Limites Indeterminados

Ingenier´ Ingenier´ıa de Caminos, Canales y Puertos C´ alcu al culo lo I

L´ ımites ımit es indeterm ind eterminad inados os

Al intentar intentar calcular l´ımites ımites de funciones funciones nos puede ocurrir que no sea posible p osible obtener su valor. Estos casos se denominan indeterminaciones y son: 0 , 0

∞ , ∞ − ∞, ∞

1 , 0 · ∞, ∞

∞0 ,

00

Para salvar estas indeterminac indeterminaciones iones y poder calcular calcular el l´ımite vamos a llevar llevar a cabo distintas distintas acciones, acciones, seg´ un el tipo de indeterminaci´on un on y seg´ un las funciones involucradas. Veremos en este un documento las cuatro primeras. ´ 0: 1. INDETERMINA INDETERMINACI CION 0 Por factorizaci´ on on de polinomios: 0  p(x) = x x0 q (x) 0 l´ım →

Esta situaci´ situaci´ on on implica que x0 es ra´ız ız tanto tant o de p(x) como de q (x). Vamos a factorizar entonces entonces numerador y denominador denominador como:  p(x) = (x − x0 )c1 (x)

,

q (x) = (x − x0 )c2 (x)

Tenemos entonces (x − x0 )c1 (x)  p(x) c1 (x) = l´ım = l´ım x x0 q (x) x x0 (x − x0 )c2 (x) x x0 c2 (x) l´ım →

→

→

Ejemplo

(x − 1)2 (x + 2) 1 x3 − 3x + 2 x+2 l´ım 4 = l´ım = l´ ı m = x 1 x − 4x + 3 x 1 (x − 1)2 (x2 + 2x + 3) x 1 x2 + 2x + 3 2 →

→

→

Por el conjugado (cuando involucra ra r a´ıces): consiste en dividir y multiplicar por el conjugado del numerador o del denominador. Ejemplo

l´ım

x→1

= l´ım

x→1

√

√

x + 1 − 2x = l´ım x 1 x2 − 1 →

x + 1 − 2x

√

(x − 1)(x + 1)( x + 1 +

√

2x)

√

√ √

√

x + 1 − 2x x + 1 + 2x √ = √ x2 − 1 x + 1 + 2x

= l´ım

x→1

−(x √ − 1)

(x − 1)(x + 1)( x + 1 +

√

2x)

=

−√1

4 2

´ 2. INDETERMINACION

∞ ∞

:

Por divisi´on por la mayor potencia: l´ım

x→∞

 p(x) = q (x)

∞ ∞

Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia que aparece. Ejemplos a )

Para el l´ımite l´ım x

→∞

x2 :

b)

2x2 + 1 = x2 + x

1 x2 l´ım x→1 1 + 1 x

x3 + x + 1 = x2 + 2

Para el l´ımite l´ım x

→∞

l´ım

1+ 1 x

x→1

Para el l´ımite l´ım x

→∞

por x4 :

1 x2

x→1

+

+

+ 2 x3

2 x3

1+

√

1 x3

+ 1 x3

2x2 + 1 = 2+x

Para el l´ımite l´ım x x:

→∞

l´ım

x→1

´ 3. INDETERMINACION

1 x2

 2 + 2 x

=

2+0 =2 1+0

∞ dividimos numerador y denominador por ∞

x2 + 2x + 3 = x4 + x

l´ım

d )

dividimos numerador y denominador por

2+

x3 :

c)

∞ ∞

+1

∞ ∞

3 x4

∞ ∞ 1 x2

=

1+0+0 =∞ 0+0 dividimos numerador y denominador

=

0+0+0 =0 1+0

dividimos numerador y denominador por

=

√

2+0 √ = 2 0+1

∞ − ∞:

En los m´as sencillos se hacen operaciones y se simplifica Ejemplo

lim x −

x→∞

x2 − 1 =∞−∞ x

Para salvar la indeterminaci´on hacemos la cuenta: l´ım x −

x→∞

1 x2 − 1 x2 − x2 + 1 = l´ım = l´ım =0 x x x x x →∞

→∞

Si se presenta como diferencia de ra´ıces, multiplicamos y dividimos por el conjugado. Ejemplo

lim

√

x→∞

1+x−

√

x=

∞−∞

Para salvar la indeterminaci´on multiplicamos y dividimos por el conjugado:: l´ım

x→∞

√

√

1 + x − x = l´ım ( x→∞

√ √1 + x + √x 1+ − 1 + x − x) √ √ = xl´ım √ x x√

√

1+x+

x

→∞

1+x+

x

=

1

∞ =0

´ 1 : 4. INDETERMINACION ∞

Esta indeterminaci´on se resuelve utilizando la definici´on del n´umero e: l´ım

x→∞



1

1+

x

x



=e

El mismo resultado se obtiene si sustituimos x por cualquier variable que tienda a infinito l´ım

f (x)→∞



1 1+ f (x)

f (x)



=e

Todos los l´ımites de la forma l´ım f (x)g(x) = 1

∞

x→x0

se pueden escribir l´ım (1 + (f (x) − 1))

1 f (x)−1

 = l´ım (1 + ( ( ) − 1)

(f (x)−1)g(x)

x→x0

Observar que si l´ım x

x0

→

f  x

x→x0

1 f (x)−1



(f (x)−1)g(x)

f (x) = 1 entonces l´ım x x0 (f (x) − 1) = 0 y l´ım x x0 →

→

Tenemos entonces

 l´ım (1 + ( ( ) − 1) f  x

x→x0

(f (x)−1)g(x)

1 f (x)−1



= el´ımx

1 = ∞. f (x) − 1

x0 (f (x)−1)g(x)

→

Ejemplo x

lim

2 + 1

lim

2 + 1

x→∞

x→∞

x

2x

=1

∞

x

x

2x

lim

x→∞

=e

2x + 1 2x



1 x

−

lim

= ex

→∞

1 x 2x = e1/2

Resolver los siguientes l´ ımites:

x3 − 27 x 3 x2 − 9

a) lim

b) lim

x→2

→

x2 + x − 2 c) lim x + 4x3 − 1 →

e) lim

g) lim

√

x→+∞

x→+∞

3 1+ 5x x2

d) lim

3x − 2 9x + 7

f) lim

3

h) lim

√

x→+∞

∞



4 − x2 √ 3 − x2 + 5

10x



+ 2x − 3 −

x→+∞

√

x2

+4



x→+∞

x2 + 4 3x2 − 7 x2

2x2 −5



+ 3x − 4 −

√

x2

+ 2x + 5

