Limites de Funciones de Variable Real

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN UN PUNTO TEOREMAS SOBRE LÍMITES CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES AL INFINITO LÍMITES INFINITOS CONTINUIDAD EN UN PUNTO

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina Límites. • Describa gráficamente los límites. • Calcule límites.

1

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN UN PUNTO Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto. Precisar características de este comportamiento puede ser necesario y además en algunas circunstancias puede requerir de estudios rigurosos, lo cual no lo vamos a tratar aquí. Analicemos ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección determinar características obvias.

Ejemplo 1 Veamos como se comporta la función  f   de variable real con regla de correspondencia  f  ( x ) = 2 x + 1 , en la vecindad de  x = 2 . Evaluando la función para ciertos valores de  x , cada vez más próximos a 2, tenemos:  x

 y

=

2x + 1

1.90

4.80

1.95

4.90

1.99

4.98

2.01

5.02

2.05

5.10

2.10

5.20

Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 5. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: lím (2 x + 1) = 5 .  x → 2

Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:

2

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de otra función  f   de variable real con regla de correspondencia  f  ( x) =

 x 2

+ 5 x − 6

 x − 1

, en la cercanía de  x = 1 .

Evaluando la función para ciertos valores de  x , cada vez más próximos a 1, tenemos:  x

 y

=

 x 2

+ 5 x − 6

0.90

 x − 1 6.90

0.95

6.95

0.99

6.99

1.01

7.01

1.05

7.05

1.10

7.10

Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente  x se aproxima a tomar el valor de 1, es decir  lím

 x 2

 x →1

+ 5 x − 6

x −1

=

7.

Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación. Por otro lado, la regla de correspondencia  f  ( x) =  x + 6

 f  ( x ) =

 x 2

+ 5 x − 6

 x − 1

es equivalente a

; x ≠ 1 (¿PORQUÉ?).

Desde su gráfica podemos ilustrar este comportamiento:

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso, podemos emitir la siguiente definición:

Una función  f   tiene límite  L en un punto  x0 , si  f   se aproxima a tomar el valor  L cada vez que su variable independiente  x se aproxima a tomar el valor  x0 . Lo que simbólicamente se denota como: lím  f  ( x) =  L

 x → x0

3

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

Ejercicios Propuestos 1.1 Emplee una calculadora para estimar los siguientes límites:

1.

 x

lím  x →1

3. lím

−1

2.

x −1

 x → 2

Senx

 x →0

lím

2 −  x x2

−4

4. lím (1 +  x )

 x

1

x

 x → 0

1.1.1 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE

Sea  f   una función de una variable real. Si  f   tiene límite en  x =  x0 , entonces este es único.

1.2 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.2.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE

Sean y  g  funciones con límite en  x0 ; es decir, suponga  f  ( x) =  L y lím g ( x) = M  . Entonces: que  xlím  x  x  x → 0

1. 2. 3. 4. 5. 6.

→ 0

lím k  = k  ,

 x → x 0

∀k  ∈

lím x = x 0

 x → x0

lím kf  ( x) = k lím  f  ( x) = kL ,

 x → x0

∀k  ∈ R

 x → x0

lím[ f  ( x) +  g ( x)] = lím  f  ( x) + lím g ( x) =  L + M 

 x → x0

 x → x0

 x → x0

lím[ f  ( x) −  g ( x)] = lím  f  ( x) − lím g ( x ) =  L − M 

 x → x0

 x → x0

 x → x0

lím[ f  ( x) g ( x )] = lím  f  ( x) lím g ( x) = LM 

 x → x0

 x → x 0

 x → x0

7.

 f  ( x )  L   f  ( x )   xlím  x lím  = lím g ( x ) = M  ;siempre que  x  x  ( )  g   x    x  x

8.

lím[ f  ( x )]

=

lím n  f  ( x )

=

→ 0

→ 0

lím  g ( x ) ≠ 0

 x → x 0

→ 0

9.

n

 x → x0

 x → x0

lím  f  ( x )

n

 x → x0 n

lím  f  ( x )

 x → x0

n

=  L =

n

,

 L

∀n ∈  N 

siempre que cuando n es par

4

lím  f  ( x ) ≥ 0

 x → x0

.

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

El teorema permite establecer límites de funciones.

Ejemplo  Calcular  lim ( x 2 + 3 x − 2  x → 2

SOLUCIÖN: Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:

( 2

lim  x 2

 x →

)

lim  x 2

+

   lim  x    x →2  

2

+ 3 x − 2 =

=

 x →2

=

22

=

8

lim 3 x − lim 2

 x →2

 x →2

+ 3 lim  x − 2  x →2

(inciso 4  y 5) (inciso 8, 3 y 1)

+ 3( 2) − 2

Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.

1.2.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN

Sea  f   una función polinomial o una función racional, entonces lím  f  ( x) =  f  ( x0 ) , siempre que  f  ( x 0 ) esté definida y  x  x → 0

que el denominador no sea 0 para el caso de una función racional.

1.3 CALCULO DE LÍMITES En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar; pero se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma: 0 0 ∞ ∞ ∞−∞

0.∞ 1∞ 00 ∞

0

5

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Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos

0 0

c,

, suponga que sea igual a

entonces 0 = 0c sería verdadera para todo indeterminaciones.

c.

0

es decir

=

0

c

Analice el resto de

Ejemplo 1 Calcular  lím

 x 2

+ 5 x − 6

x −1

 x →1

SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución tenemos lím

 x 2

+ 5 x − 6

=

12

()

+51 −6

x −1

 x →1

1−1

=

0 0

una

indeterminación, que para destruirla se debe simplificar la expresión, es decir factorizando lo lograremos:  x 2

lím

+ 5 x − 6

 x − 1

 x →1

=

lím

( x + 6)( x − 1)

 x →1

=

 x − 1

lím ( x + 6)

 x →1

Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: lím ( x + 6) = 1 + 6 = 7

 x →1

Ejemplo 3  x

Calcular  lím

 x →1

−1

x −1

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 −1

=

1−1

0 0

Racionalizando el numerador y simplificando:

  x − 1

lím 

 x →1

  x − 1

•

 x + 1 

 x − 1

 = lím  x + 1   x →1 ( x − 1)  x + 1

(

)

=

lím

 x →1

1

(

)

=

 x + 1

1 2

Ejemplo Eje mplo 4  Calcular  lím 3  x →1

 x

−1

x

−1

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 −1 3

=

0

1 −1 0 Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos:

PRIMER METODO:

Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:

6

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

  x − 1  x + 1 • • lím   x →1 3  x − 1  x + 1 

( x − 1)  (3  x )

2

 

lím

( x − 1)(

 x →1

+

x

3

(  x ) (  x )

2

3

2

3

   

)

3

+1

 x

  3 2 3    1 + 1 + 1    

( ) ( 1 + 1)

+ 1

 x

  3  +  x + 1  +

=

+1

=

3 2

SEGUNDO METODO: 6 cambio de Variable:  x = u . Entonces Si  x → 1 ⇒ u → 1

Reemplazando tenemos: lím

u →1 3

u6

−1

u6

−1

(u − 1) u 2 + u + 1 (u − 1)(u + 1) u →1

Y factorizando: lím

=

=

lím

u3

−1

u →1 u 2 − 1

lím u →1

u2

+ u +1

12

=

(u + 1)

+1+1

=

(1 + 1)

3 2

Propuestos 1.2 Ejercicios Propuestos  Calcular: 1.

 x 2

lím

 x 2

2.

lím

3.

lim 

7.

lím

 x →2

9.

2 −  x x

2

−4

 x

3

−8

lím

lím

 x →8 3

lím

 x

 x →1  x

10.

x−2

 x

−2

3

 x

2

+  x −



lím   x →1

−2

x−8 8 −  x

 x →8

8.

−2

x−4 3

− 4x + 3

  x 2 − 2 x + 1   2  x →1   1 −  x ( )   lím

 x

lím

 x →4

 x − 1

 x →1

 x → 2

5.

6.

x−3

 x →3

4.

−9

−1

2

2 3

−

 1 −  x 3

1−

  x

6

(Sugerencia:  x = u )

1.3.1 Otros Límites. (OPCIONAL) Ciertos límites se calculan empleando la expresión lím  x → 0

en forma generalizada sería: lím u →0

Sen u u

= 1;

donde

u

=

Senx  x

=1

que

u ( x)

Eje   jemplo  E E   je    mplo mplo 1 Calcular  lím  x → 0

Sen(kx )  x

7

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

Sen(k (0))

=

0

0 0

Para encontrar el valor de esta indeterminación , multiplicamos y dividimos por  k  , y aplicando el

teorema principal sobre límites resulta: lím k  x →0

Senkx

=

kx

k lím

Sen Sen ( kx )

=

kx 14243 x →0

k (1) = k  

1

Ejemplo  Eje mplo mplo 2 Sen3 x

Calcular  lím

 x →0

Sen5 x

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

Sen(3(0 )) Sen(5(0))

=

0 0

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación multiplicamos y dividimos el numerador por  3 x y el denominador por 5 x , y luego aplicando el teorema principal sobre límites resulta: 1

64 74 8

lím

 x→0

Sen3 x Sen5 x

3 x =

lím

 x →0

5 x

Sen3 x 3 x Sen5 x

3 lím

 x →0

=

5 x

5 lím

Sen3 x 3 x Sen5 x

=

3 5

5 x

 x →0

14 24 3

1

Ejemplo  Eje mplo mplo 3 Calcular  lím

1 − cos x  x 2

 x → 0

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 − cos 0 0

2

=

0 0

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo l o siguiente:  sen 2 x

6 4 74 8

1 − cos 2  x 1 − cos  x 1 + cos  x  • = lím  x →0  1 + cos  x   x →0  x 2 (1 + cos x )  x 2

lím 

=

lím

 sen 2 x

 x →0  x 2 (1 + cos  x)

=

2

lím

 x →0

   senx   1  1 =  lím   =   x →0  x    2  2

Ejemplo Ejem plo 4  Calcular  lím

1 − cos  x

 x → 0

 x

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 − cos 0 0

Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:

8

=

0 0

 sen 2 x  x 2

lím

1

 x →0 1 + cos  x

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

1 − cos 2  x 1 − cos  x 1 + cos  x  • = lím  x → 0  1 + cos  x   x →0  x(1 + cos x )  x

lím  lím

 x →0

=

=

 sen 2 x  x(1 + cos  x)

=

lím

 x →0

 senx  x

lím

 senx

 x →0 1 + cos  x

   senx  0   lím   = 0   x →0  x   2 

1.4 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la  x toma valores muy  grandes, es decir cuando tiende al infinito. Suponga que  f   se aproxima a tomar un valor  L cuando la variable variable toma valores valores muy muy grande grandes, s, este este comportam comportamiento iento lo escribiremos de la siguiente manera lím  f  ( x) =  L  x → ∞

Ejemplo  jemplo 1 E E   

Ejemplo 2

9

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

Suponga ahora que  f   se aproxima a tomar un valor  L cuando la  x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím  f  ( x) =  L .  x →−∞

Ejemplo  jemplo 1 E E   

Ejemplo Eje mplo 2

Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de  f   tiene una asíntota horizontal  y =  L .

Para calcular límite al infinito, usualmente se divide para  x de mayor exponente si se trata de funciones racionales.

10

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

Ejemplo  Eje mplo  Calcular 

2 x 2

lím

5 x

 x→ −∞

+ 3 x − 1

2

+

x −1

SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación:

∞ ∞

Dividiendo numerador y denominador para  x 2 , tenemos: 2 x 2

+

2

lím  x  x→ −∞ 5 x 2

 x

+

2

3 x 2

 x  x  x

−

2

1

−

2

 x 1  x

2+ =

lím

 x →−∞

2

5+

3

 x 1

−

−

 x

1

 x 2 1  x

=

2 5

2

propuestos 1.3 Ejercicios propuestos  1. Calcular: 1.

lím

3 x

2

 x

 x →∞

3

2.

lím

+ 2x + 1

5x

2

 x →∞

+5

−3

 x

 x →∞

4. lím

3

2

x

+ 4 x− 3

3

3.

lím

(2 x + 3) (3 x − 2)

 x →∞

5. lím

+ 3x + 1

 x 5

+

2

 x →∞

(2 x + 3)  x + 3  x

(2 x − 3)(3 x + 5)(4 x − 6) 3 x3 + x − 1

5

1.5 LÍMITES INFINITOS Suponga que cuando  x

toma valores próximos a un punto  x0 ,

tanto por izquierda como por derecha,  f   toma valores muy grandes positivo; es decir lím  f  ( x ) = ∞ . Diremos, en este caso, que  f    x → x0

crece sin

límite o que  f   no tiene límite en  x0 .

Ejemplo 

11

Moisés Villena Muñoz

Cap. Cap . 1 Límites de Funciones 

Puede ocurrir también que cuando la toma valores próximos a un punto  x0 , tanto por izquierda como por derecha,  f   toma valores muy grandes negativos; es decir lím  f  ( x) = −∞ . Diremos, en este caso,  x → x0

que  f  

decrece sin límite o que  f   no tiene límite en  x0 .

Ejemplo 

1.6 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que si al trazar su gráfica no se requiere alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición.

Sea

una función definida en un intervalo abierto (a, b) y sea  x0 ∈ (a, b) , Entonces  f   es continua  en " x0 " si  xlím  f  ( x ) =  f  ( x0 ) .  x → 0

Ejemplo  Una función continua en un punto x0

12