limites-trigonometricos

Instituto Universitario de Tecnología “Alonso Gamero” I Semestre del 2006 Cátedra: Matemática I LIC. LILA V. LUGO G.

Coordinación de Matemática I

Límites Trigonométricos De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites. Los siguientes límites son considerados como CASOS NOTABLES 1)

Lim

senx 1 x

2)

5)

Lim cos x  1

6)

8)

Lim

x 0

x 0

x 0

tan x 1 x

9)

x senKx  1 3) Lim senx  0 4) Lim 1 x  0 x  0 senx Kx 1  cos x 1  cos x 1 Lim  0 7) Lim  x 0 x 0 x 2 x2

Lim x 0

Lim x 0

x 1 tan x

10)

Lim x 0

tan Kx 1 Kx

Algunas IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS más usadas son: 

Identidades Básicas

senx  

1 1 1 cos x  tan x  cosecx sec x cot anx

senx cos x cot anx  cos x senx

Identidades Fundamentales de la Trigonometría

sen2x+cos2x=1 

tan x 

1+tg2x=sec2x

1+ctg2x=csc2x

Identidades de la suma de ángulos

cos(x y)  cosxcosy senxseny 1  cos 2 x 1  cos 2 x sen 2 x  cos2 x  2 2

sen(xy)=senx cosycosx seny



Identidades de ángulos Doble

sen2x=2senxcosx 

cos2x=cos2x-sen2x

Identidades de ángulos medio

sen( x / 2)  

1  cos x 2

cos(x / 2)  

1  cos x 2

A continuación algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular.

Ejemplos:

1. 2. 3.

si decimos que x-1 = y entonces tendremos:

4.

seny 1 y 0 y

lim

de igual manera

5. 6.

7.

8.

sen 2 x sen0 0 sen 2 x 1 sen 2 x 1 sen 2 x 2   lim  lim  2 lim  x 0 3x 3(0) 0 x0 3x 3 x0 x 3 x0 2 x 3

lim

cos x  2 cot anx

lim

x 

cos

 2

cot an

 2



0 0

lim

x 

2

cos x cos xsenx   lim  lim senx  sen  1   x cos x x 2 cos x 2 2 senx

Para resolverlo utilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión. Multiplicamos por el conjugado de que es

recordando que sen2x + cos2x=1  sen2x= 1-cos2x

9. recordando que tan x  senx

cos x

10.

al evaluar resulta:

sen (

 3





1  2 cos

Desarrollemos

) 3 = sen (0)  0  0



3

1 2

1 2

11

0

: recordando la identidad: sen(xy)= senx cosy  cosx seny

Luego:



11.

1  tan 1  tan x 4  11  0 lim  2 2  x 2(1  tan  ) 2(1  1) 0 4 2(1  tan x ) 4

1  cos x cos x  lim 1  cos x cos x  lim cos x  cos0  1   1  cos x 1  cos x  lim  lim x 0 tan x  senx x 0 senx x 0 senx  senx cos x x 0 senx(1  cos x) x 0 senx sen0 0  senx cos x

lim

12.

tan 2 x tan 2 0 0 0    x  0 1  cos x 1  cos 0 (1  1) 0

lim

2

 senx    2 1  cos x 1  cos x  tan x sen 2 x 1  cos2 x cos x   lim  lim  lim  lim  lim 2 2 x 0 1  cos x x 0 1  cos x x 0 1  cos x  cos x x 0 1  cos x  cos x x 0 1  cos x  cos2 x

lim

x 0

1  cos x   1  cos0  1  1  2 cos2 x

cos2 0

12

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8) 9)

x 1  sen 2 x 2 sen3x 3 lim  x 0 sen 2 x 2 sen 2 x lim 2 x 0 2 cos x tan x lim  x  senx 2 lim

x 0

=9

senx  tan x 0 1  cos x senx  cos x  2 lim  x  1  tan x 2 4 tan x  senx lim 0 x 0 1  cos x senx  tan x lim 0 x 0 x lim

x 0

10)

= -2

11)

1  tan x 2 x  1  tan x 4 2

12) 13)

lim

1  cos x 1  x 0 4 x2 1  cos x 1 lim  x 0 sen 2 x 2 lim

14)

=2

15)

= 3/5

16)

= 3/5

1  senx  1  senx 1 x 1  cos 2 x 1  18) lim x  3 4 3 xsen 2 x 17)

lim

x 0