Limites de Funciones Irracionales
July 11, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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LIMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES.
Si f ( x ) y g ( x ) tienen radicales y Lím
() = 0 , entonces la indeterminación () 0
x→a x→a se evita racionalizando el numerador y / o el denominador. EJEMPLOS. Calcular los siguientes límites:
− = Lím ( √ − − )(√ + + ) = Lím −6 = Lím √ − − 6 (−6)(√ + + ) + (−6 )(√ +) +) √ + x→64 x→64 x→64 x→64 = 6+ = + = 6 √ 6+ 1. Lím
Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del numerador
8) √ ) √ 8 )(√ 8) = (
y(
2. Lím
2
– 8 – 82 = x – x – 64 64
− + √ ) = Lím (−)( √ −+ −+ √ ) − = Lím (−)(√ − (√ −− −− √ )( √ −+ −+ √ ) −− √ − √ −−
√ 5 5 √ 2 ) √ 775√ 5 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 5 √ 2 )(√ )(√ 5√ 5 √ 2)2) √ 5 ) √ 2 √ 5√
x→7 x→7 x→7 x→7 x→7 Lím( = = + = 2 x→7 x→7 Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del 2 denominador y ( = ( – – 2 = x – x – 5 – 5 – 2 2 = x – x – 7 7
+− )( √ ++ ++ )( √ ++ ++ ) = Lím ( − )(√ + + + ) √ + − = Lím (√ +− (√ + + −)(√ + + + )( √ + + +) ( − )( √ ++ ++ ) √ + − x→ 1 x→ 1 x→ 1 1 + + = √ 66 + = + = = 2 + + = √ + √ + = Lím + + √ + + + + √ + √ + 3. Lím
x→ 1 1 Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de ellos y 2 – (2 – (2 )2 = x + 3 – 3 – 4 4 = x - 1 = ( ( 2 – (4 – (4 )2 = x + 15 – 15 – 16 16 = x – x – 1. 1. ( = (
32) √ 3 ) √ √ 13524)()√ (√ 32) 154) 154) 1 5 ) √ − √ − − ( − √ − − )( + √ − )
− ( − ) − (− )(+)( + √ − − ) (− )(+ )( + √ − − ) x→7 x→7 x→7 x→7 − = − = − = − = - = Lím ( + )( + √ − − ) (+)( + √ − − ) ( +) () 6
4. Lím
= Lím
= Lím
x→7 x→7 Multiplicamos el numerador y el denominad denominador or por el conjugado del numerador 2
2 √ 3 )( 2 √ 3) 3)
y( = 7 – 7 – x x = - ( x – 7 7 )
= 2 - (
2
√ 3 )
= 4 – ( x – x – 3) 3) = = 4 – 4 – x x + 3
√ − + + . . + ) + + . .+ − (− )( =Lím =Lím 5.Lím = Lím √ − − (− )( + +⋯+ ) + +⋯+ x→1 y→1 y→1 y→1 y→1 + +⋯+ = ++⋯+ = . = = + +⋯+ ++⋯+ . . = 1, = . = yn Hacemos x = . , si x→1entonces, x→1entonces, y = = . = ym √ − √ − − = Lím = Lím 6. Lím − − (−)( + + +⋯+ )
√ x→a
√ 1 √
y→b
y→b y→b
= + + +⋯ + + + + . + y→b y→b = = + + + . .+ = Lím
Hacemos
√
= y → x = y n,
√
= b, si x→a, entonces y→
√
= b
LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOM TRIGONOMETRICAS. ETRICAS.
Si f ( x ) y g ( x ) so son n fun funciones ciones trigonométricas, y
Lím
() = 0, entonces la () 0
x→a x→a la indeterminación indeterminación se evita haciendo haciendo uso de los siguientes teoremas y alg algunas unas identidades trigonométricas. TEOREMA 1. Lím x→ 0
2. Lím x→ 0
Consideremos la fun función ción f ( x ) = cuando x se aproxima a cero.
−
y analicemos su comportamiento
Valores a la izquierda de cero. X
-1
- 0. 5
- 0.25
- 0.2
- 0.1
- 0.01
- 0.001
f(x)
0.8414
0.9588
0.9896
0.9933
0.9983
0.9999
0.9999
Valores a la derecha de cero. X f(x)
1
0. 5
0.25
0.2
0.1
0.01
0.001
0.8414
0.9588
0.9896
0.9933
0.9983
0.9999
0.9999
De acuerdo con la la tabla po podemos demos conclui concluirr que: Lím
= 1
x→ 0 En general Lím x→ 0
= 1 donde kx ≠ 0, kϵ R kϵ R
− ( − )( + ) − Lím = Lím ( + ) = Lím ( + ) = Lím (+)
x→ 0 0 = Lím
x→ 0 0
x→ 0 0
x→ 0 0
. Lím Lím = 1 . 0 = 1. 0 = + +
x→0
x→0
EJEMPLOS: Calcular los siguientes límites trigonométricos. 1. Lím
6 = Lím 6 6 = 6 Lím 6 = 6 . 1 = 6 6 6
x→ 0 0
x→ 0 0
x→ 0 0
2. Lím = Lím = Lím x→ 0 0
= Lím x→0 x→0
x→ 0 0
= Lím
x→ 0 0
.
x→ 0 0
= = .
. . . . 3. Lím = Lím = 4.4.4 Lím . . .. = x→ 0 0 x→ 0 0 = 64.1.1.1 = 64
x→ 0 0
= Lím = 1 . = 1. = + ) 0+ x→ 0 0 + x→ 0 0 ( +)
4. Lím
5. Lím x→0
= Lím = Lím = . 1 = y→0
Hacemos y = ArcSenx
y→0 y→0
↔
x = Sen y, si x→0, entonces y→0 y→0
Lím ( +ℎ) ( +ℎℎ )− = h→0 ℎ ℎ− h→0 ℎ− ( ℎ− )− ℎ = - Cosx Lím− ℎ - Senx Lím ℎ = Lím ℎ ℎ ℎ
6. Lím h→0
h→0
h→0
h→0 h→0
= - Cos x . 0 – 0 – Sen Sen x . 1 = - Sen S en x LIMITES DE FUNCIONES CUANDO X → ∞
Al buscar el límite del cociente de dos polinomios enteros respecto a x , cuando x → ∞ la indeterminación indeterminac ión , se resuelve dividiendo numerador y denominador
de la función entre la potencia de mayor grado.
Los posibles casos son: ∞, si grado de P ( x ) > grado de Q ( x ) 0, si grado de P ( x ) < grado de Q ( x ) Lím
() = , ()
si grado de P ( x ) = grado de Q ( x ), siendo m y n los
∞
x→
coeficiente de los términos de mayor grado de P ( x ) y Q ( x ), respectivamente
Se debe tener en cuenta que Lím
= 0
x→∞ EJEMPLOS. Calcular los siguientes límites:
+ = Lím 1. Lim −
∞
x→
∞
x→
+ = Lím + − −
=
∞
0+0 = 0 = 0 −0
x→
− +0−0 + − +− + = 2. Lím = Lím = Lím 0+0 = 0 = ∞ + + +
∞
x→
∞
x→
∞
x→
+ −0+0 − + −+ − = 3. Lím = Lím = Lím = +0−0 + − − + + −
∞
∞
x→
∞
x→
x→
+ + = √ = 4. Lím √ = Lím − = Lím − = √ −0 +0 +0 − + x→∞ x→∞ x→∞ + − √ )( √ + + + √ ) = Lím 9 √ ) = Lím (√ + 5. Lím ( √ 9 + + √ √ + + +
∞
∞
x→
= Lím
∞
x→
= = +0 + √ + ++ + √ √ +0
∞
x→
=
x→
INFINITESIMOS EN LOS REALES.
Son funciones que tienden a cero, hay varias clases: 1. Infinitésimos en cero son de la forma x, x 2, x3, x4, …, xn, por ejemplo f(x) = x5 es un infinitésimos en cero porque Lím x5 = 0 x→0 2. Infinitésimos en a, son de la forma x – a, a, ( x – x – a )2, (x – (x – a )3,…(x ,…(x-a) -a)n , por ejemplo f (x) = ( x – x – 3 3 )2, es un infinitésimo en 3, porque Lím ( x – x – 3 3 )2 = 0 x→3 x→ 3
, , …. , , por ejemplo f(x) = es un infinitésim infinitésimo o en infinito porque Lím = 0 x→∞
3. Infinitésimo Infinitésimo en infinito, so son n de la forma ,
El número irracional e, se define así: e = Lím ( x→a x→a
é
1 éé )
EJEMPLOS:
1. e = Lím ( 1 ) x→0 x→0
2. e =x→ Lím3 ( x→3
1(3))
3. e = Lím (
∞
1 )
x→ Muchos límites se resuelven, utilizando la definición del número e, sobre todo aquellos quedan indeterminaciones de la forma EJEMPLOS:
1
6
1. Lím (
∞
x→
++ 6) = → + +
=
2
→
= e
6 – 2 2
= e4
+ + + ) = 2. Lím ( ) = Lím ( ) = Lím ( − − −
∞
x→
3 7 + 5 → → − 7
∞
∞
x→
x→
+ = = = −) ( ) ( 3. Lím (1 ) = Lím ( 1 ) − − x→∞ x→∞ lim − → = Lím ( 1 ) − = e = 1 − 0
∞
x→
−
−
= → = → = −0 = 0 = 0 → − 0 lim lim lim + + + ( )( )( + ) 4. Lím ( 1 ) = Lím ( 1 )
∞
x→
∞
x→
+ Lím ( )( 2 4)
∞
x→
=
+ ( ) Lím ( x→∞ 1 )
= e6
+ + + = Lím ( 6 + + + 6 ) = 6 ) = Lím
+
( )( 2 4 ∞
Lím
x→
∞
x→
x→
() () 1 ∞ ∞
Existe otra forma para calcular Lím L ím
∞() ()() ( −+)
Hacemos Lím x→ En el ejemplo (2)
=
∞
=
x→ donde = Lím [ f(x) – f(x) – 1 1 ]g(x) x→
+ – +−+ ]x – 1 1 )x = lím[ − − x→∞ x→∞ x→∞ = Lím = Lím = = = Lím − − − 0 −
1.Lím
=
∞
=
Donde = Lím (
∞ ∞ + )+ 6 1 ∞ 1 +
x→
x→
2. Lím (
x→
=
=
x→
( + )( +) x→∞ + + ++ + +++6 6+ 6 6 = Lím = 6+0+0 +0=16 =Lím = Lím Donde = Lím (
∞
x→
– 1)( – 1)( 2x + 4) = Lím
∞
∞
x→
x→
ACTIVIDAD.
Calcular los siguientes límites:
− 1. Lím √ − x→9
4. Lím
−6 √ −6
x→36
√ − √ 7. Lím x→a −
2. Lím x→1 5. Lím x→-1 x→-
− − √ − − √ + + + − √ + +
+ − √ − − √ + 8. Lím x→0
3. Lím x→0 x→0
+ − √ + + − √ +
6. Lím x→4 x→4
− √ + + − √ − −
−+6 −√ +−6 √ √ − 9. Lím x→3 x→3 −+
( + ) + x→ ∞ − ) 13. Lím( +
10. Lím
x→
∞ 1 − )6− ∞
16. Lím ( x→
( +ℎ )− 19. Lím ℎ h→0 22. Lim x→0
+ − √ + x→∞ + ) 14. Lím ( +
11. Lím
x→
∞ 1 +6 )+ ∞
(−)(+) − x→∞ − ) 15. Lím ( − 12. Lím
x→
∞ 1)
17. Lím (
18. Lím (
x→
x→0 x→0
+ + + − − − √ √ 20. Lím 21. Lim x→0 x→0 x→0 − − 23. Lím 24. Lím x→0
x→0 x→0
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