Limites

 

   

 Noción intuitiva de límite  límite  laterales  Límites laterales  Definición y propiedades  propiedades  Una prueba de límite  límite  o

   

Teoremas sobre sob re Límites  Límites  Aplicación de los teoremas sobre Límites  Límites  Teorema de la compresión  compresión  Límites infinitos  infinitos  Asíntota Vertical  Vertical  o



infinito  Límites al infinito  Asíntota Horizontal  Horizontal  o

 

trigonomtricas  Límites de funciones trigonomtricas  !ontinuidad  !ontinuidad  punto   !ontinuidad en un punto Dos tipos de discontinuidad discontinuidad   !ontinuidad en un intervalo abierto y en un intervalo cerrado  cerrado   !ontinuidad de la función compuesta  compuesta  Teorema del valor intermedio"T#V#$% intermedio"T#V#$%   Teorema del valor e&tremo  e&tremo   o

o

o

o

o

o

 

unidad  'valuación unidad  (ibliografía  (ibliografía 

Noción intuitiva de límite )resentaremos la noción matem*tica de límite mediante e+emplos,

 

-bservemos el comportamiento de la función para valores cercanos a ./ pero no iguales a .# )odemos acercarnos a . por la iz0uierda y derec1a/ es decir mediante valores menores 0ue . así, Izquierda

Derecha

23 4

95

43

89

3#5 .#5

.#5 8#5

3#6 .#6

.#8 8#8

3#7 .#7

.#. 8#.

3# 3#77 77 .# .#77 77

.#3 8#3

3# 3#77 7777 .# .#77 7777

.# .#44 4433 8# 8#44 4433

.8

.8

:;i tomamos valores suficientemente cerca "derec1a/ iz0uierda% a ./ obtenemos valores de muy cercanos a 8# Decimos entonces 0ue, ??'l límite de la función indefinidamente a . es 8@@ lo cual se nota así,

'n general un límite se denota así,

cuando se acerca

 

y decimos  Límite de

cuando x tiende a

, es igual a L 

;ecuede 0ue, tiende a pero no es igual a # 'sto significa 0ue al 1allar el límite de cuando tiende a / nunca consideramos este definida cuando

/ incluso no es necesario 0ue

# >ólo interesa cómo est* definida

Veamos otro e+emplo en el cual

no est* definida para

cerca de # #

>ea la función, Los valores para no representan inconveniente/ pero/ para / usamos valores de cercanos a 3 por la iz0uierda y luego por la derec1a/ como indica la tabla y la gr*fica# Izquierda

Derecha

4# 4#55 3# 3#65 6544

3# 3#55 9# 9#65 6544

4# 4#65 65 .# .#83 8388

3# 3#.5 .5 8# 8#3 388

4#7 .#63

3# 3#33 8# 8#83 8344

4# 4#77 77 .# .#76 7644

3# 3#43 43 8# 8#48 4844

4# 4#77 7777 .# .#77 7766

3# 3#44 4433 8# 8#44 4488

38

38

:;ignifica lo anterior 0ue muestra a continuación,

pertenece al intervalo abierto

cuya gr*fica se

:;ea

# 'sco+ase

# 'ntonces,

implica >i se lee esta cadena de igualdades y desigualdades de iz0uierda a derec1a y se usan las leyes transitivas/ se ve 0ue,

>i )aula reta a )edro con )aula propone

/ en este e+emplo/ )edro responde con # >i / )edro diría # G si diera una aun menor/

estaría bien# )or supuesto/ si se considera la gr*fica de

"Una recta con pendiente ./ como en

la figura%B se sabr* 0ue para obligar a a estar cerca de 8/ se puede 1acer 0ue este aun mas cerca de 3 "una mayor cercanía 0ue se obtendr* multiplicando por el factor un medio% :;ea 3# .#

/y /y// funciones con límites en # 'ntonces/

 

8# 9# 5# C# 6# # 7# 34# >i

es un polinomio o una función racional y esta definido en

/ entonces,

Aplicación de los teoremas sobre Límites  Ejemplo 1: Solución: 

 Ejemplo : Solución: 

 

 

 Ejemplo 3:

Solución: 

no podemos 1allar el límite al sustituir por0ue no esta definido# Tampoco Tampoco podemos aplicar la ley del cociente por0ue por0 ue el límite del denominador es 4# =actorizamos el numerador/ entonces,

 Ejemplo !: Solución: !omo en el e+emplo anterior no podemos calcular el límite cuando

 presente caso racionalizamos el numerador, numerador ,

 Ejemplo ": )ruebe 0ue, Solución: 

no e&iste#

# 'n el

 

!omo los límites por la derec1a y por la iz0uierda son diferentes/ se concluye 0ue ,

 #ota: :raficar la función

para observar 0ue el límite en

no e&iste#

:;A=$!AD-; D'>-=AT  Ejercicio 

:raficar la función

para estimar el valor de

# Use el graficador#

'stime el valor de otros límites/ graficando algunas funciones#

Teorema de la compresión :raficar en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones, 3# .# 8#

 

en el intervalo

#

:;A=$!AD-; D'>-=AT -bserve en la gr*fica 0ue,

Tambin se observa 0ue,

Iue puede decirse de,J

$eorema si

/ cuando esta cerca de "e&cepto 0uiz* en %/ y , entonces/

 Ejercicios 

3# Apli Apli0ue 0ue el teorem teoremaa de llaa comprensió comprensiónn para demostrar demostrar 0ue, 0ue,

 

$lustre graficando las funciones, en la misma pantalla# .# Apli Apli0ue 0ue el teorem teoremaa de llaa comprensió comprensiónn para demostrar demostrar 0ue, 0ue,

$lustre graficando las funciones

en la misma pantalla

:;A=$!AD-; D'>-=AT

Límites infinitos Analicemos el siguiente límite, La tabulación y la gr*fica nos indican 0ue la función cuando tiende a 4# & 3

toma cada vez valores mayores

 

9 344 3444 3444444

4 mu muyy ggra rand ndee :;A=$!A 38 >e dice 0ue ,

'sto no significa 0ue e&ista el límite/ simplemente e&presa la forma de decir 0ue el límite  N- 'K$>T'# 'n general ,

 El límite de

cuando

tiende a

, es infinito o

>e puede dar el caso en 0ue la función cercanos a / en este caso se dice 0ue ,

tiende a infinito cuando

tiende a

se 1aga muy grande negati%a/ para valores de

 

Las cuatro gr*ficas siguientes muestran límites infinitos laterales, :;A=$!A> 39

 Asíntota Ver Vertical tical Dada la curva se dice 0ue la recta es una asíntota %ertical  de  de la curva/ si se cumple por lo menos una de las afirmaciones siguientes, 3# .# 8# 9# 5# C#  Ejemplo 1: 'n las cuatro gr*ficas anteriores la recta

es una asíntota vertical de la

curva  Ejemplo : Analicemos la función

#

:;A=$!AD-; D'>-=AT A partir de la gr*fica se puede observar, vertical/ o :;A=$!A 35

entonces

entonces es asíntota vertical#

es asíntota

 

Límites al infinito -bservemos la gr*fica de la función :;A=$!A 3C !uando se 1ace muy pe0ueFa/ es decir tiende a 4/ la función se 1ace muy grande# A1ora analicemos 0ue ocurre cuando se 1ace muy grande# :; !-N :;A=$!A> 3

 Asíntota Horizonta Horizontall  Definición: La recta

se llama asíntota 1orizontal de la curva

si,

 

 Ejemplo 1: La curva

/ tiene como asíntota 1orizontal la recta

por0ue,

:;upongamos una función

0ue tiene el valor

en un cierto punto # >e dice 0ue

continua en si en todo punto pró&imo a el valor de la función

es

es pró&imo a

#

Dic1o de otro modo >i se mueve 1acia / el correspondiente valor de la función  pró&imo a

debe llegar a ser tan

como se desee/ cual0uiera 0ue ssea ea la forma con 0ue tiende a #

:; .C

Dos tipos de discontinuidad :;e dice dice 0ue una función es continua en un punto si ,

3# .#

esta definida en

>i no es continua en / decimos 0ue discontinuidad en #

es discontinua en o 0ue

tiene una

'+emplos de funciones discontinuas,

 Ejemplo 1 

discontinua en

/ pues

no esta definido#

 

:;i

entonces,

)or tanto es continua en / si

es continua por la derec1a de

/

# A1ora

y

es continua por la iz0uierda de 3/ por consiguiente

es continua sobre M23/3

 

$eorema:

>i las funciones continuas en 3#

y son continuas en

/ entonces las siguientes funciones son

/y/

.# 8#

/ donde es cual0uier nEmero

9#

">i

%

$eorema:

Todo polinomio es continuo en cual0uier punto de la recta real# Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero#  Ejemplo : 

La función

La función es # La función >i

/ tenemos

es continua en toda

es continua en toda / e&cepto

/ donde el denominador

es continua en cual0uier valor de # 'n efecto / un polinomio# >i

/ tenemos

/ otro

 polinomio# =inalmente/ en el origen :;i

es continua en / y es continua en

:;A=$!A 8.  Ejemplo

/ entonces

es continua en

 

es continua en toda / pues es la compuesta de funciones continuas# continuas# donde

continua en toda y

tambin es continua en toda $eorema 

Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo nEmero en sus dominios )olinomios/ funciones racionales/ función raíz/ funciones trigonomtricas/ funciones trigonomtricas inversas/ funciones e&ponenciales y funciones logarítmicas#  Ejemplo 

:raficar las funciones seno y coseno# >on continuas en J >abemos 0ue

y

Lo anterior afirma 0ue seno y coseno con continuas en 4 y así, todo punto donde

/ es decir donde

 Ejemplo Use el graficador para trazar la función

es continua en / y así sucesivamente#

y observe sus discontinuidades#

:;A=$!AD-; -bserve algunas funciones conocidas 0ue son continuas en todo su dominio :;ea

tiene una raíz entre 3 y .# # 'stamos buscando una solución de la ecuación

dada/ es decir/ un nEmero entre 3 y . tal 0ue valor intermedio tomamos

# )or lo tanto/ en el teorema del tenemos,

 

)or lo tanto/

/ es decir

es un numero entre

y

/

es

continua por ser polinómica/ entonces por el T#V #V#$/ #$/ e&iste un entre 3 y . tal 0ue 'n otras palabras/ la ecuación intervalo "3/.%

#

tiene por lo menos una raíz en el

Teorema del valor e"tremo  Definición 

Una función

tiene un m*&imo absoluto en si

# Una función

tiene un mínimo absoluto en si

 para toda en el dominio de para toda en el dominio

de :;i es continua sobre un intervalo cerrado Ma/ b entonces alcanza un valor m*&imo absoluto y un valor mínimo absoluto en algunos nEmeros y en Ma/b#  Ejercicios 

3# Apli Apli0ue 0ue el te teorema orema de dell valor iinterm ntermedio edio par paraa demost demostrar rar 0ue e&iste e&iste una raíz raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado a#  b# .# dada# Use el ggraficad raficador or para est estimar imar los valores m*&im m*&imoo y míni mínimo mo absoluto absoluto de la función función

 

a#  b# c#

"valuación unidad 3# A parti partirr de la gr*f gr*fica ica indi0ue indi0ue si es es verdadera verdadera "V%/ o fa falsa lsa "=% la la afirmación, afirmación, a#  b# c# d# e# f# g# 1# i# .#  +#!omple pletar,

a#  b# c# d# 8# >el >elecci eccione one la respues respuesta ta correct correcta, a,

 

a#  b# c# d# 9# >el >elecci eccione one la respues respuesta ta correct correcta, a, La gr*fica de

tiene,

a# Una asíntota vertical en  b# Una asíntota 1orizontal en c# Una asíntota vertical en d# Una asíntota vertical en 5# >el >elecci eccione one la respues respuesta ta correct correcta, a, a#  b# c# d# C# !omple pletar, a#  b# c# d# 6# >ea ,

 

es continua para todo valor de / si es igual a, a#  b# c# d#

#ibliografía 3# !*lcu !*lculo# lo# !onc !onceptos eptos y cconte&t onte&tos# os# ames > >teOart teOart## $nternational $nternational T1omson edito editores res .# !*lcu !*lculo# lo# una varia variable# ble# THTH-A>P= A>P=$NN'G $NN'G## Addison Addison Qesley Qesley 8# !*lcu !*lculo# lo# ;o ;obert bert > >mit1 mit1 2 ;oland ;oland ( int inton# on# c :raO Hill