Limites y Derivadas

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

L I M D

E

R

I T E S I

V

A

Y D

A

Bernardo Acevedo Frías Omar Evelio Ospina A

Manizales, Abril 1994

S

 

I.S.B.N. 95 8 - 9322 - 11 - 5 Autores: Ornar Evelio Os pina Arteaga M a t e m á t i c o ,   Ms Se. Profesor Asociado Bernardo Acevedo Frías Matemático Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Manizaies Revisado por Profesor Luis A lvaro Sal azar Sal azar, Ms. Se. Profesor José Alonso Salazar Caicedo Lic. en Matemáticas Impreso por Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Sede Man ízales. ízales. Abril de 1994 Primera Edición

 

Contenido

página

Presentación C apí t ul o I

Límites de Fun cione s Límites 1. 1.11 C on ce pto s intuitivos intuitivos de lílímite mite y con tinuid ad

2  3

1. 1.22 De finicione s de límite límite y con tinuida d

10

1.3 1.3 Lím ites infinitos y límites al infinito infinito

19  19  

1.4 1.4 Prop iedad es y cálculo de algun os lílímites mites

32 32  

1 4 1 Propiedad es

32   32

1 4.2 Límites de funcion es trascen den tes

45

A) Con tinuidad ti nuidad de funciones trascendentes B ) 

Lira 

x

• 

¿e

™ 

X

45 47

C) De finición finición de función exp one ncial y logarítmica logarítmica

51 51  

D) Co ntinuida d de la función exp on enc ial y logarítmica logarítmica

54

Capítulo II

Derivadas

68

2.1 Introducción al conce pto de derivada A) Ve locidad Instantánea

69 69

B) Pe ndien te de la recta tang en te a una curva en un pun to

71

2.2 2.2 De fini finición ción de Derivada

81

2.3 Prop iedad es y cálculo de derivad as

94

2.4 2.4 De rivada de funcion es en forma param étrica

127

A) Para me tri trización zación de curvas

127

B) De rivadas

133

 

Contenido

página

2.5 De rivadas de orden supe rior

139

A) Ac elera ción de una partícula

139

B) De finiciones

140

2.6 De rivación Implícita Implícita

149

2.7 La diferen cial de una función en un punto

157

2.8 Alg un as carac terísticas de las gráficas en una func ión

161

2.9 La derivada de una func ión en la cons trucción de sus gráficas

166

a) Propieda des de funciones continuas en intervalos intervalos cerrados

166

b) Puntos don de se puede n presentar má ximos y mínim os

168

c) Propieda des

de

funciones

derivables en intervalos intervalos

cerrados

175

d) Criterio Criterio para determ inar los intervalos don de una func ión es creciente o dec reciente

174

e) Criterio Criterio para dete rmin ar los los intervalos don de una funció n es cóncav a o convexa

176

f) Criterio de la primera derivada para determinar máximos y mín imo s relativos g) Criterio de la segunda derivada para determinar máximos y mínim os relativos relativos

179 182

2.10 Prob lem as de aplicac ión de la derivad a

186

A) Rectas tang ente s y rectas norm ales

186

B) Velocida d y aceleración

188

C) Razó n de camb io

190

D) Aplicac iones de má ximos u mínim os

194

E) Re gla de L'Ho pital

198

Bibliografía

208

 

P r esentación A

ma nera de con tinuación del lilibro bro titulado titulado   " N U M E R O S V E C T O R E S

F U N C I O N E S   " publicado por la Universidad Nacional de Colombia seccional

Manizales, los autores pretendemos presentar los temas, relacionados con límites y derivadas de funciones con una presentación análoga, es decir, en la cual se tratan de introducir los temas de una manera intuitiva y constructiva, buscando con ello hacer que el estudiante se involucre en el aspecto conceptual, fundamental para su formación como futuro ingeniero. Estos conceptos son ilustrados con ejercicios completamente desarrollados que servirán de base, junto con la parte conceptual, para resolver los ejercicios propuestos los cuales pretendemos no sean repetitivos. Esperamos que este material sea de utilidad para los estudiantes de cálculo diferencial y fundamentalmente esperamos que a través de la lectura de este texto se cambie el concepto mecanicista de la matemática con que muchos estudiantes llegan a la universidad. Agradecemos las sugerencias que nos hagan llegar, las cuales permitirán mejores ediciones. Ornar Evelio Ospina A.

Bernardo Acevedo F.

 

CAPITULO I LIMITES DE FUNCIONES La distribución continua de los números reales en una recta, hace que al tratar trat ar de ace rca r sob re esa recta una variab le

a un nú m ero fijo, fijo, no se

pueda decir de una manera inmediata cual es el comportamiento de una función real definida en las proximidades de ese punto, pues es posible que allí la función tome un valor fijo o su gráfica esté interrumpida o se aleje a más infinito o a menos infinito. El estudio de este aspecto conceptual fundamental en la formación de cualquier estudio de la matemática y esencial en las aplicaciones de la matemática a aspectos físicos en variables continuas es lo que se pretende en este capítulo.

2

 

1.1 CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITE Y CONTINUIDAD

Suponga que se tiene una función y =   f(x)  de reales en reales con dominio D.   S e a   a e   R; saber cuál es el comportamiento de la función en   a   es muy

sencillo, simplemente calcule   f   en a y observe que solamente pueden suceder dos cosas: o existe un número real   f(a),  o sea   a e   D f , o no existe f(a),   lo

c ual ua l i ndic ndic a que a ? D f .

Pero saber cuál es el com portam iento de

la función muy cerca de a sin referirnos a un punto específico y sin referi ref erirnos rnos a "a ",

es un problem a bastante delicado pero de gran

importancia, ya que conociendo este comportamiento se tiene una amplia información sobre la gráfica de la función, información que no se puede tener si solamente se conoce la función en el punto. Inici Ini cialmente almente se presentará n diversas s ituaciones en las cuales se mo strará a partir de las gráficas de unas funciones, que' sucede con las ima'genes de una variable x a medida que esta variable se acerca a un punto fijo a, sin llllegar egar a ser a, pero ace rcán do sele tanto com o se quiera .

Ejemplo 1. Considere la función   f(x) =  x 2   (figura 1) y tom e a = 2.

3

 

Figura

Co noc er el com portam iento de la función en   x   = 2, es simplem ente calcular f(2), que en este caso es f(2) = 2 2   = 4 o sea 2 e D f . Pero para para conoce r el com portam iento de la la función cuand o llaa variable   x se está acercando a 2, es preciso apreciar que : 1) En la figura 1 (a) a medida que   x   se acerca a 2 por su derecha, sus imág ene s se van acerca ndo a 4, lo que se suele expresar diciendo, que el límite de   f (x )   c uando   x   tiende a 2 por la derecha es 4 y se nota por: L im

x - 2*

f[x)

=4

2) En forma análoga de la figura 1 (b) a medida que   x   se acerca a 2 por su izquierda, sus imágenes se van acercando a 4, en este caso se dice que el límite de   f(x)  c uando   x   tiende a 2 por su izquierda es 4 y se nota por: L im

x-*2~

f ( x ) =  4

Observe que en este caso la gráfica de la función no presenta ningún agujero, ni interrupción en   x   = 2 (lo que significa que la función es continua 4

 

e n   x = 2)   y también que la función tiende al mismo valor cuando   x   s e acerca a 2 tanto por la derecha como por la izquierda. Estas situaciones no siempre se presentan en la gráfica de una función, como se ilustrará en el siguiente ejemplo. E j em pl o 2

S ea 

f [ x ) 

í * + 3 si * , i 2 - x   si x >  1

De la figura 2(a), se tiene que cuando   x   se acerca a 1 por la derecha   f(x) se acerca a 1, lo cual se nota por,  

= 1

  pero cuando   x   s e

acerca a 1 por la izquierda   (fig 2(b))   f(x)  se acerca a 4, que se not notaa com o:

5

 

L im

Esto

muestra

Li Lim m f {x {x))

x - a*

que

, y Lim Lim x -

a'

no

f { x ) 

= 4

necesariamente

los

límites

laterales

f ( x )   de be n ser ¡guales; pue s aquí a diferenc ia del

ejemplo 1, la gráfica sí presenta una interrupción en el punto   x = 1   (Lo que significa que la función es discontinua en   x = 1).   Esta característica de la gráfica está determ inada por el com portam iento de la función cerca de x = 1,   tanto a derecha como a izquierda y no por el comportamiento de la

función en   x = 1,  pues si solamente tenemos en cuenta este aspecto, lo único que podríamos afirmar es que   f 1 ) =   4   y por tanto   x = 1 e D f . En los ejemplos anteriores el punto   x = a,   era un punto en el dominio de la función, hecho que no es necesario para conocer el comportamiento de la función cerca de   a ,  como se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 3

Observe que   f(2)  no existe, ya que al calcular   f(2)  habría que dividir por cero, lo cual no es posible en números reales, o sea   2   a.

Para ello: ¡yx -   v/a|  = {y/X   ~   y/a)  (y/X   +   y/I)

x  - a I v'x + v'ai

s[x s[ x   + Ja

c u a n do do x - > a .

P u es es

x - a y/x +   v / a

x - a - » 0 c u a n d o x - > a y ^^JJ a + V a V o

Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). Ejemplo 3

Demostrar que  

x

L i m  -

- 2

v '1   - * = v^

y/i - x   - yfs  - o

, es equivalente a dem ostrar que

cua ndo x -» - 2 . Para ello.

12

 

- y/ y/3" 3")) V'I - A + 3

| y / T ^ - x  -

-x - 2

1  - x   - 3 V'I - x

cuando x -> -2

Pu es

  +

+ /3)

\ / 3 

y/1 - x +  v 3

-x - 2 -» 0 cua nd o x

-2

\Í3 \Í3 + V31   * 0

y

Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). Ejemplo 4   Demostrar que ^

2

Lim

 4 x -  2    ^ X—- ^¿ =

0 

X - 4 X - 2

c uando

x- 2

e s equ ivalente

a dem ostrar que

0.

Para ello: x-2

- 4 J ( x - 2 ) ( x + 2 ) - 4 = x + 2 - 4 |= x - 2 x-2

cuando x

Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). Ejemplo 5

Lim  

En el ejem plo anterior se mo stró que

4

  =4

, pero obse rve que

aquíx = 2, no pertenece al dominio de la función, es decir no existe   f(2),  por tanto la función no puede ser continua en x = 2, ya que no satisface la primera condición de continuidad en este punto. Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). 13

 

Ejemplo 6 x 2 

—

S e a 

En im

x - 2

f(x), 

f (x) =

form a f ( x )  = 4

X

- 4 -

8    2

similar

al al

SI

X

*

2

si

x = 2

eje m plo

an terior

se

m ue stra

qu e

(Ejercicio), aquí x = 2 sí perten ece al do m inio de la func ión

pues   f(2) = 8,  pero como   f(2)  es diferente al valor del

Lim f{x)  

e n tonces

no se satisface la tercera condición de continuidad, por

tanto f no es continua en x = 2. Ejemplo 7

En el ejem plo 1 se dem ostró que

se puede demostrar que  

L im  

x 

_ 2 -  

Lim

x - - 2 * 

X

_  ^ A

\x  - 2\1

i

X

= -i 

¿

 = i

, en form a aná loga

(Ejercicio). Pue sto qu e los

dos límites límites laterales laterales son diferentes entonce s no exist existee

Lim 

x

2

\x - 2 X — -Al  

,

por tanto no satisface la segunda condición de continuidad; luego esta función no es continua en x = 2.

14

 

Observe este resultado gráficamente (Ejercicio). Ejemp Eje mp lo 8

Observe Obser ve que

Jf ®

existe y es igual a 4, pue s

I f ( x )  - 4| = |x 2   - 4 | = | ( x +2 )

cuandoo cuand

x - 2 -> 0,

pu es

( x - 2) | = |x + 2 | Ix - 2 | - 0

x + 2 ^

4y

x -2

0 cua nd o x- > 2.

Además   f(2) =  2 2   = 4, existe, existe, y su valor coincid e con el valor de l llímite, ímite, por tanto   f(x)  = x 2   es continua en x = 2. Definición

Una función y =   f(x)  es continua en un intervalo abierto (a, b) si y solo si f es continua en cada punto del intervalo Ejemplo

La func func ión   f(x)  = x 2   es continua en cualquier intervalo abierto (c, d), pues en forma

análoga

al

Lim f   (x) =   f(a) 

ejemplo

anterior

se

puede

demostrar

que

para cad a a e (c,d).

Definición

Una función   f(x)  se dice continua en un intervalo cerrado [a, b] si y solo si a) fes continua en el intervalo abierto (a,b) y b)

Lim   f(x) (x )  

x - 

a

' 

=  f i a )

y

L im

x - b~

f(x) =

f(b )

Ejemplo 1

La fun ción   f(x)  = Vx" es continua en intervalo cerrado [1,5], como se puede 15

 

deducir de los ejercicios vistos anteriormente. Ejemplo 2 x f U)

si   0 < x ^ 5

=

2   si 

x   —  0

Es evide nte que f es con tinua en (0, (0, 5) (Ejercicio), ad em ás Lim f(x)   =   f(  5)  * - 5"

(Ejercicio), pero  

Lim f(x)  = 0   *  /(O) = 2 x - 0*

luego f no es continua en el intervalo cerrado [0,5], E J E R C I C I OS

I) Trazar las gráficas de las funciones siguientes y apoyado en ellas hallar los límites indicados. 1

f { x ) = x 3   ; xL i m 2 f ( x ) , L i m

 "  

x - 3*

f { x ) = v /1 +  x   ; Lim 1 f  ( x )

*  ^  

3.

,

f ( x )=

í(x)

2

=

x s 5 x < 3

Si Si

X

, 3  _ *

|X

3   | 

x  ~  0"

; Li/tf L (x )

L im

f{x)

x -

;  L im X

16

x  - 2" 2"

L im f ( x )

x  —  3 ~

3 3-- 

f(x)

; L im

x - 

; L im í ( x ) x  _

f { x ) , L im

  -  3"  3"

 3

f(x)

L im f { x )

x -  5

f ( x )  ;  Lim f {x)

x -   4

 

5 

f(x )

e.  

f 5 ;  am > £u ) 

Si

1   ; L i m n f { x )    -- 2   

: 

a i

í { x ) :

 

a i

t [ x )

Lim f   (x)

--X  -   4

f(x)

II) Determinar si las funciones dadas en el numeral I son continuas o no. Dé un intervalo cerrado donde cada una de ellas sea continua. IIIIII) Defina c on tinu ida d d e u na fu nc ión en los inte rva los (a,b), (a,b], ((--a> a>,, +oc) y dé ejemplos. IV) Determinar si las funciones siguientes son continuas en el intervalo dado. ~  2 8   ;

1 . 

f(x)

= 

2 . 

f(x) 

=   y/1   -  x

en 

3

f (x)

= x 2  + x

en

en

[ - 2 , 2] 2]  « f c

[ - 5 , 4 ) Mo

[ 2 , 10

17

 

4

f { x )   = [x - 1]  

5 . 

f (x)

g 

f ( x )  = x 4  

= y/x  - 4 er ¡

(Parte

en

en 

entera)

[4,

[ - 5 , 6 )  s ,

5,

(-oo ,+o o) cj; cj;

V) Hallar el valor de m y n tal que la función dada sea continua /72X  

S Í 

X 

x ¿ 

si

x 

mx

2 . 

3.

4 

/(x)

.f(x)

/(x)

=

=

=

> 4   3

/r c x + 1 2 -   mx

-1 mx + n 1

si si 

x £ 3 x > 3

si si

0 0 < x +00) o se aleja hacia abajo (/¡fxJ->  -00 y tam bién se estudiará en forma intuit intuitiva iva el com portam iento de la función   f(x)  cuando en lugar de acercarse x a un número real  a ,   s e aleja sobre el eje x hacia la derecha (x->   +00 o se aleja sobre el mismo eje hacia la izquierda (x^-   - 0 0

.

Ejemplo 1 Sea f( X ) =

si   X < 1 x - 1 2 - x si x ¿ 1

19

 

En la figura 5 se observa su gráfica y en ella se puede apreciar que a medida que x se acerca a 1 por la izquierda (x-> 1"), sus imágenes se van alejando cada vez ma's hacia abajo sin ninguna cota, lo que se representa con la expresión : Lim

f( x)

x - 1

-

En forma análoga de la gráfica de la función

2

x

si

x ¿ 1

( figura 6) se puede visualizar el sentido de la expresión L im

X -

1"

f(x)

= 

+

y

20

 

Ilustre el significado de L i mf ( x ) = x

  a

  '

+» ,

 

Li nt f(x )

=   - oo,   L i m f ( x ) =

x ~ a*

+« ,  

x - a

Lim

f{x)

=

X - a

con las gráficas de a ) 

c)

fi x)

= 1 

íW

b)  

- ¿ 

fW

d ) 

= - 1

- --L

Ejemplo 2

De la gráfica de  

f ( x )   =1

(figura 7) se pu ed e ap rec iar qu e a

 

medida que x se hace más grande su imagen estará cada vez más próxima a cero, confundiéndose con cero cuando x tiende a más infinito, esta situación se describe afirmando que el límite de   f(x)  cuando x tiende a más infinito es cero y se nota por: L im

X -

+ x < 1/M => 1/x > M es de cir,  f(x) >  M . 2 . 

L í m f ( x ) = 

, equ ivale a decir, que para cualqu ier núm ero

M > 0, da do , existe 8 > 0 tal que si a - 8 < x < a en ton ces   f(x)  < -M. Ejemplo

24

 

S e a 

f(x)  = — —

Demostrar que   M>0, M> 0,

( f ig ig u urr a 1 0 )

x + 3

existe

L im   —í— =

eq uiva le a verificar qu e da do

x - - 3"

8 > 0, tal qu e si -3 - 5 < x < -3 en ton ce s 1/(x+3) < -M.

Para hallar este 5 (que de pe nd e de M), ob serv e que si 1/(x+3) < -M => Par M + 1/(x+3) < 0 => (Mx + 3M + 1)/(x+3) < 0 => Mx + 3M + 1 > 0 (Pues como co mo

x < -3

Mx >

- 1

en ton ce s

- 3M

=>

x + 3 < 0)

=>

x > (-1 - 3M )/M = -1/M - 3 = -3 - 1/M (5 = 1/M)

Asíí, si -3 - 5 = -3 - 1/M = (-3 M - 1) / M < x < -3 => 1 /(x+3) As (Ejercicio).

25

< -M

 

3. En forma análoga defina e ilustre con ejemplos similares los conceptos siguientes: Li m

f{ x)

=

^

Li m

f{ x)

=

x - a

4 .   En todos los cuatro casos anteriores, la función   f(x)  e n   l a s   cercanías de

a se aleja hacia arriba o hacia abajo pegándose a la recta x =   a .  E n cualquier situación de éstas, se dice que la recta   x = a   es una asíntota vertical de   f(x). Definiciones 2 1

f[x)

= a

  Eq uivale a decir, que dado e > 0 existe un N > 0

tal que si x > N entonces   f(x)  - a

< e, es dec ir, si x >   N   entonces la

distancia entre   f(x)  y a es me nor que el núm ero e > 0 dado . Ejemplo

Demostrar que  

L im   - L = o

equ ivale a verificar verificar que para un

X2

x ~ +°>

e > 0 dad o, existe un N > 0 tal que si x > N en tonc es

1/x2   - 0

Para hallar este N (que depende de c) observe que: 1 /x 2   - 0 < e 1/x2   < 8 1/e 1/e < x 2   1/8 1/8 < x   2   1/Ve"< 1/Ve"< X   > 1/Vs~ 1/Vs~== N ( Pu es

x

=x

por qu é ? ).

Así si x > N => x > 1/Vs => 1/x 2   < s =>

1/x2   - 0

2. An álog am en te defina defina e ililustr ustree el concep to de: Lim

x - -OO

f(x) 

26

= a

0,

existee N > 0, tal qu e si x > N, en ton ce s   f(x) >  M . exist E j em pl o

Demostrar que  

Lim x2   + i =

, eq uivale a verificar que

\

 

dado M > 0 cualquiera, existe N > 0 tal que si x > N entonces x 2   + 1 > M. Para hallar este N (que depende de M), observe que: x 2  + 1 > M

x 2   > M - 1

x > V( M - 1) = N

x

x

>

M -1)

(pu es x > 0). x 2   + 1 > M (Ejercicio).

A sí si x > N enton ces 5.

x   2   > M - 1

En forma similar defina e ililustre ustre los con cep tos :

L í m   f{x)  =   -

+oo

funciones

L í m  f(x) 

L i m   f (x) = 

X - 

00

=

Q 0 n las gráficas de las

f( x > = -2 x 2   , f ( x ) = x 4   + 8   , f ( x ) =  - x 2

EJ ERCI CI OS 1) Analizando las gráficas de las funciones dadas hallar los límites que se indican : a ) 

f{ x)

= Sen x

; Li m

l  \   f ( x )

D)

= Ln x

; Li m

c)

=

Lim

Hx

U )

f(x) 

-X -

XX-+» +»

x-++ O, pero c om o A y B s on núm eros f i jos jos ent onc es A - B = 0 y así A = B.

2. La función con stante   f(x)  = k es continua. En efecto efecto : L i m f { x ) = f  (a )  

,ya qu e   \f(x)-f(a)\ 

x-a

f(x) - f(a)  f(a)   i   -> 0 cu ando

= i k - k | = 0, l o qu e i m pl ic ic a que

x - a i - » 0.

3. La función idéntica es continu a. Demostración (Ejercicio). Según Se gún esto  

Lim x  = a x-a

4. Si Lim   f x )  = A y Li m   g x )  = B c on A y B núm er eros os real rea l es i) Lim   f x) ± g x))  = Lim   f(x) ±  L im   g  x )  = A ± B ii) Lim ( f x ) . g x ) )  = Lim   f(x) .  L im   g(x)  = A . B iii) Lim   f x)l g x))  = Lim   f(x)¡L i m   g(x) =  A/B, si B * 0. Aqui la expresión Lim, donde aparezca en esta propiedad, representa una sola de las siguientes situaciones: Lim X  -

; a'

Lim

 

X- a

,

Lim x

  - a 

,

Li Lim m

  +

* -  "

,

Lim x - - »

Demostración Se demostrará i) a manera de ilustración, las otras se hacen en forma análoga. De las hipótesis se tiene que: Lim f{x)   =  A  x-a

, es decir,  

f(x)   - A   •  -> 0 cuando  

33

x - a   —> 0

y

 

Lim g{x) -   B  , es dec ir  | g(x)  - B ' ->  O c uando   x - a   j -> 0, se verá qu e x -a

j   f(x) + g(x)  -

(A + B) ¡  -> 0 cua nd o

x - a -> 0.

1

En efecto: f(x) + g(x)   - (A + B)   = (f(x)   - A) + ( g ( x ) - B) i < I  f(x)  - A

+   g(x) -  B \

0 + 0 = 0 cu an do

x - a I  —>  0 . 5 .   S i  f(x)  y   g(x)  son continuas en un punto   a   ent onc es   f(x) ± . g(x)\   son

g(xf(x)

continuas en a y si   g(a) *  0 entonces   f(x)/g(x)  es continua en a.

Demostración

Se desprende inmediatamente de la propiedad anterior (Ejercicio). Ejemplos

a) Como   f(x)  = k es con tinua en   a   y   g(x)  = x es continua en   a ,   entonces H(x) = f(x).g(x)   = kx es continua en   a . b) Como   f(x)  = x es con tinua en   a ,  entonces   g(x)  = x 2   es continua en   a ,  y en forma análoga x 3 , x 4 ,

x 10 0 ,

son continuas en   a   para cualquier

a e R. c) En general  f(x)  = a 0   + a ^ +

+ a ^ ". n c N es continua continua en   a   para todo

a en R (Ejercicio), por tanto : Li Lim m 

+ 2x2  

( 1  +

+ x3)

= 1 + 2 * 5 + 2 * 5 2   + 12 5 = 1 1 + 50 + 12 5 = 18 6

X-*5

d) Si P(x) y Q(x) son polinomios: L im  

=

g{a)

si q(a) ^ 0, por tanto

x-a

g ( x ) 

, . Lim x-2

x 2   - x - 4 = 2 2   - 2 +4 = -— 6 2 2 x   + 9 2   + 9 13

34

 

e) Anteriormente se vio que  

l í w j x  =  j a 

si a > 0 , esto indica qu e

x-a

la función Vx"es continua en todo a > 0. Tambiénn se puede demo strar qu e en general Tambié es continua en a, para todo odo a > 0 si n es par y para todo a si n es im par. 6. Si   f(x)  es continua en a y   g(x)  es continua en   f(a)  ent onc es   g(f(x))  e s continua en a es decir,  

l í w 

xx-aa

g ( f ( x) )

- g   [ l í w 

' x-a x-a

f( x ) )

'

=

g ( f ( aa)) )

Ejemplos a

b)

L ím   y / x 2   +   2x +  3

x-2

Lí w

x-3

Líw

/

í m 

X—2

x 2  + 3 x + 5

x

¡3x 2  

¿

=   [ l í w 

Lí w

x-3

( x 2  +

x

t

+ 3)

+ 3x + 5

 

4

( 3 x 2  + v / x ^ J 4  = ( 1 2

+ 4

+3

231

4

6

+ /F )

7. Con el mism o significado significado dado a Li Lim m   f(x)  en la propiedad 4: Si Lim  f(x)  = L y Lim   g(x)  = L y   f(x) < h(x) < g(x)  (Para todo x cerca de a, o en en más o m enos i nfini nfinito to según sea el caso) enton ces Lim   h(x)  = L. E s t e res ul t ado c onoc i do c on el nom bre de Teorem a del em paredado s e puede visualizar con la ilustración siguiente para   l í w 

35

(figura 12).

 

Figura 12

Ejemplo 1 L i m

 

Sen*

s¡x*  + 1 

=

0

En efecto: puesto

-1 ¿ X

ent onc es  

que   - 1   ¿ Sen3  

^ x 2  X

¿ 

S en 3

sjx sj x2  

j l 

+ 1 X

y 

X

+ l ¿ 1 

entonces

com o-1 /x y 1/x 1/x tienden tienden a 0 cuando x -^ + co

 

tam bién tiende a 0 cua nd o x

36

+oc

 

Ejemplo 2 Lim

x - 0

x 2   Sen—

-i

X

= 0

En efecto efecto 0 <   |  j^ sen 1/x 1/x - 0 | = x 2 1 sen 1/ 1/xx   |  < x 2   y c o m o  g x ) ~   0 y  h x )  = x 2 titieenden nden a 0 cuan do x-» 0, enton ces x 2 sen 1/x 1/x también tiend tiend e a 0 cuand o x -> 0. Ejemplo 3 Si  

L i m | f ( x )   | = o  x-a

entonces  

L i m f ( x ) =  o

x-a

En efecto: se sabe que   - /¡fxj <   f(x) 0 por valor es po sitivos si x

y x - 3 ->• 0 por va lore s neg ativo s si x x  - 8 r  • Lim + x~ *  3   ~  3  

y

X

Lim x -

3"

x - 3

3+

3" en ton ce s

=

Ejemplo 3

Hallar

Lim X-

x 3  + 3 x - 8 1

U

-

D

2

Como x 3   + 3x - 8 -> -4 < 0 cuand o x -> 1 y (x - 1 ) 2 -> 0 por valores positivos cuando

x

1 bien

sea

por

la 41

dere cha

o

por

la

izquierd a,

 

3 x   + 3 x   — 8

ent onc es

Lim — (x X- 1

—  — = -« 2

- 1)

Los resu ltados an teriores teriores se utilizan utilizan tam tam bién e n el cálculo de límit límites es cuan do x

+oo o x

-oo en fu nc ion es de la form a   f(x)Jg(x)  después de realizar

algunos cambios en esta función Ejemplo 1 4 2 -x   + x   + 3

T  • Lim

Hallar  

v2

+

X

Dividiendo entre x 4   numerador y denominador, la expresión se convierte en: Lim

X-

++"" >

Lim

i  +   J _  

+  J l

x2 

x3

^

1 +

=

JL + J L =   i  >   o  2

X  

4

X  

pues

y 

positivos, cuando x ->  +co. co .

Ejemplo 2

42

_L + _L _ o  2

X  

X

3

por

v alores

 

_5

Lim  

Hallar

X- +0 0

_3

x 2 + x

  \ 

+ 1 JT

2 x   2  + x   2  + 2

Si se divide numerador y denominador entre x 5/ 2   se tiene : i   +  1  X 2 

-

LI M  r

+ X  2 

+

X

+ 1 

T 

=  L I M

_

O

2 x   2  + x   2  + 2

.

1

1

2

——-

.

I

v

1  

X 

.

= —

2

2

~ 1

2

„ 2

Ejemplo 3

Halllar Hal

L im

3 

* ^

 

1

+

+ 3

2

3

  2

7x   + x   + x

si se divide numerador y denominador por x 3   se tiene :

+ 

+

Lím

X-  

+  O  cuando x-> a.

 

N ot a.

Esta desig ua lda d se titiene ene , ya que para todo x real : sen x   I  <

x

En efecto : considerando inicialmente el caso 0 < x <   n /2  y comparando el área del sector circular determinado por el ángulo x y el área del triángulo con base 1 y altura sen x, como se aprecia en la figura 13, se tiene que : Figura 13

y

x2+y2= 1 sen x

x

área triáng triáng ulo OP Q < área sector circular O PQ , es decir, 1. (Sen x)   12 < x   12 , en ton ce s Se n x < x. Co nside rand o que la función Sen x es impar, se pue de verificar verificar i Se n x

<

que

x   ¡  para   -n/2  < x < 0, y cons iderand o el com portam iento del

Se nx en otro otro intervalo intervalo se pued e mostrar que en gen eral

Sen x



Cos x gen x   ¿   x   ¿   Ta n  x   2 

área sector

2

1

Cos

=>

5e/7

Tan x=>

y puesto que las tres expresiones son

x

mayores que cero se tiene, tomando sus recíprocos, que C os  

X

>   Senjc 

>  C o s

x

Por la la con tinuida d de la la funció n Cos x, se tiene que cu an do x- > o + C o s x - > 1 y 1/ 1 / C o s x - >   1 ; por ttanto anto aplicando el teorem a de l em pa reda do se concluye que : L i w

 

S e n x

  = i

48

 

Usando el hecho de qu e la la funció n Sen x es impar se con side ra el caso -71/2   < x < 0 ( 0 < - x <   7c/2 obteniendo como resultado Lim

x

-

 

S e n x

0"

  =1

Ejemplo 1 T S e n Lim

x - 0

ax = a

x

En efect efecto: o: haciendo p = a x , cuan do x -> 0, a x -> 0, es decir, p-> 0 y asi; inicialmente se tiene que: L i m 

x -  o 

Se n  a x 

=

a x 

L i m

  Senji 

n  -   o 

|i

=

2

y utilizando este resultado entonces: j •

Lim

x o  2)  

Lim

x - 0

L im  

x   —  0

Se .n

 

a x

x

^ ~ Cos x  X

Cos X 

_ 

  .

r = Lim  

x -  o

„ Se r? a x a   a x

„ = a

 

, . S e n a x L i/ r ?    a x

x  o

=

„ a

. 1

.

=

a

= Q

x

  = Lim 

x - 0

{1  

~

Cos

X

x )

(1 +

( 1+ 1+

 

COS x)

49

= L¿/» 

X - 0

Cos2

X

(1

+

X

C o s

x)

 

Sen 2   x    = Liw Sen —-—^ x. Sen x T  • L, im•   r x   -  o   x  1 +  Cos x) x   -  o   x   1 +  Cos x)  L im  

S e n

x

  * Liw Sen

x.Lirn

O

o

X

-

O

1

+

  C os

 

X

1*0*— = O 2

3 ) 

L iw   *

1

  -  2 C o g x  = - — n - 3x

Haciendo el cambio de variable (j = x -   n /3  (x = [j +  n/2> se puede apreciar qu e cua nd o x- > 7i 7i//3, en tonc es p - » 0 y asi:

L im

 

-I

1

  2Cog

  -

 

71

  ~

1 - 2

Liw

*

  3 X

= Liw

 

[Cos [Cos

i*

1 - 

Lim ü  ~ o   - 1 L iw   3 (i-o

1

  ~ 

Co s

H

»

2 *

1 - 2

Li

+

2 

2 - ^ -

~3\i

Liw ^   3 n- o

50

Sen Se n

» +H

+ \i)

2 + Jl)

71 - 3

— C ooss |i - Sen Sen —

    — 2 Cos

- ^

CO OS S (—

—

Sen Sen

Sen [i

= 0 - Ü

3

=

=

--L

 

C ) D e f in in i c i ó n d e F u n c i ó n E x p o n e n c i a l y L o g a r í t m i c a

Para a > 0, definiendo a° = 1, a n   = a.a

a (n-vec es), a"n   = 1/a n , a 1 /n   = "Va

queda definida para cada a > 0 una función   f(x)  = a x , para todo x racional. A part partir de estas definiciones definiciones se demu estran propied ade s pa ra esta función de variable

raciona l

tales

com o: a p   > 0, Va, a p +q   = a p   a q , a w   = ( a p ) q ,

ax   es creciente para a > 1 y decreciente para 0 < a < 1, y puesto que es inyectiva existe la inversa para cada "a", ésta se conoce como logaritmo en base "a":

log a   x  = y < - > x = a y y esta función, como inversa de la

exponencial,, posee prop iedad es com o : loga 1 = 0 ; exponencial lo logg aa = 1; log a (uv) = log a   u + log a   v, log a (u/v) = log a   u - log a   v ; log a   u p   = P log a   u ; log a   x  es crecien te para a¡-> 1 y de crec iente para 0   < a < 1, log a   x  es inyectiva para todo a > 0 a * 1, ade m ás : Lo g a  

x =  L° 9b X   L og b  a

y

a* = bx

L 9b a

°

El problema es que hasta aquí ni las funciones exponenciales, ni las logarítmicas están definidas en tramos continuos de la recta real, razón por la cual inicialmen te se am pliará la la de finición para cada a > 0 de   f(x)  = a x , a todo x real, para lo cual solo falta definir, a x   para x irracional. Para ello recuerde que un núm ero cuya represen represen tación decima l es finit finita, a, es un un núm ero raciona , pues autom áticame nte esta represe ntación es p eriódica, ya que se supone que a su derecha van infinitos ceros. Sea x un número irracional con representación decimal (no periódica) x  = a . a ^ ^

donde l os a¡ s on dí dígi gitt ooss .

Observe que para cada k. para el cual a k   * 9 se tiene que : 51

 

P k   = a.a^a 2  

a k   < x < aa,a 2  

(a k+ 1 ) = q k   y los P k  y q k   son racionales.

Además entre más grande sea k, P k  y q k   difieren me nos de x. As í se han construido

dos suces iones de núm eros racionales

(Pk)keN,

( q k ) k e N   tales que: Lim

k -   o»  o» 

P k  = x

y

Lim

k - °°

qk   = x

Es decir, todo número irracional se puede representar como límite de una sucesión de números racionales (por exceso y por defecto). Ahora como para cualquier a > 0, y cualquier q e Q, a q   está definido, entonces si x es un número irracional, con   define

a   x  = Lim n~ 

< •

a 

n x = nLim -   o» q  

entonce s se

D

Queda definida para cada a > 0, la función   f(x) =  a*, con x e R, y las prop iedad es cons iderad as para el caso x € Q se cum plen tam bién para x g R, y puesto que es inyectiva con dominio R y recorrido R + , entonces tiene inversa con dominio R +   y recorrido R, y así para cada a > 0 queda definida la función logaritmo para todo x   e  R + , función que satisface satisface tam bién las propiedades enunciadas para el caso restringido, Esp ecial interés interés presenta presenta en ma temá ticas

el estudio de las funcion es

exponencial y logarítmica en base "e", donde e es un número definido como el límite de la sucesión 52

 

e =   Lim n 

¡1 + —) -» \ ni n

Se puede dem ostrar que para cua lquier valor de n la exp res ión (1 + 1/n) es mayor que 2 y menor que 3 y que la sucesión es creciente, pero crece en forma lenta,así por ejemplo para n = 1000, (1 + 1/n) n   es igual a 2.7169, parra n = 10.000 es igual a 2.71 82 6, para n = 1.000.00 0 es 2.7 18 28 , para pa n = 10.000.000 es 2.718281. También se puede demostrar que el número límit mite de esta suce sión es irracional irracional y es

ap roxim ad am en te ig ual a: a:

e=2.718281..

El logaritmo en base e, o sea la inversa de la función   f(x)  = e* se llama logaritmo natural y se nota por Ln, (In x = log e   x ). Con esta definición de e, la función exponencial en base e : e x  se puede representar como: e x   = /Lim ¡1 + — i" f = Lim ¡1 + n I I n-  oo  \ Vn  -  «o  \

P = Lim í 1 + 4 n j k -« \

,este este último pa so h ac ien do k = nx, pu es si n - > +oc

f k

k -> +o +oo (pa ra x > 0) y

1/n = x/k Observación

En forma forma m ás gene ra se puede d efinir efinir el núm ero   e   c omo

53

 

?{x)  

e = Lim   ( 1 +   g{x)) x - a

Si

Lim

x - a

g{x)

= O

cr x -ma   (1 + e = .Lim .Li

D)

—— g{x)r

Si

Lim

g{x)

=

C o n t i n u i d a d d e l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l y l o g a r ítí t m i c a

1. Inicialmen Inicialmen te se dem ostrará que la función   f(x)  = e x  es continua en "0", es decir,  

Lim ex   = e °  = i

e x  - 1

lo qu e significa que

x - 0

-» 0 cuand o x

0.

Se trata ráso áso la m en te, e l límite p or la de rec ha , o s ea se co ns ide rar á x > 0, lo lo cual implica que, por ser creciente la función, e x  > e° = 1, y asi e x   - 1 = e x   - 1. Para ello ello se requiere requiere primero demo strar la desigu aldad e x >1+x Vx > 0 /

e* = Lim { i + \ L im il+ n » \

(*) n 

+ 1

2 

n (n - l)

nj

= +

n

U I 

L im

n-

l l + n - Z ) = l + x   n¡

\

y (1 + x) < e x   para x > 0. Para demostrar que e x -1

0 cuan do x

0 se mostrará que e x -1 > 0, puede

ser tan peq ueñ o com o se quiera, acercan do suficienteme nte x a cero. Para ello sea e>0 tan peq ue ño com o se quiera. To m em os x = In (1 + e). e). Ob serve que, puesto que 1 + 8 < e E   => x = In (1 + e) < In ((ee £) = s (por ser e x   creciente) y

así cuand o   s 

0 , x -> 0 (pue s 0 < x < s) y adem ás. 54

 

se puede hace r tan pe qu eñ o co m o se quie ra, para valo res de x tales qu e x -> 0. 2.   f(x)  es continu a en todo todo b e R., es dec ir  e x - e b   - > 0 s i x - > b , y a q u e e x - e b   = e b ( e x - b -1)

ex   = eb  

0

sea

= e b  e x b - 1

->0,

si x -> b,pues haciendo u = x-b, si x -> b, u -> 0 y así: e b(e x"b- 1)

=

e b 

(e u - 1)

-> 0 (si u - > 0)

3.   f(x)  = a x   es continua para todo a > 0. En efecto:   f(x)  = a x   = e x ln 3  y puesto que x In a es continua (constante por x) y la exponencial en base e es continua, entonces a x   = e x

lna

,que es la

compuesta de estas dos, también es continua. 4 .  f(x)  = log a x es contin ua pa ra todo x e R, es decir, Lim Log a   x = Loga   b x-b

Log„ 4   I  - 0 b'

o 

| l o g a   x - Loga   jb|-0 

SÍ X - » b.

Paraa ver esto , sea y = Log   a  x/b => a y   = x/b y Si x -> b => x/b Par y ^ O ^ L o g   a  (x/b) 

O

0.

Ejemplos

55

1 => a y  -> 1 ==>>

 

e 5x   +4   = e 5 * 2

Lim x- 2

2 .

e 3x

Lim x-0

3 . 

X—2

Ln{x 

Lim x-0

5 . 

Lim

E . 

Ln

L i m  x-0

L im   x- 0

Ln

 

  = e14

  = e3

Log^{2x 

Lim

4 . 

+3

+ 4

+ 5) = Lo g 3   (9)

+1 0)

=   Ln   1 0

[x2   + 5 x + 1)   = Ln(  1 + 5

Ll 7

(1

+

A

 

= a

y 

+ 1) = Ln7

L im

x-0 

-

-A

= Lim Ln  ( 1 +   ax )  x  = Ln x - 0 

^ L l A

=  i

(Lim 

( 1 +   ax ) 

X

x- » O

x

4

)

= Ln(e a )

= a

(Por la continuidad del logartimo) Ahora haciendo el cambio de variable p = e x - 1 (x = ln ( p+1)) se puede aprec iar que cuan do x -> 0 enton ces p -> e °- 1 = 0 , (por (por la continuidad de la función expo nen cial), luego 56

 

Lim Li m  

eX

x-o

1

  = Lim

X

, ^

n-o X rz

(n

= Lim 1 )  ^o

+

Ln 

,  1  (1

= -

+ j¿)

1

= 1

Ejemplos 1.

Lim

—

x-0

- 

X

= Ln

a

'x   1   =

Puestoo que Puest

x

'

=

' 

x Ln a

L n a

entonces ^

Lim x - o 

 x

  1i   = Lim

 

-

x 

(

x - o 

L n  a

 

  11 — Ln a = 1. Ln a = Ln a

-

x Ln a

(haciendo p = x ln a) Lim-^ 0 ^ 3

2.

x-o

(1 + x

 ^

~

*

Li ? a

Haciendo Haci endo el cam bio de base se tiene que Log(

L im   x-0

oó    lim n  . x - e 

L g  

°*

i + ¿x) =  

{ 1 + h x )

 

( 1 +   bx )

Ln a 

- Lim   x 

Ln

 

 

y3 entonce s

x Ln a

=

Ln a  

l n  x - 1 = x-e

Ha ciendo p = x - e; cu an do x -> e, m 57

0 y así:

x 

x

Ln a

 

.

Ln x - 1 , • ± = Lim X  - e  x-e

L im

x-