Limites
August 1, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Limites...
Description
Noción intuitiva de límite límite laterales Límites laterales Definición y propiedades propiedades Una prueba de límite límite o
Teoremas sobre sob re Límites Límites Aplicación de los teoremas sobre Límites Límites Teorema de la compresión compresión Límites infinitos infinitos Asíntota Vertical Vertical o
infinito Límites al infinito Asíntota Horizontal Horizontal o
trigonomtricas Límites de funciones trigonomtricas !ontinuidad !ontinuidad punto !ontinuidad en un punto Dos tipos de discontinuidad discontinuidad !ontinuidad en un intervalo abierto y en un intervalo cerrado cerrado !ontinuidad de la función compuesta compuesta Teorema del valor intermedio"T#V#$% intermedio"T#V#$% Teorema del valor e&tremo e&tremo o
o
o
o
o
o
unidad 'valuación unidad (ibliografía (ibliografía
Noción intuitiva de límite )resentaremos la noción matem*tica de límite mediante e+emplos,
-bservemos el comportamiento de la función para valores cercanos a ./ pero no iguales a .# )odemos acercarnos a . por la iz0uierda y derec1a/ es decir mediante valores menores 0ue . así, Izquierda
Derecha
23 4
95
43
89
3#5 .#5
.#5 8#5
3#6 .#6
.#8 8#8
3#7 .#7
.#. 8#.
3# 3#77 77 .# .#77 77
.#3 8#3
3# 3#77 7777 .# .#77 7777
.# .#44 4433 8# 8#44 4433
.8
.8
:;i tomamos valores suficientemente cerca "derec1a/ iz0uierda% a ./ obtenemos valores de muy cercanos a 8# Decimos entonces 0ue, ??'l límite de la función indefinidamente a . es 8@@ lo cual se nota así,
'n general un límite se denota así,
cuando se acerca
y decimos Límite de
cuando x tiende a
, es igual a L
;ecuede 0ue, tiende a pero no es igual a # 'sto significa 0ue al 1allar el límite de cuando tiende a / nunca consideramos este definida cuando
/ incluso no es necesario 0ue
# >ólo interesa cómo est* definida
Veamos otro e+emplo en el cual
no est* definida para
cerca de # #
>ea la función, Los valores para no representan inconveniente/ pero/ para / usamos valores de cercanos a 3 por la iz0uierda y luego por la derec1a/ como indica la tabla y la gr*fica# Izquierda
Derecha
4# 4#55 3# 3#65 6544
3# 3#55 9# 9#65 6544
4# 4#65 65 .# .#83 8388
3# 3#.5 .5 8# 8#3 388
4#7 .#63
3# 3#33 8# 8#83 8344
4# 4#77 77 .# .#76 7644
3# 3#43 43 8# 8#48 4844
4# 4#77 7777 .# .#77 7766
3# 3#44 4433 8# 8#44 4488
38
38
:;ignifica lo anterior 0ue muestra a continuación,
pertenece al intervalo abierto
cuya gr*fica se
:;ea
# 'sco+ase
# 'ntonces,
implica >i se lee esta cadena de igualdades y desigualdades de iz0uierda a derec1a y se usan las leyes transitivas/ se ve 0ue,
>i )aula reta a )edro con )aula propone
/ en este e+emplo/ )edro responde con # >i / )edro diría # G si diera una aun menor/
estaría bien# )or supuesto/ si se considera la gr*fica de
"Una recta con pendiente ./ como en
la figura%B se sabr* 0ue para obligar a a estar cerca de 8/ se puede 1acer 0ue este aun mas cerca de 3 "una mayor cercanía 0ue se obtendr* multiplicando por el factor un medio% :;ea 3# .#
/y /y// funciones con límites en # 'ntonces/
8# 9# 5# C# 6# # 7# 34# >i
es un polinomio o una función racional y esta definido en
/ entonces,
Aplicación de los teoremas sobre Límites Ejemplo 1: Solución:
Ejemplo : Solución:
Ejemplo 3:
Solución:
no podemos 1allar el límite al sustituir por0ue no esta definido# Tampoco Tampoco podemos aplicar la ley del cociente por0ue por0 ue el límite del denominador es 4# =actorizamos el numerador/ entonces,
Ejemplo !: Solución: !omo en el e+emplo anterior no podemos calcular el límite cuando
presente caso racionalizamos el numerador, numerador ,
Ejemplo ": )ruebe 0ue, Solución:
no e&iste#
# 'n el
!omo los límites por la derec1a y por la iz0uierda son diferentes/ se concluye 0ue ,
#ota: :raficar la función
para observar 0ue el límite en
no e&iste#
:;A=$!AD-; D'>-=AT Ejercicio
:raficar la función
para estimar el valor de
# Use el graficador#
'stime el valor de otros límites/ graficando algunas funciones#
Teorema de la compresión :raficar en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones, 3# .# 8#
en el intervalo
#
:;A=$!AD-; D'>-=AT -bserve en la gr*fica 0ue,
Tambin se observa 0ue,
Iue puede decirse de,J
$eorema si
/ cuando esta cerca de "e&cepto 0uiz* en %/ y , entonces/
Ejercicios
3# Apli Apli0ue 0ue el teorem teoremaa de llaa comprensió comprensiónn para demostrar demostrar 0ue, 0ue,
$lustre graficando las funciones, en la misma pantalla# .# Apli Apli0ue 0ue el teorem teoremaa de llaa comprensió comprensiónn para demostrar demostrar 0ue, 0ue,
$lustre graficando las funciones
en la misma pantalla
:;A=$!AD-; D'>-=AT
Límites infinitos Analicemos el siguiente límite, La tabulación y la gr*fica nos indican 0ue la función cuando tiende a 4# & 3
toma cada vez valores mayores
9 344 3444 3444444
4 mu muyy ggra rand ndee :;A=$!A 38 >e dice 0ue ,
'sto no significa 0ue e&ista el límite/ simplemente e&presa la forma de decir 0ue el límite N- 'K$>T'# 'n general ,
El límite de
cuando
tiende a
, es infinito o
>e puede dar el caso en 0ue la función cercanos a / en este caso se dice 0ue ,
tiende a infinito cuando
tiende a
se 1aga muy grande negati%a/ para valores de
Las cuatro gr*ficas siguientes muestran límites infinitos laterales, :;A=$!A> 39
Asíntota Ver Vertical tical Dada la curva se dice 0ue la recta es una asíntota %ertical de de la curva/ si se cumple por lo menos una de las afirmaciones siguientes, 3# .# 8# 9# 5# C# Ejemplo 1: 'n las cuatro gr*ficas anteriores la recta
es una asíntota vertical de la
curva Ejemplo : Analicemos la función
#
:;A=$!AD-; D'>-=AT A partir de la gr*fica se puede observar, vertical/ o :;A=$!A 35
entonces
entonces es asíntota vertical#
es asíntota
Límites al infinito -bservemos la gr*fica de la función :;A=$!A 3C !uando se 1ace muy pe0ueFa/ es decir tiende a 4/ la función se 1ace muy grande# A1ora analicemos 0ue ocurre cuando se 1ace muy grande# :; !-N :;A=$!A> 3
Asíntota Horizonta Horizontall Definición: La recta
se llama asíntota 1orizontal de la curva
si,
Ejemplo 1: La curva
/ tiene como asíntota 1orizontal la recta
por0ue,
:;upongamos una función
0ue tiene el valor
en un cierto punto # >e dice 0ue
continua en si en todo punto pró&imo a el valor de la función
es
es pró&imo a
#
Dic1o de otro modo >i se mueve 1acia / el correspondiente valor de la función pró&imo a
debe llegar a ser tan
como se desee/ cual0uiera 0ue ssea ea la forma con 0ue tiende a #
:; .C
Dos tipos de discontinuidad :;e dice dice 0ue una función es continua en un punto si ,
3# .#
esta definida en
>i no es continua en / decimos 0ue discontinuidad en #
es discontinua en o 0ue
tiene una
'+emplos de funciones discontinuas,
Ejemplo 1
discontinua en
/ pues
no esta definido#
:;i
entonces,
)or tanto es continua en / si
es continua por la derec1a de
/
# A1ora
y
es continua por la iz0uierda de 3/ por consiguiente
es continua sobre M23/3
$eorema:
>i las funciones continuas en 3#
y son continuas en
/ entonces las siguientes funciones son
/y/
.# 8#
/ donde es cual0uier nEmero
9#
">i
%
$eorema:
Todo polinomio es continuo en cual0uier punto de la recta real# Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero# Ejemplo :
La función
La función es # La función >i
/ tenemos
es continua en toda
es continua en toda / e&cepto
/ donde el denominador
es continua en cual0uier valor de # 'n efecto / un polinomio# >i
/ tenemos
/ otro
polinomio# =inalmente/ en el origen :;i
es continua en / y es continua en
:;A=$!A 8. Ejemplo
/ entonces
es continua en
es continua en toda / pues es la compuesta de funciones continuas# continuas# donde
continua en toda y
tambin es continua en toda $eorema
Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo nEmero en sus dominios )olinomios/ funciones racionales/ función raíz/ funciones trigonomtricas/ funciones trigonomtricas inversas/ funciones e&ponenciales y funciones logarítmicas# Ejemplo
:raficar las funciones seno y coseno# >on continuas en J >abemos 0ue
y
Lo anterior afirma 0ue seno y coseno con continuas en 4 y así, todo punto donde
/ es decir donde
Ejemplo Use el graficador para trazar la función
es continua en / y así sucesivamente#
y observe sus discontinuidades#
:;A=$!AD-; -bserve algunas funciones conocidas 0ue son continuas en todo su dominio :;ea
tiene una raíz entre 3 y .# # 'stamos buscando una solución de la ecuación
dada/ es decir/ un nEmero entre 3 y . tal 0ue valor intermedio tomamos
# )or lo tanto/ en el teorema del tenemos,
)or lo tanto/
/ es decir
es un numero entre
y
/
es
continua por ser polinómica/ entonces por el T#V #V#$/ #$/ e&iste un entre 3 y . tal 0ue 'n otras palabras/ la ecuación intervalo "3/.%
#
tiene por lo menos una raíz en el
Teorema del valor e"tremo Definición
Una función
tiene un m*&imo absoluto en si
# Una función
tiene un mínimo absoluto en si
para toda en el dominio de para toda en el dominio
de :;i es continua sobre un intervalo cerrado Ma/ b entonces alcanza un valor m*&imo absoluto y un valor mínimo absoluto en algunos nEmeros y en Ma/b# Ejercicios
3# Apli Apli0ue 0ue el te teorema orema de dell valor iinterm ntermedio edio par paraa demost demostrar rar 0ue e&iste e&iste una raíz raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado a# b# .# dada# Use el ggraficad raficador or para est estimar imar los valores m*&im m*&imoo y míni mínimo mo absoluto absoluto de la función función
a# b# c#
"valuación unidad 3# A parti partirr de la gr*f gr*fica ica indi0ue indi0ue si es es verdadera verdadera "V%/ o fa falsa lsa "=% la la afirmación, afirmación, a# b# c# d# e# f# g# 1# i# .# +#!omple pletar,
a# b# c# d# 8# >el >elecci eccione one la respues respuesta ta correct correcta, a,
a# b# c# d# 9# >el >elecci eccione one la respues respuesta ta correct correcta, a, La gr*fica de
tiene,
a# Una asíntota vertical en b# Una asíntota 1orizontal en c# Una asíntota vertical en d# Una asíntota vertical en 5# >el >elecci eccione one la respues respuesta ta correct correcta, a, a# b# c# d# C# !omple pletar, a# b# c# d# 6# >ea ,
es continua para todo valor de / si es igual a, a# b# c# d#
#ibliografía 3# !*lcu !*lculo# lo# !onc !onceptos eptos y cconte&t onte&tos# os# ames > >teOart teOart## $nternational $nternational T1omson edito editores res .# !*lcu !*lculo# lo# una varia variable# ble# THTH-A>P= A>P=$NN'G $NN'G## Addison Addison Qesley Qesley 8# !*lcu !*lculo# lo# ;o ;obert bert > >mit1 mit1 2 ;oland ;oland ( int inton# on# c :raO Hill
View more...
Comments