Limites de Confianza

 

GRADO DE CONFIANZA Es fijado por el investigador de acuerdo con su experiencia y del conocimiento que tenga sobre la población que va a investigar. Sin embargo, por lo general, se trabaja con el 95% o 95.5%, correspondiente a un valor de Z=1.96 y Z=2.00, respectivamente. El valor de Z se obtiene dividiendo el porcentaje dado como nivel de confianza por 2. Luego se utiliza la tabla de áreas de una distribución normal. Si se considera que la confianza es del 95%, se tendrá: 0.9500/2 = 0.4750. Localizando este valor en la tabla se establece que el valor de Z es igual a 1.96. A continuación se dan algunos niveles de confianza con sus respectivos valores de Z. P=68.26% → Z=1.00

P=86.64% → Z=1.50

P=99.00% → Z=2.57

P=99.70% → Z=2.96

P=90.00% → Z=1.64

P=95.5% → Z=2.00

 

LIMITES DE CONFIANZA Algunos la denominan como intervalo de confianza. La fijación de los niveles de significación, que generalmente son del 95%, cuyo resultado se considera significativo; del 99% altamente significativo y del 90% poco significativo. Estos niveles los fija el investigador, por tanto se tendrán 2 límites o dos valores, dentro de los cuales supuestamente deberá estar el parámetro, con cierto grado de confiabilidad, haciendo referencia a la media o a la proporción de la población. Se aplica para muestras grandes, es decir, que n>30 o cuando se conoce la varianza poblacional, en los dos casos se trabaja con la variante estadística Z.

LIMITES DE CONFIANZA PARA LA MEDIA ARITMETICA Los límites de confianza para la estimación de la media aritmética, cuando se tiene la desviación típica de la muestra y además el e l tamaño de ella es mayor que 30. 30 . Sin embargo si se conocen las desviaciones desviaciones típicas poblacionales están pod podrán rán utilizarse a cambio de las muestras, sin importar el tamaño muestral. La primera estará dada para su cálculo, mediante las siguientes formulas:

−1 −  ̂  =  ±  √  −

̂  =  ±  √  

 −   −1 :     ó.      Multiplicarlos por el error.

Ejemplo 1: un fabricante de lámparas promueve su producto ofreciendo una garantía. En un día fábrica 1500 lámparas. Si extrae una muestra de 35 unidades y encuentra que su duración media es de 2800 horas, con una desviación típica de 800 horas, determinar los límites de confianza de duración para esas lámparas, con un 95%. R/: Esto quiere decir que el promedio verdadero de la población deberá estar entre 2534.96 y 3065.04 con una seguridad o confianza confianza del 95%; por tanto, se da un margen pequeño de error del 5%, pues queda la posibilidad de que el valor de la media poblacional sea menor o superior a esos límites. Si los datos fueran:

 = 2800 ;  = 800  P=95%

y n=26 cuáles serían los límites de confianza?

Si en los dos casos que se han presentado se hubiera conocido el tamaño de la población, por ejemplo N=1500, cuál sería el factor de corrección?

 

R/: Estos valores se utilizarían para multiplicarlos por el error, ya sea 265.04 (0.9886)=262.02 o en 307.51(0.9916)=304.94, y en ambos casos se le suma y se le resta al estimador o media aritmética respectiva, que viene ser 2800 horas.

LIMITES DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN

Las formulas empleadas para establecer los límites de confianza en la estimación de una proporción, trabajando con los resultados muestrales y cuando n>30 son:

 =  ±   

 =  ±    − −1 

Las anteriores formulas se aplican para proporciones, en poblaciones infinitas y finitas respectivamente. Obsérvese que ambos casos se trabaja con las proporciones (p) de las muestras y el tamaño de la muestra, además, deberá ser mayor que 30.

Ejemplo 2: El departamento de control de calidad de la empresa que fábrica lámparas, sabe por experiencia que debido a factores como el equipo, materia prima y personal operativo, un porcentaje de la producción es rechazada por algún pequeño defecto encontrado. Si se extrae una muestra de 35 unidades y se obtiene que el porcentaje es del 9%, fijar los límites de confianza del 95%, dentro de la cual se encuentra la proporción de la población. R/: La proporción de la producción que pueda rechazarse, al nivel del 95%, deberá estar entre 0 y el 18.5%.

LIMITES DE CONFIANZA PARA DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES En distribuciones de diferencias entre dos medias muestrales, se tendrá la fórmula para emplear, dependiendo de si se conoce las varianzas poblacionales o las muestrales. En estas últimas, ambos tamaños muestrales tendrán que ser mayores que 30, y son:

̂   ̅−− = (̅ ) ) ±   +  

̂   ̅−− = (̅ ) ) ±   +  

Ejemplo 3: Un profesor tiene dos cursos que ven la misma asignatura, uno en el diurno y el otro en la noche. Por antecedentes sabe que las desviaciones típicas para los mismos son 0.75 y 0.8. Si se extrajeron dos muestras de alumnos, cuyos tamaños fueron de 32 y 38, y sus medias 4.2 y 3.8, respectivamente, fijar los límites de confianza del 99%, dentro del a cual estará la diferencia entre las medias poblacionales.

 

Ejemplo 4: Un profesor tiene dos cursos que ven las mismas asignaturas, uno en el diurno y el otro en la noche. Se extrajeron dos muestras de alumnos, cuyos tamaños fueron de 36 y 38. Sus medias fueron 4.2 y 3.8 y las desviaciones típicas de 0.75 y 0.80, respectivamente. Fijar los límites de confianza del 995, dentro de la cual estará la dif diferencia erencia entre las medias poblacionales. poblacionales.

Ejemplo 5: Se hace una convocatoria con el fin de recibir personal en una empresa, el cual será sometido a un proceso de evaluación (conocimientos, experiencia, etc), utilizando una escala de valoración entre 0 y 20. Dos meses después de su ingreso, se realiza un curso de capacitación avanzada calificada utilizando el mismo procedimiento de evaluación. En la primera se evaluaron 32 trabajadores y en la segunda 40. Los puntajes promedios obtenidos fueron 18 y 16 respectivamente.  A través de muchos años de experiencia se han determinado las respectivas varianzas, siendo 7 y 11. Fijar los límites de confianza del 95%.

Observación:  Se aplica la primera fórmula, cuando se conocen las varianzas poblacionales, identificadas cuando se dice: “A través de muchos años de experiencia”. 

Ejemplo 6: Se hace una convocatoria con el fin de recibir personal en una empresa, el cual será sometido a un proceso de evaluación (conocimientos, experiencia, etc), utilizando una escala de valoración entre 0 y 20. Dos meses después de su ingreso, se realiza un curso de capacitación avanzada calificada utilizando el mismo procedimiento de evaluación. En la primera se evaluaron 32 trabajadores y en la segunda 40, y se obtuvieron los promedios de 18 y 16, con varianzas en las muestras de 7 y 11, respectivamente. Fijar límites de confianza del 95%. NOTA: Como se observa, el procedimiento de cálculo es el mismo. El resultado en este caso tampoco cambia, la diferencia solo se presenta al escribir la fórmula correspondiente, pues en el anterior eran las varianzas poblacionales, ahora son las muestrales.