Limit Es

Limites de fonctions (objectifs et méthodes) G. Petitjean Lycée de Toucy

10 mars 2008

1

lever une indéterm indétermination ination du type type (+ ) + (

2

lever une indéterm indétermination ination du type type

3

∞ lever une indéterm indétermination ination du type type ∞

4

1 limite du limite du ttype ype = 0

5

déterm dét erminer iner des asympt asymptote otess à une courbe courbe

6

étude complète complète de de fonctions fonctions

∞

0 0

∞

−∞)

1

lever une indétermination du type (+ ) + (

2

lever une indétermination du type

3

∞ lever une indétermination du type ∞

4

1 limite du type = 0

5

déterminer des asymptotes à une courbe

6

étude complète de fonctions

∞

0 0

∞

−∞)

énoncé Calculer les limites suivantes 1

lim 3x 3

x →+∞

− x 2 + 5x  − 1

2

lim

x →0

+

3

lim

x →+∞

1 x 2

3

 − x  + x 

√ x  + 5 − √ x  + 1

1

3x 3

−

x 2

+ 5x 

 − 1 =

1

x 3 (3

− x  + x 2 ), donc

lim 3x 3

x →+∞

2

− x 2 + 5x  − 1 = +∞

1

3 1 3 ), donc  − −  x  x   x  + = (1 3 + x  x 2 x 2 lim

x →0

3

5

1

+

x 2

3

 − x  + x  = +∞

√ x  + 5 − √ x  + 1 = √  (x  + 5) − (x  + 1) √  = √  x  + 5 +

lim

x →+∞

x  + 1

4 x  + 5 +

√ x  + 5 − √ x  + 1 = 0

√ x  + 1 , donc

1

lever une indétermination du type (+ ) + (

2

lever une indétermination du type

3

∞ lever une indétermination du type ∞

4

1 limite du type = 0

5

déterminer des asymptotes à une courbe

6

étude complète de fonctions

∞

0 0

∞

−∞)

énoncé Calculer les limites suivantes 1

x 3 + x 2 lim 3 2 x →2 x  + 3x  2

− 16x  + 20 − 24x  + 28 √ x  + 3 − √ 3x  + 1 lim 1 x  − 1 cos x  − 1 lim

x →

3

x →0

x 

1

x 3 + x 2 16x  + 20 = (x  2)(x 2 + 3x  10) et x 3 + 3x 2 24x  + 28 = (x  2)(x 2 + 5x  14) x 3 + x 2 16x  + 20 x 2 + 3x  donc pour tout x  =  2, 3 = 2 2 24x  + 28 x  + 3x  x  + 5x 

− −

 −  −

 

x 3 + x 2 lim 3 2 x →2 x  + 3x  2

− −

 −  −

 − 10 , donc  − 14

− 16x  + 20 = 22 + 3 × 2 − 10 = 0 − 24x  + 28 22 + 5 × 2 − 14

√ x  + 3 − √ 3x  + 1 (x  + 3) − (3x  + 1) 2 − √  √  √  = = √  , x  − 1 (x  − 1)( x  + 3 + 3x  + 1) x  + 3 + 3x  + 1

donc

√ x  + 3 − √ 3x  + 1 − 2 1 √  √  lim = =− 2 1 x  − 1 1 + 3 + 3 × 1 + 1

x →

3

lim

x →0

cos x 

 − 1 = lim cos x  − cos0 = (cos) 0 = sin 0 = 0 0 x  x  − 0 

x →

1

lever une indétermination du type (+ ) + (

2

lever une indétermination du type

3

∞ lever une indétermination du type ∞

4

1 limite du type = 0

5

déterminer des asymptotes à une courbe

6

étude complète de fonctions

∞

0 0

∞

−∞)

énoncé Calculer les limites suivantes 1

lim

x →+∞

2

lim

x →+∞

3

x 3

− 2x  + 1 2x 2 − 5 5x 2 + 4x  − 9 2x 2 + x  − 3

x  + 4 x →+∞ x 2 +  x  + 5

lim

1

x 3

− 2x  + 1 = 2x 2 − 5

x 3



 2 1 1− +  5 = x 2

x 2

2

x 3

− x 2 lim

2

5x  + 4x  9 = 2 2x  + x  3

 −  −

x 2 x 2

x 

− x 22 + x 13 , donc 5 2− 2 x 

x 3

x →+∞

2

1

− 2x  + 1 = +∞ 2x 2 − 5

 4 9 4 9 5 + − 5 + −  1 3  = 1 3 , donc x 2

x 

2 +

2 +

− x  x 2

x 

x 2

x 

− x 2

5x 2 + 4x  9 5 lim = + x  2x 2 + x  3 2 →

3

x  + 4 = x 2 + x  + 5



x  1 + x 2



1 +

1 x 

4 x 

+

 −  −

∞



1  = 5

x 

x 2

lim

x →+∞

1 + 1 +

1 x 

4 x 

+

5 x 2

x  + 4 = 0 2 x  + x  + 5

, donc

1

lever une indétermination du type (+ ) + (

2

lever une indétermination du type

3

∞ lever une indétermination du type ∞

4

1 limite du type = 0

5

déterminer des asymptotes à une courbe

6

étude complète de fonctions

∞

0 0

∞

−∞)

énoncé Calculer les limites suivantes 1

lim

 − 3 x 2 − 25 x 2 − 13x  + 36

x →3−

2

lim

x →4+

2 x 

1

  pour tout x  < 3, x 

 − 3

<

0 donc limx →3−  x  lim

x →3−

2

−

 − 3 = 0

2

 − 3

x 

=

, donc

−∞

x 2

− 13x  + 36 = (x  − 4)(x  − 9) , donc pour tout x  ∈]4; 9[, x 2 − 13x  + 36 0 lim 4 x 2 − 25 = −16 et lim 4  x 2 − 13x  + 36 = 0 x 2 − 25 lim 2 = +∞ 4 x  − 13x  + 36 <

x →

x →

x →

+

+

−

, donc

1

lever une indétermination du type (+ ) + (

2

lever une indétermination du type

3

∞ lever une indétermination du type ∞

4

1 limite du type = 0

5

déterminer des asymptotes à une courbe

6

étude complète de fonctions

∞

0 0

∞

−∞)

énoncé Déterminer tous les asymptotes aux courbes représentatives des fonctions suivantes 2x  5 1 f    (x ) = x  + 2 2 2 f    (x ) = 2 x  1 + x  2 x 3 2x 2 x  + 1 3 f    (x ) = 2

 −

 − −

x 

 − −

1

limx →+∞ f   (x ) = limx →−∞ f   (x ) = 2 , donc C f    admet comme asymptote la droite d’équation y  = 2 limx →−2−  f   (x ) = +  et limx →−2  f   (x ) =  , donc C f    admet comme asymptote la droite d’équation x  = 2

∞

2

limx →2  f   (x ) = +  et limx →2− f   asymptote la droite d’équation x  = 2 2 , donc limx →±∞ f   (x ) (2x  1) = 0, donc f   (x ) (2x  1) = x  2 C f   admet comme asymptote la droite d’équation y  = 2 x  1 1 1 x 3 2x 2 x  + 1 = x  2 + 2 , f   (x ) = 2 x  x  x  1 1 donc f   (x ) (x  2) = + 2  , donc limx →±∞ f   (x ) (x  2) = 0, x  x  donc C f   admet comme asymptote la droite d’équation y  = x  2

∞

+

−  −

3

−∞ −  f   (x ) = −∞, donc C    admet comme +

−

−  −

 −

−

−  −

 −

 − −

−

−  −  −

1

lever une indétermination du type (+ ) + (

2

lever une indétermination du type

3

∞ lever une indétermination du type ∞

4

1 limite du type = 0

5

déterminer des asymptotes à une courbe

6

étude complète de fonctions

∞

0 0

∞

−∞)

énoncé Déterminer l’ensemble de définition, les variations, les limites importantes et les asymptotes des fonctions suivantes 1

2

3

f   (x ) = x 3 3x 2 + 3x  2x  + 1 f   (x ) = x  1 x 2 f   (x ) = x  + 1

−

 −

 − 5

f   (x )

= x 3

− 3x 2 + 3x  − 5

f    est définie sur

R

f    est dérivable sur R  et pour tout x réel , f   (x ) = 3x 2 6x  + 3 = 3(x 2 2x  + 1) = 3(x  1)2 donc f   est strictement croissante sur R et C f   admet une tangente horizontale au

−

point d’abscisse 1. 3 3 + 2 f   (x ) = x 3 1



−

 −

 5

,  − 3 x  x  donc lim f   (x ) = +∞  et lim −∞ x  +∞ + f   (x ) +∞  f   (x ) −∞

− x 

x →+∞



(courbe page suivante)

x →−∞

f   (x ) =

−∞

Courbe représentative de

 → x 3 − 3x 2 + 3x  − 5

f   : x 

2x  + 1 f   (x ) = 1 x 

 −

f    est définie sur R 1 1 et f    est dérivable sur R 2(x  1) (2x  + 1)  f   (x ) = = 2 (x  1)

−{ } −{ }  − −  −

2 + f   (x ) =

1

3

− (x  − 1)2

x  , donc lim  (x ) = 2 et C f    admet comme x →±∞ f  

1

1 x  asymptote la droite d’équation y  = 2. limx →1− f   (x ) =  et limx →1  f   (x ) = + , donc C f    admet comme asymptote la droite d’équation x  = 1 x  1 + f   (x ) 2 + f   (x ) 2

−

−∞

−∞

− 

+

 −  ∞   −∞ 

∞ ∞

Courbe représentative de

f   : x 

2x  + 1 1 x 

 →  −

f   (x )

=

2 x 

x  + 1

f    est définie et dérivable sur f   (x ) =

x 

1 +

1

2 + 2x  x  1 et f   (x ) = (x  1)2

− {− } f   (x ) = −∞  et lim

R

donc limx →−∞

 −

x →+∞

f   (x ) = +

∞

x  limx →−1−  f   (x ) =  et limx →−1+  f   (x ) = +  donc la droite d’équation x  = 1 est asymptote à la courbe. 1 x (x  + 1) x  x (x  + 1) (x  + 1) + 1 = = x  1 + , f   (x ) = x  + 1 x  + 1 x  + 1

−∞ − −

∞

−

 − f   (x ) − (x  − 1) = 0

1 donc f   (x ) (x  1) =  et limx →±∞ x  + 1 donc la droite d’équation y  = x  1 est asymptote à la courbe. 2 1 0 + x  f   (x ) + 0 0 + 4 + + f   (x ) 0

−  −

−∞ −∞

− − −  

 −

− || || || −∞ ||

− ∞ 



∞ ∞

Courbe représentative de

f   : x 

2 x 

 → x  + 1