Limit Fungsi

Limit Fungsi

Bab

165

IV

Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik; 2. menghitung limit fungsi aljabar di satu titik; 3. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit; 4. menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi; 5. menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar; 6. menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. Sumber: Dokumen Penerbit

Limit Fungsi Motivasi Misalkan kalian ingin mengetahui kecepatan motor cross yang sedang melaju. Dapatkah kalian menentukan kecepatan tepat pada waktu ke-t? Tentu kesulitan, bukan? Mengapa demikian? Hal ini terjadi karena rentang waktu sangat kecil. Untuk memudahkan perhitungannya, dapat dilakukan dengan nilai pendekatan kecepatan rata-rata. Untuk menentukan kecepatan rata-rata dengan rentang waktu sangat kecil (mendekati nol), dapat digunakan konsep limit. Limit fungsi merupakan salah satu bahasan utama yang akan digunakan dalam kalkulus, terutama turunan dan integral. Dalam fisika, limit banyak digunakan dalam penentuan kecepatan, percepatan, kemiringan (gradien) suatu garis atau bidang, dan perubahan-perubahan sesaat lainnya. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi digunakan untuk penurunan fungsi biaya marjinal, fungsi-fungsi elastisitas (permintaan, penawaran, produksi), dan lain-lain.

166

Khaz Matematika SMA 2 IPS

Peta Konsep

Limit Fungsi

membahas

Fungsi Aljabar

Limit Konsep Turunan

Sifat-Sifat Limit

terdiri atas

xAa

xA '

diselesaikan dengan

diselesaikan dengan

Substitusi, asalkan

Memerhatikan Koefisien Pangkat Tertinggi (untuk Bentuk Pecahan)

0 hasil tidak 0

Pemfaktoran

Dengan Rumus b– p 2 a

Perkalian Sekawan

Kata Kunci • • • •

bentuk tak tentu berhingga gradien limit

• • • •

limit kanan limit kiri mendekati pemfaktoran

• • • •

sekawan substitusi tak berhingga teorema limit pusat

Limit Fungsi

167

Tentunya materi limit fungsi masih asing bagi kalian. Di SMP, kalian belum pernah mempelajarinya. Pada pembahasan kali ini, kalian diajak untuk mempelajari limit fungsi. Dalam menentukan nilai limit fungsi, kalian akan sering menggunakan substitusi dan pemfaktoran. Kedua cara ini telah kalian pelajari di kelas X. Sebelum kalian mempelajari bab ini lebih lanjut, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini.

Prasyarat Kerjakan di buku tugas

1.

2.

Misalkan diberikan fungsi f(x) = 3x2 – 2x + 1. Apakah sama artinya f(3) dan f(2,999....)?

¨2 x < 1; x ) 0 Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan g(x) = © ª x; x > 0 a. b. c. d.

Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5; –0,05; –0,001; –0,0001. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5; 0,05; 0,001; 0,0001. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)?

Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari kita lanjutkan mempelajari materi berikut.

A. Definisi Limit Fungsi Aljabar

Gambar 4.1

Materi limit baru kalian pelajari pada kali ini. Sebelumnya, kalian belum pernah mempelajari tentang limit. Untuk itu, kalian harus memahami pengertian limit terlebih dahulu. Kata limit berasal dari bahasa Inggris, berarti mendekati. Sesuai dengan kata mendekati, jika dikatakan bahwa x mendekati 2, artinya nilai x itu hanya mendekati nilai 2, tetapi tidak pernah bernilai 2. Untuk mempermudah perhitungan, kata ”mendekati” dinyatakan dengan simbol ” A ”. Pemahaman limit secara intuitif dapat kalian pahami melalui uraian berikut. Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan-bilangan real. Untuk x A 2, artinya nilai x & 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09. Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut.

168

Khaz Matematika SMA 2 IPS

x

1,91

1,95

1,99

2,01

2,05

2,09

f(x)

19,1

19,5

19,9

20,1

20,5

20,9

Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x A 2, nilai 10x A 20. Secara geometris dapat ditampilkan seperti Gambar 4.1. Dengan demikian, secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut. Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real.

lim f(x) = L

xA a

diartikan untuk x mendekati a (ingat: x & a), nilai f(x) mendekati L. Secara formal, limit fungsi didefinisikan sebagai berikut.

lim f(x) = L diartikan untuk setiap bilangan ¡ > 0 seberapa

xA a

pun kecilnya, terdapat sebuah bilangan b > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x – a| < b , berlaku | f(x) – L | < ¡ . Definisi ini adalah definisi limit secara umum. Definisi limit secara umum akan kalian perdalam pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Di SMA, kalian hanya diajak untuk mempelajari definisi limit secara intuitif. Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit di titik a jika limit dari kiri dan limit dari kanan bernilai sama. Limit dari kiri maksudnya adalah nilai pendekatan f(x) untuk x bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar (melalui nilai-nilai x < a). Limit dari kanan maksudnya adalah nilai pendekatan f(x) untuk x bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil (melalui nilai-nilai x > a). Untuk mempermudah penulisan, x yang mendekati a dari kiri ditulis x A a– dan x mendekati a dari kanan, ditulis x A a+. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika lim< f ( x ) = L dan lim+ f ( x ) = L maka xAa

xAa

lim< f(x) = lim+ f(x) = lim f(x) = L.

xAa

xAa

xA a

Artinya, nilai limit f(x) untuk x mendekati a ada, yaitu L.

Limit Fungsi

Contoh:

169

Apakah nilai limit fungsi berikut ada? a.

lim (2x + 3)

b.

x < 5 lim f(x), untuk f(x) = ¨© x; xA 2 ª5 < x; x * 5

xA 2

Jawab: a. Misalkan x A 2– (nilai-nilai x < 2) x

1,90

1,95

1,96

1,99

1,995 1,999

f(x)

6,80

6,90

6,92

6,98

6,99 6,998

Tampak bahwa untuk x A 2–, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, lim< (2x + 3) = 7. xA2

Misalkan x A 2+ (nilai-nilai x > 2) Gambar 4.2

x

2,10

2,09

2,05

2,01 2,001

f(x)

7,20

7,18

7,10

7,02 7,002

Tampak bahwa untuk x A 2+, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, lim+ (2x + 3) = 7. xA2

Karena lim< (2x + 3) = lim+ (2x + 3) = 7 maka lim (2x + 3) xA2

b.

xA 2

xA2

= 7. Misalkan x A 5–. Artinya, lim< f(x) = lim< x = 5. xA5

xA5

+

Misalkan x A 5 . Artinya, lim+ (5 – x) = 5 – 5 = 0. xA5

Karena lim+ f(x) & lim< f(x) maka lim f(x) tidak ada. xA5

xA5

x A5

Gambar 4.3

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 1

Di antara fungsi-fungsi berikut, manakah yang mempunyai limit di titik yang diberikan? Jika ada, tentukan nilai limitnya. 1. f(x) = 3x ; x A 2 2. f(x) = 5x – 1 ; x A 3 3. f(x) = x2 – 1 ; x A 1 4. f(x)) = 7 ; x A 5

170

Khaz Matematika SMA 2 IPS

5.

f(x) = 1 – x2 – x3 ; x A 0

6.

¨ 1; x < 1 ;x A 1 f(x) = © ª5; x * 1

7.

¨2 x < 1; x < 2 ;x A 2 f(x) = © 2 ª3 x ; x * 2

8.

¨10 x < 1; x < 1 ;x A 1 f(x) = © ª9 x; x * 1

9.

Tentukan limit fungsi di bawah ini untuk x mendekati nilai yang diberikan ¨x 2 , x ) 0 « g(x) = © x, 0 < x < 1 « 2 ª1 + x , x * 1

;x A1

10. Tentukan limit fungsi di bawah ini untuk x mendekati nilai yang diberikan ¨x 2 , x ) 0 « g(x) = © x < 1, 1 < x < 2 ; x A 1 « 2 ª5 + x , x * 2

B. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Kalian telah mengetahui bahwa nilai limit tidak harus sama dengan nilai fungsinya. Ada suatu fungsi yang mempunyai nilai limit di suatu titik, tetapi tidak mempunyai nilai fungsi di titik

2

2

f (x) =

x