limites

En matemática matemática,, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función función,, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático matemático)) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia convergencia,, continuidad continuidad,, derivación derivación,, integración integración,, entre otros.

Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite. límite.  Artículo principal:  Límite de una función

editar]] Definición rigurosa [editar Informalmente,

se dice que el límite de la función f( x ) es  L cuando  x  tiende a c, y se

escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f( x) sea tan pró ximo ximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógicomatemáticos:: matemáticos

épsilon--delta de límite, y se lee Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon como:

"El

límite de f de  x cuando  x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real  mayor que cero existe un número real  mayor que cero tal que si la distancia entre  x y c es menor que , entonces la distancia entre la imagen de  x y L es menor que  unidades ".

[editar] Límites notables Como

ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que  proveen resultados muy interesantes.

(número e)

y

y

y

[editar] Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen( x) < x < tan( x) en el intervalo (0,/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen( x), obteniendo:

Invirtiendo

los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando

el límite cuando  x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor  obtenido en el límite anterior. Es decir:

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el  binomio de Newton y aplicando el límite cuando  x tiende a infinito.

[editar] Límite de una sucesión

 Artículo principal:  Límite de una sucesión

La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a . Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:

[editar] Propiedades de los límites

[editar] Generales Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

y

y

Límite por un escalar. donde k  es un multiplicador escalar .

y

Límite de una suma.

DemostraciónDesplegar 

y

Límite de una resta.

y

Límite de una multiplicación.

y

Límite de una división.

[editar] Indeterminaciones Hay

límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las

expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes co mo pueden ser las desigualdades o la regla de l'Hô pital. Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :