Limesi, levi i desni limes

Graniˇcne vrijednosti realnih nizova Funkcija f : N → R, gde je N skup prirodnih brojeva a R skup realnih brojeva, zove se niz realnih brojeva ili realan niz. Opˇsti ˇclan niza f je f (n), n ∈ N, i obiˇcno se obeleˇzava sa fx , dok se sam niz obeleˇzava sa (fn ), ili sa f = (f1 , f2 , . . . , fn , . . . ). Niz se ˇcesto obeleˇzava sa (xn ), (yn ) ili (an ). Na xn =

2n

1 primer

1 je 1 1 − opˇsti ˇclan niza x = (1, , , 1 3 5 7, . . . ).

1

IV.1. Granična vrijednost funkcije Definicija 1. Neka je funkcija y  f  x  definisana u okolini neke tačke x0 , osim eventualno u samoj tački x0 . Za broj A kažemo da je granična vrijednost funkcije f  x  u tački x0 i f  x  ako za dat   0 postoji   0 koje zavisi samo od  (to pišemo kao pišemo A  xlim  x0

      ) tako da vrijedi x  x0    f  x   A   . Ovo možemo zapisati kao x0    x  x0    A    f  x   A   . Ovdje po definiciji pretpostavljamo da je A   . Granična vrijednost funkcije ( x  x0 ) može da bude i beskonačnost (+ ili -  ). Sada ćemo dati deficiciju u slučaju da je granična vrijednsot  . Definicija 2. Neka je funkcija y  f  x  definisana u nekoj okolini tačke x0 osim eventualno f  x       ako za proizvoljno veliko, pozitivno M postoji u samoj tački x0 . Tada je xlim  x0 broj  koji zavisi samo od M (dakle,     M  ) takav da vrijedi x  x0    f  x   M

 f  x   M  .

Napomenimo da funkcija u nekoj tački ne može primati vrijednost  ili  . Pogledajmo primjer funkcije sa grafika: y

O

x0

Slika 1.

29

Ova funkcija očigledno nema graničnu vrijednost kada x  x0 . Međutim ima tzv. "desnu" i "lijevu" graničnu vrijednost. S slike se vidi da je lijeva granična vrijednost neki konačan broj, dok je desna granična vrijednost  . Sada ćemo dati definiciju desne i lijeve granične vrijednosti. Definicija 3. Neka je funkcija f  x  definisana na intervalu  a, x0  ( a  x0 ). Broj A   je lijeva granična vrijednost funkcije f kad x Z x0 (ili kada x  x0  0 , što znači da se x približava broju x0 s lijeve strane) ako za svako   0 postoji       takvo da vrijedi x0  x    f  x   A   . (lijevu graničnu vrijednsot analogno definišemo i kada je A   ). Ovo pišemo kao lim f  x   A . x Z x0

Desna granična vrijednost funkcije (bila ona konačna ili beskonačna) analogno se definiše se na isti način, samo je potrebno da funkcija bude definisana desno od tačke x0 i treba vrijediti x  x0    f  x   A   . Za desnu graničnu vrijednost koristimo oznaku x ] x0 (ili x  x0  0 ). Teorem. Funkcija f ima u tački x0 graničnu vrijednost A (ili  ) ako i samo ako postoje f  x  i lim f  x  i jednaki su A (ili  ). limesi lim x Z x0 x ] x0 Na kraju, daćemo definiciju granične vrijednosti funkcije kada x   , odnosno kada x   . Definicija 4. Neka je funkcija f definisana na intervalu  a,   (  ,a  ). Funkcija f ima graničnu vrijednost A   kada x   ( x   ) ako za dato   0 postoji        0 takvo da vrijedi x   ( x   )  f  x   A   . (U slučaju A   ili A   imali bi f  x   M ( f  x    M ) za unaprijed dato M  0 .)

 x 2  3 . Primjer 1. Izračunajmo lim x2

x 2  3  4  3  1 .  Direktnim uvrštavanjem x  2 u funkciju vidimo da je lim x2 Analogno, zaključujemo da je lim x 1

1 1 1   . x 1 11 2 ex , to nije moguće jer x 3 x  3

Primjer 2. Ukoliko želimo direktnim uvrštavanjem izračunati lim

ex e3 e3   , što nije definisano. Ukoliko bismo napisali da x 3 x  3 33 0

za x  3 dobijamo da je lim

30

ex e3    , također bismo napravili grešku, jer limes može biti samo  ili  , a x 3 x  3 0  ne . To nas navodi da posmatramo posebno lijeve i desne granične vrijednosti, pa imamo: ex e3 lim   , gdje nam znak "-" iznad broja 0 označava da je za x  3 (jer posmatramo xZ 3 x  3 0 je lim

ex lijevi limes) izraz x  3 negativan. To znači da je količnik također negativan (jer je x3 ex e3     . xZ 3 x  3 0 x  3 Analogno, možemo zaključiti da je, za izraz x  3 uvijek pozitivan, pa je eksponencijalna funkcija uvijek pozitivna), pa je lim

ex e3 lim     . x] 3 x  3 0 Kako se lijevi i desni limesi funkcije

ex , kad x  3 razlikuju, to ne postoji limes te funkcije x3

kad x  3 , nego samo lijevi i desni limesi.

x3 Primjer 3. Izračunajmo lim 2 . Pri izračunavanju limesa racionalne funkcije kada x   x  x  1 , jednostavnije je podijeliti brojnik i nazivnik sa varijablom x podignutom na najveći stepen koji se nalazi u nazinviku (u ovom primjeru je to 2). Imamo: x3 x2

x3 x 1  lim 2  lim   . (Koristili smo činjenicu da je lim  0 ). 2 x  x  1 x  x x  x 1 x  1  0  2 2 x x lim

x2 2 x2 i . Imamo: lim x  x 3  1 x  1  x 2

Analogno ćemo izračinati lim x2 x3

1 x 0 lim 3  lim 3  lim x   0 . x  x  1 x  x 1 x  1  0 1  3 3 x x 2

2 x2 2x x 2  lim 2  2 . lim  lim x  1  x 2 x  1 x 2 x  0  1  x2 x2 2

Na kraju, navedimo neke važne granične vrijednosti: 

n

1 e  lim  1   (po definiciji); n  n  

x

1 1/ t e  lim  1    lim  1  t  ; x  t 0 x 

31

sin x  1. x0 x

lim

IV. 2. Neprekidnost funkcije. Osobine neprekidnih funkcija. IV.2.1. Definicija neprekidnosti. Definicija 1. Neka je funkcija f definisana u tački x0 i u nekoj okolini tačke x0 . Za funkciju f f  x  i jednak je f  x0  . kažemo da je neprekidna u tački x0 ako postoji xlim  x0 Moguće je definisati neprekidnost s desna (s lijeva) na sljedeći način: Neka je funkcija f definisana u intervalu  a, x0  (  x0 , b  ). Za funkciju f kažemo da je f  x  ( lim f  x  ) i jednak je f  x0  . neprekidna s desna (lijeva) u tački x0 ako postoji lim x Z x0 x ] x0 Funkcija je neprekidna u tački x0 ako i samo ako je neprekidna i s desna i s lijeva u toj tački. Primjer 1.

y

y

O

x0

O

Neprekidna funkcija u x0

x0

Funkcija neprekidna s lijeva u x0

y

O

x0

Funkcija neprekidna s desna u x0

32

Geometrijski, funkcija je neprekidna u x0 tada je grafik te funkcije kriva koja se "ne prekida" pri prolasku kroz x0 . Elementarne funkcije, o kojima ćemo više reći u trećem dijelu, su neprekidne u svim tačkama u kojima su definisane. Funkcija f definisana u tački x0 i nekoj njenoj okolini je u toj tački prekidna ako i samo ako f  x   f  x0   lim f  x  . nije lim x Z x0 x ] x0 Zavisno od toga da li gornji limesi postoje ili ne postoje razlikujemo nekoliko vrsta prekida funkcije. y 1. Tačka x0 je tačka prekida funkcije f s konačnim skokom ako postoje konačne vijednosti lijevog i x0 , ali je desnog limesa funkcije u lim f  x   lim f  x  . Skok je jednak vrijednosti x Z x0 x ] x0

}

skok

x0

O

f  x   lim f  x  . izraza lim xZ x x] x 0

0

2. Ako funkcija f  x  ima u x0 konačnu graničnu vrijednost različitu od f  x0  tada je x0 tačka otklonjivog prekida funkcije f  x  . (Prekid f  x  .) otklanjamo tako da definišemo f  x0   xlim  x0 y

sin x u tački x0  0 x definišemo tako da bude jednaka jedan. Tada dobijamo neprekidnu funkciju. Primjer. Funkciju

f  x 

O

x0

Tačke prekida koje su navedene pod 1. i 2. nazivamo tačke prekida I vrste. 3. Za funkciju f  x  kažemo da u tački x0 ima prekid II vrste ako bar jedna od graničnih f  x  ili lim f  x  ne postoji ili je beskonačna. vrijednosti lim x Z x0 x ] x0 IV.2.1. Osobine neprekidnih funkcija Teorem 1. Ako je funkcija f  x  neprekidna na zatvorenom intervalu  a, b  , onda je ona na tom intervalu ograničena i prima svoju najmanju i najveću vrijednost.

33

Teorem 2. Ako je funkcija f  x  neprekidna na  a, b  i ako su f  a  i f  b  različitog znaka, tad funkcija f  x  ima na segmentu  a, b  barem jednu nulu. Teorem 3. Funkcija neprekidna u otvorenom ili zatvorenom intervalu prolazi u tom intervalu sve vrijednosti između ma koje dvije vrijednosti f  x1  i f  x2  za x1 i x2 iz tog intervala. IV.3. Neke elementarne funkcije: stepena, eksponencijalna i logaritamska.

U elementarne funkcije stadaju stepena funkcija, eksponencijalna funkcija, logaritamska funkcija, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije i sve funkcije koje se sa konačno mnogo algebarskih operacija i operacijom kompozicije funkcija mogu dobiti iz navedenih funkcija. Mi se nećemo baviti trigonometriskim i inverznim trigonometrijskim funkcijama, jer one nemaju široku primjenu u ekomoniji. 1. Stepena funkcija je funkcija oblika y  x (   ¡ ).Mi ćemo posmatrati samo neke specijalne slučajeve stepene funkcije. To su:   n¥ . a) Funkcija y  x n , gdje je n prirodan broj definisana je za svako x  ¡ i neprekidna za svako x¡ . x n   , kada x   za n neparno i x n   , kada x   za n parno. Za neparno n funkcija može biti pozitivna i negativna, dok je za parno n funkcija uvjek pozitivna. Na intervalu  0,  funkcija x n je strogo rastuća i neprekidna. Na intervalu  ,0  funkcija x n je strogo rastuća za neparno n a za parno n je opadajuća i neprekidna. Na intervalu  0,  koja je strogo rastuća i

 0,  , dok

funkcija y  x n ima inverznu funkciju y  x1/ n  n x neprekidna. Ako je n parno inverzna funkcija postoji samo na

za neparno n funkcija y  x n ima inverznu funkciju y  x1/ n  n x koja je

definisana na ¡ , rastuća i neprekidna na ¡ . Na slici je prikazano nekoliko stepenih funkcija.

34

y

y=x 3 y=x 2 y= x 3

O

x

y

  n  0 , za prirodan broj n . 1 Funkcija y  x  n , n  ¥ , to jest y  n , definisana je x za svako x  ¡ , x  0 . Ova funkcija je parna kada je n parno i neparna kada je n neparno. Za parno b)

n  n  2k  je:funkcija rastuća na intervalu

y

1 x 2k

x

O

 ,0  ,

opadajuća na intervalu  0,  . 1 1   ; lim 2 k  0 . 2 k x0 x x  x

Vrijedi lim

Za neparno n  n  2k  1 je: funkcija uvjek opadajuća, 1 1 lim 2 k 1   , lim 2 k 1   . xZ 0 x x] 0 x 1 Također, lim 2 k 1  0 i funkcija je neprekidna svuda x  x gdje je deifinisana.

y

1

y

x 2 k 1

x

O

c)

Mogu se posmatrati i slučajevi kada je  

m ali to nećemo činiti. n

35

Eksponencijalna funkcija Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika y  a x , pri čemu uzimamo da je a  0 . Ova funkcija je definisana za svako x  ¡ i pozitivna za sve x .

y

y  a x (a  1)

y  a x  a  1 y  1x

Razlikujemo dva slučaja: a  1 i a  1 . U slučaju a  1 funkcija je konstanta (jednaka je 1 za svako x).

O

x

Za a  1 , funkcija je rastuća i neprekidna x x na cijelom definicionom području. Vrijedi lim a   , lim a  0 . a)

x 

x 

Za a  1 , funkcija je opadajuća i neprekidna na cijelom definicionom području i a x  0 , lim a x   . vrijedi xlim  x  b)

Logaritamska funkcija Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji. To je funkcija oblika y  log a x , pri čemu smatramo da je a  0 i a  1 . Ova funkcija je definisana samo za pozitivne realne brojeve, i slično kao kod eksponencijalne funkcije, razlikovat ćemo dva slučaja: a)

Za a  1 funkcija raste na cijelom definicionom području, neprekidna je, ima nulu u tački

log a x   , te lim log a x   . x  1 i vrijedi xlim  x] 0

b)

Za a   0,1 tada funkcija opada na cijelom definicionom području, neprekidna je, ima nulu u

log a x   , te lim log a x   . tački x  1 i vrijedi xlim  x] 0 y

y  log a x, a  1 x

O y  log a x, a  1

Važan specijalni slučaj eksponencijalne i logaritamske funkcije je kada je a  e ( e  2,73 ) tako da tada funkcije y  e x i y  log e x  ln x spadaju u klasu a  1 .

log x

1

e x  ln x . Napomenimo još da je a x  eln a  e x ln a i log a x  log e a ln a

36

IV. 4. Pojam izvoda funkcije. Geometrijsko značenje izvoda funkcije.

U ispitivanju ekonomskih pojava do sada smo se bavili tzv statičkom analizom, tj određivali smo stanje ekvilibrijuma datog modela. Pri tome se nismo bavili pitanjem koliko se taj ekvlibrijum mijenja ukoliko promijenimo početne uvjete. Time se bavi dinamička analiza. U dinamičkoj analizi bavit ćemo se tzv stepenom promjene određene varijable y  f  x  pri nekoj promjeni varijable x . Taj stepen promjene možemo ispitivati kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno, zanima nas da li sa porastom x - sa dolazi do porasta ili smanjivanja y-a i kvantitativno, zanima nas kolika je ta promjena. Pretpostavimo sada da naša varijabla y zavisi samo od x. . y Ukoliko x promijeni svoju vrijednost od x0 do x0  x ,

f  x0  x  f  x0 

tada y mijenja svoju vrijednost od f  x0  do f  x  x  . Razmjera, ili stepen promjene y po jedinici

 y x

y

0

promjene x-a je x x x0 x0  x

O

je

y f  x0  x   f  x0  . Vidimo da  x x

y funkcija x0 i x (za dato f). x

Ako je  ugao označen na slici, vidimo da je tg  . Definicija. Ako postoji lim

f  x0  x   f  x0 

x  0

x

y x

: f '  x0  kažemo da je funkcija diferencijabilna u

tački x0 (odnosno da ima izvod u x0 ). Izvod funkcije u x0 označavamo sa f '  x0  . Pišemo još i lim

x  0

Dakle,

y dy   y'. x dx

y dy  za malo x . (ovdje je  ¨oznaka za približnu vrijednost). x dx

Geometrijski gledajući, prvi izvod funkcije f u tački x0 (dakle, f '  x0  ) jednak je koeficijentu pravca tangente na krivu y  f  x  u tački x0 .

Prvi izvod nam određuje smjer promjene funkcije. Ako je f '  x0   0 tu je promjena pozitivna (s rastom x-a raste i y), a ako je f '  x0   0 tu je promjena negativna (s rastom x-a y opada). Proces nalaženja izvoda zovemo diferenciranjem.

y ne mora postojati. Međutim mogu postojati lijevi i desni limesi. Takvi x limesi su desni i lijevi izvod funkcije f u tački x0 (tu funkcija nije diferencijabilna). ( Slučaj kada postoje dvije različite tangente (lijeva i desna), tj. kada su desni i lijevi izvod funkcije u tački x0 Vidjeli smo ranije da lim

x  0

različiti prikazan je na slici dole lijevo).

37

Ukoliko

je

y   x  0 x lim

tu

funkcija

nije

diferencijabilna, ali to geometrijski znači da je tangenta u tački x0 , f  x0  okomita na x osu.



1



x

x0

2

Možemo reći da izvod funkcije označava "brzinu njene promjene".

IV.5. Primjena izvoda u ekonomiji. Marginalna funkcija. Koeficijent elastičnosti. Kao što smo vidjeli, izvod funkcije nam govori kojom se brzinom i kako funkcija mijenja. Ukoliko je prvi izvod veliki pozitivan broj, to znači da funkcija brzo rasle, ukoliko je malen (po apsolutnoj vrijednosti) negativan broj, to znači da funkcija sporo opada i sl. Ukoliko je riječ o funkciji koja ima neko ekonomsko značenje, tada nam prvi izvod predstavlja graničnu ili marginalnu funkciju te funkcije. Primjer 1. Ako je C  C  Q  funkcija troškova (gdje smo sa Q označili količinu proizvodnje) , u ekonomiji se definiše tzv. funkcija marginalnog ili graničnog troška, koju označavamo sa MC(Q) sa MC  Q   C '  Q  . Ako sa AC  Q  označimo funkciju prosječnog troška, tj. AC  Q  

C  Q Q

, tada je

MC  Q   AC  Q  za male Q. Primjer 2. Koeficijent elastičnosti pojave y u odnosu na promjenu pojave x se definiše sa

y x 1 y  . Ekonomski, to znači da, ako se x promijeni za 1% (tj. ) tada se varijabla y  y , x : x x 100 x y 100% . Ako je  y , x  1 tada je y elastična na promjenu x, a za  y , x  1 promijeni za  y , x  y kažemo da je y neelastična na promjenu x. Zapravo kad je riječ o malim promjenama (u ekonomiji su uglavnom takve u vremenu) , možemo smatrati da je  y , x 

dy x x   y 'x . dx y y

(U mikroekonomiji se definišu različite elastičnosti, npr. elastičnost supstitucije proizvodnih faktora – skupljeg faktora jeftinijim, ili elastičnost potražnje u odnosu na dohodak, ...). Nešto kasnije ćemo vidjeti kako pomoću izvoda možemo, za datu funkciju ukupnih troškova proizvodnje izračunati nivo proizvodnje na kome su jedinični troškovi proizvodnje minimalni.

38