LIMITES

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lím

x 0

x2  2 x

x 9 2

lím

x 3

lím

x 0

lím

x 5

3 x2  x

x

PROBLEMAS RESUELTOS

x2 x x 1  2 2  x3

Copyright 2014, MatematicaTuya Derechos reservados

Al sustituir x por 0, se obtiene 0/0. Se tiene una forma indeterminada

x2  2 x

lím

x 0

  lím

x2  2

0/0



binomio con raíces cuadradas 0 / 0 lím  ***



x2  2

x x2  2

x 0

  lím x 0

 lím

x 0

  2 x x  2  2  2

x22

x x2  2

 lím

x



x x2  2 1  lím x 0 x2  2 x 0





 

1 02  2

1 2 2

Se multiplica numerador y denominador por la conjugada del numerador

2

x2 















Se desarrolla el producto de una suma por su diferencia

Se cancela Podemos calcular el límite por sustitución directa

lím

x 3

Al sustituir x por 0, se obtiene 0/0. Se tiene una forma indeterminada

x2  9

binomio con raíces cuadradas 0 / 0 lím  ***

3 x2  x

Por conveniencia: Se aplicó la propiedad conmutativa en el denominador

x 9 2

0/0

 lím

x3 x2

x 3

x





 9 x  3 x  2

Se multiplica numerador y  lím denominador por la x 3 x3 x2 x3 x2 conjugada del denominador



 x   3

 x  lím x 3

 x  lím x 3

 x  lím x 3

2

2

2

 9 x  3 x  2 2



x2



2

 9 x  3 x  2

x 3 2

2





2



x2





2

 9 x  3 x  2 x 2  32  x  2 







Se desarrolla el producto de una suma por su diferencia Se aplicó la potencia de un producto

Hasta que no simplifiquemos, el límite seguirá siendo una forma indeterminada x 2  32 no es un factor en el denominado r

Buscamos factorizar numerador y denominador… … continua

lím

x 3

x2  9

Continuación

3 x2  x

 lím

x 3

 lím

x 3

x2  9 x3 x2 x 2  9 x  3 x  2

x  3

x  lím x 3

2



 9 x  3 x  2

2

2





x2 x3 x2

x 3

 x  lím x 3



2





x2







2

 9 x  3 x  2 x 2  32  x  2 

 x  3x  3x  3  lím

 x2



x 2  9 x  18

x 3

Se factoriza el denominador

 x  3x  3x  3 x  2   lím x 3 x  3x  6

 x  3x  3  lím

x2



x6  3  3 3  3 3  2   12 36 x 3





Se factoriza el numerador y se lleva a la forma general el denominador

Se cancela Podemos calcular el límite por sustitución directa

lím

x0

Al sustituir x por 0, se obtiene 0/0. Se tiene una forma indeterminada

x

binomio con raíces cuadradas 0 / 0 lím  ***

x2 x

Podemos aplicar conjugada 0/0

 lím

x 0

x

 lím

x 0

x1 / 2

x 0





x 2



x x 2

0

0

x 2

02



Pero tambien podemos factorizar el denominador



x1



x 0

 lím

x 2

x1 / 2

 lím





x



Cancelar o simplificar el factor que hace 0 el numerador y denominador





Podemos calcular el límite por sustitución directa

lím

x 5

Al sustituir x por 0, se obtiene 0/0. Se tiene una forma indeterminada

x 1  2

binomio con raíces cuadradas 0 / 0 lím  ***

2  x3

 lím

x 5





Se multiplica numerador y x 1  2 2  x  3 x 1  2 denominador por la 2  x  3 2  x  3 x  1  2 conjugadas del numerador y del denominador

 

 



 x  1  2 x  1  2 2  x  3   lím  2  x  3  2  x  3  x  1  2 x 5

    

  

 

 x  1 2  2 2  2  x  3   lím  2 2 x 5   2  x  3  x  1  2  

 x  1  4  2  x  3   lím x 5 2  x  3 x  1  2 Continúa



Se asocian las conjugadas

Se desarrollan los productos de una suma por su diferencia Se busca cancelar factores idénticos del numerador y denominador que se hagan 0 en x=5

Continuación

lím

x 5

x 1  2 2  x3  lím

x 5





 2  x  3  x  1  2 x  3  2  x  3  x  1  2 

x 1  2 2

  x  1  2  x  1  2  2  x  3   lím  2  x  3  2  x  3  x  1  2   x  1   2  2  x  3    lím    2    x  3   x  1  2    x  1  4 2  x  3  Se simplifican los primeros  lím factores del numerador y 2  x  3 x  1  2 denominador x  5 2  x  3   lím 2  x  3 x  1  2 x 5

2

x 5

2

2

2

x 5

x 5

x  5 2  x  3  x 5 5  x  x  1  2

 lím

Continúa

Los factores (x-5) y (5-x) no son idénticos…se buscan factores idénticos

Continuación

lím

x 5

x 1  2 2  x3

 x  1  2 x  1  2 2  x  3   2  x  3  2  x  3  x  1  2   x  1   2  2  x  3    lím    2    x  3   x  1  2    x  1  4 2  x  3   lím 2  x  3 x  1  2  x  5 2  x  3  Se factoriza -1 en el  lím 5  x  x  1  2 denominador  lím

x 5

2

x 5

2

2

2

x 5

x 5

 x  5 2  x  3   lím x 5   5  x  x  1  2 

 x  5 2  x  3   lím x 5   5  x  x  1  2 

  lím x 5

Se cancelan los factores idénticos Podemos calcular el límite por sustitución directa

    2  5  3   2 2   5  1  2 4   x  1  2 2  x3

2 2