción
Factor de fricción f por fórmula de Colebrook-White
V
2⋅ m s ( 0.5 + 1 + 2⋅ 3⋅ 0.015 )⋅
∆Hlocaliz =
Datos: V,D, L, ν, ε
c) Trazado de la línea piezométrica Altura piezométrica en un punto genérico "i" Para el punto A, resultará: Planteando ec. de la energía entre A y B
Hi = zi +
pi
HA = zA +
zA +
pA γ
γ pA 2
+
VA
2g
V 2 HA +
HA := zA + 0
γ
A
2g
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
+
+
uA g
uA g
= zB +
= HB +
pB γ
V
2
+
2
B
2g
HA = 16.13 m
+
VB
2g
+
uB g
uB g
Actualizazión: 06/09/2011
Pág. 2 de 9
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
V 2 H B = HA +
A
+
2g
uA
V 2 −
g
VA := 0
B
uB
+
2g
g
VB := V 2
HB := HA −
VB = 2
m
uB − uA
s
g
2
VB
= ∆HA_B = Ke ⋅
2g
VB
HB = 15.83 m 2g 2g ______________________________________________________________________________________________________________
Planteando ec. de la energía entre B y C
zB +
pB γ
2
+
V HB +
− Ke⋅
2
VB
VB
+
2g +
2g
g
uB
2
B
uB
= zC +
= HC +
g
2
pC
+
γ
V
VC
2g
+
2g
g
uC
2
C
uC
+
VB = VC
g
L1 V2 HC = HB − ∆HB_C HC := HB − f ⋅ ⋅ HC = 15.36 m D 2g ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre C y D
zC +
2
pC
+
γ
V HC +
VC
2g
+
2g
g
uC
2
C
uC
+
g
pD
= zD +
γ
V = HD +
2
VD
+
2g
2
D
2g
+
+
g
uD
VC = VD
g
2
2
V
HD = HC − Kv⋅
uD
V
HD := HC − Kv⋅ HD = 15.35 m 2g 2g ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre D y E
zD +
2
pD
+
γ
V HD +
VD
2g
+
2g
g
uD
2
D
uD
+
g
pE
= zE +
γ
2
+
V 2 = HE +
E
2g
+
VE
+
2g
uE g
uE
VD = VE
g
L2 V2 HE := HD − f ⋅ ⋅ D 2g
HE = HD − ∆HD_E
HE = 10.47 m
______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre E y F
zE +
pE γ
2
+
VE
2g
V 2 HE +
E
2g
+
uE
+
g
uE g
= zF +
= HF +
pF γ
V
+
2
F
2g
+
VF
2
+
2g
uF g
uF
VE = VF
g
2
HF := HE − Kv⋅
V
HF = 10.46 m 2g ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre F y G
zF +
pF γ
+
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
VF
2
2g
+
uF g
= zG +
pG γ
2
+
VG
2g
+
uG g
Actualizazión: 06/09/2011
Pág. 3 de 9
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
V 2 F
HF +
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
uF
+
2g
g
V
2
G
= HG +
+
2g
uG
VF = VG
g
L3 V2 HG := HF − f ⋅ ⋅ D 2g
HG = HF − ∆HF_G
HG = 10 m
______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre G y H
2
pG
zG +
+
γ
V HG +
VG
+
2g
2
G
+
2g
uG g
uG g
HH := HG +
2g
γ
V
2
+
2
H
= HH +
2
VG
= zH +
pH
2g
+
VH
2g
uH
+
g
uH
VH := 0
g
-1
VG := V
VG = 2 s ⋅ m
2
− Ks⋅
V
HH = 10 m
2g
Nota: escala vertical = 10 x escala horizontal
A
l í ne a p i e z om é tr i c a: H i= z i+ γ / i g H
zA=16,13m m 3 1 , 6 1 = A H
m 3 8 , 5 1 = B H
m 6 3 , 5 1 = C H
m 5 3 , 5 1 = D H
m 7 4 , 0 1 = E H
m 6 4 , m 0 0 1 1 = = F G H H
B
m 0 1 = H H
10m
G C
E
D
Eje de referencia
F
D=152mm L2=210 m L1=20m
L3=20 m
Ejemplo B Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e =0,046 mm). El diámetro en todo el recorrido es de 51 mm. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10-6 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. la potencia de la bomba para lograr una velocidad a la salida de 2,5 m/s c. las alturas piezométricas en cada uno de los puntos indicados en la figura (1 a 7) d. trazar la línea piezométrica
1
7 V7=2,5 m/s
6
30
30
bomba
nivel de referencia
3
2
50
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
4
5
80
Actualizazión: 06/09/2011
120
Pág. 4 de 9
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
Datos:
ε := 0.046mm
z1 := 30m
N
γ := 9810 ⋅
m
V := 2.5
Velocidad en la cañería (es la misma en toda la sección)
V1 := 0
Longitudes parciales
L2_3 := 50m
Caudal en la cañería
A :=
z7 := 30m
ν 20ºC := 1.011⋅ 10
L1_7 := ( 50 + 80 + 30 + 120) m
3
D := 51mm
Sección de la cañería
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
−6 m
⋅
2
s
L1_7 = 280 m
m s
V2 := V V3 := V V4 := V V5 := V V6 := V V7 := V
π⋅D
L4_5 := 80m
2
A = 0.002 m
4
Q := V7 ⋅ A
Q = 0.0051
L5_6 := 30m
L6_7 := 120m
2
m
3
s
a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Todas las distancias entre accesorios supera esa longitud, por lo que no hace falta considerarlas
D 500 ⋅ = 25.5 m
b) Cálculo de la potencia de la bomba Ecuación de la energía entre 1 y 7
V Wbomba = ρ ⋅ Q⋅
2
7
− V1
2
Wbomba g
+ ( u7 − u1 ) + ( z7 − z1 ) ⋅ g +
p7 − p1 ρ
p7 = p1 = 0
V1 := 0 Dividiendo m. a m. por g, resulta:
2
V 2 7
= ρ ⋅ Q⋅
2g V 2
Wbomba = γ ⋅ Q⋅
7
2g
u7 − u1 + g
+ ( z7 − z1 )
+ ( ∆h1_7 ) + ( z7 − z1 )
2
L1_7 V7 Con la expreción de ∆h1_7 = f ⋅ ⋅ Darcy-Weisbach, D 2g calculamos las pérdidas Re :=
Factor de fricción
V7⋅ D ν 20ºC
h( f ) := −
1
ε
Re = 126113
D
ε + 2.51 − 0.86⋅ ln ⋅ f Re⋅ f D 3.7
f = 0.0218
= 0.0009
f := 0.01
root( h( f) , f ) = 0.0218
f := root( h( f ) , f )
f := 0.0218 2
L1_7 V7 ∆h1_7 := f ⋅ ⋅ D 2g
V 2 Wbomba := γ ⋅ Q⋅ Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
7
2g
∆h1_7 = 38.14 m
+ ( ∆h1_7 ) + ( z7 − z1 )
Actualizazión: 06/09/2011
Wbomba = 1926.75 W Pág. 5 de 9
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
b) Cálculo de las alturas piezométricas de los puntos indicados: p1 := 0 H1 :=
planteando Ec. de la energía entre 1 y 2
p1
p 0=
z1 = 30 m
γ
2
γ
+ z1
+ z2 +
H2 := H1 −
p
H1 = 30 m
V2
V2
2
2⋅ g
p −
V1
2
0 = H2 +
2g
2g
− H1 + 0
H2 = 29.68 m
V3
2
u3
0 = H3 − H2 + ∆h2_3 =>
+ z3 +
+
2⋅ g
g
p −
2
γ
+ z2 +
V2
Wbomba = γ ⋅ Q⋅
p
4
+ z4 +
γ
+
H3 = H2 − ∆h2_3
H3 = H2 − 0.0218⋅
V4
u4
2
2⋅ g
+
g
siendo
g
V2 = V3
L2_3 = 50 m 2
50⋅ m
V
H3 = 22.87 m
⋅ 51⋅ mm 2⋅ g
p −
u2
2
2⋅ g
2
L2_3 V3 H3 := H2 − f ⋅ ⋅ D 2g
siendo V3=V4 y despreciando las pérdidas, resulta:
2
2g
siendo V2=V3, resulta
planteando Ec. de la energía entre 3 y 4
V2
2
0=
γ
+ z1 +
γ
planteando Ec. de la energía entre 2 y 3
3
1
3
+ z3 +
γ
V3
u3
2
2⋅ g
+
g
Wbomba = γ ⋅ Q⋅ ( H4 − H3 )
H4 := H3 +
p
Wbomba
H4 = 61.33 m
γ ⋅ Q 2
u5
planteando Ec. de la Energía entre 4 y 5
0=
siendo V4=V5 resulta:
0 = H5 − H4 + ∆h4_5 =>
5
γ
+ z5 +
V5
2⋅ g
+
g
p −
4
γ
+ z4 +
V4
2
2⋅ g
H5 = H4. − ∆h4_5
+
u4 g L4_5 := 80m
2
L4_5 V5 H5 := H4 − f ⋅ ⋅ D 2g
p
H5 = 50.43 m
p
2
planteando Ec. de la Energía entre 5 y 6
0=
siendo V5=V6, resulta:
0 = H6 − H5 + ∆h5_6 =>
6
γ
+ z6 +
V6
2⋅ g
+ u6 −
5
γ
+ z5 +
V5
2
2⋅ g
H6 = H5. − ∆h5_6
+ u5
L5_6 := 30m
2
L5_6 V6 H6 := H5 − f ⋅ ⋅ D 2g
planteando Ec. de la energía entre 6 y 7:
p 0=
7
γ
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
+ z7 +
V7
2
2⋅ g
H6 = 46.35 m
p + u7 −
6
γ
+ z6 +
V6
2
2⋅ g
+ u6
Actualizazión: 06/09/2011
siendo
V7 = V6
Pág. 6 de 9
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
siendo V6=V7, resulta
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
0 = H7 − H6 + ∆h6_7 =>
H7 = H6. − ∆h6_7
L6_7 := 120m
2
L6_7 V7 H7 := H6 − f ⋅ ⋅ D 2g
H7 = 30 m
Como no cambia el diámetro ni el material de la cañería, Re y ε/D se mantienen constante en todo el recorrido, por lo que la pendiente de la línea piezométrica, entre los tramos, es la misma. H4=61,44m H5=50.51m H6=46.41m 1
H1=30m H2=29,68m
6
H3=22,85m
30
l í n e a p i e z om é t r ic a
7 H7=30m
30
bomba
nivel de referencia
4
3
2
5
50
80
120
Ejemplo C. Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e=0,046 mm). La cañería tiene un cambio de diámetro a mitad del recorrido según se muestra en la figura. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10 -6 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. calcular la altura en A si la velocidad en el tramo 2 es de 2,5 m/s c. dibujar la línea piezométrica A
zA=?
B
F
C
D2=50mm
D1=63mm
Datos:
V2 := 2.5
m
ε := 0.046mm
s
ν := 1.011⋅ 10
−6 m
⋅
L2=125 m
D1 := 63mm
2
γ agua := 9810 ⋅
s
D2 := 50mm N m
zB := 0m
zC := 0m
zD := 0m
zF := 10m
L1 := 125m
L2 := 125m
LB_E := L1 + L2
LB_E = 250 m
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
10m Eje de referencia
E
D
L1=125 m
El.10 m
Actualizazión: 06/09/2011
3
zE := 0m
Pág. 7 de 9
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
Sección de la cañería
A1 :=
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
π ⋅ D1
2
A1 = 0.0031 m
4
Caudal en la cañería
Q := V2 ⋅ A2
Por continuidad, planteo V1
V1 :=
Q = 0.0049
Q
V1 = 1.57
A1
m
2
A2 :=
3
π ⋅ D2
2
A2 = 0.002 m
4
s
m s
a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Longitud total cañería Longitud total equivalente de la cañería
L1 = 125 m
2
L2 = 125 m
L2_equiv := L2⋅
D1 D2
5
L2_equiv = 396.97 m
L1 + L2_equiv = 521.97 m
Cantidad de pérdidas localizadas
n := 3
Longitud promedio entre pérdidas localizadas
Lprom :=
Longitud de comparación
D1⋅ 500 = 31.5 m
L1 + L2_equiv
Lprom = 173.99 m
n
Conclusión: como Lprom es > que D*500 entonces no tenemos en cuenta las pérdidas localizadas b) Cálculo de la altura en A: zA
V
Ecuación de la energía entre A y F
Q − Weje = ρ ⋅ Q⋅
Como en nuestro caso:
VF = VA = 0
Dividiendo m. a m. por g, resulta:
zA = zF +
Por la ecuación de Darcy-Weisbach, podemos poner Pero al tener dos tramos de cañerías de distinto diámetro, debemos poner:
uF − uA g
2
− VA
2
+ ( uF − uA) + ( zF − zA) ⋅ g +
pA = pF = 0
pF − pA ρ
Weje = Q = 0
uF − uA g
[1] 2
= ∆HA_F n
∆HA_F =
2
F
∑ i =1
L V = f ⋅ ⋅ D 2g
[2]
Li Vi L1 V1 L2 V2 f i ⋅ ⋅ + f 2⋅ ⋅ = f 1 ⋅ ⋅ D1 2g D2 2g Di 2g 2
2
2
2
[3]
2
L1 V1 L2 V2 Reemplazando [3] en [2] y a zA = zF + f 1 ⋅ ⋅ + f 2⋅ ⋅ su vez en [1], resulta: D1 2g D2 2g
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
Actualizazión: 06/09/2011
Pág. 8 de 9
UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
Datos: V1,V2, D1, D2, L1, L2, ν, ε
Estamos ante el primero de los tres casos típicos planteados en el Capítulo 8, punto 8.9 --------------- --------> Calculo los datos necesarios para encontrar los factores de fricción
ε
D1
ε
= 0.00073
Re1 :=
D2
V1⋅ D1
Re2 :=
ν
Re1 = 98127 h( f 1 ) := −
Factor de fricción f1 por fórmula de Colebrook-White
h( f 2 ) := −
V2⋅ D2
Planteo ecuación de la energía en la instalación
ν
Re2 = 123640
ε + 2.51 − 0.86⋅ ln f 1 D1⋅ 3.7 Re1⋅ f 1
Calculo las pérdidas por la ecuación de DarcyWeisbach
1
f 1 := root( h( f1 ) , f 1 )
f 1 := 0.01 Factor de fricción f2 por fórmula de Colebrook-White
= 0.00092
1
2.51
ε
f 1 = 0.0217
Como el factor de fricción es función de: f=F(ε/D;Re), calculo: ε /D1, ε /D2 y Re1 y Re2
− 0.86⋅ ln + D2⋅ 3.7 f 2 Re2⋅ f 2 f 2 := root( h( f2 ) , f 2 )
f 2 := 0.01
f 2 = 0.0219
Calculo el factor de fricción con el diagrama de Moody o la fórmula de Colebrook-White (si es agua, se puede utilizar Hazen y Williams)
2
L1 V1 ∆H1 := f 1⋅ ⋅ D1 2g
∆H1 = 5.44 m
2
L2 V2 ∆H2 := f 2⋅ ⋅ D2 2g
∆H2 = 17.44 m 2
Reemplazando [3] en [2] y a su vez en [1], resulta:
2
L1 V1 L2 V2 zA := zF + f 1 ⋅ ⋅ + f 2⋅ ⋅ D1 2g D2 2g 2
125⋅ m V1 zA = 10⋅ m + f 1⋅ ⋅ 63⋅ mm 2⋅ g
Con el factor de fricción f1 y f2, se resuelve el problema
2.5⋅ m 125⋅ m s + f ⋅ ⋅ 2
50⋅ mm
2⋅ g
2
= 32.87 m
c) Trazado de la línea piezométrica El.33,11m
H1=5,5m
A
33,11m
B
∆H2=17,6m F
C D
E
D2=50mm
D1=63mm L1=125 m
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
El.10 m
10m Eje de referencia
L2=125 m
Actualizazión: 06/09/2011
Pág. 9 de 9
