Limites y continudidad
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Descripción: Calculo Diferencial...
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ANALISIS MATEMATICO I
Ing. Enrique Romero Osorio
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Noción de Limite: Si quisiéramos graficar la función: x3 1 f ( x) x 1
Encontraremos que la función siempre tiene valores definidos, excepto para cuando x=1 que es donde el denominador se hace cero y por lo cual f(x) no estará definida. En la tabla adjunta observamos lo siguiente: Cuando x se aproxima a 1 - por la izquierda o por la derecha- , el valor de f(x) se aproxima a 3.
x f ( x)
x 1 x 1 3
0.9997 0.9998
0.9999 1
1.0001 1.0002 1.0003
2.9991 2.9994
2.9997
3.0003 3.0006 3.0009
Aproximaciones o tendencias hacia un valor determinado “a” Tendencia por la Izquierda x a
f (x) L f(x) tiende a "L":
Tendencia por la Derecha x a
f(x) tiende a "L":
L
f (x) L
f(x)
x
a
"x" tiende a "a" por la izquierda: x a
f(x) L
a
x
"x" tiende a "a" por la derecha: x a
Pág. 25
ANALISIS MATEMATICO I
Ing. Enrique Romero Osorio
LÍMITES Y CONTINUIDAD DEFINICION: Se dice que el Límite de una función f(x), cuando x tiende hacia “a”, es L y se escribe como:
L+ε
f(x) L
Lim f(x) = L x a
[f(x)-L]
L-ε
Si y solo si, para todo numero épsilon ε > 0, existe otro número delta δ > 0 tal que si: 0 0, existe un δ > 0, tal que: si: 0 0, existe un δ > 0, (δ = ε/3) tal que si: 0 0, existe un δ > 0, tal que: Si: 0 0, existe un δ > 0, (δ = ε/5) tal que si: 0 0 y n entero positivo L < 0 y n entero impar positivo impar
Pág. 28
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Ing. Enrique Romero Osorio
Limite de un Valor Absoluto: Lim I f(x) I = I Lim f(x) I x a x a
Limite de una Funcion Polinomica: Si: f(x) = anxn+an-1xn-1+………….a3x3+a2x2+ax+a0 Lim f(x) = anbn+an-1bn-1+………….a3b3+a2b2+ab+a0 x b
TEOREMA DEL SANDWICH: Si, f, g y h son funciones tales que:
f(x) < g(x) < h(x)
Lim f(x) = Lim h(x) = L, entonces: x a x a
y además:
Lim g(x) = L x a
h(x) g(x) L
f(x)
a
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS LÍMITES:
Lim
f ( x)
xa
De ser posible, se aplicara directamente las propiedades anteriores, reemplazando “x” por “a” y efectuando las operaciones que se indican. Si luego de realizar las operaciones, se obtiene alguna forma indeterminada ( 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 00, 1∞), es posible encontrar el Limite pero se deberán realizar transformaciones adecuadas a la expresión inicial (Factorización, conjugadas, racionalizaciones, etc.) para ”levantar” esa indeterminación y encontrar el verdadero valor del Límite. . Pág. 29
ANALISIS MATEMATICO I
Ing. Enrique Romero Osorio
PROBLEMAS RESUELTOS Evaluar los siguientes límites: 1)
Lim 3x2+2x-1 x 2
Solución: Por la propiedad del Límite de una función Polinómica: Lim 3x2+2x-1 = 3(2)2+2(2)-1= 15 x 2 2)
Lim
3x 2 17 x 20 4 x 2 25 x 36
x 4 Solución: Reemplazando el valor de x=4 Lim
3x 2 17 x 20 4 x 25 x 36 2
x 4
= Lim
3(4) 2 17(4) 20 4(4) 25(4) 36 2
=
0 0
Indeterminado
x 4
Trataremos de levantar esta indeterminación, para lo cual buscaremos el factor que hace cero. Como x 4, entonces: (x-4) 0, este es el factor que hace cero y lo buscaremos tanto en el numerador como en el denominador. Factores que hace cero
3x 17 x 20 2
Lim
(3x 5) ( x 4)
= Lim (4 x 9) ( x 4) , simplificando el factor que hace cero 4 x 25 x 36 x 4 x 4 2
(3x 5) Lim (4 x 9) , aquí nuevamente reemplazamos el valor de “x”:
x 4 (3x 5)
3(4) 5
Lim (4 x 9) = 4(4) 9 1 x 4 Pág. 30
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3)
Lim
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x2 2 x
x 0 Solución: Reemplazando el valor de x=0
Lim x 0
x2 2 = Lim x x 0
02 2 0 = , Indeterminado 0 0
Busquemos el factor que hace cero Como, x 0, entonces, “x” es el factor que hace cero Los Casos que se presenten con radicales, podrían resolverse racionalizando, esto es, multiplicando por la conjugada de los radicandos o tratando de relacionarlo con algún producto notable: Conjugado del primer factor
( x 2) ( 2) ( x 2 2) ( x 2 2) x2 2 = Lim = Lim x x ( x 2 2) x ( x 2 2) 2
Lim x 0 Lim
x 0
x 0 Factores que causan la indeterminación x x22 1 x2 2 = Lim = Lim = Lim x x ( x 2 2) x ( x 2 2) ( x 2 2)
x 0 Lim
x 0 1 x2 2 = Lim = x ( 0 2 2)
x 0
x 0
x 0
1 (2 2 )
1 =
(2 2 )
2 2 4 2
x 0 3
4)
2
Lim
x 1 1 x
x 0 Pág. 31
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Solución: Reemplazando el valor de x=0
3
Lim
x 1 1 = Lim x
x 0
3
0 1 1 0 = , Indeterminado 0 0
x 0
Como, x 0, entonces, “x” es el factor que hace cero 3
Lim
x 1 1 = El numerador podemos identificarlo como un factor de la diferencia de x
x 0
cubos:
a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2) a b (3 a )3 (3 b )3 (3 a 3 b ) ( (3 a )2 3 a 3 b (3 b )2 ) 3
Lim
(3 x 1 3 1) (( 3 x 1) 2 3 x 1 3 1 (3 1) 2 ) x 1 1 = Lim = x x (( 3 x 1) 2 3 x 1 3 1 (3 1) 2 )
x 0
x 0
(3 x 1 ) 3 (3 1 ) 3 ( x 1) 1 Lim 2 2 = Lim 2 3 3 3 3 x (( x 1) x 1 1 ( 1) ) x (( 3 x 1) 3 x 1 3 1 (3 1) 2 )
x 0 Lim
x 0 x ((3 x 1) 2 3
x x 1
Factores que causan la indeterminación 3
Simplificando,
1 (3 1 ) 2 )
x 0 Lim
( x 1) 3
2
3
1 x 1
3
1 ( 1) 3
2
=
( 0 1) 3
2
3
1 0 1
3
1 ( 1) 3
2
=
1 3
x 0 PROBLEMAS PROPUESTOS Encontrar el Límite de: 5)
Lim x 4
2x 1 3 x2 2
6)
Lim
xn yn x y
x y
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7)
Lim
2 x 3 5x 2 8x 1 x 4 x3 x 1
x 1
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x3 1 x 1
8)
Lim x 1+
x2 1
9) Lim
3
x 8 x 4
x 64
LIMITES LATERALES Como vimos en la parte inicial de este tema, existen casos en los cuales las funciones no están definidas a la izquierda o derecha de un número determinado, por tal razón el límite de la función cuando x tiende a ese número determinado, no existe. Limite por la Derecha: Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia “a” por la derecha es “L” y se escribe como: Lim f(x) = L x a+ Si y solo si, para todo numero épsilon ε > 0, existe otro número delta δ > 0 tal que si: 0 < x - a < δ , entonces | f (x) - L |< ε
Nota: No hay barras de valor absoluto alrededor de (x-a) porque como x>a, (x-a) es mayor que cero.
Limite por la Izquierda: Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia “a” por la izquierda es “L” y se escribe como: Lim f(x) = L x a Si y solo si, para todo numero épsilon ε > 0, existe otro número delta δ > 0 tal que si: 0 < a-x < δ , entonces | f (x) - L |< ε
Nota: Como a > x, la expresión (a-x) es mayor que cero.
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EXISTENCIA DEL LIMITE Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia “a” es “L”, si y solo si los limites por la izquierda y por la derecha existen y también son iguales a “L” Lim f(x) = L x a
Lim f(x) = Lim f(x) = L x a x a+
EJEMPLOS: Se observa que:
1)
Lim f(x) = 3 x 3 Lim f(x) = 5 x 3 +
f(x) 5 3
Como: 3
Lim f(x) x 3 -
Entonces:
2)
Lim f(x)
x 3 +
Lim f(x) : No existe x 3
Lim f(x) = 9, x -711
Entonces: 9
-7
Lim f(x): No existe x - 7
Lim f(x) = 11, x 8-
4 8
Entonces:
Lim f(x) = 4 x -7+
Lim f(x) = 11 x 8+
Lim f(x) = 11 x 8
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PROBLEMAS Encontrar los límites indicados en cada caso:
1. Solución:
2. Solución:
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3. Solución:
LIMITES TRIGONOMETRICOS En el grafico adjunto: T MP = Sen x,
M
TA= Tg x,
AM = Arco x (en radianes)
Se observa que: MP < Long. Arco AM < TA M’
X O
T’
Sen x < x < Tg x.
X
P
P’
A Pero, cuando x es próximo a Cero: x 0
Sen x x Tg x equivalea :
1
x 1 Sen x Cos x
Lim 1 Lim x 0
x 0
Sen x x
Sen x , Dividiendo entre Sen x Cos x
Sen x 1 Cos x , Tomando el Límite en cada caso: Invirtiendo los términos: del Emparedadox nos queda que
Sen x Lim Cos x x 0 x
, Como Cos 0 = 1, tendremos, Lim 1 Lim
Por el Teorema del Sándwich, tendremos que:
De igual forma:
x 0
Lim
Sen x 1 x
Lim
Tg x 1 x
x 0
x0
x 0
Sen x Lim 1 x 0 x
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PROBLEMAS Calcular los siguientes Límites: 1)
Lim
4)
Lim
x 0
Sen 2 x Sen 3x
Tg x Sen x x3
x 0
Cos
7)
Lim x 1
10) Lim x 0
Lim
x 3Sen x 2 x Sen 2 x
( 3) Lim x 0
5)
Lim
Sec x Sec a xa
6) Lim
x 0
x a
x
2 1 x
8)
2 Cos x Cos x x
2
x x Sen x 1 Cos x 4
12) Lim x 0
2)
4
Lim (1 x) Tg x 1
11)
Lim
x 2
13)
Lim
x
2
1 Sen x (
2
x) 2
x Sen ( Sen 2 x)
9) Lim x 0 1 Cos ( Sen 4 x)
Sen (2 x a) 2Sen ( x a) Sen a x2
x a
1 Sen
2
x
1 Cos 2 x 1 Cos 2 x ) x x2
x 2
x x x Cos (Cos Sen ) 2 4 4
14) Lim x 1
2 x 3 Cos ( x 1) 1 x2 1
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x
LIMITES AL INFINITO:
En la grafica de la función: f ( x) x 1 x
que se muestra a continuación: Se observa que conforme “x” va aumentando de valores cada vez más grandes (positivos o negativos), el valor de la función se aproxima a “1”, por lo que podemos escribir: Lim f(x) = 1 x
Lim f(x) = 1 x
Estos Límites son denominados Límites al infinito. Al evaluar estos límites, podría obtenerse una respuesta definida o alguna forma indeterminada, en cuyo caso deberemos “levantar” esa indeterminación. 1) Con solución directa: Lim 3x 2 1 : En estos casos nos quedamos con el término de mayor grado x
Lim 3x 2 1 = Lim 3() 2 x
x
2) Indeterminación
a) Grado del Numerador mayor que el grado del Denominador 3x 1 Lim Lim x 2 x 1 x 2
Lim
x
3x 2 1 Lim 2 x 1 x
x 2 (3
1
) x 2 Si : x , entonces Lim 1 0, luego : 1 x x x (2 ) x 0 1 x 2 (3 2 ) 2 x Lim x (3) Lim x (3) 1 x x ( 2) x 2 x (2 ) x Pág. 38
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b) Grado del Numerador menor que el grado del Denominador
Lim
x
3x 1 x 1 2
Lim
x
x (1
x2 1 3
3x 3 1
1
2
Lim x
x 3 (3 x
Lim
2
x 3 (3)
x
x2 1 x
3
0
)
Si : x , entonces
Lim
x
)
1 0, luego : x
1 1 1 1 Lim (0) 0 x x (3) 3 x x 3
Lim
c) Numerador y Denominador del mismo grado 0
Lim
x
x 4 (1
x 3x 5 4
2
2 x 4 3x 3 2
Lim x
Lim x
3) Indeterminación:
x 4 (2
3 2
x 3 x
5 x4 2 x4
) )
(1 0 0) 1 (2 0 0) 2
Se resuelven efectuando las operaciones indicadas y de presentarse radicandos, se multiplicara y dividirá por la conjugada del radicando. Lim
x
x 2 2 x x = Lim
x
Lim
2 2() ( x 2 2 x x) ( x 2 2 x x)
x
Lim
x
= xLim
( x 2 2 x x) 2x x2 x
Lim
Lim x
x
Lim
x
( x 2 2 x x) x 2 2x x 2
2
( x 2 2 x) ( x) 2
2x ( x 2 2 x x)
2x Lim 1 1 2 x x
Lim x
( x 2 2 x x) 2x x 2 (1
2 ) x x
0
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PROBLEMAS Calcular los siguientes Límites: 1)
3)
5)
Lim
x 2 5x 6 x
Lim
16 x 8x 6 16 x 8x 6
x
2
x
Lim
x
5
( 2) xLim
2
4) xLim
x3 x2 2
x2 ) x2
x 3 x 4 x 2x 1
(5 x )( x 3) 243x 11
x 4 Ax 3 1 3 ( 3 x 2 3x 10 ) 6) Si : xLim 2 x x 1
, encontrar el valor de " A"
RESPUESTAS| 1) -2.5 2) 2 3) 2 4)
2 2
5) -1/3 6) 3
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LIMITES INFINITOS En la grafica de la función: f ( x) x 1 que se muestra a continuación: x
Observamos que cuando “x” va aproximándose a cero por la derecha (0+) la función f(x) crece ilimitadamente, por lo que podemos escribir: Lim f(x) = x 0+
De igual forma, cuando “x” va aproximándose a cero por la izquierda (0-) la función f(x) decrece ilimitadamente, por lo que podemos escribir: Lim f(x) = x 0-
Estos límites son denominados: Limites Infinitos. Teorema: Si “n” es un número entero positivo, se tiene: 1)
Lim
x 0
1 x
n
2)
Lim
x 0
1 , si " n" es impar x n , si " n" es par
PROBLEMAS: Evaluar los siguientes Límites:
Lim
x3
1)
x 3
x2 9
3)
Lim
3x 2 7 x 6 x2 x 6
x 2
R.
R.
2)
4)
Lim
x 5
Lim ( x 1
25 x 2 x 5
1 1 2 ) 1 x x 2x 1
R.
R.
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TEOREMAS ADICIONALES SOBRE LÍMITES El Numero e Es una constante de las más importantes que hay en los números reales, es conocido como el número de Euler o constante de Napier que fue quien introdujo el concepto de Logaritmos en el Cálculo matemático. Aparece en muchos campos de la ciencia como la física, química, biología, electricidad, electrónica, etc. Es un número irracional y trascendente, razón por la cual no puede expresarse como un número finito de decimales. Tiene un valor aproximado a: e = 2.7182818284590452354….. Puede representarse como un número real en varias formas; como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua, limite de una sucesión, etc. La principal y la más usada en los cursos de Cálculo es:
1 e Lim (1 ) x x x Si hacemos: a
1 x
x
1 y como x , entonces a
e Lim a 0
a 0 , tendremos:
1 (1 a) a
De cualquiera de estas dos formas lo podremos utilizar y encontrar en los diferentes problemas. NOTA: Recordando Logaritmos: Si: x=ay y = Loga x
Log X , si a 10 ( Logaritmo decimal ) Ln X , si a e ( Logaritmo Natural o Neperiano)
Función Logaritmo Neperiano: f ( x) Ln x
Dominio y Rango:
Lim Ln x = x
Df =
0,
Rf =
,
Lim Ln x = x 0
e
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Limite de una Función elevada a otra Función f ( x) A y Lim g ( x) B Si tenemos dos funciones f(x) y g(x) tales que: Lim x a x a g ( x) Lim [ f ( x ) ] El límite de la forma: x a pueden tomar las siguientes alternativas:
1)
Si: A y B son finitos:
Lim [ f ( x) ] g ( x ) [ Lim f ( x) ] x a
x a
Lim g ( x ) x a
AB
Lim [ f ( x) ]g ( x ) es directo
2)
Si: A 1 y B:
3)
Si: A=1 y B: tendríamos 1
x a
que es una forma indeterminada.
Para este caso, hacemos lo siguiente : f(x) = 1+ f(x) – 1= 1+ h(x),
f ( x) 1 , entonces: Lim ( 1 h( x)) 1 , Como Lim x a x a
h( x) 0 donde: Lim x a
e
Lim [ f ( x) ]g ( x ) = Lim [ 1 h( x)] g ( x ) = Lim ( [1 h( x)] x a x a x a
1 h( x ) h( x) g ( x )
)
Aplicando la definición de “e”, tendremos: h( x) g ( x) Lim [ f ( x) ]g ( x ) = e Lim xa x a
NOTA: Para límites con funciones Logarítmicas, considerar la siguiente propiedad:
Lim Ln [ f ( x)] Ln [ Lim f ( x)]
x a
x a
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PROBLEMAS x 3 ( x1) ( ) 1) xLim x2
2)
5x 1 Lim 4) x 0 x
7) Lim x 0
x
5)
1 2x
1 tg x Lim ( 10) x 0 1 Sen x )
8) 1 Sen x
Lim (
x
x2 2 x 2 3x
x 2 2 ) x
1 1 x Ln 3) Lim x 0 x 1 x
4 x 3x Lim x 0 x
Lim x0
( 6) Lim x 0
1 x x (x e )
9)
x2 2x 3 x 2 3x 2
Lim
x
Ln ( x h) Ln x h
1
11)
Lim (Cos x) x
2
12)
x0
Sen x ) x
Lim (
x
1 ax
1 bx
2
)x
RESPUESTAS
1)
e-5
2)
e-3
3)
1
4)
Ln 5
5)
Ln (4/3)
6)
3/2
7)
e-2
8)
e2
9)
1/x
10)
e2
11)
e-1/2
12)
ab
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ASINTOTAS A LA GRAFICA DE UNA CURVA Asíntota: Es una Línea recta que se va aproximando a una curva conforme esta avanza hacia el infinito en una cierta dirección. Podría definirse que una asíntota es una recta tangente a una curva en el infinito.
f ( x)
y 1
x 1 x
x0
En el ejemplo adjunto, se observa que las rectas: x=0 e y=1, se van acercando a la curva de f(x) conforme esta avanza hacia el o en dirección de los ejes. Dado que una asíntota es una Recta, esta puede ser: Vertical, Horizontal u Oblicua.
Asíntota Vertical (A.V.) Procedimiento para encontrar la A.V.: Tiende a
1) Calculamos el Dominio de la función. Por. Ejemplo: Df = R –{a} 2) Evaluamos el Límite de la función en los valores de “x” que no pertenecen al Dominio. Si el Límite resulta infinito, en ese valor de “x” habrá una A.V. 3) Para saber si tiende a ó habrá que tomar los limites laterales (a+ y a-)
Asintota
x=a
Tiende a
NOTA: Las funciones que pueden tener A.V. son: A) Las Racionales: f ( x)
p( x) q ( x)
B) Las Logarítmicas y Trigonométricas
Si:
Lim f (x) xa
f(x) tiene una Asíntota Vertical en: x = a
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Determinar si existen asíntotas verticales en: f ( x)
Ejemplo:
x 1 x
Solución: Calculo del Dominio: Df = R –{0} x 1 ? Evaluamos el limite; Lim x0 x
1) 2)
Lim x0
x 1 1 Lim (1 ) x0 x x
Asíntota en x=0
Existe Asíntota Vertical en x=0
3) Limites Laterales, en 0 y 0 : (Para ver como tiende la grafica de f(x)) 1 1 Lim (1 ) Lim (1 ) x0 x0 x 0
Lim (1 x0
1 1 ) Lim (1 ) x0 x 0
Asíntota Horizontal (A.H.) Procedimiento para encontrar la A.H.: 1) Calculamos el Límite de la función cuando “x” tiende a infinito.
Asintota: y = b
Tiende a "b"
2) Si el Límite resulta finito, por ej. Un valor “b”, entonces habrá una A.H. en: y = b.
b
La posición de la curva respecto de la asíntota la podemos encontrar calculando los límites
Tiende a "b"
Lím f ( x) b
x
y
Lím f ( x) b
x
que nos indicaran si la curva está por encima (0+) o por debajo (0). NOTA: Las funciones que pueden tener A.H. son: -
Las Racionales: f ( x)
p( x) , q ( x)
-
Las Exponenciales Pág. 46
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Consecuencia de los límites de funciones racionales f ( x)
p( x) q ( x)
evaluados al infinito:
(Tema anterior)
Si °p(x) = °q(x) , habrá A.H. en:
Si °p(x) < °q(x) , habrá A.H. en: y=0 Si °p(x) > °q(x) , NO habrá A.H.
y
Coefic. Mayor grado p( x) Coefic. Mayor grado q( x)
Ejemplo: Determinar si existen asíntotas Horizontales en: f ( x) Solucion: 1) Calculamos el Lim x Lim x
x 1 Lim x x
x 1 ? x
x 1 x
0
1 x(1 ) x Lim (1 1 ) 1 Existe asíntota Horizontal en y=1 x x x
2) Posición de la Curva respecto de la Asíntota: x 1
x 1- x
Lím f ( x) b Lím ( x - 1) Lím ( x ) Lím ( x ) 0 x x x x
1
Asíntota en y=1
Cuando x , f(x) está por debajo de la asíntota x 1
Lím f ( x) b Lím ( x - 1) Lím ( x x x
x 1- x 1 ) Lím ( ) 0 x x x
Cuando x , f(x) está por arriba de la asíntota
Asíntota Oblicua (A.O.) Procedimiento para encontrar la A.O.:
b
Asintota: y =mx+b
1)
La ecuación de la Recta Oblicua es:
2)
Donde: m Lim [ x
f ( x) ] x
y=mx+b
y b Lim [ f ( x) mx ] x
NOTA: Solo habrá A.O.cuando: ° Numerador= °Denominador + 1
Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado
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x 2 2x 2 Ejemplo: Determinar si existen Asíntotas Oblicuas en: f ( x) x 1
Solución: A priori: Como °N =°D +1, entonces si existe Asíntota Oblicua: y = mx + b Calculo de “m”:
0
2 2 x 2 2x 2 x 2 (1 2 ) 2 f ( x) x 2 x 2 x x x 1 ] Lim [ m Lim [ ] Lim [ ] Lim 1 2 1 x x x x x x 2 x x x (1 ) x
m=1
Calculo de “b”: x 2 2x 2 x 2 2x 2 x 2 x x2 x ] Lim [ ] Lim [ ] x x x x x 1 x 1 x 1 2 x(1 ) x ] 1 b Lim [ f ( x) mx ] Lim [ b = -1 1 x x x(1 ) x b Lim [ f ( x) mx ] Lim [
Ecuación de la A.O.:
y = x-1
NOTA: Para las funciones racionales: f ( x ) Si se tiene que:
Asintotas Horizontales
Asintotas Oblicuas
Asintotas Verticales
y=0
°N < °D °N = °D
N( x ) D( x )
y
Coef. . grado mayor N( x) Coef . grado mayor D( x)
°N = °D + 1 °N > °D + 1
°N: Grado del Numerador
en, D(x)=0 y = mx+b
°D: Grado del Denominador
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PROBLEMAS: Encontrar las asíntotas de: x 2 11 x4
1)
f ( x)
3)
f ( x)
5)
x2 2x 1 f ( x) x
x2 x x
2 x 2 5x 3 x 1
2)
f ( x)
4)
f ( x) x
6)
f ( x) 3 2 x
x3 x3
x2 x2 x 2
Pág. 49
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CONTINUIDAD Noción de Continuidad: En forma intuitiva decimos que una función es continua cuando su representación grafica no presenta interrupción (salto) alguna que la divida en trozos. En la Grafica adjunta se observa que la función no es continua en x=0, dado que en ese valor hay un salto que divide a la grafica en dos partes. DEFINICION DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO
y = f(x) f(a)
a
x
Se dice que una función f(x) es continua en el número “x=a” (a D f ) sí y solo si, cumple las 3 siguientes condiciones a la vez: 1)
f ( a ) : Existe
2 ) Lim f ( x ) : Existe x a
3 ) Lim f ( x ) x a
Lim
x a
f ( x ) Lim
x a
f ( x ) ( N finito )
f (a )
Si no cumple alguna de estas condiciones será discontinua. La discontinuidad puede ser de 2 tipos: 1) Evitable (eliminable, removible) 2) Esencial (no evitable).
Pág. 50
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1) Discontinuidad Evitable (eliminable, removible) f ( x) : Existe y se tienen dos casos: Será evitable, solo cuando el Límite existe: Lim xa
f
f
f(a )
L
L
a
a
Lim f ( x) L, f (a) : No existe xa
Lim f ( x) L, xa
f (a) Existe
En los cuales la discontinuidad puede evitarse predefiniendo la función de tal forma que: Lim f ( x ) f ( a ) , así: x a
si : x a f ( x) , F ( x) Lim f ( x) , si : x a x a
2) Discontinuidad Esencial (no evitable) f ( x) : No existe , o si algún limite lateral es Esto ocurrirá cuando el Lim xa
Ejemplo 1: Determinar si f(x) es continua en su dominio
Solucion: Dominio de f: Df = R Analicemos la continuidad de “f” en el punto: x=0 1) f(0):
f(0) = 3
Si existe Pág. 51
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f ( x) : 2) Lim x 0
Lim f ( x) Lim ( x 2 1) 1 x 0 x 0 Lim f ( x) 1 Si existe x 0 Lim f ( x) Lim (2 x 1) 1 x 0 x 0
f ( x) f (0) 3) Lim x 0
1=3 No se cumple
Como no cumple con una de las 3 condiciones, entonces, “f” es discontinua en x=0. Pero, como el Limite existe, esta discontinuidad es del tipo evitable. Pero, como f ( x) f (0) . Para lo cual redefinimos una nueva Lim f ( x ) f ( 0 ) , hace falta que Lim x 0 x 0
f ( x) f (0) : función, de tal forma que Lim x 0
x2 1 F ( x ) 1 2 x 1
si
x0
si
x0
si
x0
Esta nueva función, si es continua en x=0
Ejemplo 2: Si “f” es una función definida por: x2 x 2 si, x 2 f ( x) x 2 , Determinar si “f” es continua en x = -2 3 si , x 2
Solucion: 1) f(-2): 2)
f(-2) = -3
( x 2)( x 1) x2 x 2 Lim Lim ( x 1) 3 Lim f ( x) : Lim f ( x) Lim x 2 x 2 x 2 x 2 x2 ( x 2) x 2
f ( x) f (2) 3) xLim 2
-3 = -3, Cumple
Como cumple con las 3 condiciones, entonces; “f” es continua en x=-2
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TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD 1) Si: f y g son continuas en x=a, entonces: a) (f + g) , es continua en el punto x=a b) K. f, es continua en el punto x=a, c) (f)(g) , es continua en el punto x=a
K Reales
2) La función Polinomial: f(x)=anxn + an-1xn-1 +...+ a1x+ a0 Donde “n” es entero positivo, ai Reales, i=0,1,2,…n, es continua g ( x) f ( x) 3) La función Racional: h( x) es continua para , todos los puntos: x=a, donde h(a) 0 g ( x) L , y “f” es continua en “L”, entonces: 4) Si, Lim x a Lim ( fog ) ( x ) f ( L) f [ Lim g ( x)] xa
xa
5) Si : “g” es continua en, x=a y “f” es continua en g(a), entonces: la función compuesta (fog) es continua en : x=a f ° g Continua en a f
g Continua en a
g(a) Continua en g(a)
f(g(a))
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO En un intervalo abierto: (a, b) Una función f(x) es continua en un intervalo abierto (a,b) si: - Es continua en todo punto de (a,b).
y
En un intervalo cerrado: [a, b] Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si: - Es continua en todo punto de (a,b) - Es continua en a+ (Derecha)
- Es continua en b- (Izquierda) y
0
a
b
x 0
a
b
x
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Ejemplos: l.- La función f con regla de correspondencia: f ( x)
1 es continua en los intervalos: x
) y ? “f” está definida para todo valor de x entre 2 y 5, así como también entre 0 y 1 2.- La función f con regla de correspondencia: f ( x) x es continua en los intervalos: y [0,1]? “f” está definida para todo valor de x entre 2 y 5, así como también entre 0 y 1 x 2 , si x 2 3.- La función f definida por: f ( x) es continua en [0, 4] ? 4 , si x 2
Continuidad en < 0, 4 >: Como f está definida por trozos, analicemos si es continua en el punto x=2: 1) f(2):
f(2) = 4
f ( x) : 2) Lim x 2
Lim x 2 4 x 2 Lim 4 4 x 2
f ( x) f (2) : 3) Lim x 2
44
Lim f ( x) 4 x 2
Luego, “f” es continua en x=2
f ( x) f (0) Lim x 2 0 0 0 Continuidad en 0+ (Der.): xLim 0 x 0 f ( x) f (4) Lim 4 4 4 4 Continuidad en 4- (Izq.): xLim 4 x 4
Con lo cual “f” es continua en el intervalo: [0, 4]
4.-
Verificar si la función f definida por: f ( x) 9 x 2 es continua en [-3,3]
Pág. 54
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Teorema del valor intermedio (Darboux) Si f es continua en un intervalo [a,b] y K es cualquier numero entre f(a) y f(b), existe al menos un numero c en [a,b], para el cual: f(c)=K
Teorema del valor Cero (Bolzano) Este caso es consecuencia del anterior. Si f es continua en un intervalo [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, entonces hay cuando menos un número c a , b tal que f(c) = 0 ( f tiene un cero en c).
f(b)
0
a
c
b
f(a)
Ejemplo: Demostrar que : f(x) = x5 + 2.x4 - 6x3 + 2x - 3 tiene un cero entre 1 y 2. Solución: Sabemos que una función polinómica es continua en todo R. Pág. 55
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Para este caso entonces, f es continua en [1,2]. Remplazamos 1 y 2 en lugar de x, para obtener los valores de f(1) y f(2): f(1) = 1+2 - 6 + 2 - 3 = - 4
f(2) = 32 + 32 - 48 + 4 - 3 = 17
Como f(1) y f(2) tienen signos opuestos, entonces por el Teorema del valor cero, existe cuando menos un número real c entre 1 y 2, tal que f(c)=0. PROBLEMAS: 1.
T x 2 , x 4 f ( x ) Hallar el valor de T para que f sea continua en todo su dominio: 16 6 x , x 4
2.
Encontrar el valor de N para que f sea continua en todo su dominio: f ( x)
3.
Encontrar el valor de N y T para que f sea continua en todo su dominio:
N x 2 , x 3 9 ,
x3
x 2N , x 2 f ( x) 3N x T , 2 x 1 6 x 2T , x 1
4.
Encontrar el valor de A y B para que f sea continua en todo su dominio: 2 Sen x, x 2 f ( x) A Sen x B , x 2 2 Cos x , x 2
RESPUESTAS: 1. T=1/2
2.
N=1
3. N=4/9, T=14/9
4.
A= - 1, B= 1
,
Pág. 56
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