Limites Al Infinito PDF
September 19, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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U nivers niversidad idad N acional D el
ltltipl iplano ano Puno
FAC U LTAD D E C IEN C IAS AG R AR IAS.
E S C U E L A P R O F E S I O N A L D E I N G E NI NI E R I A A G R O N O M I C A .
LIMITES AL INFINITO Sea y f x una función definida en el intervalo
DEFINICIÓN (1) El límite de
f x cuando
x
N ,
Y
crece sin límite x , es un número número real L denotado por
lim
x
para cualquier x N
y
x
2
8
f x L , si y solamente si
0 existe N 0 ,
implica f x L
tal que
.
X
O
Gráficamente
Simbólicamente: lim f x L
x
Sea y
0; N 0 / x N implica f x L
f x una función definida en el
intervalo
,N
Y
DEFINICIÓN (2) El límite de
f x cuando
x
y
x
decrece sin límite x , es un número real L denotado
por
lim
x
si para cualquier x N
f x L , si y solamente
0 existe N 0 , tal que
implica f x L
.
O
X
Gráficamente
Simbólicamente: lim f x L
x
PROPIEDAD (1) Si
1
f x
x
i
n
; n lim 1n
x
x
0; N 0 / x N implica f x L
entonces
0
LIC. AMERICO BOLIVAR BOLIVAR ESPINOZA ESPINOZA
ii xlim
1
x
n
0
INGENIERIA AGRONOMICA AGRONOMICA
U nivers niversidad idad N acional D el
ltltipl iplano ano Puno
FAC U LTAD D E C IEN C IAS AG R AR IAS.
E S C U E L A P R O F E S I O N A L D E I N G E NI NI E R I A A G R O N O M I C A .
PROPIEDAD (2) Sea f una función cuya variable x crece o decrece indefinidamente 1 f x f l i m l i m 1 x x 0 u Si x u
lim 1
x n
x
im xl f 1 0 u
EJERCICOS DE LÍMITES AL INFINITO INFINITO 1) Determine el valor límite de:
a L xlim
4
x
3 x
c L xlim
b L xlim
3
5
2 x
2x 8
2
2)
lim x x x
"
6x
n
n
L
6 2
"
3
"
3
x2 3
1 2 3
e L lim g
3
2
7
L lim
f
2
x
3
1
1
x
h xlim
7
4x 7
4x 1
4x
4
2
2
x
3
2x
2
2
3
n x
2x
2
1
5
n2
3
x2
x 1
"
Halle los valores de a y b sabiendo que :
Halle los valores de k y b sabiendo que : "
"
"
"
3 x 1 lim kx b 2 x x 1
4)
n
x 2 1 ax b 1 lim x x 1
3)
7x 2
x 5 3x
1
2
n
2x
d L xlim
7
x 2 2 x 6
Una pelota se deja caer de una altura de
12 m .
7
Cada vez que rebota en el suelo alcanza una altura de
3 4
de la distancia de la cual cayo. Encontrar la distancia total recorrida por la pelota antes de quedar en reposo.
5)
Dado un cuadrado de lado
"a"
se inscriben cuadrados de manera que sus vértices sean los puntos medios
de cada cuadrado anterior. Halle el límite de la suma de las áreas de los cuadrados cuando estos se inscriben indefinidamente.
LIC. AMERICO BOLIVAR BOLIVAR ESPINOZA ESPINOZA
INGENIERIA AGRONOMICA AGRONOMICA
U nivers niversidad idad N acional D el
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E S C U E L A P R O F E S I O N A L D E I N G E NI NI E R I A A G R O N O M I C A .
LÍMITES INFINITOS Sea y f x una función definida en la vecindad reducida V x0 .
DEFINICIÓN (1) . Las imágenes de la función f x x
crecen sin límite f x , cuando cuando
x x0
x
0
, denotado por
x , si y solamente si para cualquier
número 0
se aproxima hacía
lim f
Y
N 0
x x
0
,
existe
y
1
2
x
N 0 , tal que sí
entonces f x N .
O
X
Gráficamente Simbólicamente: lim f x
x x0
N
0; N 0 / 0 x x0
DEFINICIÓN (2) Las imágenes de la función
cuando
X
O
x
se aproxima hacía
x
0
, denotado por
x , si y solamente si para cualquier
número 0
Y
decrecen sin límite f x ,
f x
lim f
f x N
Sea y f x una función definida en la vecindad reducida V x0 .
x x0
implica
N 0
x x
0
,
existe
y
0 , tal que si N
entonces f x N .
1
x
2
Gráficamente
Simbólicamente:
LIC. AMERICO BOLIVAR BOLIVAR ESPINOZA ESPINOZA
INGENIERIA AGRONOMICA AGRONOMICA
U nivers niversidad idad N acional D el
ltltipl iplano ano Puno
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E S C U E L A P R O F E S I O N A L D E I N G E NI NI E R I A A G R O N O M I C A .
lim f x
x x0
N
DEFINICIÓN (3) El límite de lim
x
f
0;
N 0/
x cuando
x
0 x x0
implica
f x N
crece sin límite x , es
,
denotado por
f x , si y solamente si para cualquier N 0 existe M 0 , tal que x M implica
f x N . Y
x
2
y
X
O
OBSERVACIÓN OBSERVACIÓ N (1) Como vemos f tiende a
o a
significa que el comportamiento comportamiento de la función
f no está acotado en la la vecindad V x0 , por lo tanto estos límites no existen
OBSERVACIÓN (2) Para referirnos al límite lateral de f en la
x xlimx
signo entonces lim f x x0
f x
0
V
lim
0
OBSERVACIÓN OBSERVACIÓ N (3) El límite de f en el punto x0 de la vecindad x x0
x usaremos el símbolo , sin
V
x es 0
f x lim f x lim f x
x x0
TEOREMA (1) Sea
i
" n"
lim
x 0
TEOREMA (2) Sea
un número entero positivo, entonces:
1
x
x
0
x x0
n
un número real y
ii
lim x x0
lim
x 0
, Si n es par . n Si n es impar , x 1
f x 0 y li lim g x k donde k es constante x x0
diferente de 0 , entonces:
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i
Si k
y f x 0 a través de va valores positivos entonces
0
ii Si k 0 iii
Si k
y f x 0 a través dev eva alores positivos entonces y f x 0 a través de valores negativos entonces
TEOREMA (3) Si xlimx f x
lim f
TEOREMA (4) Si xlimx f x
lim x x0
g x f x
lim x x0
g x f x g x
lim
f x
x x0
x g x
y lim g x k entonces para cualquier k se cumple: x x0
0
lim f
x x0
TEOREMA (5) Si xlimx f x
x g x
y lim g x k entonces para cualquier k se cumple: x x0
0
f x
x x0
x x0
i Si k
g x
y lim g x k entonces para cualquier k se cumple:
0
i Si k 0 ,
x x0
y f x 0 a través dev eva alores negativos entonces
0
iv SSii k 0
lim
lim f x g x
x x0
0 , lim f x g x x x0
x
1 TEOREMA (6) Si f x 1 entonces x
lim
x
f x e
x
Es decir:
1 lim 1 e ; x
e
2.7182...
x
1
TEOREMA (7) Si f x
x x entonces lim1 x
1
1 x
e
x 0
x
TEOREMA (8) Si f x 1 entonces x
x
lim 1 e x
x
TEOREMA (9) Si f x e x entonces
i TEOREMA (10) Si f x i
x
lim e
0
x
x
x
ln x entonces
ln x lim
x 0
x
TEOREMA (11) Si f x
ii lim e
a
x
1
ln x im ii l x
a x 1 entonces lim ln a x 0 x
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E S C U E L A P R O F E S I O N A L D E I N G E NI NI E R I A A G R O N O M I C A .
EJERCICOS DE LÍMITES INFINITOS INFINITOS 1) Calcule los siguientes límites:
a
1 lim x 0
b
x
4 3
lim
x0
x
c
sgn x
lim
x 0
x
5
lim
d
x 0
2 x 3 x
2
sgn x 1
2) Determine el valor límite de:
a
4 x 1 x 1
b
lim
3 x 4 4 x lim
2 x 3 x 3
3)
c
lim
x 0
x
3
d
lim
x 3
7
2
9 x
Determine el límite de:
1
1 im x sen a xl x
b
x
lim x
x 1
1 x
x
x 1 c xlim x 3
xn d xlim ; n, m xm
1 2
e
lim 1 2
x
x 0
cs c x
g l xim0 x cos
x
h lxim0 x
1
x
x
x
ln cos ax cos k lim x 0 cos bx ln cos
LIC. AMERICO BOLIVAR BOLIVAR ESPINOZA ESPINOZA
2
cos x
ax bx e e j lxim0 en b x sen ax s
a b c i l xim0 x x
x f lim cos x x 0 coss 2 x co
ln x ln 2
l lim
x 2
x 2
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