Limite de Una Funcion in

 

LIMITE DE UNA FUNCION

El límite funcional es un concepto relacionado con co n la variación de los valores de una función a medida que varían los valores de la variable y tienden a un v valor alor determinado. El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un número al cual tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor. Este hecho se indica así: lim f(x)=b x a f x b → = y se lee de cualquiera de estas formas: el límite de una función f en un valor a es igual a b; la función f tiene límite b cuando la x tiende a a. La manera más rigurosa de definir este concepto es la siguiente: para cualquier número real ε > 0 existe un número real δ > 0 de manera que si |x –  |x –  a|  a| < δ, entonces se cumple que |f(x) –  |f(x) –  b|  b| < ε. El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0. Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L|

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos: lim f(x)=L infinito si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio, existe un entorno de x0, Eδ E δ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε Eε(L). LIMITE AL INFNITO

Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Simbólicamente. Lim f(x)=M x→+infinito   x→+infinito (Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L). Decimos que el límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a M. Simbólicamente.

 

Lim f(x)=M x→-infinito x→ -infinito (Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es M). Estrategia para determinar límites ± ∞ de funciones racionales racionales  

1. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional es 0. 2. Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, entonces el límite de la función racional es el cociente de los coeficientes dominantes. 3. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces el límite de la función no existe, por lo que es ∞.  ∞.  FORMULAS LIMITES TRIGONOMETRICOS

De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una aidentidad y enalgunas algunosoperaciones casos se debe debalgebraicas e aplicar ambas Sin embargo veces es trigonométrica necesario realizar comooperaciones. multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de de los límites. Los límites trigonométricos son límites de funciones tales que dichas funciones están formadas por funciones trigonométricas. Hay dos definiciones que deben ser conocidas para poder entender cómo se realiza el cálculo de un límite trigonométrico.  trigonométrico. 

 

Estas definiciones son:  son: 

 –   Límite de una función “f” cuando “x” tiende a “b”: consiste en calcular el valor al cual se aproxima f(x) a medida que “x” se aproxima a “b”, sin llegar a valer “b”.  “b”.  

 –  Funciones  Funciones trigonométricas: las funciones trigonométricas son las funciones seno, coseno y tangente, denotadas por sin(x), cos(x) y tan(x) respectivamente.  respectivamente. 

Las demás funciones trigonométricas se obtienen a partir de las tres funciones mencionadas anteriormente.  anteriormente.  FORMULAS

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Podemos encontrar siguientes casos: Continuidad de una función

En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.   Se dice que una función f(x) es continua en un punto  a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:   La función existe en a.   Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.   El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:   

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto. Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo  (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b. una funcion es continua si cumple con las siguientes características

 

ejemplo de una función continua

DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCION DISCONTINUA EVITABLE

Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si existe el límite en el punto,  pero casos.la función en ese punto, f(a), tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos una funcion es discontinua evitable si

Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a. DISCONTINUIDAD INEVITABLE

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones: Discontinuidad de primera especie: si los límites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge.

 

Discontinuidad de segunda especie: si la función, al menos en uno de los lados del punto, no existe o no tiene límite.

una funcion es discontinua inebitable si cumple con las siguientes características:

DERIVADA DE UNA FUNCION La derivada de la función es la pendiente de la recta tangente en un punto en una curva. En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente de dicha función en ese punto. La pendiente (derivada)en cada punto de una un a función genera una nueva función (función derivada) que presenta el crecimiento, constancia o decrecimiento de la función primitiva. Esa función derivada se puede volver a derivar, es decir,podemos crear una nueva función que represente como crece o decrece esta función derivada. Esta nueva función se conoce como segunda derivada.

SEGUNDA DERIVADA

La derivada puede volver aesta derivar, es decir, podemos crear una nueva quefunción represente como se crece o decrece función derivada. Esta nueva función sefunción conoce como segunda derivada. DERIVADAS IMPLICITAS

el método consiste en en derivar los dos miembros de la relación. el procedimiento se conoce como derivación implícita. Se denomina función implícita cuando se da una relación entre X y Y por medio de una ecuación no resuelta para Y, entonces Y se llama función implícita de X. Por ejemplo

 2 - 4 = 0. Define a Y como una función implícita de X.es claro que por medio de esta ecuación X se define igualmente como una función implícita de Y.

 

Uno de los procedimientos para calcular esta derivada implícita es derivar la ecuación termino a término, considerando Y como función de X,Y de la ecuación resultante despejar  

 o lo que es lo mismo despejar Y.

otras forma es la ecuación igualar a cero y derivar la función con respecto a X tomando Y como constante y luego derivar la función con respecto a Y tomando a X como constante y remplazar en Y´= -



.



EJEMPLO Sea una función  y   3 x 3



 donde y  y es  es función de x de  x.. Esta ecuaci ecuación ón se puede escribir 4 x  2  donde

  como 2  3  x 3  4 x   y  e incluso como 6  x  3  8 x  2 y  4 . En este cas caso o se puede decir que  y  y es  es una función implícita de  x  x ya  ya que está definida mediante una ecuación en donde  y,  y, la variable dependiente, no es dada de manera directa.

Ejemplo 1. 

La función 3 f   x   4 x  2



0  está escrita de manera implícita para x para  x,, variable independiente,

y f(x)  f(x),, variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no implícita. implícita.

 f   x 

4 x 2 

3

 

Muchas veces, al tener una ecuación escrita de manera implícita, ésta puede representar una o más funciones. REGLA DE L´HOSPITAL

La regla de l hopital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x punto x = a. a. En principio la vamos a enunciar así: Un límite indeterminado indeterminado de  de la forma: 

LA REGLA DE l hospital establece que bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de ()  coincide con el límite del cociente de sus derivadas. dos funciones () Su determinación determina como teorema general del valor medio. Sean F y G funciones derivadas de un intervalo abierto ]a;b[que contiene a C,excepto posiblemente en el propio C, supongamos que g(x) diferente de 0 para que todo X