Linea Piezometrica

UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada

Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

Toda la teoría que se utiliza en la resolución de los siguientes ejemplos, está basada en el Capítulo 8, del libro del Ing. Fernando Silva. Por lo tanto, se recomienda su lectura previa antes de seguir adelante con la comprensión de los ejemplos.

Ejemplo A. Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e=0,046 mm). La cañería tiene un diámetro de 63mm y una longitud de 25m. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. calcular la altura en A si la velocidad en la cañería es de 2 m/s c. dibujar la línea piezométrica

-6

A

válvula exclusa

zA=?

válvula exclusa

B

10m

El.10 m

H G

C

E

D

Eje de referencia

F

D=152mm L2=210 m L1=20m Datos:

Sección de la cañería

V := 2

L3=20 m

m

ε :=   0.046mm 0.046 mm

D := 152mm 152mm

zB := 0m

zC := 0m

zD := 0m

zF := 0m

zG := 10m 10m

zH := 10m 10m

L1 := 20m 20m

L2 := 210m 210m

L3 := 20m 20m

LB_G := L1 + L2 + L3

LB_G = 250 m

A :=

s

π⋅D

2

A =  0.0181 m

4

2

2 N − 6 m γ agua :=   9810⋅ ν := 1.011⋅ 10 ⋅ 3

s

m

zE := 0m

Caudal en la cañería

Q := V⋅ A

Q =  0.0363

m

3

s

a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Longitud total cañería

LB_G = 250 m

Longitud promedio entre pérdidas localizadas

Lprom :=

Longitud de comparación

D⋅ 500 = 76 m

Cantidad de pérdidas localizadas

LB_G

n := 4

Lprom =  62.5 m

n

Conclusión: como Lprom es < que D*500 entonces sí  tenemos  tenemos en cuenta las pérdidas localizadas

b) Cálculo de la altura en A: zA

V

Ecuación de la energía entre A y F

Q − Weje = ρ ⋅ Q⋅

Como en nuestro caso:

VA = VH = 0

Dividiendo m. a m. por  g, resulta:

zA = zH +

Por la ecuación de Darcy-Weisbach, podemos poner 

uH − uA g

2

H



2

− VA

2

+ ( uH − uA) + ( zH − zA) ⋅ g +

pA = pH = 0

ρ



Weje = Q = 0

 uH − uA    g  

[1]

= ∆HA_H = ∆Hfricción + ∆Hlocaliz

Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

pH − pA

2 4 LB_G V2 Vi = f ⋅ ⋅ + Ki ⋅ D 2⋅ g 2g i =1

Actualizazión: 06/09/2011

∑

[2]

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Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

2   L 4 2 Vi   B_G V Reemplazando [2] en [1], zA = zH + f ⋅ ⋅ + Ki ⋅ resulta: 2g   D 2⋅ g i =1    

∑

[3]

Estamos ante el primero de los tres casos típicos planteados en el Capítulo 8, punto 8.9 --------------- -------->

Evaluaremos ahora las entrada de depósito a caño Ke := 0.5 pérdidas localizadas salida de caño a depósito (datos sacados de la Ks := 1 tabla del Capítulo 8.8 Kv del libro del Ing. Silva) válvula esférica de paso total =3 f t_152mm

Planteo ecuación de la energía en la instalación f t_152mm :=   0.015 Kv := 3⋅ 0.015

2

∆Hlocaliz := ( Ke + Ks + 2⋅ Kv) ⋅

h( f ) := −

1

Kv =  0.05

2g

[4]

= 0.32 m

V⋅ D

Re :=

Calculo el factor de fricción con el diagrama de Moody o la fórmula de Colebrook-White (si es agua, se puede utilizar Hazen y Williams)

f := root( h( f)  , f )

f  =  0.0173

2

∆Hfricción := f ⋅

Reemplazando [4] y [5] en [3], resulta:

LB_G V ⋅ D 2g

[5]

∆Hfricción =  5.81 m

zA := zH + ∆Hfricción + ∆Hlocaliz ∆Hlocaliz

Se reemplaza el factor de fricción f en la ecuación de DarcyWeisbach

zA =  16.13 m

(∆Hfricción + ∆Hlocaliz) =  6.13 m

= 5.58 %

∆Hfricción

Como el factor de fricción es función de: f=F(ε/D;Re), calculo: ε/D y Re

Re =  300692

 ν

  ε + 2.51     − 0.86⋅ ln ⋅ f  Re⋅ f    D 3.7

f :=  0.01

Calculo las pérdidas por la ecuación de DarcyWeisbach

2

2⋅ g

ε Calculo los datos = 0.0003 necesarios para D encontrar los factores de fricción

Factor de fricción f  por fórmula de Colebrook-White

V

 2⋅ m    s  ( 0.5 + 1 + 2⋅ 3⋅ 0.015   )⋅

∆Hlocaliz =

Datos: V,D, L,  ν, ε

c) Trazado de la línea piezométrica Altura piezométrica en un punto genérico "i" Para el punto A, resultará: Planteando ec. de la energía entre A y B

Hi = zi +

pi

HA = zA +

zA +

pA γ 

γ  pA 2

+

VA

2g

 V 2 HA +

HA := zA + 0

γ 

A

  2g

Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

+

+

uA  g  

uA g

= zB +

= HB +

pB γ 

 V

2

+

2

B

  2g

HA =  16.13 m

+

VB

2g

+

uB g

uB  g  

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Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

 V 2 H B = HA +

A

+

  2g

uA 

 V 2 −

g  

VA := 0

B

uB 

+

  2g

g  

VB := V 2

HB := HA −

VB = 2

m

uB − uA

s

g

2

VB

= ∆HA_B = Ke ⋅

2g

VB

HB =  15.83 m 2g 2g  ______________________________________________________________________________________________________________ 

Planteando ec. de la energía entre B y C

zB +

pB γ 

2

+

 V HB +

− Ke⋅

2

VB

VB

+

2g +

  2g

g

uB 

2

B

uB

= zC +

= HC +

g  

2

pC

+

γ 

 V

VC

2g

+

  2g

g

uC 

2

C

uC

+

VB = VC

g  

L1 V2 HC = HB − ∆HB_C HC := HB − f ⋅ ⋅ HC =  15.36 m D 2g  ______________________________________________________________________________________________________________  Planteando ec. de la energía entre C y D

zC +

2

pC

+

γ 

 V HC +

VC

  2g

+

2g

g

uC 

2

C

uC

+

g  

pD

= zD +

γ 

 V = HD +

2

VD

+

2g

2

D

  2g

+

+

g

uD 

VC = VD

g  

2

2

V

HD = HC − Kv⋅

uD

V

HD := HC − Kv⋅ HD =  15.35 m 2g 2g  ______________________________________________________________________________________________________________  Planteando ec. de la energía entre D y E

zD +

2

pD

+

γ 

 V HD +

VD

  2g

+

2g

g

uD 

2

D

uD

+

g  

pE

= zE +

γ 

2

+

 V 2 = HE +

E

  2g

+

VE

+

2g

uE g

uE 

VD = VE

g  

L2 V2 HE := HD − f ⋅ ⋅ D 2g

HE = HD − ∆HD_E

HE =  10.47 m

 ______________________________________________________________________________________________________________  Planteando ec. de la energía entre E y F

zE +

pE γ 

2

+

VE

2g

 V 2 HE +

E

  2g

+

uE 

+

g  

uE g

= zF +

= HF +

pF γ 

 V

+

2

F

  2g

+

VF

2

+

2g

uF g

uF 

VE = VF

g  

2

HF := HE − Kv⋅

V

HF =  10.46 m 2g  ______________________________________________________________________________________________________________  Planteando ec. de la energía entre F y G

zF +

pF γ 

+

Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

VF

2

2g

+

uF g

= zG +

pG γ 

2

+

VG

2g

+

uG g

Actualizazión: 06/09/2011

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 V 2 F

HF +

Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

uF 

+

  2g

g  

 V

2

G

= HG +

+

  2g

uG 

VF = VG

g  

L3 V2 HG := HF − f ⋅ ⋅ D 2g

HG = HF − ∆HF_G

HG = 10 m

 ______________________________________________________________________________________________________________  Planteando ec. de la energía entre G y H

2

pG

zG +

+

γ 

 V HG +

VG

+

2g

2

G

+

  2g

uG  g  

uG g

HH := HG +

2g

γ 

 V

2

+

2

H

= HH +

2

VG

= zH +

pH

  2g

+

VH

2g

uH

+

g

uH 

VH := 0

g  

-1

VG := V

VG = 2 s ⋅ m

2

− Ks⋅

V

HH = 10 m

2g

Nota: escala vertical = 10 x escala horizontal

A

l í ne  a   p  i e z om    é tr    i c a:  H  i=    z i+    γ /    i  g  H

zA=16,13m     m       3       1  ,       6       1     =       A       H

    m       3       8  ,       5       1     =       B       H

    m       6       3  ,       5       1     =       C       H

    m       5       3  ,       5       1     =       D       H

    m       7       4  ,       0       1     =       E       H

    m       6       4  ,     m       0       0       1       1     =     =       F       G       H       H

B

    m       0       1     =       H       H

10m

G C

E

D

Eje de referencia

F

D=152mm L2=210 m L1=20m

L3=20 m

Ejemplo B Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e =0,046 mm). El diámetro en todo el recorrido es de 51 mm. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10-6 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. la potencia de la bomba para lograr una velocidad a la salida de 2,5 m/s c. las alturas piezométricas en cada uno de los puntos indicados en la figura (1 a 7) d. trazar la línea piezométrica

1

7  V7=2,5 m/s

6 

30

30

bomba

nivel de referencia

3

2

50

Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

4

5

80

Actualizazión: 06/09/2011

120

Pág. 4 de 9

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Datos:

ε :=   0.046mm

z1 := 30m

N

γ  :=   9810 ⋅

m

V := 2.5

Velocidad en la cañería (es la misma en toda la sección)

V1 := 0

Longitudes parciales

L2_3 := 50m

Caudal en la cañería

A :=

z7 := 30m

ν 20ºC := 1.011⋅ 10

L1_7 := ( 50 + 80 + 30 + 120) m

3

D := 51mm

Sección de la cañería

Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

−6 m

⋅

2

s

L1_7 = 280 m

m s

V2 := V V3 := V V4 := V V5 := V V6 := V V7 := V

π⋅D

L4_5 := 80m

2

A =  0.002 m

4

Q := V7 ⋅ A

Q =  0.0051

L5_6 := 30m

L6_7 := 120m

2

m

3

s

a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Todas las distancias entre accesorios supera esa longitud, por lo que no hace falta considerarlas

D 500 ⋅   = 25.5 m

b) Cálculo de la potencia de la bomba Ecuación de la energía entre 1 y 7

V Wbomba = ρ ⋅ Q⋅

2

7



− V1

2

Wbomba g

+ ( u7 − u1 ) + ( z7 − z1 ) ⋅ g +

p7 − p1  ρ



p7 = p1 = 0

V1 := 0 Dividiendo m. a m. por  g, resulta:

2

V 2 7

= ρ ⋅ Q⋅

 2g V 2

Wbomba = γ ⋅ Q⋅

7

 2g

 u7 − u1  +   g  

 + ( z7 − z1 )



 + ( ∆h1_7 ) + ( z7 − z1 )



2

L1_7 V7 Con la expreción de ∆h1_7 = f ⋅ ⋅ Darcy-Weisbach, D 2g calculamos las pérdidas Re :=

Factor de fricción

V7⋅ D  ν 20ºC

h( f ) := −

1

ε

Re =  126113

D

  ε + 2.51     − 0.86⋅ ln ⋅ f  Re⋅ f    D 3.7

f  =  0.0218

= 0.0009

f :=  0.01

root( h( f)  , f ) =  0.0218

f := root( h( f )  , f )

f :=  0.0218 2

L1_7 V7 ∆h1_7 := f ⋅ ⋅ D 2g

V 2 Wbomba := γ ⋅ Q⋅ Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

7

 2g

∆h1_7 =  38.14 m

 + ( ∆h1_7 ) + ( z7 − z1 )



Actualizazión: 06/09/2011

Wbomba =  1926.75 W Pág. 5 de 9

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Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

b) Cálculo de las alturas piezométricas de los puntos indicados: p1 := 0 H1 :=

planteando Ec. de la energía entre 1 y 2

p1

 p 0=

z1 = 30 m

γ 

2

  γ 

+ z1

+ z2 +

H2 := H1 −

 p

H1 = 30 m

V2

V2

2 

2⋅ g 

 p −

V1

2 

0 = H2 +

2g  

2g

− H1 + 0

H2 =  29.68 m

V3

2

u3 

0 = H3 − H2 + ∆h2_3 =>

+ z3 +

+

2⋅ g

g  

 p −

2

  γ 

+ z2 +

V2

Wbomba = γ ⋅ Q⋅

 p

4

+ z4 +

  γ 

+

H3 = H2 − ∆h2_3

H3 = H2 −  0.0218⋅

V4

u4 

2

2⋅ g

+

g  

siendo

g  

V2 = V3

L2_3 = 50 m 2

50⋅ m

V

H3 =  22.87 m

⋅ 51⋅ mm 2⋅ g

 p −

u2 

2

2⋅ g

2

L2_3 V3 H3 := H2 − f ⋅ ⋅ D 2g

siendo V3=V4 y despreciando las pérdidas, resulta:

2

2g

siendo V2=V3, resulta

planteando Ec. de la energía entre 3 y 4

V2

2

0=

  γ 

+ z1 +

  γ 

planteando Ec. de la energía entre 2 y 3

3

1

3

+ z3 +

  γ 

V3

u3 

2

2⋅ g

+

g  

Wbomba = γ ⋅ Q⋅ ( H4 − H3 )

H4 := H3 +

 p

Wbomba

H4 =  61.33 m

γ ⋅ Q 2

u5 

planteando Ec. de la Energía entre 4 y 5

0=

siendo V4=V5 resulta:

0 = H5 − H4 + ∆h4_5 =>

5

  γ 

+ z5 +

V5

2⋅ g

+

g  

 p −

4

  γ 

+ z4 +

V4

2

2⋅ g

H5 = H4. − ∆h4_5

+

u4  g   L4_5 := 80m

2

L4_5 V5 H5 := H4 − f ⋅ ⋅ D 2g

 p

H5 =  50.43 m

   p

2

planteando Ec. de la Energía entre 5 y 6

0=

siendo V5=V6, resulta:

0 = H6 − H5 + ∆h5_6 =>

6

  γ 

+ z6 +

V6

2⋅ g

+ u6 −

5

    γ 

+ z5 +

V5

2

2⋅ g

H6 = H5. − ∆h5_6

  + u5

 

L5_6 := 30m

2

L5_6 V6 H6 := H5 − f ⋅ ⋅ D 2g

planteando Ec. de la energía entre 6 y 7:

 p 0=

7

  γ 

Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

+ z7 +

V7

2

2⋅ g

H6 =  46.35 m

   p + u7 −

 

6

  γ 

+ z6 +

V6

2

2⋅ g

  + u6

 

Actualizazión: 06/09/2011

siendo

V7 = V6

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UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada

siendo V6=V7, resulta

Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

0 = H7 − H6 + ∆h6_7 =>

H7 = H6. − ∆h6_7

L6_7 := 120m

2

L6_7 V7 H7 := H6 − f ⋅ ⋅ D 2g

H7 = 30 m

Como no cambia el diámetro ni el material de la cañería, Re y ε/D se mantienen constante en todo el recorrido, por lo que la pendiente de la línea piezométrica, entre los tramos, es la misma. H4=61,44m H5=50.51m H6=46.41m 1

H1=30m H2=29,68m

6 

H3=22,85m

30

l í n e a p i e   z om    é t r ic  a   

7  H7=30m

30

bomba

nivel de referencia

4

3

2

5

50

80

120

Ejemplo C. Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e=0,046 mm). La cañería tiene un cambio de diámetro a mitad del recorrido según se muestra en la figura. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10 -6 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. calcular la altura en A si la velocidad en el tramo 2 es de 2,5 m/s c. dibujar la línea piezométrica A

zA=?

B

F

C

D2=50mm

D1=63mm

Datos:

V2 := 2.5

m

ε :=   0.046mm

s

 ν := 1.011⋅ 10

−6 m

⋅

L2=125 m

D1 := 63mm

2

γ agua :=   9810 ⋅

s

D2 := 50mm N m

zB := 0m

zC := 0m

zD := 0m

zF := 10m

L1 := 125m

L2 := 125m

LB_E := L1 + L2

LB_E = 250 m

Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

10m Eje de referencia

E

D

L1=125 m

El.10 m

Actualizazión: 06/09/2011

3

zE := 0m

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Sección de la cañería

A1 :=

Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

π ⋅ D1

2

A1 =  0.0031 m

4

Caudal en la cañería

Q := V2 ⋅ A2

Por continuidad, planteo V1

V1 :=

Q =  0.0049

Q

V1 =  1.57

A1

m

2

A2 :=

3

π ⋅ D2

2

A2 =  0.002 m

4

s

m s

a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Longitud total cañería Longitud total equivalente de la cañería

L1 = 125 m

2

L2 = 125 m

L2_equiv := L2⋅

 D1   D2 

5

L2_equiv =  396.97 m

L1 + L2_equiv   = 521.97 m

Cantidad de pérdidas localizadas

n := 3

Longitud promedio entre pérdidas localizadas

Lprom :=

Longitud de comparación

D1⋅ 500  = 31.5 m

L1 + L2_equiv

Lprom =  173.99 m

n

Conclusión: como Lprom es > que D*500 entonces no tenemos en cuenta las pérdidas localizadas b) Cálculo de la altura en A: zA

V

Ecuación de la energía entre A y F

Q − Weje = ρ ⋅ Q⋅

Como en nuestro caso:

VF = VA = 0

Dividiendo m. a m. por  g, resulta:

zA = zF +

Por la ecuación de Darcy-Weisbach, podemos poner  Pero al tener dos tramos de cañerías de distinto diámetro, debemos poner:

uF − uA g



2

− VA

2

+ ( uF − uA) + ( zF − zA) ⋅ g +

pA = pF = 0

pF − pA ρ



Weje = Q = 0

 uF − uA    g  

[1] 2

= ∆HA_F n

∆HA_F =

2

F

∑ i =1

L V = f ⋅ ⋅ D 2g

 

[2]

Li Vi   L1 V1 L2 V2 f i ⋅ ⋅ + f 2⋅ ⋅ = f 1 ⋅ ⋅ D1 2g D2 2g   Di 2g   2

2

2

2

[3]

2

L1 V1 L2 V2 Reemplazando [3] en [2] y a zA = zF + f 1 ⋅ ⋅ + f 2⋅ ⋅ su vez en [1], resulta: D1 2g D2 2g

Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

Actualizazión: 06/09/2011

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UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada

Capítulo 8: Línea Piezométrica

EJEMPLOS RESUELTOS

Datos: V1,V2, D1, D2, L1, L2, ν, ε

Estamos ante el primero de los tres casos típicos planteados en el Capítulo 8, punto 8.9 --------------- --------> Calculo los datos necesarios para encontrar los factores de fricción

ε

D1

ε

= 0.00073

Re1 :=

D2

V1⋅ D1

Re2 :=

 ν

Re1 =  98127 h( f 1 ) := −

Factor de fricción f1 por fórmula de Colebrook-White

h( f 2 ) := −

V2⋅ D2

Planteo ecuación de la energía en la instalación

 ν

Re2 =  123640

  ε + 2.51     − 0.86⋅ ln f 1  D1⋅ 3.7 Re1⋅ f 1 

Calculo las pérdidas por la ecuación de DarcyWeisbach

1

f 1 := root( h( f1 ) , f 1 )

f 1 :=  0.01 Factor de fricción f2 por fórmula de Colebrook-White

= 0.00092

 

1

2.51

ε

f 1 =  0.0217

Como el factor de fricción es función de: f=F(ε/D;Re), calculo: ε /D1, ε /D2 y Re1 y Re2

 

  − 0.86⋅ ln + D2⋅ 3.7 f 2 Re2⋅ f 2    f 2 := root( h( f2 ) , f 2 )

f 2 :=  0.01

f 2 =  0.0219

Calculo el factor de fricción con el diagrama de Moody o la fórmula de Colebrook-White (si es agua, se puede utilizar Hazen y Williams)

2

L1 V1 ∆H1 := f 1⋅ ⋅ D1 2g

∆H1 =  5.44 m

2

L2 V2 ∆H2 := f 2⋅ ⋅ D2 2g

∆H2 =  17.44 m 2

Reemplazando [3] en [2] y a su vez en [1], resulta:

2

L1 V1 L2 V2 zA := zF + f 1 ⋅ ⋅ + f 2⋅ ⋅ D1 2g D2 2g 2

125⋅ m V1 zA = 10⋅ m + f 1⋅ ⋅ 63⋅ mm 2⋅ g

Con el factor de fricción f1 y f2, se resuelve el problema

 2.5⋅ m  125⋅ m   s  +  f  ⋅ ⋅ 2

50⋅ mm

2⋅ g

2

= 32.87 m

c) Trazado de la línea piezométrica El.33,11m

H1=5,5m

A

33,11m

B

∆H2=17,6m F

C D

E

D2=50mm

D1=63mm L1=125 m

Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected]

El.10 m

10m Eje de referencia

L2=125 m

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